Wahrscheinlichkeitsrechnung

Inhalt
A Grundlegende Begriffe
6
1 Zufallsexperimente und Ereignisse
Aufgaben
6
10
2 Relative Häufigkeit und abstrakter ­­Wahr­schein­lichkeitsbegriff
Aufgaben
13
16
3 Laplace´scher Wahrscheinlichkeitsbegriff
Aufgaben
17
18
B Berechnung von ­Wahrschein­lichkeiten
19
1 Pfadregeln für Wahrscheinlichkeiten
Aufgaben
19
22
2 Abzählverfahren (Kombinatorik)
Aufgaben
27
33
3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
Augaben
39
44
C Beschreibende Statistik
50
1 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Aufgaben
50
54
2 Maßzahlen von Zufallsgrößen
Aufgaben
55
58
D Spezielle Wahrscheinlichkeits­verteilungen
60
1 Bernoulli-Kette und Binomialverteilung
Aufgaben
60
65
2 Grenzwertsätze von Moivre-Laplace und Normalverteilung
Aufgaben
69
75
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E Beurteilende Statistik
77
1 Alternativtests
77
2 Signifikanztests
Aufgaben
80
84
Lösungen
Stichwortverzeichnis
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88
155
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A Grundlegende Begriffe
1
Zufallsexperimente und Ereignisse
Ein Zufallsexperiment besteht aus der wiederholten Durchführung eines
Zufallsversuchs. Bei einem Zufallsversuch können verschiedene Ergebnisse
(Schreibweise: kleines Omega z1, z2, z3 …) auftreten, die alle vom Zufall
abhängen.
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bilden zusammen den
Ergebnisraum bzw. die Ergebnismenge des Zufallsexperiments. Schreibweise:
großes Omega Ð, 1Ð1 = Anzahl der Elemente, d.h. Mächtigkeit des
Ergebnisraums.
Fasst man mehrere einzelne Ergebnisse zu einer Teilmenge E von Ð zusammen, spricht man von einem Ereignis E. Das Ereignis E „tritt ein“, falls ein
Ergebnis z mit z * E auftritt.
Die Menge aller Ereignisse von Ð heißt Ereignisraum. Der Ereignisraum
besteht aus 21Ð1 Ereignissen, es handelt sich um eine Menge aus Mengen.
Sonderfälle von Ereignissen: Das Ereignis \ heißt unmögliches Ereignis, das
Ereignis Ð heißt sicheres Ereignis.
Ereignisse erfordern oft eine Umsetzung umgangssprachlicher Aussagen in die
Mengenschreibweise. Hier einige gängige Formulierungen:
Umgangssprache / Ereignissprache
Alle Ergebnisse aus V, die nicht in
A sind: Gegenereignis zu A oder
Komplement von A.
Mengenschreibweise
}
A = V \ A
Mengen-(Venn-)Diagramm
V
A
Sowohl Ereignis A als auch
Ereignis B tritt ein.
A>B
Mindestens eines der Ereignisse A
oder B tritt ein.
A<B
V
A
B
V
A
B
6
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1 Zufallsexperimente und Ereignisse
Keines der beiden Ereignisse A
oder B tritt ein.
Höchstens eines der beiden
Ereignisse A oder B tritt ein; nicht
beide gleichzeitig.
Genau eines von beiden
Ereignissen tritt ein.
}}}
A < B​ =
} }
= A​
​ > B​
​ (Gesetze von
De Morgan)
}}}
A > B​ =
} }
= A​
​ < B​
​ (Gesetze von
De Morgan)
}
}
​ ) < (​A​ > B)
(A > B​
V
A
B
V
A
B
V
A
B
Außerdem werden die Gesetze der Mengenalgebra angewendet.
Beispiele
1.Eines der bekanntesten und einfachsten Zufallsexperimente ist das „Werfen einer Münze“, bei dem nur die beiden Ergebnisse v1: = „Wappen“
oder v2: = „Zahl“ auftreten können. Dabei schließt man aus, dass die
Münze auf dem Rand stehen bleibt. Dieser Zufallsversuch ist beliebig oft
wiederholbar.
Gefragt sind Ergebnis- und Ereignisraum sowie deren Mächtigkeit.
