Gleichverteilung modulo Eins im Zusammenhang mit den Lösungen

Bayerische
Julius-Maximilians-Universität
Würzburg
Gleichverteilung modulo Eins im
Zusammenhang mit den Lösungen der
Gleichung ζ(s) = a
Masterarbeit
von
Katharina Schmid
Betreuer: Prof. Dr. Jörn Steuding
27. März 2015
Inhaltsverzeichnis
Notation
3
1 Einführung
4
1.1
Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl . . . . . . . . . . .
2 Grundlegende Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion
2.1
2.2
2.3
2.4
Die Funktionalgleichung und
Die Funktion ∆(s) . . . . .
Riemanns explizite Formeln
a-Stellen von ζ(s) . . . . . .
die
. .
. .
. .
Nullstellen von ζ(s)
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
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8
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.
3 Werteverteilung der Nullstellen von ζ(s)
3.1
3.2
Die Imaginärteile der Nullstellen sind gleichverteilt modulo Eins . . . . .
Allgemeine Verteilung der Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
5.3
15
17
19
Landaus explizite Formel für a-Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Die Dedekindsche Zetafunktion ζK (s)
5.1
8
10
11
13
15
4 Verallgemeinerung von Landaus Satz
4.1
4.2
4
19
23
26
Algebraische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Zahlkörper und Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Charaktere und die Dirichlet L-Funktion . . . . . . . . . . . .
Definition und grundlegende Eigenschaften von ζK (s) . . . . . . . . .
Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζK (s) und Dirichlet
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. .
. .
. .
L. .
26
26
28
29
31
6 Ausblick
35
Literaturverzeichnis
37
2
Notation
Wir gebrauchen s als Standardvariable in der komplexen Ebene C und schreiben wie
üblich
s = σ + it
mit Realteil σ und Imaginärteil t. Mit arg(s) bezeichnen wir das Argument der Punkte
in der komplexen Ebene.
In den Kapiteln (1.1) und (4.2) verwenden wir die abkürzende Schreibweise
e (ξ) = e2πiξ .
Die Landau Symbole werden in folgender Weise verwendet. Seien f (s) und g(s) Funktionen, Df der Definitionsbereich von f , C eine Konstante und s, s0 ∈ Df . Dann
ist
f (s) = O(g(s)) oder f (s) g(s) : ∃C>0 ∃|s0 | ∀|s|≥|s0 | |f (s)| ≤ C · |g(s)|.
f (s) = o(g(s))
: ∀C>0 ∃|s0 | ∀|s|≥|s0 | |f (s)| ≤ C · |g(s)|.
f (s) = Ω(g(s)) oder f (s) g(s) : ∃C>0 ∃{sn }n∈N →∞ |f (sn )| ≥ C · |g(sn )|.
3
1 Einführung
Aufbauend auf die im Jahr 1911 von Landau [19] gezeigte Formel
xρ = −Λ(x)
X
0<γ<T
T
+ O(log T )
2π
wollen wir in dieser Arbeit die Theorie der Gleichverteilung modulo Eins auf die a-Stellen
der Riemannschen Zetafunktion anwenden. Zu Beginn fassen wir ausgehend von den
Untersuchungen von H. Weyl [33] die wichtigsten Eigenschaften modulo 1 gleichverteilter
Folgen zusammen und in Kapitel 2 sammeln wir die wichtigsten Hilfsmittel und Definitionen über die Riemannsche Zetafunktion. Anhand Landaus expliziter Formel zeigen wir in
Kapitel 3, dass die Imaginärteile der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion gleichverteilt modulo Eins sind. Im darauf folgenden Kapitel befassen wir uns mit der von Steuding
in [29] entwickelten Verallgemeinerung von Landaus Formel
X
x
ρa
= α(x) − xΛ
1
x
0<γa <T
T
+ O T 1/2+ .
2π
Es wird sich zeigen, dass sich der Fehlerterm hier verbessern lässt. Mit Hilfe der verallgemeinerten Formel beweisen wir analog zum Fall der Nullstellen, dass die Imaginärteile
der a-Stellen von ζ(s) gleichverteilt sind. Abschließend werden wir aufbauend auf einer
Arbeit von Akbary und Murty [1] diese Aussagen für Dirichlet-L-Funktionen und die
Dedekindsche Zetafunktion zeigen.
1.1 Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl
Sei x eine reelle Zahl. Dann lässt sich x schreiben als x = bxc + {x}, wobei bxc die größte
ganze Zahl ≤ x ist und {x} der gebrochene Anteil. Eine Folge (xn ) reeller Zahlen heißt
gleichverteilt modulo 1, wenn
1
# {1 ≤ n ≤ N : {xn } ∈ [α, β)} = β − α
N →∞ N
lim
für alle α, β mit 0 ≤ α < β ≤ 1. Das heißt die Proportion der gebrochenen Anteile
der Folgenglieder xn in einem beliebigen Intervall entspricht der Länge des Intervalls.
Offensichtlich genügt es nur Intervalle der Form [0, β) mit geeignetem β ∈ (0, 1) zu
betrachten.
4
1.1. Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl
Diese Definition von Gleichverteilung lässt sich oft nur schwer nachweisen. Wir führen
zwei Charakterisierungen für modulo 1 gleichverteile Folgen ein, die auf H. Weyl [33]
zurück gehen.
Satz 1.1. Eine Folge (xn ) reeller Zahlen ist genau dann gleichverteilt modulo 1, wenn
für alle Riemann integrierbaren Funktionen f : [0, 1] → C gilt:
1
Z
N
1 X
f ({xn }) = f (x)dx.
lim
N →∞ N
n=1
(1.1)
0
Beweis. Ein Beweis findet sich in [4],§11.
Satz 1.2. (Weyl Kriterium) Eine Folge (xn ) reeller Zahlen ist genau dann gleichverteilt
modulo 1, wenn für jede ganze Zahl m 6= 0 gilt:
N
1 X
e (mxn ) = 0
N →∞ N
n=1
lim
(1.2)
Beweis. Sei (xn ) gleichverteilt modulo 1. Mit Satz 1.1 folgt für f (x) = e(mx)
1
Z
N
1 X
lim
e (mxn ) = e(mx)dx = 0
N →∞ N
n=1
0
für alle m 6= 0 ∈ Z.
Für die andere Richtung gelte nun (1.2) für alle m 6= 0, m ∈ Z. Sei
P (x) =
M
X
am e(mx), mit am ∈ C
m=−M
ein trigonometrisches Polynom. Dann ist
lim
N →∞
N
X
P ({xn }) =
n=1
+M
X
N
1 X
e (mxn )
N →∞ N
n=1
am · lim
m=M
= a0 =
Z1
P (x)dx.
(1.3)
0
Nach dem Approximationssatz von Weierstrass (vgl.[17], §17) existiert nun für jedes
Riemann integrierbare f und jedes > 0 ein trigonometrisches Polynom P (x) mit
N
1 X
f
N n=1
({xn }) −
N
1 X
(f
N
n=1
Z1
0
f (x)dx
({xn }) − P
≤
N
1 X
({xn })) + P
N
n=1
<
1
2 + N
Z1
1
Z
({xn }) − P (x)dx + (P (x) − f (x)) dx
0
0
Z1
N
X
P ({xn }) − P (x)dx
n=1
0
5
1.1. Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl
für hinreichend große N ∈ N. Wegen (1.3) ist auch der letzte Term kleiner als für alle
genügend großen N . Also gilt (1.1) für alle stetigen, 1-periodischen Funktionen f .
Zu α, β ∈ [0, 1) sei

