Kandidat: Daniel Weller Begutachter: Alexander Leitsch, Dale Miller

Kandidat: Daniel Weller
Begutachter: Alexander Leitsch, Dale Miller
Titel: CERES in Higher-Order Logic
Kurzfassung
Der Sequentkalkül, eingeführt von Gerhard Gentzen, ist ein wohlstudiertes
Modell des mathematischen Beweises. Die Benutzung von Lemmata entspricht dem Einsatz der Schnittregel im Sequentkalkül. Schon Gentzen bewies dass, falls ein Theorem mittels der Schnittregel bewiesen werden kann,
dies auch ohne ihre Verwendung möglich ist. Dieses metamathematische
Resultat wird Schnitteliminationssatz genannt. Die ursprüngliche Motivation für dieses Resultat war es, die Konsistenz des Sequentkalküls zu zeigen:
Es ist leicht zu sehen, dass ein Widerspruch nur mittels der Schnittregel
hergeleitet werden kann. Wenn nun so ein Widerspruch existieren würde,
hätte er — nach Gentzens Resultat — auch eine Herleitung ohne Schnittregel, was unmöglich ist. Die ursprüngliche Verwendung des Schnitteliminationssatzes betraf also einen hypothetischen Beweis.
Seitdem wurde die Formalisierung der Mathematik in Form von Beweisen in logischen Systemen durch den Computer ermöglicht. Es wurde also
möglich (Implementationen von) Schnitteliminationssätze auf (Formalisierungen von) mathematische Beweise anzuwenden. Das Resultat ist dann
ein neuer, schnittfreier Beweis, von dem interessante Information abgelesen
werden kann. Informell gesprochen ist der Beweis direkt: er enthält keine
Umwege in der Form von Lemmata.
Das Thema dieser Dissertation ist die Erweiterung der wohlbekannten
Schnitteliminationsmethode CERES (cut-elimination by resolution) von der
Logik erster Stufe auf die Logik höherer Stufe. Sowohl theoretisch als auch
praktisch wurde der Wert der Methode (in der Logik erster Stufe) nachgewiesen. Aber die Logik erster Stufe hat Einschränkungen, die ihre Verwendung
für die Formalisierung von Mathematik behindern: oft kann die intuitive
Beschreibung mathematischer Objekte nicht direkt formalisiert werden, sondern die Objekte müssen kodiert werden.
In der Logik höherer Stufe gelten gewisse grundlegenden syntaktischen
Eigenschaften von Beweisen, die für die Definition von CERES verwendet
werden, nicht. Deshalb wird ein flexibler Sequentkalkül für die Verwendung mit CERES entwickelt und seine Eigenschaften untersucht. Ausserdem
i
wird ein Resolutionskalkül definiert und formal mit dem Standardresolutionskalkül von Peter B. Andrews verbunden. Auf diesen Systemen aufbauend
wird die Schnitteliminationsmethode CERESω definiert. Sie wird mittels
Übersetzungen, die direkt implementiert werden können, mit den Standardsystemen verbunden.
ii