Lösung
Ergebnisraum: V = {v1; v2}
oder mit W: = „Wappen“ und Z: = „Zahl“: V = {W; Z}
Mächtigkeit des Ergebnisraumes: |V| = 2
Anzahl der Ereignisse: 2|V| = 22 = 4
Ereignisraum: {\ ;{W}; {Z};{W; Z}}
2.In einem zweistufigen Zufallsexperiment werden zunächst eine Münze und
danach ein Würfel geworfen. Gesucht sind alle möglichen Ergebnisse und
die Mächtigkeit von Ergebnis- und Ereignisraum.
Lösung
Zum übersichtlichen Erfassen aller Ergebnisse eines mehrstufigen Zufalls­
ex­peri­ments eignet sich besonders gut ein Baumdiagramm bzw. Ergebnisbaum:
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A Grundlegende Begriffe
Z
W
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6














Werfen
einer
Münze
Werfen
eines
Würfels
Entspricht dem Ergebnis „(W, 2)“.
Ein mögliches Ergebnis wäre z1=„(W, 1)“, d.h. die Münze zeigt „Wappen“,
der Würfel die Augenzahl „1“.
Ergebnisraum:V = {(W,1); (W,2); (W,3); (W,4); (W,5); (W,6);
(Z,1); (Z,2); (Z,3); (Z,4); (Z,5); (Z,6)} =
= {(a,b) | a [ {W,Z} ` b [ {1; 2; 3; 4; 5; 6}}
Mächtigkeit: |V| = 12; Mächtigkeit des Ergebnisraums: 212 = 4096
Hinweis: Falls Missverständnisse nicht zu erwarten sind, wird künftig z.B.
anstelle von „(W, 5)“ nur noch kurz „W5“ geschrieben.
3.In einer Urne befinden sich drei gleichartige Kugeln in den Farben rot (r),
grün (g) und blau (b). Gesucht ist der Ergebnisraum und seine Mächtigkeit,
falls
a) zwei Kugeln hintereinander mit Zurücklegen,
b) zwei Kugeln hintereinander ohne Zurücklegen,
c) zwei Kugeln gleichzeitig gezogen werden.
Lösung
a)Falls Kugeln hintereinander gezogen werden, wird in der Regel
auch deren Reihenfolge berücksichtigt. Damit ist etwa „rg“ (es wird
zunächst eine rote und dann eine grüne Kugel gezogen) ein von „gr“
(es wird zunächst eine grüne und dann eine rote Kugel gezogen) zu
unterscheidendes Ergebnis. Für den Ergebnisraum und seine Mächtigkeit ergeben sich damit:
V = {rr; rg; rb; gg; gr; gb; bb; br; bg}; |V| = 9
b)Da die Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, kann dieselbe
Kugel kein zweites Mal gezogen werden. Für den Ergebnisraum und
seine Mächtigkeit ergeben sich damit:
V = {rg; rb; gr; gb; br; bg}; |V| = 6
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1 Zufallsexperimente und Ereignisse
c)Bei gleichzeitigem Ziehen von zwei Kugeln kann jede Kugel nur einmal
gezogen werden. Dabei wird die Reihenfolge nicht beachtet, womit
z.B. „br“ und „rb“ dasselbe Ergebnis darstellen. Für den Ergebnisraum
und seine Mächtigkeit ergeben sich damit:
V = {{r; g}; {r; b}; {g; b}}; |V| = 3
4.Die Mengen E, F und G seien Ereignisse. Gesucht ist eine möglichst kurze
Mengenschreibweise für folgende Aussagen:
a) „Höchstens zwei der drei Ereignisse treten ein“.
b) „Genau zwei der drei Ereignisse treten ein“.
Lösung
a)Die Aussage ist erfüllt, falls keins, eins oder zwei von den drei Ereignis­
sen E, F oder G eintreten. Dies umfasst alle Möglichkeiten außer der
Situation, in der alle drei Ereignisse eintreten. Eine gleichwertige Aussa­
ge wäre demnach: „Es treten nicht alle drei Ereignisse gleichzeitig ein.“
}}}} } } }
In der Mengenschreibweise: ​E " F " G​ = E​
​ : F​
​ : G​
​ .
b)Es gibt drei Möglichkeiten für die Erfüllung der Aussage: Es treten nur
E und F ein (und nicht gleichzeitig G) oder E und G (F nicht) oder F und
G (E nicht).
