Klausur Mathematik I (Analysis) - Hochschule Ravensburg

Hochschule Ravensburg-Weingarten
Prof. E. Löhmann
Klausur Mathematik I (Analysis)
Semester:
Bearbeitungszeit:
Hilfsmittel:
Punkteverteilung:
AI1 und WP1 Wintersemester 10/11, 15.02.11
60 Minuten
alle zugelassenen Hilfsmittel
angegebene Zahlen sind Richtwerte (ohne Gewähr)
Lösen Sie die Aufgaben soweit möglich auf dem Aufgabenblatt
Aufgabenblatt bitte nicht vor Beginn der
Klausur umdrehen
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Aufgaben und Punkte (max)
Aufgabe 1
10 Punkte
Aufgabe 2
10 Punkte
Aufgabe 3
12 Punkte
Aufgabe 4
8 Punkte
Summe
Punkte Student(in)
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Aufgabe 1 (10 Punkte)
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daß für alle n ∈ N gilt:
n+1
(−1) · k = (−1) ·
2
k=1
n
X
k
2
n
Im Induktionsschritt ist deutlich zu machen, was zu zeigen ist!
n
Zur Erinnerung:
ist wie folgt definiert:
k
n
n(n − 1)(n − 2) · ... · (n − (k − 1))
:=
1 · 2 · 3 · ... · k
k
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Aufgabe 2 (10 Punkte)
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
∞
X
(−1)k
1
· k2
k=1 3k
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Aufgabe 3 (12 Punkte)
Berechnen Sie den folgenden Grenzwert
lim
n→∞
√
n2 + 4n + 1 −
√
n2 + 1
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Aufgabe 4 (8 Punkte)
Aus einem quadratischem Pappkarton mit einer Seitenlänge von 60cm werden an den Ecken kleine
Quadrate herrausgeschnitten. Die überstehenden Seiten werden hochgebogen wodurch eine nach
oben offene Schachtel entsteht. Wie groß müssen die ausgeschnittenen Quadrate sein, damit eine
Schachtel mit möglichst großem Rauminhalt entsteht. Wieviel Inhalt hat die Schachtel dann?
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