Research Collection Doctoral Thesis Ueber zusammengesetzte Poisson-Prozesse und ihre Anwendungen in der Unfallversicherung Author(s): Hofmann, Martin Publication Date: 1955 Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091775 Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted This page was generated automatically upon download from the ETH Zurich Research Collection. For more information please consult the Terms of use. ETH Library Prom. Nr. 2511 Über zusammengesetzte Poisson-Prozesse und ihre in der Anwendungen Unfallversicherung VON DER EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZUR ERLANGUNG DER IN ZÜRICH WÜRDE EINES DOKTORS DER MATHEMATIK GENEHMIGTE PROMOTIONSARBEIT VORGELEGT VON MARTIN HOFMANN VON WÄDENSWIL UND WEISSLINGEN (ZH) REFERENT: HERR PROF. DR. W. SAXER KORREFERENT: HERR P.-D. DR. P. NOLFI 19S5 GEDRUCKT BEI STÄMPFLI & CIE BERN Leer - Vide - Empty — 3 — Über zusammengesetzte Poisson-Prozesse und ihre Anwendungen in der Unfallversicherung Einleitung Die Theorie der stochastischen Prozesse der gehört jenen Gebieten in den Anfängen, zu Mathematik, welche ihre Entwicklung, besonders Anwendungen verdanken. Viele Erschei¬ Versicherungswesen, der Physik und Biologie können nungen als Systeme dargestellt werden, die sich im Laufe der Zeit nach be¬ stimmten Wahrscheinlichkeitsgesetzen verändern. Das Modell, welches zu einem grossen Teil den aus man sich dem vom Ablauf eines solchen Geschehens macht, charakterisiert einen stochastischen Prozess. Für die Versicherungsmathematik Betracht, bei denen eine Variable, die kommen man vor allem Prozesse in als Funktion eines kon¬ Zeitparameters aufzufassen hat, in zufälligen Zeitpunkten um endliche Beträge ändert, sogenannte unstetige stochastische Pro¬ zesse. Ein wichtiges und zugleich das erste Beispiel eines solchen Modells stellt die kollektive Bisikotheorie dar, wie sie von F.Lundberg zur ratio¬ nellen Behandlung von Eisikoproblemen der Lebensversicherung auf¬ gebaut wurde. Riebesell und seine Schüler zeigten, wie auch die Mathe¬ matik der Sachversicherung auf einem stochastischen Modell begründet werden kann. Die'meisten dieser Untersuchungen sind vor allem theo¬ retischer Natur und bedürfen noch ausgedehnter statistischer Prüfung, bevor sie für die Praxis von Bedeutung werden können. In der vorliegenden Arbeit beschäftigte uns die Frage, ob in der individuellen Unfallversicherung die Voraussetzungen für eine mathe¬ matische Behandlung versicherungstechnischer Probleme gegeben sind, oder eventuell geschaffen werden können. Wir haben zu diesem Zweck die verschiedenen Faktoren, welche das Unfallrisiko beeinflussen, tinuierlichen — untersucht und nach dem Modell zahl 4 — gefragt, das zur und des Gesamtschadens Darstellung der An¬ Unfallereignisse Grundlagen für die statistischen Untersuchungen wurden in enger Verbindung mit den praktischen Ergebnissen ent¬ wickelt. Indessen haben wir, zur Erreichung einer besseren Übersicht¬ zu verwenden ist. Die mathematischen lichkeit, die Arbeit in einen ersten, mathematischen und einen zweiten, statistischen Teil gegliedert. Dieser kann im wesentlichen ohne Kennt¬ nis des ersten Teils verstanden werden. grundlegenden Arbeit über die Mathematik der Unfall¬ versicherung zeigte Dubourdieu, dass in der Unfallstatistik einem spe¬ ziellen stochastischen Prozess besondere Bedeutung zukommt: dem In einer zusammengesetzten Poisson-Prozess. Dieser ist im wesentlichen eine Verallgemeinerung des Poissonschen Gesetzes für die Wahrscheinlich¬ keit seltener Ereignisse. Auch die Dissertation von 0. Lundberg hat die mathematische Behandlung von Unfallstatistiken zum Thema; sie enthält eine eingehende Untersuchung über elementare stochastische Prozesse und deren Anwendungen. Die praktischen Ergebnisse ge¬ statten es indessen nicht, die von uns gestellte Frage eindeutig zu be¬ antworten. Besonders interessant in nach der Verteilung Untersuchungen solcher sonenbestandes. Sie wurde erstmals und Yule Art ist die der Anzahl Unfälle innerhalb eines systematisch von Frage gegebenen Per¬ den Statistikern Greenwood studiert. Die beiden Autoren stellten drei thesen über das Zustandekommen von Hypo¬ Unfällen auf, die sie mathema¬ tisch formulierten und die daraus abgeleiteten Wahrscheinlichkeitsver¬ teilungen mit empirischen Daten von Arbeitsunfällen aus der englischen Industrie verglichen. Eines dieser Modelle führte zu einem Wahr¬ scheinlichkeitsgesetz, das auch in andern Zusammenhängen wichtig wurde, der sogenannten negativen Binomialverteilung. Im Falle von Greenwood und Yule ist sie als zusammengesetzte Poisson-Verteilung zu interpretieren. Sie entspricht der Annahme eines Personenbestandes, den tem sich zusammengesetzt denkt aus Teilbeständen mit konstan¬ Unfallrisiko, das indessen von einem Teilbestand zum andern man variiert. Da die untersuchten Bestände bereits in ihnen für alle Personen gleiches so gruppiert äusseres Unfallrisiko die Verschiedenheit der Teilbestände als durch waren, dass bestand, muss subjektive Ursachen bedingt angesehen werden. Greenwood und Yule sprachen daher von individueller Unfallneigung. Durch ähnliche, jedoch verschiedener — 5 — Untersuchungen an einem deutschen Versicherten¬ bestand wurde der Psychologe K. Marbe zur Bildung von Persönlich¬ keitsgefahrenklassen veranlasst, ein den Teilbeständen bei Greenwood und Yule entsprechender Begriff. nicht mathematische Es stellte sich heraus, dass dem Modell der individuell verschie¬ Unfallneigungen gegenüber andern Modellen der Vorzug zu Die Problematik dieser theoretischen Betrachtungsweise geben indessen besteht darin, dass versucht wird, eine komplizierte psycho¬ denen ist. logische Erscheinung durch das verhältnismässig einfache mathema¬ tische Schema des zusammengesetzten Poisson-Prozesses darzustellen. gezeigt, dass dieses Schema im Hinblick auf die Bedürfnisse Versicherung angewendet werden darf. Dabei wurden wir auf die Betrachtung von zweidimensionalen zusammengesetzten PoissonVerteilungen geführt. Wir haben der Unfallversicherung Neben der Anzahl Unfälle tritt in der auch die Schadenhöhe als stochastische Grösse auf. Um sie für die Berech¬ nungen zusammengesetzte PoisVerallgemeinerung ent¬ verallgemeinert werden; Khintchineschen Erweiterung der gewöhnlichen Poisson- berücksichtigen son-Prozess spricht der Verteilung. Der erste Teil zu können, muss der diese unserer Arbeit enthält die mathematischen Über¬ Untersuchungen aufbauen. zusammengesetzte Poisson-Prozess aus einer einfachen Annahme über die betrachteten Ereig¬ nisse abgeleitet werden kann. Da, von einem andern Ausgangspunkt auf denen sich die statistischen legungen, Zuerst zeigen wir, wie der zweidimensionale her, dieser Prozess schon von Consael untersucht wurde, führen wir einige wenige Eigenschaften desselben an. Wir geben sodann zwei neue zweidimensionale zusammengesetzte Poisson-Verteilungen an, die nur man als negativ-binomiale Schliesslich befassen wir Korrelationsfunktionen bezeichnen kann. uns noch mit eindimensionalen zusammen¬ gesetzten Poisson-Verteilungen. Wir leiten eine Schar von Verteilungen her, die sich in verschiedener Hinsicht gut eignen zur Anwendung auf empirische Daten. In dieser Schar sind einige bekannte zusammen¬ gesetzte Poisson-Verteilungen als Spezialfälle enthalten, so vor allem die negative Binomialverteilung. Zum Schluss erweitern wir die zu¬ sammengesetzte Poisson-Verteilung und zeigen, unter welchen Vor¬ aussetzungen die erweiterte Verteilung gegen die Normalverteilung strebt. — 6 — Im zweiten Teil grenzen wir zuerst die mathematisch-statistische Untersuchung Personenbestandes geschlossenen ab. Voraussetzungen für eine der Unfälle innerhalb eines Es stand uns eine Unfall¬ statistik über die Betriebs- und Nichtbetriebsunfälle während der Jahre 1944 bis 1952 von 1196 Arbeitern der städtischen Verkehrsbetriebe Verfügung. Wir prüfen allgemein die Anwendbarkeit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung auf die Verteilungen der Anzahl Zürich zur Betriebs- und Nichtbetriebsunfälle und bestimmen auf Grund der •positiven Ergebnisse die speziellen Verteilungen aus der im ersten Teil abgeleiteten Schar zur Darstellung dieser empirischen Verteilungen. Zudem zeigen wir, dass die gemeinsame Verteilung der Betriebs- und Nichtbetriebsunfälle durch eine zweidimensionale Korrelationsfunktion wiedergegeben werden kann. Am Beispiel der Betriebsunfälle ver¬ gleichen wir die theoretische und praktische Verteilung der summaren Schadenhöhe je Person während der ganzen Beobachtungsperiode, Wir geben ferner an, wie die Verteilungsfunktion des Gesamtschadens fin¬ den ganzen Bestand berechnet werden kann. Die Ergebnisse, welche wir auf Grund der Untersuchungen an verhältnismässig kleinen Bestand erhalten, berechtigen zur Schlussfolgerung, dass es möglich ist, die individuelle Unfallversiche¬ rung auf mathematische Grundlagen aufzubauen. Wir verzichten in¬ dessen auf die Behandlung der einzelnen versicherungsmathematischen Probleme, sondern verweisen, was die Berechnung der Nettoprämie unserem anbetrifft, auf die Arbeit von Dubourdieu und bemerken, dass mit Hilfe der Verteilungsfunktion des Gesamtschadens die interessierenden risikotheoretischen Fragen nach bekannten Überlegungen gelöst werden können. Es bleibt mir noch ,die angenehme Pflicht, meinem verehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. W. Saxer, den besten Dank die Anregung rung, die er zu dieser Arbeit und für die ihr während ihres Entstehens zuteil werden Hess. Ebenso danke ich Herrn PD Dr. P. Nolfi sowie dem städtischen Strassenver- kehrsamt Zürich für die Hilfe bei der stellung auszusprechen für Unterstützung und Förde¬ Auffindung und Zusammen¬ des statistischen Materials. \ 7 — — I. Teil 1. Ein spezieller elementarer stochastischer Prozess Einen mehrdimensionalen unstetigen stochastisch-definiten Prozess wenn bei jeder Änderung der Variablen Komponenten nur um die Einheit (+1) zunehmen kann. In den Anwendungen wird ein solcher Prozess dargestellt durch mehrere verschiedenartige Folgen von Ereignissen, die in einem ge¬ wissen Intervall zu beliebigen Zeitpunkten eintreffen können. Wir befassen uns in den nachfolgenden Untersuchungen mit einem Prozess, bei dem zwei Folgen von Ereignissen betrachtet werden mit der Eigenschaft, dass sowohl die Ereignisse der gleichen Folge, als auch diejenigen, welche zu verschiedenen Folgen gehören, voneinander stochastisch abhängen können. Die betreffenden Ereignisse unter¬ werfen wir der Bedingung: (B) In jedem endlichen Intervall sind die Zeitpunkte des Eintreffens der Ereignisse rein zufallsmässig verteilt. bezeichnen wir als elementar, jede ihrer Um diese Bedingung analytisch zu formulieren, führen wir die M(§) und N(&) ein, welche die Anzahl der Ereignisse beiden Variablen erster bzw. zweiter Art Es Sei: M(0) = N(0) bezeichnen, die im Intervall = und 0 M(s') = m' 0 bis & eintreffen. N(t') = n'. Der Prozess kann anstatt durch die Variablen durch die Zeitpunkte den, die wir so ihrer Sprünge: £,- bzw. M{&) und N(ß) Tf gekennzeichnet wer¬ numerieren, dass : 0 < S, < S. < 0 ... ^ Tt ^ T2 ^ ... < Sm, < s' < &, ^ Tn, ^ t' ^ &. Die Bedingung (B) bedeutet, dass alle Ereignisfolgen, die gemäss (1.1) eintreffen, gleich wahrscheinlich sind. In einfacher Weise lässt sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von m Ereignissen der ersten Art bis zur Zeit s berechnen unter der Voraussetzung: M(s') m', wobei s<s' und daher m^m' = ist. Wir nennen sie inverse Wahrscheinlichkeit, gleich verteilt sind dass Übergangswahrscheinlichkeit. von m' Es ist die unabhängigen Variablen St, die alle (0,s'), m Variable ^ s sind. über dem Intervall 8 — — Daher wird , Mit den Definitionen P(m;slm';s') P{M(s) = mlM{s') = erhalten wir / P(m;«/&»';«/) und ganz analog Aus (B) folgt = s zudem die \ (1.2a) Bm,(m;—j t\ / P(n#fr';f) m'} = (1.2 b) Bjn;j\. = Unabhängigkeit der inversen Übergangswahr¬ scheinlichkeiten für die Variablen M und N P{M(s) oder, = m,N(t) = wir die wenn » W) m',N(t') = ri} = Bm,(m;-^V/n;^ = Bezeichnung P(m,n;s,tlm',n';s',t') = P{M(s) = m,N(t) = n/M{s') = m',ÄT(<') = n'} einführen: P(m,n;s,tlm',n';s',t') = Bm/m;^Bn/n;^-V (1.8) Um den Ausdruck für die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion des Prozesses zu P(m)W;S)i) P{M(s) = = m>N(Q = „} finden, betrachten wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses s1<^S1<s1 + ds1, sz^Sz<sz Sm, dsz, ..., sm, <; tl^T1<tl + dt1} tz^Tz<tz + dtz, ..., tn, ^ Tn, unter der und unter Bedingung Beachtung M^ = + m> W) = < sm, tn, + dtn, < n> der Belationen: Mi + äst) (ti,ti + dti)n(tk,tk + dtk) n 0<$1<sz< 0<t1<tz< (sk,sk + fck) ... ... 