0.1 E:Kombinatorik, die Kunst des gepflegten Zählens

0.1
E:Kombinatorik, die Kunst des gepflegten Zählens
In diesem Abschnitt werden wir ausschließlich Mengen mit endlich vielen Elementen betrachten. Wir bezeichnen mit #A die Anzahl der Elemente der Menge A.
0.1.1
Einfache Zählformeln
Satz: Für zwei Mengen A und B gilt:
#( A ∪ B) = #A + #B − #( A ∩ B)
Grund: Die Menge A ∪ B setzt sich aus den drei disjunkten (d.h. mit leerem Schnitt) Mengen
zusammen: A\( A ∩ B), A ∩ B, B\( A ∩ B) . Es ist ;
#( A ∪ B) = #( A\( A ∩ B)) + #( A ∩ B) + #( B\( A ∩ B)) =
#A − #( A ∩ B) + #( A ∩ B) + #B − #( A ∩ B) =
#A + #B − #( A ∩ B)
Definition: i) Für zwei Mengen (auch unendlich große) M und N ist das Kreuzprodukt M × N
definiert als Menge aller Paare, deren erster Eintrag ein Element aus M ist und deren zweiter
Eintrag ein Element aus N ist.
ii) Für Mengen M1 , . . . , Mn ist
M1 × . . . × Mn := {(m1 , . . . , mn )|mi ∈ Mi füri = 1 . . . n}
die Menge aller n−Tupel mit dem Eintrag an der i −ten Stelle in Mi .
iii) Für eine Menge M ist
Mn := |M × .{z
. . × M}
n−mal
Beispiel: Ist A = {1, 2, 3}und B = { x, y}, so ist
A × B = {(1, x ), (2, x ), (3, x ), (1, y), (2, y), (3, y)}
Satz: #( A × B) = #A · #B
Grund: Wählt man Element aus A an der ersten Stelle, so hat man #B viele Möglichkeiten für
die zweite Stelle. Da man das für jedes Element an der ersten Stelle machen kann, hat man
#A · #B viele Möglichkeiten.
Satz: #( M1 × . . . × Mn ) = ∏nk=1 #Mi
Beispiel: Die PIN einer EC-Karte besteht aus vier Ziffern 0 . . . 9. Es gibt also 10 · 10 · 10 · 10 =
10000 PINs.
Definition:Sei B:={0,1}. Eine binäres n−Tupel ist eine Element aus Bn .
Bemerkung: Binäre n−Tupel lassen sich leicht zählen. Es ist #Bn = 2n .
Satz: n Objekte lassen sich auf n! viele Weisen anordnen
Grund: Für die erste Position bestehen n Möglichkeiten, für die zweite n − 1 etc. Für die letzte
Position besteht nur eine Möglichkeit.
Insgesamt also n · (n − 1) · . . . · 1 = n!
0.1.2
Teilmengen
Definition: Die Menge aller Teilmengen einer Menge A wird mit P ( A) bezeichnet und heißt
Potenzmenge von A.
bf Beispiel: Ist A = { a, b, c}, so ist P ( A) = {∅, { a}, {b}, {c}, { a, b}, { a, c}, {c, b}, { a, b, c}}
Satz: Jede n−elementige Menge hat genau 2n Teilmengen.
Grund: Wir nummerieren die Elemente der Menge M beliebig: M = {m1 , m2 , . . . , mn }
Sei M0 eine Teilmenge von M. Wir ordnen der Teilmenge M0 wie folgt ein binäre n−Tupel zu:
(b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Bn mit
(
1 falls mi ∈ M0
bi =
0 falls mi ∈
/ M0
Umkehrt bestimmt so auch jedes binäre n−Tupel eine Teilmenge von M. Zwei binäre n−Tupel
sind genau dann gleich, wenn die so zugeordneten Teilmengen gleich sind. Teilmengen von M
gibt es aber 2n viele. Definition: Die Anzahl der k −elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen wird mit
n
k
bezeichnet und heißt Binomialkoeffizient.
