Kapitel 2: Modellierung

Kapitel 2: Modellierung
Programmieren in Haskell
1
Eine Formelsprache für Musik
Programmieren in Haskell
2
Formeln, die Musik bedeuten
Note
0 (1/4)
-Note 24 (1/1)
-Pause
(1/16)
-Note 24 (1/4) :*: Note 26 (1/4)
-Note 24 (1/4) :+: Note 28 (1/4)
-Tempo
40 m
-Tempo
100 m
-Instr Oboe m
-Instr VoiceAahs m
--
Programmieren in Haskell
Viertelnote tiefes C
ganze Note
c’
Sechzehntelpause
:*: Note 28 (1/4)
Anfang der C-Dur Tonleiter
:+: Note 31 (1/4)
C-Dur Akkord
Musik m als Adagio
Musik m als Presto
Musik m von Oboe gespielt
Musik m gesummt
Modellierung: Eine Formelsprache für Musik
3
Formeltypen
infixr 7 :*:
infixr 6 :+:
type GanzeZahl
type Bruch
type Ton
type Dauer
data Instrument
data Musik
Programmieren in Haskell
=
=
=
=
=
Int
-- Ganze Zahlen und Brueche setzen wir
Rational
-- als gegeben voraus.
GanzeZahl
Bruch
Oboe | HonkyTonkPiano |
Cello | VoiceAahs
deriving Show
= Note Ton Dauer |
Pause Dauer |
Musik :*: Musik |
Musik :+: Musik |
Instr Instrument Musik |
Tempo GanzeZahl Musik
deriving Show
Modellierung: Eine Formelsprache für Musik
4
Abkürzungen
gP
hP
vP
aP
sP
=
=
=
=
=
Pause
Pause
Pause
Pause
Pause
(1/1)
(1/2)
(1/4)
(1/8)
(1/16)
adagio = 70; andante = 90; allegro = 140; presto = 180
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Modellierung: Eine Formelsprache für Musik
5
Halbtöne
ce
de
eh
ef
ge
ah
ha
=
=
=
=
=
=
=
0;
2;
4;
5;
7;
9;
11;
c’
e’
g’
h’
u
u
u
u
=
=
=
=
cis
dis
eis
fis
gis
ais
his
Note
Note
Note
Note
Programmieren in Haskell
=
=
=
=
=
=
=
1;
3;
5;
6;
8;
10;
12
(ce+24)
(eh+24)
(ge+24)
(ha+24)
des
es
fes
ges
as
be
u;
u;
u;
u;
=
=
=
=
=
=
1
3
4
6
8
10
d’
f’
a’
c’’
u
u
u
u
=
=
=
=
Note
Note
Note
Note
(de+24)
(ef+24)
(ah+24)
(ce+36)
u
u
u
u
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6
C-Dur Tonleiter / Dur-Dreiklang
cDurTonika = c’ (1/1) :+: e’ (1/1) :+: g’ (1/1)
cDurSkala = Tempo allegro(
c’ (3/8) :*: d’ (1/8) :*: e’ (3/8) :*: f’ (4/8)
:*: g’ (1/8) :*: a’ (1/4) :*: h’ (1/8) :*: c’’ (1/2))
durDreiklang t = Note t (1/1) :+: Note (t+4) (1/1) :+: Note (t+7) (1/1)
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Modellierung: Eine Formelsprache für Musik
7
Umkehrung / Transponierung
umk ((Note t d) :+: n2 :+: n3) = n2 :+: n3 :+: (Note (t+12) d)
transponiere
transponiere
transponiere
transponiere
transponiere
transponiere
i
i
i
i
i
i
(Pause d)
(Note t d)
(m1 :*: m2)
(m1 :+: m2)
(Instr y m)
(Tempo n m)
=
=
=
=
=
=
Pause d
Note (t+i) d
(transponiere i m1) :*:
(transponiere i m1) :+:
Instr y (transponiere i
Tempo n (transponiere n
(transponiere i m2)
(transponiere i m2)
m)
m)
gDurTonika = transponiere 7 cDurTonika
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8
Gesetz Transponierung / Dur-Dreiklang
transponiere i (durDreiklang t) = durDreiklang(t+i)
Zur Überprüfung rechnen wir beide Seiten mittels der Definition von transponiere
und durDreiklang aus und erhalten beide Male
Note (t+i) (1/1)
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:+: Note (t+4+i) (1/1) :+: Note (t+7+i) (1/1)
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9
Verschiedenes
wdh m = m :*: m
ad_infinitum m = m :*: ad_infinitum m
einsatz
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d m = (Pause d) :*: m
Modellierung: Eine Formelsprache für Musik
10
Bruder Jakob
phrase1 = c’ (1/4) :*: d’ (1/4) :*: e’ (1/4) :*: c’ (1/4)
phrase2 = e’ (1/4) :*: f’ (1/4) :*: g’ (1/2)
phrase3 = g’ (1/8) :*: a’ (1/8) :*: g’ (1/8) :*: f’ (1/8)
:*: e’ (1/4) :*: c’ (1/4)
phrase4 = c’ (1/4) :*: (transponiere (-12) (g’ (1/4))) :*: c’’ (1/2)
strophe = wdh phrase1 :*: wdh phrase2 :*: wdh phrase3 :*: wdh phrase4
endlos = ad_infinitum strophe
bruderJakob = Tempo andante (Instr VoiceAahs
(einsatz (0/1) endlos
:+:
(einsatz (2/1) (transponiere 12 endlos)) :+:
(einsatz (4/1) endlos)
:+:
(einsatz (6/1) endlos )))
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Modellierung: Eine Formelsprache für Musik
11
Bruder Jakob: Text
Bruder Jakob, Bruder Jakob
Schläfst du noch? Schläfst du noch?
