Modulteilprüfung Lineare Algebra L2M-GL/L5M
Werbung
Modulteilprüfung Lineare Algebra
L2M-GL/L5M-GL
Sommersemester 2015
Universität Frankfurt
FB 12, Institut für Mathematik
Dr. Andreas Maurischat
13.07.2015
Dauer: 90 Minuten
Hilfsmittel: Stifte und ein zweiseitig handbeschriebenes DinA4-Blatt
Bestehen: Zum Bestehen der Klausur sind 50 Punkte hinreichend.
Bearbeitung: Verwenden Sie für jede Aufgabe ein gesondertes Blatt und beschriften
Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Füllen Sie auch beide
Deckblätter aus.
Beantworten Sie die Fragen in dem dafür vorgesehenen Bereich auf den Aufgabenblättern.
Wenn der Platz nicht ausreicht, schreiben Sie auf der Rückseite weiter.
Wenn Sie zusätzliche Blätter verwenden, müssen diese ebenfalls mit Ihrem Namen und
Ihrer Matrikelnummer versehen werden. Bitte geben Sie die Anzahl der zusätzlich verwendeten Blätter unten an.
Wenn nicht anders angegeben, sind alle Antworten zu begründen!
Dies ist eine letztmalig wiederholte Klausur und daher nach Teil III, Abschnitt 2, §15
(9) der Lehramtsstudienordnung von zwei Prüfenden zu bewerten.
Name
Matrikelnr.
1
2
Viel Erfolg!
3
4
5
Bonus
P
Modulteilprüfung Lineare Algebra
L2M-GL/L5M-GL
Sommersemester 2015
Universität Frankfurt
FB 12, Institut für Mathematik
Dr. Andreas Maurischat
13.07.2015
Dauer: 90 Minuten
Hilfsmittel: Stifte und ein zweiseitig handbeschriebenes DinA4-Blatt
Bestehen: Zum Bestehen der Klausur sind 50 Punkte hinreichend.
Bearbeitung: Verwenden Sie für jede Aufgabe ein gesondertes Blatt und beschriften
Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Füllen Sie auch beide
Deckblätter aus.
Beantworten Sie die Fragen in dem dafür vorgesehenen Bereich auf den Aufgabenblättern.
Wenn der Platz nicht ausreicht, schreiben Sie auf der Rückseite weiter.
Wenn Sie zusätzliche Blätter verwenden, müssen diese ebenfalls mit Ihrem Namen und
Ihrer Matrikelnummer versehen werden. Bitte geben Sie die Anzahl der zusätzlich verwendeten Blätter unten an.
Wenn nicht anders angegeben, sind alle Antworten zu begründen!
Dies ist eine letztmalig wiederholte Klausur und daher nach Teil III, Abschnitt 2, §15
(9) der Lehramtsstudienordnung von zwei Prüfenden zu bewerten.
Name
Matrikelnr.
1
2
Viel Erfolg!
3
4
5
Bonus
P
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 1
[20 Punkte]
Bestimmen Sie mit dem Gauß-Verfahren in Abhängigkeit von a ∈ R die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems:
x− y− z = 1
−2x + 3y + 2z = a
3x − 3y − 3z = a
Modulteilprüfung Lineare Algebra L2M-GL/L5M-GL, SoSe 2015
Blatt 1
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 2
[20 Punkte]
Sei die Abbildung f : R3 → R2 gegeben durch
x
x
x
−
y
y 7→ f y =
.
y − 2z
z
z
(a) Zeigen Sie, dass f linear ist und bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f .
(b) Bestimmen Sie den Rang von f .
(c) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von f .
Modulteilprüfung Lineare Algebra L2M-GL/L5M-GL, SoSe 2015
Blatt 2
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 3
[20 Punkte]
3
1
−1
1
2
0
1
Die Ebene
E
⊂
R
enthalte
die
Punkte
A
=
,
B
=
und C =
2 1 2 .
(a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalenform von E.
(b) Bestimmen Sie alle Punkte auf der x-Achse, die von E den Abstand 2 haben.
Modulteilprüfung Lineare Algebra L2M-GL/L5M-GL, SoSe 2015
Blatt 3
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 4
[20 Punkte]
Gegeben sei die (2 × 2)-Matrix
4 3
A=
,
3 −4
sowie die lineare Abbildung f : R2 → R2 , x 7→ Ax.
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von f .
(b) Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert von f einen Eigenvektor.
(c) Zeigen Sie, dass für alle Vektoren v, w ∈ R2 die Gleichheit
hf (v), f (w)i = 5 · hv, wi
gilt.
(d) Folgern Sie, dass die Abbildung f alle Winkel erhält.
Modulteilprüfung Lineare Algebra L2M-GL/L5M-GL, SoSe 2015
Blatt 4
Name:
Matrikelnr.:
Aufgabe 5
[20 Punkte]
Entscheiden Sie (ohne Begründung), ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Für jede richtige Antwort gibt es +2 Punkte, für jede falsche Antwort −2 Punkte.
Dabei kann man für diese Aufgabe keine negative Gesamtpunktzahl erhalten.
wahr
falsch
Ein lineares Gleichungssystem Ax = b, dass mehr Gleichungen als
Variablen hat, besitzt keine Lösung.
Die Menge {(x, y) ∈ R1 | x = −y} ist ein Untervektorraum von R2 .
Jede lineare Abbildung f : R3 → R1 ist surjektiv.
Die lineare Abbildung f : R2 → R2 , x 7→ ( 10 11 ) x ist bijektiv.
Die Matrix
√1
2
2
( 11 −1
1 ) beschreibt eine Drehung im R .
Das zu σ = (1324) inverse Element in S4 ist (1423).
Die positiven reellen Zahlen bilden eine Untergruppe der Gruppe
(R∗ , ·).
1 −1
Die inverse Matrix zu ( 11 12 ) ist −1
2 .
Die Symmetriegruppe einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat 4 Elemente.
1
1
1
Die Vektoren 1 , 1 und 1 ∈ R3 sind linear unabhängig.
1
2
3
Modulteilprüfung Lineare Algebra L2M-GL/L5M-GL, SoSe 2015
Blatt 5
