Prof. Dr. Thomas Schneider AG Theorie der künstlichen Intelligenz
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Logik Prof. Dr. Thomas Schneider AG Theorie der künstlichen Intelligenz Cartesium, Raum 2.56 [email protected] Homepage der Vorlesung: http://tinyurl.com/ws16-logik WiSe 2016/17 Organisatorisches Zeit und Ort: Di 8–10 MZH 1460 Mi 16–18 MZH 1460 Vortragender: Prof. Dr. Thomas Schneider Raum Cartesium 2.56 Tel. (218)-64432 [email protected] Position im Curriculum: Wahlbereich Bachelor-Basis Modulbereich Theorie Master-Profile SQ und KIKR 2 Organisatorisches Voraussetzungen: Grundvorlesung Theoretische Informatik Form: K4 3 Termine Vorlesung, 1 Termin Übung (also 26.10., 15.11., 29.11. usw.) Diskussion in Vorlesung jederzeit erwünscht! Vorlesungsmaterial: • Folien und Aufgabenblätter auf: http://tinyurl.com/ws16-logik • Beispiele, Beweise etc. an der Tafel (s. auch Webseite der AG TDKI) (mitschreiben!) 3 Literatur Große Teile aus: • Erich Grädel. Mathematische Logik I. Vorlesungsskript, RWTH Aachen, Verfügbar in Stud.IP Logik zweiter Stufe: • Leonid Libkin. Elements of Finite Model Theory. Springer Verlag, 2004 Weitere Referenzen: • Uwe Schöning. Logik für Informatiker. Spektrum akademischer Verlag, 2000 (5. Auflage). • Christel Baier. Advanced Logics. VL-Skript, TU Dresden. • Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas. Mathematical Logic. Springer Verlag, 1994 (2. Auflage). 4 Prüfungen Übungsaufgaben & Fachgespräch: • Übungsaufgaben jede zweite Woche (mit Zusatzaufgaben) • Werden in Gruppen (2–3 Personen) bearbeitet, abgegeben und korrigiert – jede_r muss mindestens einmal vorrechnen • Fachgespräche am Ende des Semesters Voraussetzung: 50% der Punkte in Übungsaufgaben oder Mündliche Prüfung 5 Logik Ursprünge der Logik Traditionell ist die Logik ein Teilgebiet der Philosophie und Mathematik: Philosophie: Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns, geht zurück auf Aristoteles (≈ 300 a. D.) Klassisches Beispiel: Syllogismen Alle Menschen sind sterblich Sokrates ist ein Mensch Jedes P ist auch ein Q x ist ein P Sokrates ist sterblich x ist ein Q Seit dem 20. Jh. ein elaboriertes und vielfältiges Teilgebiet der Philosophie Ziel: Abstrakte und formale Behandlung philosophischer Fragestellungen 7 Ursprünge der Logik Traditionell ist die Logik ein Teilgebiet der Philosophie und Mathematik: Mathematik: Logik spielt zentrale Rolle für die Grundlagen der Mathematik Klassisches Beispiel: die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen • 02N (formuliert in der Logik zweiter Stufe) • 8n 2 N : 9n0 2 N : n0 = nf(n) • 8n 2 N : nf(n) 6= 0 • 8n8m 2 N : (nf(n) = nf(m) ! n = m) • 8X : 0 2 X ^ 8n : (n 2 X ! nf(n) 2 X) ! N ✓ X Aus diesen Grundannahmen lassen sich alle Eigenschaften der natürlichen Zahlen herleiten. 8 Logik in der Informatik Logik ist eine der wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik Von essentieller Bedeutung z. B. für: • • • • • • • Datenbanken und Semistrukturierte Daten (XML) Verifikation von Hard- und Software Programmiersprachen Komplexitätstheorie Wissensrepräsentation / Künstliche Intelligenz Automatisches Theorembeweisen etc. Logische Methoden haben die Entwicklung der Informatik entscheidend mitbestimmt. Umgekehrt ist heute die Informatik eine der größten Triebkräfte hinter der Weiterentwicklung der Logik. 9 Fallbeispiel 1: Datenbanken SQL-Anfragebeantwortung kann als Logikproblem verstanden werden Im Folgenden: FO = Prädikatenlogik erster Stufe • • • SQL-Anfragen sind im Wesentlichen FO-Formeln SQL-Datenbankinstanzen sind FO-Strukturen SQL-Anfragebeantwortung entspricht Modellprüfung in FO Slogan: SQL ist Logik Diese Sichtweise hat die Entwicklung und den Erfolg von relationalen Datenbanken entscheidend mitgeprägt. (Ted Codd, System R am IBM Almaden Research Center 1960’er–70’er) 10 Fallbeispiel 2: Verifikation Verifikation: nachweisen, dass ein Chip / Programm eine gewünschte Spezifikation erfüllt (z. B. keine Division durch 0, keine Deadlocks) Verifikation basiert in der Regel auf Logik: • Chip / Programm kann als (endliche oder unendliche) logische Struktur modelliert werden • Spezifikation kann als logische Formel modelliert werden, z. B. in einer Temporallogik wie LTL oder CTL • Verifikation entspricht dann wieder Modellprüfung Verifikation ist heutzutage ein zentrales Thema im Chipdesign und wird auch für Software zunehmend wichtiger. Logik hat dieses wichtige Teilgebiet der Informatik entscheidend geprägt 11 Fallbeispiel 3: Komplexitätstheorie Bekanntestes offenes Problem der theoretischen Informatik: Ist P = NP ? Klassische Definition NP: Menge der Probleme, die von einer nicht-deterministischen Turingmaschine in Polynomialzeit gelöst werden können. Alternative, aber äquivalente Definition: Menge der Probleme, die mittels einer Formel der existentiellen Logik zweiter Stufe definiert werden können. Dies erlaubt das Studium von P und NP mit logischen Methoden, komplett ohne Turingmaschinen oder andere Berechnungsmodelle (Deskriptive Komplexitätstheorie) 12 Ziele der Vorlesung Einführung der grundlegenden logischen Formalismen insbesondere Aussagenlogik und Prädikatenlogik 1. und 2. Stufe Formulierung und Beweis der zentralen Resultate der Logik insbesondere zu Schlussfolgerungsproblemen, Ausdrucksstärke und anderen Informatik-relevanten Themen Herstellung von Querbezügen zu anderen Teilgebieten der Informatik insbesondere zu Datenbanken, Verifikation und Komplexitätstheorie 13 Übersicht Vorlesung Einführung NEXT Teil 1: Aussagenlogik Teil 2: Prädikatenlogik Grundlagen Teil 3: Mehr zur Prädikatenlogik erster Stufe Teil 4: Prädikatenlogik zweiter Stufe 14
