18 Temporale Logik

18 TEMPORALE LOGIK
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Temporale Logik
• In der temporalen Logik beschreibt man Eigenschaften unendlicher Ablaufe von Systemen.
• Dabei will man aber vor allem explizite Rechnungen mit der Zeit vermeiden, um zu u
bersichtlicheren
Formulierungen zu gelangen.
• Wir wollen in diesem Kapitel zeigen, da man die temporale Logik in modaler Kleene-Algebra nachbilden
kann.
• Der Vorteil einer solchen Betrachtung ist, da die Korrektheitsbeweise f
ur Axiome und Kalkulregeln, wie
im Fall der Hoare-Logik, sehr einfach werden.
• Wir beschranken uns in diesem Kapitel auf die lineare temporale Aussagenlogik PLTL, in der Ablaufe
von Zustanden sind;
• f
ur die allgemeinere Verzweigungslogik (branching time logic) CTL∗ braucht man eine spezielle Klasse
modaler Kleene-Algebren, die sogenannten Quantale.
Folgen
18.1
Grundzüge der modalen Logik
PLTL ist eine spezielle modale Logik. Wir wollen daher zunachst einige Grundbegrie aus diesem Gebiet
bringen.
In der klassischen Logik liegt der Wahrheitswert einer Formel (bei gegebener Variablenbelegung) ein fur alle
Mal fest.
Dagegen will man mit modalen Logiken sich andernde Situationen modellieren, wobei sich auch der Wahrheitswert einer Formel andern kann.

Man betrachtet dazu eine Menge moglicher Welten, die durch Ubergangsrelationen
miteinander verknupft
sind.

Gibt es nur eine Ubergangsrelation,
so spricht man von einem monomodalen System, andernfalls von einem
polymodalen.
Statt von Welten spricht man auch von Zustanden.
Dadurch, da man Relationen und nicht Funktionen verwendet, kann man Nichtdeterminismus modellieren;

man wei dann nicht, welcher der moglichen Uberg
ange tatsachlich gewahlt wird.
Als wesentliche Sprachmittel der modalen Logik dienen die zwei Quantoren ♦ (\moglich") und (\notwendig").
Sie sind Existenz- bzw. Allquantoren uber Vorganger- oder Nachfolgerwelten/zustande.