Satz:
n
n
(1 + x ) =
∑
k =0
n
k
xk
Grund: Es ist (1 + x )n = (1 + x )(1 + x ) · . . . · (1 + x ). Zum Ausmultiplizieren wählt man aus jedem Faktor einmal eine 1 oder ein x. Wir betrachten wieder das binäre n−Tupel (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈
Bn mit
(
1 falls im i − ten Faktor xgewählt wurde
bi =
0 falls im i − ten Faktor 1gewählt wurde
Um also x k zu erhalten, muß man also genau k −mal x ausgewählt haben. Also muß das binäre
n−Tupel genau k Einsen haben. Dies entspricht
aber (s.o.) einer k −elementigen Teilmenge einer
n
n−elementigen Menge. Also gibt es
viele.
k
Allgemeiner binomischer Satz:
n n k n−k
n
( x + y) = ∑
x y
k
k =0
Grund: Für y 6= 0 gilt
yn (1 + yx )n
=
Gleichung trivialerweise richtig. Satz:
yn
n
∑nk=0 ( k )
n
k
=
k x
y
n!
(n − k)!k!
= ∑nk=0 (nk) x k yn−k . Ist y = 0, so ist die
Grund: Es sei M0 ⊂ M eine k −elementige Teilmenge einer n−elementigen Menge. Wir ordnen
die Elemente von M0 beliebig an:
M 0 = { m1 , . . . , m k }
Da Elemente in einer Menge nicht mehrfach vorkommen, gibt es für m1 n Möglichkeiten, für
m2 (n − 1) Möglichkeiten und schließlich für mk (n − k + 1) Möglichkeiten. Insgesamt also
n · ( n − 1) · . . . · ( n − k + 1) =
n!
(n − k)!
Da bei Mengen die Reihenfolge irrelevant ist, ergibt sich
n
k
=
n!
(n−k)!
k!
=
n!
(n − k)!k!
Beispiel: Beim Samstagslotto werden 6 Kugeln aus 49 gezogen. Die Kugeln werden nicht zurückgelegt, die Reihenfolge ist irrelevant. Es wird also eine 6−elementige Teilmenge aus einer
49−elementigen gezogen. Davon gibt es
49
= 13983816
6
viele. Die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige ist also ca. 1 zu 14 Millionen.
Satz: Die Anzahl der ungeordneten Auswahlen mit Wiederholung von k Objekten aus einer
Menge von n Objekten ist
n+k−1
k
Grund: Wir konstruieren eine eineindeutige Zuordnung (d.h. eine bijektive Abbildung) zwischen
i) allen ungeordneten Auswahlen mit Wiederholung von k Objekten
ii) der Menge aller binären (n + k − 1)−Tupel mit genau k Einsen
n
Wir hatten gesehen, daß die Anzahl aller binären n−Tupel mit genau k Einsen
ist.
k
n+k−1
Die Anzahl aller binären (n + k − 1)−Tupel mit genau k Einsen ist also
k
Nun zur Zuordnung. Es sei M = {m1 , m2 , . . . , mn }. Wir betrachten k −Tupel in Mk . In diesem
k −Tupel sortieren wir die Objekte m1 nach ganz vorne, m2 dahinter usw. Zwischen die einzelnen Typen setzen wir jeweils eine 0 (gewissermaßen als Trennzeichen).
Beispiel: (m1 , m1 , 0, m2 , m2 , m2 , 0, 0, m4 ) ∈ {m1 , m2 , m3 , m4 }9
Nun ersetzen wir die Objekte durch Einsen, im Beispiel ergibt sich also:
(1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1)
d.h. also Blöcke von Einsen entsprechen Objekten desselben Typs
Nullen entsprechen Trennzeichen zwischen Objekten verschiedenen Typs
Da man n − 1 Trennzeichen braucht um n Objekte zu trennen, hat jedes solche Tupel genau n − 1
Nullen. Da k Objekte ausgewählt werde, hat dieses Tupel genau k Einsen. Speziell handelt es
sich also um ein n + k − 1−Tupel. Wir zählen also die Anzahl der n + k − 1−Tupel mit genau k
Einsen.
Die Ergebnisse werden häufig in der folgenden Form tabellarisch zusammengefaßt:
ohne Ber. der
mit Ber. der
Reihenfolge
Reihenfolge
n
n!
ohne Zurückl.
=
(
n
−
)!
k
k
n
· k!
k
n+k−1
mit Zurückl.
nk
k