1
für α ≤ x < β
χ[α,β) (x) :=
0
sonst
die Indikatorfunktion des Intervalls [α, β). Dann gibt es zu jedem > 0 Funktionen f− , f+
mit Periode 1, für die
f− (x) ≤ χ[α,β) (x) ≤ f+ (x) für alle 0 ≤ x < 1
gilt, sowie
Z1
(f+ (x) − f− (x)) dx < .
0
Daraus folgt
Z1
f+ (x)dx − <
0
Z 1
0
f− (x)dx ≤
Z1
χ[α,β) (x)dx
0
und
1
1
Z
Z
N
N
1 X
1 X
χ[α,β) ({xn }) − χ[α,β) (x)dx ≤
f+ ({xn }) − f+ (x)dx + N n=1
N n=1
0
0
< 2
für genügend große N . Analog erhält man die untere Schranke
1
Z
N
1 X
χ[α,β) ({xn }) − χ[α,β) (x)dx > −2.
N n=1
0
Also gilt
1
Z
N
1 X
χ[α,β) ({xn }) = χ[α,β) (x)dx.
lim
N →∞ N
n=1
0
Betrachtet man nun spezielle Folgen der Form (nα) mit einer beliebigen reellen Zahl α,
so erhält man eine wichtige Anwendung von Satz 1.2:
Ist α irrational, dann ist e(mnα) 6= 1 für jedes ganzzahlige m 6= 0 und mit der geometrischen Summenformel erhält man
N
1 X
lim e (mnα)
N →∞ N
n=1
=
1
lim e (mα)
N →∞ N
≤ lim
N →∞
6
1 − e(mN α) 1 − e(mα) 2
,
|1 − e(mα)|
1.1. Gleichverteilung modulo Eins und die Sätze von Weyl
also gilt (1.2).
Ist α hingegen rational, also α = ab für gewisse a, b ∈ Z, b 6= 0. Dann ist der Grenzwert
ungleich Null für alle ganzzahligen Vielfachen m von b.
7
2 Grundlegende Eigenschaften der
Riemannschen Zetafunktion
2.1 Die Funktionalgleichung und die Nullstellen von ζ(s)
Definition 2.1. Für σ > 1 ist ζ(s) definiert als eine Dirichletreihe der Form
ζ(s) =
∞
X
1
.
s
n=1 n
Mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung erhält man eine äquivalente Darstellung
von ζ(s) als Eulerprodukt
ζ(s) =
Y
p
1
1− s
p
!−1
.
(2.1)
Dabei durchläuft p alle Primzahlen. Sowohl die Dirichletreihe als auch das Eulerprodukt
konvergieren absolut für alle s ∈ C. Riemann [27] war wohl der Erste, der ζ(s) als
komplexe Funktion untersucht hat und zeigte
Satz 2.2. (Funktionalgleichung) Die Zetafunktion ζ(s) lässt sich auf C \ {1} holomorph
fortsetzen mit einem einfachen Pol bei s = 1 und es gilt
ζ(s) = ∆(s)ζ(1 − s),
mit
∆(s) = π
Γ(s) :=
R∞ z−1
u exp(−u)du
2
1−s
2
Γ 2s
Γ
s− 1
.
ist dabei die Gammafunktion.
0
Beweis. Substitution von u = πn2 x in
Γ(z) =
Z∞
uz−1 exp(−u)du ( Re z > 0)
0
8
(2.2)
2.1. Die Funktionalgleichung und die Nullstellen von ζ(s)
und Summation über alle n ∈ N liefert
∞
∞ Z
X
s
s −s
2
Γ
π ζ(s) =
x 2 −1 exp −πn2 x dx.
2
n=1
0
Sei s = σ + it, dann rechtfertigt die Konvergenz von
∞
∞ Z
X
σ
x 2 −1 exp −πn2 x dx
n=1 0
das Vertauschen von Integral und Summation und man erhält
∞
∞
1
Z
Z
Z
s
s
s
s −s
−1
−1
2
2
2
Γ
π ζ(s) = x ω(x)dx = x ω(x)dx + x 2 −1 ω(x)dx,
2
0
0
mit ω(x) := 12 (θ(x) − 1) und der Thetafunktion θ(x) :=
Thetafunktion gilt die Funktionalgleichung
1
P∞
n=−∞
exp (−πn2 x). Für die
√
1
= xθ(x),
x
θ
ein Beweis findet sich in [7]. Zusammen mit der Substitution x 7→
1
x
erhält man
Z∞ s+1
s
s −s
1
Γ
π 2 ζ(s) =
+
x− 2 + x 2 −1 ω(x)dx.
2
s(s − 1)
(2.3)
1
Man sieht sofort ω(x) = O (e−πx ) , also konvergiert das Integral und (2.3) gilt für alle
s ∈ C. Außerdem bleibt die rechte Seite unter der Abbildung s 7→ 1 − s unverändert.
Die Funktionalgleichung liefert wesentliche Aussagen über das analytische Verhalten der
Zetafunktion.
So ist ζ(s) 6= 0 für σ > 1, da das Eulerprodukt (2.1) dort nicht verschwindet.
s
Γ 2 hat genau bei den Punkten s = −2n mit n ∈ N Polstellen. Die rechte Seite von
(2.3) ist an diesen Stellen holomorph, also muss die Zetafunktion dort Nullstellen haben.
Wir bezeichnen diese als triviale Nullstellen. Im sogenannten kritischen Streifen 0 ≤ σ ≤ 1
besitzt ζ(s) unendlich viele weitere Nullstellen, diese nennen wir nicht-triviale Nullstellen
und bezeichnen sie mit ρ = β + iγ. Sei N (T ) die Anzahl der nicht-trivialen Nullstellen
ρ = β + iγ mit 0 < γ < 1 unter Berücksichtigung ihrer jeweiligen Vielfachheiten. Riemann
vermutete den Zusammenhang
N (T ) =
T
T
log
+ O(log T ),
2π
2πe
(2.4)
welcher später von von Mangoldt gezeigt wurde. Ein Beweis findet sich in [14]. Wegen
der Funktionalgleichung (2.2) und der Symmetrie ζ (s) = ζ(s) liegen die nicht-trivialen
Nullstellen symmetrisch zur reellen Achse und zur kritischen Geraden Re s = 12 . Nach
Riemanns Vermutung liegen alle nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden:
9
2.2. Die Funktion ∆(s)
Riemannsche Vermutung (RH):
ζ(s) 6= 0 für Re s > 21 .
2.2 Die Funktion ∆(s)
Wir wollen nun ein paar grundlegende Informationen über den Faktor ∆(s) aus der Funktionalgleichung (2.2) angeben, welche wir später benötigen werden. Sämtliche benötigten
Resultate über die Gammafunktion finden sich in [3] und [25]. Aus der Funktionalgleichung
ζ(s) = ∆(s)ζ(1 − s)
folgt durch logarithmisches Ableiten
ζ0
∆0
ζ0
(s) =
(s) − (1 − s).
ζ
∆
ζ
(2.5)
Weiter erhält man aus der Definition von ∆(s) sofort ∆(s)∆(1 − s) = 1. Mit Legendres
Verdoppelungsformel
√
1
= 2−2s πΓ(2s)
Γ(s)Γ s +
2
und der Eulerschen Reflexionsformel
π
Γ(s)Γ(1 − s) =
sin(πs)
ergibt sich die Darstellung
s s−1
∆(s) = 2 π
πs
sin
Γ(1 − s).
2
(2.6)
Weiter gilt
Γ0
(s) = log s + O(|s|−1 )
Γ
für |arg (s)| ≤ π−δ mit δ > 0. Damit erhalten wir mit s = σ+it
t
∆0
1
(s) = −log
+O
,
∆
2π
t
(2.7)
für t → ∞ und σ beschränkt.
Der folgende Satz gibt das Wachstumsverhalten der Zetafunktion außerhalb des kritischen
Streifens an.
Satz 2.3. Sei > 0. Dann gilt
ζ(σ + it) tµ(σ)+ ,
mit
µ(σ) =