}
}
}
In der Mengenschreibweise: (E " F " G​
​ ) : (E " F​
​ " G) : (​E​ " F " G).
}
}}}}
5.Vereinfache (​}
X​ " Y​
​ " Z) : (​X : Y : Z​ ) soweit wie möglich und formuliere
die durch die Mengenschreibweise festgelegte Aussage vor und nach der
Vereinfachung in der Umgangssprache.
Lösung
} }
}}}}
(​X​ " Y​
​ " Z) bedeutet, dass nur Z eintritt. (​X : Y : Z​ ) bedeutet, dass keines der drei Ereignisse X, Y oder Z eintritt. Insgesamt erhält man damit die
Aussage: „Nur Z oder keines der drei Ereignisse tritt ein“.
Vereinfachung:
} }
}}}}
} }
} } }
(​X​ " Y​
​ " Z) : (​X : Y : Z​ ) = (​X​ " Y​
​ " Z) : (​X​ " Y​
​ " Z​
​ ) } }
}
} }
} } }}}
= (​X​ " Y​
​ ) " (Z : Z​
​ ) = (​X​ " Y​
​ ) " V = X​
​ " Y​
​ = X
​ : Y​ }}}
Der Ausdruck X
​ : Y​ bedeutet: „Keines der beiden Ereignisse X oder Y tritt
ein“. Da zum Ereignis Z keine Aussage getroffen wird, kann Z eintreten
oder auch nicht. Damit ist diese Aussage insgesamt gleichwertig mit der
eingangs formulierten.
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A Grundlegende Begriffe
Aufgaben
1.Es soll das Geschlecht von neugeborenen Drillingen registriert werden, dabei wird
die Reihenfolge während der Geburt festgehalten. Finden Sie einen geeigneten
Ergebnisraum und geben Sie seine Mächtigkeit an.
2. In einer Urne befinden sich 1 rote, 2 schwarze und 1 grüne Kugel.
a)Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und geben Sie den Ergebnisraum und seine
Mächtigkeit an.
b)Geben Sie den Ergebnisraum an, wenn alle 3 Kugeln gleichzeitig gezogen
werden.
3.
1 
L
L
Start
R
2
L
3
4
5







 Ziel








Eine Kugel rollt in dem dargestellten Wegenetz auf dem kürzesten Weg vom Start
in eines der fünf Ziele. An jedem Verzweigungspunkt wird die eingeschlagene
Richtung mit „L“ für den linken Weg und mit „R“ für den rechten Weg bezeichnet.
Ein möglicher Kugellauf zum Ziel 2 kann mit dem 4-Tupel LRLL beschrieben werden.
Geben Sie die Menge der 4-Tupel an, die zu folgenden Ereignissen führen:
Ai: = „Die Kugel rollt in das Ziel i.“
i [ {1; 2; 3; 4; 5}
4. Maria und Thomas gehen auf den Rummelplatz. Bei zwei Würfelbuden W1 und
W2 sind die Spielregeln unterschiedlich. Es wird jeweils mit zwei idealen Würfeln
geworfen.
Bei W1 gewinnt man, wenn die Augensumme größer als 8 ist. Bei W2 gewinnt
man, wenn die Augensumme durch 3 teilbar ist.
Man betrachtet folgende Ereignisse:
W1: = „Man gewinnt bei Würfelbude W1.“
W2: = „Man gewinnt bei Würfelbude W2.“
Untersuchen Sie, ob eine Würfelbude der anderen vorzuziehen ist, indem Sie
jeweils alle Ergebnisse angeben, die zu den Ereignissen W1 und W2 gehören.
10
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1 Zufallsexperimente und Ereignisse
5. Eine Urne enthalte 1 gelbe (g), 1 weiße (w) und 2 blaue (b) Kugeln. Ein Zufalls­
experi­ment liefert folgenden Ergebnisraum V:
V = {g; bg; wg; bbg; bwg; wbg; bbwg; bwbg; wbbg}
Welches Zufallsexperiment führt zu diesem Ergebnisraum?
6.Geben Sie für das Zufallsexperiment „Zweimaliges Werfen einer Münze“
Ergebnisraum, Mächtigkeit des Ergebnisraums, Anzahl der Ereignisse und den
Ereignisraum an.
