Ergänzungen zum Käferbuch

Ergänzungen zum Käferbuch
René Bartsch
(Fassung von 2016-07-18- 000:10 )
Inhalt
3 Einige topologische Konstruktionen
3.99 Neue Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.100Lösungsvorschläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
5 Kompaktheit
5.98 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.98.1 Die Stone-Čech-Kompaktifizierung als maximale Hausdorff’sche Kompaktifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.98.2 Topologischer Ascoli-Satz für relative Kompaktheit . . . . . . . . . . . .
5.99 Neue Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.100Lösungsvorschläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
1
4
11
18
21
Kapitel 3
Einige topologische Konstruktionen
3.99
Neue Übungsaufgaben
Aufgabe 3.A.01.
Sei X eine Menge
Q mit mindestens zwei
Elementen, ausgerüstet mit diskreter Topologie δ. Sei ferner X Z = i∈Z (X, δ) ausgestattet
mit Produkttopologie. Untersuche, ob (in Analogie zur Lage bei der Ausrüstung von Bild- und
Urbildraum mit diskreter Topologie) auch in dieser Konstellation jede Funktion f : X Z → X Z
stetig ist.
2
KAPITEL 3. EINIGE TOPOLOGISCHE KONSTRUKTIONEN
3.100
3
Lösungsvorschläge
Lösungsvorschlag 3.A.01.:
Bei einem einelementigen X kann natürlich nicht viel schief gehen. Ansonsten nehmen wir
exemplarisch X := {0, 1},
(ai )i∈Z ; falls ai = 1 für unendlich viele i
Z
Z
f : X → X : f ((ai )i∈Z ) :=
(0)i∈Z ; sonst
und betrachten das Urbild von O := {(ai )i∈Z | a0 = 1}. Es sollte Einigkeit darüber bestehen,
daß O im Sinne der Produkttopologie offen ist. Das Urbild f −1 (O) besteht aus genau denjenigen Folgen (ai )i∈Z , die an der Stelle i = 0 und an unendlich vielen weiteren Stellen den Wert 1
annehmen. Jedes Element der Standard-Basis der Produkttopologie enthält aber notgedrungen
auch solche Folgen, die nur an endlich vielen Stellen den Wert 1 annehmen. Daher ist f −1 (O)
nicht als Vereinigung von Basiselementen darstellbar und somit nicht offen in der Produkttopologie. Mithin ist f nicht stetig.
EDIT - einfachere Variante:
Sei wieder X := {0, 1}, sei p := (0)i∈Z und O := {(ai )i∈Z | a0 = 1}, so daß p 6∈ O gilt. Setze
(1)i∈Z ; falls (ai )i∈Z = p
Z
Z
g : X → X : g((ai )i∈Z ) :=
p
; sonst
Damit haben wir g −1 (O) = {p}. Natürlich ist auch hier zu begründen, daß O offen ist, aber
{p} nicht.
Kapitel 5
Kompaktheit
5.98
Ergänzungen
5.98.1
Die Stone-Čech-Kompaktifizierung als maximale Hausdorff ’sche
Kompaktifizierung
Wir schließen an das Einbettungslemma 5.4.6 an. Da wir sie jetzt öfter mal brauchen, geben
wir der Konstruktion der Abbildung aus dem Einbettungslemma ein eigenes Symbol:
Ist X eine Menge, (Yi )i∈I eine Familie von Mengen und (fi Q
: X → Yi )i∈I eine zugehörige Familie
v on Abbildungen. Dann sei die Abbildung ∆i∈I fi : X → i∈I Yi definiert durch
(∆i∈I fi ) (x) := (fi (x))i∈I .
Wir nennen ∆i∈I fi die aus den fi , i ∈ I gebildete Diagonalabbildung.
Sind nur zwei Abbildungen f1 , f2 an der Konstruktion beteiligt, so schreiben wir statt ∆i∈{1,2} fi
lieber f1Mf2 .
Jetzt nähern wir uns der angestrebten Kompaktifizierung erst einmal auf eine recht abstrakte
Weise: wir wollen zeigen, daß es für jeden Tychonoff-Raum eine in gewissem Sinne“ maximale
”
T2 -Kompaktifizierung gibt. Dazu müssen wir im Prinzip drei Dinge erledigen:
• Zeigen, daß es überhaupt zu jedem Tychonoff-Raum eine Kompaktifizierung gibt, die T2
erfüllt.
• Rauskriegen, in welchem gewissen Sinne“ sich T2 -Kompaktifizierungen ein und desselben
”
Tychonoff-Raumes vergleichen lassen, was also maximal“ bedeuten könnte. Wir werden
”
dazu eine reflexive Halbordnung auf Äquivalenzklassen von Kompaktifizierungen basteln.
• Zeigen, daß es bezüglich unsrer Halbordnung tatsächlich ein maximales Element gibt vorzugsweise wollen wir das Zorn’sche Lemma anwenden.
Los geht’s mit dem ersten Auftrag.
4
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
5
Definition 5.98.1. Sei (X, τ ) ein Tychonoff-Raum. Mit C(X, [0, 1]) bezeichnen wir die Menge
aller stetigen Abbildungen von X in das mit euklidischer Topologie versehene Einheitsintervall.
Nun sei
Y
[0, 1]C(X,[0,1]) =
[0, 1]g
g∈C(X,[0,1])
(wobei für alle g ∈ C(X, [0, 1]) mit [0, 1]g das Intervall [0, 1] mit euklidischer Topologie gemeint
sein soll) die Familie aller Abbildungen von C(X, [0, 1]) nach [0, 1], welche wir mit Produkttopologie (= Topologie der punktweisen Konvergenz) versehen.
Jetzt ordnen wir jedem x ∈ X die Abbildung
hx : C(X, [0, 1]) → [0, 1] : hx (g) := g(x)
Q
zu. Wir können hx auch als Tupel (Element des Produktes g∈C(X,[0,1]) [0, 1]g ) schreiben: hx =
(g(x))g∈C(X,[0,1]) .
Diese Zuordnung ist offenbar eine Abbildung von X in [0, 1]C(X,[0,1]) , wir bezeichnen sie mit
eX ,
eX : X → [0, 1]C(X,[0,1]) : eX (x) := hx = (g(x))g∈C(X,[0,1]) .
Lemma 5.98.2. Für jeden Tychonoff-Raum (X, τ ) ist die Abbildung
Y
eX : X →
[0, 1]g : eX (x) := (g(x))g∈C(X,[0,1])
g∈C(X,[0,1])
ein Homöomorphismus auf ihr Bild.
Beweis: Dieses sichert gerade unser voriges Einbettungslemma 5.4.6: für jedes x ∈ X haben
wir ja offenbar eX (x) = (g(x))g∈C(X,[0,1]) , so daß unser eX just so gebildet ist, wie die Funktion
f im Einbettungslemma, wobei I := C(X, [0, 1]) und fg := g, g ∈ C(X, [0, 1]) gewählt ist.
Demzufolge ist eX zunächst einmal stetig laut 5.4.6(1). Da die einpunktigen Mengen in (X, τ )
abgeschlossen sind und es sich auch noch um einen vollständig regulären Raum handelt, gibt es
zu je zwei verschiedenen Elementen x1 , x2 ∈ X eine stetige Funktion g ∈ C(X, [0, 1]) mit g(x1 ) =
0 und g(x2 ) = 1, also ist eX injektiv nach 5.4.6(2). Zudem haben wir für jede abgeschlossene
Teilmenge A ⊆ X und jedes Element x ∈ X \ A wegen der vollständigen Regularität auch ein
g ∈ C(X, [0, 1]) mit g(x) = 0 und g(A) ⊆ {1}, also jedenfalls g(x) 6∈ g(A) ⊆ {1} = {1}. Daher
ist eX als Abbildung von X nach eX (X) auch offen, laut 5.4.6(3).
Korollar 5.98.3. Ist (X, τ ) ein Tychonoff-Raum, dann ist eX (X) mit
Y
eX : X →
[0, 1]g : eX (x) := (g(x))g∈C(X,[0,1])
g∈C(X,[0,1])
eine Kompaktifizierung von (X, τ ) und ein T2 -Raum.
Q
Beweis: Die [0, 1]g mit euklidischer Topologie sind kompakt und T2 , also ihr Produkt g∈C(X,[0,1]) [0, 1]g
laut 5.1.9 bzw. 4.2.7 ebenfalls. Als abgeschlossene Teilmenge davon ist eX (X) somit auch kompakt und natürlich T2 . Und selbstverfreilich ist das laut 5.98.2 zu X homöomorphe Bild eX (X)
dicht in eX (X).
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
6
Wir betrachten nun etwas genauer die Zutaten“ einer Kompaktifizierung von (X, τ ):
”
Wir haben genaugenommmen immer ein Paar (c, c(X)) aus einer Einbettungsabbildung c : X →
Y und einem kompakten, Hausdorff’schen Bildraum Y = c(X). Wir bezeichnen so ein Paar
hier kurz mit cX.h1i
In einem Anflug von Überladung der Notation wird gelegentlich sowohl das Paar (c, c(X)) als
auch der Bildraum c(X) mit cX bezeichnet.
Haben wir nun einmal eine Kompaktifizierung (c, c(X)) gefunden, so liefert offenbar auch jeder
zu c(X) homöomorphe Raum in naheliegender Weise eine weitere Kompaktifizierung. Es wäre
müßig, zwischen diesen zu unterscheiden.
Definition 5.98.4. Zwei T2 -Kompaktifizierungen (c1 , c1 (X)) und (c2 , c2 (X)) eines Raumes
(X, τ ) nennen wir äquivalent genau dann, wenn ein Homöomorphismus f : c1 X → c2 X existiert mit c2 = f ◦ c1 .
X
c1
|
c1 (X)
o
c2
f −1
f
"
/ c2 (X)
Wir beachten hierbei, daß für die Äquivalenz von Kompaktifizierungen (c1 , c1 (X)) und (c2 , c2 (X))
nicht nur die Bildräume c1 (X) und c2 (X) homöomorph sein müssen, sondern auch die Art der
Einbettung vermittels desselben Homöomorphismus korrespondieren muß!h2i
Unser Plan ist natürlich, Klassen äquivalenter Kompaktifizierungen zu betrachten.
Doch oh Schreck - es gibt ein Problem: es entstehen mengentheoretisch echte Klassen (Unmengen). Und mit denen können wir nicht ganz so sorglos spielen wie mit Mengen. Wir wollen
sie insbesondere als Elemente unter einer Halbordnung betrachten, aber genau das lassen sich
Unmengen nicht gern gefallen. Wir könnten jetzt unsere Mengenlehre modifizieren. Aber wir
kommen auch anders zurecht:
Lemma 5.98.5. Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und (Y, σ) eine Kompaktifizierung von
(X, τ ) derart, daß (Y, σ) auch ein T2 -Raum ist. Dann gilt |Y | ≤ |P(P(X))|.
h1i
Darin steckt - recht komprimiert - fast alles an Information, was hier eine Rolle spielt: kompaktifiziert
wird ein Raum mit Grundmenge X (die Angabe der Topologie τ wird in dieser Notation unterdrückt; in den
allermeisten Fällen [und jedenfalls bei uns in diesem Abschnitt] dürfte aber jeweils nur eine Topologie auf X in
Rede stehen), indem er durch die Abbildung c in einen (bislang namenlosen) kompakten Raum abgebildet wird,
in dem das Bild c(X) aber jedenfalls dicht liegt und den man daher auch einfach mit c(X) bezeichnen kann.
