in der Unfallversicherung - ETH E

Research Collection
Doctoral Thesis
Ueber zusammengesetzte Poisson-Prozesse und ihre
Anwendungen in der Unfallversicherung
Author(s):
Hofmann, Martin
Publication Date:
1955
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091775
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Prom. Nr. 2511
Über zusammengesetzte
Poisson-Prozesse und ihre
in der
Anwendungen
Unfallversicherung
VON
DER
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN
HOCHSCHULE
ZUR ERLANGUNG DER
IN
ZÜRICH
WÜRDE EINES DOKTORS
DER MATHEMATIK
GENEHMIGTE
PROMOTIONSARBEIT
VORGELEGT VON
MARTIN HOFMANN
VON
WÄDENSWIL
UND
WEISSLINGEN
(ZH)
REFERENT: HERR PROF. DR. W. SAXER
KORREFERENT: HERR P.-D. DR. P. NOLFI
19S5
GEDRUCKT BEI
STÄMPFLI & CIE BERN
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—
3
—
Über zusammengesetzte Poisson-Prozesse
und ihre
Anwendungen
in der
Unfallversicherung
Einleitung
Die Theorie der stochastischen Prozesse
der
gehört
jenen Gebieten
in den Anfängen,
zu
Mathematik, welche ihre Entwicklung, besonders
Anwendungen verdanken. Viele Erschei¬
Versicherungswesen, der Physik und Biologie können
nungen
als Systeme dargestellt werden, die sich im Laufe der Zeit nach be¬
stimmten Wahrscheinlichkeitsgesetzen verändern. Das Modell, welches
zu
einem grossen Teil den
aus
man
sich
dem
vom
Ablauf eines solchen Geschehens macht, charakterisiert
einen stochastischen Prozess.
Für die
Versicherungsmathematik
Betracht, bei denen eine Variable, die
kommen
man
vor
allem Prozesse in
als Funktion eines kon¬
Zeitparameters aufzufassen hat, in zufälligen Zeitpunkten
um endliche Beträge ändert, sogenannte unstetige stochastische Pro¬
zesse. Ein wichtiges und zugleich das erste Beispiel eines solchen Modells
stellt die kollektive Bisikotheorie dar, wie sie von F.Lundberg zur ratio¬
nellen Behandlung von Eisikoproblemen der Lebensversicherung auf¬
gebaut wurde. Riebesell und seine Schüler zeigten, wie auch die Mathe¬
matik der Sachversicherung auf einem stochastischen Modell begründet
werden kann. Die'meisten dieser Untersuchungen sind vor allem theo¬
retischer Natur und bedürfen noch ausgedehnter statistischer Prüfung,
bevor sie für die Praxis von Bedeutung werden können.
In der vorliegenden Arbeit beschäftigte uns die Frage, ob in der
individuellen Unfallversicherung die Voraussetzungen für eine mathe¬
matische Behandlung versicherungstechnischer Probleme gegeben sind,
oder eventuell geschaffen werden können. Wir haben zu diesem Zweck
die verschiedenen Faktoren, welche das Unfallrisiko beeinflussen,
tinuierlichen
—
untersucht und nach dem Modell
zahl
4
—
gefragt,
das
zur
und des Gesamtschadens
Darstellung
der An¬
Unfallereignisse
Grundlagen für die statistischen Untersuchungen
wurden in enger Verbindung mit den praktischen Ergebnissen ent¬
wickelt. Indessen haben wir, zur Erreichung einer besseren Übersicht¬
zu
verwenden ist. Die
mathematischen
lichkeit, die Arbeit in einen ersten, mathematischen und einen zweiten,
statistischen Teil
gegliedert.
Dieser kann im wesentlichen ohne Kennt¬
nis des ersten Teils verstanden werden.
grundlegenden Arbeit über die Mathematik der Unfall¬
versicherung zeigte Dubourdieu, dass in der Unfallstatistik einem spe¬
ziellen stochastischen Prozess besondere Bedeutung zukommt: dem
In einer
zusammengesetzten Poisson-Prozess. Dieser ist im wesentlichen eine
Verallgemeinerung des Poissonschen Gesetzes für die Wahrscheinlich¬
keit seltener Ereignisse. Auch die Dissertation von 0. Lundberg hat die
mathematische Behandlung von Unfallstatistiken zum Thema; sie
enthält eine eingehende Untersuchung über elementare stochastische
Prozesse und deren Anwendungen. Die praktischen Ergebnisse ge¬
statten es indessen nicht, die von uns gestellte Frage eindeutig zu be¬
antworten.
Besonders interessant in
nach der
Verteilung
Untersuchungen solcher
sonenbestandes. Sie wurde erstmals
und Yule
Art ist die
der Anzahl Unfälle innerhalb eines
systematisch
von
Frage
gegebenen Per¬
den Statistikern Greenwood
studiert. Die beiden Autoren stellten drei
thesen über das Zustandekommen
von
Hypo¬
Unfällen auf, die sie mathema¬
tisch formulierten und die daraus abgeleiteten Wahrscheinlichkeitsver¬
teilungen mit empirischen Daten von Arbeitsunfällen aus der englischen
Industrie verglichen. Eines dieser Modelle führte zu einem Wahr¬
scheinlichkeitsgesetz, das auch in andern Zusammenhängen wichtig
wurde, der sogenannten negativen Binomialverteilung. Im Falle von
Greenwood und Yule ist sie als zusammengesetzte Poisson-Verteilung
zu interpretieren. Sie entspricht der Annahme eines Personenbestandes,
den
tem
sich zusammengesetzt denkt aus Teilbeständen mit konstan¬
Unfallrisiko, das indessen von einem Teilbestand zum andern
man
variiert. Da die untersuchten Bestände bereits
in ihnen für alle Personen
gleiches
so
gruppiert
äusseres Unfallrisiko
die Verschiedenheit der Teilbestände als durch
waren, dass
bestand,
muss
subjektive Ursachen
bedingt angesehen werden. Greenwood und Yule sprachen daher von
individueller Unfallneigung. Durch ähnliche, jedoch
verschiedener
—
5
—
Untersuchungen an einem deutschen Versicherten¬
bestand wurde der Psychologe K. Marbe zur Bildung von Persönlich¬
keitsgefahrenklassen veranlasst, ein den Teilbeständen bei Greenwood
und Yule entsprechender Begriff.
nicht mathematische
Es stellte sich
heraus, dass dem Modell der individuell verschie¬
Unfallneigungen gegenüber andern Modellen der Vorzug zu
Die Problematik dieser theoretischen Betrachtungsweise
geben
indessen
besteht
darin, dass versucht wird, eine komplizierte psycho¬
denen
ist.
logische Erscheinung
durch das
verhältnismässig
einfache mathema¬
tische Schema des zusammengesetzten Poisson-Prozesses darzustellen.
gezeigt, dass dieses Schema im Hinblick auf die Bedürfnisse
Versicherung angewendet werden darf. Dabei wurden wir auf
die Betrachtung von zweidimensionalen zusammengesetzten PoissonVerteilungen geführt.
Wir haben
der
Unfallversicherung
Neben der Anzahl Unfälle tritt in der
auch die
Schadenhöhe als stochastische Grösse auf. Um sie für die Berech¬
nungen
zusammengesetzte PoisVerallgemeinerung ent¬
verallgemeinert werden;
Khintchineschen Erweiterung der gewöhnlichen Poisson-
berücksichtigen
son-Prozess
spricht der
Verteilung.
Der erste Teil
zu
können,
muss
der
diese
unserer
Arbeit enthält die mathematischen Über¬
Untersuchungen aufbauen.
zusammengesetzte Poisson-Prozess aus einer einfachen Annahme über die betrachteten Ereig¬
nisse abgeleitet werden kann. Da, von einem andern Ausgangspunkt
auf denen sich die statistischen
legungen,
Zuerst zeigen wir,
wie der zweidimensionale
her, dieser Prozess schon
von
Consael untersucht wurde, führen wir
einige wenige Eigenschaften desselben an. Wir geben sodann zwei
neue zweidimensionale zusammengesetzte Poisson-Verteilungen an, die
nur
man
als
negativ-binomiale
Schliesslich befassen wir
Korrelationsfunktionen bezeichnen kann.
uns
noch mit eindimensionalen
zusammen¬
gesetzten Poisson-Verteilungen. Wir leiten eine Schar von Verteilungen
her, die sich in verschiedener Hinsicht gut eignen zur Anwendung auf
empirische Daten. In dieser Schar sind einige bekannte zusammen¬
gesetzte Poisson-Verteilungen als Spezialfälle enthalten, so vor allem
die negative Binomialverteilung. Zum Schluss erweitern wir die zu¬
sammengesetzte Poisson-Verteilung und zeigen, unter welchen Vor¬
aussetzungen die erweiterte Verteilung gegen die Normalverteilung
strebt.
—
6
—
Im zweiten Teil grenzen wir zuerst die
mathematisch-statistische
Untersuchung
Personenbestandes
geschlossenen
ab.
Voraussetzungen
für eine
der Unfälle innerhalb eines
Es
stand
uns
eine
Unfall¬
statistik über die Betriebs- und Nichtbetriebsunfälle während der Jahre
1944 bis 1952
von
1196 Arbeitern der städtischen Verkehrsbetriebe
Verfügung. Wir prüfen allgemein die Anwendbarkeit der
zusammengesetzten Poisson-Verteilung auf die Verteilungen der Anzahl
Zürich
zur
Betriebs- und
Nichtbetriebsunfälle und bestimmen auf
Grund der
•positiven Ergebnisse die speziellen Verteilungen aus der im ersten Teil
abgeleiteten Schar zur Darstellung dieser empirischen Verteilungen.
Zudem zeigen wir, dass die gemeinsame Verteilung der Betriebs- und
Nichtbetriebsunfälle durch eine zweidimensionale Korrelationsfunktion
wiedergegeben werden kann. Am Beispiel der Betriebsunfälle ver¬
gleichen wir die theoretische und praktische Verteilung der summaren
Schadenhöhe je Person während der ganzen Beobachtungsperiode, Wir
geben ferner an, wie die Verteilungsfunktion des Gesamtschadens fin¬
den ganzen Bestand berechnet werden kann.
Die
Ergebnisse, welche wir auf Grund der Untersuchungen an
verhältnismässig kleinen Bestand erhalten, berechtigen zur
Schlussfolgerung, dass es möglich ist, die individuelle Unfallversiche¬
rung auf mathematische Grundlagen aufzubauen. Wir verzichten in¬
dessen auf die Behandlung der einzelnen versicherungsmathematischen
Probleme, sondern verweisen, was die Berechnung der Nettoprämie
unserem
anbetrifft, auf die Arbeit
von
Dubourdieu und bemerken, dass mit
Hilfe der
Verteilungsfunktion des Gesamtschadens die interessierenden
risikotheoretischen Fragen nach bekannten Überlegungen gelöst werden
können.
Es bleibt mir noch ,die
angenehme Pflicht, meinem verehrten
Lehrer, Herrn Prof. Dr. W. Saxer, den besten Dank
die
Anregung
rung, die
er
zu
dieser Arbeit und für die
ihr während ihres Entstehens zuteil werden Hess. Ebenso
danke ich Herrn PD Dr. P.
Nolfi
sowie dem städtischen Strassenver-
kehrsamt Zürich für die Hilfe bei der
stellung
auszusprechen für
Unterstützung und Förde¬
Auffindung
und Zusammen¬
des statistischen Materials.
\
7
—
—
I. Teil
1. Ein
spezieller
elementarer stochastischer Prozess
Einen mehrdimensionalen unstetigen stochastisch-definiten Prozess
wenn bei jeder Änderung der Variablen
Komponenten nur um die Einheit (+1) zunehmen kann.
In den Anwendungen wird ein solcher Prozess dargestellt durch
mehrere verschiedenartige Folgen von Ereignissen, die in einem ge¬
wissen Intervall zu beliebigen Zeitpunkten eintreffen können.
Wir befassen uns in den nachfolgenden Untersuchungen mit einem
Prozess, bei dem zwei Folgen von Ereignissen betrachtet werden mit
der Eigenschaft, dass sowohl die Ereignisse der gleichen Folge, als
auch diejenigen, welche zu verschiedenen Folgen gehören, voneinander
stochastisch abhängen können. Die betreffenden Ereignisse unter¬
werfen wir der Bedingung:
(B) In jedem endlichen Intervall sind die Zeitpunkte des Eintreffens
der Ereignisse rein zufallsmässig verteilt.
bezeichnen wir als elementar,
jede
ihrer
Um diese
Bedingung analytisch zu formulieren, führen wir die
M(§) und N(&) ein, welche die Anzahl der Ereignisse
beiden Variablen
erster bzw. zweiter Art
Es
Sei:
M(0)
=
N(0)
bezeichnen, die im Intervall
=
und
0
M(s')
=
m'
0 bis & eintreffen.
N(t')
=
n'.
Der Prozess kann anstatt durch die Variablen
durch die
Zeitpunkte
den, die wir
so
ihrer
Sprünge: £,-
bzw.
M{&) und N(ß)
Tf gekennzeichnet wer¬
numerieren, dass :
0 < S, < S. <
0
...
^ Tt ^ T2 ^
...
<
Sm,
<
s'
<
&,
^ Tn, ^ t' ^ &.
Die
Bedingung (B) bedeutet, dass alle Ereignisfolgen, die gemäss
(1.1) eintreffen, gleich wahrscheinlich sind.
In einfacher Weise lässt sich die bedingte Wahrscheinlichkeit für
das Eintreffen von m Ereignissen der ersten Art bis zur Zeit s berechnen
unter der Voraussetzung: M(s')
m', wobei s<s' und daher m^m'
=
ist. Wir
nennen
sie inverse
Wahrscheinlichkeit,
gleich verteilt sind
dass
Übergangswahrscheinlichkeit.
von
m'
Es ist die
unabhängigen Variablen St, die alle
(0,s'), m Variable ^ s sind.
über dem Intervall
8
—
—
Daher wird
,
Mit den Definitionen
P(m;slm';s')
P{M(s)
=
mlM{s')
=
erhalten wir
/
P(m;«/&»';«/)
und ganz analog
Aus
(B) folgt
=
s
zudem die
\
(1.2a)
Bm,(m;—j
t\
/
P(n#fr';f)
m'}
=
(1.2 b)
Bjn;j\.
=
Unabhängigkeit der
inversen
Übergangswahr¬
scheinlichkeiten für die Variablen M und N
P{M(s)
oder,
=
m,N(t)
=
wir die
wenn
»
W)
m',N(t')
=
ri}
=
Bm,(m;-^V/n;^
=
Bezeichnung
P(m,n;s,tlm',n';s',t')
=
P{M(s)
=
m,N(t)
=
n/M{s')
=
m',ÄT(<')
=
n'}
einführen:
P(m,n;s,tlm',n';s',t')
=
Bm/m;^Bn/n;^-V
(1.8)
Um den Ausdruck für die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion
des Prozesses
zu
P(m)W;S)i)
P{M(s)
=
=
m>N(Q
=
„}
finden, betrachten wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
s1<^S1<s1 + ds1, sz^Sz<sz
Sm,
dsz,
...,
sm, <;
tl^T1<tl + dt1} tz^Tz<tz + dtz,
...,
tn, ^ Tn,
unter der
und unter
Bedingung
Beachtung
M^
=
+
m>
W)
=
< sm,
tn, + dtn,
<
n>
der Belationen:
Mi
+
äst)
(ti,ti
+
dti)n(tk,tk + dtk)
n
0<$1<sz<
0<t1<tz<
(sk,sk + fck)
...
...
0
=
o
=
<sm,<s'
<
tn,
< t'.
%zfz
+ dsm,
'
9
—
—
Auf Grund der Natur des betrachteten Prozesses ist sie unab¬
hängig von
den Werten s{ und
tj (i
=
1,
...,
m'; j
1,
=
...,
n')
und
hat deshalb die Gestalt
h(m',n';s',t') Jsx
...
dtn,.
sich sofort:
ergibt
Daraus
dsm, ät^
...
P(m',n';s',t')
h(m',n';s',t')
=
/••//••• f dsi
dsm- dti
•
•
•
*«'
0<si<...<«m'<s'0<<1<...<<„'<('
P{m',n';s',t')
Ä(m',n';«',*')
=
—
!
m
(1.4)
-n-.
» !
Allgemein gilt
oo
oo
P(m,n;s,t)
Setzen wir
-
„m
P{m,n;s,t)
—
~
m!
und
jn
—
»!
oo
,
,
Beziehung ein,
£r0*-o
s)i
fs'
oo
2 2
P(0,0;s,t)
Wesen
°°
22
°°
,=0Ä=0
darf die Beihe
s
(1.6)
s\ i
fs'
oo
Äfcfc*',0
<5,J
/'*
?:
Ki
im Bereich
s\""~7,
(1.6)
«!
fjt
({'
-,
°°
'
,,
.,
?!
speziell
fjt
It'
K
'
*
*("» + J> + fc;«\0
=
ergibt sich:
so
„»'"' <"7<»V«V«VY'\7,
oo
nach
in diese
(1.4)
und
(1.3)
,
=
2 E pK.«'î5'>0 P^.njs^/m'^'js',«').
=
•
m
(!-6)
°°
3=0 Ä=0
(0 <s<^s',0 <t<,t') beliebig
und t differenziert werden. Setzt
man
8w+nP(0,0;s,i)
so
gilt:
oo
fs'_ sy-»>
oo
-gë**<-*
OO
m+n
ß'_A»-n
(»'-«)'-" (i'-<)*""
„-.,!
