4. Übung zur Vorlesung Elemente der Algebra

apl. Prof. Dr. R. Plato
4. Übung zur Vorlesung Elemente der Algebra
Wintersemester 2010/2011
Aufgabe 1 (4 Punkte). Zeigen Sie für zwei Aussagen p und q :
a) :.p ” q/ ” p _ q;
b) :.p =) q/ ” p ^ :q:
Aufgabe 2 (4 Punkte). Negieren Sie die folgenden beiden Aussagen:
a) Wenn zwei Geraden einen gemeinsamen Punkt besitzen, dann sind sie nicht parallel.
b) Es gibt Vierecke, die genau drei rechte Winkel haben.
Aufgabe 3 (4 Punkte). Begründen Sie, warum die folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind:
a) 8m 2 N 9 n 2 Z W m D n,
b) 9 n 2 Z 8m 2 Z W m D n,
c) 8m 2 N 9 n 2 N W m > n,
d) 9 n 2 Z 8m 2 N W m n.
Aufgabe 4 (4 Punkte). Bestimmen Sie die folgenden Mengenvereinigungen:
a) ¹1; 5; 8; 13; 15º [ ¹7; 8; 9; 12º,
®m
¯
j m 2 N [ N,
c) [m2N [n2N ¹ mn º.
b)
3
Aufgabe 5 (5 Punkte). Bestimmen Sie die folgenden Mengendurchschnitte:
a) ¹1; 5; 8; 13; 15º \ ¹7; 8; 9; 12º,
b) ¹ m
3 j m 2 N º \ N,
c) \n1 Bn , wobei Bn D ¹ 0; 2; 4; : : : ; 2nº für n 2 N,
d) Ng \ ¹ 5k j k 2 Z º,
e) ¹ 7m j m 2 Z º \ P , wobei P die Menge aller Primzahlen bezeichne.
Aufgabe 6 (3 Punkte). Ist die folgende Aussage wahr?
Für beliebige Mengen K; L und M gilt: sind K und L disjunkt sowie L und M
disjunkt, so sind auch K und M disjunkt.
Abgabe der Lösungen bis zum 14.12.2010 (Dienstag) vor der Vorlesung.
Organisatorische Hinweise. Die Vorlesung Elemente der Algebra findet – wie bereits bekannt
gegeben – donnerstags von 8–10 Uhr ab sofort im blauen Hörsaal (AR-D 5102) statt. Das gilt
ebenso für die Übungsgruppe von Adrian Weber.
Lösungen zur 4. Übung
Aufgabe 1. a) Via Wahrheitstafel:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p ” q :.p ” q/ p _ q
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
Die vorletzte und die letzte Spalte stimmen überein, also liegt Äquivalenz der beiden Aussagen
„:.p ” q/“ und „p _ q “ vor.
b) Ebenfalls via Wahrheitstafel:
p q p =) q :.p =) q/ :q p ^ :q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
Die Spalten 4 und 6 stimmen überein, also liegt Äquivalenz der beiden Aussagen „:.p =) q/“
und „p ^ :q “ vor.
Aufgabe 2. a) Mithilfe von Aufgabe 1b) ergibt sich die Negation: Zwei Geraden haben einen
gemeinsamen Punkt und sind parallel.
b) Negation: Alle Vierecke haben nicht genau drei rechte Winkel.
Aufgabe 3. a) Ist wahr, wähle n D m.
b) Ist falsch. Gegenbeispiel: wähle zu beliebigen n 2 Z z. B. m D n C 1. Dann gilt m 2 Z und
m ¤ n.
c) Ist falsch, da für m D 0 und n 2 N beliebig n m gilt.
d) Ist wahr: für n D 0 gilt m n für jedes m 2 N.
Aufgabe 4. a) ¹ 1; 5; 8; 13; 15 º [ ¹ 7; 8; 9; 12º D ¹ 1; 5; 7; 8; 9; 12; 13; 15 º.
n
b) Es gilt N ¹ m
3 j m 2 N º DW M , denn für n 2 N gilt n D 3 3 und 3n 2 N. Damit gilt
N [ M D M D ¹ 0; 31 ; 32 ; 33 ; : : : º.
c) Es gilt [m2N [n2N ¹ mn º D N. Dies folgt durch Nachweis der beiden Teilmengenbeziehungen
„[m2N [n2N ¹ mn º N“ und „[m2N [n2N ¹ mn º N“. Für zwei natürliche Zahlen m; n ist auch
das Produkt mn eine natürliche Zahl, daher gilt „“. Auf der anderen Seite gilt für jedes n 2 N
trivialerweise n D 1 n 2 [m2N [n2N ¹ mn º, damit ist auch „“ richtig.
Aufgabe 5. a) ¹ 1; 5; 8; 13; 15 º \ ¹ 7; 8; 9; 12º D ¹ 8º.
m
b) Es gilt N ¹ m
3 j m 2 N º (siehe Aufgabe 4b) und daher N \ ¹ 3 j m 2 N º D N.
c) Es ist B1 D ¹ 0; 2º Bn für alle n 2 N und daher \n1 Bn D ¹ 0; 2º.
d) Es ist
Ng \ ¹ 5k j k 2 Z º D ¹ 10` j ` 2 N º DW L;
wie im Folgenden nachgewiesen wird.
2
„“: Sei n D 10` für ein ` 2 N. Dann n D 5.2`/ D 2.5`/ und damit n 2 Ng \ ¹ 5k j k 2 Z º.