Wir beachten den feinen Unterschied zwischen c(X) und
cX. h2i
So können wir beispielsweise den Raum X := 0, 21 ∪ 12 , 1 (mit euklidischer Topologie versehen) einerseits
durch die Abbildung c1 : X → [0, 1] : c1 (x) := x dicht in das
euklidische Intervall [0, 1] einbetten und
kompakte
x + 12 ; x < 21
.
andrerseits durch die Abbildung c2 : X → [0, 1] : c2 (x) :=
x − 12 ; x > 21
Man überlegt sich leicht (→ Übung!), daß c1 und c2 tatsächlich homöomorphe Einbettungen sind, daß natürlich
[0, 1] homöomorph zu sich selbst ist - daß es aber keine stetige Abbildung f von [0, 1] nach [0, 1] gibt, die
c2 = f ◦ c1 erfüllt, erst recht also keinen derartigen Homöomorphismus.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
7
Beweis: Wir identifizieren X mit seinem homöomorphen Bild in Y .
gibt es zu jedem Punkt y ∈ Y einen Ultrafilter ϕy auf X, der gegen
also nicht mehr“ Elemente in Y geben als Ultrafilter auf X, d.h. es
”
Abbbildung κ : U (X) → Y bzw. eine injektive Abbildung d : Y →
1.4.21
|Y | ≤ |U (X)| = |P(P(X))|.
Da X dicht in Y liegt,
y konvergiert. Es kann
existiert eine surjektive
U (X). Jedenfalls folgt
Damit ist unser mengentheoretisches Problem gelöst: für einen gegebenen Tychonoff-Raum
(X, τ ) nehmen wir uns eine beliebige hinreichend mächtige Menge Y (z.B. P(P(X)) selbst)
und wissen nun, daß jede Äquivalenzklasse von T2 -Kompaktifizierungen von X auch einen
Repräsentanten hat, dessen Grundmenge eine Teilmenge von Y ist. Wenn wir also fürderhin
nur mit Äquivalenzklassen von T2 -Kompaktifizierungen arbeiten, deren Grundmengen jeweils
Teilmengen von Y sind, erwischen wir also trotzdem immer noch alle überhaupt möglichen
Äquivalenzklassen.
Wir werden diese Restriktion im weiteren Verlauf nicht mehr immerzu ausdrücklich erwähnen.
Definition 5.98.6. Sind (c1 , c1 (X)), (c2 , c2 (X)) Hausdorff’sche Kompaktifizierungen des Raumes (X, τ ), so nennen wir (c1 , c1 (X)) größer als (c2 , c2 (X)) (in Zeichen: (c2 , c2 (X)) ≤ (c1 , c1 (X)),
bzw. kurz c2 X ≤ c1 X) genau dann, wenn eine stetige Abbildung f : c1 (X) → c2 (X) existiert
mit f ◦ c1 = c2 .
X
c1
c2
|
c1 (X)
"
/ c2 (X)
f
Wir rechnen schnell nach, daß diese Relation reflexiv und transitiv ist: Reflexivität: (c1 , c1 (X)) ≤
(c1 , c1 (X)) ist mit f := 11c1 (X) klar.
Transitivität: Sei (c3 , c3 (X)) ≤ (c2 , c2 (X)) und (c2 , c2 (X)) ≤ (c1 , c1 (X)), dann existieren
Homöomorphismen f : c1 (X) → c2 (X) und g : c2 (X) → c3 (X) mit c2 = f ◦ c1 und c3 = g ◦ c2 ,
(5.1)
X
c1
c1 (X)
v
f
c2
/ c2 (X)
c3
g
(
/ c3 (X)
also auch c3 = (g ◦ f ) ◦ c1 und damit (c3 , c3 (X)) ≤ (c1 , c1 (X)).
Freilich ist diese Relation eher nicht antisymmetrisch. Aber wir haben:
Lemma 5.98.7. Zwei Hausdorff ’sche Kompaktifizierungen c1 X, c2 X eines Raumes (X, τ ) sind
genau dann äquivalent, wenn c1 X ≤ c2 X und c2 X ≤ c1 X gelten.
Beweis: Wenn c1 X und c2 X äquivalent sind, existiert also ein Homöomorphismus f : c1 (X) →
c2 (X) mit c2 = f ◦ c1 , somit haben wir sofort c1 X ≥ c2 X. Für den inversen Homöomorphismus
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
8
f −1 gilt dann natürlich f −1 ◦ c2 = c2 , so daß c1 X ≤ c2 X folgt.
Gelten andrerseits c1 X ≤ c2 X und c2 X ≤ c1 X, so haben wir jedenfalls stetige Abbildungen
f : c1 (X) → c2 (X) und g : c2 (X) → c1 (X) derart, daß c2 = f ◦ c1 und c1 = g ◦ c2 gelten. Daraus
folgt nun
c1 = g ◦ c2
= g ◦ (f ◦ c1 )
= (g ◦ f ) ◦ c1 .
Daraus folgt, daß g ◦ f auf c1 (X) wie die Identität wirkt, d.h. (g ◦ f )|c1 (X) = 11c1 (X) . Nun ist die
Identität 11c1 (X) eine stetige Abbildung von c1 (X) nach c1 (X) - da sie mit g ◦ f auf der dichten
Teilmenge c1 (X) von c1 (X) übereinstimmt, folgt mit Lemma 4.2.4 nun g ◦ f = 11c1 (X) .
X
c1
|
c1 (X)
o
c2
g
f
"
/ c2 (X)
Analog erhalten wir c2 = f ◦ g ◦ c2 und daraus f ◦ g = 11c2 (X) .
Somit sind f und g zueinander inverse stetige Bijektionen, d.h. Homöomorphismen.
Korollar 5.98.8. Ist (X, τ ) ein Tychonoff-Raum, und bezeichnet [cX] die Äquivalenzklasse
aller zur T2 -Kompaktifizierung cX äquivalenten T2 -Kompaktifizierungen von X, dann ist durch
[c1 X] ≤ [c2 X] :⇐⇒ c1 X ≤ c2 X
eine reflexive Halbordnung gegeben auf den Äquivalenzklassen der T2 -Kompaktifizierungen von
X.
Wir beachten hier noch einmal kurz, daß wir nur von solchen Kompaktifizierungen reden, deren
Grundmengen alle in ein und derselben fest gewählten Menge Teilmengen sind!
Beweis: Wir müssen eigentlich nur klären, daß das überhaupt wohldefiniert ist, d.h. wenn für
irgendwelche Repräsentanten c1 X von [c1 X] und c2 X von [c2 X] gilt c1 X ≤ c2 X, dann muß
für alle Repräsentanten d1 X von [c1 X] und d2 X von [c2 X] ebenfalls d1 X ≤ d2 X gelten. Nun
sichert aber Lemma 5.98.7 gerade d1 X ≤ c1 X und c2 X ≤ d2 X, so daß mit der bei (5.1) bereits
nachgerechneten Transitivität nun auch d1 ≤ d2 folgt.
Reflexivität ist anhand der identischen Abbildungen 11 : c(X) → c(X) klar, Transitivität hatten
wir auch schon - und die Antisymmetrie sichert gerade wieder Lemma 5.98.7.
Lemma 5.98.9. Sei (X, τ ) ein Tychonoff-Raum, sei (Yi , σi )i∈I eine Familie kompakter HausdorffRäume, (fi )i∈I eine zugehörige Familie stetiger Abbildungen fi : X → Yi . Für mindestens ein
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
9
Q
i0 ∈ I sei (fi0 , Yi0 ) eine T2 -Kompaktifizierung (dabei sei i∈I Yi mit Produkttopologie ausgestattet). Dann ist auch
Y
∆i∈I fi : X →
Yi : (∆i∈I fi ) (x) = (fi (x))i∈I
i∈I
mit dem Bildraum (∆i∈I fi ) (X) eine Kompaktifizierung.
Q
Beweis: Da alle Yi kompakte Hausdorff-Räume sind, ist auch i∈I Yi ein kompakter HausdorffRaum und somit ist als abgeschlossener Teilraum auch (∆i∈I fi ) (X) kompakt - und natürlich
hausdorff’sch. Daß das Bild von X darin dicht ist, ist auch klar.
Nun ist ∆i∈I fi injektiv, weil bereits fi0 es ist. Zudem ist ∆i∈I fi stetig laut Einbettungslemma
5.4.6??.
Sei nun A ⊆ X abgeschlossen und p ∈ X \ A. Da fi0 ein Homöomorphismus auf’s Bild ist, ist
dann auch fi0 (A) abgeschlossen in fi0 (X) und natürlich gilt fi0 (p) 6∈ fQ
i0 (A), weil fi0 injektiv
ist. Daß fi0 (A) abgeschlossen in fi0 (X) ist, bedeutet ja, daß es eine in i∈I Yi abgeschlossene
Menge B gibt mit fi0 (A) = B ∩ fi0 (X). da fi0 (p) natürlich in fi0 (X) liegt, aber
Q nicht in fi0 (A),
muß fi0 (p) 6∈ B gelten - dann liegt aber fi0 (p) auch definitiv nicht in dem in i∈I Yi gebildeten
Abschluß von fi0 (A), denn der läge innerhalb von B. Mit unserem fi0 ist also stets die in
5.4.6?? geforderte Voraussetzung gewährleistet - und damit ist nun ∆i∈I fi tatsächlich wieder
eine Einbettung.
Satz 5.98.10 (Stone-Čech - abstrakt). Ist (X, τ ) ein Tychonoff-Raum, dann gibt es in der
Familie aller Äquivalenzklassen von T2 -Kompaktifizierungen von X eine global maximale Klasse
[βX]. Für jeden ihrer Repräsentanten βX gelten:
(1) Für jeden kompakten Hausdorff-Raum (Y, σ) und jede stetige Abbildung f : X → Y gibt
es genau eine stetige Abbildung F : βX → Y mit f = F ◦ β.
f
(X, τ ) ...........................................(Y,
σ)
....
β
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
....
...
...
...
...
...
.
..
...
...
...
...
.
.
..
...
...
...
...
F
β(X)
(5.2)
(2) βX ist durch die Eigenschaft (1) bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmt, d.h. ist
αX eine Hausdorff ’sche Kompaktifizierung von X derart, daß zu jeder stetigen Abbildung
g : X → Z in einen kompakten Hausdorff-Raum (Z, ζ) eine stetige Abbildung G : αX →
Z mit g = G ◦ α existiert, dann ist αX äquivalent zu βX, d.h. insbesondere α(X)
homöomorph zu β(X).
