8. ¨Ubungsblatt zur ” Analysis I“ Hausübungen

Prof. Dr. Helge Glöckner
Wintersemester 2013/2014
06.12.2013
8. Übungsblatt zur
Analysis I“
”
Hausübungen
Aufgabe H1 (Einige Sätz über Zahlenfolgen; 5 Punkte)
(a) Seien (zn )n2N eine Folge in C und z 2 C. Zeigen Sie, dass die Folge (zn )n2N genau
dann gegen z in C konvergiert, wenn in R die Folgen (Re(zn ))n2N gegen Re(z) und
(Im(zn ))n2N gegen Im(z) konvergieren. Hinweis: Der Einfachheit halber schreiben
wir xn := Re(zn ), yn := Im(zn ), x := Re(z) und y := Im(z). Verwenden Sie
max{|xn x|, |yn y|}  |zn z|  |xn x| + |yn y|.
(b) Die Folge (xn )n2N komplexer Zahlen konvergiere gegen a 2 C. Zeigen Sie,
n
1X
xj = a.
n!1 n
lim
j=1
(c) Seien (an )n2N , (bn )n2N , (cn )n2N Folgen reeler Zahlen mit an  bn  cn für alle
n 2 N und (an )n2N , (cn )n2N konvergent mit limn!1 an = limn!1 cn =: x, zeigen
Sie, dass auch (bn )n2N gegen x konvergiert.
Lösung:
(a) Es gelte zn ! z. Wir haben |xn x|  max{|xn x|, |yn y|}  |zn z| ! 0 also
gilt xn ! x. Analog erhalten wir yn ! y.
Nun gelte xn ! x und yn ! y. Mit der Dreiecksungleichung erhalten wir |zn z| 
|xn x| + |yn y| ! 0. Wir sehen zn ! z.
(b) Wir setzen yn := a xn für n 2 N. Wir wissen aus der Vorlesung, dass (yn )n2N eine
Nullfolge ist. Sei nun " > 0. Wir wählen ein N1 2 N so groß, dass |yn |  " für alle
P N1
C
n N1 gilt. Sei C :=
j=1 yj . Wenn wir N 2 N so groß wählen, dass n < " für
alle n N gilt, so erhalten wir für n N
0
1
N1
n
n
n
n
n
X
1X
1X
1X
1X
1 @X
a
xj =
a
xj =
yj =
yj +
yj A
n
n
n
n
n
j=1

C
+
n
n
X
j=N1 +1
j=1
yj  " +
j=1
n
X
j=N1 +1
|yj |  " +
|{z}
"
j=1
n
X
j=N1 +1
j=1
"  " + " = 2".
j=N1 +1
8. Übung
Analysis I
(c) Es gilt cn bn 0 und cn an 0 also erhalten wir |cn bn | = cn bn und |cn an | =
cn an . Aus an  bn folgern wir bn  an und somit |cn bn | = cn bn  cn an =
|cn an |. Hiermit erhalten wir durch Verwendung der Dreiecksungleichung
|x
=|x
bn | = |x
cn | + |cn
cn + cn
x+x
bn |  |x
an |  |x
cn | + |cn
cn | + |cn
bn |  |x
x| + |x
cn | + |cn
an | ! 0
an |
Aufgabe H2 (Einige Zahlenfolgen II; 5 Punkte)
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen (an )n2N auf Konvergenz. Hinweis: Beachten
Sie bei den komplexen Folgen Aufgabe H1 (a).
n
n
(a) an = n+1
+ i 2 3+1
n
n
(b) an = iP
(c) an := nk=0 xk + x1k , wobei (xk )k2N eine Folge in ]0, 1[ ist. Zeigen Sie, dass (an )n2N
bestimmt gegen 1 divergiert.
p
p
p
p
n
p .
(d) an = n + 1
n Hinweis:, Verwenden Sie die versteckte Eins 1 = pn+1+
n+1+ n
3
(e) an = ( 2nn )n2N , Hinweis: Verwenden Sie den Binomischen Lehrsat für 2n = (1+1)n .
(Alternativ kann man auch eine Induktion verwenden)
Lösung:
n
n
n
n
n
1
(a) Es gelten n+1
= 1+n1 1 ! 1+0
= 1 und 2 3+1
= 23n + 31n = 23 + 13 ! 0 + 0 = 0.
n
n
n
Mit H1 (a) erhalten wir n+1
+ i 2 3+1
! 1.
n
(b) Wenn eine Folge (xn )n2N konvergiert, z.B. gegen x, dann muss auch ihr Betrag
konvergieren. Es gilt nämlich mit der umgedrehten Dreiecksungleichung ||xn | |x|| 
|xn x| ! 0 (|xn | konvergiert also gegen |x|). Nun gilt
(
0 : n gerade
n
|Re(i )| =
1 : n ungerade.
Wir folgern, dass |Re(in )| nicht konvergiert, daher kann Re(in ) nicht konvergent
sein, und somit auch in nicht.
2
2
(c) Für x 2 R+ gilt 0 (x x1) = x +1x 2x somit erhalten wir x1 + x 2. Wir folgern
n
X
k=0
1
xk +
xk
n
X
2
n.
k=0
Es folgt die bestimmte Divergenz gegen 1.
(d) Wir rechnen
p
p
p
p
p
p
( n+1
n) · ( n + 1 + n)
n+1 n
1
p
n+1
n=
=p
p
p p .
n
n+1+ n
n+1+ n
p
Um limn!1 an = 0 zu zeigen, reicht es n ! 1 zu zeigen. Dies ist aber klar, da
p
wir für gegebenens N 2 N einfach n := N 2 schreiben und somit n N erhalten.
2
8. Übung
Analysis I
(e) Es gilt für n 4 die Ungleichung 2n = (1+1)n =
Hiermit rechnen wir
n3
 24 ·
2n
n(n
=
(1
n
1)
· (1
Pn
n
k=0 k
n
4
=
n3
n3
= 24 ·
1)(n 2)(n 3)
n · n(1 n 1 ) · n(1 2n
24
1
24
· !
· 0 = 0.
1
1
2n ) · (1 3n ) n
1
n(n 1)(n 2)(n 3)
.
4!
1)
· n(1
3n
1)
Aufgabe H3 (Folgen und abgeschlossene Mengen II; 5 Punkte)
Seien (X, d) ein metrischer Raum und A ✓ X eine Teilmenge, sodass für jede Folge (ak )
in A, die gegen ein a 2 X konvergiert, bereits a 2 A gilt. Zeigen Sie, dass A abgeschlossen
ist.
Lösung: Wir zeigen, dass X \A o↵en ist. Sei dazu x 2 X \A. Wir müssen zeigen, dass es
ein " > 0 gibt, sodass B" (x) ✓ X \ A. Angenommen für jedes " > 0 gelte B" (x) \ A 6= ;.
Insbesondere finden wir dann für jedes n 2 N ein an 2 B 1 (x) \ A. Die so konstruierte
n
Folge (an )n2N liegt in A und konvergiert gegen x. Nach Voraussetzung muss also x 2 A
gelten. Dies ist ein Widerspruch.
3