Erläuterungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Erläuterungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Im folgenden Text findest Du Erklärungen und Beispiele, die Dir helfen sollen, zentrale
Aspekte des bisherigen Themas noch mal aufzuarbeiten. Anhand der Aufgaben (Lösungen am
Ende) sollst Du selbst prüfen, ob Du die jeweiligen Abschnitte verstanden hast.
Beginnen wir mit einem einfachen Würfelwurf, d.h. wir werfen einen Würfel einmal!
Aufgabe 1: Wie sieht der Ergebnisraum (manche sagen auch Stichprobenraum) bei diesem
Versuch aus?
Die Wahrscheinlichkeit für jedes Elementarereignis (Element des Ergebnisraums) beträgt:
Zahl der günstigen Ausgänge
p = 1 /6 .
Zahl der insgesamt
möglichen Ausgänge
So wie in diesem Beispiel berechnen sich Wahrscheinlichkeiten immer!
Merke: Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses berechnet man, indem man die Zahl der für
das Ereignis günstigen Ausgänge, durch die Gesamtzahl der möglichen Ausgänge
teilt!
Aufgabe 2: Berechne die Wahrscheinlichkeit bei einem einfachen Würfelwurf eine Zahl
a) größer als 4 zu werfen,
b) eine ungerade Zahl zu werfen.
Man kann auch mehrere Würfel gleichzeitig werfen, aber das ist das Gleiche wie die
Hintereinanderausführung mehrerer Würfelwürfe.
Merke: „Gleichzeitig“ kann in der Wahrscheinlichkeitsrechung auch „hintereinander“
bedeuten!
Wenn ich also zwei Würfel gleichzeitig werfe, ist das dasselbe, als wenn ich einen Würfel
zweimal hintereinander werfe.
Aufgabe 3: Wenn ich einen Würfel zweimal werfe, auf welche verschiedenen Arten lässt sich
dann das Ergebnis beispielsweise interpretieren? Wonach kann also gefragt
sein?
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Man kann auch verschiedene Versuche hintereinander ausführen, z.B. Münzwurf, Würfelwurf
oder Urnenziehung.
Aufgabe 4: a) Du hast einen Würfel, eine Münze und eine Urne mit 2 roten und einer
schwarzen Kugel. Zeichne den Baum (mindestens einen Pfad vollständig) , wenn
Du die drei Versuche in obiger Reihenfolge hintereinander ausführst!
b) Aus wie vielen Elementen besteht der Ergebnisraum?
Interessant ist auch der Fall, wenn man mehrfach aus einer Urne zieht, denn dann kann man
sich fragen, ob man die gezogene Kugel wieder zurücklegt oder draußen behält. Je nach dem
ändern sich dann die Wahrscheinlichkeiten, da sich ja die Gesamtzahl der Kugeln ändert.
Angenommen wir haben ein Urne mit 2 blauen und einer roten Kugel, du möchtest zweimal
ziehen!
Aufgabe 5: Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse (B, B), (B, R), (R, R),
einmal mit Zurücklegen und einmal ohne Zurücklegen.
Man kann nicht nur zwischen mit/ohne Zurücklegen unterscheiden, sondern auch Wert darauf
legen, ob die Reihenfolge in der man etwas zieht von Bedeutung ist. Angenommen Du hast
eine Urne in der vier Kugeln sind, die die Buchstaben L, M, O, A tragen, und ziehst dreimal.
Jetzt ist es sicher etwas anderes, wenn OMA zieht statt MAO, auch wenn die
Wahrscheinlichkeit dieselbe sein mag und die einzelnen Buchstaben gleich sind.
Ein anderer Bereich mit dem ihr Euch beschäftigt habt, ist die Kombinatorik. Dabei geht es
um die Frage, wie viele Möglichkeiten es für etwas gibt.
Angenommen, wir hätten vier Leute unter denen wir drei Pokale verteilen wollen.
Angenommen alle Pokale sind gleich, wie viele Möglichkeiten gibt es dann, die Pokale auf
die Leute zu verteilen? Dies lösen wir mit Hilfe des Binomialkoeffizienten, der immer
gebraucht wird, wenn es um solche Verteilungsaufgaben geht. Er berechnet sich wie folgt:
 n  4
n!
4!
1 2  3  4