0 = o = <sm,<s' < tn, < t'. %zfz + dsm, ' 9 — — Auf Grund der Natur des betrachteten Prozesses ist sie unab¬ hängig von den Werten s{ und tj (i = 1, ..., m'; j 1, = ..., n') und hat deshalb die Gestalt h(m',n';s',t') Jsx ... dtn,. sich sofort: ergibt Daraus dsm, ät^ ... P(m',n';s',t') h(m',n';s',t') = /••//••• f dsi dsm- dti • • • *«' 0<si<...<«m'<s'0<<1<...<<„'<(' P{m',n';s',t') Ä(m',n';«',*') = — ! m (1.4) -n-. » ! Allgemein gilt oo oo P(m,n;s,t) Setzen wir - „m P{m,n;s,t) — ~ m! und jn — »! oo , , Beziehung ein, £r0*-o s)i fs' oo 2 2 P(0,0;s,t) Wesen °° 22 °° ,=0Ä=0 darf die Beihe s (1.6) s\ i fs' oo Äfcfc*',0 <5,J /'* ?: Ki im Bereich s\""~7, (1.6) «! fjt ({' -, °° ' ,, ., ?! speziell fjt It' K ' * *("» + J> + fc;«\0 = ergibt sich: so „»'"' <"7<»V«V«VY'\7, oo nach in diese (1.4) und (1.3) , = 2 E pK.«'î5'>0 P^.njs^/m'^'js',«'). = • m (!-6) °° 3=0 Ä=0 (0 <s<^s',0 <t<,t') beliebig und t differenziert werden. Setzt man 8w+nP(0,0;s,i) so gilt: oo fs'_ sy-»> oo -gë**<-* OO m+n ß'_A»-n (»'-«)'-" (i'-<)*"" „-.,! (*-„)! CO /I-.0.—0 /*'• vl oft ,x""" 10 — Aus (1.5) und (1.7) erhalten wir P(m,n;s,t) Speziell folgt für — sm (- l)m+B = f m! n! (0 < s <S s',0 < t <S Zudem t'). lim lim = 0 und N(0) Von einer Funktion (0<s<oo,0<£<oo) ^ 0 muss P(0,0;s,t) = 1 (to »ro sein, da M(0) (1.8) P(0,0;s,f) (_l)«+"p(«.«)(0>0;*,i) in P(m'n)(0,0;s,<). = 0 vorausgesetzt wurde. f(s,t), welche in der Viertelsebene Bedingungen genügt den (—i)m+nfm-n\s,t) (a2) (&2) lim lim »TO (TO f(s,t) ^ 0 = 1 wir, sie gehöre zur Klasse F2: /(s>0 e ^V Da die Darstellung jedes beliebige endliche # > 0 und damit für alle positiven s' (1.8) und £' gilt, so gehört P(0,0;s,t) zu F2. sagen für Die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion des betrachteten Pro¬ gegeben durch die Funktion P(0ß;s,t) e F2, welche den vollständig bestimmt. Wir nennen sie erzeugende Funktion, ein Name, der sich auch dadurch rechtfertigt, dass sie im wesentlichen die momenterzeugende Funktion für die faktoriellen Momente von P(m,n;s,t) darstellt. (Vgl. Abschnitt 2). ist also zesses Prozess Eine Funktion f(s,t) £>0 in der Form eines V2 hat die Eigenschaft, dass sie für s>0, Laplace-Stieltjesschen Integrales dargestellt e werden kann oo f(s,t) = f f e-*s-A< äU(k,X) 0 in dem Z7(fe,A) oo dU{k,X) = dhdx U(M) 0 eine zweidimensionale Verteilungsfunktion mit ?7(0,0) = 0 bezeichnet. Dies ist eine Verallgemeinerung des folgenden Satzes Bernstein über vollmonotone Funktionen: von Widder- 11 — — Zu einer auf dem Intervall 0 < t < /({), vollmonotonen Funktion oo Eigenschaft d. h. einer Funktion mit der (tti) (-l)"/(n)(<) ^0 gibt für <>0 eine nicht-fallende, beschränkte Funktion es so, dass f(t) U(A) mit 17(0) = 0 für J>0 in der Form f(t)=je-»dü(l) dargestellt werden kann. Gilt zudem (&,) lim/(<) = ! (to so ist V(X) eine Verteilungsfunktion. Für eine vollmonotone Funktion auf f>0 mit der (bj) schreiben wir Der Beweis des Satzes dieu (4a) oder Feller Wir von Widder-Bernstein, wie er von Dubour- (5) gegeben wurde, kann ohne Schwierigkeit auf das Zweidimensionale gemeinerung Eigenschaft f(t) e Vx. übertragen werden. Wir führen diese Verall¬ deshalb hier nicht durch. erhalten also für die Funktion oo P(0,0;s,t) (1.8) folgt die Darstellung oo =ff **-** dü(k,k). o Aus der Formel P(0,0;s,t) (1.9) o daher für die absolute Wahrscheinlichkeits¬ funktion: oo P(m,n;s,t) = oo I | J J o e"*8'*' -^Ç- -^ äV{k,X). ml nl (1.10) o Darstellung Verteilungsfunktion ü(k,X) zusammen¬ gesetzter zweidimensionaler Poisson-Prozess aufgefasst werden. Dieser Prozess wurde von Consael (2 a) untersucht. Wir beschränken uns des¬ halb auf die Angabe einiger Eigenschaften, welche wir für die weiteren Untersuchungen brauchen werden. Der hier betrachtete Prozess kann auf Grund der (1.10) als ein mit Hilfe der 12 — Eigenschaften 2. a) — des zusammengesetzten Poisson-Prozesses Die Momente P(m,n;s,t) von Die faktoriellen Momente einer zweidimensionalen Wahrschein¬ lichkeitsfunktion sind definiert durch oo VUk) = oo 22 (m-l) (m-j + 1) n(n-l) • • • ... (n-k + 1) P{m,n;s,t). Sie besitzen die faktorielle momenterzeugende Funktion oo oo g(u,v;s,t) - 2 2 (l-u)m(l-v)nP(m,n;s,t) m=0n=0 (0<w<l,0o<l), dasheisst ^.+kd'+1eg{u,v,s,t) Durch eine einfache Kechnung ergibt gr(M,u;s,f) Falls die erhält (j + k)-te Ableitung man ^ Das = sich P(0,0;sw,fo). = von P(0,0;s,f) im Nullpunkt existiert, (_1)W^pW1(0M0). (j + Ä)-te Nullpunktsmoment OO von U(k,X) oo ov*=//&'A»âl7(M) o berechnet sich, unter o Voraussetzung Existenz, der aus «yft=(-l)'+ft-PW)(0)0;0)0). Also (2.1) gilt die Momentenrelation W*'0 Wir führen die Momente bis zur m(s) = ks Jjs) = o*s* + kS Omni*'*) = O****- = «/*»*<*• zweiten ' (2-2) Ordnung explizite n(t) = Jt <£(f) = cZP + Jt auf: (2.2a) 13 — — Für den Korrelationskoeffizienten {'} om{s)an{t) ergibt sich _ r(s,t) = ?" ,. _, (2.2b) _=. , b) Bedingte Verteilungen Die direkte rechnen wir Übergangswahrscheinlichkeit P(m',n';s',t'lm,n;s,t) aus der P(m',n';s',t'lm,n;s,t) P(m,n;s,t) Setzen wir die Formel keit ein, so ergibt (1.3) Berechnung Ü(k,X[m,n;s,f) benützen wir die = P(m,n;s,tjm',n';s',t') P(m',n';s',t'). für die inverse Übergangswahrscheinlich¬ sich PimW.s^m^t) Zur /' s\ / = t\ P(m',n';s',t') B„(m;?)^(n;7) ^^ P{K<h,A < X/M(s) = = m,N(t) Aus ihr = = m,N(f) = n] Verteilung n,k^K<k + dk,X^A<X + dX\ folgt k = = „-*** e-*-" K ' m! " m! n! w! (2.4) . -^- n! bedingte Wahrscheinlichkeits¬ Voraussetzung -^-(W^(W_ m\ K(A*)"j ' äü(k,X). »fflp P(m,n;s,t) M und N unter der P(m,nlk,X) e^u -2—5 Schliesslich erhalten wir für die von = x JSe""" V[k,Xjm,n;s,t) funktion (2.3) bedingten Verteilungsfunktion der (ks)m P{M{s) be¬ Beziehung mit """ K E(Mlk,X) ^'""^ E(Nlk,X) = = ~ = k,A = X ks "* Xt. (2.5) 14 — — Sind die Werte der Variablen K und A gegebene feste Grössen: Ereignisse unabhängig voneinander nach einem Poissonschen Gesetz ein. k bzw. X sind die spezifischen Mittelwerte der entsprechenden Art von Ereignissen. k bzw. X, so treffen die Eine statistische Gesamtheit, in welcher die (2.5) eintreffen, Gesetz bezeichnen wir als Ereignisse gemäss dem homogen, da für alle Indi¬ viduen der Gesamtheit die spezifischen Mittelwerte k und X theoretisch gleichen allgemeinen Fall, wo K und A entsprechend der Verteilungsfunktion U(k,X) über die Gesamtheit verteilt sind (und so¬ mit die Wahrscheinlichkeitsfunktion (1.10) gilt) betrachten wir die Gesamtheit als inhomogen in dem Sinne, dass jedem Individuum je ein gewisser Wert von K und A zugeschrieben werden kann : k bzw. X, die wir als Suszeptibilitäten des Individuums für die Ereignisse erster bzw. zweiter Art bezeichnen. dU(k,X) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Suszeptibilitäten eines beliebig aus der Gesamtheit gegriffenen Individuums im Bereich B(k<^K<k-\-dk,X <S A<X + dX) Hegen. sind. Im die Gesamtheit, Statistisch liefert dieser Ausdruck, den Bruchteil der dessen Suszeptibilitäten in B liegen. U(k,X) gibt an, wie man Gesamtheit im Hinblick auf die zwei betrachteten Ereignisse gesetzt zu denken hat ; wir c) Stochastische nennen sich die zusammen¬ sie die Strukturfunktion. zwischen M und N Abhängigkeit Die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion niert wurde als die Wahrscheinlichkeit, dass P(m,n;s,t), welche defi¬ m Ereignisse der ersten n Ereignisse der zweiten Art im Intervall 0 allgemein die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von m und n Ereignissen in beliebigen Intervallen der Länge s bzw. t dar, d. h. sie ist unabhängig vom Anfangspunkt der Intervalle (was in der Bezeichnung antizipiert wurde). Art im Intervall 0 bis s, und bis t eintreffen, stellt Um dies P{M(a + s) N(t) = — zeigen, berechnen wir N(r) M(a) m,N(r + t) zu die Wahrscheinlichkeit n}, wobei = M(a) = j und k sei. P{M(a + s)—M(a) = = — = m,N{r + t)—N(r) = n) 22 P(]Ma,rlj + m,k + n;a + s,r +1) P(j + m,k + n;a + s,x +1). 15 — Setzt man (1.8) und (1.8) ein, so — erhält man : =ss('r)f'tn J\ j ;_Ofc=0 fc J\a + sJ tj \x + \a + sj \r+t (-l)^+*+> + s)'+"' -~Ç PÜ+**+-0(0,Okt + «,t +1), f« f m! n! = = ~ m s' oo (j + m) . ! o* (fe + n) ^ V- k^o £r0 , ! t* «! (-l)M+n-7^2 (-1)'-T-P(?'+CT,M)(0.0;tr + *,<), (—1)«+» m! n! sm t" m! n! £r0 ?! p(-».«)(0,0;s,<) = P(m,n;«,0. Aus diesem Ergebnis folgt, dass die bedingte Strukturfunktion abhängt von den Anzahlen m und n und der Länge der entsprechenden Intervalle s bzw. t, und unabhängig ist davon, wo diese Intervalle liegen. Die stochastische Abhängigkeit zwischen M und N kann deshalb nicht durch eine tatsächliche gegenseitige Be¬ einflussung der Ereignisse erklärt werden, sondern beruht darauf, dass die Anzahl der eingetroffenen Ereignisse Aufschluss über die Werte von K und A der Teilgesamtheit erteilt, aus welcher das betrachtete Individuum stammt. Eine ähnliche Überlegung gilt auch für die Anzahlen der Ereignisse gleicher Art in zwei verschiedenen disjunkten Zeitintervallen. (2.4) nur d) Unabhängigkeit Notwendig und hinreichend dafür, dass die beiden Variablen M(d) N(ff) sowie auch E und A stochastisch unabhängig sind von¬ einander, ist die Beziehung und P(0,0;s,t)=P1(0;s)P2(0;f) wobei P^s) e Vx und P2(0;t) e Vx. (2.6) 16 — Nach dem folgender Satz Gestalt OO Widder-Bernstein kann die Relation geschrieben / = 0 e"4s dü^k) 0 folgt Wegen (1.8) P(m,n;s,t) Px(m;s) und sofort jj^ erhalten wir = (-1)-+» P2(n;t) aus J eu düz{?.) 0 üjtfc) und UZ(A) Verteilungsfunktionen Daraus in CO OO e-ks-u dU(M) (2.6) werden OO ff 0 wobei von — U^O) sind mit = 02(0) = 0. jj^ ß^). = (2.6) sm tn ml nl -Pi»>(0;*) P2"'(0;<) = P^s) P2(n;t), sind Wahrscheinlichkeitsfunktionen zusammengesetzten Poisson-Verteilungen. Umgekehrt folgt aus der Unabhängigkeit von K jenige von M und N und damit die Eelation (2.6). von eindimen¬ sionalen Der eindimensionale und A sofort die¬ zusammengesetzte Poisson-Prozess wurde (4) und O.Lundberg (8) untersucht. Die meisten Eigen¬ schaften, welche wir im folgenden benützen werden, ergeben sich aus den entsprechenden Eigenschaften des zweidimensionalen Prozesses von Dubourdieu durch Spezialisierung. e) Funktionelle zwischen K und A Abhängigkeit Von einer erzeugenden Funktion einer eindimensionalen gesetzten Poisson-Verteilung ausgehend, zusammen¬ kann auf einfache Weise eine zweidimensionalen Verteilungen gebildet werden. Falls B(0;u) e Vlt dann gilt B(0;as -f- bt) e V2, was man leicht aus der (m + w)-ten Ableitung von B nach s bzw. t ersieht. B(0;as-}- bt) kann deshalb als erzeugende Funktion P(0,0;s,2) einer zweidimensio¬ nalen zusammengesetzten Poisson-Verteilung aufgefasst werden. Für spezielle Klasse von die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion des zweidimensionalen Pro¬ zesses ergibt sich nach (1.8) A sm i" , dm+nB(0;u) du" (as)m \i*oi , P(m,n;s,t) = ±-L- ml (U)n l/tl +-L- nl (m \tiv ^^ + J_ , lift ri)l • \' (as + bt)" U=OS , + J/ B(m + n;as + bt). (2.7) 17 — — tinter der Voraussetzung, dass die Momente zweiter Ordnung existieren, wird der Korrelationskoeffizient von K und A nach (2.1) Q (E"(0;0)-fl,2(Q;0))a& __On__ ~ ~~ |/E"(0;0)-E'2(0;0) <>ft°A K und A sind linear abhängig a J/Ê"(0;0)-B'2(0;0) b voneinander und variieren im Sinne. Für den Korrelationskoeffizienten von M und N ergibt = gleichen sich aus P(0,0;s,t) als (2.2b) r{s,t) Da für die B(0;u) < 1. Darstellung gilt oo B{0;u) = je-^äViji), o so ist M P(0ß;s,t) = fe-^^'dV^). o Anderseits gilt „, P(0,0;s,t) =ff e*8-" dü(h,X). o o Also folgt ^ der Eindeutigkeit der Darstellung Laplace-Stieltjessches Integral aus — - A b a was unabhängig Die von von der Existenz der Momente gilt. Bandverteilungen oo Parais) = oo 2 P(wi,n;s,<) sowie P2(n;t) n=0 