IAi Zufallsexperiment Ereignismenge, Ereignisraum (Ω )

Grundbegriffe
Zufallsexperiment
Wahrscheinlichkeitsrechnung
– Vorgang nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführt
– (im Prinzip) beliebig oft wiederholbar
– sein Ergebnis ist zufallsabhängig
– bei mehrmaligen Durchführung des Experiments
beeinflussen die Ergebnisse einander nicht
Beispiele:
IAi
?
IAi
IA i
Würfelspiel
KAD 2011.09.29
Elementarereignisse
Roulett
?
IAi
Blutgruppenversuch
Fahrtversuch
2
Ereignis
die einzelnen, nicht mehr zerlegbaren und sich gegenseitig
ausschliessenden Ausgänge oder Ergebnisse eines
Zufallsexperimentes
jede beliebige Teilmenge des Ergebnisraumes
zB. Augenzahl des Würfels >3: {4, 5, 6}
Ereignismenge, Ereignisraum (Ω )
Reihe aller möglichen Elementarereignisse. Z.B:
beim Würfelspiel:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Augenzahl des Würfels ist gerade: {2, 4, 6}
beim Münzenexperiment: Ω = {Zahl, Kopf}
beim „Blutgruppenversuch”: Ω = {IA IA , IA i, iIA, ii}
beim „Fahrtversuch“:
{kein Unfall, Unfall}
Blutgruppe A: {IA IA , IA i, iIA }
3
4
Definition der Wahrscheinlichkeit
Operationen mit Ereignissen
Man kann mit Ereignissen rechnen wie mit Mengen.
Bernoulli (1654-1705), Laplace (1749-1827)
(klassische Wahrscheinlichkeit)
B
A
Vereinigung
Menge aller Elementarereignisse,
die zu A oder B gehören
A∪B
Durchschnitt
Menge aller Elementarereignisse, die
zu A und B gehören
A∩B
Komplementbildung
Menge aller Elementarereignisse des
Ereignisraumes, die nicht in Ereignis A
enthalten sind (Gegenereignis von A)
p(E ) =
g
m
p(E ) =
Anzahl der für E günstigen Elementare reignisse
Anzahl aller gleichmögl ichen Elementare reignisse
A
5
Beispiele
Würfelexperiment:
p(6) =
Bei einem Zufallsexperiment, was endlich viele Ausgänge hat,
die (zB. wegen Symmetriegründen) gleichwahrscheinlich sind,
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (E) ist:
p=probability, Probabilität
6
p(E ) =
Beispiele
Blutgruppenversuch
1
6
1
p(I I ) =
4
{IA IA}
IAi
A A
p(gerade Zahl ) =
3
6
{IA IA , IA i, iIA, ii}
p(Blutgruppe = A) =
3
4
Münzenexperiment:
p(Kopf ) =
g
m
p(Blutgruppe = 0) =
1
2
7
1
4
?
IAi
Ω={IA IA , IA i, iIA, ii}
{IA IA , IA i, iIA}
{IA IA , IA i, iIA, ii}
{ii}
{IA IA , IA i, iIA, ii}
8
1
g
„Fahrtversuch” ? keine Symmetrie ! p(E ) = m ≠ 2
Beispiel
Statistische Wahrscheinlichkeit
Ereignis A
Zufallsexperiment
Ereignis B
Tritt bei n-maliger Durchführung
eines Zufallsexperimentes ein
bestimmtes Ereignis A k-mal auf,
so bezeichnet man die in langen
Versuchsreihen zu beobachtende
relative Häufigkeit als
Wahrscheinlichkeit, p(A) :
p( A) =
k
n
9
10
Beispiele
Buffon (1707-1788):
2048
p( A) =
= 0.5069
4040
Pearson (1857-1936):
p( A) =
6019
= 0.5016
12000
p( A) =
12012
= 0.5005
24000
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit
0 ≤ p( A) ≤ 1
p(sicheres Ereignis) = 1
Häufigkeit der Krankheiten:
“Die Todesursachengruppe der bösartigen Neubildungen war in 2006
für 25,6% der Todesfälle verantwortlich” (http://www.statistik.at )
p(bösart. Neub.als Todesursache)= 19 056/74 295=25,6%
die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Neugeborener
das n-te Lebensjahr
erlebt
Österreich, 2006
Jahr
30
40
50
60
70
p(unmögliches Ereignis) = 0
zB: p(Augenzahl des Würfels <10) = 1
p(Augenzahl des Würfels =10) = 0
80
90
M
0.986 0.977 0.955 0.893 0.766 0.513 0.152
W
0.994 0.990 0.978 0.947 0.879 0.703 0.290
11
im unseren Blutgruppenversuch:
p(Blutgruppe = B) = 0
12
Unabhängige Ereignisse
Additionsregel
Wenn die Ereignisse einander nicht beeinflussen:
p(A und B)=p(A) p(B)
für Ereignisse A und B
p(A oder B) = p(A)+p(B)
ist gültig nur wenn A und B nicht gleichzeitig auftreten
können (disjunkte Ereignisse)
zB: Würfel:
Münze:
zB: Würfelexperiment mit zwei Würfeln
p(beide=6)=p(erste=6)·p(zweite=6)=1/36
p(5 oder 6)=1/6+1/6=1/3
p(gerade oder >3)=4/6=2/3≠ 1/2+1/2=1
p(Kopf oder Zahl)=1/2+1/2=1
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Mann eines Ehepaares das
80. und die Frau das 70. Lebensjahr erreichen :
p(M80 und W70) = p(M80)·p(W70) = 0.513·0.879 = 0.451 = 45.1%
13
Bedingte Wahrscheinlichkeit, p(A|B)
30
40
50
60
70
80
90
M
Jahr
0.986
0.977
0.955
0.893
0.766
0.513
0.152
W
0.994
0.990
0.978
0.947
0.879
0.703
0.290
14
p( A|B ) =
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit, dass A zutrifft unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist.