0
1
2
−σ
10
für σ > 1,
für σ < 0.
2.3. Riemanns explizite Formeln
Beweis. Für σ = Res > 1 gilt die Aussage wegen |ζ(s)| = O(1). Im Fall σ < 0 erhalten
wir aus (2.6) und der Stirlingschen Formel
1
1
1
log(σ + it) − (σ + it) + log2π + O
,
log Γ(σ + it) = σ + it −
2
2
t
dass
t
∆(s) =
2π
1 −σ
2
exp i
π
t
− tlog
4
2πe
1
t
1+O
bzw.
|∆(s)| =
t
2π
1 −σ 2
1
t
1+O
(2.8)
.
Wegen |ζ(1 − s)| = O(1) für ein festes σ < 0 und ζ(s) = ∆(s)ζ(1 − s) folgt dann
1
o
|ζ(σ + it)| = O |t| 2 −σ+ .
n
Die Funktion µ(σ) = inf ξ ∈ R|ζ(σ + it) = O |t|ξ ist eine Funktion in σ. Des Weiteren
ist µ(σ) konvex (siehe [31], §9.41) und daher auch stetig. Damit gilt Satz 2.3 auch für
σ = 1 bzw. σ = 0.
2.3 Riemanns explizite Formeln
Riemann vermutete auch
!
Y
s
s
1
s s
s(s − 1)π − 2 Γ
e2 ,
ζ(s) = eA+Bs
1−
2
2
ρ
ρ
(2.9)
mit geeigneten Konstanten A und B. Dies wurde später von Hadamard gezeigt. Ein
Beweis findet sich in [5]. Hierbei geht das Produkt auf der rechten Seite über alle
nicht-trivialen Nullstellen ρ. Mit dem Eulerprodukt (2.1) und dem Hadamardprodukt
(2.9) sieht man den Zusammenhang zwischen den Primzahlen und den Nullstellen der
Zetafunktion in aller Deutlichkeit. Diese Beziehung führt zu Riemanns expliziter Formel
π(x) +
∞
X
n=2
π
1
n
n
X
= li(x) −
ρ=β+iγ,
γ>0
+
Z∞
x
u(u2
du
− log 2
− 1)log u
11
li (xρ ) + li x1−p
2.3. Riemanns explizite Formeln
mit dem Integrallogarithmus
li x
β+iγ
(β+iγ)logx
Z
=
(−∞+iγ)logx
wobei δ =

+1
−1
ez
dz,
z + δiγ
für γ > 0
sonst
(vgl. [5]).
Aus technischen Gründen arbeiten wir mit der logarithmischen Ableitung der Zetafunktion,
welche für Res > 1 gegeben ist durch
∞
X
Λ(n)
ζ 0 (s)
=−
,
s
ζ(s)
n=1 n
(2.10)
mit der von Mangoldtschen Λ-Funktion

log
Λ(n) =
für n = pk mit k ∈ N,
sonst .
p
0
Weiter ist für uns die summatorische Funktion der von Mangoldt-Funktion
ψ(x) :=
X
Λ(n) =
n≤x
X
log p + O x1/2
p≤x
von Interesse. Mit ihr ergeben sich wichtige Informationen bezüglich der Primzahlfunktion
π(x), denn es ergibt sich der Zusammenhang
π(x)
ψ(x)
log x
→ 1 für x → ∞.
Mit dieser asymptotischen Formel lässt sich zeigen, dass der Primzahlsatz äquivalent ist
zu
ψ(x)
= 1.
lim
x→∞ x
Beide Resultate finden sich in [9]. Wir benötigen noch
Lemma 2.4. (Perronsche Formel) Seien x, y, T ∈ R>0 und
δ(y) :=



0
1
2


Ferner sei
1
für 0 < y < 1,
für y = 1,
für y > 1.
c+iT
1 Z s ds
y
.
I (y, T ) =
2πi
s
c−iT
Dann gilt
12
2.4. a-Stellen von ζ(s)

y c min 1, T −1 |log
|I (y, T ) − δ(y)| < 
y|−1
cT −1
für y 6= 1,
für y = 1.
Beweis. Ein Beweis findet sich in [3], §1.
Aus der Perronschen Formel ergibt sich bei festem c, y für T → ∞ der Spezialfall
c+i∞
1 Z ys
ds = δ(y)
2πi
s
c−i∞
angewandt auf
ζ0
(s)
ζ
liefert dies
c+i∞
1 Z ζ 0 (s) xs
ds.
ψ(x) = −
2πi
ζ(s) s
c−i∞
Verschiebt man nun den Integrationspfad nach links, so entspricht das Integral der Summe
der entsprechenden Residuen. Daraus ergibt sich die exakte explizite Formel
ψ(x) = x −
1
1
ζ0
− log 1 − 2 − (0),
ρ
2
x
ζ
X xρ
ρ
für alle x ∈
/ Z. Ein Beweis hierzu findet sich in [3].
2.4 a-Stellen von ζ(s)
Landau [2] beschäftigte sich mit der Frage, wann die Zetafunktion einen bestimmten
Wert a annimmt, also mit Lösungen der Gleichung
ζ(s) = a,
mit a ∈ C. Wir nennen diese Lösungen a-Stellen und schreiben dafür ρa = βa + iγa . Für
genügend große n ∈ N existiert eine a-Stelle in der Nähe von jeder trivialen Nullstelle
s = −2n. Wir bezeichnen die a-Stellen in der Halbebene Re s ≤ 0 als triviale a-Stellen
und alle anderen a-Stellen als nicht-triviale a-Stellen. Es lässt sich zeigen, dass die
trivialen a-Stellen nicht gleichverteilt modulo Eins sind, da sie zu nahe an den trivialen
Nullstellen −2n liegen. Analog zum Fall a = 0 erhielt Landau eine zur Riemann-von
Mangoldt Formel (2.4) äquivalente Darstellung für die Anzahl Na (T ) von nicht-trivialen
a-Stellen mit Imaginärteil γa ∈ (0, T ]
Na (T ) =
T
T
log
+ O(log T ),
2π 2πeca
13
(2.11)
2.4. a-Stellen von ζ(s)
für T → ∞, mit ca = 1 für a 6= 1 und c1 = 2. Man sieht sofort, dass der Hauptterm
unabhängig von a ist. Levinson [21] wies nach, dass für alle bis auf O(Na (T )/loglog T )
viele a-Stellen mit Imaginärteil γa ∈ (T, 2T ]
βa
1 (loglog T )2
− <
2
log T
gilt. Folglich liegen fast alle a-Stellen beliebig nah an der kritischen Gerade. Unter der
Annahme der RH war diese Tatsache bereits Landau[2] bekannt.
Die logarithmische Ableitung hat für −1 ≤ σ ≤ 2, mit |T | > 1 die Partialbruchzerlegung
X
ζ 0 (s)
1
=
+ O(log T ),
ζ(s) − a |T −γa |≤1 s − ρa
(2.12)
mit s = σ + it (vgl.[8]). Hierbei geht die Summation über alle a-Stellen ρa = βa + iγa mit
|T − γa | ≤ 1.
14
3 Werteverteilung der Nullstellen von
ζ(s)
3.1 Die Imaginärteile der Nullstellen sind gleichverteilt
modulo Eins
Die trivialen Nullstellen von ζ(s) sind ganze Zahlen und als solche nicht gleichverteilt
modulo Eins. Jedoch lässt sich zeigen, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen
gleichverteilt modulo Eins sind. Allgemeiner bewies Hlawka [10]
Satz 3.1. Sei α 6= 0 eine reelle Zahl. Dann ist die Folge (αγ) wobei γ die positiven
Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen von ζ(s) durchläuft, gleichverteilt modulo
Eins.
Beweis. Im Folgenden seien die auftretenden Konstanten abhängig von x. Wir verwenden
ein Resultat von Landau [19], welcher für x > 1 zeigte
X
xρ = −Λ(x)
0<γ<T
T
+ O(log T ).
2π
(3.1)
Die Summe auf der linken Seite geht hierbei über alle nicht-trivialen Nullstellen ρ = β +iγ.
Wir geben später einen Beweis einer allgemeineren Aussage von (3.1) an. Für x ∈ (0, 1)
gilt
X
ρ
x =
ρ
X 1 −ρ
ρ
x
= x −Λ
=x
X 1 1−ρ
ρ
x
1 T
+ O(log T ).
x 2π
Also kann man Λ(x) im Fall x ∈ (0, 1) durch xΛ( x1 ) ersetzen. Sei nun x > 1. Es folgt mit
der Riemann-von Mangoldt Formel (2.4) und (3.1)
X
1
xρ =
N (T ) 0<γ<T
T
−Λ(x) 2π
+ O(log T )
T
log
2π
T
2π
−
15
T
2π
+ O(log T )
1
.
log T
(3.2)
3.1. Die Imaginärteile der Nullstellen sind gleichverteilt modulo Eins
Wir wollen die Annahme der RH vermeiden. Hierfür beachte man für x > 1 und β ∈ [0, 1]
die Abschätzung
1
1/2+iγ
β+iγ β
x
−x
≤ x exp
− β log x − 1
2
β
≤ x log
x β
1
− .
2
Daraus folgt
X 1
xβ |log x| X β−
x1/2+iγ − xβ+iγ ≤
N (T ) 0<γ<T
N (T ) 0<γ<T x|log x| X β−
≤
N (T ) 0<γ<T 1 2
1 .
2
(3.3)
Bezeichnet N (σ, T ) die Anzahl der nicht-trivialen Nullstellen ρ = β + iγ mit β > σ und
0 < γ ≤ T , also
X
N (σ, T ) =
1.
0<γ≤T,
β>σ
Dann ist N (σ, T ) eine nicht-wachsende Funktion in σ und