errechnen sich ohne = 2 P(m,n;s,t) m—0 Schwierigkeit zu: P^mis) = B(m;as), P2(n;t) = B(n;M). (2.8) 2 18 — 3. Beispiele — zusammengesetzten von Poisson-Verteilungen Beispiel einer eindimensionalen zusammen¬ gesetzten Poisson-Verteilung wurde von Greenwood und Yule (6) und, in einem anderen Zusammenhang, von Pölya gefunden, und wird in der Literatur meist negative Binomialverteilung, gelegentlich auch PôlyaVerteilung genannt. Das Die bekannteste erzeugende Funktion P(0;° ist die = =«(A)= mit den Momenten \bj _ X -=-jt-« — w dX M <% q, " (3.2) I\qjb) , = <t>°>b>0 der Strukturfunktion Laplace-Transformierte ' (tTwJ = ,„ qb. „ (3.3) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt die einfache Gestalt F{n't}-{l + bt) Aus (2.2a) erhält man \l + bt) ' r(qlb)nl M für ihre Momente: tc = qt, (3.5) geben im folgenden einige Erweiterungen auf zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit negativ-binomialen Bandvertei¬ lungen an. Wir 2e) haben wir ein Verfahren zur Bildung von Verteilungen betrachtet. Wir wenden es an auf die negative Binomialverteilung, und setzen daher la) In Abschnitt zweidimensionalen B(0;M) Dann ist = (ïi)C / P(0,0;s,f) 1 = 1+ as + bt C>°- 19 — (1.8) folgt Aus P(m,n;s,t) Die sofort sind nach / = \7 1 1 + = + \i/ 1 btj durch: U 1 + W/ der Verteilung, : r(pla)m\ \" V (3.8) r(qlb + n) . r{qlb)n\ Funktion (j^f- (r^f- (ï+5+s)' —,-—I. Für die der wir r(p/a + TO) \l + fc/ erzeugenden (3.7) I\e)n\ auf eine 6< -f-/ (3.6) \m r(c + m) as btJ \l : = (3.4) gegeben (—-—V (——) aus von POAM) Eandverteilungen ergeben <3!» sich daraus erzeugenden Funkfcionen: PA0-.S) P2(0;i) Sie führen auf die = 1 dung 1 und t N-«- 1+W Verteilungen (3.8). Nach (1.8) ergibt sich die abso¬ (3.9) (m + n)-ten Ableitung. Wir wenden die Leibnizsche Formel mehrfache Ableitung eines Produktes auf die Ableitungen nach der für die -}-as = lute Wahrscheinlichkeitsfunktion s und (j+w It+w -T(^r' / die (2.8) lb) Wir verallgemeinern nun (3.6) Bandverteilungen vorschreiben: gehen wir \e+n+n . P2(n;t) P2(n;t) —- [1 + as+Mj r(c) n\ m\ P.(m;s) 1 — — ; EandVerteilungen Dabei f (as)- (bt)n r(c + m + n) = Pi(m;s) die — an und erhalten aus im wesentlichen durch Bil¬ 20 { '"^ "àèoU + aJ — U + «>l Vf-./ 1 1+fcf/ r(p/a-c)(m-/)! n-fc 6* \1+^/ r(q/b—c)(n—k)l (as)' (bt)h r(c + j + k) fe! j! Nach r(g/6-c + n-Ä) \*-* /1(c) einigen Umformungen ergibt f \,+'+* 1 \l + as + b* sich daraus (o.lü) mit den Koeffizienten "** \ j ) I\e) (j + k) 2 a) Eine andere ! r{Vla-c) (m-j) ! r(qlb-c) (n-k) ! Erweiterung der negativen Binomialverteilung auf zwei Dimensionen erhalten P(W« = wir, indem wir ausgehen von der Funktion U+")a+n-o*J mit c>0 und Sie ist die Laplace-Transformierte (Vergleiche Voelker ' und Doetsch <3-11) 0</?<l. der Funktion (13) S. 234). Ie_l bezeichnet die mo¬ difizierte Bessel-Funktion ^i(*) (*y"°jrt(w). = Man kann leicht achse definierte nachprüfen, dass u{Jt,X) eine Frequenzfunktion ist. Aus oo P{0,0;s,t) = folgt sofort: P(0,0;s,t) positiven Halb¬ oo f f e*'-" u{k,X) dk dX o daher auf der e o V2 so dass (3.11) die erzeugende Funktion eines zusammengesetzten Poisson-Prozesses darstellt. 21 — Die Ausdrücke: 1 ^(0,5) = P2(0,t) = l + as, xc 1 + &« 1 erzeugenden Funktionen der Eandverteüungen. Diese letzteren sind also gegeben durch (3.7). Zur Berechnung von P{m,ri',s,t) formen wir (3.11) um: sind die 1 ' P(0t0;s,t) = l + 1 as 1 + bt bt as 1--ß l + 1 + bt as bt 1 l + 1 as + é'o btJ P r(c)hl \l + as + bt 1 angeschriebene Eeihe konvergiert gleichmässig in s und t, da 0 < ß < 1. Sie darf deshalb gliedweise differenziert werden. Also wird Die ['"} ^ ~ r{c) Ä=0 Für die df \ (i + bty+h e+h &\j ) ((l + as)c+A min(m,Ä) v ; dsm-j \l + as r{c+h + m-j) (1 + as)c+h+m-j C+m {-a) àV" m y/»\ = {bt? dn unter der Summe erhalten wir: Ableitungen {as? dm "oY" m (as)h + dsm\(i asy+h \ p 1 + [ OS \l asJ + \hmin(m,h) (_ 1}' as) S h\ .T(c + 7i + m—j) m! Qt-j)! {m-j)! T(c + h) IV VFühren wir hier die so wird Bezeichnung (a)4 die betrachtete Ableitung: e+m \ 1 (~a)m l + as as 1 + l+as = ' e+" \hr{c + asJ / + r{c + h) r{c + as li_l + m m V7. as/I{c + = a(oc + l) h) ä") — as, (a + t— 1) ein, (- h)} {- m)i p& (—m—h—c + l)tjl\ + lî)^( ^ ... 1+ , 'F(~K-m,-m-h-c +1,1+ m)\ as 1 — as 22 — Die Funktion „, „ — £, («), ($, v 1 bezeichnet die Gaußsche hypergeometriscbe Eeihe. Sie reduziert sich a oder ß eine negative ganze Zahl ist. Polynom, Setzen wir den gefundenen Ausdruck für die Ableitung des ersten Fak¬ tors und den analogen für diejenige des zweiten Faktors ein, so erhalten wir nach (1.8) 1 1 W as Y" 1 / / W bt \" 1 einem zu falls, wie hier, , P(m,n;s,t) r(c + h) jfci r(c)hl ./ ß (-7 r = 1 + asJ \l \V as asj \l H + ric v + n + Abkürzung + UJ \l + btj n\ 1 + h)„{ 7. F[-h,-m,-m-h-c + l,l + , — + h) r(c as \ h)^/ ' r{c + h) Zur m \J btj \l m! \hr(c + bt } h \l + asj + 1 , Fl—h,—n,—n—h—c +1,1+— bt \ setzen wir bt as v ß- = 1 + as 1 + bt und schreiben die Ausdrücke der Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Kandverteilungen (3.7), P^mis) und P2(n;i), vor Abgesehen vom Entwicklungskoeffizienten und das Summenzeichen. von y* erhalten wir dann in der Summe Ausdrücke der Gestalt r(c)ric + + h) l r(c + h)r(c + m) \ und analoge m für die 1\ as Polynome in n. Wenden wir darauf eine der Gaußschen Transformationen für die ergibt sich dafür (vgl. z. B. bypergeometrische Eeihe Magnus-Oberhettinger (9) S. 18) Ji, — an, so m,c, as Die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion kann in der Gestalt einer bi¬ linearen Entwicklung nach P(m,n;s,t) = P^m^P^t) orthogonalen Polynomen geschrieben werden f] ^tA/F(-h, 1 h=o [c)h\ \ -m,c, -—)f(-H, ~n, c, —1\ .(3.13) as j \ bt) 23 — Die „..._,,/ Polynome sind auf der Mh(x;c,u) Zahlenmenge P(x) x 0,1, 2, — \7 Definition der \x u W ' mit der ... i + wenn Aus dem (— 1)* dx x\P(x) du* M^"-> Operator Vh die = f(x) x) r(c)x! - ... + ( von einer andern uh }(1+ «)*+" der aus Beziehung Vh\P(x)(x + c)J L(Lpw = (3-U) • h-te absteigende Differenz bezeichnet, d. h. (-1)« Ç) f(x~i) +...+ f(x) = P(x) (x /(z —i) = P(o; Wegen man Vorangehenden folgt Anderseits können sie auch gewonnen werden Vhf(x) Belegungsfunktion Hc + * «/\i-f»y Mh(x;c,u) ausgeht. Mh(x;c,u) wobei der I = Man sieht dies leicht ein, orthogonal. _ F(—h,—x,c, 1 , 1' , „ = — + (-l)»f(x-h). c)Ä i) (x + c—i)h folgt: IV mr(x + n+c)_F(_h)_^_h_x_c rQi + c)r(x+c) + \ iti+i « Dieser Ausdruck stimmt mit (3.12) überein. Von der Darstellung (3.14) ausgehend ist die Orthogonal] tat leicht zu beweisen. Mit der Bezeichnung x(x— 1) [x]{ (x—i +1) wird = ... CO CO S Mi vhf(x) = 2 M« v^Pix) (x+c)h) = o. 24 — Dies folgt sofort durch Also ist — der Abelschen partiellen Summation. Anwendung «J 2 Mi P(x) Mh(x;c,u) für i < h 0 = 1=0 , und oo 2 P(x) Mh(x;c,u) Mt(x;c,u) = für 0 % =£ 7i. Bandverteilungen haben die Wahrscheinlichkeitsfunktionen (8.7), negative Bmomialverteilungen. Man erhält deshalb aus durch Einsetzen der entsprechenden Parameter: (8.5) Die sind also * m = cas n = cht sowie: a2, = cas(as -f-1) c\ = c&f(6f + 1), „o 2 mPP^mis) = c(c + 1) (as)2 + cas m=0 2 w2-P2M Daraus folgt c(c + 1) (&02 + <**. = für die Kovarianz von M und N oo oo amn — w S m-Pi(m?s) -^(mjc.as) 2 wP2(n;f) M^wjc.&f) + Ve 1 2 mP^s) o (oo <rffl„ \ oo cas 2 *PM;s) o / / \ 1 oo 2 nP2M —iT o = yc(cas—(c + l)as—1) (cbi—(c + l)fci—1) = yc(as + l) (&« + !), und für y — = cot = (as + l)(tt + l) e Aus der Definition von y ergibt <?m<?n c sich (as + l)(bt + l) amn Beachten wir noch die ß %l akX fea Vcb ^ casbt Beziehungen (2.2a), ca° ' = ht as und °*A okax oo 2 rc2P2M o yc(as + 1) (if +1) 1 y m « n=0 m—0 (8.3), so wird — 25 — Bedingung 0 < ß<. 1, welche wir am Anfang einführten, bedeutet also, dass (3.18) eine Verteilung mit positiver Korrelation darstellt, da aus g > 0 auch r(s,i) > 0 folgt. Pur ß 0 sind K und A unkorreHert und sogar unabhängig. Das gilt ebenfalls für M und N, wie man sofort aus (3.11) ersieht. Im Grenzfall ß 1 geht die Verteilung (3.13) in (8.6) über. Die = = 2b) Wir erweitern, wie beim ersten Beispiel, Bandverteilungen: auf eine solche mit den Vi t{ gehen wir Verteilung (3.13) ï"r(P/" + m) Mf ~\l + as) \l + as) r(vla)m\ 1 s-l 'S) as P*M-\1 + bt) [1 + U) Daher die • r(qlb)n\ der Funktion aus von P(0,0;s,t)-(-±—VC / 1 + ' asJ 1 \1 \(l + as){l + bt)—ßasU] UJ + (3.15) wo c der Bedingung 0 < <^ min (—, c —- b \a genügt. Schreiben wir (3.10) I ) in der Form : P(0,0;s,f) \4/ 1 M 1 = + as J 1 + as J \l 1 \ 1 + bt. + btj s^^v fco />) hl bt as mit so folgt ganz P(m,n;s,t) = analog zum y r = ß y - 1 + —, 1 + U as Vorangehenden PMv)P,M 2 a=o ^^ /^f-ft. -«.—,-—) J(c)n! \ a as/ -Fh'~n'î'-^)- (B-i6) 26 — Es ist — mn y = <?m(?n c Xmi |8 Wegen ak —• cab ]/ap = ax = ]/bq ß=lJL\/JL.l/±e. folgt -7i/fVi Ersetzen wir in Polynom MÄ, P(m,n;s,t) = = (3.16) so y und schreiben für das h-te hypergeometriscbe erhalten wir P^mis) P2(n;t) "Ä"' § ^t?} M"1"'—'08)Wn;-^)(— \ J \ r(c)A! h=0 J\ b a c (fmoZ (3.17) 4. Eindimensionale zusammengesetzte Poisson-Verteilungen Im Eindimensionalen ist ein elementarer stochastischer Prozess mit binomialen inversen Übergangswahrscheinlichkeiten P(n;tln';t') gegeben durch eine zu = ^(»iy) (4-1) V1 gehörende Funktion P(0;t), die erzeugende was ohne Schwierigkeit aus den Überlegungen Funktion des Prozesses, folgt. Diese kann auf Grund des Satzes von WidderBernstein als Laplace-Stieltjessche Transformierte einer Verteilungs¬ funktion Ü(X) dargestellt werden des 1. Abschnittes P(0;i) = je'" dU(X) mit U(0) 0. (4.2) aus (1.8) = o Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(n;i) Zur Konstruktion von ergibt sich als Spezialfall r = (-1)"—P(n)(0;<). Beispielen wird gewöhnlich (4.3) von einer spe¬ ziellen Strukturfunktion ausgegangen und daraus nach (4.2) und (4.3) die Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnet. In den meisten Fällen ge¬ langt man dadurch zu formal komplizierten Ausdrücken. 27 folgenden leiten wir eine einparametrige Schar von Verteilungen her mit der Eigenschaft, dass ihre Wahrscheinlichkeitsfunktionen ver¬ hältnismässig einfach berechnet werden können. Wir gehen dabei in natürlicher Weise von der erzeugenden Funktion P(0;t) aus, und stellen den folgenden Hilfssatz an die Spitze: Im Wenn f(t) e V1 und r(t) t(0) r'(t) dann gilt :/(t(<)) e eine Funktion ist mit den Eigenschaften : 0, = vollmonoton auf 0< t < oo, Fx. folgt sofort durch Benützung der Formel von Faà de Bruno für die w-te Ableitung einer Funktion von einer Funktion Der Beweis fini — n = Die Summation (fc) ist zu (4.4) T-T(|) erstrecken über: \+ Voraussetzung dr" n\ h + h+ Nach rTw(91*"<*7 ~r'{t)]kx n\ y y- 2 ••• fe2 + • • +K • = »> + nkn = n. ist: (_ 1)MTW)(/) ^0j also wird das Vorzeichen des v-ten Summanden in (_!)- (_!)** (_1)2*» ... (_l)(»-i)*n = (4.4) (_1)« und daher (-1)' Die Eigenschaft : lim f[r(t)] = df 1 folgt 0. sofort aus den Voraussetzungen. <to erzeugenden Funktionen eines zusammengesetzten Poisson-Prozesses können deshalb durch Anwendung von Transformationen r(t) neue erzeugende Funktionen gebildet werden. Aus den 28 — gewöhnlichen (4.4) ergibt P(»'(0;i) = /(<) = *-*' P(0;t) = e"1*0. Funktion des P(0;t) 2S r'(<) 71! k«i!, 2>0, Ableitung sich für die n-te »-0(*) Aus erzeugende Poisson-Prozesses und erhalten Nach die Ausgangsfunktion Wir wählen als ••• k«„!, *1 T(">(i) 1! n\ in (-g)v- (4.3) folgt P(n;0 = r'(i)Vrti*» (-<)" ^ P(O;0-5-^-2(-2)"S n\ £o 1! \\ ...kj w T<n>(<) *n 71! (4.5) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion kann auch mit Hilfe einer (4.5) Eekursionsformel berechnet werden: P(0;t) = p'(0;t) = e"^", — gT'(J)e-*T(') Aus der Leibnizschen Formel erhält P(«+D(0;i) und wegen = -q V = — man gT'(<)P(0;f). daraus (»\ T(*+D(«) p(«-*)(0;<), (4.8): (n + l)!i&Jo(7i-fe)!fc! w (-*)' P^+Ut)=-±—^(-tf—-^P(n-h,t). n+1 fcn Wir betrachten nun (4.6) fc! die Transformation, die r'(t) gegeben ist 1 = 1 + ct c>0, a>0. durch 29 — Daraus folgt, wir noch die wenn — Bedingung t(0) = 0 berücksichtigen: t a 1 -/G-fJ-" r(f) ((l c(l-a) + rt)1-—1) 0, 0<<x<l, 1 log(l + d) c oc l Ableitungen ergibt = l, o-l 1 Für die = c(a-l) l<a< 1 + cf oo. sich Setzen wir diese Ausdrücke in (4.7) \l + et T(a) (4.5) ein, erhalten wir die Wahr¬ so scheinlichkeitsfunktion *n w! — *i+2fc, + c ... + n*„ Kl + et, P(n;i) Die = P(0;t) erzeugende l »! f et I\et)n! (ü) «i'. ...