7.A, B und C seien Ereignisse. Geben Sie eine möglichst kurze
Mengenschreibweise für folgende umgangssprachlichen Aussagen:
a) Keines der drei Ereignisse tritt ein.
b) Nur A tritt ein.
c) Nur A und B treten ein.
d) Alle drei Ereignisse treten ein.
e) Mindestens eines der drei Ereignisse tritt ein.
f) Mindestens zwei der drei Ereignisse treten ein.
g) Höchstens eines der drei Ereignisse tritt ein.
h)Genau zwei der drei Ereignisse treten ein und zwar entweder A und C oder
B und C.
8. Interpretieren Sie folgende Ereignisse in der Umgangssprache:
}
}
}
a)​A​ < B​
​ < C​
​ }}}}}
b)​A < B < C​ }
}
}
}
}
}
c) (A > B​
​ > C​
​ ) < (​A​ > B > C​
​ ) < (​A​ > B​
​ > C)
9. Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
}}}
a) A < (​A > B​ )
}
b) (​A​ > B) < A
}
c) (A < B​
​ ) > (A < B)
}
d) (A > B) < (​A​ > B)
}
}
e)​A​ > [(A > B) < (A > B​
​ )]
}
f) (A > B > C​
​ ) < (A > B > C)
10. In einer Urne befinden sich 4 weiße, 5 schwarze und 3 gelbe Kugeln. Bei einem
Zufallsexperiment wird eine Kugel gezogen. Ihre Farbe wird notiert (w, s oder g)
und die Kugel wird nicht in die Urne zurückgelegt. Anschließend wird eine zweite
Kugel gezogen und deren Farbe notiert.
a)Bestimmen Sie für dieses Experiment einen geeigneten Ergebnisraum. Stellen
Sie alle möglichen Ergebnisse in einem Baumdiagramm dar.
}
b)Gegeben ist das Ergebnis E = {ww; ss; gg}. Formulieren Sie E und ​E​ in der
Umgangssprache.
11
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A Grundlegende Begriffe
c) Weiter sind folgende Ereignisse gegeben:
A: „Die zuerst gezogene Kugel ist schwarz.“
B: „Die als zweite gezogene Kugel ist gelb.“
}
}}}
Formulieren Sie die Ereignisse A > B​
​ und ​A < B​ in der Umgangssprache
und geben Sie die zugehörigen Ergebnisse an.
11. Ein Würfel trägt auf seinen sechs Flächen die Zahlen 1; 1; 4; 4; 6; 6. Der
Würfel wird dreimal hintereinander geworfen.
a) Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum V an.
b) Folgende Ereignisse sind gegeben:
A: = „Es wird mindestens eine 1 geworfen.“
B: = „Es wird höchstens eine 1 geworfen.“
Beschreiben Sie folgende Verknüpfungen von Ereignissen mit Worten und
geben Sie die dazugehörigen Einzelergebnisse an:
}}}
}
A > B; ​A > B​ ; A > B​
​ . 12
02_Korr_3087.indd 12
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2
Relative Häufigkeit und abstrakter
Wahrscheinlichkeitsbegriff
Für einen beliebig oft wiederholbaren Zufallsversuch wird das Eintreten des
Ereignisses A betrachtet:
Tritt ein Ereignis A bei n Versuchen k - mal ein, dann heißt
k
hn (A) : = } } relative Häufigkeit von A.
n
Eigenschaften der relativen Häufigkeit:
a) 0 ª hn(A) ª 1
b) hn (\) = 0
}
c) hn(V) = 1
d) hn(A) + hn(A
A)) = 1
e) hn(A : B) = hn(A) + hn(B) – hn(A " B), wobei hn(A " B) = 0, falls A und B
unvereinbar; A und B sind unvereinbar ⇔ A " B = \
Die Erfahrungen haben gezeigt, dass sich bei zunehmender Anzahl von Versuchen die
relative Häufigkeit um einen festen Wert stabilisiert. Diese Erfahrungstatsache nennt man
„Das empirische Gesetz der großen Zahlen“.
Der Wert der Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A lässt sich allerdings nicht
über P(A) := nlim
h (A) definieren, da es sich nicht um einen mathematischen Grenz→` n
wertprozess handelt.