Unsere algebraische Sicht der Modaloperatoren abstrahiert vom speziellen Fall der Ubergangs
relationen; wir
lassen stattdessen Elemente modaler Halbringe zu.
Mengen moglicher Welten werden durch Tests dargestellt.
18.2
Syntax und Semantik von PLTL
Gegeben sei eine Menge Φ atomarer Aussagen.
Dann ist die Menge der PLTL-Formeln uber Φ der Sprachschatz des Nichtterminals Ψ der Grammatik
Ψ ::= Φ | ¬Ψ | Ψ → Ψ | X Ψ | Ψ U Ψ
Algebraische Semantik
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• Zur Denition der Semantik verwendet man eine Menge Q von Zustanden.
• Ein
Ablauf
ist dann eine unendliche Folge s = s0 , s1 , . . . von Zustanden si ∈ Q.
• Mit si bezeichnet man den Ablauf, der aus s durch Streichen der ersten i Zustande entsteht.
• Jeder atomaren Aussage π ∈ Φ ordnet man eine Menge Qπ ⊆ Q von Zustanden zu, in denen π wahr ist.
Nun deniert man induktiv uber den Formelaufbau, wann eine Formel ϕ fur einen Ablauf s
s |= ϕ:
s |= π
wenn s0 ∈ Qπ
s |= ¬ϕ
wenn s 6|= ϕ
s |= ϕ → ψ wenn s |= ϕ ⇒ s |= ψ
s |= X ϕ
wenn s1 |= ϕ
s |= ϕ U ψ
wenn ∃ j ≥ 0 . sj |= ψ ∧ ∀ k < j . sk |= ϕ
Eine Formel ϕ heit gultig, in Zeichen |= ϕ, wenn sie fur alle s gilt.
gilt,
in Zeichen
• Von dieser Semantik gehen wir nun zu einer mengenorientierten u
ber.
• Sie ordnet jeder Formel ϕ die Menge [[ϕ]] =df {s | s |= ϕ} der Ablaufe zu, f
ur die ϕ gilt.
• Das ist die Grundlage f
ur eine algebraische Behandlung: Mengen von Ablaufen werden durch Tests dar-
gestellt,
• die Relation, die jeweils s in s1 u
berfuhrt, durch ein allgemeines Halbringelement a.
Wir ordnen also jedem atomaren Aussagesymbol π einen Test pπ zu und denieren dann wieder induktiv
[[π]]
[[¬ϕ]]
[[ϕ → ψ]]
[[X ϕ]]
[[ϕ U ψ]]
=
=
=
=
=
pπ
¬[[ϕ]]
¬[[ϕ]] + [[ψ]]
|ai[[ϕ]]
|([[ϕ]] · a)∗ i[[ψ]]
Man beachte besonders die Kompaktizierung im Fall des until-Operators U.
Eine Formel ϕ nennen wir nun gultig, in Zeichen |= ϕ, wenn [[ϕ]] = 1.
Wie ublich fuhrt man die ubrigen logischen Verknupfungen als Abkurzungen ein:
ϕ∧ψ
ϕ∨ψ
ϕ ↔ ψ
true
Fϕ
Gϕ
=df
=df
=df
=df
=df
=df
¬(ϕ → ¬ψ)
¬ϕ → ψ
ϕ→ψ ∧ ψ→ϕ
π ∨ ¬π
fur beliebiges π ∈ Π
true U ϕ
¬F¬ϕ
Durch leichte Rechnung ergibt sich daraus
[[true]]
[[Fϕ]]
[[Gϕ]]
=
=
=
1
|a∗ i[[ϕ]]
|a∗ ][[ϕ]]
Ist a fest, d.h. hat man ein monomodales System, so schreibt man nun einfach
statt |ai
♦ statt |a∗ i
statt |a∗ ]
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Zur Abkurzung lassen wir im folgenden [[ ]] weg und schreiben etwa ϕ → ψ = ¬ϕ + ψ statt obiger semantischer
Gleichung fur →.
• Wir wollen noch kurz die Wahl von |ai f
ur diskutieren, denn intuitiv wurde man ja eher |a] erwarten.
• Betrachten wir dazu das PLTL-Axiom
• Setzen wir ein, so entsteht
¬ϕ = ¬ϕ
∀ p . |ai¬p = ¬||aip
oder, aquivalent,
∀ p . |a]p = |aip
• Damit ist es also egal, ob wir |ai oder |a] verwenden.
• Was bedeutet die Bedingung |a] = |ai anschaulich?
• Betrachten wir sie f
ur den Fall einer Relation R ⊆ M×M uber einer Grundmenge M. Es gilt, fur beliebiges
N ⊆ M,
x ∈ |RiN ⇔ ∃ y . x R y ∧ y ∈ N
x ∈ |R]N ⇔ ∀ y . x R y ⇒ y ∈ N
• Speziell f
ur N = {z} (z ∈ M beliebig) heit das
x ∈ |Ri{z}
x ∈ |R]{z}
• Ist also |Ri = |R] gefordert, folgt
⇔
⇔
xRz
∀y.xRy ⇒ y = z
xRz ⇔ ∀y.xRy ⇒ y = z
• Das besagt gerade, da R eine deterministische Relation sein mu, unter der jedes Element h
ochstens mit
einem in Beziehung steht.
• F
ur das konkrete Modell der Ablaufe mit s a t ⇔ t = s1 ist das tatsachlich gegeben.
• Will man ausdr
ucken, da tatsachlich nur unendliche Ablaufe betrachtet werden sollen, so fordert man,
da a linkstotal ist,
• d.h. man fordert pa = 1, denn dann hat jeder Ablauf einen Nachfolger unter a.
• Nun gilt aber
pa = 1 ⇔ |ai1 = 1 ⇔ |= |ai1 ⇔ |= true
wenn ein monomodales System betrachtet wird.
• Also kann man Modell mit ausschlielich unendlichen Ablaufen durch die Formel true charakterisieren.
• Sie folgt aus dem PLTL-Axiom
(ϕ → ψ) = ϕ → ψ
indem man ϕ = ψ beliebig wahlt und verwendet, da alle aussagenlogischen Tautologien Axiome von
PLTL sind.
Wir zeigen nun sogar, da die Bedingung pa = 1 aquivalent ist zum PLTL-Axiom
|ai(ϕ → ψ) = |aiϕ → |aiψ

Die Ungleichung (≤) gilt fur beliebiges a (Beweis als Ubung).
Fur (≥) rechnen wir
|aiϕ → |aiψ ≤ |ai(ϕ → ψ)
⇔ [ Denition → ]
¬||aiϕ + |aiψ ≤ |ai(¬ϕ + ψ)
f
g
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f[ Isotonie |ai ]g
¬||aiϕ ≤ |ai(¬ϕ + ψ)
⇔ f[ Rangierregel ]g
1 ≤ |aiϕ + |ai(¬ϕ + ψ)
⇔ f[ Distributivitat ]g
1 ≤ |ai(ϕ + ¬ϕ + ψ)
⇔ f[ Boolesche Algebra ]g
1 ≤ |ai1
⇔ f[ Denition Diamant ]g
⇔
1 ≤ pa
Aus den Sterngesetzen folgen die Rekursionsgleichungen
ϕ Uψ = ϕ + |ϕ · ai(ϕ Uψ)
F ϕ = ϕ + |ai(F ϕ)
G ϕ = ϕ · |a](G ϕ)
Davon ist die erste ein Teil der Standardaxiomatisierung von PLTL.
Ein weiteres ableitbares Gesetz ist die Induktionsregel von PLTL:
|a∗ ](ϕ → |a]ϕ) ≤ |a∗ ](ϕ → |a∗ ]ϕ)
Insgesamt gilt
Satz 1 Die PLTL-Axiome ¬ϕ = ¬ϕ und (ϕ → ψ) = ϕ → ψ lassen sich in modaler Kleene-Algebra
ausdrucken; alle ubrigen Standardaxiome fur PLTL sind Theoreme der modalen Kleene-Algebra.
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