«„! \l! „=o c/\l + c«. \" <x-l\r » S^U«) \1 + ci/ £o """' Vc \1 + (4.8) et Funktion lautet für a>0: P(0;i) _ = . e *-fi-(—V*) / vi+ciy c(<x-i) v a=£l, (4.9) î/c P(0;<) Für die Koeffizienten 1 a= + d Am(a.) ergibt sich die Darstellung "M-Jt*ll...hml\ll) \l\*)2l)-\ oder, wenn man 1. den Ausdruck für P(0;t) in (4.9) « r(«)n! mal nach t J ableitet, 30 — — die Eekursionsformel ^»(") ^r-ta-iW + (ocv + n = ^00 — v-1) Am_t(cC) io„ 1,. = = 0 fürn^O. Die Eekursionsformel für die Wahrscheinhchkeitsfunktion wird, wir (4.7) in (4.6) wenn einsetzen: Um die Strukturfunktion bestimmen, gehen wir zu aus von ihrer charakteristischen Funktion oo z(z)=feMäU(X). o Aus (4.2) sieht man sofort, dass sie durch gegeben ist (4.11) *(*)=P(0;-tt). Wir betrachten, tt — je nach dem Wert li von a, / die drei Fälle i Y"" 1—iczj Die zugehörige Frequenzfunktion /l\q,e dü(X)y} =u{X)=(-) - äX 1 < a< \ej e c(a-l) * - = Dieser e e r{qlc) c(a"1) ec(a-l) A>0. (4.12) w \o-l U-c»«/ 1 ruf *Y( 1 \7. w + \c(a—1)/ \1—m c(oc—1)\1—cizJ~\l-ciz) 2! __ -- e 2! „(2\ A""-1 oo : 1 ' ist bekannthch Entwicklung entspricht a nach (4.12) \k 11 \*'a"1' »-"äU^üHT; \e(tt—l)J die \l—ciz) Frequenzfunktion : 1 ^*(a-iH A TfM»^* A „(A) _ e « g \* A*M> —ä^j T^^ipr *>°' 31 — Im — Nullpunkt besitzt die Verteilungsfunktion U(X) eine Unstetigkeit, u(X) existiert dort nicht. Als Spezialfall berechnen -wir u(X) für d. h. cc = 2: •«— "iS '2ih6=' c2 éo |/ c2 (fc + 1)! fc! £ cZ&oXc*/ ÄiVc2/ (fc-l)!fe! gA iéi (fc-l)!fc! S^+ife! (fc + 1)! 0<a<l: Setzen -wir: y = 1 — (0< y< 1), a -JL((l-efaJM) z(«) Zur Diskussion von %(z) wird so « = w führen wir eine Hilfsfunktion ein --£-(-«)? -JL(-ci*)r jt(«) Sie kann auf die Form = L&y (7) hat gezeigt, "* werden V e = «°V e = gebracht »(*) P. e 2 ' mit dass <p{z) = e <°(l+«,ifrt4>'H |j8|^l, mitc0>0, die charakteristische Funktion eines stabilen (4.18). gestellt. Zum Durch wird eine (4.13) c0>0. gewisse Klasse von 0<y^2 Verteilungsgesetzes ist. Verteilungen dar¬ stabilen Beweis nehmen wir vorerst an, dass y rational sei: m y = — m,n ganz, m<n. Es ist (—i)m/" = cos(— \-h2n— +isin( f- Ä: 2^r k = 0, 1, .. — ) ,,n — 1. 32 — Die Lösung h n— = cos *8 — 1 liefert: / 3jr m V 2 n "5 \ 2 n \ m In h 2jt m n 2«—+ w2« re und daher n{z) = mit ) cos m\ n — , \2 n/ =-tg / — — \ 2 n ), ) 6-*»(wt»(ï f)>m/" gcos(| c0 I' = ) .-> = «• folgt die Darstellung (4.13) aus der Tatsache, beliebig nahe durch rationale Zahlen approximiert Für nicht-rationales y dass jede Zahl werden kann. Die sind Verteilungen stabilen Frequenzfunktion, die wir mit charakteristische Funktion stetig, d. h. bezeichnen. /^(A) /i-o^A) von besitzen sie n(z) eine ist dann die «(*)=/^w/1^.1(A)<tt. o i Aus x(z)=e°W7z[z + folgt X(z) = e°wfei°*e~°f1^_t(k)dL o Zu also im Falle 0 < x(z) gehört Es ist bis heute funktionen in /y-iW nur in a < 1 die Strukturfunktion wenigen Fällen gelungen, die stabilen Frequenz¬ geschlossener Form darzustellen; *st insbesondere der Fall y =-j bekannt 1 « -! -«! für die Funktionen (Vgl. P. Levy (7a)): 33 — Also wird für a = — 4- : ync Die Verteilungen, bereits von bekannte welche sich für E. Consael Spezialfälle (2) a = \ und a = 2 ergeben, wurden betrachtet. Wir führen noch zwei andere an. 17(A) oc=0: = e{A — q), P(0;Q =e-«<, p(n).i)=e-?(Ä. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der gewöhnlichen Poisson- Verteilung. a=l: Strukturfunktion und erzeugende Funktion sind hier gegeben durch (4.12) bzw. (4.9). Die Koeffizienten (4.8) berechnen sich aus A Jl) der Wahrscheinlichkeitsfunktion A^xV) + (»-1) ^i(l) = Sie stimmen im wesenthchen mit den Überem Aus AJ1) (4.8) ergibt = Stirlingschen • Zahlen 1. Art ££ (-l)n+'S'n. sich daher P{n;t) = P(0;t) \" r(qlc + n) et 1 + ctJ also die Wahrscheinhchkeitsfunktion der r(qlc)n\ negativen Binomialverteilung. Wir bemerken noch, dass die Strukturfunktion der Wahrscheinlich¬ keitsverteilung (4.8) Aus folgt: einer Integralgleichung gehorcht. P(0;t) = -qr(t) = {)~ e-*t(,) logP(0;f), q P(0;t) qr'(t)P(0;t)=-P'(0;t). ' 34 — — Die in dieser Eelation auftretenden Funktionen können als gewöhnliche Laplace Integrale geschrieben werden, da die Strukturfunktion U(x) für alle a und für œ>0 eine Ableitung u(x) besitzt. Es gilt P(0;<) = Ju(x)e<"dx, o <®=(Th)"=*W)f*"e~*''~"d'Also 0 folgt oo 3 t,,— ^r(«) oo oo I z*"1 e~*/c e~*'dx I u(x) e'zi dx J J o Symbolik der Laplace Transformation lautet diese Gleichung 3 - car(a) Sie entspricht • J o In der I xu(x)e~*'dx = der Ljof-1 e*,c) L{u(x) \ = L{xu(x)}. folgenden Integralgleichung für die Funktion u(x) X c«r(a) J y e^!cu{x—y) dy = xu(x). Zur Diskussion der durch die Parametertransformation P(0;«,a) = e ba~lK (4.8) gegebenen Verteilung c fe/a ein, und erhalten : W+bt> ', (4.14) Die Strukturfunktionen haben im allgemeinen keine einfache Ge¬ stalt. Wir charakterisieren sie deshalb durch die Grössen: Streuung, führen wir = Mittelwert, Schiefe und Exzess. Diese werden in einfacher Weise den Kumulanten nk berechnet. Nach Definition ist . äk aus 35 — Aus und daher (—l)k+lr^(0). xk= Setzen wir in -JT(-fe) *(*) (4.11) folgt (4.7) t 0 und = c b/oc, = so ,*-i I\* + k—l) b\*-1 1 \yj — K—1-) \ wird — ' n*) Also erhalten wir schliesshch: «i = «2 = q, qi, /1+*-2' 2\ et) Daraus ergeben J = kx = q, Streuung: (% = x2 = qb, Schiefe : e^ = —j = ax Strukturfunktionen teilungsfunktionen, a |/FK> --J--T Exzess: für zunehmende ft>2. et sich: Mittelwert: Die \ bei 1 + bilden daher eine ü(A;a) welche J + T gegebenem Schar Mittelwert und von Ver¬ Streuung abnehmende Schiefe und Exzess aufweisen. Für von von späteren Gebrauch führen wir noch die ersten beiden Momente P(n;t,a) an. Sie berechnen sich aus den entsprechenden Momenten U(X;cc) nach den Formeln (2.2a): n = gi, ,o» = gi(W + l). Die Funktionen x'{t;ct) (4.15) = 1 , bilden eine Schar mit der + et ) Eigenschaft, \ a + bt, dass für je zwei Werte gilt a2 mit ccj < cc2 und für alle t auf dem Intervall 0 < t < T'(<;a,) < T'ftoa). oo ax und 36 — Wegen t(0) = 0 folgt daher: und Für jedes feste t ist — T(<;at) > T^Ojj) P(0;t,ai) < P(0;t,«^. P(0;i,a) eine monoton zunehmende Funktion von a. Wir betrachten noch den Grenzfall: oc = oo. Mit den neuen Parametern lautet die Funktion /,1s 1 Daraus folgt limT(i;a) t'(£;oo) a-l\ sofort: = — vollmonoton und (1 — 0 a»»oa Da r(t): t(0;oo) = 0 e_!"). ist, stellt -Hi-*-"1) P(0;i) auch eine erzeugende Verteilung dar. = Funktion e » einer zusammengesetzten Poisson- Die Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnet werden wie Die Koeffizienten analog (4.8) Am(oo) gleich Gegensatz zu kann ganz = Bm gehorchen der Eekursionsformel Stirlingschen Zahlen 2. Art. vorangehenden Beispielen ist die Struktur¬ funktion hier durch eine diskrete Verteilung, und zwar durch eine Poisson-Verteilung, gegeben und sind daher Im den den (alb)lli dü(X) = e-qli~~- Wie haben also als Grenzfall die sogenannte Typus A erhalten. für X = 0,b,2b, Neyman-Verteilung .... vom 37 — 5. Erweiterung In den — der zusammengesetzten Anwendungen Ereignisse betrachtet, kommt Poisson-Verteilung oft vor, dass es man zufallsmässige mit denen eine kontinuierliche stochastische Variable verbunden ist, welche man als Grösse der Wirkung eines Er¬ Beispiele dafür liefern viele Zweige der Per¬ sonen- und Sachversicherung, wo ein Schadenfall einen Schaden aus¬ löst, dessen Höhe weitgehend durch den Zufall bestimmt wird. Mathe¬ matisch wird ein solcher Prozess dargestellt durch eine Variable, welche in zufälligen Zeitpunkten sprungweise ändert, wobei die Höhe des Sprunges selbst eine stochastische Variable ist. eignisses auffassen kann. Wir beschränken auf eine uns einzige Art von Ereignissen, folgende Annahmen : und machen über die Natur des Prozesses 1. Die Anzahl ist Ereignisse N gegeben durch eine eindimensionale zusammengesetzte Poisson-Verteilung : oo P(n;t) e-xt^-dU(X). = 2. Die Höhe eines Sprunges X ist unabhängig von Anzahl und Grösse der vorangehenden Sprünge. Sie besitzt die Verteilungsfunktion: P{X < x) Die die summare Sprunghöhe in Verteilungsfunktion = S(x) mit einem Zeitintervall der S(0) Länge = 0. t hat dann oo <T» Ä dü(X) S,n)(x) 2 Iff" n=oJ 2 = = H(x;t)r,t) (5.1) 0 S(n) Als Beispiel bezeichnet die ra-te betrachten wir den Fall: du® = dX dS(x) \b) 1 = dx n\\ a^1 I\qlb) -| —ed= d -4 6 s(x). ' Faltung von S(x). 38 Durch Induktion findet man ,n-l 1 i\ Also — * - folgt: d *w(0) 0 Nach (3.1) und n = für n > 1. ist: (3.4) qß 1 P(0rf) = P(n;t) = 1, f ür btJ' 1 + n bt P(0;Q 1 + btJ r(q/b + n) I\qlb)nl Wir erhalten deshalb für x>0: bt dx 1 f/ 1 + + e * M ~ , aX"-1 \1 + bt) dT(qlb) à \1 + bt JJ btJ U \ \ , btJ \l + bt) e * Z> / dI\qlb)èo\l bt + bt r(qlb + n) I\n) I\n + 1) x\nr(glb + n+l) d) r(n + 2)n! ' Die gleichmässig konvergente Potenzreihe stellt eine konfluente hyper¬ geometrische Funktion dar. Führen wir die für sie übliche Bezeichnung I\ci)eAr(ß + n)nl so erhalten wir schliesslich h(x;t) = P(0;t) s(x) f at -f- tFt qjb +1,2, V 1 + ^ Die charakteristische Funktion y>(«;Q = von bt x (5.2) 1 + btd H(x;t) J" é!X dH{x;t) o drückt und sich mit Hilfe der charakteristischen Funktionen Ü(A) von S(x) oo <p(z) = fei*xdS(x), X(u)=JS*dü(X), aus. 39 — DO OO Ç OO e^^P^dS^x) %P(n;t) = n-0 /OO «-0 J e<**dS{n)(x) . 0 Wegen « Je^dS(n)(x) [<p{z)f = o wird y,(z;t) = fiP(n;t)[<p(z)]» = f^^^Wf § n! «=oJ »=o 0 oo oo L-u^riW dU{Xj = 0 Also 0 folgt: V(^) = [t\w(z) —11) i-\. ^ Man erhält daher oder, wenn aus Verteilungen =(-i)fc^'(0), «* =(-*')Ä^(0). (5.8) berechnen sich = »!«!<, PS) = ^ota^ + ra^i, i«s(t) = "?a3i3 + 3^^012 f2 + VjO^. H(x;t) ergibt wir die Varianz Das dritte Moment von = Ä(0 ="î(«3«3-3«1a2t3 ä(0 + sich U(X): a = <%—a2 einführen =>'2ot2 + »'2a1<. bezüglich ÄW den sofort : ftjffy von aus (_^yW(0;0> vk Ä(0 wird = (5-3) %-^M Die Momente der betrachteten Beziehungen: Für die Varianz CeHWMdUiZ). = dem Mittelwert - 3/*i(0 ftO + 2^(<) 2û4St3) + 3r1r2(a2t2-a2t2)+v3a1f. (5.4b) 40 — — Wir betrachten noch zwei Grenzfälle der erweiterten zusammen¬ gesetzten Poisson-Verteilung: 1. Satz von Lundberg (8). existiert, Falls das Moment v1 lim 2. Grenzverteilung gilt so H{xt;t) = U[ — Xt — v1 cf.11 = ]/vlat + v2cx.l yi Voraussetzung, dass Grenzübergang: Satz: Unter der a-*- 0 ) oo J -*- H(x]/vlat + v2oi1 existieren, gilt beim <x2 und v2 at > t yt + = Vj fest f a^;«) = 0(x). a»-0 f»-oo Beweis: Die Variable X* hat die charakteristische Punktion Daher wird *, iogv M = izViOLit ft + Iog* 7P ~^= 1/7 mit Für / log%(w) benützen wir die log x(u) log z : für die standardisierte Variable X* lim für die Variable (j «) = = \ z Entwicklung: «iW + a «ife + af2 (m)2 + ao(M2) —g- y + /to(u2) • » — Ersetzen wir auch so durch ihre y{w) cp(w) 41 1 + — — Entwicklung Vj[iM) + v2— \Ä o(w2), wird: / %z %S " = "1,^ XT i/T -"äT^TT r7 + 1 \ °(7)' 1 Also folgt: izvx<xxt */_j\ log v*(*;*) = —L. + to J»-oo die z2 t t (—\, lim Die izvxa.