|: Hörst du nicht die Glocken? :|
Ding dang dong, ding dang dong.
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Modellierung: Eine Formelsprache für Musik
12
Typen als Hilfsmittel der Modellierung
Programmieren in Haskell
13
Fehlerhafte Formeln
Note 3/4 ce
Pause Cello
Tempo Oboe 100
Programmieren in Haskell
Pause (1/2 :*: 1/4)
Instr (Cello :+: Oboe) cDurTonika
c’ :+: e’ :+: g’
Modellierung: Typen als Hilfsmittel der Modellierung
14
Einige Typen
ce, cis, des, de, dis, es, eh, eis, fes, ef, fis :: Ton
ges, ge, gis, as, ah, ais, be, ha, his
:: Ton
gP, hP, vP, aP, sP
:: Musik
cDurTonika
:: Musik
adagio, andante, allegro, presto
:: GanzeZahl
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Modellierung: Typen als Hilfsmittel der Modellierung
15
Funktionstypen
c’, d’, e’, f’, g’, a’, h’, c’’ :: Dauer -> Musik
umk, wdh, ad_infinitum
:: Musik -> Musik
transponiere :: GanzeZahl -> Musik -> Musik
transponiere 7 :: Musik -> Musik
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Modellierung: Typen als Hilfsmittel der Modellierung
16
Die Rolle der Abstraktion in der Modellierung
Programmieren in Haskell
17
Abstrakte Noten
tritonus_f_1 = Note ef (1/1) :+: Note ha (1/1)
tritonus t d = Note t d
:+: Note (t+6) d
tritonus_f_1 :: Musik
tritonus
:: Ton -> Dauer -> Musik
c’ u = Note (ce+24) u
c’ :: Dauer -> Musik
data Musik = Note Ton Dauer | ...
Note :: Ton -> Dauer -> Musik
Programmieren in Haskell
Modellierung: Die Rolle der Abstraktion in der Modellierung
18
Modellierung in der molekularen Genetik
Programmieren in Haskell
19
Nukleotide und Aminosäuren
data Nucleotide = A | C | G | T
data AminoAcid
=
|
|
|
|
|
|
|
|
Programmieren in Haskell
deriving (Eq, Show)
Ala
Arg
Asn
Asp
Cys
Gln
...
Trp
Tyr
Val
-------
Alanin
Arginin
Asparagin
Aspartat
Cystein
Glutamin
-- Tryptophan
-- Tyrosin
-- Valin
Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik
20
Kettenmoleküle
A:C:C:A:G:A:T:T:A:T:A:T: ..., oder
Met:Ala:Ala:His:Lys:Lys:Leu: ...
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Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik
21
Polymorpher Listentyp
data [a] = []
| a:[a]
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-- leere Kette
-- (:) verlaengert Kette von a’s um ein a.
Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik
22
Molekulare Sequenzen, Triplets
type DNA
= [Nucleotide]
type Protein = [AminoAcid]
type Codon
= (Nucleotide, Nucleotide, Nucleotide)
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Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik
23
Watson-Crick-Komplement
wc_complement
wc_complement
wc_complement
wc_complement
Programmieren in Haskell
A
T
C
G
=
=
=
=
T
A
G
C
Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik
24
DNA-Doppelstrang
type DNA_DoubleStrand = (DNA,DNA) -- als Paar zweier Einzelstraenge
type DNA_DoubleStrand’ = [(Nucleotide,Nucleotide)]
-- als Kette von Watson-Crick-Paaren
dnaDS_Exmpl1 = ([A,C,C,G,A,T],[T,G,G,C,T,A])
dnaDS_Exmpl2 = [(A,T),(C,G),(C,G),(G,C),(A,T),(T,A)]
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Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik
25
Syntax und Semantik
incorrectDoubleStrand = ([A,C,C,G,A,T],[T,G,G,C,A,T,C])
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26
DNA-Polymerase
dnaPolymerase_Sequenz = Met:Ala:Pro:Val:His:Gly:Asp:Asp:Ser ...