„“: Sei n 2 Ng und n D 5k für ein k 2 Z, wobei k 0 wegen n 0 gelten muss. Wäre k
ungerade, d. h., k D 2` C 1 für ein ` 2 N, so würde n D 5.2` C 1/ D 10` C 5 D 2.5` C 2/ C 1
gelten, also wäre n ungerade im Widerspruch zur Voraussetzung n 2 Ng . Also ist k gerade,
k D 2` für ein ` 2 N. Daraus folgt n D 5k D 10`.
e) Es ist ¹ 7m j m 2 Z º \ P D ¹ 7º, denn jedes Element der Menge ¹ 7m j m 2 Z º ist durch 7
teilbar und damit – außer der Zahl 7 selbst – nicht Primzahl.
Aufgabe 6. Die Aussage ist nicht wahr; betrachte z. B. den Fall M D K ¤ ¿.
3
Vorschläge für die Tutorien:
Aufgabe 1. Negieren Sie die folgenden beiden Aussagen:
a) Alle Rosen sind verwelkt oder teuer.
b) Alle Rosen sind entweder verwelkt oder teuer.
Lösung:
a) Es gibt Rose, die frisch und billig ist.
b) Es gibt Rose, die entweder frisch und billig oder verwelkt und teuer ist.
Aufgabe 2. Man drücke mithilfe von Quantoren die Tatsache aus, dass die Gleichung x 2
6 D 0 genau zwei reelle Nullstellen hat.
Lösung:
9 x1 ; x2 2 R W .x1 ¤ x2 / ^ .x12
^ .8y 2 R W y
5x1 C 6 D 0/ ^ .x22
2
5x C
5x2 C 6 D 0/
5y C 6 D 0 =) y 2 ¹ x1 ; x2 º/:
Aufgabe 3. Finden Sie heraus, ob für Aussageformen p.x/ und q.x/ die Implikation
.8x W p.x// _ .8x W q.x// =) 8x W p.x/ _ q.x/
allgemeingültig ist. Wie verhält es sich mit der umgekehrten Implikation?
Lösung: „ =)“ ist allgemeingültig. Ist P WD .8x W p.x// wahr oder Q WD .8x W q.x// wahr, so ist
für jedes x p.x/ wahr oder q.x/ wahr. Damit ist (8x W p.x/ _ q.x// wahr.
„(= “ ist nicht allgemeingültig. Betrachte z. B. p.x/; q.x/; x 2 ¹ 0; 1º mit p.0/ wahr, p.1/ falsch,
q.0/ falsch, q.1/ wahr. Dann ist (8x W p.x/ _ q.x// wahr, nicht jedoch P _ Q.
Siehe auch http://www.mat.univie.ac.at/users/einfbuch/public_html/Beispiele/Kapitel3/
Abschnitt3_2/loes3_2_24_0.html.
Aufgabe 4. Begründen Sie, warum die folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind:
a) 8 0 ¤ x 2 Q 9 y 2 Q W xy D 1,
b) 8 x 2 N 9 y 2 N W xy D 1,
c) 9 y 2 NC 8x 2 NC W xy D 1.
Hierbei bezeichnet NC die Menge aller positiven ganzen Zahlen, und Q ist die Menge aller
rationalen Zahlen.
Lösung:
n
m n
a) Ist wahr: Für x D m
n mit m 2 Z; n 2 N; m ¤ 0; n ¤ 0, gilt y D m 2 Q; xy D n m D 1.
b) Ist falsch: Betrachte z. B. x D 2 2 N. Gilt dann für y 2 N xy D 2y D 1 so folgt y D 12 62 N,
ein Widerspruch.
c) Ist falsch: Für jedes y 2 NC würde z. B. für x D 2 2 NC aus xy D 2y D 1 die Identität
y D 12 62 N folgen, ein Widerspruch.
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Aufgabe 5. Es sei
A D ¹ x 2 R j 9 g 2 Z W 2g D x º; B D ¹ x 2 R j 9 n 2 N W nx D 1º;
C D ¹ y 2 R j 9 x 2 Z W y D 3x º; D D ¹ y 2 R j 9 x 2 R W y D x 2 º;
E D ¹ x 2 R j 8y 2 Z W x ¤ y º:
Man beschreibe diese Mengen ausführlich in Worten und gebe an, um welche wohlbekannten
Mengen es sich handelt.
Lösung:
A D Menge aller geraden Zahlen,
B D ¹ 1; 12 ; 13 ; 13 ; : : : º
C D Menge aller ganzzahligen Vielfachen von 3,
D D RC
0,
E D Menge aller reellen Zahlen, die nicht ganzzahlig sind.
Aufgabe 6. Bestimmen Sie die folgenden Mengenvereinigungen und -durchschnitte:
a)
b)
c)
d)
¹ 5; 6; 8º [ ¹ 3; 8; 9; 12º,
¹ 5; 6; 8º \ ¹ 3; 8; 9; 12º,
¹ 2m j m 2 N º [ N,
¹ 2m j m 2 N º \ N.
Lösung: a) ¹ 5; 6; 8º [ ¹ 3; 8; 9; 12º D ¹ 3; 5; 6; 8; 9; 12º,
b) ¹ 5; 6; 8º \ ¹ 3; 8; 9; 12º D ¹ 8º,
c), d) Es ist ¹ 2m j m 2 N º D Ng N und damit Ng [ N D N; Ng \ N D Ng .
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