^t | log y>*(z;t) z2 = ——. " Verteilung der standardisierten Variablen X* Normalverteilung N(0,1). strebt also gegen fl — 42 — II. Teil Hauptprobleme der Unfallversicherungsmathematik und der Unfallstatistik 1. Allgemeines Damit wir die Theorie der stochastischen Prozesse auf versiche¬ rungsmathematische Probleme anwenden können, müssen wir erklären, wie in der Praxis das untersuchte stochastische Ereignis, also das Ein¬ treffen eines Schadenfalles, definiert ist. Während in der Lebensver¬ diese Definition in natürlicher Weise sicherung Unfallversicherung gegeben ist, muss in der über Eintritt oder Nichteintritt eines Schadenfalles gesetzlichen Bestimmungen entschieden werden. Begriff Unfall soll deshalb in den folgenden Untersuchungen im versicherungstechnischen Sinne verstanden werden, d. h. als ein Er¬ eignis, welches nach den einschlägigen Gesetzen über die Unfallver¬ sicherung den Versicherer zu einer Versicherungsleistung veranlasst. Er ist daher meist sehr komplexer Natur; beispielsweise werden im Bundesgesetz vom 11. Juni 1911 über die Kranken- und Unfallversiche¬ rung die Berufskrankheiten den Unfällen gleichgestellt (Art. 68). oft auf Grund von Der Bei einem Unfall haben wir, streng genommen, zu unterscheiden Unfallereignis (dem Schadenfall) und den Folgen des Unfallereignisses, welche für den Versicherer in der Ausbezahlung der vereinbarten Entschädigimg (der Schadenhöhe) bestehen. Dem Sprach¬ gebrauch folgend verwenden wir, wo keine Verwechslung möglich ist, für den Begriff Unfallereignis gelegentlich auch den weniger präzisen zwischen dem Ausdruck Unfall. Die Anzahl Schadenfälle, welche eine Person in einer bestimmten Zeit betreffen, sowie die Schadenhöhe pro Unfall, haben wesentlich stochastischen Charakter: sie werden indessen beeinflusst durch eine priori bekannt, teilweise a wie sie zum Bei¬ Statistiken, Umfangreiche posteriori bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt in Luzern, spiel grosse Anzahl Faktoren, welche teilweise a feststellbar sind. dem statistischen Büro der englischen triebsunfälle in Born Versicherung in Versicherung gegen Be¬ eine im voraus mögliche staatlichen Newcastle und dem staatlichen Institut für die vorhegen, zeigen, dass für 43 — Abschätzung des Eisikos folgende Hauptfaktoren Geschlecht, Alter, Beruf, sind: — ferner zu berücksichtigen Nebenbeschäftigungen Gesundheitszustand der Versicherten. Zu diesen objektiv und erfassbaren kommen noch eine Reihe von subjektiven Faktoren hinzu, über die längere Beobachtungszeit zuverlässigen Aufschluss geben kann, Anfälligkeit für Unfälle sowie Versicherungs- und Arbeitsmoral. erst eine wie: In der Versicherungstechnik werden auf Grund solcher Gesichts¬ punkte Gefahrenklassen abgegrenzt, um dadurch den Bestand in mög¬ lichst homogene Teile zu zerlegen, d. h. Teilbestände, in welchen alle Objekte annähernd gleichem Bisiko ausgesetzt sind. Zur Bestimmung Nettoprämie genügt es, Unfallhäufigkeit und durchschnittliche jeder Gefahrenklasse zu kennen (zwei Grössen, auf deren Definition wir im nächsten Abschnitt näher eintreten), während für Risikountersuchungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ge¬ samtschadens gebraucht wird, die sich aus der Verteilung der Anzahl Schadenfälle und der Verteilung der Schadenhöhen berechnet. der Schadenhöhe in N Diese Verteilungen müssen empirisch gefunden werden, doch wird begnügen, beobachtete Häufigkeitskurven ein¬ fach auszugleichen, vielmehr versucht man, durch Hypothesen, welche der Erfahrung gerecht werden, den Charakter der theoretischen Vertei¬ lungen zu erklären. man sich nicht damit Die in Frage stehenden Grössen: Anzahl Schadenhöhe sind neben den stochastischen Schadenereignisse und Schwankungen oft auch systematischen Veränderungen im Verlaufe der Zeit unterworfen, sei es durch die Wirkung wirtschaftlicher Einflüsse oder durch Änderungen der allgemeinen Lebensbedingungen. Damit aus einem vorliegenden Beobachtungsmaterial zulässige Schlüsse auf das künftige Geschehen gemacht werden können, soll es folgenden Bedingungen genügen: 1. Es muss dischen 2. Die möglich sein, zufällige Änderungen von der untersuchten trendmässigen Grössen zu oder perio¬ trennen. Verteilungsfunktionen, welche dem Trend oder überlagert sind, müssen zeitlich stabil sein. der Periodi¬ zität Diese Forderungen gelten suchungen, technische nur für mathematische Unter¬ praktische versicherungs¬ Überlegungen, so dass es nicht berechtigt ist, aus ihnen einen Einwand gegen die in der nicht sondern in anderer Form auch für Anwendung mathematisch-statistischer Unfallversicherung abzuleiten. Methoden 44 — 2. Formen der — Unfallversicherung Wir haben in der rungsarten Unfallversicherung hauptsächlich unterscheiden, nämlich: zu Einzelunfallversicherung und zwei Versiche¬ Betriebsunfallversicherung. Während in der Einzelunfallversicherung die einzelne Person die Versicherungseinheit bildet, wird bei der Betriebsunfallversicherung die Gesamtheit der in einem Betrieb beschäftigten Personen als Ver¬ sicherungseinheit betrachtet. Dieser Unterschied wirkt sich statistisch zum Beispiel in der Definition der Unfallhäufigkeit aus. Bei der Einzel¬ unfallversicherung wird die Unfallhäufigkeit in natürlicher Weise als durchschnittliche Anzahl Unfälle pro Person innerhalb der betrachteten Periode (z. B. 1 Jahr) definiert. Da bei der Betriebsunfallversicherung der Einzelne in der Statistik als solcher gar nicht erfasst nur indirekt Versicherungsobjekt darstellt, wird, da er ist die Anzahl versicherter Personen unbekannt. Sie wird ersetzt durch die Anzahl «Vollarbeiter», die sich aus 800 der Anzahl Arbeitsstunden errechnet, und Arbeitstage zu 8 Stunden zwar = 2400 Arbeitsstunden = 1 Vollarbeiter gilt : Die Anzahl der Arbeitsstunden für einen Betrieb wird ermittelt, in¬ dem die versicherte Lohnsumme dividiert wird durch einen mittleren Stundenlohn. Die fiktive Grösse eingeführt, (jährliche) Unfallhäufigkeit geschätzten wird dann als nämlich als Anzahl Unfälle pro Vollarbeiter. Die durchschnittliche Schadenhöhe pro Unfall ist in beiden Fällen das Verhältnis der gesamten während einer gewissen Zeitperiode aus¬ bezahlten Entschädigungen zur Totalanzahl der Unfälle in der betreffen¬ den Zeit. "Über die Verhältnisse in der Betriebsunfallversicherung wurde Wunderlin auf Grund (14) von rungsanstalt von eine eingehende Studie gemacht. Der Verfasser kommt Beobachtungen bei der Schweizerischen Unfallversiche¬ in Luzern scheinlichkeitstheorie zum zur Schhiss, «dass die Anwendbarkeit der Wahr¬ Erfassung des Unfallrisikos und damit zur Prämienbestimmung Unfallversicherung Untersuchungen werden hauptsächlich im Hinblick auf ihre Konsequenzen für die Einzelunfallversicherung durchgeführt, so dass wir hier nicht weiter auf Wunderlins Arbeit eingehen, da keine in der sozialen sei». Unsere zu verneinen 45 — — Berechtigung besteht, Eesultate, welche sich auf die Betriebsunfallver¬ sicherung beziehen, auf die Einzelunfallversicherung zu übertragen, habe diese nun privaten oder sozialen Charakter. Immerhin scheint uns, einige dass neue Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Berücksichtigung fanden. erwähnten Arbeit keine 3. Der untersuchte Bestand dafür, dass Unfallversicherungsmathegeschenkt wird, wenig hegt wohl im Mangel an umfangreichen Statistiken, die es erlauben würden, die theoretischen Ergebnisse im einzelnen zu überprüfen. Um über die Verteilung der Anzahl Schadenfälle genügend Aufschluss zu erhalten, muss es möglich sein, jeden Versicherten während einer länge¬ Ein matik ren wichtiger von Grund Periode hinsichtlich seiner Unfälle bei den privaten der Aufmerksamkeit Seiten der Praxis her zu beobachten. Nun werden aber Gesellschaften Policen mit wiederholten Unfällen gekündigt. Bei obligatorischen Unfallver¬ sicherungen tritt dieser Nachteil nicht auf, hingegen sind diese gewöhn¬ lich als Betriebsunfallversicherungen organisiert, bei denen die einzelne Person überhaupt nicht betrachtet werden kann. Es wurde von uns ein abgeschlossener Bestand von 1196 männ¬ lichen Arbeitern, die mindestens während der Zeit vom 1. Januar 1944 innerhalb kurzer Zeit bald bis zum 31. Dezember 1952 bei Zürich voll beschäftigt den städtischen Verkehrsbetrieben waren, untersucht. Diese Arbeiter sind haft bei der Schweizerischen gesamt¬ in Luzern ver¬ Unfallversicherungsanstalt Gefahrenklasse (47d, gleiche Gefahrenstufe V) eingereiht. *) Wir betrachten getrennt voneinander Betriebsunfälle (BU) und Nichtbetriebsunfälle (NBU), welche im Führer durch die obligatorische Unfallversicherung (15) wie folgt definiert sind (S. 17): «Als Betriebsunfälle gelten Unfälle, die durch den versicherten sichert und wurden von dieser alle in die Betrieb verursacht werden oder die dem Arbeiter während der Arbeit für diesen Betrieb übrigen *) laubte zustossen. Als gelten alle Unfälle.» Der Bestand entstammt also der es uns Arbeiters Nichtbetriebsunfälle zu Betriebsunfallversieherung. eine interne Statistik der Indessen er¬ Verkehrsbetriebe, die Unfälle jedes einzelnen verfolgen. Dadurch ergab sich die Möglichkeit, aus unseren Unter¬ suchungen Folgerungen für die Einzelunfallversicherung zu ziehen. — Berufskrankheiten nachlässigbarer waren 46 — unter den registrierten Unfällen in ver¬ Anzahl vorhanden. Die Schadenhöhe eines Unfalles setzt sich zusammen aus Lohnent- schädigungs- und Heilungskosten. Die Lohnentschädigung hängt hauptsächlich ab von der Dauer des Unfalles (Anzahl voll arbeits¬ unfähiger Tage), daneben von wirtschaftlichen Faktoren, während für die Heilungskosten die Heilungsdauer (Zeit, die verstreicht vom Unfalleintritt bis zur letzten ärztlichen Konsultation) sowie Arzt- und Apothekerkosten massgebend sind. Der relativ kleine Umfang unseres Bestandes gestattet verschiedenen Einflüsse auf die Schadenhöhe einzeln Wir betrachten deshalb dauer), gleichsam lediglich zu es nicht, die untersuchen. die Dauer eines Unfalles (Schaden¬ als ein Nettomass für die Schadenhöhe, in dem das wesentlich stochastische Element enthalten ist. 4. Beziehung zwischen Anzahl der Schadenfalle und Schadendauer Darstellung der Verteilung des Gesamt¬ erhalten, macht man in der Unfallversicherung die grund¬ Um eine übersichtliche schadens zu dass die Anzahl Schadenfälle und die Schaden¬ legende Hypothese, dauer zwei stochastisch unabhängige Variable sind. Diese Voraus¬ nicht streng erfüllt, in den meisten Fällen wegen der setzung Seltenheit der Unfälle und der Kürze der Dauer von Unfallverletzungen ist zwar jedoch berechtigt. Für die Betriebsunfälle unseres Bestandes beträgt die jährliche Unfallhäufigkeit 0,098 und die durchschnittliche Dauer eines Unfalls 13,1 Tage. Tabelle 1 zeigt die durchschnittliche Schaden¬ dauer in Beziehung zur Anzahl BU. n Nn nN„ d 1 288 288 15,0 2 127 254 12,5 3 76 228 15,2 4 22 88 12,6 ^5 81 196 8,6 n: Nn: d : Anzahl BU in den Jahren 1944-1952, Anzahl Personen mit n BU, Durchschnittliche Dauer eines Unfalls in Tagen. — 47 — lediglich die 31 Arbeiter mit fünf und mehr Unfällen neunjährigen Beobachtungsperiode eine wesentlich unter dem Mittel liegende durchschnittliche Schadendauer auf. Der Abfall erklärt sich dadurch, dass diese Arbeiter vorwiegend Bagatellunfälle anmelde¬ ten, das sind Unfälle, welche dem Versicherer nur Heilungskosten, je¬ doch keine Lohnentschädigungskosten verursachen, also die Dauer 0 Tage haben. Es weisen also in der 5. Der Einfluss des Alters auf die Unfälle eingangs erwähnten, zeigen, dass Unfallhäufigkeit mit zunehmendem Alter Die grossen Statistiken, die wir generell gesprochen, die sinkt, während die mittlere Schadendauer zunimmt. Für einen ge¬ gebenen Bestand hat man zu untersuchen, ob diese Erscheinung so ausgeprägt ist, dass man sie durch Gruppierung des Bestandes nach Altersklassen berücksichtigen muss, und wie die Gruppierung zu ge¬ schehen hat. Unfallhäufigkeiten der BU und NBU im Geburtsjahr des Verunfallten dargestellt. In der Tabelle 2 sind die Zusammenhang mit dem Geburtsjahr (1) (2) (3) 1886-1892 122 0,75 0,84 1893-1895 114 0,90 0,83 1896-1897 104 0,76 0,96 1898-1900 99 0,65 0,93 1901-1902 107 1,03 0,87 1903. 84 1,00 0,93 1904. 100 0,73 0,97 1905. 120 0,77 0,98 1906. 119 0,82 0,98 1907. 119 1,16 1,00 1908-1922 108 1,13 0,99 1886-1922 1196 0,88 0,93 (1): Bestand der betreffenden Altersgruppe, (2): Unfallhäufigkeit der BU, 1 in den Jahren (3): Unfallhäufigkeit der NBU ) 1944-1952. Tabelle 2 48 — — Die BU verteilen sich ziemlich gleichmässig auf die verschiedenen Altersgruppen mit Ausnahme der beiden jüngsten Gruppen, welche eine stark erhöhte Unfallfrequenz aufweisen. Diese ist indessen wohl eher auf den Mangel an Erfahrung zurückzuführen als auf den Einfluss des Alters. Bei den NBU ist die Abnahme der Unfallhäufigkeit mit zu¬ nehmendem Alter deutlicher, was sich dadurch erklärt, dass sich die Jahrgänge in ihrer Freizeit im allgemeinen kleineren Bisiken aussetzen als die jüngeren. Die Unterschiede sind jedoch nicht so gross, dass sie eine weitere Unterteilung des Bestandes notwendig machen älteren würden. Die vom zu der durchschnittlichen Schadendauer pro Unfall Abhängigkeit Alter des Verunfallten bei den BU ist aus der folgenden Tabelle ersehen. Alter 25-40 Jahre. (1) (2) . 136 7,6 » ... 117 10,5 43-44 » . . 137 12,5 45-46 » . . . . 145 11,8 47-48 » . . . . 128 11,1 49-52 »... 