Probeklausur

Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 1
[20 Punkte]
Es sei E ⊂ R3 die durch A = (2, −1, 1), B = (4, 1, 1), C = (1, 2, 3) gegebene Ebene.
Bestimme in einer Grund- und Aufriss-Zeichnung die Schnittgeraden von E mit den
Projektionsebenen.
Probeklausur – Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2014
Blatt 1
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 2
[20 Punkte]
Für ein ebenes Dreieck mit den Seiten a, b, c und Winkeln α, β und γ gelte:
• Die Seiten a und b haben Länge 2 und 3.
• Für den gegenüberliegenden Winkel γ zwischen a und b gilt cos γ = − 41 .
i) Berechne die Länge der Seite c.
ii) Berechne sin α und sin β.
iii) Berechne die Längen der Höhe hc auf c.
Probeklausur – Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2014
Blatt 2
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 3
Ein Dreieck auf einer Sphäre mit Radius 1 habe eine Seite der Länge
Länge π3 . Der von den Seiten eingeschlossene Winkel sei π2 .
[20 Punkte]
π
2
und eine der
a) Welche Länge hat die dritte Seite?
b) Wie groß sind die übrigen Winkel?
c) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
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Blatt 3
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Matrikelnr.:
Aufgabe 4
[20 Punkte]
Sei P die Parabel mit Gleichung y = x2 . Finde die Koordinaten des Brennpunkts F
und die Gleichung der Leitgerade l dieser Parabel.
Hinweis: Begrunde zuerst, dass ein a > 0 existiert, sodass F = (0, a) und l =
{y = −a} gilt.
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Blatt 4
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Matrikelnr.:
Aufgabe 5
[20 Punkte]
Entscheiden Sie (ohne Begründung), ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Für jede richtige Antwort gibt es +2 Punkte, für jede falsche Antwort −2 Punkte.
Dabei kann man für diese Aufgabe keine negative Gesamtpunktzahl erhalten.
wahr
falsch
1.) Ein Rechteck, das nicht senkrecht auf der Grundrissebene steht,
erscheint im Grundriss als Parallelogramm.
2.) Es existiert ein sphärisches Dreieck mit Winkeln π3 ,
π
3
und π2 .
3.) Seien ABC und A′ B ′ C ′ zwei ebene gleiseitige Dreiecke. Die
Schnittpunkte AB ∩ A′ B ′ , AC ∩ A′ C ′ und BC ∩ B ′ C ′ liegen immer
auf der gleichen Gerade.
4.) Die Menge {(x, y) ∈ R2 | x2 − y 2 = 0} ist ein Punkt.
5.) Seien D1 , D2 und D3 drei Geraden in einer affinen Ebene. Falls
D1 ||D2 und D2 ||D3 gilt, dann gilt D1 ||D3 .
6.)
π Sei x ∈ R, sodass cos x = sin x gilt. Dann gilt x ∈
+ kπ| k ∈ Z .
4
7.) Zwei Großkreise schneiden sich in antipodischen Punkten.
8.) Seien H eine Hyperbel und D eine Gerade, die sich in genau
einem Punkt P schneiden. Dann ist D die Tangente von H im
Punkt P .
9.) Ein Lichtstrahl, der vom Mittelpunkt einer Ellipse ausgeht, wird
an der Ellipse zurck zum Mittelpunkt der Ellipse reflektiert.
10.) Seien D1 und D2 zwei Geraden in einer endlichen affinen Ebene.
Dann haben D1 und D2 die gleiche Anzahl von Parallelen.
Probeklausur – Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2014
Blatt 5