(3) Jede T2 -Kompaktifizierung (c, c(X)) von (X, τ ) ist ein Quotient von βX.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
10
Beweis: Um zu zeigen, daß es eine maximale Klasse gibt, wollen wir das Zorn’sche Lemma anwenden. Dazu müssen wir zeigen, daß jede total geordnete Familie von T2 -Kompaktifizierungen
eine obere Schranke hat. Wir zeigen sogar etwas mehr: jede nichtleere Familie von T2 -Kompaktifizierungen
unseres Raumes (X, τ ) hat eine obere Schranke.
Sei dazu (ci , ci (X))i∈I irgendeine Familie von Kompaktifizierungen von X. Dann ist nach
Lemma 5.98.9 auch (∆i∈I fi , (∆i∈I fi ) (X))
Q eine Kompaktifizierung von X. Zudem haben wir
mit den kanonischen Projektionen pk : i∈I ci (X) : pk ((yi )i∈I ) := yk jeweils pk ◦ ∆i∈I fi = ck ,
also (ck , ck (X)) ≤ (∆i∈I fi , (∆i∈I fi ) (X)).
Nun stellen wir fest, daß wir das Zorn’sche Lemma an dieser Stelle gar nicht mehr brauchen,
denn wir können als Familie (ci , ci (X))i∈I einfach gleich alle T2 -Kompaktifizierungen von (X, τ )
nehmenh3i .
Sei nun also (β, β(X)) ein Repräsentant unsrer maximalen Klasse.
(1) Sei (Y, σ) ein kompakter Hausdorff-Raum und f : X → Y stetig. Nach Lemma 5.98.9
ist nun (βMf, (βMf )(X)) eine Kompaktifizierung von X, so daß es wegen der Maximalität von
(β, β(X)) eine stetige Abbildung P : β(X) → (βMf )(X) gibt mit P ◦ β = βMf . Sei nun
pY : β(X) × Y → Y : pY ((b, y)) := y die Projektion von β(X) × Y auf Y . Dann haben wir
pY ◦(βMf ) = f und somit auch pY ◦P ◦ β = pY ◦(βMf ) = f . Wir setzen F := pY ◦P und haben
unsere gesuchte Abbildung. Die Eindeutigkeit derselben ergibt sich nun schlicht aus Satz 4.4.6.
(2) Sei so ein αX gegeben. Wir setzen für Z unsere maximale Kompaktifizierung βX ein und
erhalten nach Voraussetzung über α eine stetige Abbildung G : α(X) → β(X) mit β = G ◦ α,
also αX ≥ βX. Andrerseits ist βX maximal, d.h. αX ≤ βX. Somit ist laut Lemma 5.98.7
unser αX äquivalent zu βX.
(3) Nach (1) gibt es jedenfalls eine stetige Abbildung F : β(X) → c(X) mit F ◦ β = c. Das
bedeutet insbesondere F (β(X)) = c(X) und damit F (β(X)) ⊇ F (β(X)) = c(X). Freilich
ist β(X) kompakt, F stetig, also auch F (β(X)) kompakt und somit im Hausdorff-Raum c(X)
abgeschlossen, d.h. F (β(X)) = F (β(X)) ⊇ c(X), also ist F surjektiv.
Ist A eine abgeschlossene Teilmenge von β(X), dann ist A laut 5.1.2 auch kompakt, darum ist
F (A) ebenfalls kompakt, somit als Teilmenge des Hausdorff-Raumes c(X) laut 5.1.5 abgeschlossen.
Unser F ist also auch noch eine abgeschlossene Abbildung. Nun liefert 3.1.14, daß F eine Quotientenabbildung ist.
Jeder Repräsentant dieser maximalen Klasse heißt dann Stone-Čech-Kompaktifizierung von X.
Proposition 5.98.11. Sei (D, δ) ein unendlicher diskreter topologischer Raum. Dann gilt für
die Stone-Čech-Kompaktifizierung βD dieses diskreten Raumes
|βD| = |P(P(D))| .
h3i
Das heißt absolut nicht, daß wir hier ganz ohne eine Variation des Auswahlaxioms auskommen - eine solche
steckt in Gestalt des Tychonoff-Satzes ziemlich tief im Fundament unserer Argumentation.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
11
Beweis: Wir identifizieren wieder D mit seinem homöomorphen Bild in βD. Jeder Ultrafilter
ϕ auf D konvergiert wegen der Kompaktheit von βD gegen ein Element xϕ ∈ βD. Sind ϕ1 , ϕ2
verschiedene Ultrafilter auf D, so muß es eine Teilmenge A von D geben mit A ∈ ϕ1 und
D \ A ∈ ϕ2 . Nun ist die Abbildung
0 ; x∈A
f : D → [0, 1] : f (x) :=
1 ; x∈D\A
stetig, denn D ist ja mit diskreter Topologie δ ausgerüstet. Gemäß 5.98.10 (oder eben 5.4.8)
gibt es also eine stetige Fortsetzung F : βD → [0, 1]. Aus der Stetigkeit von F und der
Konvergenz unserer Ultrafilter folgt nun F (ϕ1 ) → F (xϕ1 ) sowie F (ϕ2 ) → F (xϕ2 ). Allerdings
•
•
haben wir wegen A ∈ ϕ1 natürlich F (ϕ1 ) = 0 und wegen D \ A ∈ ϕ2 haben wir F (ϕ2 ) = 1,
woraus unmittelbar F (xϕ1 ) = 0 6= 1 = F (xϕ2 ) folgt. Somit muß aber auch xϕ1 6= xϕ2 gelten.
Verschieden Ultrafilter auf D konvergieren also gegen verschiedene Elemente von βD. Also ist
die (wegen der Hausdorff-Eigenschaft von βD wohldefinierte) Abbildung ` : U (D) → βD :
1.4.21
`(ϕ) := xϕ injektiv, woraus wir |P(P(D))| = |U (D)| ≤ |βD| erhalten. Zusammen mit
Proposition ergibt das nun |βD| = |P(P(D))|.
5.98.2
Topologischer Ascoli-Satz für relative Kompaktheit
Wir wiederholen hier - der flüssigeren Lesbarkeit wegen - ein paar Definitionen und Sachverhalte,
die bereits in [0] auftauchen. Teilweise sind die Definitionen dabei etwas abgespeckt. Wir gehen
diesmal nicht den Weg über die stetigen Restriktionsabbildungen, sondern gehen den AscoliSatz sehr direkt (dafür nicht so schön verallgemeinerbar) mit Blick auf die kompakt-offene
Topologie an.
Definition 5.98.12. Ist X eine Menge, (Y, d) ein metrischer Raum und F ein Filter auf Y X ,
so sagen wir F konvergiert auf Y X gleichmäßig gegen f ∈ Y X genau dann, wenn
∀ε > 0 : ∃G ∈ F : ∀g ∈ G : ∀x ∈ X : d(f (x), g(x)) < ε
gilt.
Jeder gleichmäßig konvergente Filter konvergiert auch punktweise.
Die gleichmäßige Konvergenz wird durch eine Topologie beschrieben: Für ε > 0 sei
Sε := (f, g) ∈ Y X × Y X ∀x ∈ X : d(f (x), g(x)) < ε .
Dann ist
τu := O ⊆ Y X ∀f ∈ O : ∃ε > 0 : Sε (f ) ⊆ O
eine Topologie auf Y X und die Filterkonvergenz bezüglich τu ist genau die gleichmäßige Konvergenz.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
12
Definition 5.98.13. Sei X eine Menge und (Y, d) ein metrischer Raum. Ferner sei A ⊆ X
X
gegeben. Ist F ein Filter
auf Y , so sagen wir F konvergiert
gleichmäßig auf A genau dann,
wenn der Filter F|A := F|A F ∈ F mit F|A := f|A f ∈ F , den wir aus F erhalten, indem
wir alle Elemente von Y X auf A einschränken, gleichmäßig in Y A konvergiert.
Für nur eine Menge A ist das meist wenig interessant, darum fordert man zur Konstruktion
spezieller Konvergenzen gern die gleichmäßige Konvergenz auf ganzen Teilmengenfamilien:
Definition 5.98.14. Ist A eine Familie von Teilmengen von X, so sagen wir, ein Filter F
konvergiert gleichmäßig auf A genau dann wenn F gleichmäßig auf jedem Element von A
konvergiert.
Diese Konvergenz ist immer noch durch eine Topologie beschreibbar, die entsprechend Topologie
der gleichmäßigen Konvergenz auf A heißt.
Für beliebiges
ε > 0 sei
A ⊆ X und
X
SA,ε := (f, g) f, g ∈ Y , ∀a ∈ A : d(f (a), g(a)) < ε .
Dann ist
SA,ε (f ) A ∈ A, f ∈ Y X , ε > 0
eine Subbasis für den Umgebungsfilter von f bzgl. der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz
auf A.
Ascoli-Sätze
In diesem Abschnitt wollen wir uns kurz mit sogenannten Ascoli-Sätzen beschäftigen. Das sind
ihrem Wesen nach Aussagen, die es gestatten, aus (relativer) Kompaktheit von Funktionenmengen bezüglich einer schwachen“ Konvergenz (z.B. punktweiser) unter gewissen Bedingun”
gen auf deren (relative) Kompaktheit bezüglich einer stärkeren“ Konvergenz (kompakt-offener
”
oder stetiger) zu schließen. Eine klassische Variante für relative Kompaktheit sieht z.B. so aus:
Beispiel 5.98.15. Sei (X, d) ein lokalkompakter metrischer Raum, R sei ausgerüstet mit euklidischer Metrik. Für eine Teilmenge H ⊆ C(X, R) ist genau dann der Abschluß H kompakt
(bezüglich der Supremumsmetrik) in C(X, R)), wenn H
1. beschränkt und
2. gleichgradig stetig ist.
Bemerkungen:
• Wenn wir einen metrischen Bildraum Y haben, so existiert dazu auch eine beschränkte
Metrik d, welche dieselbe Topologie erzeugt. Dann ist auf Y X die Supremumsmetrik
definiert durch
˜ g) := sup {d(f (x), g(x)) | x ∈ X} .
d(f,
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
13
• Wenn wir im Bildraum eine beschränkte Metrik haben, ist die Voraussetzung an eine
Funktionenmenge, im Sinne der Supremumsmetrik beschränkt zu sein, natürlich albern.
Man mache sich aber klar, daß die Supremumsmetrik auch in der Situation von 5.98.15
wohldefiniert ist - wegen der Kompaktheit des Urbildraumes X.
• Irgendwie fehlt uns noch eine Definition von gleichgradig stetig“.
”
Definition 5.98.16. Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und (Y, d) ein metrischer Raum. Sei
ferner H ⊆ Y X eine Menge von Funktionen. H heißt gleichgradig stetig an der Stelle x0 ∈ X
genau dann, wenn
•
∀ε > 0 : ∃V ∈ x0 ∩ τ : ∀h ∈ H : h(V ) ⊆ Uε (h(x0 ))
gilt. H heißt gleichgradig stetig genau dann wenn H gleichgradig stetig an allen Stellen x0 ∈ X
ist.
Wir werden uns hier bemühen, eine topologische Version des Ascoli-Satzes herzuleiten, d.h.
wir spielen ausschließlich mit topologischen Räumen, nicht mit metrischen. Natürlich soll der
klassische Ascoli-Satz aber als Spezialfall herauskommen.