148 17,6 53-56 » . . . . 118 16,4 57-64 » . . . . 125 16,7 25-64Jahre. . . . 1054 13,1 41-42 (1): (2): • . . . Anzahl BU in den Jahren Tabelle 3 1944-1952, Durchschnittliche Schadendauer pro Unfall in Tagen. Für die Alter unter 49 Jahren dauer unter dem Mittel von liegt die durchschnittliche Schaden¬ 13,1 Tagen, für die anderen darüber. 6. Innere Abhängigkeiten Erscheinung tritt bei der Untersuchung der Scha¬ angrenzenden Beobachtungsperioden zutage. Es zeigt Unfallhäufigkeit in der zweiten Periode (1949-1952) Eine auffallende denfälle in zwei sich, dass die monoton zunimmt (1944-1948). mit der Anzahl Unfälle in der ersten Periode 49 — — NBU BU Tabelle 4 n (1) (2) (S) (1) (2) (3) 0 811. 200 0,25 786 245 0,83 1 244 125 147 2 96 65 0,51 0,68 325 107 71 0,45 0,66 ^3 45 55 1,22 28 20 0,71 0,37 0,40 Anzahl Unfälle in den Jahren 1944-1948, n: (1): Anzahl Personen mit n Unfällen in der 1. Periode, (2): Anzahl Unfälle der betreffenden Personen in der 2. Periode, (3): Unfallhäufigkeiten in den Jahren 1949-1952. Das schon, gleiche Verhalten der wenn man zwei Jahren und eine daran Es besteht Unfallhäufigkeiten zeigt sich übrigens die ganze Periode aufteilt in eine erste Periode angrenzende von sieben Jahren. von demnach stochastische Unfällen einer Person in zwei Abhängigkeit zwischen den angrenzenden Zeitintervallen; man kann nicht allen Personen des Bestandes das gleiche Unfallrisiko zuschreiben. Dass dieser Umstand nicht einfach durch eine Verschiedenheit der äusseren sierung Bedingungen (welche eines Bestandes bis erklärt werden kann, zeigt trotz aller zu der Bestrebungen zur Homogeni¬ gewissen Grad immer besteht) Zusammenhang zwischen den BU und einem den NBU in den Jahren 1944-1952: Personen mit einer relativ grossen Anzahl BU haben im Durchschnitt auch viele NBU. Vgl. Tabelle 5. Tabelle 5 m (1) (2a) (3 a) n (l) (2b) 0 652 502 0,77 0 547 859 0,66 1 288 274 0,95 1 359 329 0,92 2 127 157 1,24 2 169 188 1,11 8 76 102 1,34 8 85 126 1,48 53 82 1,55 ^4 36 52 1,44 to: n: (3b) Anzahl BU in den Jahren 1944-1952, Anzahl NBU in den Jahren 1944-1952, NBUder NBUder (1): Anzahl Personen mit der entsprechenden Anzahl Unfälle, (2 a): Anzahl NBU l in den Jahren 1944-1952, (3 a): Unfallhäufigkeitceit (2b): Anzahl BU in den Jahren 1944-1952. (3b): Unfallhäufigkeit der BU j" 4 50 — Diese von Abhängigkeiten legen — nahe, dass für einen Bestand äussern, objektiv abgrenzbaren, noch die Idee Unfallversicherten neben den innere Gefahrenklassen existieren. Auf Grund einer ähnlichen Unter¬ suchung bat übrigens der Psychologe K.Marbe (10) Persönlichkeitsgefahrenklassen eingeführt. 7. Untersuchungen über die Verteilung den der der Anzahl Schadenfalle Von den beiden stochastischen Grössen, welche Eisiko in der Begriff zusammen das Unfallversicherung bestimmen: Anzahl der Schadenfälle und Schadenhöhe, ist die erstere die statistisch einfachere und auf¬ schlussreichere. Wir werden Versuch, Beim a priori welche in der daher in erster Linie mit ihr befassen. Einzelunfallversicherung Grund der auf stehenden Daten Gefahrenklassen Verfügung zur uns homogene Gesamtheiten darstellen in dem Sinne, zu bilden, dass der Er¬ wartungswert der Anzahl Schadenfälle für alle Versicherten einer Ge¬ fahrenklasse der gleiche ist, macht man die Peststellung, dass dieser Selbstverständlich stellt die ge¬ aus prinzipiellen Gründen versagt. forderte Homogenität in allen Versicherungszweigen eine Idealisierung streng realisiert Wesentlichen vorbei, der Tatsachen dar und kann in der Wirklichkeit nicht Fall jedoch geht man am objektiven Gefahrenklassen berücksichtigt, weil unter den Unfallursachen subjektive Faktoren eine viel grössere Bolle spielen als man gewöhnlich annimmt. Mit dem Ziel, einen theoretischen Beitrag zur Unfallverhütung zu geben, untersuchten Greenwood und Yule (6) die Unfallstatistiken einer Beihe von weiblichen Belegschaften in der Munitionsfabrikation während des ersten Weltkrieges. Die Frage, ob die Unfälle gleichmässig unter die Arbeiterinnen verteilt seien, führte sie zur Aufstellung von drei Modellen für eine theoretische Verteilung der Anzahl Unfälle, die aus folgenden Hypothesen abgeleitet wurden: werden. In wenn man unserem nur die Unfallereignisse innerhalb unterliegen dem reinen Zufall. 1. Die 2. Die Personen einer so Gruppe Gruppe haben anfänglich scheinlichkeit, einen Unfall ein, einer zu von Arbeiterinnen alle die erleiden. Trifft gleiche Wahr¬ jedoch ein solcher ändert sich dadurch die Wahrscheinlichkeit für das Ein¬ treffen des nächsten Unfalles. 51 — 3. Die Personen einer Gruppe über Unfällen und damit lichkeiten, einen Unfall haben verschiedene von zu — Beginn an Anfälligkeit gegen¬ verschiedene Wahrschein¬ erleiden. Diese Annahmen bilden die Grundlage für eine theoretische Be¬ handlung der Statistik der Unfallereignisse. Wir geben eine kurze Übersicht, wie sie im Lichte der neueren Ergebnisse der Wahrscheinlich¬ keitsrechnung mathematisch zu formulieren sind. Der Hypothese, welche die Schadenfälle als reine Zufallsereignisse betrachtet, entspricht die Poisson-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in einer Zeitperiode der Länge t von n Schadenfällen betroffen wird, ist gegeben durch den Ausdruck: P(n;t) = e worin A die mittlere Anzahl Unfälle pro Zeiteinheit (die spezifische Unfallhäufigkeit) angibt. Die Poisson-Verteilung ist die Wahrschein¬ lichkeitsverteilung Gruppe. der Schadenfälle innerhalb einer homogenen Im zweiten Falle werden die Unfälle als Ereignisse mit Wahr¬ scheinlichkeitsansteckung aufgefasst. Ein neues und bedeutend all¬ gemeineres Modell als das ursprüngliche von Greenwood und Yule für eine solche Ansteckungsverteilung stammt von J. Neyman (11). Es wird definiert auf Grund der bedingten Wahrscheinlichkeit P(n';t'ln;t), dass eine Person in der Zeit 0 bis t' genau n' Unfälle erleidet unter der Voraussetzung, dass sie n Schadenfälle erfahren hat in der Zeit 0 bis t. P(n';t'ln;t) wird auch als direkte zeichnet. Sie habe die Übergangswahrscheinlichkeit (a) P(n';t'/n;t) hängt nur von t und n ab, jedoch nicht davon, welchen Zeitpunkten die n Schadenfälle eingetroffen sind. (b) P(n';t'jn;t) zwar gilt : ist im Punkte t' 8P(n';t'ln;t) = 8 t' = j>(n;t) t nach t' z[n) = 1 + ct v-t = wobei die be¬ Eigenschaften: z{n) beliebige nicht-negative 0 zu differenzierbar, und für n' = n + 1, für n' > n + 1, Zahlen bedeuten und c ^ 0 ist. 52 — — Intensitätsfunktion Ereignisse bezeichnet, da bedingte angibt, dass im Zeit¬ p(n;t)dt Unfall eintritt. Sie hängt ab von der intervall t bis t + dt ein weiterer Anzahl der in 0 bis t eingetroffenen Ereignisse und, falls c > 0 ist, von der Länge dieses Zeitintervalles. Das Modell berücksichtigt also An¬ steckung zwischen den Ereignissen und eine zeitliche Wirkung auf sie. wird p(n;t) als der Wahrscheinlichkeit dafür die Hypothese führt zu einer gedanklichen Aufspaltung der Gruppen in homogene Teilgruppen, innerhalb derer die spezifische Unfallhäufigkeit X einen konstanten Wert besitzt, während sie von Teilgruppe zu Teilgruppe variiert. Der Wert von X für eine be¬ liebige Teilgruppe ist gegeben durch eine Verteilungsfunktion Ü(X), Die dritte untersuchten definiert dem auf Länge oo, sogenannte Struktur¬ Anzahl Schadenfälle dass die Wahrscheinlichkeit für so Gruppe, n Schadenfälle erleiden, gegeben ist durch: zu die ist die der aus t 5g X < 0 jeder Teilgruppe verteilt, nach Poisson Person Intervall Innerhalb funktion. P(n;t) = | in irgendeine einem Zeitintervall der e-u^\-dü{X). h Dies ist die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion einer zusammen¬ gesetzten Poisson-Verteilung. Greenwood und Yule wählten, Ausdrücke Typus zu erhalten, für U(X) eine Funktion um formal einfache vom Pearsonschen III àW) damit hauptsächlich ergibt sich nach I (jY -rnü)e~mäX und I (8.1) funktion J P(0;t) = P(n;t) = *) Auf Formeln genommen. aus 3Î/6-1 /IN«. = 1 + die Wahrscheinlichkeits¬ \3/J bt, bt P(0;t) (3.4) *) *>°> 2>°> 6>0' 1 \" + btJ r{q(b + n) r{qlb) n\ dem ersten Teil wird mit einem vorangesetzten I Bezug — 53 — sogenannten negativen Binomialverteilung, die auch von E. Newbold (12) und O.Lundberg (8) zur Untersuchung von Unfallstatistiken der verwendet wurde. negativen Binomialverteilung liegt darin, dass Ansteckungsverteilung wie auch als zusammengesetzte Der Nachteil der sie sowohl als Poisson-Verteilung interpretiert werden kann. Die Intensitätsfunktion einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung erfüllt nach O.Lundberg (8) S. 72 die Belation p(« + l;t) = p{n;t) p{n;t) Beziehung ist auch hinreichend für eine zusammengesetzte Poisson-Verteilung. Setzen wir die Intensitätsfunktion der NeymanDiese Verteilung ' p(n;t) ein, so folgt: z(n + l) also: Dies ist lung, z(n) = f{n;t) = 1 = + ct z(n) + c, z{0) + 2(0) + cn, cn 1 + ct gerade die Intensitätsfunktion der negativen Binomialvertei¬ z(0) > 0 und c> 0 ist. Vgl. O.Lundberg (8) S. 88. falls Durch Anwendung der negativen Binomialverteilung kann also Hypothese 2 oder 8 die zutreffende ist. nicht entschieden werden, ob die 8. Allgemeines über die Poisson-Verteilungen Anwendung von zusammengesetzten Darstellung von Unfallhäufigkeiten zur Die Tabellen des Abschnittes 6 statistiken die aus Hypothese zeigen, dass auf unsere Unfall¬ des reinen Zufalls nicht zutrifft ; indessen geht ihnen nicht hervor, ob sie durch die Annahme einer Wahrscheinlich¬ keitsansteckung im Sinne positiver Chancenvermehrung oder durch die Anfälligkeiten ersetzt werden Die Entscheidung darüber, welche Hypothese man zu akzep¬ hat, muss auf Grund von statistischen Tests gefällt werden. Annahme verschiedener individueller muss. tieren 54 — Wir haben uns vor — allem mit der Prüfung nach Greenwood und Yule befasst, indem wir leiten liessen, dass bei der dritten uns von jährlichen Unfallhäufigkeiten der Hypothese Überlegung von nur 0,098 der Binfluss eines Unfalles auf den nächsten (NBU) Bedeutung sein kann, und dass kein plausibler Grund für die starke Chancenvermehrung angegeben werden kann, wie sie aus den Tabellen 4 und 5 im Falle von Ansteckung zwischen den Un¬ fällen folgen müsste. Also nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeits¬ funktion der theoretischen Verteilung die Gestalt habe (BU) und 0,104 kaum von grosser P(n;t) eXl±-!-dü{X). = Ohne die spezielle Form von U(A) zu kennen, können wir auf Grund Eigenschaften des zusammengesetzten Poisson-Prozesses generell prüfen, ob ein solcher angewendet werden darf. der Anhaltspunkt, der wenig Arbeitsaufwand erfordert, erhalten Betrachtung einer Folge von Ungleichungen zwischen den absoluten Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Es gilt: Einen wir durch 1 n P(n;t) 1 P(n-l;t) ^ P(n;t) ~ n +1 r~ » P(n + l;t) = 1, Sä, analog geführt werden wie derjenige für die be¬ Ungleichungen zwischen den absoluten Momenten einer Ver¬ teilung. Vgl. Cramer (3) S. 176. Das Gleichheitszeichen gilt im Falle der gewöhnlichen Poisson-Verteilung und nur dann. Der Beweis kann ganz kannten Sei: n Anzahl Unfälle in den Jahren 1944-1952, JVn Anzahl Personen mit n Unfällen, dann bilden die Grössen _J n +1 theoretisch eine mit wachsendem ^ Nn+1 n = „ q" monoton abnehmende Zahlenfolge. 