Oder: p(A gegeben B), p von A vorausgesetzt B
p( A|B ) =
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Neugeborener das
n-te Lebensjahr
erlebt
p( A und B )
p(B )
Die Wahrscheinlichkeit, dass A zutrifft unter der Voraussetzung,
dass B eingetreten ist.
2
p( > 3 und gerade ) 6 2
zB: bei Würfelexperiment: p(>3|gerade) =
= =
3 3
p(gerade)
6
p( A und B )
p(B )
<3
>3
<3
>3
<3
>3
zB: beim Würfelexperiment:
p(>3|gerade)=
Vgl. p(>3) =
1
2
2
p( > 3 und gerade) 6 2
= =
3 3
p(gerade)
6
p>3
15
3 1
=
6 2
p(gerade)
3 1
=
6 2
p>3 und gerade
2
6
p(>3|gerade)
2 4
=
3 6
16
Beispiele
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 50
jähriger Mann das 80. Lebensjahr erreicht?
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Neugeborener das
n-te Lebensjahr
erlebt
Jahr
30
40
50
60
70
80
0.986 0.977 0.955 0.893 0.766 0.513 0.152
W
0.994 0.990 0.978 0.947 0.879 0.703 0.290
K+
K-
R+
a
b
R-
c
d
Erkrankungswahrscheinlichkeit einer Risikogruppe relativ
zur Erkrankungswahrscheinlichkeit einer nicht Risikogruppe.
a=21054
b=271269
a+b
c=14442 d=3804294
c+d
Teilsumme
a+c
b+d
• zB: Relatives Risiko der
Säuglingsmortalität mit
Risikofaktor von Geburtsgewicht:
Charakterisierungsmöglichkeiten
des Eintretens von Ereignissen
Ereignis A
Wahrscheinlichkeit p(A)
odds
unmögliches Ereignis
0
0
Ereignis A und Gegenereignis von A 0.5
haben die gleichen Chancen
1
sicheres Ereignis
∞
1
Ereignis A und Gegenereignis von A haben die gleiche Chance
0
1
+∞
p(Säuglingsmortalität | kleines Geburtsgewicht)
Wahrscheinlichkeit
p(Säuglingsmortalität | normales Geburtsgewicht)
0.0720
= 19.04
0.0037
a+b+c+d
c
p(K + und R− ) a + b + c + d
14442
c
= p(K + R− ) =
=
=
=
= 0.0037
c +d
p(R− )
c + d 14442 + 3804294
a+b+c +d
18
-∞
RR =
Teilsumme
p(Säuglingsmortalität | normales Geburtsgewicht)=
17
RR=
Krankheit
nein
a
p(K + und R+ ) a + b + c + d
21054
a
= p(K + R+ ) =
=
=
=
= 0.0720
a
b
+
p(R+ )
a + b 21054 + 271269
a+b+c +d
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 70 jähriger
Mann das 80. Lebensjahr erreicht?
p(M80|M70) = 0.513 / 0.766 = 0.670
a
RR =
= a+b
c
p(K + R− )
c +d
Risikofaktor nein
Krankheit
ja
p(Säuglingsmortalität | kleines Geburtsgewicht) =
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 60 jähriger
Mann das 80. Lebensjahr erreicht?