dnaPolymerase :: DNA -> DNA_DoubleStrand
dnaPolymerase x = (x, complSingleStrand x) where
complSingleStrand []
= []
complSingleStrand (a:x) = wc_complement a:complSingleStrand x
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27
Ordentlich oder nicht?
data Bool = True | False
-- die abstrakten Urteile Wahr und Falsch
wellFormedDoubleStrand :: DNA_DoubleStrand -> Bool
wellFormedDoubleStrand (x,y) = (x,y) == dnaPolymerase x
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28
Reparatur der Kopie
exonuclease
exonuclease
exonuclease
exonuclease
exonuclease
:: DNA_DoubleStrand -> DNA_DoubleStrand
([],[])
= ([],[])
([],x)
= ([],[])
-- Kopie wird abgeschnitten
(x,[])
= dnaPolymerase x -- Kopie wird verlaengert
(a:x,b:y) = if b == ac then (a:x’,b:y’)
else (a:x’,ac:y’)
where ac
= wc_complement a
(x’,y’) = exonuclease (x,y)
exonuclease incorrectDoubleStrand ==> ([A,C,C,G,A,T],[T,G,G,C,T,A])
dnaCorr :: DNA_DoubleStrand -> DNA_DoubleStrand
dnaCorr (x,y) = dnaPolymerase x
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29
Genetischer Code
genCode
genCode
genCode
genCode
genCode
genCode
genCode
genCode
genCode
genCode
...
:: Codon -> AminoAcid
(A,A,A)
= Lys;
(A,A,C)
= Asn;
(A,C,_)
= Thr
(A,G,A)
= Arg;
(A,G,C)
= Ser;
(A,T,A)
= Ile;
(A,T,T)
= Ile
(A,T,G)
= Met
(C,A,A)
= Glu;
Programmieren in Haskell
genCode (A,A,G)
genCode (A,A,T)
= Lys
= Asn
genCode (A,G,G)
genCode (A,G,T)
genCode (A,T,C)
= Arg
= Ser
= Ile
genCode (C,A,G)
= Glu
Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik
30
Translation
ribosome :: DNA -> Protein
ribosome (A:T:G:x) = Met:translate (triplets x) where
triplets :: [a] -> [(a,a,a)]
triplets []
= []
triplets (a:b:c:x) = (a,b,c):triplets x
translate :: [Codon] -> Protein
translate []
= []
translate (t:ts) = if aa == Stp then []
else aa:translate ts where
aa
= genCode t
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Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik
31
Frames
frames3 :: DNA -> [[Codon]]
frames3 x = if length x < 3 then [[],[],[]]
else [triplets x, triplets (tail x),
triplets (tail(tail x))] where
triplets :: [a] -> [(a,a,a)]
triplets []
= []
triplets [_]
= []
triplets [_,_]
= []
triplets (a:b:c:x) = (a,b,c):triplets x
findStartPositions :: [Codon] -> [[Codon]]
findStartPositions []
= []
findStartPositions (c:x) = if c == (A,T,G) then (c:x):findStartPositions x
else findStartPositions x
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32
Open Reading Frames
analyzeORFs :: DNA_DoubleStrand -> [[Protein]]
analyzeORFs (strain,antistrain)
= map (map translate) orfs where
sixframes = frames3 strain ++ frames3 (reverse antistrain)
orfs
= map findStartPositions sixframes
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33
Beispiele
dna_seq3 = dnaPolymerase [A,A,T,G,T,C,C,A,T,G,A,A,T,G,C]
analyzeORFs dna_seq3 ==>
[[],
[[Met, Ser, Met, Asn], [Met, Asn]],
[[Met]],
[[Met, Asp, Ile]],
[],
[]]
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34
dna_seq4 = dnaPolymerase [A,T,G,A,T,G,A,A,T,G,C,C,G,G,C,A,T,T,C,A,T,C,A,T]
analyzeORFs dna_seq4 ==>
[[[Met, Met, Asn, Ala, Gly, Ile, His, His],
[Met, Asn, Ala, Gly, Ile, His, His]],
[[Met, Pro, Ala, Phe, Ile]],
[],
[[Met, Met, Asn, Ala, Gly, Ile, His, His],
[Met, Asn, Ala, Gly, Ile, His, His]],
[[Met, Pro, Ala, Phe, Ile]],
[]]
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Modellierung: Modellierung in der molekularen Genetik
35
Anforderungen an Programmiersprachen
• Ein strenges, aber flexibles Typkonzept
• Ein hierarchisch organisierter Namensraum
• Methoden zum Nachweis von Programmeigenschaften
• Ein hohes Abstraktionsniveau
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