Dazu war Lemma 5.3.37 schon eine gute Vorarbeit, denn es sichert, daß wir uns hinsichtlich
der wichtigen gleichmäßigen Konvergenz auf Kompakta“ (die im Falle eines kompakten Ur”
bildraumes offenbar mit der gleichmäßigen Konvergenz zusammenfällt) auf die kompakt-offene
Topologie zurückziehen können, zu deren Betrachtung wir gar keine Metrik brauchen.
In der Definition von gleichgradiger Stetigkeit taucht aber eine Metrik auf - wir sollten
uns also überlegen, ob wir einen dazu passenden Begriff auch ohne Metrik formulieren können. Da gleichgradige Stetigkeit im Ascoli-Satz als Voraussetzung auftritt, wäre es schön, eine
solche passende“ Eigenschaft zu finden, die aus gleichgradiger Stetigkeit folgt, sobald wir einen
”
metrischen Bildraum haben. Hier ist so eine:
Definition 5.98.17. Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische Räume und A ⊆ P0 (X). Eine Teilmenge
H ⊆ Y X heißt gleichstetig genau dann, wenn gilt
σ
τ
σ
∀F ∈ F (H) , ϕ ∈ F (A) , x ∈ X : (F(x) → y) ∧ (ϕ → x) ⇒ F(ϕ) → y .
H heißt gleichstetig
auf einer
K ⊆ X genau dann, wenn die Menge der Einschränkun Teilmenge
gen H|K := f|K : K → Y f ∈ H gleichstetig ist.
Gleichstetigkeit ist also eine Bedingung, die aus punktweiser Konvergenz stetige Konvergenz
”
macht“:
Proposition 5.98.18. Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische Räume und sei H eine auf A ⊆ X
gleichstetige Teilmenge von C(X, Y ). Ist F ein Filter auf H, derart, daß F auf A punktweise
gegen f ∈ Y X konvergiert, so konvergiert F|A in C(A, Y ) stetig gegen f|A .
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
14
Beweis: Die punktweise Konvergenz von F gegen f auf A besagt ∀a ∈ A : F(a) → f (a).
Daß F auf A gleichstetig ist, besagt, daß F|A gleichstetig ist. Für jeden Filter ϕ auf A mit
ϕ → a folgt also F|A (ϕ) → f (a) = f|A (a). Das aber bedeutet gerade, daß F|A stetig gegen f|A
konvergiert.
Lemma 5.98.19. Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische Räume und H ⊆ C(X, Y ). Äquivalent sind:
(1) H ist gleichstetig.
(2) Ist x ∈ X, y ∈ Y und V eine beliebige Umgebung von y, dann existieren Umgebungen U
von x und W von y derart, daß für alle f ∈ H aus f (x) ∈ W stets f (U ) ⊆ V folgt.
Beweis:
(1) =⇒ (2)“: Angenommen, (2) gälte nicht, d.h.
”
•
•
•
∃x0 ∈ X, y0 ∈ Y, V0 ∈ y0 ∩σ : ∀U ∈ x0 ∩τ, W ∈ y0 ∩σ : ∃fU,W ∈ H : fU,W (x0 ) ∈ W ∧fU,W (U ) 6⊆ V0
(5.3)
•
•
Für alle U ∈ x ∩ τ , W ∈ y ∩ σ existiert also (mindestens) ein solches fU,W ∈ H mit f (x) ∈
W ∧ f (U ) 6⊆ V . Folglich sind die Teilmengen
FU,W := {f ∈ H | f (x0 ) ∈ W ∧ f (U ) 6⊆ V0 }
von H alle nichtleer.
•
•
Nun ist die Familie B := {FU,W | U ∈ x0 ∩ τ, W ∈ y0 ∩ σ} wegen
∅ 6= FU1 ∩U2 ,W1 ∩W2 ⊆ FU1 ,W1 ∩ FU2 ,W2
eine Filterbasis auf H. Sei F der davon erzeugte Filter.
•
Für alle offenen Umgebungen W ∈ y0 ∩ σ haben wir FX,W ∈ F und FX,W (x0 ) ⊆ W , also
σ
insbesondere W ∈ F(x0 ), folglich insgesamt F(x0 ) −→ y0 .
•
Ist andrerseits U ∈ x0 ∩ τ irgendeine offene Umgebung von x0 und F ∈ F ein beliebiges
Element von F, so existiert FU 0 ,W ∈ B mit FU 0 ,W ⊆ F , da F ja von B als Basis erzeugt wird.
Wir finden FU ∩U 0 ,W ⊆ FU 0 ,W ⊆ F sowie FU ∩U 0 ,W (U ∩ U 0 ) 6⊆ V0 , also erst recht F (U ) 6⊆ V0 . Da
•
σ
dies für alle U ∈ x0 ∩ τ und alle F ∈ F gilt, folgt V0 6∈ F(U (x0 )), mithin F(U (x0 )) −→
6 y0 - im
Widerspruch zu (1).
(2) =⇒ (1)“: Gelte (2) und sei F ∈ F (H), x ∈ X, y ∈ Y mit F(x) → y gegeben. Sei ferner
”•
V ∈ y ∩ σ eine beliebige offene Umgebung von y. Dann existiert wegen (2) eine Umgebung
•
•
U ∈ x ∩ τ von x und eine Umgebung W ∈ y ∩ σ von y derart, daß
∀f ∈ H : f (x) ∈ W =⇒ f (U ) ⊆ V
(5.4)
gilt. Wegen F(x) → y existiert ein Filterelement FW ∈ F mit FW (x) ⊆ W , nach (5.4) also
•
auch FW (U ) ⊆ V . Da dies für alle V ∈ y ∩ σ gilt, erhalten wir F(U (x)) → y.
Proposition 5.98.20. Sei (X, τ ) ein topologischer und (Y, d) ein metrischer Raum. Es gelten:
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
15
(1) Ist H ⊆ C(X, Y ) gleichgradig stetig, dann ist H gleichstetig (und somit insbesondere
gleichstetig auf jeder Teilmenge A ⊆ X).
(2) Ist H gleichstetig und ist H(x) relativ kompakt in Y für jedes x ∈ X, so ist H auch
gleichgradig stetig.
Beweis: (1) Haben wir einen metrischen Bildraum (Y, d), ist weiterhin H gleichgradig stetig,
dann ist H ja insbesondere an jeder Stelle x0 ∈ X gleichgradig stetig.
Sei nun ein Filter F auf H gegeben mit F(x0 ) → y und ein Filter ϕ auf X mit ϕ → x0 , d.h.
ϕ ⊇ U (x0 ). Dann haben wir ja ∀ε > 0 : ∃F ∈ F : F (x0 ) ⊆ Uε (y). Wegen der gleichgradigen
Stetigkeit existiert dann aber auch ein U ∈ U (x0 ) ⊆ ϕ mit ∀h ∈ F ⊆ H : h(U ) ⊆ Uε (h(x0 ) ⊆
U2ε (y). Das ergibt F (U ) ⊆ U2ε (y) und damit folgt F(ϕ) → y.
(2) Seien x0 ∈ X und ε > 0 gegeben. Wegen der Gleichstetigkeit existieren laut 5.3.41 zu jedem
y ∈ Y offene Umgebungen Uy von x0 und Wy von y derart, daß aus f ∈ H und f (x) ∈ Wy
stets f (Uy ) ⊆ U 2ε (y) folgt. Die Wy bilden eine offene Überdeckung von Y ,Sso daß wir wegen der
n
realtiven
Tn Kompaktheit endlich viele y1 , ..., yn ∈ Y finden mit H(x0 ) ⊆ i=1 Wyi . Wir setzen
U := i=1 Uyi .
Für beliebiges f ∈ H haben wir nun f (x0 ) ∈ Wyk für ein gewisses k, also f (U ) ⊆ f (Uyk ) ⊆
U 2ε (yk ), also ∀a, b ∈ U : d(f (a), f (b)) < ε.
H ist also gleichgradig stetig an der Stelle x0 .
Proposition 5.98.21. Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische Räume, Y Hausdorff, und sei H eine
relativ kompakte Teilmenge von C(X, Y ) bezüglich der kompakt-offenen Topologie τco . Dann ist
H gleichstetig auf allen kompakten Teilmengen von X.
Beweis: Sei A ⊆ X kompakt, ϕ ∈ F (A), a ∈ A und F ∈ F (H) mit F(a) → y ∈ Y und ϕ → a
gegeben.
Wir wollen zeigen, daß F(ϕ) gegen y konvergiert.
Zunächst konvergiert jeder Oberultrafilter F0 von F bezüglich τco gegen eine stetige Funktion g
- wegen der relativen Kompaktheit von H in C(X, Y ). Somit folgt y = g(a), wegen F0 (a) → y,
und weil F0 auch punktweise gegen g konvergiert und Y Hausdorff’sch ist. Weiterhin gilt
g(ϕ) → y = g(a) ∈ g(A) und g(A) ist kompakt, also auch abgeschlossen in Y , somit ist g(A)
auch T3 und Abschlüsse in g(A) sind Abschlüsse in Y .
•
Sei nun V0 ∈ y ∩ σ, dann existiert V1 ∈ σ, so daß y ∈ V1 ∩ g(A) ⊆ V1 ∩ g(A) ⊆ V0 ∩ g(A). Ferner
existiert P1 ∈ ϕ derart, daß g(P1 ) ⊆ V1 ∩ g(A) ⊆ V1 ∩ g(A), folglich g −1 (V1 ∩ g(A)) ∈ ϕ und
g −1 (V1 ∩ g(A)) ist abgeschlossen in X. Somit ist B := g −1 (V1 ∩ g(A)) ∩ A kompakt.
Weiter gilt g(B) ⊆ V1 ∩ g(A) ⊆ V0 , d.h. g ∈ (B, V0 ), und F0 konvergiert bezüglich τco gegen
g - also (B, V0 ) ∈ F0 . Wir haben auch schon B ∈ ϕ, also folgt V0 ∈ F0 (ϕ).
Nun ist die Familie EV0 := {F ⊆ H | ∃P ∈ ϕ : F (P ) ⊆ V0 } abgeschlossen unter endlichen Vereinigungen, weil ϕ abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten ist, und wir haben gesehen,
daß jeder Oberultrafilter von F ein Element ((B, V0 ) oben) von EV0 enthält.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
16
•
Mit Lemma 1.4.10 folgt F ∩ EV0 6= ∅, und das gilt für jedes V0 ∈ y ∩ σ. Folglich konvergiert
F(ϕ) gegen y.
Wir sind jetzt gerüstet, unseren topologischen Ascoli-Satz zu beweisen.
Satz 5.98.22. Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische Räume, (X, τ ) [schwach] lokal kompakt, (Y, σ)
Hausdorff und T3 . Sei H ⊆ C(X, Y ) gegeben und sei C(X, Y ) mit kompakt-offener Topologie
τco ausgestattet. Dann sind äquivalent:
(1) H ist bezüglich τco relativ kompakt in C(X, Y ).
