1. Klausur Logik für die Informatik WS 2003/2004

FAKULTÄT FÜR E LEKTROTECHNIK , I NFORMATIK
UND
M ATHEMATIK
1. Klausur Logik für die Informatik WS 2003/2004
P ROF. D R . H ANS K LEINE B ÜNING
M ITTWOCH , 11. F EBRUAR 2004
Name, Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Studiengang: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bitte sorgfältig durchlesen und beachten!
• Prüfen Sie die Vollständigkeit Ihres Klausurexemplares (Deckblatt, 5 Aufgaben).
• Schreiben Sie zu Beginn der Klausur auf das Deckblatt der
Klausur und jedes weitere Blatt DEUTLICH LESBAR Ihren
Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer. Blätter
ohne diese Angaben werden nicht gewertet!
• Verwenden Sie keinen Rotstift und keinen Bleistift. Entsprechende Lösungen werden NICHT gewertet.
• Werden zu einer Aufgabe mehrere Lösungen angegeben, so
gilt die Aufgabe als NICHT gelöst.
Aufgabe
erreichbare Punkte
1
18
2
8
erreichte Punkte
Note:
1
3
20
4
10
5
24
P
80
AUFGABE 1: Prädikatenlogik (8+10 Punkte)
a) Schließen Sie mit Hilfe der Resolution, dass bzgl. der folgenden Formel
P (a) wahr ist. Geben Sie jeweils die benutzten Substitutionen an.
∀x∀y∀z ( (P (x) ∨ Q(y)) ∧ (¬Q(z) ∨ ¬R(z)) ∧ R(a) )
b) Betrachten sie die folgende Formel. Bestimmen Sie das Herbrand-Universum
H(α) und die Herbrand-Erweiterung E(α) und geben Sie eine erfüllende
Herbrand-Interpretation ℑ an.
α = ∀x¬∃y ¬((P (x) ∨ Q(f (a), y)) ∧ P (y))
Beachten Sie, dass Herbrand-Interpretationen nur auf Formeln in SkolemNormalform definiert sind. Geben Sie Herbrand-Universum bzw. -Erweiterung
bis zu einer Verschachtelungstiefe von 2 bzw. 1 an.
AUFGABE 2: Fuzzy-Logic (8 Punkte)
Gegeben sind die folgenden Fuzzy-Mengen, die ein Bremsregelungssystem
modellieren.
! "
#
$
%
#
+
,
-
+
,
&
' %
-
# (
"
2
) *
7 8
3
.
/ 2
.
.
4
5
9
7: :
6
;
< : =
> ?
@
A
; ;
5
1
/1
/ 0
1
.
D
.
E
.
F
.
3 0
.
3 1
.
3 G
.
0
3 .
0
H
.
0
B
>
9
2
<
.
? > =
C:
5
Das System arbeitet mit den folgenden Schlussregeln.
then
Bremskraft = mittel
or
Abstand = gering
Geschwindigkeit = niedrig
Abstand = groß
Geschwindigkeit = hoch
then
Bremskraft = stark
and
if
if
Bestimmen Sie graphisch die Ausgabe dieses Fuzzy-Systems bei einem Abstand von 130 und einer Geschwindigkeit von 80. Benutzen Sie dazu die MaxMin-Inferenz. Geben Sie dazu die Zugehörigkeitsgrade an und berechnen Sie
die entstehende Fuzzy Menge. Geben Sie diese an, indem Sie sie im entsprechenden Diagramm einzeichnen und die Fläche schraffieren. Benutzen Sie
dann zur Defuzzifizierung die Mittelwert-Max-Methode.
AUFGABE 3: Default-Logic (8+12 Punkte)
a) Stellen Sie die folgenden Aussagen als Default-Theorie dar. (Hinweis:
Benutzen Sie die Prädikatenlogik als Grundlage)
Normalerweise sind Informatiker männlich. Normalerweise
mögen Männer Fußball. Melanie ist Informatiker.
Welche Informationen können über Melanie gefolgert werden. Wie ändert sich die Situation, wenn man auch noch weiß, dass Melanie nicht
männlich ist.
b) Gegeben sei die folgende Default-Theorie ∆ = (D, W ).
½
¾
P ∨ Q : M (P ∧ ¬Q)
P : M (R ∨ S)
D =
δ1 =
, δ2 =
P ∧ ¬Q
R∨S
W = {¬R, P ∨ Q}
Führen Sie einen Top-Down-Default-Beweis für S durch. Bestimmen Sie
dazu zuerst die induzierten Klauseln.
3
AUFGABE 4: Dreiwertige Logik (10 Punkte)
Eine Formel einer dreiwertigen Logik heißt stark gültig, wenn sie bei allen
Variablenbelegungen den Wert 2 ergibt. Bestimmen Sie, ob die folgenden Formeln bezüglich der dreiwertigen Logik von Sobociński stark gültig sind.
i) a ⇒ (b ⇒ a)
ii) ∼ (a ⇒ b) ⇒∼ b
Die entsprechenden Operationen der dreiwertigen Logik von Sobociński sind
wie folgt definiert.
„∼ a“
a ∼a
0
1
1
2
2
0
a
0
1
2
„a ⇒ b“
0 1
2 1
0 2
0 1
b
2
2
2
2
AUFGABE 5: Temporale Logik (12+12 Punkte)
a) Gegeben sei die folgende temporale Struktur.
p
q
r
0
f
t
f
1 2
t f
f f
t f
3 4
t f
t f
f t
5
f
t
f
...
f...
t...
t f t f...
Überprüfen Sie, ob die folgenden temporallogischen Formeln in dieser
Struktur, bezogen auf den Zeitpunkt 0, gelten und begründen Sie Ihre
Entscheidung. (Zu überprüfen ist also, ob K0 (Fi ) = t für i ∈ {1, 2, 3}.)
F1 = °(q ∨ r)
F2 = ¤♦(q ∧ ¬r)
F3 = q → (♦¤(¬p ∧ r)
b) A und B seien beliebige temporallogische Formeln. Zeigen Sie, dass die
folgenden Aussagen gelten.
i) ¬♦A ↔ ¤¬A
ii) A → B||− ♦A → ♦B
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