p(M80|M60) = 0.513 / 0.893 = 0.574
p(K + R+ )
Säuglingsmortalität
Risikofaktor ja
Anzahl von
Neugeborenen
p(M80|M50) = 0.513 / 0.955 = 0.537
Das relative Risiko
p(Krankheit | Risikofaktor)
Risikofaktor: kleines Geburtsgewicht
„Krankheit“: Säuglingsmortalität
90
M
Beispiel (Daten: USA 1991)
odds =
-∞
19
p
1− p
p=
0
1
+∞
odds
1 + odds
Odds (Chance)20
Ergänzungsmaterial
Das Chancenverhältnis (Odds ratio)
p(K +|R+ )
p(K − | R + )
OR =
=
p(K + | R− )
p(K − | R− )
a
a+b
b
a+b
c
c+d
d
c+d
a
⎛ a
⎜
= b =⎜ c
c
⎜ b
⎜
d
⎝ d
⎞
⎟ ad
⎟=
⎟ bc
⎟
⎠
K+
K-
R+
a
b
R-
c
d
Verteilungen
Population
Wahrscheinlichkeitsverteilung
?, ?, ...
Stichprobe
⎛ Min ⎞
⎜
⎟
⎝ 5 ⎠
Häufigkeitsdichte
• zB: Chancenverhältnis der Säuglingsmortalität mit
Risikofaktor von Geburtsgewicht:
0.0720
0.0720
OR = 1 − 0.0720 = 0.9280 = 20.4
0.00378
0.0037
1 − 0.00378 0.99622
Δn
Δx
x , s , ...
Pulszahl
21
Verteilungen
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟22
⎝ Min ⎠
Klassifizierung der Verteilungen
Wie kann man die theoretische Verteilung bestimmen?
Vermutung
Modellannahme
(nach dem
Histogram)
Laplace-Prinzip:
wenn nichts dagegen spricht, gehen wir
davon aus, dass alle Elementarereignisse
gleich wahrscheinlich sind
Gleichverteilung?
Laplace-Experiment:
es meint ein Zufalls-Experiment bei dem
davon ausgegangen wird, dass jeder
Versuchsausgang gleichwahrscheinlich ist
Gleichverteilung
23
•
•
•
•
•
diskrete Verteilungen
diskrete Gleichverteilung
Binomialverteilung
Poisson Verteilung
...
•
•
•
•
•
•
kontinuierliche Verteilungen
kontinuierliche Gleichverteilung
Normalverteilung
Chi-Quadrat Verteilung
t-Verteilung
...
diskrete Zufallsgröße
kontinuierliche Zufallsgröße
zB: Anzahl der
Kranken, Augenzahl
des Würfels
zB: Blutdruck, Körperhöhe,...
24
Diskrete Gleichverteilung
Lageparameter der Verteilung
Beispiel:
Es sei X eine diskrete Zufallsgröße mit Werten x1,x2… dann heisst
Wertebereich
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeit
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
p(k)
weitere Beispiele:
1/6
Münzenversuch
1
2
p( k ) =
3
1
,
6
4
5
k
6
μ = ∑ x i p( x i )
Der Erwartungswert gibt denjenigen Wert an, den man als
Mittelwert (durchschnittlichen Wert) über viele
Versuchswiederholungen “erwarten” kann.
Dabei ist es durchaus möglich, dass der Erwartungswert bei
keinem einzigen Versuch realisiert wird oder sogar überhaupt
nicht vorkommen kann.
Würfelexperiment
mit einem
Ikosaeder
k = 1, 2, ..., 6
26
25
Erwartungswert und Durchschnittswert
Nützliche Formel des arithmetischen Mittelwertes
μ = ∑ x i p( x i )
Berechnung aus
Einzelbeobachtungen
(ungewogenes)
arithmetisches Mittel
x1 + x 2 + K + x n
=
n
∑x
i =1
n
Berechnung aus
gruppierten Daten
(Merkmalausprägungen)
m
n x + n2 x 2 + K + nm x m
x= 1 1
=
n1 + n2 + K + nm
∑n x
i =1
m
i
∑n
i =1
m
i
=
∑n x
i
i =1
n
i
m
m
i =1
i =1
= ∑ hi x i = ∑ x i hi
i
ni: absolute Häufigkeit, hi: relative Häufigkeit
i
Beispiel: 100 Würfelexperimente. 2,5,4,3,6,6,1,5,4,2,3...