(*-„)!
CO
/I-.0.—0
/*'•
vl
oft
,x"""
10
—
Aus
(1.5)
und
(1.7)
erhalten wir
P(m,n;s,t)
Speziell folgt
für
—
sm
(- l)m+B
=
f
m! n!
(0 <
s
<S
s',0 <
t <S
Zudem
t').
lim lim
=
0 und
N(0)
Von einer Funktion
(0<s<oo,0<£<oo)
^ 0
muss
P(0,0;s,t)
=
1
(to
»ro
sein, da M(0)
(1.8)
P(0,0;s,f)
(_l)«+"p(«.«)(0>0;*,i)
in
P(m'n)(0,0;s,<).
=
0
vorausgesetzt wurde.
f(s,t), welche in der Viertelsebene
Bedingungen genügt
den
(—i)m+nfm-n\s,t)
(a2)
(&2)
lim
lim
»TO
(TO
f(s,t)
^ 0
=
1
wir, sie gehöre zur Klasse F2: /(s>0 e ^V Da die Darstellung
jedes beliebige endliche # > 0 und damit für alle positiven s'
(1.8)
und £' gilt, so gehört P(0,0;s,t) zu F2.
sagen
für
Die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion des betrachteten Pro¬
gegeben durch die Funktion P(0ß;s,t) e F2, welche den
vollständig bestimmt. Wir nennen sie erzeugende Funktion,
ein Name, der sich auch dadurch rechtfertigt, dass sie im wesentlichen
die momenterzeugende Funktion für die faktoriellen Momente von
P(m,n;s,t) darstellt. (Vgl. Abschnitt 2).
ist also
zesses
Prozess
Eine Funktion
f(s,t)
£>0 in der Form eines
V2 hat die Eigenschaft, dass sie für s>0,
Laplace-Stieltjesschen Integrales dargestellt
e
werden kann
oo
f(s,t)
=
f f e-*s-A< äU(k,X)
0
in dem
Z7(fe,A)
oo
dU{k,X)
=
dhdx U(M)
0
eine zweidimensionale Verteilungsfunktion mit
?7(0,0)
=
0
bezeichnet.
Dies ist eine
Verallgemeinerung des folgenden Satzes
Bernstein über vollmonotone Funktionen:
von
Widder-
11
—
—
Zu einer auf dem Intervall 0 < t <
/({),
vollmonotonen Funktion
oo
Eigenschaft
d. h. einer Funktion mit der
(tti) (-l)"/(n)(<) ^0
gibt
für <>0
eine nicht-fallende, beschränkte Funktion
es
so, dass
f(t)
U(A) mit 17(0)
=
0
für J>0 in der Form
f(t)=je-»dü(l)
dargestellt
werden kann. Gilt zudem
(&,) lim/(<)
=
!
(to
so
ist
V(X)
eine
Verteilungsfunktion.
Für eine vollmonotone Funktion auf f>0 mit der
(bj)
schreiben wir
Der Beweis des Satzes
dieu
(4a)
oder Feller
Wir
von
Widder-Bernstein, wie
er von
Dubour-
(5) gegeben wurde, kann ohne Schwierigkeit auf
das Zweidimensionale
gemeinerung
Eigenschaft
f(t) e Vx.
übertragen werden. Wir
führen diese Verall¬
deshalb hier nicht durch.
erhalten also für die Funktion
oo
P(0,0;s,t)
(1.8) folgt
die
Darstellung
oo
=ff **-** dü(k,k).
o
Aus der Formel
P(0,0;s,t)
(1.9)
o
daher für die absolute Wahrscheinlichkeits¬
funktion:
oo
P(m,n;s,t)
=
oo
I |
J J
o
e"*8'*'
-^Ç- -^ äV{k,X).
ml
nl
(1.10)
o
Darstellung
Verteilungsfunktion ü(k,X) zusammen¬
gesetzter zweidimensionaler Poisson-Prozess aufgefasst werden. Dieser
Prozess wurde von Consael (2 a) untersucht. Wir beschränken uns des¬
halb auf die Angabe einiger Eigenschaften, welche wir für die weiteren
Untersuchungen brauchen werden.
Der hier betrachtete Prozess kann auf Grund der
(1.10)
als ein mit Hilfe der
12
—
Eigenschaften
2.
a)
—
des zusammengesetzten Poisson-Prozesses
Die Momente
P(m,n;s,t)
von
Die faktoriellen Momente einer zweidimensionalen Wahrschein¬
lichkeitsfunktion sind definiert durch
oo
VUk)
=
oo
22 (m-l)
(m-j + 1) n(n-l)
•
•
•
...
(n-k + 1) P{m,n;s,t).
Sie besitzen die faktorielle momenterzeugende Funktion
oo
oo
g(u,v;s,t)
-
2 2 (l-u)m(l-v)nP(m,n;s,t)
m=0n=0
(0<w<l,0o<l),
dasheisst
^.+kd'+1eg{u,v,s,t)
Durch eine einfache
Kechnung ergibt
gr(M,u;s,f)
Falls die
erhält
(j + k)-te Ableitung
man
^
Das
=
sich
P(0,0;sw,fo).
=
von
P(0,0;s,f) im Nullpunkt existiert,
(_1)W^pW1(0M0).
(j + Ä)-te Nullpunktsmoment
OO
von
U(k,X)
oo
ov*=//&'Aȉl7(M)
o
berechnet sich, unter
o
Voraussetzung
Existenz,
der
aus
«yft=(-l)'+ft-PW)(0)0;0)0).
Also
(2.1)
gilt die Momentenrelation
W*'0
Wir führen die Momente bis
zur
m(s)
=
ks
Jjs)
=
o*s* + kS
Omni*'*)
=
O****-
=
«/*»*<*•
zweiten
'
(2-2)
Ordnung explizite
n(t)
=
Jt
<£(f)
=
cZP + Jt
auf:
(2.2a)
13
—
—
Für den Korrelationskoeffizienten
{'}
om{s)an{t)
ergibt sich
_
r(s,t)
=
?"
,.
_,
(2.2b)
_=.
,
b) Bedingte Verteilungen
Die direkte
rechnen wir
Übergangswahrscheinlichkeit P(m',n';s',t'lm,n;s,t)
aus
der
P(m',n';s',t'lm,n;s,t) P(m,n;s,t)
Setzen wir die Formel
keit ein,
so
ergibt
(1.3)
Berechnung
Ü(k,X[m,n;s,f)
benützen wir die
=
P(m,n;s,tjm',n';s',t') P(m',n';s',t').
für die inverse
Übergangswahrscheinlich¬
sich
PimW.s^m^t)
Zur
/'
s\
/
=
t\ P(m',n';s',t')
B„(m;?)^(n;7) ^^
P{K<h,A < X/M(s)
=
=
m,N(t)
Aus ihr
=
=
m,N(f)
=
n]
Verteilung
n,k^K<k + dk,X^A<X + dX\
folgt
k
=
=
„-***
e-*-"
K
'
m!
"
m!
n!
w!
(2.4)
.
-^-
n!
bedingte Wahrscheinlichkeits¬
Voraussetzung
-^-(W^(W_
m\
K(A*)"j
'
äü(k,X).
»fflp
P(m,n;s,t)
M und N unter der
P(m,nlk,X)
e^u
-2—5
Schliesslich erhalten wir für die
von
=
x
JSe"""
V[k,Xjm,n;s,t)
funktion
(2.3)
bedingten Verteilungsfunktion
der
(ks)m
P{M{s)
be¬
Beziehung
mit
"""
K
E(Mlk,X)
^'""^
E(Nlk,X)
=
=
~
=
k,A
=
X
ks
"*
Xt.
(2.5)
14
—
—
Sind die Werte der Variablen K und A
gegebene feste Grössen:
Ereignisse unabhängig voneinander nach einem
Poissonschen Gesetz ein. k bzw. X sind die spezifischen Mittelwerte der
entsprechenden Art von Ereignissen.
k bzw. X,
so
treffen die
Eine statistische Gesamtheit, in welcher die
(2.5) eintreffen,
Gesetz
bezeichnen wir als
Ereignisse gemäss dem
homogen, da für alle Indi¬
viduen der Gesamtheit die
spezifischen Mittelwerte k und X theoretisch
gleichen
allgemeinen Fall, wo K und A entsprechend der
Verteilungsfunktion U(k,X) über die Gesamtheit verteilt sind (und so¬
mit die Wahrscheinlichkeitsfunktion (1.10) gilt) betrachten wir die
Gesamtheit als inhomogen in dem Sinne, dass jedem Individuum je
ein gewisser Wert von K und A zugeschrieben werden kann : k bzw. X,
die wir als Suszeptibilitäten des Individuums für die Ereignisse erster
bzw. zweiter Art bezeichnen. dU(k,X) ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass die Suszeptibilitäten eines beliebig aus der Gesamtheit gegriffenen
Individuums im Bereich B(k<^K<k-\-dk,X <S A<X + dX) Hegen.
sind. Im
die
Gesamtheit,
Statistisch liefert dieser Ausdruck, den Bruchteil der
dessen
Suszeptibilitäten in
B
liegen. U(k,X) gibt
an, wie
man
Gesamtheit im Hinblick auf die zwei betrachteten Ereignisse
gesetzt
zu
denken hat ; wir
c)
Stochastische
nennen
sich die
zusammen¬
sie die Strukturfunktion.
zwischen M und N
Abhängigkeit
Die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion
niert wurde als die
Wahrscheinlichkeit,
dass
P(m,n;s,t), welche defi¬
m Ereignisse der ersten
n Ereignisse der zweiten Art im Intervall 0
allgemein die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen
von m und n Ereignissen in beliebigen Intervallen der Länge s bzw. t
dar, d. h. sie ist unabhängig vom Anfangspunkt der Intervalle (was
in der Bezeichnung antizipiert wurde).
Art im Intervall 0 bis s, und
bis t eintreffen, stellt
Um
dies
P{M(a + s)
N(t)
=
—
zeigen, berechnen wir
N(r)
M(a)
m,N(r + t)
zu
die
Wahrscheinlichkeit
n},
wobei
=
M(a)
=
j
und
k sei.
P{M(a + s)—M(a)
=
=
—
=
m,N{r + t)—N(r)
=
n)
22 P(]Ma,rlj + m,k + n;a + s,r +1) P(j + m,k + n;a + s,x +1).
15
—
Setzt
man
(1.8)
und
(1.8) ein,
so
—
erhält
man :
=ss('r)f'tn
J\
j
;_Ofc=0
fc
J\a + sJ
tj
\x +
\a +
sj
\r+t
(-l)^+*+> + s)'+"' -~Ç PÜ+**+-0(0,Okt + «,t +1),
f«
f
m! n!
=
=
~
m
s'
oo
(j + m)
.
!
o*
(fe + n)
^
V- k^o
£r0
,
!
t*
«!
(-l)M+n-7^2 (-1)'-T-P(?'+CT,M)(0.0;tr + *,<),
(—1)«+»
m!
n!
sm
t"
m!
n!
£r0
?!
p(-».«)(0,0;s,<)
=
P(m,n;«,0.
Aus diesem
Ergebnis folgt, dass die bedingte Strukturfunktion
abhängt von den Anzahlen m und n und der Länge der
entsprechenden Intervalle s bzw. t, und unabhängig ist davon, wo
diese Intervalle liegen. Die stochastische Abhängigkeit zwischen M
und N kann deshalb nicht durch eine tatsächliche gegenseitige Be¬
einflussung der Ereignisse erklärt werden, sondern beruht darauf,
dass die Anzahl der eingetroffenen Ereignisse Aufschluss über die
Werte von K und A der Teilgesamtheit erteilt, aus welcher das
betrachtete Individuum stammt. Eine ähnliche Überlegung gilt auch
für die Anzahlen der Ereignisse gleicher Art in zwei verschiedenen
disjunkten Zeitintervallen.
(2.4)
nur
d) Unabhängigkeit
Notwendig und hinreichend dafür, dass die beiden Variablen M(d)
N(ff) sowie auch E und A stochastisch unabhängig sind von¬
einander, ist die Beziehung
und
P(0,0;s,t)=P1(0;s)P2(0;f)
wobei
P^s)
e
Vx
und
P2(0;t)
e
Vx.
(2.6)
16
—
Nach dem
folgender
Satz
Gestalt
OO
Widder-Bernstein kann die Relation
geschrieben
/
=
0
e"4s dü^k)
0
folgt
Wegen (1.8)
P(m,n;s,t)
Px(m;s)
und
sofort
jj^
erhalten wir
=
(-1)-+»
P2(n;t)
aus
J eu düz{?.)
0
üjtfc) und UZ(A) Verteilungsfunktionen
Daraus
in
CO
OO
e-ks-u dU(M)
(2.6)
werden
OO
ff
0
wobei
von
—
U^O)
sind mit
=
02(0)
=
0.
jj^ ß^).
=
(2.6)
sm
tn
ml
nl
-Pi»>(0;*) P2"'(0;<)
=
P^s) P2(n;t),
sind Wahrscheinlichkeitsfunktionen
zusammengesetzten Poisson-Verteilungen.
Umgekehrt folgt aus der Unabhängigkeit von K
jenige von M und N und damit die Eelation (2.6).
von
eindimen¬
sionalen
Der
eindimensionale
und A sofort die¬
zusammengesetzte Poisson-Prozess wurde
(4) und O.Lundberg (8) untersucht. Die meisten Eigen¬
schaften, welche wir im folgenden benützen werden, ergeben sich aus
den entsprechenden Eigenschaften des zweidimensionalen Prozesses
von
Dubourdieu
durch
Spezialisierung.
e)
Funktionelle
zwischen K und A
Abhängigkeit
Von einer erzeugenden Funktion einer eindimensionalen
gesetzten Poisson-Verteilung ausgehend,
zusammen¬
kann auf einfache Weise eine
zweidimensionalen
Verteilungen gebildet werden.
Falls B(0;u) e Vlt dann gilt B(0;as -f- bt) e V2, was man leicht aus
der (m + w)-ten Ableitung von B nach s bzw. t ersieht. B(0;as-}- bt)
kann deshalb als erzeugende Funktion P(0,0;s,2) einer zweidimensio¬
nalen zusammengesetzten Poisson-Verteilung aufgefasst werden. Für
spezielle
Klasse
von
die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion des zweidimensionalen Pro¬
zesses
ergibt
sich nach
(1.8)
A
sm
i"
,
dm+nB(0;u)
du"
(as)m
\i*oi
,
P(m,n;s,t)
=
±-L-
ml
(U)n
l/tl
+-L-
nl
(m
\tiv ^^
+
J_
,
lift
ri)l
•
\'
(as + bt)"
U=OS
,
+ J/
B(m + n;as + bt).
(2.7)
17
—
—
tinter der Voraussetzung, dass die Momente zweiter Ordnung
existieren, wird der Korrelationskoeffizient von K und A nach (2.1)
Q
(E"(0;0)-fl,2(Q;0))a&
__On__
~
~~
|/E"(0;0)-E'2(0;0)
<>ft°A
K und A sind linear
abhängig
a
J/Ê"(0;0)-B'2(0;0) b
voneinander und variieren im
Sinne. Für den Korrelationskoeffizienten
von
M und N
ergibt
=
gleichen
sich
aus
P(0,0;s,t)
als
(2.2b)
r{s,t)
Da für
die
B(0;u)
< 1.
Darstellung gilt
oo
B{0;u)
=
je-^äViji),
o
so
ist
M
P(0ß;s,t)
=
fe-^^'dV^).
o
Anderseits
gilt
„,
P(0,0;s,t)
=ff e*8-" dü(h,X).
o
o
Also
folgt
^
der
Eindeutigkeit der Darstellung
Laplace-Stieltjessches Integral
aus
—
-
A
b
a
was
unabhängig
Die
von
von
der Existenz der Momente
gilt.
Bandverteilungen
oo
Parais)
=
oo
2 P(wi,n;s,<)
sowie
P2(n;t)
n=0
errechnen sich ohne
=
2 P(m,n;s,t)
m—0
Schwierigkeit
zu:
P^mis)
=
B(m;as),
P2(n;t)
=
B(n;M).
(2.8)
2
18
—
3.
Beispiele
—
zusammengesetzten
von
Poisson-Verteilungen
Beispiel einer eindimensionalen zusammen¬
gesetzten Poisson-Verteilung wurde von Greenwood und Yule (6) und,
in einem anderen Zusammenhang, von Pölya gefunden, und wird in der
Literatur meist negative Binomialverteilung, gelegentlich auch PôlyaVerteilung genannt.
Das
Die
bekannteste
erzeugende
Funktion
P(0;°
ist die
=
=«(A)=
mit den Momenten
\bj
_
X
-=-jt-«
—
w
dX
M
<%
q,
"
(3.2)
I\qjb)
,
=
<t>°>b>0
der Strukturfunktion
Laplace-Transformierte
'
(tTwJ
=
,„
qb.
„
(3.3)
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt die einfache Gestalt
F{n't}-{l + bt)
Aus
(2.2a)
erhält
man
\l
+
bt)
'
r(qlb)nl
M
für ihre Momente:
tc
=
qt,
(3.5)
geben im folgenden einige Erweiterungen auf zweidimensionale
Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit negativ-binomialen Bandvertei¬
lungen an.