Aus den Erfahrungen über die relative Häufigkeit hat der russische Mathematiker
Kolmogorow ein mathematisches Modell für den „abstrakten Wahrscheinlichkeitsbegriff“ konstruiert.
Es wird vorausgesetzt, dass für jedes Ereignis A die Wahrscheinlichkeit
P(A) existiert. Dazu werden grundlegend erscheinende Eigenschaften und
Beziehungen der Wahrscheinlichkeit als gültig postuliert, die so genannten
Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Axiom I: P(A) º 0
Axiom II: P(V) = 1
Axiom III: P(A : B) = P(A) + P(B), falls A und B unvereinbar sind.
Folgerungen
(Sie ergeben sich analog zu den Eigenschaften der relativen Häufigkeit.)
}
A)) = 1
a) P(\) = 0
b) P(A) + P(A
c) P(A : B) = P(A) + P(B) – P(A " B) („Formel von Sylvester“).
13
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A Grundlegende Begriffe
Beispiele
1.Auf einer Maschine werden Bolzen gefertigt, deren Länge und Dicke innerhalb be­stimm­ter Toleranzgrenzen liegen darf.
Von 400 Bolzen sind 380 in Bezug auf ihre Länge innerhalb der Toleranzgrenzen, be­züglich der Dicke erfüllen 36 nicht die gesetzte Norm. 352 Bolzen erfüllen sowohl bei der Länge als auch bei der Dicke die Normen. Wie
groß ist die relative Häufigkeit für Bolzen, die
a) bzgl. der Dicke ihre Norm erfüllen,
b) mindestens eine der beiden Normen erfüllen,
c) weder bzgl. Länge noch bzgl. Dicke die Norm erfüllen,
d) bzgl. der Länge die Norm erfüllen, nicht aber bzgl. der Dicke?
Lösung
Folgende Ereignisse werden verwendet:
L: „Ein Bolzen erfüllt die Längenkriterien.“
D: „Ein Bolzen erfüllt die Kriterien bzgl. der Dicke.“
}
36
364
= 1 – h400(​D​ ) = 1 – ​ } ​ = } ​ ​ = 91%.
400
400
a) h400(D)
b)h400(D : L) = h400(D) + h400(L) – h400(L " D) = ​364
​ + 380
​ ​ – 352
​ ​ = 392
​ ​ = 98%.
} } } } 400
400
400
400
} }
}}}
c) h400(​D​ " L​
​ ) = h400(​D : L​ ) = 1 – h400(D : L) = 1 – 392
​ ​ = } ​ 8 ​= 2%.
} 400
400
}
}
} }
d) h400(L " D​
​ ) = h400(​D​ ) – hn(​D​ " L​
​ ) = } ​ 36 ​– } ​ 8 ​= } ​ 28 ​= 7%.
400 400
400
Alle Teilaufgaben können auch mit einer sogenannten Vierfeldertafel
gelöst bzw. verifiziert werden:
D
}
​ D​
L
L>D
352
​400 ​= 88%
} }
L > D​
​ 7%
}
L​
​ }
L​
​ > D
3%
}
}
LL​
​ > D​
​ 2%
91%
36
​ } ​ =
400
9%
380
​} ​ =
400
95%
5%
100%
Die farbig gedruckten Werte erhält man folgendermaßen aus den gegebenen Werten: Die Werte von zwei nebeneinander bzw. untereinander
liegenden Feldern ergeben jeweils addiert den außen stehenden Wert. Die
Werte aller vier Felder zusammen oder auch die zwei Werte an je einer
Außenseite ergeben jeweils 100%.
14
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21.12.2007 12:05:52
2 Relative Häufigkeit und abstrakter ­­Wahr­schein­lichkeitsbegriff
}
}
2.Für zwei Ereignisse A und B ist gegeben: P(B) = 0,7; P(​A​
) = 0,65; P(A " B​
​ ) =
0,2. Mithilfe einer Vierfeldertafel sollen die Wahrscheinlichkeiten P(A),
}
} }
}
}
P(A " B), P(​A​ " B), P(​A​ " B​
​ ), P(B),
P(A : B) und P(A : B​
​ ) berechnet werden. Die letzten beiden Wahrscheinlichkeiten sind zusätzlich durch die
­Formel von Sylvester zu bestätigen.
