1 Entfernungen

Astronomie: Entfernungen
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1 Entfernungen
Welche Vorstellung hatte bereits Aristarch von
Samos (um 300 v. Chr.) vom Universum?
● Erde, Mond und Sonne sind Kugeln.
● Der Mond ist viele Erddurchmesser von der Erde
entfernt.
● Die Sonne ist um ein Vielfaches weiter von der
Erde entfernt, als der Mond.
● Der Mond wird von der Sonne beleuchtet.
● Bei einer Mondfinsternis steht die Erde zwischen
Sonne und Mond.
H.Dirks
07.10.13
Entfernung zwischen Alexandria und Syene war
bekannt. Daraus berechnete Eratosthenes den
Erdumfang.
Aufgabe 2 Wenn der Schattenstab 1m lang war und
einen Schatten von 12 cm warf und die Entfernung
zwischen Alexandria und Syene 750 km betrug, wie
groß war dann der Erdumfang?
{39270 km}
Welche Messung machte Aristarch von Samos?
Er bestimmte das Verhältnis der Sonnenentfernung
zur Mondentfernung.
Wer bestimmte zuerst die Entfernung des Mondes
von der Erde?
Hipparch (ca. 150 v. Chr.) maß die Zeit, die der
Mond bei einer Mondfinsternis braucht, um durch
den Erdschatten zu wandern. Daraus und aus den
bekannten Daten des Aristarch konnte er den
Mondabstand berechnen.
Aufgabe 1
Aufgabe 3
s
σ
β
β
m
µ
α
Aristarch bestimmte bei Halbmond den Winkel β zu
87° . Welchen Wert berechnete er für das Verhältnis
Sonnenabstand / Mondabstand? (Tip: der rechte
Winkel befindet sich am Mond!)
{19}
Wie kam Aristarch darauf, dass die Sonne im
Mittelpunkt des Kosmos steht?
● Sonne und Mond erscheinen von der Erde aus
unter dem gleichen Sehwinkel (Sonnenfinsternis!).
● Bei einer Mondfinsternis sieht man den
Erdschatten auf dem Mond. Daraus kann man
abschätzen, dass die Erde ca. 4 mal so groß ist, wie
der Mond.
● Nach dem Ergebnis von Aufgabe 1 ist aber die
Sonne 19 mal so groß, wie der Mond.
● Daher ist die Sonne der mit Abstand größte
Himmelskörper und gehört ins Zentrum des
Universums.
Wann wurde zum ersten Mal der Umfang der Erde
bestimmt?
Eratosthenes (um 200 v. Chr.) bemerkte, dass am
Tag der Sommersonnenwende die Sonne genau
senkrecht in einen Brunnen in Syene (heute Assuan)
schien. Ein senkrechter Stab warf zur gleichen Zeit
in Alexandria (heute Kairo, nördlich von Syene)
einen Schatten, den man ausmessen konnte. Die
Berechnen Sie den Abstand m Erde – Mond und den
Abstand s Erde – Sonne aus folgenden Daten:
● Ein Monat dauert 27,3 Tage.
● β = 0,25°
● Der Mond wandert bei einer Mondfinsternis
innerhalb von 2h30‘ durch den Erdschatten (s. Abb.).
● s = 19 m (Aristarch!)
● Erdumfang = 39458 km
Tips:
- Zeigen Sie: µ + σ = α + β ( m und s sind Katheten
von zwei rechtwinkligen Dreiecken!
- Bei kleinen Winkeln ist tan α = α (Bogenmaß)
{ca. 400 000 km und 7,6 Millionen km}
Warum geriet das heliozentrische Weltbild der
Griechen wieder in Vergessenheit?
● Weil Ptolemäus (um 100 n.Chr.) sich in seinem
umfassenden Sammelwerk „Megalä Syntaxis“
(Große Zusammenfassung) für ein geozentrisches
Koordinatensystem entschieden hat.
Welches Weltbild ist richtig, welches falsch?
● Physikalisch gesehen ist es egal, welches
Koordinatensystem man benutzt.
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Astronomie: Entfernungen
● Sogar die Hohlwelttheorie ist nicht zu widerlegen
– sie benutzt lediglich ein reichlich exotisches
Koordinatensystem.
● Es hat sich aber gezeigt, dass die Rechnungen im
heliozentrischen Koordinatensystem am einfachsten
sind.
Welche drei Wissenschaftler schafften den großen
Durchbruch für das Verständnis der
Planetenbewegungen?
● Johannes Kepler (um 1600) entdeckte, dass die
Planeten auf Ellipsen um die Sonne kreisen.
● René Descartes († 1650) erfand das Rechnen mit
Gleichungen.
● Isaac Newton (um 1700) zeigte, dass man die
Keplerschen Gesetze mit dem Gravitationsgesetz
erklären kann.
Welches Keplersche Gesetz benötigt man, um
astronomische Entfernungen zu bestimmen?