X β
0<γ≤T
−
1 2
=
X 

0<γ≤T,
β>1/2
Zβ
1/2


1dσ 
=
Z1
N (σ, T )dσ.
1/2
Es sind mehrere Resultate für Summen über Terme der Form |β − 12 | bekannt, u.a. zeigte
Littlewood
X 1
β − T loglog T ;
(3.4)
2
0<γ≤T
ein Beweis findet sich in [32]. Eingesetzt in (3.3) ergibt dies mit der Riemann-von
Mangoldt Formel (2.4)
X X 1
1
β −
x1/2+iγ − xβ+iγ N (T ) 0<γ≤T
N (T ) 0<γ≤T 1 loglog T
.
2
log T
Also erhalten wir mit (3.2)
X
1
loglog T
x1/2+iγ .
N (T ) 0<γ≤T
log T
Setze nun x = z m , mit 1 < z ∈ R und m ∈ Z, so folgt
X
X
1
1
z iγm =
exp(imγ log z)
N (T ) 0<γ≤T
N (T ) 0<γ≤T
loglog T
−→ 0 für T −→ ∞.
log T
16
3.2. Allgemeine Verteilung der Nullstellen
Mit dem Weyl Kriterium (Satz 1.2) folgt nun, dass die Folge
modulo Eins ist.
1
γ
2π
log z gleichverteilt
3.2 Allgemeine Verteilung der Nullstellen
Seit Langem besteht die Vermutung, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen linear unabhängig über Q sind. Ingham [11] beobachtete eine Auswirkung dieser
Vermutung auf die Möbiussche µ-Funktion

(−1)k
µ(n) :=
n quadratfrei, k Anzahl der Primfaktoren
sonst
0
P
und die Funktion M (x) := n≤x µ(n). Man kann leicht zeigen, dass µ(n) multiplikativ ist
und sich mit Hilfe der Riemannschen Zetafunktion ausdrücken lässt
ζ(s)
−1
=
1
1− s
p
Y
p
!
=
∞
X
µ(n)n−s
( Re s > 1).
n=1
Ingham wies nach, dass falls die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen linear
unabhängig über Q sind, dann gilt
1
lim sup M (x)x− 2 = +∞
1
lim
inf M (x)x− 2 = −∞
x→∞
und
x→∞
(vgl. [11]). Wegen µ(n) ∈ {0, ±1} lässt sich M (x) als Zufallsweg in Z2 interpretieren.
Die Folgenden Überlegungen gehen auf Denjoy [6] zurück: Sei {Xn } eine Folge von
Zufallsvariablen mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung P(Xn = +1) = P(Xn = −1) = 12 .
Definiere
n
S0 := 0
und
Sn :=
X
Xj ,
j=1
dann ist {Sn } ein Zufallsweg in Z2 mit Anfangspunkt 0. Eine Anwendung des Satzes von
Moivre-Laplace (vgl. [18]) liefert
c
!
1 Z
x2
lim
P{|S
exp
−
dx.
n | < cn } = √
n→∞
2
2π −c
1
2
Die rechte Seite der obigen Gleichung geht gegen 1 für c → ∞, also erhalten wir
1
lim P{|Sn | n 2 + } = 1
n→∞
für alle > 0. Damit lässt sich die obige Gleichung als Modell der Werteverteilung der
µ-Funktion betrachten. Mit dem Gesetz des iterierten Logarithmus (vgl.[16]) lässt sich
sogar die bessere Abschätzung
1
lim P{|Sn | (n loglog n) 2 } = 1
n→∞
17
3.2. Allgemeine Verteilung der Nullstellen
1
zeigen, womit die obere Grenze (x loglog x) 2 von M (x) angedeutet wird. Diese Abschätzung kommt der sogenannten schwachen Vermutung von Mertens
ZX
1
M (x)
x
!2
dx log X
sehr nahe. Man beachte, dass diese Schranke die RH und die Einfachheit der Nullstellen
impliziert. Die ursprüngliche Mertens-Vermutung
√
|M (x)| < x
(x > 1)
wurde widerlegt durch den Nachweis von
lim
inf
x→∞
M (x)
x
1
2
< −1.009
und
lim sup
x→∞
(vgl. [26]).
18
M (x)
1
x2
> 1.06
4 Verallgemeinerung von Landaus Satz
4.1 Landaus explizite Formel für a-Stellen
Wir wollen nun Landaus Satz 3.1 für beliebige a-Stellen beweisen. Hierfür benötigen wir
noch
Lemma 4.1. Seien σ ≤ 0 und |t| ≥ 2. Dann ist
ζ(σ + it) t1/2−σ
.
log t
Beweis. Es gilt
1
log t
(vgl. [32], §3). Zusammen mit der Funktionalgleichung und (2.8) liefert dies
ζ(1 − σ − it) |ζ(σ + it)|−1 = |∆(σ + it)|−1 · |ζ(1 − σ − it)|−1
t
2π
σ−1/2 1
t
1+O
· log t.
Daraus folgt
|ζ(σ + it)|−1 log t
.
t1/2−σ
Der folgende Satz gibt eine explizite Formel für a-Stellen anstelle von Nullstellen. Die
hier auftretenden Konstanten dürfen wie im Beweis von Satz 3.1 von x abhängen. Die
Aussage findet sich auch in [29], jedoch mit einem Fehlerterm T 1/2 . Wir geben hier
eine Verbesserung des Fehlerterms an.
Satz 4.2. Sei x 6= 1 positiv und reell. Dann gilt für T → ∞
X
x
ρa
= α(x) − xΛ
1
x
0<γa <T
T
+ O (log T )2 ,
2π
(4.1)
hierbei entsprechen α(x) und Λ(x) den Koeffizienten der Dirichletreihen aus (4.2) bzw.
(2.10) für x = n oder x = n1 mit 2 ≤ n ∈ Z, ansonsten sind sie gleich Null.
19
4.1. Landaus explizite Formel für a-Stellen
Beweis. Sei a 6= 1, der Fall a = 1 soll später behandelt werden. Die Funktion ζ(s) − a
lässt sich für genügend große Re s als konvergente Dirichletreihe schreiben. Wir nehmen
an, dass σ := Re s > 1 und schätzen ab:
|ζ(s) − 1| ≤
X
−σ
n
<
n≥2
Z∞
u−σ du =
1
1
;
1−σ
damit erhalten wir
1
.
|a − 1|
Also existiert eine Halbebene Re s > B, welche frei von a-Stellen ist. Landau [20] wies
nach, dass mit ζ(s) − a auch (ζ(s) − a)−1 eine konvergente Dirichletreihe in derselben
Halbebene besitzt. Für die Ableitung der Zetafunktion gilt
ζ(s) − a 6= 0 für σ > 1 +
ζ 0 (s) = −
∞
X
log n
.
s
n=2 n
Multiplikation mit der Dirichletreihe von (ζ(s) − a)−1 liefert
X α(n)
ζ 0 (s)
=
,
ζ(s) − a n≥2 ns
(4.2)
mit einer geeigneten Koeffizientenfolge α(n). Im Fall a = 0 gilt α(n) = −Λ(n) und wir
erhalten Gleichung (2.10) für die logarithmische Ableitung. Für gewöhnliche Dirlichletreihen lässt sich mit Abelscher Teilsummation zeigen, dass sich die Konvergenzabszisse und
die absolute Konvergenzabszisse höchstens um 1 unterscheiden. Damit ist die Konver1
genzabszisse der Dirichletreihe in (4.2) kleiner oder gleich B := 2 + |a−1|
.
Wegen (2.11) ist Na (T + 1) − Na (T ) = O(log T ). Daher lässt sich für jedes T0 nun ein
T ∈ [T0 , T0 + 1) finden, sodass
min
|T − γa | ρ
a
1
.
log T
Sei t0 positiv und reell. Setzt man b := 1 + (logT )−1 , dann liegen für T ≥ t0 nur endlich
ζ 0 (s)
viele nicht-triviale a-Stellen links von der Geraden Res = 1 − b. Die Funktion ζ(s)−a
hat
einen einfachen Pol an jeder a-Stelle, dessen Residuum gleich der Ordnung der a-Stelle
ist. Mit dem Residuensatz folgt
X
xρa =
0<γa <T
1 Z s ζ 0 (s)
x
ds + O(1),
2πi
ζ(s) − a
R
wobei R das gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Rechteck mit den Eckpunkten B +
i, B + iT, 1 − b + iT, 1 − b + i ist. Der Fehlerterm entsteht durch die höchstens endlich
vielen nicht-trivialen a-Stellen mit Imaginärteil < T und Realteil > 1 − b. Wir erhalten
Z
R
0
xs