(2) (a) ∀x ∈ X : H(x) ist relativ kompakt in Y ,
(b) H ist gleichstetig auf jeder kompakten Teilmenge K ⊆ X.
Beweis: (1) =⇒ (2): Wegen τco ⊇ τp (wobei mit τp natürlich die punktweise Topologie gemeint
ist), ist H erst recht relativ kompakt in C(X, Y ) bezüglich Q
τp , also erst recht in Y X . Nun ist
H(x) nichts anderes als die Projektion px (H), wobei px : t∈X Yt → Y : px ((yt )t∈X ) := yx
die kanonische Projektion bezüglich x ist. Nach Lemma 5.2.5 ist somit H(x) = px (H) relativ
kompakt in px (Y X ) = Y . Damit haben wir (2)(a).
Proposition 5.3.46 liefert direkt (2)(b).
Q
(2) =⇒ (1): Wegen (2)(a) ist laut Tychonoff-Satz für relativ kompakte
Mengen auch x∈X H(x)
Q
relativ kompakt in Y X (bezüglich τp ), erst recht also H ⊆ x∈X H(x). Ist F ein Ultrafilter
auf H, so konvergiert er folglich bezüglich τp gegen eine Funktion g ∈ Y X . Gemäß Proposition
5.98.18 konvergiert F|A wegen (2)(b) auf jeder kompakten Teilmenge A von X auch stetig gegen
f|A . Laut Lemma 5.3.27 konvergiert F|A also auch im Sinne der auf A erklärten kompakt-offenen
Topologie gegen f|A .
Ist nun K ⊆ X kompakt, O ⊆ Y offen und f ∈ (K, O), so folgt f|K ∈ (K, O) in der auf K
erklärten kompakt-offenen Topologie. Weil darin F|K gegen f|K konvergiert, folgt (K, O) ∈
F|K . Daraus folgt aber auch (K, O) ∈ F, weil es dafür überhaupt keine Rolle spielt, was die
Funktionen außerhalb von K so treiben.
τco
Da dies für alle derartigen τco -Subbasis-Umgebungen von f gilt, folgt F →
f.
Da nun (X, τ ) lokal kompakth4i ist, konvergiert F stetig gegen f laut Korollar 5.3.29, so daß f
laut Lemma 5.3.25 stetig ist, weil (Y, σ) ein T3 -Raum ist.
Insgesamt konvergiert also unser Ultrafilter F tatsächlich gegen ein f ∈ C(X, Y ).
Und weil das für alle Ultrafilter F auf H geht, ist also H auch bezüglich τco relativ kompakt in
Y X.
h4i
Setzen wir nur schwache lokale Kompaktheit voraus, müssen wir etwas argumentieren, statt alles mit stetiger
Konvergenz zu erschlagen: Ist x ∈ X beliebig und ϕ irgendein Filter auf X, der gegen x konvergiert, dann gibt es
wegen der schwachen lokalen Kompaktheit immerhin eine kompakte Menge K und eine in X offene Umgebung
U von x mit U ⊆ K. Wegen
ϕ → x gilt •U ∈ ϕ
und wegen U ⊆ K also auch K ∈ ϕ. Dann aber folgt
f|K stetig
K∈ϕ
U ⊆K
f (ϕ) = f|K (ϕ)
⊇
V ∩ K V ∈ f (x) ∩ σ
= U (f (x)), also f (ϕ) → f (x) in Y . Weil dies für alle
x ∈ X geht, ist somit f auf ganz X stetig.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
17
Bemerkung 5.98.23. Wenn wir (starke) lokale Kompaktheit von (X, τ ) voraussetzen, könnten wir statt von Relativkompaktheit bezüglich kompakt-offener Topologie τco auch von Relativkompaktheit bezüglich stetiger Konvergenz sprechen - wenn wir wüßten, was Relativkompaktheit bezüglich einer Konvergenzstruktur bedeuten soll. Das ist aber nicht schwer: man zieht
einfach die in Lemma 5.2.2 etablierte Charakterisierung relativ kompakter Teilmengen durch
Ultrafilterkonvergenz als Definition heran.
Unser klassischer Beispielsatz 5.98.15 folgt unmittelbar aus 5.98.22, weil R natürlich Hausdorff’sch und T3 ist. Just weil Y = R ein T3 -Raum ist, ist auch C(X, Y ) bezüglich τco hier ein
T3 -Raum (siehe Aufgabe 5.A.11.), so daß für H in der Situation von 5.98.22 die relative Kompaktheit tatsächlich mit der Kompaktheit des Abschlusses übereinstimmt laut Lemma 5.2.4.
Die Voraussetzungen werden entspannter, wenn wir über Kompaktheit statt Relativkompaktheit in C(X, Y ) reden wollen:
Satz 5.98.24. Seien (X, τ ), (Y, σ) topologische Räume, (Y, σ) Hausdorff. Sei H ⊆ C(X, Y )
gegeben und sei C(X, Y ) mit kompakt-offener Topologie τco ausgestattet. Dann sind äquivalent:
(1) H ist τco -kompakt.
(2) (a) ∀x ∈ X : H(x) ist relativ kompakt in Y ,
(b) H ist gleichstetig auf jeder kompakten Teilmenge K ⊆ X,
(c) H ist in Y X τp -abgeschlossen.
Beweis: (1) =⇒ (2): Da H kompakt ist, ist H erst recht relativ kompakt (in jeder beliebigen
Obermenge), also folgen (2)(a) und (2)(b) sofort aus Satz 5.98.22.
Wegen τp ⊆ τco ist H auch τp -kompakt, also auch τp -abgeschlossen in Y X , weil mit Y auch
(Y X , τp ) Hausdorff’sch ist. Damit haben wir (2)(c).
(2) =⇒ (1): Zunächst verläuft alles wie in Satz
Tychonoff-Satz
Q 5.98.22: Wegen (2)(a) ist laut
X
für relativ kompakteQMengen (5.2.6) auch x∈X H(x) relativ kompakt in Y (bezüglich τp ),
erst recht also H ⊆ x∈X H(x). Ist F ein Ultrafilter auf H, so konvergiert er folglich bezüglich
τp gegen eine Funktion g ∈ Y X .
Gemäß Proposition 5.98.18 konvergiert F|A wegen (2)(b) auf jeder kompakten Teilmenge A von
X auch stetig gegen f|A . Laut Lemma 5.3.27 konvergiert F|A also auch im Sinne der auf A
erklärten kompakt-offenen Topologie gegen f|A .
τco
Wie oben folgt nun F →
f.
Wegen (2)(c) gilt nun aber zudem g ∈ H (so daß wir uns um die Stetigkeit von g gar keine
Sorgen machen müssen), also konvergiert F bezüglich τco gegen ein Element von H. Da das für
jeden Ultrafilter auf H gilt, ist H also τco -kompakt.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
5.99
18
Neue Übungsaufgaben
Aufgabe 5.A.01.
Sei (X, τ ) ein lokal kompakter Raum, (Y, σ) ein Hausdorff-Raum
und f : X → Y eine stetige, offene und surjektive Abbildung. Zeige, daß zu jeder kompakten
Teilmenge K ⊆ Y eine kompakte Teilmenge C ⊆ X mit f (C) = K existiert.
Aufgabe 5.A.02.
Sei (X, τ ) ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Sei K ⊆ X kompakt
und U ⊆ X offen mit K ⊆ U . Zeige:
(1) Es existiert eine offene Menge V derart, daß K ⊆ V ⊆ V ⊆ U und V kompakt ist.
(2) Es existiert eine stetige Funktion f : X → [0, 1], die auf K konstant 1 ist und deren
Träger supp(f ) := {x ∈ X | f (x) 6= 0} kompakt und in U enthalten ist.
Aufgabe 5.A.03.
Seien (X1 , τ1 ) und (X2 , τ2 ) lokalkompakte T2 -Räume, die nicht
∗
∗
kompakt sind. Seien (Xi , τi ) die zugehörigen Alexandroff-Kompaktifizierungen mit den Einbettungen ei : Xi → Xi∗ : ei (x) := x für i = 1, 2. Sei ferner f : X1 → X2 eine stetige Abbildung.
Zeige: genau dann gibt es eine stetige Abbildung f ∗ : X1∗ → X2∗ mit f ∗ (∞1 ) = ∞2 und
f ∗ ◦ e1 = e2 ◦ f ,
X1
f
e1
X1∗
X2
e2
f∗
(5.5)
X2∗
wenn für jede kompakte Teilmenge K ⊆ X2 auch f −1 (K) kompakt in X1 ist.
Aufgabe 5.A.04.
(1) Zeige: Die einzigen zugleich offenen und abgeschlossenen Teilmengen von [0, 1] bezüglich
euklidischer Topologie sind ∅ und [0, 1].
(2) Untersuche, ob das Intervall [0, 1], ausgestattet mit euklidischer Topologie, als disjunkte
Vereinigung abzählbar unendlich vieler verschiedener abgeschlossener Teilmengen darstellbar ist.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
19
Aufgabe 5.A.05.
Zeige: Ein topologischer Raum (X, τ ) ist genau dann kompakt,
wenn für jeden topologischen Raum (Y, σ) die Projektion pY : X × Y → Y : pY (x, y) := y eine
abgeschlossene Abbildung ist.
Aufgabe 5.A.06.
Wir wissen
ja, daß jeder Filter gleich dem Durchschnitt aller seiner Oberultrafilter ist. zuweilen muß man
aber gar nicht den Durchschnitt aller Oberultrafilter bilden, sondern kann welche weglassen,
ohne daß das am Resultat etwas ändert:
Zeige, daß jeder Umgebungsfilter U (x) in R mit euklidischer Topologie τe einen Oberultrafilter
ψ derart hat, daß
\
U (x) =
ϕ
ϕ∈U(U (x))\{ψ}
gilt, d.h. daß der Durchschnitt über alle übrigen Oberultrafilter von U (x) bereits gleich U (x)
ist.
•
Bemerkung: Offenbar kann man jedenfalls x nicht weglassen.
Hinweis: Es kann hier nützlich sein, etwas über die Mächtigkeit von U (R) zu wissen - und
dies mit Kenntnissen über Trennungseigenschaften und Kompaktheit zu verbinden.
Aufgabe 5.A.07.
Sei (X, τ ) ein Tychonoff-Raum und (e0 , X 0 ) eine T2 -Kompaktifizierung
von (X, τ ) derart, daß für jede stetige Abbildung f : X → [0, 1] von X in das mit euklidischer
Topologie ausgestattete Intervall [0, 1] eine stetige Fortsetzung F : X 0 → [0, 1] existiert, d.h.
f = F ◦ e0 . Zeige, daß dann (e0 , X 0 ) äquivalent zur Stone Čech-Kompaktifizierung (β, β(X))
ist.
Aufgabe 5.A.08.
Zeige: Jede unendliche abgeschlossene Teilmenge
der Stone-Čech-Kompaktifizierung βN von N (wobei N mit diskreter Topologie versehen sei)
enthält einen zu βN homöomorphen Teilraum.
Hinweis: [0], Kap. 4, Aufgabe 6 (S.115)
Aufgabe 5.A.09.