H.Dirks
07.10.13
Körper, deren Abmessungen klein sind im Vergleich
zum Abstand ihrer Schwerpunkte.
Aufgabe 4 Berechnen Sie mit Hilfe des Gravitationsgesetzes aus der bekannten Anziehungskraft auf
eine Masse m die Masse der Erde. (Erdradius =
6400 km)
{6 · 1024kg}
Wie hängen Winkelgeschwindigkeit ω , Rotationsdauer T, Drehfrequenz f und Bahngeschwindigkeit
v bei einer Kreisbahn voneinander ab?
v = r ⋅ ω , ω = 2 πf = 2π / T ; f = 1 / T
Welche „Zentripetalbeschleunigung“ und damit
„Zentripetalkraft“ braucht man, um einen Körper
auf einer Kreisbahn zu halten?
v2
az =
und wegen Fz = m ⋅ a z ist
r
Fz = m
v2
r
oder Fz = mω 2r .
2a2
2a1
Aufgabe 5 In welcher Höhe über der Erdoberfläche
kreisen geostationäre Satelliten? (mE = 6 · 1024kg ;
Erdradius = 6370 km)
{ca. 36 000 km}
Aufgabe 6 Zeigen Sie: Für die Umlaufszeiten T1
und T2 zweier Planeten in Abständen von r1 und r2
von der Sonne gilt bei Kreisbahnen:
In der Abbildung sieht man zwei Planeten in
Ellipsenbahnen um die Sonne kreisen. Die Sonne
steht dabei im Brennpunkt der Ellipsen.
Wenn wir die „großen Halbachsen“ der Ellipsen
mit a1 und a2 bezeichnen und die zugehörigen
Umlaufszeiten mit T1 und T2 , dann gilt:
a13
T12
=
.
a23 T22
Bei den meisten Planeten sind die Ellipsen kaum von
Kreisen zu unterscheiden (Erde: Abweichung ca.
1%). In diesen Fällen ist a der Bahnradius.
Mit welcher Kraft ziehen sich zwei Massen m1 und
m2 im Abstand r gegenseitig an („Gravitationsgesetz“)?
mm
F = G ⋅ 1 2 2 ; G = 6,67 ⋅ 10 −11m3kg −1s − 2
r
Für welche Fälle gilt dieses Gravitationsgesetz?
Strenggenommen nur für punktförmige Massen und
für Kugeln, wobei dann r der Abstand der Schwerpunkte ist. Näherungsweise gilt das Gesetz für alle
T1
=
T2
r13
r23
Aufgabe 7 Berechne aus der Entfernung der Erde
von der Sonne (150 000 000 km) und der Dauer
eines Jahres (365 Tage) mit Hilfe des Gravitationsgesetzes die Sonnenmasse!
{2 · 1030 kg}
Aufgabe 8 Mit welcher Geschwindigkeit fliegt ein
Satellit in einer Kreisbahn 600 km über der
Erdoberfläche ? ( Erdradius = 6370 km,
mE = 6 · 1024kg)
{7577 m/s}
Aufgabe 9 Der Mond hat nur 1/81 der Erdmasse
und 27,3 % des Erddurchmessers. Wie groß ist die
Fallbeschleunigung gM auf dem Mond? {1,625 m/s2}
Was versteht man unter „Astronomischer
Einheit“?
Die Astronomische Einheit AE ist die große
Halbachse der Erdbahn. AE = 149 597 892 km.
Wir benutzen für die Übungsaufgaben den
gerundeten Wert von 1,5⋅1011 m.
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In welcher Einheit werden wir ab jetzt alle Winkel
messen?
Im Bogenmaß: 360° = 2π
In welcher Einheit messen Astronomen Winkel?
In Bogensekunden: 1° = 60‘ = 3600“ .
Aufgabe 10 Wie groß ist eine Bogensekunde im
Bogenmaß?
{ 1“ = 4,848⋅10-6 rad}
Was ist eine Parallaxe? Wozu wird sie gemessen?
AE
a
αS
αV
● Eine Parallaxe ist der Winkelabstand, unter dem
zwei Punkte einem Beobachter erscheinen1.
● In der Abbildung ist αV die Parallaxe, unter der
die Erde2 (schwarz) von der Venus (mittlere Kugel)
aus erscheint. αV heißt Venusparallaxe.
● Im Bogenmaß ist α = 2 Re / a mit Re = Erdradius.
● Aus der Kenntnis der Parallaxe kann man daher
den Abstand der Erde von einem anderen Himmelskörper berechnen. Die AE ergibt sich z.B. aus der
Sonnenparallaxe aS .
Wie kann man die Entfernung des Mars
bestimmen, ohne dort zu sein?
αM
● Man betrachtet den Mars von zwei verschiedenen
Standorten aus. Je nach Standort steht er an einem
anderen Punkt des Sternenhimmels.