Z
 B+iT
ζ (s)
ds =

ζ(s) − a

B+i
+
(1−b)+iT
Z
B+iT
+
(1−b)+i
Z
(1−b)+iT
20
+
B+i
Z
(1−b)+i





xs
4
X
ζ 0 (s)
ds =:
Ij .
ζ(s) − a
j=1
4.1. Landaus explizite Formel für a-Stellen
P
Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von
α(n)n−s auf R ist das Vertauschen von
n≥2
Integration und Summation erlaubt und wir erhalten
I1 =
B+iT
Z
B+i
B+iT
Z s
ZT B+it
X
X
ζ 0 (s)
x
x
x
ds =
α(n)
ds =
α(n)i
dt
ζ(s) − a
n
n
n≥2
n≥2
s
1
B+i
= iα(x)T + O(1).
Hierbei entspricht α(x) dem Koeffizienten α(n) der Dirichletreihe von (4.2) im Falle
x = n und null sonst.
Nun betrachten wir das horizontale Integral I2 . Aus der Riemann-von Mangoldt Formel
(2.11) folgt, dass die Anzahl der Summanden der Partialbruchzerlegung (2.12) beschränkt
ist durch log T . Weiter gilt für jeden Summanden
1
|s − ρa | ≥ |Im(s − ρa )| = |T − γa | ,
log T
0
ζ (s)
(log T )2 auf s = σ + iT , σ ∈ [1 − b, B], und es folgt
also erhalten wir ζ(s)−a
I2 = −
ZB
xσ+iT
−(log))−1
ζ 0 (σ + iT )
dσ (log T )2 .
ζ(σ + iT ) − a
Nun schätzen wir das Integral längs der Geraden Res = 1 − b ab, dazu teilen wir die
Integrationsgrenzen auf:
I3 = −
(1−b)+it
o
Z
(1−b)+i
= O(1) −
ζ 0 (s)
x
ds −
ζ(s) − a
s
(1−b)+iT
Z
xs
(1−b)+it0
(1−b)+iT
Z
xs
(1−b)+it0
ζ 0 (s)
ds
ζ(s) − a
ζ 0 (s)
ds.
ζ(s) − a
1
Steuding [29] erhielt hier mit Lemma 4.1 einen Fehlerterm T 2 . Wir werden sehen,
dass sich dieser noch verbessern lässt. Mit dem Cauchyschen Integralsatz lässt sich der
Integrationsweg umlegen, wie in Abbildung 4.1 dargestellt. Es liegen keine Residuen im
Inneren oder auf dem Rand des Rechtecks mit den Eckpunkten 1 − b + it0 , −1 + it0 , −1 +
iT, 1 − b + iT , da die Zetafunktion dort keine a-Stellen besitzt und sich deshalb sämtliche
ζ 0 (s)
Residuen von xs ζ(s)−a
außerhalb des Rechtecks befinden. Damit gilt
(1−b)+iT
Z
(1−b)+it0
ζ 0 (s)
ds =
x
ζ(s) − a
−1+it
Z 0
s
+
xs
(1−b)+it0
−1+iT
Z
−1+it0
ζ 0 (s)
ds
ζ(s) − a
ζ 0 (s)
x
ds +
ζ(s) − a
s
|
{z
(1−b)+iT
Z
−1+iT
=: J1 +J2
21
xs
ζ 0 (s)
ds .
ζ(s) − a
}
4.1. Landaus explizite Formel für a-Stellen
Im
iT
it0
Re
1−b
−1
Abbildung 4.1: neuer Integrationsweg
Wir beginnen mit dem zweiten horizontalen Integral. Hier ergibt sich analog zu I2
(1−b)+iT
Z
J2 =
−1+iT
−1
−(logT
Z )
ζ 0 (s)
xs
ds =
ζ(s) − a
xσ+iT
−1
ζ 0 (σ + iT )
dσ
ζ(σ + iT ) − a
(log T )2 .
a
Wegen Lemma 4.1 existiert ein t0 , sodass | ζ(s)
| < 12 für s = −1 + it für alle t ≥ t0 . Damit
lässt sich die logarithmische Ableitung in eine geometrische Reihe entwickeln