Sei (X, τ ) ein Tychonoff-Raum und (β, β(X)) seine Stone-Čech-Kompaktifizierung. Zeige, daß
für jede zugleich offene und abgeschlossene Teilmenge C von X auch β(C) zugleich offen und
abgeschlossen in β(X) ist.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
20
Aufgabe 5.A.10.
Sei X eine Menge und (Y, d) ein metrischer Raum. Sei A
eine Familie von Teilmengen von X. Zeige, daß die gleichmäßige Konvergenz auf A durch eine
Topologie beschreibbar ist.
Aufgabe 5.A.11. Zeige: Wenn (X, τ ) ein lokalkompakter und (Y, σ) ein T3 -Raum ist, dann
ist auch C(X, Y ), versehen mit kompakt-offener Topologie τco , ein T3 -Raum.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
5.100
21
Lösungsvorschläge
Lösungsvorschlag 5.A.01.:
Ist K ⊆ Y kompakt, so im Hausdorff-Raum Y auch abgeschlossen. Daher ist wegen der
Stetigkeit von f auch f −1 (K) abgeschlossen in X.
Nun ist X lokalkompakt, d.h. speziell zu jedem x ∈ f −1 (K) gibt es eine offene Teilmenge Ux
und eine kompakte Teilmenge Lx von X mit x ∈ Ux ⊆ Lx .
Wegen der Offenheit und Surjektivität von f ist folglich die Familie {f (Ux )| x ∈ f −1 (K)} eine
offeneSÜberdeckung von K. Daher gibt es eine
Teilüberdeckung {f (Ux1 ), S
..., f (Uxn )},
S endliche S
d.h. ni=1 f (Uxi ) ⊇ K. Erst recht gilt also f ( ni=1 Lxi ) = ni=1 f (Lxi ) ⊇ K. Nun ist ni=1 Lxi als
endliche Vereinigung kompakter Mengen
selbst kompakt, daher wegen der Abgeschlossenheit
Sn
−1
−1
von f (K) auch C := f (K) ∩ ( i=1 Lxi ) und offenbar gilt nun f (C) = K.
Lösungsvorschlag 5.A.02.:
(1) Wir betrachten die Alexandroff-Kompaktifizierung (X ∗ , τ ∗ ) von (X, τ ). Da (X, τ ) lokalkompakt und T2 ist, ist auch (X ∗ , τ ∗ ) ein T2 -Raum und natürlich kompakt - also auch T4 . Als
kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist freilich K auch in X ∗ abgeschlossen. Wegen
T4 existiert laut 4.4.11 also eine offene Teilmenge V von X ∗ mit K ⊆ V ⊆ V ⊆ U . (Beachte,
daß U auch in X ∗ offen ist!) Als abgeschlossene Teilmenge des kompakten Raumes X ∗ ist unser
V kompakt - und wegen V ⊆ U liegt der hinzugefügte Punkt {∞} nicht in V , d.h. V ist eine
ganz normale Teilmenge von X, wie gewünscht.
(2) Auch hier arbeiten wir wieder in der Alexandroff-Kompaktifizierung (X ∗ , τ ∗ ), die ja T4
erfüllt. Wir benutzen unser in (1) gewonnenenes V . Da V offen ist, ist X \ V abgeschlossen
und es gilt K ∩ (X \ V ) = ∅. Das Urysohn-Lemma schenkt uns also eine stetige Funktion
f ∗ : X ∗ → [0, 1], die auf K überall den Wert 1 annimmt und auf X \ V überall den Wert 0. Von
0 verschiedene Werte nimmt f ∗ also höchstens auf V an. Wir wollen aber eine Funktion f von X
nach [0, 1], nicht eine von X ∗ nach [0, 1] - bitte, hier ist sie: f := (f ∗ )|X , die Einschränkung von
f ∗ auf X, die natürlich auch stetig ist. Auch f nimmt somit höchstens auf V von 0 verschiedene
Werte an, d.h. {x ∈ X | f (x) 6= 0} ⊆ V und folglich supp(f ) := {x ∈ X | f (x) 6= 0} ⊆ V . Als
abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge V ist unser supp(f ) natürlich auch kompakt.
Lösungsvorschlag 5.A.03.:
Wenn es eine stetige Fortsetzung f ∗ mit f ∗ (∞1 ) = ∞2 gibt und K eine kompakte Teilmenge
von X2 ist, dann ist K in X2∗ auch abgeschlossen, wegen der Stetigkeit von f ∗ ist also (f ∗ )−1 (K)
abgeschlossen in X1∗ und darum kompakt. Wegen f ∗ (∞1 ) = ∞2 haben wir ∞1 6∈ (f ∗ )−1 (K),
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
22
also (f ∗ )−1 (K) = f −1 (K) ⊆ X1 .
Sei nun f −1 (K) kompakt für jedes kompakte K. Wir setzen natürlich
f (x) ; x ∈ X1
∗
∗
∗
∗
f : X1 → X2 : f (x) :=
∞2 ; x = ∞1
und müssen nun überprüfen, daß f ∗ stetig ist. Offen in X2∗ sind zunächst einmal die in X2
offenen Mengen - deren Urbilder unter f ∗ sind aber gerade ihre Urbilder unter f , also offen
wegen der stetigkeit von f . Zusätzlich sind nun noch die Komplemente in X2∗ der kompakten
Teilmengen K von X2 , für diese gilt:
f ∗ (X2∗ \ K) = X1∗ \ f −1 (K) ,
was jedenfalls dann offen in X1∗ ist, wenn f −1 (K) kompakt ist - aber das hatten wir ja vorausgesetzt. Mithin ist f ∗ stetig.
Lösungsvorschlag 5.A.04.:
(1) Sei A ⊆ [0, 1] zugleich offen und abgeschlossen bezüglich euklidischer Topologie.
Falls ∅ 6= A, so existiert a := inf {x ∈ [0, 1] | x ∈ A} und wegen der Abgeschlossenheit von A
gilt a ∈ A. Aus A = int(A) folgt die Existenz eines ε > 0 mit (a − ε, a + ε) ∩ [0, 1] ⊆ A, also
a = 0, weil sonst max{a − 2ε , 0} ∈ A gälte - im Widerspruch zur Infimumseigenschaft von a.
Wir haben also 0 ∈ A.
Gilt zusätzlich A 6= [0, 1], so folgt B := [0, 1] \ A 6= ∅ und B ist ebenfalls zugleich offen und
abgeschlossen. Ganz wie oben folgt dann aber 0 ∈ B - Widerspruch.
(2) Nein, ist es nicht. Um das einzusehen, gehen wir indirekt vor und verwenden den Satz von
Baire 5.3.10.
Angenommen, es gäbe eine abzählbare Familie {An S
| n ∈ N} paarweise disjunkter euklidisch
abgeschlossener Teilmengen von [0, 1] mit [0, 1] = n∈N An . Dann definieren wir für jede
Teilmenge A von [0, 1] deren Rand“ als
”
rd(A) := A \ int(A) .
Für unsere ohnehin abgeschlossenen An vereinfacht sich das zu rd(An ) = A \ int(An ). Nun
bilden wir
[
rd(An ) .
B :=
n∈N
1. B ist abgeschlossen in [0, 1], denn weil [0, 1] disjunkte Vereinigung der An ist, haben wir
[
[
[
[
B=
(An \ int(An )) =
An \
int(An ) = [0, 1] \
int(An )
n∈N
und
S
n∈N
n∈N
n∈N
int(An ) ist als Vereinigung von offenen Mengen offen.
n∈N
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
23
2. Als abgeschlossene Teilmenge des lokalkompakten Raumes [0, 1] (euklidisch) ist also auch
B lokalkompakt.
3. Für jedes n ∈ N ist B \ rd(An ) dicht in B. Ist nämlich O irgendeine nichtleere offene Teilmenge von B, enthält O also ein Element x und es existiert ein ε > 0 mit
(x − ε, x + ε) ∩ B ⊆ O.
Liegt x in B\rd(An ), sind wir fertig, denn dann hat ja B\rd(An ) offenbar einen nichtleeren
Schnitt mit O. Angenommen also, wir hätten x ∈ rd(An ).
Da nicht das volle euklidische Intervall (x − ε, x + ε) unterhalb von rd(An ) liegen kann
(sonst wäre speziell x Element von int(An ), also gerade nicht von rd(An )), existiert also
ein m 6= n mit einem y ∈ (x − ε, x + ε) ∩ Am . Natürlich gilt y 6= x, sei also o.B.d.A.
y > x. Dann sei i := inf{t ∈ [0, 1] | x ≤ t, t ∈ Am }. Wegen der Abgeschlossenheit von
Am haben wir i ∈ Am , also i 6= x ∈ An und nach Konstruktion folglich i > x. Freilich
ist i kein innerer Punkt von Am , da wegen der Infimumseigenschaft [x, i) ∩ Am = ∅ gilt,
so daß Am keine offene Umgebung von i umfaßt. Somit liegt i in rd(Am ), also auch
in (x − ε, x + ε) ∩ (B \ rd(An )) ⊆ O ∩ (B \ rd(An )). Dies für alle nichtleeren offenen
Teilmengen O von B liefert Dichtheit von B \ rd(An ) in B.
4. Da jedes rd(An ) als Differenz aus der abgeschlossenen Menge An und der offenen Menge
int(An ) abgeschlossen in [0, 1] ist, sind alle Komplemente [0, 1] \ rd(An ) offen in [0, 1].
Folglich ist jedes B \ rd(An ) offen in B.
5. Da B lokalkompakter Hausdorff-Raum ist, folgt mit dem Satz von Baire, daß
\
[
(B \ rd(An )) = B \
rd(An ) = B \ B = ∅
n∈N
n∈N
ebenfalls dicht in B ist - was nur dann ginge, wenn B = ∅ gälte.
6. Aus B = ∅ würde An = int(An ) für alle n ∈ N folgen.
Die Bedingung An = int(An ) ist aber - da die An ja als abgeschlossen vorausgesetzt sind
- nur für An = ∅ bzw. An = [0, 1] erfüllt. Diese beiden bilden aber nun wirklich keine
unendliche Familie paarweise disjunkter Mengen.
Lösungsvorschlag 5.A.05.:
Sei (X, τ ) kompakt und (Y, σ) irgendein topologischer Raum. Sei ferner A ⊆ X×Y abgeschlossen
bezüglich Produkttopologie. Wir wollen zeigen, daß pY (A) abgeschlossen ist. Sei dazu y0 ∈
(X × Y ) \ pY (A) beliebig. Nun bedeutet y0 6∈ pY (A), daß für alle x ∈ X gilt (x, y0 ) 6∈ A, d.h.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
24
(x, y0 ) ∈ (X × Y ) \ A. nun ist ja A abgeschlossen, also X \ A offen. Daher muß es zu jedem
x ∈ X eine offene Menge der Standardbasis der Produkttopologie geben, die (x, y0 ) enthält
und ganz unterhalb von (X × Y ) \ A liegt. D.h. es existieren Ux ∈ τ und Vx ∈ σ mit x ∈ Ux ,
y0 ∈ Vx und Ux × Vx ⊆ (X × Y ) \ A. Die Familie {Ux | x ∈ X} ist eine offene Überdeckung, so
daß es wegenTder Kompaktheit von X eine endliche Teilüberdeckung {Ux1 , ..., Uxn } gibt. Wir
setzen V := ni=1 Vxi ∈ σ. Dann gilt für jedes Element y ∈ V : ∀x ∈ X : (x, y) ∈ (X × Y ) \ A,
also y ∈ (X × Y ) \ pY (A), d.h. V ⊆ (X × Y ) \ pY (A). Dies geht für alle y0 ∈ (X × Y ) \ pY (A),
also ist (X × Y ) \ pY (A) offen und somit pY (A) abgeschlossen.