Wir
2e) haben wir ein Verfahren zur Bildung von
Verteilungen betrachtet. Wir wenden es an auf die
negative Binomialverteilung, und setzen daher
la)
In Abschnitt
zweidimensionalen
B(0;M)
Dann ist
=
(ïi)C
/
P(0,0;s,f)
1
=
1+
as
+ bt
C>°-
19
—
(1.8) folgt
Aus
P(m,n;s,t)
Die
sofort
sind nach
/
=
\7
1
1 +
=
+
\i/
1
btj
durch:
U
1
+ W/
der
Verteilung,
:
r(pla)m\
\"
V
(3.8)
r(qlb + n)
.
r{qlb)n\
Funktion
(j^f- (r^f- (ï+5+s)'
—,-—I. Für die
der wir
r(p/a + TO)
\l + fc/
erzeugenden
(3.7)
I\e)n\
auf eine
6<
-f-/
(3.6)
\m r(c + m)
as
btJ \l
:
=
(3.4) gegeben
(—-—V (——)
aus von
POAM)
Eandverteilungen ergeben
<3!»
sich daraus
erzeugenden Funkfcionen:
PA0-.S)
P2(0;i)
Sie führen auf die
=
1
dung
1
und t
N-«-
1+W
Verteilungen (3.8).
Nach
(1.8) ergibt
sich die abso¬
(3.9)
(m + n)-ten Ableitung. Wir wenden die Leibnizsche Formel
mehrfache Ableitung eines Produktes auf die Ableitungen nach
der
für die
-}-as
=
lute Wahrscheinlichkeitsfunktion
s
und
(j+w It+w -T(^r'
/
die
(2.8)
lb) Wir verallgemeinern nun (3.6)
Bandverteilungen vorschreiben:
gehen wir
\e+n+n
.
P2(n;t)
P2(n;t)
—-
[1 + as+Mj
r(c)
n\
m\
P.(m;s)
1
—
—
;
EandVerteilungen
Dabei
f
(as)- (bt)n r(c + m + n)
=
Pi(m;s)
die
—
an
und erhalten
aus
im wesentlichen durch Bil¬
20
{
'"^
"àèoU + aJ
—
U + «>l
Vf-./
1
1+fcf/
r(p/a-c)(m-/)!
n-fc
6*
\1+^/
r(q/b—c)(n—k)l
(as)' (bt)h r(c + j + k)
fe!
j!
Nach
r(g/6-c + n-Ä)
\*-*
/1(c)
einigen Umformungen ergibt
f
\,+'+*
1
\l +
as
+ b*
sich daraus
(o.lü)
mit den Koeffizienten
"**
\ j )
I\e) (j + k)
2 a) Eine andere
!
r{Vla-c) (m-j) ! r(qlb-c) (n-k) !
Erweiterung der negativen Binomialverteilung auf
zwei Dimensionen erhalten
P(W«
=
wir, indem wir ausgehen
von
der Funktion
U+")a+n-o*J
mit c>0 und
Sie ist die
Laplace-Transformierte
(Vergleiche Voelker
'
und Doetsch
<3-11)
0</?<l.
der Funktion
(13) S. 234). Ie_l bezeichnet
die
mo¬
difizierte Bessel-Funktion
^i(*)
(*y"°jrt(w).
=
Man kann leicht
achse definierte
nachprüfen, dass u{Jt,X) eine
Frequenzfunktion ist. Aus
oo
P{0,0;s,t)
=
folgt
sofort:
P(0,0;s,t)
positiven
Halb¬
oo
f f e*'-" u{k,X) dk dX
o
daher
auf der
e
o
V2
so
dass
(3.11) die erzeugende
Funktion eines zusammengesetzten Poisson-Prozesses darstellt.
21
—
Die Ausdrücke:
1
^(0,5)
=
P2(0,t)
=
l + as,
xc
1
+ &«
1
erzeugenden Funktionen der Eandverteüungen. Diese letzteren
sind also gegeben durch (3.7). Zur Berechnung von P{m,ri',s,t) formen wir
(3.11) um:
sind die
1
'
P(0t0;s,t)
=
l +
1
as
1
+ bt
bt
as
1--ß
l +
1 + bt
as
bt
1
l +
1
as
+
é'o
btJ
P
r(c)hl
\l
+
as
+ bt
1
angeschriebene Eeihe konvergiert gleichmässig in s und t, da
0 < ß < 1. Sie darf deshalb gliedweise differenziert werden. Also wird
Die
['"}
^
~
r{c)
Ä=0
Für die
df
\
(i + bty+h
e+h
&\j )
((l + as)c+A
min(m,Ä)
v
;
dsm-j
\l
+
as
r{c+h + m-j)
(1 + as)c+h+m-j
C+m
{-a)
àV"
m
y/»\
=
{bt?
dn
unter der Summe erhalten wir:
Ableitungen
{as?
dm
"oY"
m
(as)h
+
dsm\(i asy+h \
p
1 +
[
OS
\l
asJ
+
\hmin(m,h)
(_ 1}'
as) S
h\
.T(c + 7i + m—j)
m!
Qt-j)! {m-j)!
T(c + h)
IV
VFühren wir hier die
so
wird
Bezeichnung (a)4
die betrachtete Ableitung:
e+m
\
1
(~a)m
l +
as
as
1 +
l+as
=
'
e+"
\hr{c +
asJ
/
+
r{c + h)
r{c +
as
li_l
+
m
m
V7.
as/I{c
+
=
a(oc + l)
h) ä")
—
as,
(a + t— 1) ein,
(- h)} {- m)i
p& (—m—h—c + l)tjl\
+ lî)^(
^
...
1+
,
'F(~K-m,-m-h-c +1,1+
m)\
as
1
—
as
22
—
Die Funktion
„,
„
—
£, («), ($,
v
1
bezeichnet die Gaußsche
hypergeometriscbe Eeihe. Sie reduziert sich
a oder ß eine negative ganze Zahl ist.
Polynom,
Setzen wir den gefundenen Ausdruck für die Ableitung des ersten Fak¬
tors und den analogen für diejenige des zweiten Faktors ein, so erhalten
wir nach (1.8)
1
1
W as Y" 1 /
/
W bt \" 1
einem
zu
falls, wie hier,
,
P(m,n;s,t)
r(c + h)
jfci r(c)hl
./
ß (-7
r
=
1 +
asJ \l
\V
as
asj
\l
H
+
ric
v
+
n
+
Abkürzung
+ UJ \l +
btj
n\
1
+ h)„{
7.
F[-h,-m,-m-h-c + l,l +
,
—
+ h)
r(c
as
\
h)^/
'
r{c + h)
Zur
m
\J
btj
\l
m!
\hr(c +
bt
} h
\l +
asj
+
1
,
Fl—h,—n,—n—h—c +1,1+—
bt
\
setzen wir
bt
as
v
ß-
=
1 +
as
1 + bt
und schreiben die Ausdrücke der Wahrscheinlichkeitsfunktionen der
Kandverteilungen (3.7), P^mis) und P2(n;i), vor
Abgesehen vom Entwicklungskoeffizienten und
das Summenzeichen.
von
y*
erhalten wir
dann in der Summe Ausdrücke der Gestalt
r(c)ric +
+ h)
l
r(c + h)r(c + m)
\
und
analoge
m
für die
1\
as
Polynome
in
n.
Wenden wir darauf eine der
Gaußschen Transformationen für die
ergibt sich
dafür
(vgl.
z.
B.
bypergeometrische Eeihe
Magnus-Oberhettinger (9) S. 18)
Ji,
—
an, so
m,c,
as
Die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion kann in der Gestalt einer bi¬
linearen Entwicklung nach
P(m,n;s,t)
=
P^m^P^t)
orthogonalen Polynomen geschrieben werden
f] ^tA/F(-h,
1
h=o
[c)h\
\
-m,c,
-—)f(-H, ~n, c, —1\ .(3.13)
as
j
\
bt)
23
—
Die
„..._,,/
Polynome
sind auf der
Mh(x;c,u)
Zahlenmenge
P(x)
x
0,1, 2,
—
\7
Definition der
\x
u
W
'
mit der
...
i +
wenn
Aus dem
(— 1)*
dx
x\P(x)
du*
M^"->
Operator Vh die
=
f(x)
x)
r(c)x!
-
...
+
(
von
einer andern
uh
}(1+ «)*+"
der
aus
Beziehung
Vh\P(x)(x + c)J
L(Lpw
=
(3-U)
•
h-te
absteigende
Differenz bezeichnet, d. h.
(-1)«
Ç) f(x~i)
+...+
f(x)
=
P(x) (x
/(z —i)
=
P(o;
Wegen
man
Vorangehenden folgt
Anderseits können sie auch gewonnen werden
Vhf(x)
Belegungsfunktion
Hc +
*
«/\i-f»y
Mh(x;c,u) ausgeht.
Mh(x;c,u)
wobei der
I
=
Man sieht dies leicht ein,
orthogonal.
_
F(—h,—x,c,
1
,
1'
,
„
=
—
+
(-l)»f(x-h).
c)Ä
i) (x + c—i)h
folgt:
IV
mr(x + n+c)_F(_h)_^_h_x_c
rQi + c)r(x+c)
+
\
iti+i
«
Dieser Ausdruck stimmt mit (3.12) überein. Von der Darstellung (3.14)
ausgehend ist die Orthogonal] tat leicht zu beweisen. Mit der Bezeichnung
x(x— 1)
[x]{
(x—i +1) wird
=
...
CO
CO
S Mi vhf(x)
=
2 M« v^Pix) (x+c)h)
=
o.
24
—
Dies
folgt
sofort durch
Also ist
—
der Abelschen partiellen Summation.
Anwendung
«J
2 Mi P(x) Mh(x;c,u)
für i < h
0
=
1=0
,
und
oo
2 P(x) Mh(x;c,u) Mt(x;c,u)
=
für
0
%
=£ 7i.
Bandverteilungen haben die Wahrscheinlichkeitsfunktionen
(8.7),
negative Bmomialverteilungen. Man erhält deshalb aus
durch
Einsetzen
der entsprechenden Parameter:
(8.5)
Die
sind also
*
m
=
cas
n
=
cht
sowie:
a2,
=
cas(as -f-1)
c\
=
c&f(6f + 1),
„o
2 mPP^mis)
=
c(c + 1) (as)2 + cas
m=0
2 w2-P2M
Daraus
folgt
c(c + 1) (&02 + <**.
=
für die Kovarianz
von
M und N
oo
oo
amn
—
w
S m-Pi(m?s) -^(mjc.as) 2 wP2(n;f) M^wjc.&f)
+ Ve
1
2 mP^s)
o
(oo
<rffl„
\
oo
cas
2 *PM;s)
o
/
/
\
1
oo
2 nP2M
—iT
o
=
yc(cas—(c + l)as—1) (cbi—(c + l)fci—1)
=
yc(as + l) (&« + !),
und für y
—
=
cot
=
(as + l)(tt + l)
e
Aus der Definition
von
y
ergibt
<?m<?n
c
sich
(as + l)(bt + l)
amn
Beachten wir noch die
ß
%l
akX
fea
Vcb
^
casbt
Beziehungen (2.2a),
ca°
'
=
ht
as
und
°*A
okax
oo
2 rc2P2M
o
yc(as + 1) (if +1)
1
y
m «
n=0
m—0
(8.3),
so
wird
—
25
—
Bedingung 0 < ß<. 1, welche wir am Anfang einführten, bedeutet
also, dass (3.18) eine Verteilung mit positiver Korrelation darstellt,
da aus g > 0 auch r(s,i) > 0 folgt.
Pur ß
0 sind K und A unkorreHert und sogar unabhängig. Das
gilt ebenfalls für M und N, wie man sofort aus (3.11) ersieht.
Im Grenzfall ß
1 geht die Verteilung (3.13) in (8.6) über.
Die
=
=
2b)
Wir erweitern, wie beim ersten
Beispiel,
Bandverteilungen:
auf eine solche mit den
Vi
t{
gehen
wir
Verteilung (3.13)
ï"r(P/" + m)
Mf
~\l + as) \l + as) r(vla)m\
1
s-l
'S)
as
P*M-\1 + bt) [1 + U)
Daher
die
•
r(qlb)n\
der Funktion
aus von
P(0,0;s,t)-(-±—VC /
1 +
'
asJ
1
\1
\(l + as){l + bt)—ßasU]
UJ
+
(3.15)
wo c
der Bedingung 0 <
<^ min (—,
c
—-
b
\a
genügt. Schreiben wir (3.10)
I
)
in der Form :
P(0,0;s,f)
\4/
1
M
1
=
+
as
J
1 +
as
J \l
1
\
1
+ bt.
+
btj
s^^v
fco />) hl
bt
as
mit
so
folgt
ganz
P(m,n;s,t)
=
analog
zum
y
r
=
ß
y
-
1 +
—,
1 + U
as
Vorangehenden
PMv)P,M 2
a=o
^^ /^f-ft. -«.—,-—)
J(c)n!
\
a
as/
-Fh'~n'î'-^)-
(B-i6)
26
—
Es ist
—
mn
y
=
<?m(?n
c
Xmi
|8
Wegen
ak
—•
cab
]/ap
=
ax
=
]/bq
ß=lJL\/JL.l/±e.
folgt
-7i/fVi
Ersetzen wir in
Polynom MÄ,
P(m,n;s,t)
=
=
(3.16)
so
y und schreiben für das h-te
hypergeometriscbe
erhalten wir
P^mis) P2(n;t)
"Ä"'
§ ^t?} M"1"'—'08)Wn;-^)(—
\
J
\
r(c)A!
h=0
J\
b
a
c
(fmoZ
(3.17)
4. Eindimensionale zusammengesetzte
Poisson-Verteilungen
Im Eindimensionalen ist ein elementarer stochastischer Prozess
mit binomialen inversen
Übergangswahrscheinlichkeiten
P(n;tln';t')
gegeben
durch eine
zu
=
^(»iy)
(4-1)
V1 gehörende Funktion P(0;t), die erzeugende
was ohne Schwierigkeit aus den Überlegungen
Funktion des Prozesses,
folgt. Diese kann auf Grund des Satzes von WidderBernstein als Laplace-Stieltjessche Transformierte einer Verteilungs¬
funktion Ü(X) dargestellt werden
des 1. Abschnittes
P(0;i)
=
je'" dU(X)
mit
U(0)
0.
(4.2)
aus
(1.8)
=
o
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
P(n;i)
Zur Konstruktion
von
ergibt
sich als
Spezialfall
r
=
(-1)"—P(n)(0;<).
Beispielen
wird
gewöhnlich
(4.3)
von
einer spe¬
ziellen Strukturfunktion ausgegangen und daraus nach (4.2) und (4.3)
die Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnet. In den meisten Fällen ge¬
langt
man
dadurch
zu
formal
komplizierten
Ausdrücken.
27
folgenden leiten wir eine einparametrige Schar von Verteilungen
her mit der Eigenschaft, dass ihre Wahrscheinlichkeitsfunktionen ver¬
hältnismässig einfach berechnet werden können. Wir gehen dabei in
natürlicher Weise von der erzeugenden Funktion P(0;t) aus, und
stellen den folgenden Hilfssatz an die Spitze:
Im
Wenn
f(t)
e
V1
und
r(t)
t(0)
r'(t)
dann
gilt :/(t(<))
e
eine Funktion ist mit den
Eigenschaften :
0,
=
vollmonoton auf 0< t <
oo,
Fx.
folgt sofort durch Benützung der Formel von Faà de Bruno
für die w-te Ableitung einer Funktion von einer Funktion
Der Beweis
fini
—
n
=
Die Summation
(fc)
ist
zu
(4.4)
T-T(|)
erstrecken über:
\+
Voraussetzung
dr"
n\
h + h+
Nach
rTw(91*"<*7
~r'{t)]kx
n\
y y-
2
•••
fe2 +
•
•
+K
•
=
»>
+ nkn
=
n.
ist:
(_ 1)MTW)(/) ^0j
also wird das Vorzeichen des v-ten Summanden in
(_!)- (_!)** (_1)2*»
...
(_l)(»-i)*n
=
(4.4)
(_1)«
und daher
(-1)'
Die
Eigenschaft :
lim
f[r(t)]
=
df
1
folgt
0.
sofort
aus
den
Voraussetzungen.
<to
erzeugenden Funktionen eines zusammengesetzten Poisson-Prozesses können deshalb durch Anwendung von Transformationen
r(t) neue erzeugende Funktionen gebildet werden.
Aus den
28
—
gewöhnlichen
(4.4) ergibt
P(»'(0;i)
=
/(<)
=
*-*'
P(0;t)
=
e"1*0.
Funktion des
P(0;t)
2S
r'(<)
71!
k«i!,
2>0,
Ableitung
sich für die n-te
»-0(*)
Aus
erzeugende
Poisson-Prozesses
und erhalten
Nach
die
Ausgangsfunktion
Wir wählen als
•••
k«„!,
*1
T(">(i)
1!
n\
in
(-g)v-
(4.3) folgt
P(n;0
=
r'(i)Vrti*»
(-<)" ^
P(O;0-5-^-2(-2)"S
n\ £o
1!
\\ ...kj
w
T<n>(<)
*n
71!