X
ζ 0 (s)
ζ0
ζ0
1
a
=
= (s)
(s) 1 +
a
ζ(s) − a
ζ
1 − ζ(s)
ζ
k≥1 ζ(s)
!k 

und wir erhalten
J1 =
−1+iT
Z
−1+it0
ζ 0 (s)
x
ds =
ζ(s) − a
−1+iT
Z
s
x
sζ
0
ζ
−1+it0
(s)ds +
−1+iT
Z
x
−1+it0
sζ
0
ζ
(s)
X
k≥1
a
ζ(s)
!k
ds
=: l1 + l2 .
Für das erste Integral gilt wegen (2.5), (2.7) und (2.10)
−1+iT
Z
l1 = −
x
s
−1+it0
=i
ZT
= ix
−1+it0
x−1+it
t0
−1
∞
X
n=1
!
−1+iT
−1+iT
Z
Z
0
ζ0
∆0
∆0
sζ
(1 − s) − (s) ds = −
x (1 − s)ds +
xs (s)ds
ζ
∆
ζ
∆
∞
X
Λ(n)
dt − i
2−it
n=1 n
−2
Λ(n)n
ZT
t0
it
ZT
x−1+it log
t0
(xn) dt − ix
−1
ZT
x
t0
22
−1+it0
t
+ O t−1 dt
π
it
t
log + O(t−1 ) dt.
π
4.2. Folgerungen
Der erste Summand ist gleich ixΛ x1 T + O(1) und mittels Partieller Integration ist der
zweite Summand beschränkt durch (log T ). Also ist
1
+ log T.
x
l1 = ixΛ
Lemma 4.1 liefert für das zweite Integral die Abschätzung
l2 =
−1+iT
Z
−1+it0
X
ζ0
a
xs (s)
ζ
k≥1 ζ(s)
!k
ds T (log T )
X
k≥1
log T
T 3/2
!k
T −1/2 (log T )2 .
Das noch fehlende horizontale Integral ist unabhängig von T , also I4 = O(1). Wir erhalten
somit
X
T
1
ρa
+ O (log T )2 .
x = α(x) − xΛ
x
2π
0<γa <T
Damit ist Satz 4.2 gezeigt für a 6= 1.
Für a = 1 betrachte man f (s) := 2s (ζ(s) − 1). Aus der Dirichletreihe
2s (ζ(s) − 1) = 1 +
X 2 s
n≥3
n
folgt f (s) 6= 0 in einer rechten Halbebene. Dann gilt für die logarithmische Ableitung
f0
ζ 0 (s)
(s) = log 2 +
.
f
ζ(s) − 1
Integration dieser logarithmischen Ableitung über das entsprechende Rechteck R zeigt
dann Gleichung (4.1) für a = 1.
Landau [19] erhielt in seiner expliziten Formel einen Fehlerterm log T . In unserem
Beweis entstehen die Fehlerterme, die größer als log T sind aus den Integralen I2 und
J2 . Eine interessante Fragestellung wäre, ob man diese noch weiter verbessern kann und
sich somit ein Fehler in derselben Größenordnung wie in Landaus Formel (3.1) erzielen
ließe.
4.2 Folgerungen
Mit Hilfe von Satz 4.2 können wir nun auch Satz 3.1 für allgemeine a-Stellen angeben.
23
4.2. Folgerungen
Satz 4.3. Bezeichne γa die Imaginärteile der a-Stellen von ζ(s). Dann ist für jede
komplexe Zahl a und jedes reelle α =
6 0 die Folge der Zahlen αγa gleichverteilt modulo
Eins.
Beweis. Wir erinnern uns an einen Satz von Levinson aus Kapitel 2.4. Demnach liegen
alle bis auf O(Na (T )/loglog T ) der a-Stellen ρa = βa + iγa mit Imaginärteil γa ∈ (T, 2T )
im Streifen
1 (loglog T )2
1 (loglog T )2
−
< βa < +
.
2
log T
2
log T
Sei δ(T ) = (loglog T )2 /log T . Genauer zeigte Levinson [21] dann, dass die Anzahl der
T log T
a-Stellen mit |βa − 12 | > δ(T ) und T < γa < 2T beschränkt ist durch loglog
. Dies liefert
T
X
T <γa <2T
βa
X
1
βa −
− =
2
T <γa <2T,
βa − 21 >δ
X 1 βa −
+
2 β − 1 ≤δ a
2
X
1 βa −
+
2
T <γa <2T,
1 2
βa − 12 <−δ
T log T
+ T (loglog T )2 .
loglog T
Wir erhalten
X
0<γa <T
βa
Wegen
exp(y) − 1 =
T log T
1
− = o(Na (T )).
2
loglog T
Zy
exp(t)dt |y|max{1, exp(y)}
0
gilt für x 6= 1
1
1
|x1/2+iγa − xβa +iγa | ≤ xβa |exp(( − |βa )log x) − 1| ≤ |βa − |max{xβa , x1/2 }|log x|.
2
2
Sei nun B die obere Schranke der Realteile der a-Stellen. Dann erhalten wir mit X =
max{xB , 1} |logx|
X X 1
X
βa −
x1/2+iγa − xβa +iγa ≤
Na (T ) 0<γa ≤T
Na (T ) 0<γa ≤T 1 X
.
2
loglog T
Mit Satz 4.2 folgt
X
xβa +iγa T,
0<γa ≥T
also ergibt sich
X
1
1
x1/2+iγa .
Na (T ) 0<γa ≥T
loglog T
Sei x = z m , mit 1 6= z ∈ R und m ∈ N, dann folgt
X
1
exp(imγa log z) = 0.
T →∞ Na (T )
0<γa ≥T
lim
Mit dem Weyl Kriterium, Satz 1.2 ist die Folge
24
1
γ log
2π a
z gleichverteilt modulo Eins.
4.2. Folgerungen
Wir geben nun zwei Anwendungen von Satz 4.3 an. Sie werden sich bei der Untersuchung von Dedekindschen Zetafunktionen auf Gleichverteilung als hilfreich erweisen.
Korollar 4.4. Seien a := (an )n und b := (bk )k zwei monoton wachsende Folgen reeller
S
Zahlen und a b := (an , bk )n,k deren Vereinigung. Die Folge (an , bk )n,k sei entsprechend
der Absolutbeträge ihrer Elemente geordnet. Sind a und b gleichverteilt modulo Eins, so
S
ist auch a b gleichverteilt modulo Eins.
Beweis. Für x > 0 bezeichne Na S b (x) die Anzahl der Elemente aus a
Dann ist
Na S b (x) = Na (x) + Nb (x)
S
b mit (an , bk ) ≤ x.
und es gilt
1
Na S b (x)
X
(m
(a
))
e
,
b
n k (an ,b )≤x
k
X
X
1
=
e (man ) +
e (mbk )
Na (x) + Nb (x) an ≤x
bk ≤x
1 X
1 X
≤
e (man ) +
e (mbk ) .
Na (x) an ≤x
Nb (x) bk ≤x
Die Aussage folgt nun mit dem Weyl Kriterium, Satz 1.2.
Korollar 4.5. Seien M ∈ N, α1 , ..., αM beliebige positive reelle Zahlen und a1 , .., aM
beliebige komplexe Zahlen. Dann ist die Folge
[
(αm γam ) = {α1 γa1 , ..., αM γaM }
1≤m≤M
gleichvertelit modulo Eins. Insbesondere sind für ein nicht-konstantes Polynom P mit
komplexen Koeffizienten die Imaginärteile der Nullstellen von P (ζ(s)) gleichverteilt
modulo Eins.
Beweis. Der Erste Teil der Aussage folgt sofort aus Satz 4.3 und Korollar 4.4. Für den
Zweiten Teil betrachtet man die Faktoriesierung
P (ζ(s)) =
M
Y
(ζ(s) − aj ) .
j=1
Mit dem Fundamentalsatz der Algebra und Satz 4.3 folgt die Gleichverteilung der
Imaginärteile der aj -Stellen von ζ(s), damit gilt auch die Anwendung auf P (ζ(s)).
25
5 Die Dedekindsche Zetafunktion ζK (s)
Wir wollen nun die gewonnen Resultate aus den vorherigen Kapiteln auf allgemeine Zahlkörper K ausweiten. Wir beginnen zunächst mit einem Überblick über wichtige Begriffe aus der algebraischen Zahlentheorie, welche wir später benötigen werden. Für konkrete Beweise bietet sich ein Blick in die Standardliteratur (z.B. [24])
an.
5.1 Algebraische Grundlagen
5.1.1 Zahlkörper und Ideale
Wir nennen eine Zahl algebraisch, wenn sie Nullstelle eines nicht identisch verschwindenden Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, und ganz-algebraisch, wenn sie Nullstelle
eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Die Menge der ganzalgebraischen Zahlen bildet einen Ring, welchen wir mit O bezeichnen.
Ist K ein Teilkörper eines Körpers L, so spricht man von einer Körpererweiterung L|K.
Dann ist L ein K-Vektorraum und man nennt [L : K] := dimK L den Grad von L|K. Eine
Körpererweiterung heißt endlich, falls [L : K] endlich ist und quadratisch falls [L : K] = 2.
Eine endliche Körpererweiterung K von Q nennen wir Zahlkörper. Quadratische Zahlkörper sind die einfachsten Zahlkörper, sie entstehen aus den rationalen Zahlen durch
Adjunktion einer Quadratwurzel. Im Folgenden beschäftigen wir uns hauptsächlich mit
quadratischen Zahlkörpern und bezeichnen diese mit
√ n
o
√
K = Q d = α + β d : α, β ∈ Q, d ∈ Z \ {0, 1} quadratfrei .
Sei nun K ein Zahlkörper und O der Ring der ganzen algebraischen Zahlen. Dann
heißt
OK := K ∩ O
der Ring der ganzen Zahlen oder Ganzheitsring von K. Seien α, β ∈ OK . Man sagt, dass
β durch α teilbar ist, wenn ein γ ∈ OK existiert mit β = αγ und schreibt α|β. Die Teiler
des Einselements heißen Einheiten.
In OK haben wir im Allgemeinen keine eindeutige Primfaktorzerlegung mehr und an
26
5.1. Algebraische Grundlagen
√
diesem Punkt nunterscheiden sich Ganzheitsringe
von Z. Der Ganzheitsring zu Q( −5)
o
√
√
ist Z[ −5] = a + b −5 : a, b ∈ Z . Hier sind z.B.
2 · 3 = (1 +
√
−5)(1 −
√
−5)
zwei verschiedene Zerlegungen der Zahl 6. Um dieses Problem zu umgehen führte E. Kummer in der Mitte des 19. Jahrhunderts den Begriff ideale Zahl ein, welcher später Grundbaustein der von Dedekind eingeführten Idealtheorie wurde.
Definition 5.1. Eine nichtleere Teilmenge a von OK heißt Ideal, wenn die folgenden
Bedingungen erfüllt sind:
(i) a ist eine additive Untergruppe von OK
(ii) für α ∈ O und a ∈ a ist auch αa ∈ a.
Ideale, welche von einem einzigen Element erzeugt werden, also die Form a = (a) :=
aOK haben, heißen Hauptideale. Summe und Produkt von Idealen a, b sind erklärt
mittels
a + b := {a + b : a ∈ a, b ∈ b} ,
ab :=