● Weil die Sterne milliardenfach weiter von der
Erde entfernt sind, als der Mars, kann man den
Winkel αM (die „Marsparallaxe“) auch von der Erde
aus messen (blaue Striche).
● Aus der Entfernung der Standorte und der
Parallaxe ergibt sich die gesuchte Entfernung.
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in der Optik nennt man α Sehwinkel.
eigentlich: der Erdradius.
H.Dirks
07.10.13
Warum ist es so schwer, die Sonnenparallaxe zu
bestimmen?
Weil sie kleiner ist als 0,005 Grad! Sie wurde daher
bei einem Venusdurchgang auf dem Umweg über
die deutlich größere Venusparallaxe bestimmt.
Was ist ein Venusdurchgang?
Bei einem Venusdurchgang steht die Venus
zwischen Sonne und Erde. Man sieht die Venus als
dunklen Punkt vor der Sonnenscheibe und kann sich
bei der Bestimmung der Venusparallaxe am
Sonnenrand orientieren.
Welche Messwerte benötigt man zur Bestimmung
der AE?
Edmond Halley (um 1700) zeigte, dass man zur
Bestimmung der AE folgende Daten benutzen kann:
● Erdradius,
● Umlaufszeiten von Erde und Venus um die Sonne,
● Venusparallaxe.
Aufgabe 10 Bestimmen Sie die AE aus folgenden
Daten:
αS
α1
α2
a
αV
b
● ∆a = α1 − α 2 = 2,23⋅10-4 rad
● Erddurchmesser ∅ = 12740 km
● TE = 365,25 Tage
● TV = 224,7 Tage
Anleitung:
● a / b ergibt sich aus den Umlaufszeiten zu
0,38247 ( Keplersches Gesetz!)
● AE = a + b
● Aus der Abbildung liest man ab:
α2 + αV = α1 + αs , also ist ∆α = αV − αS .
● αV = ∅ / a ; αS = ∅ / AE.
{1,49⋅108 km}
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Astronomie: Entfernungen
Aufgabe 11 Schon vor der Messung der Venusparallaxe gelang es Astronomen3, die Marsparallaxe
zu bestimmen. Als Sonne, Erde und Mars einmal auf
einer Linie lagen („Opposition4“), erhielten sie
α M = 25,5“ als scheinbare Winkelverschiebung des
Marses relativ zum Fixsternhimmel.
αM
Daten: Marsjahr = 1,881 Erdenjahre, Entfernung der
beiden Beobachter („Basislinie5“) 12740 km.
Welchen Wert erhielten sie
a) für die Entfernung zwischen Mars und Erde?
{1,03⋅108 km}
b) für die AE?
{1,97⋅108 km}
Wer hat als erster die Entfernung eines Sternes
gemessen?
Friedrich Wilhelm Bessel bestimmte 1838 die
Entfernung des Sternes 61 Cygni aus dessen
Parallaxe von 0,586“. Als Basislinie diente dabei
allerdings nicht der Erddurchmesser, sondern der
Erdbahndurchmesser (2 AE).
Was ist ein Lichtjahr? Was ist ein Parsec?
● Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in
einem Jahr zurücklegt. 1 Lj = 9,46⋅1015 m.
● Ein Stern, dessen Parallaxe 1“ beträgt ist ein
Parsec („Parallaxensekunde“) entfernt. Basislinie ist
dabei rein rechnerisch die AE.
Aufgabe 11 Zeigen Sie: 1 pc = 3⋅1016 m = 3,26 Lj.
Aufgabe 12 Zeigen Sie: wenn man den
Parallaxenwinkel π in “ angibt, erhält man
rechnerisch die Entfernung d in Parsec aus der
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Zahlenwertgleichung d = .
π
Aufgabe 13 Wieviele Lichtjahre ist der nächste
Stern (α Centauri, π = 0,762“) von uns entfernt?
{1,3 pc oder 4,3 Lj}
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Flamsteed in London, Cassini in Paris und Richer in
Cayenne (1672)
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dann ist außerdem die Entfernung zwischen Mars und
Erde am kleinsten
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natürlich sind das vereinfachende Annahmen; kein
Astronom stellt am Nord- oder Südpol ein Fernrohr auf!
H.Dirks
07.10.13
Welche beiden Ereignisse haben die Bestimmung
der Parallaxen gewaltig erleichtert?
a) Die Photographie:
durch lange Belichtungszeiten konnte man auch
schwach leuchtende Sterne aufnehmen und durch
Vergleich zweier Aufnahmen Parallaxen sehr genau
bestimmen.
b) Die Hipparcos – Mission: dieser Satellit hat mit
seiner Spezialoptik bis 1993 die Parallaxen von über
100 000 Sternen mit einer Genauigkeit von ca.
0,002“ bestimmt.
Die Reichweite der Parallaxenmethode beträgt zur
Zeit einige hundert Lichtjahre.