Insgesamt:
i
gewogenes
arithmetisches Mittel
x = ∑ x i hi
i
n
x=
Erwartungswert von X.
i
xi
ni
hi
1
15
15/100
2
20
20/100
3
14
14/100
4
16
16/100
5
18
18/100
6
17
17/100
x=
=
15
20
14
16
18
17
⋅1+
⋅2+
⋅3 +
⋅4+
⋅5 +
⋅ 6 = 3.53 =
100
100
100
100
100
100
= h(1) ⋅ 1 + h(2) ⋅ 2 + h(3) ⋅ 3 + h( 4) ⋅ 4 + h(5) ⋅ 5 + h(6) ⋅ 6 →
⎯⎯ ⎯⎯→ P (1) ⋅ 1 + P (2) ⋅ 2 + P (3) ⋅ 3 + P ( 4) ⋅ 4 + P (5) ⋅ 5 + P (6) ⋅ 6 = μ
n→∞
xi: Augenzahl
ni: absolute Häufigkeit
27
15 ⋅ 1 + 20 ⋅ 2 + 14 ⋅ 3 + 16 ⋅ 4 + 18 ⋅ 5 + 17 ⋅ 6
=
100
hi: relative Häufigkeit
x ⎯⎯
⎯→ μ
n →∞
28
Erwartungswert und Streuung der Gleichverteilung
Streuung der Verteilung
xi = 1,2,…,n
Es sei X eine diskrete Zufallsgröße mit Werten x1,x2,... und mit
dem Erwartungswert μ. Dann nennt man die Zahl
n
n
i =1
i =1
μ = ∑ x i p( x i ) = ∑ i
σ 2 = ∑ ( x i − μ )2 p( x i )
σ2 =
i
als Varianz von X, ihre Wurzel als (theoretische) Streuung (σ).
s ⎯⎯
⎯→ σ
n →∞
p(xi) = 1/n
1 1 n
1 n ( n + 1) n + 1
= ∑i =
=
=μ
2
2
n n i =1
n
n2 − 1
12
σ=
μ=3,5
zB: Würfel: n=6
empirische
Streuung
→
σ2=35/12=2,92..
⎛
⎝
σ 2 = ∑ ( x i − μ )2 p( x i ) = ∑ ⎜ i −
i
theoretische
Streuung
=
(Standardabweichung)
n2 − 1
12
2
n + 1⎞ 1
=
⎟
2 ⎠ n
2
2
⎞ 1
1 ⎛⎜ 2 (n + 1)
1 (n + 1) n + 1
2
⎟
i
i
n
=
i
+
(
1
)
+
−
+
∑
∑ 4 − n ∑i =
⎟ n∑
n ⎜⎝
n
4
⎠
n2 − 1
1 n(n + 1)(2n + 1) 1 (n + 1) n + 1 n(n + 1)
+ n
−
= ... =
n
n
n
6
4
2
12
Ergänzungsmaterial
1/(b-a)
Kontinuierliche Gleichverteilung
Verteilungsdichtefunktion:
f(x)
⎧ 1 , für a ≤ x ≤ b
⎪ b−a
f (x) = ⎨
⎪
sonst
⎩ 0,
b−a
12
f(x) statt p(x) !
+∞
a
b
x
p(α≤x≤β)
f(x)
b
+∞
σ 2 = ∫ ( x − μ )2 f ( x )dx = ∫ (x 2 − 2μx + μ 2 )
b
−∞
a
a
b
x
1
dx =
b−a
1
2μ
μ2
2
1dx =
=
x dx −
xdx +
b − a ∫a
b − a ∫a
b − a ∫a
b
1
b−a
b
a
α β
b
x
31
=
b
(b − a )2
1 ⎡ x3 ⎤
2μ ⎡ x 2 ⎤
μ2
b
[
]
...
−
+
x
=
=
a
⎢ ⎥
⎢ ⎥
12
b − a ⎣ 3 ⎦a b − a ⎣ 2 ⎦a b − a
b
= 0.289 b − a
f(x)
⎡ x2 1 ⎤
1
μ = ∫ xf ( x )dx = ∫ x
dx = ⎢
⎥ =
b−a
⎣ 2 b − a ⎦a
−∞
a
b
30
⎛ b 2 1 ⎞ ⎛ a 2 1 ⎞ b 2 − a 2 ( b − a )(b + a ) a + b
⎟⎟ =
⎟⎟ − ⎜⎜
=
=
= ⎜⎜
2(b − a )
2
⎝ 2 b − a ⎠ ⎝ 2 b − a ⎠ 2(b − a )
1
b−a
Wahrscheinlichkeit
entspricht der Fläche
Streuung: σ =
Ergänzungsmaterial
2
=
29
a+b
Erwartungswert: μ =
2
σ=1,71...
b
32