X



αj βj : αj ∈ a, βj ∈ b

j
und damit also selbst wieder Ideale. Zwei Ideale a, b heißen assoziiert, falls a = b mit
einer Einheit . Weiter heißt ein Ideal p OK Primideal, wenn aus ab ∈ p stets a ∈ p
oder b ∈ p folgt. Wir definieren die Norm eines Ideals a =
6 (0), a ∈ Od als die Ordnung
der Restklassengruppe Od /a, sowie N (0) = 0. Die Norm ist multiplikativ, d.h. es gilt
N (ab) = N (a)N (b).
Nun können wir ein Analogon zum Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung angeben.
Satz 5.2. (Eindeutige Primidealzerlegung, Dedekind)
Jedes von (0) und (1) verschiedene Ideal a besitzt eine (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutige Primidealzerlegung, das heißt, es lässt sich schreiben als
a=
n
Y
vj
pj
j=1
mit vj ∈ Z und Primidealen pj .
Beweis. Eind Beweis findet sich in [30], Kapitel 6.
27
5.1. Algebraische Grundlagen
5.1.2 Charaktere und die Dirichlet L-Funktion
Um mit der Dirichletschen L-Funktion arbeiten zu können, beschäftigen wir uns zunächst
mit (Dirichlet-)Charakteren, welche wir der Einfachheit halber als Charaktere bezeichnen
werden.
Definition 5.3. Ein (Dirichlet-)Charakter modulo q ∈ N ist ein Homomorphismus
χ : (Z/qZ)∗ → C∗ ,
d.h. eine komplexwertige Funktion auf (Z/qZ)∗ mit
χ(n) = χ(n̄) falls n̄ ∈ (Z/qZ)∗
χ(n) = 0 sonst
χ(1̄) = 1
χ(n̄m̄) = χ(n̄)χ(m̄),
mit m, n ∈ Z.
Für ggT(n, q) = 1 gilt dann nach dem Satz von Euler
1 = χ(1̄) = χ nϕ(q) = χ(n)ϕ(q) ,
(5.1)
mit der Eulerschen ϕ-Funktion ϕ(q) := #{1 ≤ a ≤ q | ggT(a, q) = 1}. Ein Beispiel
für einen Charakter ist das Kronecker-Symbol (siehe Definition 5.7). Auf der Menge
{n : ggT(n, q) = 1}
hat χ die Periode q, jedoch kann es noch kürzere Perioden q 0 geben. Wir bezeichnen χ
als primitiven Charakter, falls q = q 0 gilt. Jedem Charakter χ lässt sich eine Dirichlet-LReihe
L(s, χ) =
∞
X
χ(n)n−s
(5.2)
n=1
zuordnen. Wegen |χ(n)| ≤ 1 (vgl.(5.1)) konvergiert die Reihe für Re s > 1 absolut und
wir erhalten die Dirichlet-L-Funktion zu χ. Für den trivialen Charakter χ0 (n) ≡ 1 ergibt
sich die Riemannsche Zetafunktion. Eine Dirichlet-L-Reihe besitzt eine Darstellung als
Eulerprodukt, sie folgt aus der strengen Multiplikativität von χ(n) und ist gegeben
durch
Y
1
L(s, χ) =
.
−s
p prim 1 − χ(p)p
Anhand der Produktdarstellung sieht man leicht ein, dass L(s, χ) 6= 0 für σ > 1.
28
5.2. Definition und grundlegende Eigenschaften von ζK (s)
5.2 Definition und grundlegende Eigenschaften von ζK (s)
Im Falle allgemeiner Zahlkörper benötigen wir eine verallgemeinerte Form der Riemannschen Zetafunktion.
Definition 5.4. Sei K ein Zahlkörper. Die Dedekindsche Zetafunktion von K ist dann
für σ > 1 definiert über die Dirichletreihe
ζK (s) :=
X
N a−s .
a
Dabei wird die Summe über alle von Null verschiedenen ganzen Ideale a von OK gebildet.
Man sieht leicht ein, dass im Fall K = Q die Dedekindsche Zetafunktion und die
Riemannsche Zetafunktion übereinstimmen. Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung (vgl. Satz 5.2) und der Multiplikativität der Norm ergibt sich die Produktdarstellung
−1
Y
ζK (s) =
1 − N p−s
p
für Res > 1. Hierbei läuft das Produkt über alle Primideale p. Ein Beweis findet sich in
[24].
√
Im Folgenden betrachten wir stets quadratische Zahlkörper, also K = Q( d). Wir wollen
die Dedekindsche Zetafunktion als Produkt der Riemannschen Zetafunktion mit einer
Dririchlet-L-Funktion
darstellen. Dafür untersuchen wir zunächst, wie sich Primzahlen in
√
Q( d) in Primideale zerlegen lassen.
√
Definition 5.5. Eine Primzahl p heißt in Q( d)
(i) zerlegt, d.h. (p) = pp0 mit zwei nicht assoziierten Primidealen p, p0 und
N p = N p0 = p
(ii) verzweigt, d.h. (p) = p2 für ein Primideal p mit N p = p
(iii) träge, d.h. (p) = p für ein Primideal p mit N p = p2 .
Der jeweilige Zerlegungstyp lässt sich mit Hilfe des Legendre-Symbols berechnen. Vorher
führen wir noch den Begriff der Diskriminante und das Kronecker-Symbol ein.
Definition 5.6. Die Zahl
D=

4d,
d,
falls d ≡ 2, 3 mod 4,
falls d ≡ 1 mod 4
√
heißt die Diskriminante des quadratischen Zahlkörpers Q( d).
29
5.2. Definition und grundlegende Eigenschaften von ζK (s)
Definition 5.7. Sei m ∈ N und D eine Fundamentaldiskriminante, d.h. eine ganze Zahl
mit
D ≡ 1 mod 4, D quadratfrei
oder
D ≡ 0 mod 4,
D
D
quadratfrei , ≡ 2, 3 mod 4.
4
4
Für eine Fundamentaldiskriminante D definieren wir das Kronecker-Symbol als einen
Charakter χD : N → Z mit
(i) χD (p) =
(ii)
D
p
für p 6= 2 und
D
p
χD (2) =
das Jacobi-Symbol


0

für D ≡ 0
für D ≡ 1
für D ≡ 5
1
−1



(iii) χD (m) =
D
m
:=
ν(m;p)
Q
p|m
D
p
mit m =
Q
p
mod 4
mod 8
mod 8
pν(m;p) .
Das Produkt in (iii) geht über alle Primteiler p von m. Es gilt genau dann
m und D nicht teilerfremd sind, des Weiteren ist χD streng multplikativ.
Satz 5.8. (Zerlegungsgesetz für Primzahlen)
(i) Für eine ungerade Primzahl p gilt
p ist