(4.5)
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
kann auch mit Hilfe einer
(4.5)
Eekursionsformel berechnet werden:
P(0;t)
=
p'(0;t)
=
e"^",
—
gT'(J)e-*T(')
Aus der Leibnizschen Formel erhält
P(«+D(0;i)
und wegen
=
-q
V
=
—
man
gT'(<)P(0;f).
daraus
(»\ T(*+D(«) p(«-*)(0;<),
(4.8):
(n + l)!i&Jo(7i-fe)!fc!
w
(-*)'
P^+Ut)=-±—^(-tf—-^P(n-h,t).
n+1
fcn
Wir betrachten
nun
(4.6)
fc!
die Transformation, die
r'(t)
gegeben ist
1
=
1
+
ct
c>0, a>0.
durch
29
—
Daraus
folgt,
wir noch die
wenn
—
Bedingung t(0)
=
0
berücksichtigen:
t
a
1
-/G-fJ-"
r(f)
((l
c(l-a)
+
rt)1-—1)
0,
0<<x<l,
1
log(l + d)
c
oc
l
Ableitungen ergibt
=
l,
o-l
1
Für die
=
c(a-l)
l<a<
1 + cf
oo.
sich
Setzen wir diese Ausdrücke in
(4.7)
\l + et
T(a)
(4.5) ein,
erhalten wir die Wahr¬
so
scheinlichkeitsfunktion
*n
w!
—
*i+2fc, +
c
...
+ n*„
Kl + et,
P(n;i)
Die
=
P(0;t)
erzeugende
l
»!
f
et
I\et)n!
(ü) «i'. ...«„! \l!
„=o
c/\l + c«.
\"
<x-l\r
»
S^U«)
\1 + ci/ £o
"""'
Vc \1
+
(4.8)
et
Funktion lautet für a>0:
P(0;i)
_
=
.
e
*-fi-(—V*)
/
vi+ciy
c(<x-i) v
a=£l,
(4.9)
î/c
P(0;<)
Für die Koeffizienten
1
a=
+ d
Am(a.) ergibt
sich die
Darstellung
"M-Jt*ll...hml\ll) \l\*)2l)-\
oder,
wenn man
1.
den Ausdruck für
P(0;t)
in
(4.9)
«
r(«)n!
mal nach t
J
ableitet,
30
—
—
die Eekursionsformel
^»(")
^r-ta-iW + (ocv + n
=
^00
—
v-1) Am_t(cC)
io„
1,.
=
=
0
fürn^O.
Die Eekursionsformel für die Wahrscheinhchkeitsfunktion wird,
wir
(4.7)
in
(4.6)
wenn
einsetzen:
Um die Strukturfunktion
bestimmen, gehen wir
zu
aus von
ihrer
charakteristischen Funktion
oo
z(z)=feMäU(X).
o
Aus
(4.2)
sieht
man
sofort, dass sie
durch
gegeben ist
(4.11)
*(*)=P(0;-tt).
Wir betrachten,
tt
—
je nach
dem Wert
li
von a,
/
die drei Fälle
i
Y""
1—iczj
Die
zugehörige Frequenzfunktion
/l\q,e
dü(X)y}
=u{X)=(-)
-
äX
1 < a<
\ej
e
c(a-l)
*
-
=
Dieser
e
e
r{qlc)
c(a"1)
ec(a-l)
A>0.
(4.12)
w
\o-l
U-c»«/
1
ruf *Y(
1
\7.
w
+
\c(a—1)/ \1—m
c(oc—1)\1—cizJ~\l-ciz)
2!
__
--
e
2!
„(2\
A""-1
oo :
1
'
ist bekannthch
Entwicklung entspricht
a
nach
(4.12)
\k 11 \*'a"1'
»-"äU^üHT;
\e(tt—l)J
die
\l—ciz)
Frequenzfunktion :
1
^*(a-iH
A
TfM»^*
A
„(A)
_
e
«
g
\*
A*M>
—ä^j T^^ipr
*>°'
31
—
Im
—
Nullpunkt besitzt die Verteilungsfunktion U(X) eine Unstetigkeit,
u(X) existiert dort nicht. Als Spezialfall berechnen -wir u(X) für
d. h.
cc
=
2:
•«—
"iS
'2ih6='
c2
éo
|/
c2
(fc + 1)!
fc!
£
cZ&oXc*/
ÄiVc2/ (fc-l)!fe!
gA
iéi
(fc-l)!fc!
S^+ife! (fc + 1)!
0<a<l:
Setzen -wir: y
=
1
—
(0< y< 1),
a
-JL((l-efaJM)
z(«)
Zur Diskussion
von
%(z)
wird
so
«
=
w
führen wir eine Hilfsfunktion ein
--£-(-«)?
-JL(-ci*)r
jt(«)
Sie kann auf die Form
=
L&y (7)
hat
gezeigt,
"*
werden
V
e
=
«°V
e
=
gebracht
»(*)
P.
e
2
'
mit
dass
<p{z)
=
e
<°(l+«,ifrt4>'H
|j8|^l,
mitc0>0,
die charakteristische Funktion eines stabilen
(4.18).
gestellt. Zum
Durch
wird eine
(4.13)
c0>0.
gewisse Klasse
von
0<y^2
Verteilungsgesetzes ist.
Verteilungen dar¬
stabilen
Beweis nehmen wir vorerst an, dass y rational sei:
m
y
=
—
m,n ganz,
m<n.
Es ist
(—i)m/"
=
cos(—
\-h2n—
+isin(
f- Ä: 2^r
k
=
0, 1,
..
—
)
,,n
—
1.
32
—
Die
Lösung
h
n—
=
cos
*8
—
1 liefert:
/ 3jr
m
V
2
n
"5
\ 2
n
\
m
In
h
2jt
m
n
2«—+ w2«
re
und daher
n{z)
=
mit
)
cos
m\
n
—
,
\2 n/
=-tg
/
—
—
\ 2
n
),
)
6-*»(wt»(ï f)>m/"
gcos(|
c0
I'
=
)
.->
=
«•
folgt die Darstellung (4.13) aus der Tatsache,
beliebig nahe durch rationale Zahlen approximiert
Für nicht-rationales y
dass
jede
Zahl
werden kann.
Die
sind
Verteilungen
stabilen
Frequenzfunktion,
die wir mit
charakteristische Funktion
stetig,
d. h.
bezeichnen.
/^(A)
/i-o^A)
von
besitzen
sie
n(z)
eine
ist dann die
«(*)=/^w/1^.1(A)<tt.
o
i
Aus
x(z)=e°W7z[z +
folgt
X(z)
=
e°wfei°*e~°f1^_t(k)dL
o
Zu
also im Falle 0 <
x(z) gehört
Es ist bis heute
funktionen in
/y-iW
nur
in
a
< 1
die Strukturfunktion
wenigen Fällen gelungen, die stabilen Frequenz¬
geschlossener
Form darzustellen;
*st insbesondere der Fall y =-j bekannt
1
«
-! -«!
für die Funktionen
(Vgl.
P.
Levy (7a)):
33
—
Also wird für
a
=
—
4- :
ync
Die
Verteilungen,
bereits
von
bekannte
welche sich für
E. Consael
Spezialfälle
(2)
a
=
\
und
a
=
2
ergeben,
wurden
betrachtet. Wir führen noch zwei andere
an.
17(A)
oc=0:
=
e{A
—
q),
P(0;Q =e-«<,
p(n).i)=e-?(Ä.
Dies ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der
gewöhnlichen
Poisson-
Verteilung.
a=l:
Strukturfunktion und
erzeugende Funktion sind hier gegeben durch
(4.12) bzw. (4.9). Die Koeffizienten
(4.8) berechnen sich aus
A Jl)
der Wahrscheinlichkeitsfunktion
A^xV) + (»-1) ^i(l)
=
Sie stimmen im wesenthchen mit den
Überem
Aus
AJ1)
(4.8) ergibt
=
Stirlingschen
•
Zahlen 1. Art
££
(-l)n+'S'n.
sich daher
P{n;t)
=
P(0;t)
\" r(qlc + n)
et
1 +
ctJ
also die Wahrscheinhchkeitsfunktion der
r(qlc)n\
negativen Binomialverteilung.
Wir bemerken noch, dass die Strukturfunktion der Wahrscheinlich¬
keitsverteilung (4.8)
Aus
folgt:
einer
Integralgleichung gehorcht.
P(0;t)
=
-qr(t)
=
{)~
e-*t(,)
logP(0;f),
q
P(0;t)
qr'(t)P(0;t)=-P'(0;t).
'
34
—
—
Die in dieser Eelation auftretenden Funktionen können als
gewöhnliche
Laplace Integrale geschrieben werden, da die Strukturfunktion U(x)
für alle a und für œ>0 eine Ableitung u(x) besitzt. Es gilt
P(0;<)
=
Ju(x)e<"dx,
o
<®=(Th)"=*W)f*"e~*''~"d'Also
0
folgt
oo
3
t,,—
^r(«)
oo
oo
I z*"1 e~*/c e~*'dx I u(x) e'zi dx
J
J
o
Symbolik
der
Laplace Transformation lautet diese Gleichung
3
-
car(a)
Sie
entspricht
•
J
o
In der
I xu(x)e~*'dx
=
der
Ljof-1 e*,c) L{u(x) \
=
L{xu(x)}.
folgenden Integralgleichung
für die Funktion
u(x)
X
c«r(a)
J
y
e^!cu{x—y) dy
=
xu(x).
Zur Diskussion der durch
die Parametertransformation
P(0;«,a)
=
e
ba~lK
(4.8) gegebenen Verteilung
c
fe/a ein, und erhalten :
W+bt>
',
(4.14)
Die Strukturfunktionen haben im
allgemeinen
keine einfache Ge¬
stalt. Wir charakterisieren sie deshalb durch die Grössen:
Streuung,
führen wir
=
Mittelwert,
Schiefe und Exzess. Diese werden in einfacher Weise
den Kumulanten nk berechnet. Nach Definition ist
.
äk
aus
35
—
Aus
und daher
(—l)k+lr^(0).
xk=
Setzen wir in
-JT(-fe)
*(*)
(4.11) folgt
(4.7)
t
0 und
=
c
b/oc,
=
so
,*-i
I\* + k—l)
b\*-1
1
\yj
—
K—1-)
\
wird
—
'
n*)
Also erhalten wir schliesshch:
«i
=
«2
=
q,
qi,
/1+*-2'
2\
et)
Daraus
ergeben
J
=
kx
=
q,
Streuung:
(%
=
x2
=
qb,
Schiefe :
e^
=
—j
=
ax
Strukturfunktionen
teilungsfunktionen,
a
|/FK>
--J--T
Exzess:
für zunehmende
ft>2.
et
sich:
Mittelwert:
Die
\
bei
1
+
bilden daher eine
ü(A;a)
welche
J +
T
gegebenem
Schar
Mittelwert und
von
Ver¬
Streuung
abnehmende Schiefe und Exzess aufweisen.
Für
von
von
späteren Gebrauch führen wir noch die ersten beiden Momente
P(n;t,a) an. Sie berechnen sich aus den entsprechenden Momenten
U(X;cc) nach den Formeln (2.2a):
n
=
gi,
,o»
=
gi(W + l).
Die Funktionen
x'{t;ct)
(4.15)
=
1
,
bilden eine Schar mit der
+ et )
Eigenschaft,
\ a + bt,
dass für
je zwei Werte
gilt
a2 mit ccj < cc2 und für alle t auf dem Intervall 0 < t <
T'(<;a,)
<
T'ftoa).
oo
ax und
36
—
Wegen t(0)
=
0
folgt
daher:
und
Für
jedes feste
t ist
—
T(<;at)
>
T^Ojj)
P(0;t,ai)
<
P(0;t,«^.
P(0;i,a)
eine monoton zunehmende Funktion
von a.
Wir betrachten noch den Grenzfall:
oc
=
oo.
Mit den
neuen
Parametern lautet die Funktion
/,1s
1
Daraus
folgt
limT(i;a)
t'(£;oo)
a-l\
sofort:
=
—
vollmonoton und
(1
—
0
a»»oa
Da
r(t):
t(0;oo)
=
0
e_!").
ist, stellt
-Hi-*-"1)
P(0;i)
auch eine
erzeugende
Verteilung
dar.
=
Funktion
e
»
einer
zusammengesetzten Poisson-
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
berechnet werden wie
Die Koeffizienten
analog
(4.8)
Am(oo)
gleich
Gegensatz zu
kann ganz
=
Bm gehorchen
der Eekursionsformel
Stirlingschen Zahlen 2. Art.
vorangehenden Beispielen ist die Struktur¬
funktion hier durch eine diskrete Verteilung, und zwar durch eine
Poisson-Verteilung, gegeben
und sind daher
Im
den
den
(alb)lli
dü(X)
=
e-qli~~-
Wie haben also als Grenzfall die sogenannte
Typus
A erhalten.
für X
=
0,b,2b,
Neyman-Verteilung
....
vom
37
—
5.
Erweiterung
In den
—
der zusammengesetzten
Anwendungen
Ereignisse betrachtet,
kommt
Poisson-Verteilung
oft vor, dass
es
man
zufallsmässige
mit denen eine kontinuierliche stochastische
Variable verbunden ist, welche
man als Grösse der Wirkung eines Er¬
Beispiele dafür liefern viele Zweige der Per¬
sonen- und Sachversicherung, wo ein Schadenfall einen Schaden aus¬
löst, dessen Höhe weitgehend durch den Zufall bestimmt wird. Mathe¬
matisch wird ein solcher Prozess dargestellt durch eine Variable, welche
in zufälligen Zeitpunkten sprungweise ändert, wobei die Höhe des
Sprunges selbst eine stochastische Variable ist.
eignisses
auffassen kann.
Wir beschränken
auf eine
uns
einzige Art von Ereignissen,
folgende Annahmen :
und
machen über die Natur des Prozesses
1. Die Anzahl
ist
Ereignisse N
gegeben
durch eine eindimensionale
zusammengesetzte Poisson-Verteilung :
oo
P(n;t)
e-xt^-dU(X).
=
2. Die Höhe eines
Sprunges X ist unabhängig von Anzahl und Grösse
der vorangehenden Sprünge. Sie besitzt die Verteilungsfunktion:
P{X < x)
Die
die
summare Sprunghöhe in
Verteilungsfunktion
=
S(x)
mit
einem Zeitintervall der
S(0)
Länge
=
0.
t hat dann
oo
<T» Ä dü(X) S,n)(x)
2 Iff"
n=oJ
2
=
=
H(x;t)r,t)
(5.1)
0
S(n)
Als
Beispiel
bezeichnet die ra-te
betrachten wir den Fall:
du®
=
dX
dS(x)
\b)
1
=
dx
n\\
a^1
I\qlb)
-|
—ed=
d
-4
6
s(x).
'
Faltung
von
S(x).
38
Durch Induktion findet
man
,n-l
1
i\
Also
—
*
-
folgt:
d
*w(0)
0
Nach
(3.1)
und
n
=
für
n
> 1.
ist:
(3.4)
qß
1
P(0rf)
=
P(n;t)
=
1,
f ür
btJ'
1 +
n
bt
P(0;Q
1 +
btJ
r(q/b + n)
I\qlb)nl
Wir erhalten deshalb für x>0:
bt
dx
1
f/
1 +
+
e
*
M
~
,
aX"-1
\1 + bt) dT(qlb) à \1 + bt JJ
btJ
U
\
\
,
btJ \l + bt)
e
*
Z> /
dI\qlb)èo\l
bt
+ bt
r(qlb + n)
I\n) I\n + 1)
x\nr(glb + n+l)
d)
r(n + 2)n!
'
Die gleichmässig konvergente Potenzreihe stellt eine konfluente hyper¬
geometrische Funktion dar. Führen wir die für sie übliche Bezeichnung
I\ci)eAr(ß + n)nl
so
erhalten wir schliesslich
h(x;t)
=
P(0;t) s(x)
f
at
-f-
tFt qjb +1,2,
V
1 + ^
Die charakteristische Funktion
y>(«;Q
=
von
bt
x
(5.2)
1 + btd
H(x;t)
J" é!X dH{x;t)
o
drückt
und
sich mit Hilfe der charakteristischen Funktionen
Ü(A)
von
S(x)
oo
<p(z)
=
fei*xdS(x),
X(u)=JS*dü(X),
aus.
39
—
DO
OO
Ç
OO
e^^P^dS^x)
%P(n;t)
=
n-0
/OO
«-0
J
e<**dS{n)(x)
.
0
Wegen
«
Je^dS(n)(x)
[<p{z)f
=
o
wird
y,(z;t)
=
fiP(n;t)[<p(z)]»
=
f^^^Wf
§
n!
«=oJ
»=o
0
oo
oo
L-u^riW dU{Xj
=
0
Also
0
folgt:
V(^)
=
[t\w(z) —11)
i-\.
^
Man erhält daher
oder,
wenn
aus
Verteilungen
=(-i)fc^'(0),
«*
=(-*')Ä^(0).
(5.8)
berechnen sich
=
»!«!<,
PS)
=
^ota^ + ra^i,
i«s(t)
=
"?a3i3 + 3^^012 f2 + VjO^.