Sei nun für jeden topologischen Raum (Y, σ) die Projektion pY eine abgeschlossene Abbildung.
Sei ferner ϕ ein Ultrafilter auf X. Wir setzen Y := X ∪ {∞} mit einem Element ∞, das nicht
Element von X ist. Nun brauchen wir noch eine Topologie auf Y . Wir nehmen
σ := P(X) ∪ {P ∪ {∞} | P ∈ ϕ} .
Nun betrachten wir die Teilmenge D := {(x, x) | x ∈ X} ⊆ X × Y . Da pY (D) = X ⊆ Y nicht
abgeschlossen in Y ist, kann D nicht abgeschlossen in X × Y sein. Stetigkeit von pY liefert
pY (D) ⊆ pY (D), und natürlich gilt pY (D) ⊆ pY (D), also pY (D) ⊆ pY (D), woraus mit der
Abgeschlossenheit von pY (D) nun pY (D) = pY (D) folgt.
Da der von ϕ auf Y induzierte Filter offenbar gegen ∞ konvergiert und die Teilmenge X ⊆ Y
enthält, haben wir ∞ ∈ pY (D) = pY (D), so daß es ein Element (x0 , ∞) ∈ D geben muß. Das
•
bedeutet, daß jede offene Basismenge O × (P ∩ {∞}) mit O ∈ x0 und P ∈ ϕ unser D nichtleer
schneidet. Nun bedeutet (x, x) ∈ D ∩ (O × (P ∩ {∞})) gerade x ∈ O ∩ (P ∪ {∞}) = O ∩ P , so
daß wir O ∩ P 6= ∅ für jede offene Umgebung O von x0 und für alle P ∈ ϕ haben, also O ∈ ϕ.
τ
Das aber bedeutet ϕ → x0 .
Da das für jeden Ultrafilter ϕ auf X geht, ist X kompakt.
Lösungsvorschlag 5.A.06.:
(a) Wir überlegen uns zunächst einmal, daß für je zwei Elemente x, y ∈ R stets |U (U (x))| =
|U (U (y))| gilt, weil es eine sehr naheliegende Bijektion von R auf sich selbst gibt, die
U (x) auf U (y) abbildet.
(b) Sei 0 < p < 1. Betrachten wir den Umgebungsfilter U (p)|[0,1] von p in [0, 1], so stellen
wir fest, daß jedem seiner Oberultrafilter (auf [0, 1]) eindeutig ein Oberultrafilter des
von U (p)
Umgebungsfilters U (p) in R entspricht und umgekehrt: jeder
Oberultrafilter
auf R enthält [0, 1] als Element (für 0 < p < 1). Das liefert U U (p)|[0,1] = |U (U (p))|.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
25
(c) Für p = 0 bzw. p = 1 erzeugt imerhin noch jeder Oberultrafilter von U (p)|[0,1] auf [0, 1]
als Basis einen eindeutig bestimmten
Ultrafilter
auf R, der den Umgebungsfilter U (p) von
p auf R umfaßt. Das liefert U U (p)|[0,1] ≤ |U (U (p))| für p = 0 bzw. p = 1.
(d) [0, 1] ist bezüglich euklidischer Topologie kompakt, also konvergiert jeder Ultrafilter auf
[0, 1], d.h. jeder Ultrafilter auf [0, 1] umfaßt einen Umgebungsfilter, und zwar - weil [0, 1]
auch noch ein T2 -Raum ist - genau einen.
Das heißt, die Menge U ([0,
1]) aller Ultrafilter auf [0, 1] ist gleich der (disjunkten) Vereinigung aller U U (p)|[0,1] , p ∈ [0, 1].
(e) Ist p irgendein Element von R, so folgt aus (a) - (d):
|U ([0, 1])| ≤ | [0, 1] × U (U (p)) | ,
also (siehe Satz 1.3.9)
|U ([0, 1])| ≤ max{| [0, 1] | , |U (U (p))|} ,
d.h. laut Satz 1.4.21
|P(P([0, 1]))| ≤ max{| [0, 1] | , |U (U (p))|} .
Da nun | [0, 1] | ganz gewiß echt kleiner als |P(P([0, 1]))| ist, folgt |P(P([0, 1]))| ≤
|U (U (p))|, also in von Satz 1.4.21
|U (U (p))| = |P(P([0, 1]))| = |P(P(R))| .
(f) Nach dieser etwas länglichen Vorbetrachtungh5i kommen wir nun zur erfreulich kurzen
Hauptsache. Sei ψ ein Oberultrafilter von U (p) in (R, τeuklid ); wir bezeichnen mit
\
Dψ :=
ϕ
ϕ∈U(U (p))\{ψ}
den Durchschnitt aller anderen Oberultrafilter von U (p), außer ψ.
Wenn nun Dψ 6= U (p) gilt, so heißt das natürlich U (p) ( Dψ . Das bedeutet, es gibt eine
Teilmenge Aψ von R, die Element von Dψ ist, aber nicht von U (p). Folglich ist Aψ nicht
Element von ψ, so daß notwendigerweise R \ Aψ Element von ψ ist, während alle anderen
Oberultrafilter die Menge Aψ und darum nicht R \ Aψ als Element haben. Das bedeutet:
ψ ist der einzige Oberultrafilter von U (p), der R \ Aψ als Element hat.
Wir können also jedem Oberultrafilter ψ, für den Dψ 6= U (p) gilt, eineindeutig eine
Teilmenge von R zuordnen, die er exklusiv“ enthält.
”
Das heißt, mit H := {ψ ∈ U (U (p)) | Dψ 6= U (p)} ist die Abbildung i : H → P(R) :
i(ψ) := (R \ Aψ ) injektiv. Es folgt |H| ≤ |P(R)| |P(P(R))| = |U (U (p))|, also
notwendigerweise H ( U (U (p)).
h5i
Wir haben dabei im Grunde nur gezeigt, daß die Familie der gegen einen bestimmten Punkt p konvergierenden Ultrafilter gleichmächtig zur Familie aller Ultrafilter auf R ist.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
26
Lösungsvorschlag 5.A.07.:
Wenn wir zeigen können, daß jede stetige Abbildung g : X → Y in einen kompakten Hausdorffraum (Y, σ) eine stetige Fortsetzung G : X 0 → Y mit g = G ◦ e0 hat, sind wir fertig - denn
dann liefert Teil (2) des Satzes von Stone Čech die Äquivalenz von (e0 , X 0 ) zu (β, β(X)).
Sei also (Y, σ) kompakter Hausdorff-Raum und g : X → Y stetig. Wir Q
betten Y via eY in
Q
[0,
1]
ein
und
betrachten
mal
die
kanonischen
Projektionen
p
:
j
k
j∈C(Y,[0,1])
j∈C(Y,[0,1]) [0, 1]j →
[0, 1]k , die natürlich alle stetig sind. Für jede von ihnen ist also pk ◦g eine stetige Abbildung von
X nach [0, 1]. Laut unserer Voraussetzung gibt es für diese nun jeweils eine stetige Fortsetzung
Gk : X 0 → [0, 1] mit pk ◦ g = Gk ◦ e0 . Laut Einbettungslemma ist darum auch die Funktion
Y
F : X0 →
[0, 1]j : F (x) := (Gj (x))j∈C(Y )
j∈C(Y )
stetig und erfüllt offenbar eY ◦ g = F ◦ e0 . Wegen der Stetigkeit von F finden wir F (X 0 ) =
F ( e0 (X) ) ⊆ FQ
(e0 (X)) = eY ◦ g(X) ⊆ eY (Y ) = eY (Y ), da ja eY (Y ) als bereits kompakte
0
Teilmenge von j∈C(Y,[0,1]) [0, 1]j auch schon abgeschlossen ist. Somit ist e−1
Y auf F (X ) definiert
−1
−1
0
0
und wir setzen natürlich G := e−1
Y ◦ F , was uns G ◦ e = eY ◦ F ◦ e = eY ◦ eY ◦ g = g liefert wie gewünscht.
Lösungsvorschlag 5.A.08.:
Sei A eine unendliche abgeschlossene Teilmenge von βN. Ganz analog wie in (der Lösung von)
[0], Kap. 4, Aufgabe 6 (S.115) beschaffen wir uns eine abzählbar unendliche Familie {Ui | i ∈ N}
paarweise disjunkter, nichtleerer in βN offener Teilmengen mit jeweils einem Element ki ∈
A ∩ Ui .h6i Wir setzen K := {ki | i ∈ N}. Unser K ist natürlich als Teilraum diskret.
Sei nun f : K → [0, 1] irgendeine (wegen Diskretheit von K automatisch stetige) Funktion von
K nach [0, 1]. Wir definieren
f (ki ) ; β(n) ∈ U
Si
g : N → [0, 1] : g(n) :=
0
; β(n) 6∈ ∞
i=1 Ui
Diese Funktion ist natürlich stetig, wenn wir N mit diskreter Topologie ausrüsten und hat darum
eine stetige Fortsetzung G : βN → [0, 1]. Nun ist β(N) dicht in βN, so daß für jedes x ∈ Ui =
Ui ∩ β(N) folgt: G(x) = f (ki ). Insbesondere ist G|K = f . Es existiert also für jedes derartige
f : K → [0, 1] eine stetige Fortsetzung F := G|K : K → [0, 1] auf die Kompaktifizierung K von
h6i
Das Verfahren aus H03.3 braucht man nur geringfügig anzupassen: man wählt xn+1 6= yn+1 aus Xn ∩A und
unterscheidet bei der Festlegung von Xn+1 , ob Un+1 ∩ Xn ∩A bzw. Un+1 ∩ Xn ∩A unendlich ist oder nicht. Aus
jedem Ui wählen wir dann einfach ein ki ∈ Ui ∩ A aus.
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
27
K. Wie wir aus Aufgabe 5.A.07. wissen, folgt daraus, daß K homöomorph zu βK ist. Freilich
ist K homöomorph zu N, also haben wir βN ∼
= βK ∼
= K ⊆ A = A.