träge
⇔
zerlegt
verzweigt
D
p
!
=



−1



+1 ,
0
(ii) für die Primzahl 2 gilt
2 ist









träge


⇔D≡
zerlegt



verzweigt
Beweis. Ein Beweis findet sich in [30].
30
5
1
0
mod 8
mod 8
mod 2
.
D
m
= 0, wenn
5.3. Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζK (s) und Dirichlet L-Funktionen
Damit lässt sich die Dedekindsche Zetafunktion in quadratischen Zahlkörpern wie folgt
faktorisieren:
ζQ(√d)(s) =
Y
=
Y
1 − N p−s
−1
p
1 − p−s
−1
Y
·
1 − p−s
p:( D
=+1
p)
p|D
−2
Y
·
1 − p−2s
−1
=−1
p:( D
p)
= ζ(s)L(s, χD );
(5.3)
χD ist ein Charakter und entspricht dem Kronecker-Symbol aus Definition 5.7.
5.3 Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζK (s)
und Dirichlet L-Funktionen
Korollar 4.5 und Gleichung (5.3) legen nahe, Dirichlet L-Funktionen auf Gleichverteilung
zu untersuchen. Hierbei gehen wir wie im Beweis zu Satz 3.1 vor, da die dort gezeigten
Resultate auch in allgemeiner Form für Dirichlet L-Funktionen gelten. Sei χ im Folgenden
stets ein primitiver Charakter mod q. Bezeichne Nχ (T ) die Anzahl der nicht-trivialen
Nullstellen ρχ = βχ + iγχ (entsprechend der Vielfachheiten) von L(s, χ) mit |γχ | ≤ T .
Dann ergibt sich eine zur Riemann-von Mangoldt Formel (2.4) für ζ(s) analoge Darstellung
für Dirichlet L-Funktionen
Nχ (T ) =
qT
T
log
+ O(log qT ),
π
2πe
(5.4)
vgl.[28]. Hierbei werden auch die Nullstellen in der unteren Halbebene mitgezählt,
da die Nullstellen von L(s, χ) im Falle eines nicht reellen Charakters nicht symmetrisch zur reellen Achse liegen. Wir wollen zeigen, dass die Imaginärteile der Nullstellen
von L(s, χ) gleichverteilt modulo Eins sind. Hierfür benötigen wir eine Abschätzung
für
Z1
X 1
β−
=
Nχ (σ, T )dσ,
2
0≤γ≤T,
1/2
β> 21
wobei Nχ (σ, T ) die Anzahl der nicht-trivialen Nullstellen ρχ = βχ + iγχ von L(s, χ) mit
|γχ | ≤ T , β ≥ σ bezeichnet. Dies führt uns zu
Lemma 5.9. Für T → ∞ ist
Z1
1
2
T
1 Z
Nχ (σ, T )dσ =
log
2π
1
L
2
0
Beweis. Siehe Lemma 5 in [1].
31
+ it, χ dt + O(log
T ).
5.3. Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζK (s) und Dirichlet L-Funktionen
Akbary und Murty [1] zeigten, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen von LFunktionen gleichverteilt modulo Eins sind falls ein k > 0 existiert, sodass
T 2k
1 Z 1
+ it dt exp(ψ(T )),
F
T
2
(5.5)
0
mit einer beliebigen positiven reellen Funktion ψ(T ) mit ψ(T ) = o(log T ). In diesem Kapitel zeigen wir (5.5) für den Spezialfall F (s) = L(s, χ). Tatsächlich werden solche L(s,χ) insbesondere
von Akbary und Murty [1] behandelt. Für Integrale
RT
1
2k
der Form 0 |L 2 + it, χ | dt existieren einige Abschätzungen, u.a. zeigte Motohashi
[22]
T 2
1
1 Z dt = O(log T ).
L
+
it,
χ
T
2
(5.6)
0
Hiermit folgt
Satz 5.10. Für die Nullstellen ρ = β + iγ von L(s, χ) gilt
X β−
|γ|≤T,
β> 21
1
= o(Nχ (T ))
2
T loglog T.
Beweis. Mit Lemma 5.9 und der Jensenschen Ungleichung (vgl. [17])
b

b

1 Z
1 Z
log f (t)dt ≤ log 
f (t)dt
b−a a
b−a a
erhalten wir
X |γ|≤T,
β> 12
Z1
1
β−
=
Nχ (σ, T )dσ
2
1/2
T
1
1 Z
=
log L( + it, χ) dt + O(log T )
2π
2
0
T
2k
1
1 Z
=
log L( + it, χ) dt + O(log T )
2π2k
2
0
2k
ZT 1
1
T
L( + it, χ) dt + O(log T ).
log 
≤
4kπ
T
2


0
32
5.3. Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζK (s) und Dirichlet L-Funktionen
Mit (5.6) erhalten wir
1
β−
T loglog T.
2
X |γ|≤T,
β> 12
Aus (5.4) folgt dann die Aussage.
M. R. Murty und V. K. Murty [23] zeigten eine Verallgemeinerung von Landaus Formel
(3.1) für Dirichlet L-Funktionen, nämlich
xρ = −
X
0≤γ≤T
T
ΛL (x) + O(log T ) für x > 1
2π
(5.7)
bzw.
1
T
x = − xΛL
+ O(log T ) für 0 < x < 1.
2π
x
0≤γ≤T
X
ρ
(5.8)
Hierbei gilt
ΛL (x) = λ(x)χ(x),
ein Beweis dazu findet sich in [15]. Damit kommen wir nun zum Hauptresultat dieses
Abschnitts.
Satz 5.11. Sei α ∈ R, α 6= 0. Dann ist die Folge (αγ), wobei γ die Imaginärteile der
dem Betrage nach geordneten Nullstellen von L(s, χ) durchläuft, gleichverteilt modulo
Eins.
Beweis. Sei x = e2πmα , dann ist


X
X 1
x−1/2  X β+iγ
xiγ =
x
+
x1/2+iγ − xβ+iγ  .
Nχ (T ) |γ|≤T
N (T, χ) |γ|≤T
|γ|≤T
Für x > 1 ergibt sich wie in (3.3)
X x1/2+iγ − xβ+iγ xlog x
|γ|≤T
X β−
|γ|≤T
β> 12
1
.
2
Zusammen mit Landaus Formel für L-Funktionen (5.7) und (5.9) erhalten wir


X
X
1
1 
1 
T +

xiγ β−


Nχ (T ) |γ|≤T
Nχ (T ) 
2

|γ|≤T

β> 12
33

(5.9)
5.3. Gleichverteilung modulo Eins angewendet auf ζK (s) und Dirichlet L-Funktionen
und mit (3.4) und (5.4) folgt
X
1
loglog T
xiγ → 0 für T → ∞.
Nχ (T ) |γ|≤T
log T
Analog ergibt sich diese Abschätzung für x < 1 unter Verwendung von (5.8) anstelle von
(5.7). Die Aussage folgt dann mit dem Weyl Kriterium.
Als Folgerung ergibt sich wie gewünscht
Korollar 5.12. Sei K ein quadratischer Zahlkörper und α 6= 0 reell. Dann ist die
Folge (αγn ), wobei γn die Imaginärteile der dem Betrage nach geordneten nicht-trivialen
Nullstellen von ζK (s) durchläuft, gleichverteilt modulo Eins.
Beweis. Die Aussage folgt aus Satz 3.1, Korollar 4.5 und Satz 5.11.
34
6 Ausblick
Wir konnten zeigen, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen der Dedekindschen Zetafunktion ζK (s) für einen quadratischen Zahlkörper gleichverteilt modulo Eins
sind, da ζK (s) in diesem Fall in ein Produkt aus der Riemannschen Zetafunktion und einer
Dirichlet L-Funtion zerfällt. Es bestehen allgemeinere Resultate zu dieser Fragestellung.
Akbary und Murty [1] wiesen nach, dass Korollar 5.12 gilt falls K ein abelscher Zahlkörper ist, denn ζK (s) lässt sich in diesem Fall als Produkt von Dirichlet L-Funktionen
schreiben
Y
ζK (s) =
L(s, χ).
χ
Allgemeiner zeigten sie, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen von ζK
gleichverteilt sind für den Fall, dass K eine endliche abelsche Erweiterung eines quadratischen Zahlkörpers ist.
Zentraler Punkt für unsere Untersuchungen war Landaus Formel (4.1). Jakhlouti et al.
[13] wiesen eine Verallgemeinerung dieser Formel für Dirichlet L-Funktionen F , die eine
Darstellung als polyomielles Eulerprodukt besitzen nach
X
x
ρa
= αF (x) − xΛF
ρa =βa +iγa
0<γ<T
1
x
dF T
+ O(T 1/2+ ).
2π
Darauf aufbauend zeigten sie, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen a-Stellen gleichverteilt modulo Eins sind, falls für F ein Analogon zur Lindelöf Vermutung (siehe [32]
für eine Definition) gilt
1
F
+ it |t| für |t| → ∞.
2
Eine interessante Fragestellung wäre, ob sich der Fehlerterm in ihrer expliziten Formel
mit einer ähnlichen Idee wie im Beweis zu Satz 4.2 verbessern lässt.
35
Danksagung
Mein besonderer Dank gilt an dieser Stelle Herrn Professor Steuding
für seine ausgezeichnete Betreuung und seine hilfreichen Anregungen.
Bedanken möchte ich mich auch bei meinem Freund, der mich in jeglicher Hinsicht
während der Dauer meiner Masterarbeit unterstützt hat.
36
Literaturverzeichnis
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Montreal, Canada, March 1317, 2006, CRM Proceedings and Lecture Notes 46
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[17] K. Königsberger, Analysis I. Springer, Berlin-Heidelberg, 1990, 2. Auflage
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38
Literaturverzeichnis
[33] H. Weyl, Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math. Ann. 77 (1916),
313-352
39
Erklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Würzburg, den 27. März 2015
Katharina Schmid
40