H(x;t) ergibt
wir die Varianz
Das dritte Moment
von
=
Ä(0 ="î(«3«3-3«1a2t3
ä(0
+
sich
U(X):
a
=
<%—a2
einführen
=>'2ot2 + »'2a1<.
bezüglich
ÄW
den
sofort :
ftjffy
von
aus
(_^yW(0;0>
vk
Ä(0
wird
=
(5-3)
%-^M
Die Momente der betrachteten
Beziehungen:
Für die Varianz
CeHWMdUiZ).
=
dem Mittelwert
-
3/*i(0 ftO + 2^(<)
2û4St3) + 3r1r2(a2t2-a2t2)+v3a1f. (5.4b)
40
—
—
Wir betrachten noch zwei Grenzfälle der erweiterten
zusammen¬
gesetzten Poisson-Verteilung:
1. Satz
von
Lundberg (8).
existiert,
Falls das Moment v1
lim
2.
Grenzverteilung
gilt
so
H{xt;t)
=
U[
—
Xt
—
v1
cf.11
=
]/vlat + v2cx.l yi
Voraussetzung, dass
Grenzübergang:
Satz: Unter der
a-*-
0
)
oo
J
-*-
H(x]/vlat + v2oi1
existieren, gilt beim
<x2 und v2
at
>
t
yt +
=
Vj
fest
f
a^;«)
=
0(x).
a»-0
f»-oo
Beweis: Die Variable X* hat die charakteristische Punktion
Daher wird
*,
iogv M
=
izViOLit
ft
+ Iog*
7P
~^=
1/7
mit
Für
/
log%(w)
benützen wir die
log x(u)
log z
:
für die standardisierte Variable
X*
lim
für die Variable
(j «)
=
=
\
z
Entwicklung:
«iW + a
«ife + af2
(m)2
+ ao(M2)
—g-
y
+ /to(u2)
•
»
—
Ersetzen wir auch
so
durch ihre
y{w)
cp(w)
41
1 +
—
—
Entwicklung
Vj[iM) +
v2—
\Ä
o(w2),
wird:
/
%z
%S
"
=
"1,^
XT
i/T
-"äT^TT
r7
+
1
\
°(7)'
1
Also
folgt:
izvx<xxt
*/_j\
log v*(*;*)
=
—L. +
to
J»-oo
die
z2
t
t
(—\,
lim
Die
izvxa.^t
|
log
y>*(z;t)
z2
=
——.
"
Verteilung der standardisierten Variablen X*
Normalverteilung N(0,1).
strebt also gegen
fl
—
42
—
II. Teil
Hauptprobleme
der
Unfallversicherungsmathematik
und der Unfallstatistik
1.
Allgemeines
Damit wir die Theorie der stochastischen Prozesse auf versiche¬
rungsmathematische Probleme anwenden können, müssen wir erklären,
wie in der Praxis das untersuchte stochastische Ereignis, also das Ein¬
treffen eines
Schadenfalles, definiert ist. Während in der Lebensver¬
diese Definition in natürlicher Weise
sicherung
Unfallversicherung
gegeben ist,
muss
in der
über Eintritt oder Nichteintritt eines Schadenfalles
gesetzlichen Bestimmungen entschieden werden.
Begriff Unfall soll deshalb in den folgenden Untersuchungen im
versicherungstechnischen Sinne verstanden werden, d. h. als ein Er¬
eignis, welches nach den einschlägigen Gesetzen über die Unfallver¬
sicherung den Versicherer zu einer Versicherungsleistung veranlasst.
Er ist daher meist sehr komplexer Natur; beispielsweise werden im
Bundesgesetz vom 11. Juni 1911 über die Kranken- und Unfallversiche¬
rung die Berufskrankheiten den Unfällen gleichgestellt (Art. 68).
oft auf Grund
von
Der
Bei einem Unfall haben wir, streng genommen,
zu
unterscheiden
Unfallereignis (dem Schadenfall) und den Folgen des
Unfallereignisses, welche für den Versicherer in der Ausbezahlung der
vereinbarten Entschädigimg (der Schadenhöhe) bestehen. Dem Sprach¬
gebrauch folgend verwenden wir, wo keine Verwechslung möglich ist,
für den Begriff Unfallereignis gelegentlich auch den weniger präzisen
zwischen dem
Ausdruck Unfall.
Die Anzahl Schadenfälle, welche eine Person in einer bestimmten
Zeit betreffen, sowie die Schadenhöhe pro Unfall, haben wesentlich
stochastischen Charakter: sie werden indessen beeinflusst durch eine
priori bekannt, teilweise a
wie sie zum Bei¬
Statistiken,
Umfangreiche
posteriori
bei
der
Schweizerischen
Unfallversicherungsanstalt in Luzern,
spiel
grosse Anzahl
Faktoren, welche teilweise
a
feststellbar sind.
dem statistischen Büro der
englischen
triebsunfälle in Born
Versicherung in
Versicherung gegen Be¬
eine im voraus mögliche
staatlichen
Newcastle und dem staatlichen Institut für die
vorhegen, zeigen, dass
für
43
—
Abschätzung
des Eisikos
folgende Hauptfaktoren
Geschlecht, Alter, Beruf,
sind:
—
ferner
zu
berücksichtigen
Nebenbeschäftigungen
Gesundheitszustand der Versicherten. Zu diesen
objektiv
und
erfassbaren
kommen noch eine Reihe
von subjektiven Faktoren hinzu, über die
längere Beobachtungszeit zuverlässigen Aufschluss geben kann,
Anfälligkeit für Unfälle sowie Versicherungs- und Arbeitsmoral.
erst eine
wie:
In der Versicherungstechnik werden auf Grund solcher Gesichts¬
punkte Gefahrenklassen abgegrenzt, um dadurch den Bestand in mög¬
lichst homogene Teile zu zerlegen, d. h. Teilbestände, in welchen alle
Objekte annähernd gleichem Bisiko ausgesetzt sind. Zur Bestimmung
Nettoprämie genügt es, Unfallhäufigkeit und durchschnittliche
jeder Gefahrenklasse zu kennen (zwei Grössen, auf
deren Definition wir im nächsten Abschnitt näher eintreten), während
für Risikountersuchungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ge¬
samtschadens gebraucht wird, die sich aus der Verteilung der Anzahl
Schadenfälle und der Verteilung der Schadenhöhen berechnet.
der
Schadenhöhe in
N
Diese
Verteilungen müssen empirisch gefunden werden, doch wird
begnügen, beobachtete Häufigkeitskurven ein¬
fach auszugleichen, vielmehr versucht man, durch Hypothesen, welche
der Erfahrung gerecht werden, den Charakter der theoretischen Vertei¬
lungen zu erklären.
man
sich nicht damit
Die in
Frage
stehenden Grössen: Anzahl
Schadenhöhe sind neben den stochastischen
Schadenereignisse und
Schwankungen oft auch
systematischen Veränderungen im Verlaufe der Zeit unterworfen, sei
es durch die Wirkung wirtschaftlicher Einflüsse oder durch Änderungen
der allgemeinen Lebensbedingungen. Damit aus einem vorliegenden
Beobachtungsmaterial zulässige Schlüsse auf das künftige Geschehen
gemacht werden können, soll es folgenden Bedingungen genügen:
1. Es
muss
dischen
2. Die
möglich sein, zufällige
Änderungen
von
der untersuchten
trendmässigen
Grössen
zu
oder
perio¬
trennen.
Verteilungsfunktionen, welche dem Trend oder
überlagert sind, müssen zeitlich stabil sein.
der Periodi¬
zität
Diese
Forderungen gelten
suchungen,
technische
nur
für mathematische Unter¬
praktische versicherungs¬
Überlegungen, so dass es nicht berechtigt ist, aus ihnen einen
Einwand gegen die
in der
nicht
sondern in anderer Form auch für
Anwendung mathematisch-statistischer
Unfallversicherung abzuleiten.
Methoden
44
—
2. Formen der
—
Unfallversicherung
Wir haben in der
rungsarten
Unfallversicherung hauptsächlich
unterscheiden, nämlich:
zu
Einzelunfallversicherung
und
zwei Versiche¬
Betriebsunfallversicherung.
Während in der
Einzelunfallversicherung die einzelne Person die
Versicherungseinheit bildet, wird bei der Betriebsunfallversicherung
die Gesamtheit der in einem Betrieb beschäftigten Personen als Ver¬
sicherungseinheit betrachtet. Dieser Unterschied wirkt sich statistisch
zum Beispiel in der Definition der Unfallhäufigkeit aus. Bei der Einzel¬
unfallversicherung wird die Unfallhäufigkeit in natürlicher Weise als
durchschnittliche Anzahl Unfälle pro Person innerhalb der betrachteten
Periode (z. B. 1 Jahr) definiert. Da bei der Betriebsunfallversicherung
der Einzelne in der Statistik als solcher gar nicht erfasst
nur
indirekt
Versicherungsobjekt darstellt,
wird, da
er
ist die Anzahl versicherter
Personen unbekannt. Sie wird ersetzt durch die Anzahl «Vollarbeiter»,
die sich
aus
800
der Anzahl Arbeitsstunden errechnet, und
Arbeitstage
zu
8 Stunden
zwar
=
2400 Arbeitsstunden
=
1 Vollarbeiter
gilt :
Die Anzahl der Arbeitsstunden für einen Betrieb wird ermittelt, in¬
dem die versicherte Lohnsumme dividiert wird durch einen
mittleren Stundenlohn. Die
fiktive Grösse
eingeführt,
(jährliche) Unfallhäufigkeit
geschätzten
wird dann als
nämlich als Anzahl Unfälle pro Vollarbeiter.
Die durchschnittliche Schadenhöhe pro Unfall ist in beiden Fällen
das Verhältnis der gesamten während einer gewissen Zeitperiode aus¬
bezahlten
Entschädigungen zur Totalanzahl der Unfälle in der
betreffen¬
den Zeit.
"Über die Verhältnisse in der Betriebsunfallversicherung wurde
Wunderlin
auf Grund
(14)
von
rungsanstalt
von
eine
eingehende Studie gemacht. Der Verfasser kommt
Beobachtungen bei der Schweizerischen Unfallversiche¬
in Luzern
scheinlichkeitstheorie
zum
zur
Schhiss, «dass die Anwendbarkeit der Wahr¬
Erfassung
des Unfallrisikos und damit
zur
Prämienbestimmung
Unfallversicherung
Untersuchungen werden hauptsächlich im Hinblick auf
ihre Konsequenzen für die Einzelunfallversicherung durchgeführt, so
dass wir hier nicht weiter auf Wunderlins Arbeit eingehen, da keine
in der sozialen
sei». Unsere
zu
verneinen
45
—
—
Berechtigung besteht, Eesultate, welche sich auf die Betriebsunfallver¬
sicherung beziehen, auf die Einzelunfallversicherung zu übertragen,
habe diese nun privaten oder sozialen Charakter. Immerhin scheint uns,
einige
dass
neue
Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung in der
Berücksichtigung fanden.
erwähnten Arbeit keine
3. Der untersuchte Bestand
dafür, dass
Unfallversicherungsmathegeschenkt wird,
wenig
hegt wohl im Mangel an umfangreichen Statistiken, die es erlauben
würden, die theoretischen Ergebnisse im einzelnen zu überprüfen. Um
über die Verteilung der Anzahl Schadenfälle genügend Aufschluss zu
erhalten, muss es möglich sein, jeden Versicherten während einer länge¬
Ein
matik
ren
wichtiger
von
Grund
Periode hinsichtlich seiner Unfälle
bei den
privaten
der
Aufmerksamkeit
Seiten der Praxis her
zu
beobachten. Nun werden aber
Gesellschaften Policen mit wiederholten Unfällen
gekündigt. Bei obligatorischen Unfallver¬
sicherungen tritt dieser Nachteil nicht auf, hingegen sind diese gewöhn¬
lich als Betriebsunfallversicherungen organisiert, bei denen die einzelne
Person überhaupt nicht betrachtet werden kann.
Es wurde von uns ein abgeschlossener Bestand von 1196 männ¬
lichen Arbeitern, die mindestens während der Zeit vom 1. Januar 1944
innerhalb kurzer Zeit bald
bis
zum
31. Dezember 1952 bei
Zürich voll
beschäftigt
den städtischen Verkehrsbetrieben
waren, untersucht.
Diese Arbeiter sind
haft bei der Schweizerischen
gesamt¬
in Luzern
ver¬
Unfallversicherungsanstalt
Gefahrenklasse
(47d,
gleiche
Gefahrenstufe V) eingereiht. *)
Wir betrachten getrennt voneinander Betriebsunfälle (BU) und
Nichtbetriebsunfälle (NBU), welche im Führer durch die obligatorische
Unfallversicherung (15) wie folgt definiert sind (S. 17):
«Als Betriebsunfälle gelten Unfälle, die durch den versicherten
sichert und wurden
von
dieser alle in die
Betrieb verursacht werden oder die dem Arbeiter während der Arbeit
für
diesen Betrieb
übrigen
*)
laubte
zustossen.
Als
gelten alle
Unfälle.»
Der Bestand entstammt also der
es uns
Arbeiters
Nichtbetriebsunfälle
zu
Betriebsunfallversieherung.
eine interne Statistik der
Indessen
er¬
Verkehrsbetriebe, die Unfälle jedes einzelnen
verfolgen. Dadurch ergab sich die Möglichkeit, aus unseren Unter¬
suchungen Folgerungen
für die
Einzelunfallversicherung
zu
ziehen.
—
Berufskrankheiten
nachlässigbarer
waren
46
—
unter den
registrierten
Unfällen in
ver¬
Anzahl vorhanden.
Die Schadenhöhe eines Unfalles setzt sich
zusammen aus
Lohnent-
schädigungs- und Heilungskosten. Die Lohnentschädigung hängt
hauptsächlich ab von der Dauer des Unfalles (Anzahl voll arbeits¬
unfähiger Tage), daneben von wirtschaftlichen Faktoren, während
für die Heilungskosten die Heilungsdauer (Zeit, die verstreicht vom
Unfalleintritt bis zur letzten ärztlichen Konsultation) sowie Arzt- und
Apothekerkosten massgebend sind.
Der relativ kleine
Umfang unseres
Bestandes
gestattet
verschiedenen Einflüsse auf die Schadenhöhe einzeln
Wir betrachten deshalb
dauer), gleichsam
lediglich
zu
es
nicht, die
untersuchen.
die Dauer eines Unfalles
(Schaden¬
als ein Nettomass für die Schadenhöhe, in dem das
wesentlich stochastische Element enthalten ist.
4.
Beziehung
zwischen Anzahl der Schadenfalle und
Schadendauer
Darstellung der Verteilung des Gesamt¬
erhalten, macht man in der Unfallversicherung die grund¬
Um eine übersichtliche
schadens
zu
dass die Anzahl Schadenfälle und die Schaden¬
legende Hypothese,
dauer zwei stochastisch
unabhängige Variable
sind. Diese Voraus¬
nicht streng erfüllt, in den meisten Fällen wegen der
setzung
Seltenheit der Unfälle und der Kürze der Dauer von Unfallverletzungen
ist
zwar
jedoch berechtigt. Für die Betriebsunfälle unseres Bestandes beträgt
die jährliche Unfallhäufigkeit 0,098 und die durchschnittliche Dauer
eines Unfalls 13,1 Tage. Tabelle 1 zeigt die durchschnittliche Schaden¬
dauer in Beziehung zur Anzahl BU.
n
Nn
nN„
d
1
288
288
15,0
2
127
254
12,5
3
76
228
15,2
4
22
88
12,6
^5
81
196
8,6
n:
Nn:
d
:
Anzahl BU in den Jahren 1944-1952,
Anzahl Personen mit
n
BU,
Durchschnittliche Dauer eines Unfalls in
Tagen.
—
47
—
lediglich die 31 Arbeiter mit fünf und mehr Unfällen
neunjährigen Beobachtungsperiode eine wesentlich unter dem
Mittel liegende durchschnittliche Schadendauer auf. Der Abfall erklärt
sich dadurch, dass diese Arbeiter vorwiegend Bagatellunfälle anmelde¬
ten, das sind Unfälle, welche dem Versicherer nur Heilungskosten, je¬
doch keine Lohnentschädigungskosten verursachen, also die Dauer
0 Tage haben.
Es weisen also
in der
5. Der Einfluss des Alters auf die Unfälle
eingangs erwähnten, zeigen, dass
Unfallhäufigkeit mit zunehmendem Alter
Die grossen Statistiken, die wir
generell gesprochen,
die
sinkt, während die mittlere Schadendauer zunimmt. Für einen ge¬
gebenen Bestand hat man zu untersuchen, ob diese Erscheinung so
ausgeprägt ist, dass man sie durch Gruppierung des Bestandes nach
Altersklassen berücksichtigen muss, und wie die Gruppierung zu ge¬
schehen hat.
Unfallhäufigkeiten der BU und NBU im
Geburtsjahr des Verunfallten dargestellt.
In der Tabelle 2 sind die
Zusammenhang
mit dem
Geburtsjahr
(1)
(2)
(3)
1886-1892
122
0,75
0,84
1893-1895
114
0,90
0,83
1896-1897
104
0,76
0,96
1898-1900
99
0,65
0,93
1901-1902
107
1,03
0,87
1903.
84
1,00
0,93
1904.
100
0,73
0,97
1905.
120
0,77
0,98
1906.
119
0,82
0,98
1907.