Lösung
A
B
P(A > B)
}
B​
​ P(A " ​B)​ =
0,2
P(A)
}
A​
​ }
P(​A​ > B)
} }
​ ) P(​A​ > B​
P(B) = 0,7
}
P(​B​) Die gegebenen Wahrscheinlichkeiten sind in der
Vierfeldertafel fett eingetragen.
}
P(​A​ ) = 0,65
Daraus ergeben sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:
}
P(A) = 1 – P(​A​ ) = 1 – 0,65 = 0,35
}
P(A " B) = P(A) – P(A " B​
​ ) = 0,35 – 0,2 = 0,15
}
P(​A​ " B) = P(B) – P(A " B) = 0,7 – 0,15 = 0,55
} }
}
}
P(​A​ " B​
​ ) = P(​A​) – P(​A​ " B) = 0,65 – 0,55 = 0,1
}
P(​B​) = 1 – P(B) = 1 – 0,7 = 0,3
}
P(A : B) = P(A) + P(​A​ " B) = 0,35 + 0,55 = 0,9
Bestätigung durch Sylvester-Formel:
P(A : B) = P(A) + P(B) – P(A " B) = 0,35 + 0,7 – 0,15 = 0,9
}
} }
P(A : B​
​ ) = P(A) + P(​A​ " B​
​ ) = 0,35 + 0,1 = 0,45
Bestätigung durch Sylvester-Formel:
}
}
}
P(A : B​
​ ) = P(A) + P(​B​) – P(A " B​
​ ) = 0,35 + 0,3 – 0,2 = 0,45
15
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21.12.2007 12:05:52
A Grundlegende Begriffe
Aufgaben
12.Von 100 Touristen sprechen 85 Englisch, 23 Italienisch und 93 mindestens eine der beiden
Sprachen.
Wie groß ist die relative Häufigkeit der Touristen, die
a) beide Sprachen sprechen,
b) keine der beiden Sprachen sprechen,
c) Englisch, aber nicht italienisch sprechen?
13. Bei einem Spielautomaten tritt eine sogenannte „Glückszahl“ mit der Wahrschein­
lichkeit 12% auf. An einem Abend wird der Spielautomat 1998-mal betätigt.
Welche Werte darf die Anzahl der Glückszahlen nur annehmen, wenn ihre relative
Häufigkeit um weniger als 0,02 von der Eintrittswahrscheinlichkeit abweichen
soll?
14. In einem Klub mit 200 Mitgliedern (davon 128 Männer) sind 24 Frauen, die Sport
treiben. Insgesamt treiben 80 Personen keinen Sport. Die Ereignisse werden folgendermaßen definiert:
M: = „Die betreffende Person ist ein Mann“
F: = „Die betreffende Person ist eine Frau“
S: = „Die betreffende Person treibt Sport“
Formulieren Sie die folgenden Ereignisse in der Umgangssprache und berechnen
Sie ihre relative Häufigkeit (zunächst allgemein).
a) M > S
}}}
b)​M < S​ }
c)​S​ < F
15.Gegeben seien die Ereignisse A und B sowie die Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B)
und P(A > B).
Betrachtet werden folgende Ereignisse:
} }
}
}
}
A​ > B​ A​ < B
(A < B​) > (A​ < B)
}
} }
A < B
A​ > B
(A > B) < (A​ > B​) a) Veranschaulichen Sie die Ereignisse in Vierfelderdiagrammen!
b) Drücken Sie ihre Wahrscheinlichkeiten durch die gegebenen aus!
16
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3
Laplace‘scher Wahrscheinlichkeitsbegriff
Im Gegensatz zu dem abstrakten Wahrscheinlichkeitsbegriff von Kolmogorow liefert die
Laplace-Wahrscheinlichkeit konkrete Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse.
