Elementare Zahlentheorie — 11. (und letzte

Prof. Dr. Jörn Steuding, Pascal Stumpf
Institut für Mathematik, Universität Würzburg
23. Januar 2017
Elementare Zahlentheorie — 11. (und letzte) Übung
Aufgabe 1. [5 × 3 Punkte] Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Es gibt ein a ∈ Q derart, dass aR = {a · r : r ∈ R} endlich ist.
(ii) Es gibt ein a ∈ Q derart, dass aR = {a · r : r ∈ R} überabzählbar ist.
(iii) Die Gleichung X 2 − 2Y 2 = 1 ist nicht in ganzen Zahlen X und Y lösbar.
(iv) Die Gleichung X 2 − 4Y 2 = 1 ist unendlich oft ganzzahlig lösbar.
(v) Für positive α ∈ R \ Q sind unendlich viele Näherungsbrüche pn /qn kleiner
und auch unendlich viele Näherungsbrüche pn /qn größer als α.
Aufgabe 2. [3 + 3 + 2 + 4 + 3 Punkte]
√
(i) Berechnen Sie die Kettenbruchentwicklung von m2 + 1, wobei
√ m ∈ N.
(ii) Bestimmen Sie die ersten sechs Näherungsbrüche pn /qn zu 5.
(iii) Berechnen Sie für die Näherungsbrüche aus (ii) jeweils p2n − 5qn2 .
(iv) Es bezeichne (x1 , y1 ) die kleinste Lösung der Pellschen Gleichung
X 2 − 5Y 2 = 1
in natürlichen Zahlen. Zeigen Sie, dass dann (xn , yn ) ebenso eine Lösung
dieser Pellschen Gleichung ist, wobei sich xn , yn aus
√
√
xn + yn 5 = (x1 + y1 5)n
für n ∈ N ergeben. Vergleichen Sie dies mit Ihren Ergebnissen aus (iii) und
(ii).
(v) Finden Sie sämtliche ganzzahligen Lösungen der Gleichung
X 2 − 25Y 2 = 1.
Übungsblätter werden immer montags in der Vorlesung ausgegeben; sie stehen auch online
auf der homepage https://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼steuding/elemzahltheo2016.htm zur
Verfügung (wie auch die Folien). Die Bearbeitung des vorliegenden Übungsblattes muss in
Gruppen von maximal drei Studierenden im Raum 00.105 des BSZ in den Briefkasten Elementare
Zahlentheorie bis 12 Uhr am Mittwoch, 1. Februar eingeworfen werden. Die Klausur findet
von 10 bis 12 Uhr am 20. Februar 2017 im Turing-Hörsaal statt! Für die Klausurzulassung
sind 50% der Übungspunkte nötig.
Viel Spaß!