119
1,16
1,00
1908-1922
108
1,13
0,99
1886-1922
1196
0,88
0,93
(1): Bestand der betreffenden Altersgruppe,
(2): Unfallhäufigkeit der BU, 1
in den Jahren
(3): Unfallhäufigkeit der NBU )
1944-1952.
Tabelle 2
48
—
—
Die BU verteilen sich ziemlich gleichmässig auf die verschiedenen
Altersgruppen mit Ausnahme der beiden jüngsten Gruppen, welche eine
stark erhöhte Unfallfrequenz aufweisen. Diese ist indessen wohl eher
auf den Mangel an Erfahrung zurückzuführen als auf den Einfluss des
Alters. Bei den NBU ist die Abnahme der Unfallhäufigkeit mit zu¬
nehmendem Alter deutlicher,
was
sich dadurch erklärt, dass sich die
Jahrgänge in ihrer Freizeit im allgemeinen kleineren Bisiken
aussetzen als die jüngeren. Die Unterschiede sind jedoch nicht so gross,
dass sie eine weitere Unterteilung des Bestandes notwendig machen
älteren
würden.
Die
vom
zu
der durchschnittlichen Schadendauer pro Unfall
Abhängigkeit
Alter des Verunfallten bei den BU ist
aus
der
folgenden Tabelle
ersehen.
Alter
25-40 Jahre.
(1)
(2)
.
136
7,6
»
...
117
10,5
43-44
»
.
.
137
12,5
45-46
»
.
.
.
.
145
11,8
47-48
»
.
.
.
.
128
11,1
49-52
»...
148
17,6
53-56
»
.
.
.
.
118
16,4
57-64
»
.
.
.
.
125
16,7
25-64Jahre.
.
.
.
1054
13,1
41-42
(1):
(2):
•
.
.
.
Anzahl BU in den Jahren
Tabelle 3
1944-1952,
Durchschnittliche Schadendauer pro Unfall in
Tagen.
Für die Alter unter 49 Jahren
dauer unter dem Mittel
von
liegt die durchschnittliche Schaden¬
13,1 Tagen, für die anderen darüber.
6. Innere
Abhängigkeiten
Erscheinung tritt bei der Untersuchung der Scha¬
angrenzenden Beobachtungsperioden zutage. Es zeigt
Unfallhäufigkeit in der zweiten Periode (1949-1952)
Eine auffallende
denfälle in zwei
sich, dass die
monoton
zunimmt
(1944-1948).
mit der Anzahl Unfälle in der
ersten Periode
49
—
—
NBU
BU
Tabelle 4
n
(1)
(2)
(S)
(1)
(2)
(3)
0
811.
200
0,25
786
245
0,83
1
244
125
147
2
96
65
0,51
0,68
325
107
71
0,45
0,66
^3
45
55
1,22
28
20
0,71
0,37
0,40
Anzahl Unfälle in den Jahren 1944-1948,
n:
(1): Anzahl Personen mit n Unfällen in der 1. Periode,
(2): Anzahl Unfälle der betreffenden Personen in der 2. Periode,
(3): Unfallhäufigkeiten in den Jahren 1949-1952.
Das
schon,
gleiche
Verhalten der
wenn man
zwei Jahren und eine daran
Es besteht
Unfallhäufigkeiten zeigt
sich
übrigens
die ganze Periode aufteilt in eine erste Periode
angrenzende
von
sieben Jahren.
von
demnach stochastische
Unfällen einer Person in zwei
Abhängigkeit zwischen den
angrenzenden Zeitintervallen; man kann
nicht allen Personen des Bestandes das
gleiche
Unfallrisiko zuschreiben.
Dass dieser Umstand nicht einfach durch eine Verschiedenheit der
äusseren
sierung
Bedingungen (welche
eines Bestandes bis
erklärt werden kann,
zeigt
trotz aller
zu
der
Bestrebungen zur Homogeni¬
gewissen Grad immer besteht)
Zusammenhang zwischen den BU und
einem
den NBU in den Jahren 1944-1952: Personen mit einer relativ grossen
Anzahl BU haben im Durchschnitt auch viele NBU.
Vgl.
Tabelle 5.
Tabelle 5
m
(1)
(2a)
(3 a)
n
(l)
(2b)
0
652
502
0,77
0
547
859
0,66
1
288
274
0,95
1
359
329
0,92
2
127
157
1,24
2
169
188
1,11
8
76
102
1,34
8
85
126
1,48
53
82
1,55
^4
36
52
1,44
to:
n:
(3b)
Anzahl BU in den Jahren 1944-1952,
Anzahl NBU in den Jahren 1944-1952,
NBUder
NBUder
(1): Anzahl Personen mit der entsprechenden Anzahl Unfälle,
(2 a): Anzahl NBU
l in den Jahren 1944-1952,
(3 a): Unfallhäufigkeitceit
(2b): Anzahl BU
in den Jahren 1944-1952.
(3b): Unfallhäufigkeit der BU j"
4
50
—
Diese
von
Abhängigkeiten legen
—
nahe, dass für einen Bestand
äussern, objektiv abgrenzbaren, noch
die Idee
Unfallversicherten neben den
innere Gefahrenklassen existieren. Auf Grund einer ähnlichen Unter¬
suchung bat übrigens der Psychologe K.Marbe (10)
Persönlichkeitsgefahrenklassen eingeführt.
7.
Untersuchungen
über die
Verteilung
den
der
der Anzahl Schadenfalle
Von den beiden stochastischen Grössen, welche
Eisiko in der
Begriff
zusammen
das
Unfallversicherung bestimmen: Anzahl der Schadenfälle
und Schadenhöhe, ist die erstere die statistisch einfachere und auf¬
schlussreichere. Wir werden
Versuch,
Beim
a
priori
welche
in der
daher in erster Linie mit ihr befassen.
Einzelunfallversicherung
Grund der
auf
stehenden Daten Gefahrenklassen
Verfügung
zur
uns
homogene Gesamtheiten darstellen in dem Sinne,
zu
bilden,
dass der Er¬
wartungswert der Anzahl Schadenfälle für alle Versicherten einer Ge¬
fahrenklasse der gleiche ist, macht man die Peststellung, dass dieser
Selbstverständlich stellt die ge¬
aus prinzipiellen Gründen versagt.
forderte
Homogenität in
allen
Versicherungszweigen
eine
Idealisierung
streng realisiert
Wesentlichen vorbei,
der Tatsachen dar und kann in der Wirklichkeit nicht
Fall jedoch geht man am
objektiven Gefahrenklassen berücksichtigt, weil
unter den Unfallursachen subjektive Faktoren eine viel grössere Bolle
spielen als man gewöhnlich annimmt.
Mit dem Ziel, einen theoretischen Beitrag zur Unfallverhütung zu
geben, untersuchten Greenwood und Yule (6) die Unfallstatistiken
einer Beihe von weiblichen Belegschaften in der Munitionsfabrikation
während des ersten Weltkrieges. Die Frage, ob die Unfälle gleichmässig
unter die Arbeiterinnen verteilt seien, führte sie zur Aufstellung von
drei Modellen für eine theoretische Verteilung der Anzahl Unfälle, die
aus folgenden Hypothesen abgeleitet wurden:
werden. In
wenn
man
unserem
nur
die
Unfallereignisse innerhalb
unterliegen dem reinen Zufall.
1. Die
2. Die Personen einer
so
Gruppe
Gruppe haben anfänglich
scheinlichkeit, einen Unfall
ein,
einer
zu
von
Arbeiterinnen
alle die
erleiden. Trifft
gleiche Wahr¬
jedoch ein solcher
ändert sich dadurch die Wahrscheinlichkeit für das Ein¬
treffen des nächsten Unfalles.
51
—
3. Die Personen einer
Gruppe
über Unfällen und damit
lichkeiten, einen Unfall
haben verschiedene
von
zu
—
Beginn
an
Anfälligkeit gegen¬
verschiedene Wahrschein¬
erleiden.
Diese Annahmen bilden die Grundlage für eine theoretische Be¬
handlung der Statistik der Unfallereignisse. Wir geben eine kurze
Übersicht, wie sie im Lichte der neueren Ergebnisse der Wahrscheinlich¬
keitsrechnung mathematisch zu formulieren sind.
Der Hypothese, welche die Schadenfälle als reine Zufallsereignisse
betrachtet, entspricht die Poisson-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit,
dass eine Person in einer Zeitperiode der Länge t von n Schadenfällen
betroffen wird, ist gegeben durch den Ausdruck:
P(n;t)
=
e
worin A die mittlere Anzahl Unfälle pro Zeiteinheit (die spezifische
Unfallhäufigkeit) angibt. Die Poisson-Verteilung ist die Wahrschein¬
lichkeitsverteilung
Gruppe.
der
Schadenfälle
innerhalb
einer
homogenen
Im zweiten Falle werden die Unfälle als
Ereignisse mit Wahr¬
scheinlichkeitsansteckung aufgefasst. Ein neues und bedeutend all¬
gemeineres Modell als das ursprüngliche von Greenwood und Yule für
eine solche Ansteckungsverteilung stammt von J. Neyman (11). Es
wird definiert auf Grund der bedingten Wahrscheinlichkeit P(n';t'ln;t),
dass eine Person in der Zeit 0 bis t' genau n' Unfälle erleidet unter der
Voraussetzung, dass sie n Schadenfälle erfahren hat in der Zeit 0 bis t.
P(n';t'ln;t)
wird auch als direkte
zeichnet. Sie habe die
Übergangswahrscheinlichkeit
(a) P(n';t'/n;t) hängt nur von t und n ab, jedoch nicht davon,
welchen Zeitpunkten die n Schadenfälle eingetroffen sind.
(b) P(n';t'jn;t)
zwar gilt :
ist im Punkte t'
8P(n';t'ln;t)
=
8 t'
=
j>(n;t)
t nach t'
z[n)
=
1 + ct
v-t
=
wobei die
be¬
Eigenschaften:
z{n) beliebige nicht-negative
0
zu
differenzierbar, und
für n'
=
n
+ 1,
für n' >
n
+ 1,
Zahlen bedeuten und
c
^ 0 ist.
52
—
—
Intensitätsfunktion
Ereignisse bezeichnet, da
bedingte
angibt, dass im Zeit¬
p(n;t)dt
Unfall
eintritt.
Sie hängt ab von der
intervall t bis t + dt ein weiterer
Anzahl der in 0 bis t eingetroffenen Ereignisse und, falls c > 0 ist, von
der Länge dieses Zeitintervalles. Das Modell berücksichtigt also An¬
steckung zwischen den Ereignissen und eine zeitliche Wirkung auf sie.
wird
p(n;t)
als
der
Wahrscheinlichkeit dafür
die
Hypothese führt zu einer gedanklichen Aufspaltung der
Gruppen in homogene Teilgruppen, innerhalb derer die
spezifische Unfallhäufigkeit X einen konstanten Wert besitzt, während
sie von Teilgruppe zu Teilgruppe variiert. Der Wert von X für eine be¬
liebige Teilgruppe ist gegeben durch eine Verteilungsfunktion Ü(X),
Die dritte
untersuchten
definiert
dem
auf
Länge
oo,
sogenannte Struktur¬
Anzahl
Schadenfälle
dass die Wahrscheinlichkeit für
so
Gruppe, n Schadenfälle
erleiden, gegeben ist durch:
zu
die
ist die
der
aus
t
5g X <
0
jeder Teilgruppe
verteilt,
nach Poisson
Person
Intervall
Innerhalb
funktion.
P(n;t)
=
|
in
irgendeine
einem Zeitintervall der
e-u^\-dü{X).
h
Dies ist die absolute Wahrscheinlichkeitsfunktion einer
zusammen¬
gesetzten Poisson-Verteilung.
Greenwood und Yule wählten,
Ausdrücke
Typus
zu
erhalten, für U(X) eine Funktion
um
formal einfache
vom
Pearsonschen
III
àW)
damit
hauptsächlich
ergibt
sich nach I
(jY -rnü)e~mäX
und I
(8.1)
funktion
J
P(0;t)
=
P(n;t)
=
*) Auf Formeln
genommen.
aus
3Î/6-1
/IN«.
=
1 +
die Wahrscheinlichkeits¬
\3/J
bt,
bt
P(0;t)
(3.4) *)
*>°> 2>°> 6>0'
1
\"
+ btJ
r{q(b + n)
r{qlb)
n\
dem ersten Teil wird mit einem vorangesetzten I
Bezug
—
53
—
sogenannten negativen Binomialverteilung, die auch von E. Newbold (12) und O.Lundberg (8) zur Untersuchung von Unfallstatistiken
der
verwendet wurde.
negativen Binomialverteilung liegt darin, dass
Ansteckungsverteilung wie auch als zusammengesetzte
Der Nachteil der
sie sowohl als
Poisson-Verteilung interpretiert werden kann. Die Intensitätsfunktion
einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung erfüllt nach O.Lundberg
(8)
S. 72 die Belation
p(« + l;t)
=
p{n;t)
p{n;t)
Beziehung ist auch hinreichend für eine zusammengesetzte
Poisson-Verteilung. Setzen wir die Intensitätsfunktion der NeymanDiese
Verteilung
'
p(n;t)
ein,
so
folgt:
z(n + l)
also:
Dies ist
lung,
z(n)
=
f{n;t)
=
1
=
+
ct
z(n) + c,
z{0) +
2(0) +
cn,
cn
1 + ct
gerade die Intensitätsfunktion der negativen Binomialvertei¬
z(0) > 0 und c> 0 ist. Vgl. O.Lundberg (8) S. 88.
falls
Durch
Anwendung
der
negativen Binomialverteilung kann also
Hypothese 2 oder 8 die zutreffende ist.
nicht entschieden werden, ob die
8.
Allgemeines
über die
Poisson-Verteilungen
Anwendung von zusammengesetzten
Darstellung von Unfallhäufigkeiten
zur
Die Tabellen des Abschnittes 6
statistiken die
aus
Hypothese
zeigen,
dass auf
unsere
Unfall¬
des reinen Zufalls nicht zutrifft ; indessen
geht
ihnen nicht hervor, ob sie durch die Annahme einer Wahrscheinlich¬
keitsansteckung im
Sinne
positiver Chancenvermehrung oder durch die
Anfälligkeiten ersetzt werden
Die Entscheidung darüber, welche Hypothese man zu akzep¬
hat, muss auf Grund von statistischen Tests gefällt werden.
Annahme verschiedener individueller
muss.
tieren
54
—
Wir haben
uns vor
—
allem mit der
Prüfung
nach Greenwood und Yule befasst, indem wir
leiten liessen, dass bei
der dritten
uns von
jährlichen Unfallhäufigkeiten
der
Hypothese
Überlegung
von
nur
0,098
der Binfluss eines Unfalles auf den nächsten
(NBU)
Bedeutung sein kann, und dass kein plausibler Grund
für die starke Chancenvermehrung angegeben werden kann, wie sie
aus den Tabellen 4 und 5 im Falle von Ansteckung zwischen den Un¬
fällen folgen müsste. Also nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeits¬
funktion der theoretischen Verteilung die Gestalt habe
(BU)
und 0,104
kaum
von
grosser
P(n;t)
eXl±-!-dü{X).
=
Ohne die spezielle Form von U(A) zu kennen, können wir auf Grund
Eigenschaften des zusammengesetzten Poisson-Prozesses generell
prüfen, ob ein solcher angewendet werden darf.
der
Anhaltspunkt, der wenig Arbeitsaufwand erfordert, erhalten
Betrachtung einer Folge von Ungleichungen zwischen den
absoluten Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Es gilt:
Einen
wir durch
1
n
P(n;t)
1
P(n-l;t)
^
P(n;t)
~
n
+1
r~
»
P(n + l;t)
=
1, Sä,
analog geführt werden wie derjenige für die be¬
Ungleichungen zwischen den absoluten Momenten einer Ver¬
teilung. Vgl. Cramer (3) S. 176. Das Gleichheitszeichen gilt im Falle der
gewöhnlichen Poisson-Verteilung und nur dann.
Der Beweis kann ganz
kannten
Sei:
n
Anzahl Unfälle in den Jahren 1944-1952,
JVn
Anzahl Personen mit
n
Unfällen,
dann bilden die Grössen
_J
n
+1
theoretisch eine mit wachsendem
^
Nn+1
n
=
„
q"
monoton abnehmende
Zahlenfolge.
55
—
BU
—
NBU
BU
NBU
Nn
n
Tabelle 6
In
0
652
547
2,26
1,52
1
288
539
1,18
1,06
2
127
169
0,56
0,67
3
76
85
0,86
1,06
4
22
20
0,31
0,33
5
14
12
0,47
0,67
6
5
3
0,10
0,43
7
7
1
Wir
gehen nicht weiter auf den Aussagenwert der Zahlen qn ein, die
Nn (und also grosse n) mit einem grossen wahrschein¬
lichen Fehler behaftet sind. Die Ergebnisse legen es nahe, die eingeschla¬
gene Linie weiter zu verfolgen.
natürlich für kleine
Aus den
Überlegungen
des ersten Teiles
gesetzten Poisson-Verteilungen eindeutig
binomialen inversen
unter der
dass die
Übergangswahrscheinlichkeiten,
scheinlichkeit, dass eine Person
Voraussetzung,
hat, wobei
folgt,
n
zusammen¬
charakterisiert sind durch die
Unfälle
gehabt
d. h. die Wahr¬
hat in der Zeit 0 bis t,
dass sie im Intervall 0 bis t' genau n' Unfälle
t < t' und daher
Pkw)
n-^ri ist,
=
ist
gegeben durch :
(;')(j)"(i-|p
(8.D
nachfolgenden Tabelle sind die theoretisch berechneten
Häufigkeiten mit den empirisch gegebenen verglichen für die Teil¬
periode 1944-1948 und die ganze Periode 1944-1952.