4
    
 k   3 (n  k )! k ! (4  3)!3! 1  1  2  3
Denn wenn wir die Personen A, B, C und D haben, können ABC, ABD, ACD oder BCD
einen Pokal bekommen.
Aufgabe 6: Du hast ein Lottospiel mit 48 Kugel und möchtest daraus 5 Kugeln ziehen, wie
viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Reihenfolge egal ist?
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Will man die Reihenfolge beachten, muss man bei den drei Pokalen zwischen einem ersten,
zweiten und dritten Platz unterscheiden. Für den ersten Platz gibt es 4 Kandidaten, für den
zweiten Platz gibt es 3 Kandidaten und für den dritten Platz verbleiben 2. Man berechnet die
Zahl der Möglichkeiten nun mit.
n!
4!
  24
(n  k )! 1!
Beachte: Es kann auch 0! Auftauchen, doch 0! = 1.
Aufgabe 7: An einem Autorennen nehmen 18 Fahrer teil, wie viele Verteilungsmöglichkeiten
gibt es für die Plätze eins, zwei und drei?
Zum Schluss noch zwei Aufgabe:
Aufgabe 8: a) Du möchtest auf einem Schulfest eine Bude einrichten, in der man an einem
Gewinnspiel teilnehmen kann, bei dem es um das Ziehen aus einer Urne geht.
Du möchtest, dass man 15% der Fälle einen ersten Preis gewinnt, in 37 % der
Fälle einen zweiten Preis und sonst einen Trostpreis. Wie könntest Du Deine
Urne füllen?
b) Diesmal hast Du keine Urne sondern ein Glückrad, wie muss man es bemalen,
damit in 2 von 20 Fällen ein erster Preis, in 7 von 20 Fällen ein zweiter Preis
und sonst ein Trostpreis gewonnen wird?
Aufgabe 9: Zwei Schützen treten gegeneinander an, Schütze A trifft mit einer
Wahrscheinlichkeit von 80% ins Ziel, Schütze B nur mit 55%.
a) Wie groß ist die Chance, dass Schütze A dreimal hintereinander in Ziel trifft?
b) Wie groß ist die Chance, dass Schütze B zweimal trifft?
c) Wir groß ist die Chance, dass A gar nicht trifft?
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Lösungen
Aufgabe 1: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Aufgabe 2: a) Günstig sind für dieses Ereignis die Zahlen 5 und 6, also beträgt die
Wahrscheinlichkeit 2/6 = 1/3.
c) Günstig sind hier 1, 3 und 5, also beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/6 = 1/2.
Aufgabe 3: Man kann auf der einen Seite nach den Augenzahlen fragen, also hat den
Ergebnisraum
E = {(1,1), (1,2),..., (6,5), (6,6)}.
Man kann aber auch nach der Augensumme fragen, dann hat man den
Ergebnisraum
E = {2, 3, 4, ..., 10, 11, 12}
Aufgabe 4: a)
1
/2
Kopf
1
/3
1
1
/6
1
/2
Schwarz
Zahl
Rot
2
/3
6
b) Der Ergebnisraum (E = {(1,K,S),...,((6,Z,R)} besteht aus 6 mal 2 mal 2 also
24 Elementen. Man nimmt also die Zahl der möglichen Versuchsausgänge jedes
Teilversuchs miteinander mal.
Aufgabe 5: Mit Zurücklegen:
p(B, B) = 2/3 mal 2/3 = 4/9
p(B, R) = 2/3 mal 1/3 = 2/9
p(R, R) = 1/3 mal 1/3 = 1/9
Ohne Zurücklegen:
p(B, B) = 2/3 mal 1/2 = 2/6
5
p(B, R) = 2/3 mal 1/2 = 2/6
p(R, R) = 1/3 mal 0/3 = 0/9 = 0 (es gibt nur eine rote Kugel!)
Aufgabe 6: Berechne den Binomialkoeffizienten mit n = 48 und k = 5, dies ergibt 1 712 304
Möglichkeiten.
Aufgabe 7: Bereche n!/(n-k)! mit n = 18 und k = 3, dies ergibt 4896.
Aufgabe 8: a) Wir können 100 Kugeln in die Urne packen, davon sollen 15 rot sein (erster
Preis), 37 weiß (zweiter Preis) und die restlichen 48 sind in einer anderen Farbe.
Alternativ können wir die Kugeln natürlich auch beschriften. Oder alle
Zahlenangaben verdoppeln, an den Chancen verändert das nichts.
b) Jetzt müssen wir die Angaben 2 und 7 von 20 in Winkel umrechnen, die
Größe der Winkel gibt dann an, wie groß die Kreisabschnitte werden:
2


  = 36°
20 360
Für 7 aus 20 folgt:  = 126°.
Zweiter Preis
Erster
Preis
Trostpreis
Aufgabe 9: a) 8/10 mal 8/10 mal 8/10 = 512/1000 = 51,2%
b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für (T=Treffer, F=Fehlschuss) TTF, TFT
und FTT, addiere sie anschließend.
c) 2/10 mal 2/10 mal 2/10 = 8/1000 = 0,8%