55 — BU — NBU BU NBU Nn n Tabelle 6 In 0 652 547 2,26 1,52 1 288 539 1,18 1,06 2 127 169 0,56 0,67 3 76 85 0,86 1,06 4 22 20 0,31 0,33 5 14 12 0,47 0,67 6 5 3 0,10 0,43 7 7 1 Wir gehen nicht weiter auf den Aussagenwert der Zahlen qn ein, die Nn (und also grosse n) mit einem grossen wahrschein¬ lichen Fehler behaftet sind. Die Ergebnisse legen es nahe, die eingeschla¬ gene Linie weiter zu verfolgen. natürlich für kleine Aus den Überlegungen des ersten Teiles gesetzten Poisson-Verteilungen eindeutig binomialen inversen unter der dass die Übergangswahrscheinlichkeiten, scheinlichkeit, dass eine Person Voraussetzung, hat, wobei folgt, n zusammen¬ charakterisiert sind durch die Unfälle gehabt d. h. die Wahr¬ hat in der Zeit 0 bis t, dass sie im Intervall 0 bis t' genau n' Unfälle t < t' und daher Pkw) n-^ri ist, = ist gegeben durch : (;')(j)"(i-|p (8.D nachfolgenden Tabelle sind die theoretisch berechneten Häufigkeiten mit den empirisch gegebenen verglichen für die Teil¬ periode 1944-1948 und die ganze Periode 1944-1952. In der Um zufällige oder eventuelle systematische Änderungen in der Unfallhäufigkeit während der Beobachtungsperiode auszuschalten, denken wir uns eine zeitliche Transformation so ausgeführt, dass der Zeitparameter die durchschnittliche Anzahl Schadenfälle pro Person im entsprechenden Zeitintervall angibt, d. h. wir setzen: t = n, f = n', 56 — wobei n und «' die durchschnittliche diejenige — Schadenhäufigkeit in der Zeit 1944-1948 in der Zeit 1944-1952 bezeichnet. Der Parameter der Binomialverteilung ri t wird daher abgeschätzt durch: t' Wir erhalten %n'Nn,- ~ so für die BU: — für die NBU: Die man für Übereinstimmung für jede %2 Gruppe = 0,57780, = 0,56759'. t' t — t' wird mit Hilfe des mit festem n' #2-Tests geprüft, wobei die Additionsregel %\, berechnet und benutzt : •à = S &>• n'-0 Die Anzahl - Anzahl der Beobachtungen Freiheitsgrade ist deshalb : / Gruppen 1. %\ ^ em beobachteter Wert von %2. = Anzahl der - Tabelle 7 a Vergleich der theoretischen Häufigkeiten <)(TÏÏ-r mit den empirischen für die BU 1944-1952. 57 — Häufigkeiten 0 Nn> beobachtet theoretisch 288 127 121,59 161 166,41 1 24 22,64 1 52 61,96 2 51 42,40 127 0 7 5,72 1 23 23,48 2 32 82,14 8 14 14,66 0 0 3 4 76 1 22 5 1 1 8 7,86 3 7 7,17 4 1 2,45 5 0 14 1 3 1 3 8,52 8 2 4,81 • 5 1 5 0 6 5 0 2 2 1,03 1 1,45 4 2 1,49 5 o 6 0 7 1 2,21 1,01 0 1 0 2 0 3 2 4 8 5 0 6 1 7 1 . /-16 8,46 4,19 8 7 1,34 o 1 0 0,59 1,47 2 4 1,85 4,53 2 0 0,42 2,34 2,06 1 . 2,61 0,62 58 — — Tabelle 7 b Vergleich der theoretischen mit den Häufigkeiten empirischen für die NBU 1944-1952. Häufigkeiten n n' Nn, 0 1 359 beobachtet 1 2 0 169 t îeoretisc 144 155,24 215 203,76 34 31,60 1 82 82,96 2 53 54,45 11 6,87 1 23 27,06 2 40 35,52 3 11 15,54 3 0 0 4 85 0 20 | 2 2 11 7,23 3 6 6,33 4 1 2,08 5 12 0 | 2 2 3 3,13 3 3 4,10 4 4 | 0 6 3 1 1 0 > 3 0 4 1 5 1 6 0 = 11,6 / = 3,79 0,70 3,40 0 2 Xl 4,99 1,37 1 5 0,23 4,37 1 0 1,43 12 1,57 0,48 . Ptf > 1,43 xt) > 44,6 % Um keine theoretischen Häufigkeiten zu erhalten, die kleiner als 1 sind, wurden einige Beobachtungen sinngemäss zusammengefasst. 59 — — vorangehenden Untersuchungen berechtigen zum Schlüsse, Unfallverteilungen einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung folgen. Wir akzeptieren daher die dritte Hypothese von Greenwood und Yule, formulieren sie jedoch wie folgt: Die Personen des Bestandes haben von Beginn an verschiedene Die dass die betrachteten Unfall- Suszeptibilität. Wir schliessen in diesen schiedene Disposition zu Begriff subjektiv begründete ver¬ Möglichkeit verschiedenen eine Unfällen sowie die äusseren Eisikos bei verschiedenen Personen ein. Selbstverständlich handelt fachung es sich hier um eine starke Verein¬ Phänomens. Indessen ver¬ komplizierten psychologischen in näher dieser Eichtung suchen wir nicht, die erhaltenen Ergebnisse zu interpretieren. Uns interessiert lediglich die Frage, ob das Modell brauchbar ist als Grundlage für die Berechnungen in der Unfallver¬ sicherung. Damit dies der Fall ist, muss insbesondere verlangt werden, dass die Verteilung der Suszeptibilitäten im Bestand zeitlich stabil sei. Das kann geprüft werden, indem man die Streuungen der Strukturfunktion U(X) aus zwei angrenzenden Perioden miteinander vergleicht. Wir drücken, wie vorhin, die Länge der Perioden durch die durchschnittliche eines Anzahl Schadenfälle pro Person Aus der Momentenrelation folgt speziellen wegen der aus. I(2.2a): n = Jt, <% = & Wahl des Ä = x + %, Zeitparameters l, n' n2 Stichprobenverteilung von of nicht, doch kann von Tschuprow die Varianz von o^ (der wahrschein¬ Fehler) berechnet werden. Für grosse Stichproben gilt: Zwar kennt man die nach einer Methode liche y x) n*N \ n* mit n2 Tj3 = E(n ^ ^ n — n)3. Vgl. n ) E. Newbold (12). 60 — — Nehmen wir als 1. Periode: 1944-1948, als 2. Periode: 1949-1952, so erhalten wir: BU: NBU: Bei den BU liegt < &*h = = ct^ 1,47 ±0,26, 0,356 + 0,114, innerhalb des oj, = o^ = 9. Zeitliche 0,456. bei den NBU sogar doppelten, innerhalb des einfachen wahrscheinlichen Fehlers, einer stabilen Strukturfunktion 1,16, was zur Annahme berechtigt. Schwankungen der Unfallhäufigkeit Eine theoretische Verteilung kann im allgemeinen nicht auf jedes beliebige Teilintervall der Periode, für welche sie berechnet wurde, an¬ gewendet werden, da die spezifische Unfallhäufigkeit Schwankungen unterhegt, die um so grösser sind, je kleiner das betrachtete Inter¬ vall ist. Wir untersuchen häufigkeiten. nun speziell das Verhalten der Personen während k Jahren und berechnen die der jährlichen Unfallhäufigkeit jährliche Unfallhäufigkeit unter der tische P{n,, N N Stichprobenverteilung r} = Die charakteristische Funktion dieser die charakteristische Funktion der j'-ten Jahr. Dann ist h des Bestandes. = von konstant sei. l jährliche Unfallhäufigkeit Unfall¬ Annahme, dass die theore¬ Sei nrj die Anzahl Unfälle der r-ten Person im die jährlichen Zu diesem Zweck betrachten wir einen Bestand Für alle j gilt: e-*^ A, E(n,,). Verteilung ist Verteilung k S a,(.**/«!W-i) c-1 von = t) wird deshalb ' 61 — — N wobei _ 2K = NE(rj) = Nrj ist, so dass sich für die Verteilung von r\ v=l ergibt: J.. Pl* I W\ ' = - W sur, e' r! mit Efo) = rç, <£ = -^_. Die charakteristische Punktion der standardisierten Variablen Um kNij(e"WkN1>-l) iiYk2fï-Ç+ -is^lcNn _ g 2 g "*" — 3|VäN^ - y ri (kN' +"- strebt für N-^co gegen die charakteristische Funktion der Normal¬ verteilung Die beobachtete jährliche Häufigkeit ist also unter der gemachten Annahme annähernd normal verteilt mit dem Mittelwert r\ und der Streuung ^. p%-Wert Eichung Der einer Normalverteilung fp ist gegeben durch die P{|^|>W=Po/o. Er kann bei p vorgeschriebenem p einer Tabelle entnommen werden, gibt die Prozentwahrscheinlichkeit an, dass ein beobachteter Wert von rj ausserhalb des Intervalles hegt. Für die Verteilungen BU: rj = der BU und NBU erhalten wir : 0,098, NBU: ^ = 0,104, und daraus: 5% Intervall BU : 0,092 < rj < 0,104, NBU : 0,098 < rj < 0,110. 0,1 % Intervall BU : 0,088 < rj < 0,108, NBU : 0,094 < r\ < 0,114. — Die Tabelle 8 zeigt, dass bei 5% Intervalles, und 1 sogar ausserhalb des 0,1 % des 62 — den BU 4, bei den NBU 5 Werte ausserhalb Wert bei den BU, 4 Werte bei den NBU Intervalles Jahr liegen. NBU BU Tabelle 8 (1) (2) (1) (2) 1944 120 0,100 102 0,085 1945 108 0,090 138 0,115 1946 122 0,102 121 0,101 1947 127 0,106 162 0,135 1948 132 0,110 111 0,093 1949 121 0,101 121 0,101 1950 112 0,094 133 0,111 1951 106 0,089 116 0,097 1952 106 0,089 113 0,094 (1): Anzahl Unfälle, (2) : Unfallhäufigkeiten. Betrachtungen, welche sich auf eine 1-Jahr-Periode beziehen, Unfallhäufigkeit nicht als konstant angenommen werden. Da aus den Beobachtungen weder ein Trend noch eine Periodizität zu erkennen ist, so müssten die Schwankungen durch eine zusätzliche Wahrscheinlichkeitsverteilung erfasst werden, eine Idee, die bereits von H. Ammeter (1) zur Behandlung von Eisikoproblemen benützt wurde. Mathematisch bedeutet die Berücksichtigung dieser Schwan¬ kungen keine Schwierigkeit. Wir schreiben die WahrscheinlichkeitsFür darf also die funktion der Anzahl Schadenfälle in der Form P(n;t) é-Xi^-du(À;x), = *-.HF wo a = Ä wegen n = Nehmen wir an, dass Jj, oe = ai die spezifische Unfallhäufigkeit bedeutet. eine dem Zufall unterworfene, durch die Ver¬ teilungsfunktion V(a.) gegebene Variable sei, so wird: — 63 oo — oo ( dV(*) fe-xi ^- dU(fa) * P*(n;t) = o o oo oo (f*tWLd lu(fa)dV(a) = e = CO mit H{X) = fU(fa)dV(aî). o Schwieriger bei Beobachtungsperiode von nur neun Bestimmung von F(oc). Für unsere Unter¬ suchungen kommen wir jedoch mit der Annahme einer konstanten spezifischen Unfallhäufigkeit aus, da wir keine kleineren Zeitintervalle als die Perioden 1944-1948 und 1949-1952 betrachten und die spezi¬ fischen Unfallhäufigkeiten in diesen Intervallen (bezogen auf ein Jahr) wäre unserer Jahren die statistische die Werte haben ^ BU: ^ = 0,102, ^ = 0,093, NBU: ^ = 0,106, rç2 = 0,101. und somit innerhalb des 10. Für zeigen 5%-Intervalles liegen. Anwendung spezieller zusammengesetzter Verteilungen Poisson- jede zusammengesetzte Poisson-Verteilung gilt, ist: ^n P(0;t) = = wie leicht zu ^fi + Jt, fe-xt dU(X) ^ eJi o und somit : »._ mit X = fx dü(X) — P{0;t)^e-". Das Gleichheitszeichen teilung". gilt nur im Falle der einfachen Poisson-Ver- — 64 — Bei vielen Untersuchungen von Unfallstatistiken mit Hilfe der Poisson-Verteilung folgte aus den angewendeten Tests un¬ genügende Übereinstimmung mit den empirischen Daten. Es zeigte sich im besonderen, dass die empirische Streuung grösser ist als der Mittelwert (und daher als die theoretische Streuung) und die Null¬ klasse (d. h. die Anzahl Personen mit 0 Schadenfällen in der Beobach¬ tungsperiode) grösser als die nach Poisson berechnete. Dadurch wird die Anwendung einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung nahe¬ gelegt. Zur Verbesserung der Besultate wurde fast durchwegs die nega¬ tive Binomialverteilung verwendet. Diese "Wahl geschah aus Gründen formaler Einfachheit; indessen hat 0.Lundberg (8) eine theoretische Begründung dafür gegeben, indem er zeigte, dass die negative Binomial¬ verteilung die einzige zusammengesetzte Poisson-Verteilung ist mit linearer Begression, d. h. mit der Eigenschaft, dass der bedingte Er¬ wartungswert der Anzahl Ereignisse in einer Zeitperiode der Länge t2 unter der Voraussetzung, dass in einer vorangehenden Zeitperiode der Länge tx genau nx Ereignisse eingetroffen sind, linear von n1 abhängt, und zwar gilt: einfachen a * E{N^ynM + , on-, b,q>0. ,/-t, = 1 , + 6*1 In diesem Sinne kann sie als erste Approximation für jede zu¬ sammengesetzte Poisson-Verteilung gelten. Die berechneten Regressionsgeraden für die BU und NBU sind in den nachstehenden Figuren dargestellt. BU i 6 *•», 1_* tll 8 EiNtfflnjfà = 0,24 +0,80 nj E(NjfolnjQ = 0,83+.0,41 n2 65 — — NBÜ _^ ^ * na Die im ersten Teil EiNjttlnjti) = 0,84 + 0,14 Wj EiNjfafrjtJ = 0,45 + 0,18712 eingeführte Schar von zusammengesetzten zur Darstellung der empirischen Vertei¬ die wir Poisson-Verteilungen, lungen verwenden, hat P(0;i,oc) = Alle I (4.14)) (10.1) = P(0;U) ' \x + btj «! 2j ÄvnW Verteilungen und a-l\ f«q t=k"mK~~'\ Scharparameter 0<oc<oo Streuung Für jedes (vgl. ) Vi U P(n;t,a.) mit dem \a+bt) a-l V e die Wahrscheinlichkeitsfunktion b v \«.