In der
Um zufällige oder eventuelle systematische Änderungen in der
Unfallhäufigkeit während der Beobachtungsperiode auszuschalten,
denken wir
uns
eine zeitliche Transformation
so
ausgeführt,
dass der
Zeitparameter die durchschnittliche Anzahl Schadenfälle pro Person
im entsprechenden Zeitintervall angibt, d. h. wir setzen:
t
=
n,
f
=
n',
56
—
wobei
n
und «'
die durchschnittliche
diejenige
—
Schadenhäufigkeit in
der Zeit 1944-1948
in der Zeit 1944-1952 bezeichnet. Der Parameter der
Binomialverteilung
ri
t
wird daher
abgeschätzt durch:
t'
Wir erhalten
%n'Nn,-
~
so
für die BU:
—
für die NBU:
Die
man
für
Übereinstimmung
für jede
%2
Gruppe
=
0,57780,
=
0,56759'.
t'
t
—
t'
wird mit Hilfe des
mit festem n'
#2-Tests geprüft, wobei
die Additionsregel
%\, berechnet und
benutzt :
•à
=
S &>•
n'-0
Die Anzahl
-
Anzahl der Beobachtungen
Freiheitsgrade ist deshalb : /
Gruppen 1. %\ ^ em beobachteter Wert von %2.
=
Anzahl der
-
Tabelle 7 a
Vergleich
der theoretischen
Häufigkeiten
<)(TÏÏ-r
mit den
empirischen
für die BU 1944-1952.
57
—
Häufigkeiten
0
Nn>
beobachtet
theoretisch
288
127
121,59
161
166,41
1
24
22,64
1
52
61,96
2
51
42,40
127
0
7
5,72
1
23
23,48
2
32
82,14
8
14
14,66
0
0
3
4
76
1
22
5
1
1
8
7,86
3
7
7,17
4
1
2,45
5
0
14
1
3
1
3
8,52
8
2
4,81
•
5
1
5
0
6
5
0
2
2
1,03
1
1,45
4
2
1,49
5
o
6
0
7
1
2,21
1,01
0
1
0
2
0
3
2
4
8
5
0
6
1
7
1
.
/-16
8,46
4,19
8
7
1,34
o
1
0
0,59
1,47
2
4
1,85
4,53
2
0
0,42
2,34
2,06
1
.
2,61
0,62
58
—
—
Tabelle 7 b
Vergleich
der theoretischen
mit den
Häufigkeiten
empirischen
für
die NBU 1944-1952.
Häufigkeiten
n
n'
Nn,
0
1
359
beobachtet
1
2
0
169
t îeoretisc
144
155,24
215
203,76
34
31,60
1
82
82,96
2
53
54,45
11
6,87
1
23
27,06
2
40
35,52
3
11
15,54
3
0
0
4
85
0
20
|
2
2
11
7,23
3
6
6,33
4
1
2,08
5
12
0
|
2
2
3
3,13
3
3
4,10
4
4
|
0
6
3
1
1
0
>
3
0
4
1
5
1
6
0
=
11,6
/
=
3,79
0,70
3,40
0
2
Xl
4,99
1,37
1
5
0,23
4,37
1
0
1,43
12
1,57
0,48
.
Ptf
>
1,43
xt)
>
44,6 %
Um keine theoretischen Häufigkeiten zu erhalten, die kleiner als 1
sind, wurden einige Beobachtungen sinngemäss zusammengefasst.
59
—
—
vorangehenden Untersuchungen berechtigen zum Schlüsse,
Unfallverteilungen einer zusammengesetzten
Poisson-Verteilung folgen. Wir akzeptieren daher die dritte Hypothese
von Greenwood und Yule, formulieren sie jedoch wie folgt:
Die Personen des Bestandes haben von Beginn an verschiedene
Die
dass
die betrachteten
Unfall- Suszeptibilität.
Wir schliessen in diesen
schiedene
Disposition
zu
Begriff
subjektiv begründete ver¬
Möglichkeit verschiedenen
eine
Unfällen sowie die
äusseren Eisikos bei verschiedenen Personen ein.
Selbstverständlich handelt
fachung
es
sich hier
um
eine starke Verein¬
Phänomens. Indessen
ver¬
komplizierten psychologischen
in
näher
dieser Eichtung
suchen wir nicht, die erhaltenen Ergebnisse
zu interpretieren. Uns interessiert lediglich die Frage, ob das Modell
brauchbar ist als Grundlage für die Berechnungen in der Unfallver¬
sicherung.
Damit dies der Fall ist, muss insbesondere verlangt werden, dass
die Verteilung der Suszeptibilitäten im Bestand zeitlich stabil sei. Das
kann geprüft werden, indem man die Streuungen der Strukturfunktion
U(X) aus zwei angrenzenden Perioden miteinander vergleicht. Wir
drücken, wie vorhin, die Länge der Perioden durch die durchschnittliche
eines
Anzahl Schadenfälle pro Person
Aus der Momentenrelation
folgt
speziellen
wegen der
aus.
I(2.2a):
n
=
Jt,
<%
=
&
Wahl des
Ä
=
x
+
%,
Zeitparameters
l,
n'
n2
Stichprobenverteilung von of nicht, doch kann
von Tschuprow die Varianz von o^ (der wahrschein¬
Fehler) berechnet werden. Für grosse Stichproben gilt:
Zwar kennt
man
die
nach einer Methode
liche
y
x)
n*N
\
n*
mit
n2
Tj3
=
E(n
^
^
n
—
n)3. Vgl.
n
)
E. Newbold
(12).
60
—
—
Nehmen wir als 1. Periode: 1944-1948, als 2. Periode: 1949-1952,
so
erhalten wir:
BU:
NBU:
Bei den BU
liegt
<
&*h
=
=
ct^
1,47
±0,26,
0,356
+
0,114,
innerhalb des
oj,
=
o^
=
9. Zeitliche
0,456.
bei den NBU sogar
doppelten,
innerhalb des einfachen wahrscheinlichen Fehlers,
einer stabilen Strukturfunktion
1,16,
was
zur
Annahme
berechtigt.
Schwankungen
der
Unfallhäufigkeit
Eine theoretische Verteilung kann im allgemeinen nicht auf jedes
beliebige Teilintervall der Periode, für welche sie berechnet wurde, an¬
gewendet werden, da die spezifische Unfallhäufigkeit Schwankungen
unterhegt, die um so grösser sind, je kleiner das betrachtete Inter¬
vall ist.
Wir untersuchen
häufigkeiten.
nun
speziell
das Verhalten der
Personen während k Jahren und berechnen die
der
jährlichen Unfallhäufigkeit
jährliche Unfallhäufigkeit
unter der
tische
P{n,,
N
N
Stichprobenverteilung
r}
=
Die charakteristische Funktion dieser
die charakteristische Funktion der
j'-ten
Jahr. Dann ist
h
des Bestandes.
=
von
konstant sei.
l
jährliche Unfallhäufigkeit
Unfall¬
Annahme, dass die theore¬
Sei nrj die Anzahl Unfälle der r-ten Person im
die
jährlichen
Zu diesem Zweck betrachten wir einen Bestand
Für alle
j gilt:
e-*^
A,
E(n,,).
Verteilung
ist
Verteilung
k S a,(.**/«!W-i)
c-1
von
=
t) wird deshalb
'
61
—
—
N
wobei
_
2K
=
NE(rj)
=
Nrj ist,
so
dass sich für die
Verteilung
von
r\
v=l
ergibt:
J..
Pl*
I
W\
'
=
-
W
sur,
e'
r!
mit
Efo)
=
rç,
<£
=
-^_.
Die charakteristische Punktion der standardisierten Variablen
Um
kNij(e"WkN1>-l)
iiYk2fï-Ç+
-is^lcNn
_
g
2
g
"*"
—
3|VäN^
-
y ri (kN'
+"-
strebt für N-^co gegen die charakteristische Funktion der Normal¬
verteilung
Die beobachtete
jährliche Häufigkeit
ist also unter der
gemachten
Annahme annähernd normal verteilt mit dem Mittelwert r\ und der
Streuung
^.
p%-Wert
Eichung
Der
einer
Normalverteilung fp
ist
gegeben
durch die
P{|^|>W=Po/o.
Er kann bei
p
vorgeschriebenem p einer Tabelle entnommen werden,
gibt die Prozentwahrscheinlichkeit an, dass ein beobachteter Wert
von
rj ausserhalb des Intervalles
hegt.
Für die
Verteilungen
BU:
rj
=
der BU und NBU erhalten wir :
0,098,
NBU:
^
=
0,104,
und daraus:
5%
Intervall
BU : 0,092 < rj < 0,104,
NBU : 0,098 < rj < 0,110.
0,1 % Intervall
BU : 0,088 < rj < 0,108,
NBU : 0,094 < r\ < 0,114.
—
Die Tabelle 8
zeigt, dass bei
5% Intervalles, und 1
sogar ausserhalb des 0,1 %
des
62
—
den BU 4, bei den NBU 5 Werte ausserhalb
Wert bei den BU, 4 Werte bei den NBU
Intervalles
Jahr
liegen.
NBU
BU
Tabelle 8
(1)
(2)
(1)
(2)
1944
120
0,100
102
0,085
1945
108
0,090
138
0,115
1946
122
0,102
121
0,101
1947
127
0,106
162
0,135
1948
132
0,110
111
0,093
1949
121
0,101
121
0,101
1950
112
0,094
133
0,111
1951
106
0,089
116
0,097
1952
106
0,089
113
0,094
(1): Anzahl Unfälle,
(2) : Unfallhäufigkeiten.
Betrachtungen, welche sich auf eine 1-Jahr-Periode beziehen,
Unfallhäufigkeit nicht als konstant angenommen werden.
Da aus den Beobachtungen weder ein Trend noch eine Periodizität zu
erkennen ist, so müssten die Schwankungen durch eine zusätzliche
Wahrscheinlichkeitsverteilung erfasst werden, eine Idee, die bereits
von H. Ammeter (1) zur Behandlung von Eisikoproblemen benützt
wurde. Mathematisch bedeutet die Berücksichtigung dieser Schwan¬
kungen keine Schwierigkeit. Wir schreiben die WahrscheinlichkeitsFür
darf also die
funktion der Anzahl Schadenfälle in der Form
P(n;t)
é-Xi^-du(À;x),
=
*-.HF
wo a
=
Ä
wegen
n
=
Nehmen wir an, dass
Jj,
oe
=
ai die
spezifische Unfallhäufigkeit bedeutet.
eine dem Zufall unterworfene, durch die Ver¬
teilungsfunktion V(a.) gegebene
Variable sei,
so
wird:
—
63
oo
—
oo
( dV(*) fe-xi ^- dU(fa)
*
P*(n;t)
=
o
o
oo
oo
(f*tWLd lu(fa)dV(a)
=
e
=
CO
mit
H{X)
=
fU(fa)dV(aî).
o
Schwieriger
bei
Beobachtungsperiode von nur neun
Bestimmung von F(oc). Für unsere Unter¬
suchungen kommen wir jedoch mit der Annahme einer konstanten
spezifischen Unfallhäufigkeit aus, da wir keine kleineren Zeitintervalle
als die Perioden 1944-1948 und 1949-1952 betrachten und die spezi¬
fischen Unfallhäufigkeiten in diesen Intervallen (bezogen auf ein Jahr)
wäre
unserer
Jahren die statistische
die Werte haben
^
BU:
^
=
0,102,
^
=
0,093,
NBU:
^
=
0,106,
rç2
=
0,101.
und somit innerhalb des
10.
Für
zeigen
5%-Intervalles liegen.
Anwendung spezieller zusammengesetzter
Verteilungen
Poisson-
jede zusammengesetzte Poisson-Verteilung gilt,
ist:
^n
P(0;t)
=
=
wie leicht
zu
^fi + Jt,
fe-xt dU(X) ^ eJi
o
und somit :
»._
mit X
=
fx dü(X)
—
P{0;t)^e-".
Das Gleichheitszeichen
teilung".
gilt
nur
im Falle der einfachen Poisson-Ver-
—
64
—
Bei vielen
Untersuchungen von Unfallstatistiken mit Hilfe der
Poisson-Verteilung folgte aus den angewendeten Tests un¬
genügende Übereinstimmung mit den empirischen Daten. Es zeigte
sich im besonderen, dass die empirische Streuung grösser ist als der
Mittelwert (und daher als die theoretische Streuung) und die Null¬
klasse (d. h. die Anzahl Personen mit 0 Schadenfällen in der Beobach¬
tungsperiode) grösser als die nach Poisson berechnete. Dadurch wird
die Anwendung einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung nahe¬
gelegt. Zur Verbesserung der Besultate wurde fast durchwegs die nega¬
tive Binomialverteilung verwendet. Diese "Wahl geschah aus Gründen
formaler Einfachheit; indessen hat 0.Lundberg (8) eine theoretische
Begründung dafür gegeben, indem er zeigte, dass die negative Binomial¬
verteilung die einzige zusammengesetzte Poisson-Verteilung ist mit
linearer Begression, d. h. mit der Eigenschaft, dass der bedingte Er¬
wartungswert der Anzahl Ereignisse in einer Zeitperiode der Länge t2
unter der Voraussetzung, dass in einer vorangehenden Zeitperiode der
Länge tx genau nx Ereignisse eingetroffen sind, linear von n1 abhängt,
und zwar gilt:
einfachen
a
*
E{N^ynM
+
,
on-,
b,q>0.
,/-t,
=
1
,
+ 6*1
In diesem Sinne kann sie als erste
Approximation für jede zu¬
sammengesetzte Poisson-Verteilung gelten.
Die berechneten Regressionsgeraden für die BU und NBU sind
in den nachstehenden Figuren dargestellt.
BU
i
6
*•»,
1_* tll
8
EiNtfflnjfà
=
0,24 +0,80 nj
E(NjfolnjQ
=
0,83+.0,41 n2
65
—
—
NBÜ
_^ ^
* na
Die im ersten Teil
EiNjttlnjti)
=
0,84 + 0,14 Wj
EiNjfafrjtJ
=
0,45 + 0,18712
eingeführte Schar von zusammengesetzten
zur Darstellung der empirischen Vertei¬
die wir
Poisson-Verteilungen,
lungen verwenden, hat
P(0;i,oc)
=
Alle
I
(4.14))
(10.1)
=
P(0;U)
'
\x +
btj
«!
2j ÄvnW
Verteilungen
und
a-l\
f«q
t=k"mK~~'\
Scharparameter 0<oc<oo
Streuung
Für jedes
(vgl.
)
Vi
U
P(n;t,a.)
mit dem
\a+bt)
a-l V
e
die Wahrscheinlichkeitsfunktion
b
v
\«.+ U
b,q>0.
gleichen Mittelwert und gleiche
1).
negative Binomialverteilung (oc
der Schar haben
wie die in ihr enthaltene
=
feste t nehmen die Wahrscheinlichkeiten der Nullklasse mit
wachsendem
cc
monoton
zu
P(0;tAÙ
<
P{0;t,*à
Die untere Grenze wird durch die Nullklasse der
für Kl < oca.
Poisson-Verteilung
P{0;1,0) gebildet.
Zur
praktischen Berechnung
der theoretischen Wahrscheinlich¬
keiten benützen wir die Bekursionsformel I
(4.10),
welche mit
unseren
Parametern die Gestalt hat:
P(n+ !;<)
qt
=
n
+ l \l +
±r-££(^J *»-**>.
bl<ttj j&i P(a)fc! \l-f&/a*
66
—
—
Abschätzung der Parameter b und q geschieht mit Hilfe von
empirischem Mittelwert und empirischer Streuung, während der Wert
Die
von cc aus
n:
der beobachteten Nullklasse ermittelt wird. Sei:
Anzahl Unfälle,
N: Anzahl Personen des Bestandes,
Nn:
Aus den
Anzahl Personen mit
n
Unfällen.
Beziehungen 1(4.15):
n
und der Formel
=
qt,
(10.1) ergeben
sich die
a?
M
=
-=£ —1
E(n2)
=
-XJL
C
wird deshalb
aus
_
—
n
—
1,
n
n
a
Abschätzungen:
=
der transzendenten
N
'
Gleichung
ï^ï{1-{-^uî)+hsN'-hsN
=
0
(wenn wir für die BU p anstatt q und o anstatt
folgenden numerischen Werte:
bestimmt. Wir erhalten
verwenden)
die
BU : pt
NBU: qt
=
=
0,88127,
at
0,93395,
M
=
=
1,10545,
ax
=
0,76603,
0,37313,
a2
=
5,72312.
b
zeigt die empirischen Verteilungen, die theoretischen
Häufigkeitsverteilungen und die entsprechenden negativen Binomial1).
verteilungen (a
Die Tabelle 9
=
67
—
—
Tabelle 9 a
n:
Anzahl BU iti den Jahren 1944-1952
Häufigkeiten
n
beobachtet
0
652
652,00
660,63
1
288
289,86
276,52
2
127
130,01
130,46
a
=
a=l
0,76603
8
76
61,50
63,87
4
22
80,29
31,83
5
14
15,35
16,04
6
5
7,95
8,13
7
7
4,18
4,15
8
0
4,86
4,37
9
5
usw.