Es gilt die „Laplace – Annahme“: Alle Elementarereignisse (Ereignisse, die aus
nur einem Ergebnis bestehen) haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Sei A ein Ereignis des Ergebnisraums V und |A| die Mächtigkeit von A, dann
gilt:
Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt
llAl
Al
P(A) = } } = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
lVll
lV
lVl
Anzahl aller möglichen, gleichwahrscheinlichen Elementarereignisse
Beispiele
1. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A: „Beim einmaligen
Würfelwurf erscheint die Zahl 6“:
Lösung
A = {6}; V = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
P(A) =
lAl
1
} = } 6
lVl
2. Bei einem regulären Ikosaeder sind die 20 kongruenten Dreiecksflächen
mit den Zahlen von 1 bis 20 versehen. Jede dieser Zahlen wird also mit derselben Wahrscheinlichkeit geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
für folgende Ereignisse:
A: „Beim einmaligen Wurf mit dem Ikosaeder erscheint eine durch 3 teilbare Zahl“
B: „Beim einmaligen Wurf mit dem Ikosaeder erscheint eine Primzahl“
Lösung
V = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}
lVl = 20
6
3
lAl
A = {3; 6; 9; 12; 15; 18}
⇒ P(A) = } = } = } = 0,3 = 30%
20
10
lVl
B
= {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19} ⇒ P(B) =
8
lBl
2
} = } = } =
5
20
lVl
0,4 = 40%
17
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21.12.2007 12:05:53
A Grundlegende Begriffe
Aufgaben
16.Aus der Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 50 wird zufällig eine Zahl ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Zahl
a) durch 4 teilbar ist,
b) durch 6 teilbar ist,
c) durch 9 teilbar ist,
d) durch 4 und 6 teilbar ist,
e) durch 6 oder 9 teilbar ist?
17.Ein Würfel wird zweimal geworfen. Geben Sie |V| an und berechnen Sie die Wahr­
scheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A:„Der erste Wurf hat mindestens die Augenzahl 5, die Augenzahl des zweiten
Wurfes ist gerade.“
B: „Genau ein Wurf hat die Augenzahl 6.“
C: „Die Augensumme ist durch 4 teilbar.“
D: „Es werden zwei gleiche Augenzahlen geworfen.“
18. Ein Tetraeder trägt auf seinen Begrenzungsflächen die Zahlen 1, 2, 3 und 4. Es
gilt die Zahl als geworfen, die auf der unten liegenden Fläche steht. Es wird angenommen, dass jede Zahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit geworfen wird. Man wirft
zweimal nacheinander; dabei sind folgende Ereignisse definiert:
A:„Das Ergebnis des 1. Wurfs ist kleiner als 3 und der 2. Wurf liefert eine ungerade Zahl.“
B:„Die Summe der beiden Würfe ist gerade.“
Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten.
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Stichwortverzeichnis
A
P
Ablehnungsbereich 77
abstrakter Wahrscheinlichkeitsbegriff 13
Alternativhypothese 77
Alternativtest 77
Annahmebereich 77
Axiome der Wahrscheinlichkeits­rechnung 13
Pfadregeln 19
Produktregel 19, 40
Produktsatz 39
B
Bayes-Formel 40
bedingte Wahrscheinlichkeit 39
Bernoulli-Experiment 60
Bernoulli-Kette 60
Binomialverteilung 61
E
Ereignis 6
Ereignisraum 6
Ergebnismenge 6
Ergebnisraum 6
Ergebnisse 6
Erwartungswert 55
G
R
relative Häufigkeit 13
Risiko 1. Art 77
Risiko 2. Art 77
S
Sicherheitswahrscheinlichkeit 77
Signifikanzniveau 80
Signifikanztest 77
Standardabweichung 55
Statistik – beschreibende 50 – beurteilende 77
Stichprobe 27
stochastisch abhängig 40
stochastisch unabhängig 40
Streuung 55
Summenregel 19
Gaußsche Funktion 69
Gaußsche Integralfunktion 70
Gaußsches Integral 70
geordnete Stichprobe 27
T
H
Hypothesen 77
Unabhängigkeit 39
ungeordnete Stichprobe 27
I
V
integrale Näherungsformel von Moivre-Laplace 69
Irrtumswahrscheinlichkeit 77
Varianz 55
Verteilungsfunktion 50
L
Wahrscheinlichkeitsfunktion 50
Wahrscheinlichkeitsverteilung 50
Laplace-Wahrscheinlichkeit 17
lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace 69
M
Mengenalgebra 7
N
normal verteilt 71
Nullhypothese 77, 80
Testen von Hypothesen 77
Testverfahren 77
U
W
Z
Zählprinzip 27
Zufallsexperiment 6
Zufallsgröße 50, 55
Zufallsvariable 50
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