+ U b,q>0. gleichen Mittelwert und gleiche 1). negative Binomialverteilung (oc der Schar haben wie die in ihr enthaltene = feste t nehmen die Wahrscheinlichkeiten der Nullklasse mit wachsendem cc monoton zu P(0;tAÙ < P{0;t,*à Die untere Grenze wird durch die Nullklasse der für Kl < oca. Poisson-Verteilung P{0;1,0) gebildet. Zur praktischen Berechnung der theoretischen Wahrscheinlich¬ keiten benützen wir die Bekursionsformel I (4.10), welche mit unseren Parametern die Gestalt hat: P(n+ !;<) qt = n + l \l + ±r-££(^J *»-**>. bl<ttj j&i P(a)fc! \l-f&/a* 66 — — Abschätzung der Parameter b und q geschieht mit Hilfe von empirischem Mittelwert und empirischer Streuung, während der Wert Die von cc aus n: der beobachteten Nullklasse ermittelt wird. Sei: Anzahl Unfälle, N: Anzahl Personen des Bestandes, Nn: Aus den Anzahl Personen mit n Unfällen. Beziehungen 1(4.15): n und der Formel = qt, (10.1) ergeben sich die a? M = -=£ —1 E(n2) = -XJL C wird deshalb aus _ — n — 1, n n a Abschätzungen: = der transzendenten N ' Gleichung ï^ï{1-{-^uî)+hsN'-hsN = 0 (wenn wir für die BU p anstatt q und o anstatt folgenden numerischen Werte: bestimmt. Wir erhalten verwenden) die BU : pt NBU: qt = = 0,88127, at 0,93395, M = = 1,10545, ax = 0,76603, 0,37313, a2 = 5,72312. b zeigt die empirischen Verteilungen, die theoretischen Häufigkeitsverteilungen und die entsprechenden negativen Binomial1). verteilungen (a Die Tabelle 9 = 67 — — Tabelle 9 a n: Anzahl BU iti den Jahren 1944-1952 Häufigkeiten n beobachtet 0 652 652,00 660,63 1 288 289,86 276,52 2 127 130,01 130,46 a = a=l 0,76603 8 76 61,50 63,87 4 22 80,29 31,83 5 14 15,35 16,04 6 5 7,95 8,13 7 7 4,18 4,15 8 0 4,86 4,37 9 5 usw. 0 I a = 0,76603 xî == 9,06 / = 5 P(x>Xb)>10,l% a = l Xî == 9,54 / = 6 P(x>Xj)>14.3% Tabelle 9 b n: Anzahl NBU in den Jahren 1944-1952 Häufigkeiten beobachtet n a = 5,72312 <x=l 0 547 547,00 540,80 1 359 355,90 367,83 2 169 178,11 175,07 8 85 74,22 71,41 4 20 27,40 26,70 5 12 9,25 9,44 4,12 4,75 6 8 7 1 usw. 0 a = 5,72312 a=l 1 ) xl = 4,89 / = 3 P(xi>xl)>n$% xî = 5,57 f = 4 P(ZS>X&)>23,1% — Die Übereinstimmung 68 — darf in beiden Fällen als zeichnet werden ; wir bemerken mialverteilung genügend gute speziell, befriedigend be¬ negative Bino- dass schon die Eesultate liefert. Hypothese der individuell verschiedenen Suszeptibilitäten verwenden, bilden wir nach einer gewissen Beobachtungs¬ zeit (1944-1948) auf Grund der eingetroffenen Unfälle subjektive Ge¬ fahrenklassen und berechnen in ihnen die a posteriori Wahrscheinlich¬ keiten der Anzahl Schadenfälle für die angrenzende Periode (1949—1952). Sie sind gegeben durch die direkten Ubergangswahrscheinlichkeiten P(n';t'ln;t)'. Diese berechnen sich aus der Beziehung Um die sinnvoll zu P{n';t'ln;t) P(n;t) Da die inversen = P{n;tln';f) P{n';t'). Ubergangswahrscheinlichkeiten wir daraus nach binomial sind, erhalten (8.1): =(;)(l)Kf^f 69 — — Tabelle 10 a Vergleich der theoretischen Häufigkeiten NnP(n';t'ln;t) empirischen für die BU. Häufigkeiten w'-rc tf. beobachtet 0 811 652 649,93 1 127 128,42 2 24 25,60 3 7 5,38 4 1 =6 0 0 244 161 theoretisc } 1M 154,85 1 52 61,74 2 23 19,47 3 5 5,68 4 3 ]=5 0 0 96 } 46,52 51 32 29,34 2 8 12,84 3 3 4,82 4 2 ^5 0 26 ) 14 9,48 7 8,30 2 2 4,67 3 1 2,15 4 2 ^5 0 11 1 } 3,00 5 3,38 2 2 2,33 3 3 1,27 ^4 0 1,02 /=17 4,76 1,40 1 35=17,2 3,27 2,48 1 0 2,74 2,21 1 0 0,92 5,53 P(%2>;$>42,1% mit den 70 — — ' Tabelle 10b Vergleich der theoretischen Häufigkeiten NnP(n';t'ln;t) für die NBU. empirischen n n'-n 0 0 2 beobachtet theoretisch 736 547 538,13 144 155,62 2 34 34,61 8 11 6,41 ^4 0 1,23 215 202,93 1 82 90,28 2 23 25,07 8 2 5,49 4 2 5 1 1 ^6 0 I 825 107 53 59,60 83,11 2 11 10,86 3 3 ^4 0 0 20 0 = 6 10,05 6 6,59 1 2,73 4 2 1 ^3 0 17,8 Aus der Tabelle 5 / = Übereinstimmung 2,21 2,05 ' l 1 0,18 2,99 9.9. 1,22 dass zwischen der Anzahl BU und der Anzahl NBU einer Person ein enger Dies ist in 6,41 P(^>%2)>18,2% 12 geht hervor, 5,55 3,43 11 1 jf« 1,23 40 1 *5 | 1 0 8 Häufigkeiten N„ 1 .0 1 mit den Zusammenhang bestehen muss. mit dem Modell verschiedener indivi¬ Suszeptibilitäten, die ja wesentlich auf der Verschiedenheit der Anfälligkeit einer Person gegenüber Unfällen beruhen. Es muss deshalb möglich seiü, die gemeinsame Verteilung der BU und NBU durch eine dueller — 71 — zweidimensionale Korrelationsfunktion darzustellen. Als Beobachtungs¬ periode wählen wir die Jahre 1944-1952. Die Eandverteilungen sind wiedergegebenen Verteilungen, welche in genügend guter Weise durch negative Binomialverteilungen dar¬ gestellt werden können. Wir versuchen deshalb, auf die gemeinsame Verteilung der BU und NBU die im ersten Teil abgeleitete negativbinomiale Korrelationsfunktion I (3.13) anzuwenden. Wir schreiben sie in der Gestalt I (3.17) und setzen noch s t. deshalb die in Tabelle 9 a und 9 b = JU/ (''^ \l + atj vi--/ i a \l + btj 1 \(l + at){l + bt)—ßatbt —rA* p<^=F-<mi'»p*i^|0WM'(mi«-°')M'(":f's')(^)' Ihre sind: Eandverteilungen P2(n;t) W 1 / rr(l + W) at 1 + atJ \l + atj 1 + btJ \l rQm, + bt '(!)»' Für die Parameter at, bt, Tabelle 9, während amn qt, ft verwenden wir abgeschätzt wird durch "»,S¥22 mnNmn " Nmn : Anzahl Personen mit m m ' = die Werte 0,28480 n BU und n NBU in der Beobachtungs¬ periode. Der Parameter Wir wählen c c wird eingeschränkt 1. c ^ 2. ß = = -j-- durch die min(—.H)-" ,-Ç] = -ÜS5catbt von < 1 Bedingungen: 0,79721, c> 0,69046. — 72 — Tabelle 11 Vergleich pirischen Nmn der theoretischen 0 0 181 83 81 881,99 198,89 84,01 80,88 (1,60) (0,01) 4 9 10,48 (0,21) 1 8,89 1,06 41 27 8 87,34 42,03 16,88 6,12 2,08 (0,51) (0,03) (6,07) (1,59) (0,56) 45 16 42,02 22,71 (0,21) 10 9,98 (1,98) 8 5 1,89 (0,20) (9,37) 24 14 9 3 21,25 20,52 12,82 5,87 2,45 (0,86) (0,59) (0,23) (1,67) (0,12) 2 10 7 1 1 9,26 10,04 6,68 8,42 1,52 (0,02) (1.71) (0,15) (5,69) 5 6 5 1 5 2 4,08 4,89 8,53 1,97 (0,21) (3,09) (0,61) 1 2 1 1,81 2,88 1,86 1,12 (0,86) (0,06) (0,40) (0,18) 2 1 7 2 7 1 8,87 24 4 em¬ (0,H) 94 46 6 4 122 49,81 mit den 5 121,08 (0,29) 8 3 843 (0,01) 2 Häufigkeiten NP(m,n;t) (n). und die NBU 2 1 (0,37) 1 (m) für die BU 1 1 1 1 1 1 1 2 1,16 (0,28) 8 9 1 10 2 2 (Der theoretische, sofern er ist, darunter. In Klammern ist der zugehörige Wert von beobachtete Wert steht oben, der grösser als 1 X2 beigefügt.) 73 — Für den #2-Test verwenden wir — nur die Beobachtungen, bei denen der theoretische Wert grösser als 1 ist. Auf eine lichen Beobachtungen verzichten wir, Gruppierung der rest¬ geschehen da diese willkürlich müsste. Es ist: Xl / 38,46, = = Wir treten noch kurz auf die Verteilung P 32, (Z2 > xl) Interpretation > 18,4%. der hier angewendeten ein. Die Funktion 1 P(0,0;—is,— it) • \4-« 1—iasj l \ \-r-< 1 1—ibtj \ (1—ias) (1 — ist die charakteristische Funktion der Strukturfunktion ihrer Gestalt Summen geht hervor, dass U(k,X). Aus sich die Variablen K und A als man denken hat: zu ür A in denen die Summanden TT . t-i A-- ( ii» Es besteht also Wir können ibt) + ßasbt uns und den NBU i \. zI+zII, = AI + AI1, folgende charakteristische ( 1 "r* Vi—ias J ( 1 Funktionen haben: , ^ \i-ibtj , i ( Ii>'\(i_ias)(i_ibt)+ßasbt nur die = zwischen Ku und An stochastische Abhängigkeit. Suszeptibilitäten einer Person gegenüber den BU (fc) (A) zusammengesetzt denken aus subjektiver Unfall¬ neigung objektivem UnfaUrisiko : Ku und Au beziehen sich auf das subjektive, El und Al auf das objektive Bisiko für BU bzw. NBU. Die beiden letzteren Grössen müssen deshalb unabhängig sein voneinander. Die gemeinsame Verteilung von BU und NBU liefert eine weitere Bestätigung für das Modell der individuell verschiedenen UnfallSuszeptibilitäten. und — 11. Die 74 Verteilung Wir haben bereits darauf — der Schadenhöhen hingewiesen, dass der Umfang des Be¬ standes keine eingehende Analyse des Problems der Schadenhöhen ge¬ stattet. Wir beschränkten uns'deshalb darauf, die Schadendauer allein zu betrachten. Dabei machte sich der Umstand störend bemerkbar, dass die Zahlung des Krankengeldes erst am dritten Tag nach dem Un¬ beginnt. Dadurch wird in der Statistik die Anzahl Unfälle der Schadendauer 0 unverhältnismässig gross, da darin alle Unfälle der effektiven Schadendauer 0, 1 und 2 Tage enthalten sind. In der Tabelle 12 ist die Verteilung der Schadendauer pro Unfall für die BU der Jahre 1944-1952 mit der Frequenzfunktion: fall s(x) verglichen, 1 = -- jed wobei d die durchschnittliche Schadendauer pro Unfall ist. Darstellung der Anzahl BU durch eine Mit dieser Funktion und der negative Binomialverteilung maren erhalten wir für die Verteilung Schadendauer für eine Person die Frequenzfunktion der sum- (vgl. I (5.2)) : ist die konfluente direkt, für hypergeometrische Eeihe. Sie wird für kleine z einer asymptotischen Entwicklung berechnet. zeigt die theoretische und empirische Verteilung der grosse Tabelle 18 aus Schadendauer pro Person. Die Übereinstimmung ist in beiden Tabellen wähnten Gründen für kleine Werte aus den eingangs er¬ unbefriedigend. h(x;t) ist allerdings für versicherungsmathematische Überlegungen weniger wichtig als die Verteilung der gesamten Scha¬ von x Die Funktion denhöhe für den ganzen Bestand. Wir betrachten zunächst den allgemeinen Fall, wo P(n;t) die S(x) die Verteilungs¬ Wahrscheinlichkeitsfunktion der Schadenfälle und funktion der Schadenhöhe ist. — 75 Tabelle 12 X N "T 10 20 Dauer in 30 Tagen 40 SO »- Tabelle 18 20 Nh(x-,t) , — Dann wird die eine Person 76 Verteilungsfunktion — der summaren Schadenhöhe für : H(x;t) Für zwei Personen ergibt fiS{n)(x)P{n;t). = sich durch Addition von zwei unabhängigen Variablen : oo Hm(x$ =jH{x-y;t)dH(y;t) ooO • oo oo /;2 8M(x-y) P(n;t) £ äSM(y) P(m;t) n—0 m=0 oo OO /* CO 2 2 = n=0w»0J s(n)(*-y) dsim)(y) *(««*) pm o CO = oo 2EWit)pWpM CO OO CO fc=0 n=0 fc=0 da Für einen Bestand von P(—i;i) N Personen erhält H{N)(x;t) = man = 0 für i = 1, 2, .... daher f1S{n){x)P{N)(n;t). n=0 Wir nennen Hm(x;t) die Verteilungsfunktion des Gesamtschadens für den Bestand. Zur numerischen Berechnung der Verteilung des Gesamtschadens verwenden wir die Eeihe von Cramér-Edgeworth. Wir gehen aus von N Variablen Xit (i 1,2, N), welche alle die Verteilungsfunktion H(x;t), den Mittelwert xt und die Streuung o^( besitzen. Unter der Voraussetzung, dass S(x) eine absolut stetige Komponente enthält, d. h. = ..., fS'{x)dx>0, 77 — für die gilt — Verteilungsfunktion G(y;t,N) der Variablen 2(s«-*i) t=l Y die — - asymptotische Entwicklung: fc-2 6Û^) =*(») + 2J(-i)'î=—^ + °{n* 0{y) bezeichnet die Verteilungsfunktion der standardisierten NormalVerteilung, cjr sind Polynome in den Grössen Ar(f)/A£/2(£) wobei Ar(f) die r-te Semiinvariante von H(x;t) ist. Speziell gilt im Falle k = 3 : P(w;i) die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer zusammen¬ gesetzten Poisson-Verteilung dar, so ist dadurch, wie wir im ersten Teil gesehen haben, die Wahrscheinlichkeit für n Schadenfälle in einem be¬ liebigen Intervall der Länge t gegeben. Man darf deshalb für die Be¬ rechnung der Verteilungsfunktion des Gesamtschadens die Kontrakte unabhängig von ihrer Laufzeit und ihrer Vorgeschichte zusammen¬ Stellt fassen. Verteilung sind gleich bezüglich-dem Nullpunkt. Also ist I (5.4b) gegeben. Um sie durch die Die zweite und dritte Semiinvariante einer dem zweiten bzw. dritten Moment A2(f) durch I Momente (5.4a) S(x) von und und vk= vw(t) = ^(t) durch P(n;t): fa*dS{x) 2 »(»-i) • • • (n~h + i) pM n-Ä auszudrücken, benützen wir die Momentenrelation Eindimensionalen wie folgt lautet: I (2.2), die im — 78 — Damit erhalten wir: KU) = Aiv^-vU1)) VO = *S fo(s)W - + v>vm®> 3l?(2)(<) Vm® + H)W) + 8»i v2 (t]{2)(t) - ri2{1)(t)) Setzen wir diese Werte in + v3 ti{i)(f). (11.1) ein, so erhalten wir eine approximative Verteilungsfunktion des Gesamtschadens (ausgedrückt Darstellung in der standardisierten Variablen) des Bestandes in einem Zeitintervall der Länge t, die auf Grund der ersten drei Momente der Verteilungs¬ funktion der Schadenhöhe : S(x) und der Wahrscheinlichkeitsfunktion der der Schadenfälle in der Zeit t: P(n;t) berechnet werden kann. 79 — — Literaturverzeichnis [1] Ammeter H.: Elemente der kollektiven Eisikotheorie bei zufallsmässig Grundwahrscheinlichkeiten. Mitt. Ver. Schweiz. Vers. Math. schwankenden Bd. 49,1949. Consael B.: Sur les processus de Poisson du type de Belgique. Bull. Cl. Sei. 5. sér., t. 38,1952. [2 a] Sur les processus composés de Poisson à deux variables aléatoires. Académie Royale de Belgique. Mém. Cl. Sei., fasc. 6, t. 27,1952. composé. Académie Royale [2] [3] Cramer H.: Mathematical methods of statistics. Princeton 1946. 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Dort besuchte ich während sechs Jahren die Primär- und während zwei Frühjahr 1941 trat ich in die Oberreal¬ Evangelischen Lehranstalt Schiers ein und bestand im März 1946 die Maturitätsprüfung Typus C. Ich begann im Oktober 1946 das Studium an der Abteilung für Mathematik und Physik der Eidgenös¬ sischen Technischen Hochschule. Im Herbst 1951 wurde mir das Diplom Jahren die Sekundärschule. Im schule der als Mathematiker verliehen. Mein Studium erfuhr verschiedene Unter¬ brechungen durch den Militärdienst. Im Sommersemester 1952 als Halbassistent Mathematischen Seminar der ETH am schliessend erhielt ich durch die für ein Studienjahr Professor Barnard dem in am London, Vermittlung wo Imperial College war ich ein Jahr lang ich Leitung von Herrn Technology auf of Science and Gebiet der mathematischen Statistik Rückkehr der ETH ein ich unter der war tätig. An¬ Stipendium arbeitete. Nach meiner Assistent für höhere Mathematik bei Tätigkeit Hess mir Zeit, mich mit der beschäftigen. Ein Stipendium der französi¬ vorliegenden schen Regierung ermöglichte es mir, diese während des Wintersemesters 1954/55 in Paris im wesentlichen zum Abschluss zu bringen. Ich danke auch an dieser Stelle den zuständigen Instanzen für die beiden Stu¬ Herrn Prof. Dr. W. Saxer. Meine Arbeit zu dienaufenthalte in London und Paris.