0
I
a
=
0,76603
xî
==
9,06
/
=
5
P(x>Xb)>10,l%
a
=
l
Xî
==
9,54
/
=
6
P(x>Xj)>14.3%
Tabelle 9 b
n:
Anzahl NBU in den Jahren 1944-1952
Häufigkeiten
beobachtet
n
a
=
5,72312
<x=l
0
547
547,00
540,80
1
359
355,90
367,83
2
169
178,11
175,07
8
85
74,22
71,41
4
20
27,40
26,70
5
12
9,25
9,44
4,12
4,75
6
8
7
1
usw.
0
a
=
5,72312
a=l
1
)
xl
=
4,89
/
=
3
P(xi>xl)>n$%
xî
=
5,57
f
=
4
P(ZS>X&)>23,1%
—
Die
Übereinstimmung
68
—
darf in beiden Fällen als
zeichnet werden ; wir bemerken
mialverteilung genügend gute
speziell,
befriedigend be¬
negative Bino-
dass schon die
Eesultate liefert.
Hypothese der individuell verschiedenen Suszeptibilitäten
verwenden, bilden wir nach einer gewissen Beobachtungs¬
zeit (1944-1948) auf Grund der eingetroffenen Unfälle subjektive Ge¬
fahrenklassen und berechnen in ihnen die a posteriori Wahrscheinlich¬
keiten der Anzahl Schadenfälle für die angrenzende Periode (1949—1952).
Sie sind gegeben durch die direkten Ubergangswahrscheinlichkeiten
P(n';t'ln;t)'. Diese berechnen sich aus der Beziehung
Um die
sinnvoll
zu
P{n';t'ln;t) P(n;t)
Da die inversen
=
P{n;tln';f) P{n';t').
Ubergangswahrscheinlichkeiten
wir daraus nach
binomial sind, erhalten
(8.1):
=(;)(l)Kf^f
69
—
—
Tabelle 10 a
Vergleich der theoretischen Häufigkeiten NnP(n';t'ln;t)
empirischen für die BU.
Häufigkeiten
w'-rc
tf.
beobachtet
0
811
652
649,93
1
127
128,42
2
24
25,60
3
7
5,38
4
1
=6
0
0
244
161
theoretisc
}
1M
154,85
1
52
61,74
2
23
19,47
3
5
5,68
4
3
]=5
0
0
96
}
46,52
51
32
29,34
2
8
12,84
3
3
4,82
4
2
^5
0
26
)
14
9,48
7
8,30
2
2
4,67
3
1
2,15
4
2
^5
0
11
1
}
3,00
5
3,38
2
2
2,33
3
3
1,27
^4
0
1,02
/=17
4,76
1,40
1
35=17,2
3,27
2,48
1
0
2,74
2,21
1
0
0,92
5,53
P(%2>;$>42,1%
mit den
70
—
—
'
Tabelle 10b
Vergleich der theoretischen Häufigkeiten NnP(n';t'ln;t)
für die NBU.
empirischen
n
n'-n
0
0
2
beobachtet
theoretisch
736
547
538,13
144
155,62
2
34
34,61
8
11
6,41
^4
0
1,23
215
202,93
1
82
90,28
2
23
25,07
8
2
5,49
4
2
5
1
1
^6
0
I
825
107
53
59,60
83,11
2
11
10,86
3
3
^4
0
0
20
0
=
6
10,05
6
6,59
1
2,73
4
2
1
^3
0
17,8
Aus der Tabelle 5
/
=
Übereinstimmung
2,21
2,05
'
l
1
0,18
2,99
9.9.
1,22
dass zwischen der Anzahl BU und
der Anzahl NBU einer Person ein enger
Dies ist in
6,41
P(^>%2)>18,2%
12
geht hervor,
5,55
3,43
11
1
jf«
1,23
40
1
*5
|
1
0
8
Häufigkeiten
N„
1
.0
1
mit den
Zusammenhang bestehen muss.
mit dem Modell verschiedener indivi¬
Suszeptibilitäten, die ja wesentlich auf der Verschiedenheit der
Anfälligkeit einer Person gegenüber Unfällen beruhen. Es muss deshalb
möglich seiü, die gemeinsame Verteilung der BU und NBU durch eine
dueller
—
71
—
zweidimensionale Korrelationsfunktion darzustellen. Als Beobachtungs¬
periode wählen wir
die Jahre 1944-1952. Die
Eandverteilungen sind
wiedergegebenen Verteilungen, welche
in genügend guter Weise durch negative Binomialverteilungen dar¬
gestellt werden können. Wir versuchen deshalb, auf die gemeinsame
Verteilung der BU und NBU die im ersten Teil abgeleitete negativbinomiale Korrelationsfunktion I (3.13) anzuwenden. Wir schreiben
sie in der Gestalt I (3.17) und setzen noch s
t.
deshalb die in Tabelle 9 a und 9 b
=
JU/
(''^
\l + atj
vi--/
i
a
\l
+
btj
1
\(l + at){l + bt)—ßatbt
—rA*
p<^=F-<mi'»p*i^|0WM'(mi«-°')M'(":f's')(^)'
Ihre
sind:
Eandverteilungen
P2(n;t)
W
1
/
rr(l + W)
at
1 +
atJ \l + atj
1 +
btJ \l
rQm,
+ bt
'(!)»'
Für die Parameter at, bt,
Tabelle 9, während amn
qt, ft verwenden wir
abgeschätzt wird durch
"»,S¥22 mnNmn
"
Nmn :
Anzahl Personen mit
m
m
'
=
die Werte
0,28480
n
BU und
n
NBU in der
Beobachtungs¬
periode.
Der Parameter
Wir wählen
c
c
wird
eingeschränkt
1.
c
^
2.
ß
=
=
-j--
durch die
min(—.H)-"
,-Ç]
=
-ÜS5catbt
von
< 1
Bedingungen:
0,79721,
c>
0,69046.
—
72
—
Tabelle 11
Vergleich
pirischen Nmn
der theoretischen
0
0
181
83
81
881,99
198,89
84,01
80,88
(1,60)
(0,01)
4
9
10,48
(0,21)
1
8,89
1,06
41
27
8
87,34
42,03
16,88
6,12
2,08
(0,51)
(0,03)
(6,07)
(1,59)
(0,56)
45
16
42,02
22,71
(0,21)
10
9,98
(1,98)
8
5
1,89
(0,20)
(9,37)
24
14
9
3
21,25
20,52
12,82
5,87
2,45
(0,86)
(0,59)
(0,23)
(1,67)
(0,12)
2
10
7
1
1
9,26
10,04
6,68
8,42
1,52
(0,02)
(1.71)
(0,15)
(5,69)
5
6
5
1
5
2
4,08
4,89
8,53
1,97
(0,21)
(3,09)
(0,61)
1
2
1
1,81
2,88
1,86
1,12
(0,86)
(0,06)
(0,40)
(0,18)
2
1
7
2
7
1
8,87
24
4
em¬
(0,H)
94
46
6
4
122
49,81
mit den
5
121,08
(0,29)
8
3
843
(0,01)
2
Häufigkeiten NP(m,n;t)
(n).
und die NBU
2
1
(0,37)
1
(m)
für die BU
1
1
1
1
1
1
1
2
1,16
(0,28)
8
9
1
10
2
2
(Der
theoretische, sofern er
ist, darunter. In Klammern ist der zugehörige Wert von
beobachtete Wert steht oben, der
grösser als
1
X2 beigefügt.)
73
—
Für den
#2-Test verwenden
wir
—
nur
die
Beobachtungen, bei denen
der theoretische Wert grösser als 1 ist. Auf eine
lichen
Beobachtungen verzichten wir,
Gruppierung der rest¬
geschehen
da diese willkürlich
müsste.
Es ist:
Xl
/
38,46,
=
=
Wir treten noch kurz auf die
Verteilung
P
32,
(Z2 > xl)
Interpretation
>
18,4%.
der hier
angewendeten
ein. Die Funktion
1
P(0,0;—is,— it)
•
\4-«
1—iasj
l
\
\-r-<
1
1—ibtj
\
(1—ias) (1
—
ist die charakteristische Funktion der Strukturfunktion
ihrer Gestalt
Summen
geht hervor,
dass
U(k,X).
Aus
sich die Variablen K und A als
man
denken hat:
zu
ür
A
in denen die Summanden
TT
.
t-i
A--
(
ii»
Es besteht also
Wir können
ibt) + ßasbt
uns
und den NBU
i
\.
zI+zII,
=
AI + AI1,
folgende charakteristische
( 1 "r*
Vi—ias J
(
1
Funktionen haben:
,
^
\i-ibtj
,
i
(
Ii>'\(i_ias)(i_ibt)+ßasbt
nur
die
=
zwischen
Ku
und
An
stochastische
Abhängigkeit.
Suszeptibilitäten einer Person gegenüber den BU (fc)
(A) zusammengesetzt denken aus subjektiver Unfall¬
neigung
objektivem UnfaUrisiko : Ku und Au beziehen sich auf das
subjektive, El und Al auf das objektive Bisiko für BU bzw. NBU. Die
beiden letzteren Grössen müssen deshalb unabhängig sein voneinander.
Die gemeinsame Verteilung von BU und NBU liefert eine weitere
Bestätigung für das Modell der individuell verschiedenen UnfallSuszeptibilitäten.
und
—
11. Die
74
Verteilung
Wir haben bereits darauf
—
der Schadenhöhen
hingewiesen,
dass der
Umfang des
Be¬
standes keine
eingehende Analyse des Problems der Schadenhöhen ge¬
stattet. Wir beschränkten uns'deshalb darauf, die Schadendauer allein
zu
betrachten. Dabei machte sich der Umstand störend bemerkbar,
dass die
Zahlung des Krankengeldes erst am dritten Tag nach dem Un¬
beginnt. Dadurch wird in der Statistik die Anzahl Unfälle der
Schadendauer 0 unverhältnismässig gross, da darin alle Unfälle der
effektiven Schadendauer 0, 1 und 2 Tage enthalten sind.
In der Tabelle 12 ist die Verteilung der Schadendauer pro Unfall
für die BU der Jahre 1944-1952 mit der Frequenzfunktion:
fall
s(x)
verglichen,
1
=
--
jed
wobei d die durchschnittliche Schadendauer pro Unfall ist.
Darstellung der Anzahl BU durch eine
Mit dieser Funktion und der
negative Binomialverteilung
maren
erhalten wir für die
Verteilung
Schadendauer für eine Person die Frequenzfunktion
der
sum-
(vgl. I (5.2)) :
ist die konfluente
direkt, für
hypergeometrische Eeihe. Sie wird für kleine z
einer asymptotischen Entwicklung berechnet.
zeigt die theoretische und empirische Verteilung der
grosse
Tabelle 18
aus
Schadendauer pro Person.
Die Übereinstimmung ist in beiden Tabellen
wähnten Gründen für kleine Werte
aus
den
eingangs
er¬
unbefriedigend.
h(x;t) ist allerdings für versicherungsmathematische
Überlegungen weniger wichtig als die Verteilung der gesamten Scha¬
von x
Die Funktion
denhöhe für den ganzen Bestand.
Wir betrachten zunächst den
allgemeinen Fall, wo P(n;t) die
S(x) die Verteilungs¬
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Schadenfälle und
funktion der Schadenhöhe ist.
—
75
Tabelle 12
X
N
"T
10
20
Dauer in
30
Tagen
40
SO
»-
Tabelle 18
20
Nh(x-,t)
,
—
Dann wird die
eine Person
76
Verteilungsfunktion
—
der
summaren
Schadenhöhe für
:
H(x;t)
Für zwei Personen
ergibt
fiS{n)(x)P{n;t).
=
sich durch Addition
von
zwei
unabhängigen
Variablen :
oo
Hm(x$
=jH{x-y;t)dH(y;t)
ooO
•
oo
oo
/;2 8M(x-y) P(n;t) £ äSM(y) P(m;t)
n—0
m=0
oo
OO
/*
CO
2 2
=
n=0w»0J
s(n)(*-y) dsim)(y) *(««*) pm
o
CO
=
oo
2EWit)pWpM
CO
OO
CO
fc=0
n=0
fc=0
da
Für einen Bestand
von
P(—i;i)
N Personen erhält
H{N)(x;t)
=
man
=
0 für i
=
1, 2,
....
daher
f1S{n){x)P{N)(n;t).
n=0
Wir
nennen
Hm(x;t)
die
Verteilungsfunktion
des Gesamtschadens für
den Bestand.
Zur numerischen
Berechnung der Verteilung des Gesamtschadens
verwenden wir die Eeihe von Cramér-Edgeworth. Wir gehen aus von
N Variablen Xit (i
1,2,
N), welche alle die Verteilungsfunktion
H(x;t), den Mittelwert xt und die Streuung o^( besitzen. Unter der
Voraussetzung, dass S(x) eine absolut stetige Komponente enthält, d. h.
=
...,
fS'{x)dx>0,
77
—
für die
gilt
—
Verteilungsfunktion G(y;t,N)
der Variablen
2(s«-*i)
t=l
Y
die
—
-
asymptotische Entwicklung:
fc-2
6Û^) =*(») +
2J(-i)'î=—^
+
°{n*
0{y) bezeichnet die Verteilungsfunktion der standardisierten NormalVerteilung, cjr sind Polynome in den Grössen Ar(f)/A£/2(£) wobei Ar(f)
die r-te Semiinvariante von H(x;t) ist.
Speziell gilt
im Falle k
=
3
:
P(w;i) die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer zusammen¬
gesetzten Poisson-Verteilung dar, so ist dadurch, wie wir im ersten Teil
gesehen haben, die Wahrscheinlichkeit für n Schadenfälle in einem be¬
liebigen Intervall der Länge t gegeben. Man darf deshalb für die Be¬
rechnung der Verteilungsfunktion des Gesamtschadens die Kontrakte
unabhängig von ihrer Laufzeit und ihrer Vorgeschichte zusammen¬
Stellt
fassen.
Verteilung sind gleich
bezüglich-dem Nullpunkt. Also ist
I (5.4b) gegeben. Um sie durch die
Die zweite und dritte Semiinvariante einer
dem zweiten bzw. dritten Moment
A2(f)
durch I
Momente
(5.4a)
S(x)
von
und
und
vk=
vw(t)
=
^(t) durch
P(n;t):
fa*dS{x)
2 »(»-i)
•
•
•
(n~h + i) pM
n-Ä
auszudrücken, benützen wir die Momentenrelation
Eindimensionalen wie
folgt
lautet:
I
(2.2),
die im
—
78
—
Damit erhalten wir:
KU)
=
Aiv^-vU1))
VO
=
*S fo(s)W
-
+
v>vm®>
3l?(2)(<) Vm®
+
H)W) + 8»i v2 (t]{2)(t)
-
ri2{1)(t))
Setzen wir diese Werte in
+ v3 ti{i)(f).
(11.1) ein, so erhalten wir eine approximative
Verteilungsfunktion des Gesamtschadens (ausgedrückt
Darstellung
in der standardisierten Variablen) des Bestandes in einem Zeitintervall
der Länge t, die auf Grund der ersten drei Momente der Verteilungs¬
funktion der Schadenhöhe : S(x) und der Wahrscheinlichkeitsfunktion
der
der Schadenfälle in der Zeit t:
P(n;t)
berechnet werden kann.
79
—
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Schweizerische
Unfallversicherungsanstalt:
Unfallversicherung,
1951.
Führer durch die
obligatorische
80
—
—
Lebenslauf
Ich wurde
19. Juli 1926 in
am
Weisslingen (Zürich) geboren.
Dort
besuchte ich während sechs Jahren die Primär- und während zwei
Frühjahr 1941 trat ich in die Oberreal¬
Evangelischen Lehranstalt Schiers ein und bestand im März
1946 die Maturitätsprüfung Typus C. Ich begann im Oktober 1946 das
Studium an der Abteilung für Mathematik und Physik der Eidgenös¬
sischen Technischen Hochschule. Im Herbst 1951 wurde mir das Diplom
Jahren die Sekundärschule. Im
schule der
als Mathematiker verliehen. Mein Studium erfuhr verschiedene Unter¬
brechungen
durch den Militärdienst. Im Sommersemester 1952
als Halbassistent
Mathematischen Seminar der ETH
am
schliessend erhielt ich durch die
für ein
Studienjahr
Professor Barnard
dem
in
am
London,
Vermittlung
wo
Imperial College
war
ich ein Jahr
lang
ich
Leitung von Herrn
Technology auf
of Science and
Gebiet der mathematischen Statistik
Rückkehr
der ETH ein
ich unter der
war
tätig. An¬
Stipendium
arbeitete. Nach
meiner
Assistent für höhere Mathematik bei
Tätigkeit Hess mir Zeit, mich mit der
beschäftigen. Ein Stipendium der französi¬
vorliegenden
schen Regierung ermöglichte es mir, diese während des Wintersemesters
1954/55 in Paris im wesentlichen zum Abschluss zu bringen. Ich danke
auch an dieser Stelle den zuständigen Instanzen für die beiden Stu¬
Herrn Prof. Dr. W. Saxer. Meine
Arbeit
zu
dienaufenthalte in London und Paris.