Probeklausur Geometrie

Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 1
[20 Punkte]
Es seien A = (2, 1, 1), B = (4, 6, 4), C = (3, 5, 2) und D = (5, 2, 2) Punkte im R3 .
Stellen Sie anhand einer Grund- und Aufriss-Zeichnung fest, ob sich die Geraden AB
und CD schneiden.
Probeklausur – Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2012
Blatt 1
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 2
[20 Punkte]
Für ein ebenes Dreieck mit den Winkeln α, β, γ gelte:
• Die Seite c gegenüber von γ hat Länge 14.
√
• sin(α) =
2
,
2
sin(β) =
3
5
und sin(γ) =
√
7 2
.
10
Berechnen Sie die Längen der anderen beiden Seiten, sowie die Länge der Höhe hc
auf c.
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Blatt 2
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 3
[20 Punkte]
Ein Dreieck auf einer Sphäre mit Radius 1 habe zwei Seiten der Längen
Der von den Seiten eingeschlossene Winkel sei π2 .
π
2
und
π
.
4
a) Wie groß sind die übrigen Winkel?
b) Welche Länge hat die dritte Seite?
c) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
Hinweis: Betrachten Sie nur den Fall, dass alle Winkel und Seiten im Dreieck kleiner
als π sind.
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Blatt 3
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 4
[20 Punkte]
Sei a ∈ R. Bestimmen Sie für welche a ∈ R der Kegelschnitt
x2 + ay 2 = 1
eine Ellipse, eine Hyperbel, eine Parabel oder entartet ist.
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Blatt 4
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 5
[20 Punkte]
Entscheiden Sie (ohne Begründung), ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Für jede richtige Antwort gibt es +2 Punkte, für jede falsche Antwort −2 Punkte.
Dabei kann man für diese Aufgabe keine negative Gesamtpunktzahl erhalten.
wahr
falsch
1.) Die Grundrisse zweier senkrecht aufeinander stehender
räumlicher Geraden stehen senkrecht aufeinander.
2.) Bei der Parallelprojektion bleiben Längenverhältnisse von parallelen Strecken erhalten.
3.) Es gibt räumliche Geraden, die im Aufriss als Punkt erscheinen.
4.) Es gibt ein sphärisches Dreieck mit Winkeln
π
2
und
2π
.
3
5.) Es gibt (bis auf Kongruenz) genau ein ebenes Dreieck mit einer
Seite der Länge a = 34 , gegenüberliegendem Winkel α = π6 und
einer weiteren Seite mit Länge c = 1.
6.) Sei g eine Gerade und P ein Punkt im R2 . Die Menge der Punkte
Q ∈ R2 für die Qg = 2 · QP gilt, liegen auf einer Ellipse. (Hierbei
ist Qg der Abstand von Q zu g.)
7.) Durch zwei beliebige Punkte einer Kugel geht genau eine
sphärische Gerade.
8.) Es gibt eine affine Ebene mit genau 20 Punkten.
9.) Jede Parabel hat zwei Leitlinien.
10.) In einer endlichen affinen Ebene hat jede Gerade gleich viele
Punkte.
Probeklausur – Modulteilprüfung Geometrie, SoSe 2012
Blatt 5