Lösungsvorschlag 5.A.09.:
Wenn C zugleich offen und abgeschlossen ist, gilt das natürlich auch für X \ C, speziell sind
also beide offen, so daß die Abbildung
0 ; x∈C
f : X → D2 : f (x) :=
1 ; x∈X \C
von X in den zweipunktigen diskreten Raum D2 = {0, 1} stetig ist. Laut Satz von Stone-Čech
gibt es also eine stetige Fortsetzung F : βX → D2 , d.h. F ◦ β = f . Für jedes z ∈ β(C)
gibt es einen Filter ϕ auf C, derart, daß β(ϕ) gegen z konvergiert. Aus C ∈ ϕ folgt nun
•
F (β(ϕ)) = f (ϕ) = 0 → 0, also wegen der Stetigkeit von F auch F (z) = 0. Insgesamt haben
wir somit
(5.6)
F (β(C)) ⊆ {0} .
Analog gibt es für jedes z ∈ β(X \ C) einen Filter ϕ auf (X \ C), derart, daß β(ϕ) gegen z
•
konvergiert. Aus (X \ C) ∈ ϕ folgt nun F (β(ϕ)) = f (ϕ) = 1 → 1, also wegen der Stetigkeit
von F auch F (z) = 1. Insgesamt haben wir somit
F (β(X \ C)) ⊆ {1} .
(5.7)
Aus (5.6) und (5.7) folgt nun sofort β(X \ C) ∩ β(C) = ∅.
Lösungsvorschlag 5.A.10.:
Für A ∈ A und ε > 0 setzen wir jeweils SA,ε := (f, g) f, g ∈ Y X , ∀a ∈ A : d(f (a), g(a)) < ε .
Wir könnten jetzt einfach alle derartigen ε-Schlauch-Stückchen als Subbasis einer Topologie
hernehmen (und für den wichtigen Fall, daß mit A die Familie aller kompakten Mengen gemeint
ist, ginge das auch ausgezeichnet konform mit unseren Absichten), wir sind aber ein bißchen
zurückhaltender, denn wir müssen ja nicht ohne Not alle diese Mengen selbst für offen erklären.
Stattdessen bilden wir unsere Topologie τuA indem wir setzen
O ∈ τuA
:⇐⇒
O ⊆ Y X ∧ ∀f ∈ O : ∃A1 , ..., An ∈ A, ε1 , ..., εn ∈ R+ :
n
\
SAi ,εi (f ) ⊆ O .
i=1
Daß somit ∅ und Y X zu τuA gehören, ist klar. Auch, daß beliebige Vereinigungen von Elementen
aus τuA wieder zu τuA gehören, erschließt sich sofort. Und selbst die endlichen Durchschnitte
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
28
machen keine Probleme, denn für O1 , ..., Om ∈ τuA finden wir:
∀f ∈
m
\
Ok
=⇒
+
∀k = 1, ..., m : ∃Ak,1 , ..., Ak,nk ∈ A, εk,1 , ..., εk,nk ∈ R :
nk
\
SAk,i ,εk,i (f ) ⊆ Ok
i=1
k=1
=⇒
f∈
nk
m \
\
SAk,i ,εk,i (f ) ⊆
k=1 i=1
=⇒
m
\
m
\
Ok
k=1
Ok ∈ τuA .
k=1
Jetzt müssen wir natürlich noch zeigen, daß Konvergenz bezüglich τuA genau die gleichmäßige
Konvergenz auf A ist.
Sei F ein Filter auf Y X , der auf A gleichmäßig gegen f ∈ Y X konvergiert.
Ist nun O ∈ τuA
T
mit f ∈ O, so existieren also A1 , ..., An ∈ A, ε1 , ..., εn ∈ R+ mit ni=1 SAi ,εi (f ) ⊆ O. Nach
Definitionen 5.98.13, 5.98.12 gibt esTnun für jedes
Tn i = 1, ..., n ein Gi ∈ F mit Gi ⊆ SAi ,εi . Da
n
nunmal F ein Filter ist, folgt F 3 i=1 Gi ⊆ i=1 SAi ,εi ⊆ O, also auch O ∈ F. Da dies für
alle O ∈ τuA mit f ∈ O gilt, konvergiert F auch bezüglich τuA gegen f .
Sei nun F ein Filter auf Y X , der bezüglich τuA gegen f ∈ Y X konvergiert.
Wir sehen uns die Schlauchstückchen“ mal etwas näher an. Zwar haben wir sie nicht per se
”
für offen erklärt (im allgemeinen werden sie das auch nicht sein), aber sie haben ein nichtleeres
Inneres, in dem auch wieder ein Schlauchstückchen“ enthalten ist: Sei
”
IA,ε := {h ∈ SA,ε (f ) | ∃δ > 0 : SA,δ (h) ⊆ SA,ε (f )} .
Dann ist IA,ε offen und es gilt
SA, 3ε (f ) ⊆ IA,ε ⊆ SA,ε (f ) .
(5.8)
Sind nun A ∈ A und ε > 0 gegeben, so muß IA,ε wegen seiner Offenheit Element von F sein.
Nun haben wir tatsächlich ∀g ∈ IA,ε : ∀a ∈ A : d(f (a), g(a)) < ε. Dies für alle A, ε besagt
gerade nach Definitionen 5.98.13, 5.98.12, daß F auf A gleichmäßig gegen f konvergiert.
Den Teil SA, 3ε (f ) ⊆ IA,ε in (5.8) haben wir übrigens einerseits deshalb mit aufgeschrieben, weil
er deutlich macht, daß unsere Funktion f auch wirklich in IA,ε liegt - aber vor allem, weil
dadurch nochmal klar wird, daß die Familie der SA,ε (f ) tatsächlich eine Umgebungssubbasis
für f ist.
Lösungsvorschlag 5.A.11.:
Wir verwenden, daß ein topologischer Raum genau dann T3 ist, wenn jeder Umgebungsfilter
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
29
darin eine Basis aus abgeschlossenen Mengen hat (Lemma 4.4.2).
Dazu überlegen wir uns weiter, daß es dafür ausreicht, wenn es für jeden Umgebungsfilter eine
Filtersubbasis derart gibt, daß unterhalb jedes Subbasiselementes eine abgeschlossene Umgebung liegt: aus einer Subbasis S erhalten wir ja eine Basis B S , indem wir alle endlichen Durchschnitte von Elementen
von S hinzunehmen. Ist nun also S eine Subbasis des Umgebungsfilters
T
von x und U := ni=1 Si mit Si ∈ S so ein Element von
i eine abgeschlossene
Tn B S sowie
Tnzu jedem ST
Umgebung x ∈ Ai ⊆ Si gegeben, dann folgt ja x ∈ i=1 Ai ⊆ i=1 Si und ni=1 Ai ist wiederum
eine abgeschlossene Umgebung von x. Weil B S eine Basis ist, bilden nun also die endlichen
Durchschnitte der zu den S ∈ S gehörigen abgeschlossenen Umgebungen A ⊆ S auch eine Basis
des Umgebungsfilters von x.
Sei nun also f ∈ C(X, Y ) gegeben und (K, O), K kompakte Teilmenge von X und O offene
Teilmenge von Y , ein Element der definierenden Subbasis von τco mit f ∈ (K, O).
Für jedes x ∈ K haben wir also f (x) ∈ O. Da Y ein T3 -Raum ist, existiert nun eine offene
Umgebung Vx ∈ σ von f (x) mit f (x) ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ O.
Nun existiert wegen der Stetigkeit von f zu jedem x ∈ K auch eine offene Umgebung Ux ∈ τ
derart, daß f (Ux ) ⊆ Vx . Wegen der Lokalkompaktheit von X existieren zudem eine offene
Menge Ux0 und eine kompakte Menge Kx mit x ∈ Ux0 ⊆ Kx ⊆ Ux . Die Familie {Ux0 | x ∈ K}
ist eine offene Überdeckung von K, so daß es wegen der Kompaktheit von K eine endliche
Teilüberdeckung {Ux0 1 , ..., Ux0 n } gibt.
Für T
jedes i = 1, ..., n haben wir f (Kxi ) ⊆ f (Uxi ) ⊆ Vxi , also f ∈ (Kxi , Vxi ) und somit auch
f ∈ ni=1 (Kxi , Vxi ).
Sei nun F ein Filter auf C(X, Y ) mit (Kxi , Vxi ) ∈ F, der bezüglich punktweiser Topologie τp
gegen eine Funktion g ∈ C(X, Y ) konvergiert. Dann folgt aus (Kxi , Vxi ) ∈ F gerade: ∀t ∈ Kxi :
σ
F(t) ⊆ Vxi , also Vxi ∈ F(t); die punktweise Konvergenz sagt uns F(t) → g(t) und somit haben
wir ∀t ∈ Kxi : g(t) ∈ Vxi . Das bedeutet, daß der Abschluß von (Kxi , Vxi ) bezüglich punktweiser
Topologie Teilmenge von (Kxi , Vxi ) ist:
τp
(Kxi , Vxi ) ⊆ (Kxi , Vxi ) .
(5.9)
Nun wissen wir (und sehen unproblematisch auch jederzeit auf’s neue ein), daß τp ⊆ τco gilt,
τco
τp
woraus (siehe z.B. H02.1) (Kxi , Vxi ) ⊆ (Kxi , Vxi ) folgt. Somit folgt aus (5.9) auch
τco
(Kxi , Vxi ) ⊆ (Kxi , Vxi )
Wir setzen
A :=
n
\
⊆ (Kxi , Vxi ) .
τco
(Kxi , Vxi )
(5.10)
,
i=1
was offenbar eine abgeschlossene τco -Umgebung von f ist.
Da die Kxi , i = 1, ..., n eine Überdeckung von K bilden (denn die Ux0 i ⊆ Kxi bilden ja schon
eine), gilt ∀t ∈ K : ∃it ∈ {1, ..., n} : t ∈ Kxit und somit für jede Funktion h ∈ A auch
∀t ∈ K : h(t) ∈ Vxit ⊆ O, d.h. h(A) ⊆ O und so haben wir A ⊆ (K, O). Unser A ist also eine
KAPITEL 5. KOMPAKTHEIT
30
abgeschlossene Umgebung von f unterhalb der vorgegebenen Subbasisumgebung (K, O). Da
dies für alle derartigen Subbasisumgebungen geht, ist (C(X, Y ), τco ) laut unsrer Vorbetrachtung
T3 .
Index
Ascoli-Satz, 12, 16, 17
∆i∈I fi , 4
Diagonalabbildung, 4
gleichstetig, 13
Konvergenz
gleichmäßige, 11, 12
stetig
gleichgradig, 13
Stone-Čech
-Kompaktifizierung, 10
Satz von -, 9
Topologie
der gleichmäßigen Konvergenz, 12
31
[0] René Bartsch. Allgemeine Topologie. Berlin: De Gruyter, 2nd ed. edition, 2015.
Literatur
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32
LITERATURVERZEICHNIS DES KÄFERBUCHES
33
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EMPFOHLENE INTERNETSEITEN
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Empfohlene Internetseiten
[54] community. Matroids Matheplanet. Betreiber: Martin Wohlgemuth.
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[55] determinacy et al. verstecktes Auswahlaxiom. Matroids Matheplanet.
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[56] European Mathematical Society, FIZ Karlsruhe, and Heidelberg Academy of Sciences and
Humanities, editors. Zentralblatt Mathematik. FIZ Karlsruhe.
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[57] gockel. Der Satz von Sierpinski. Matroids Matheplanet.
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[58] huepfer. Das Sierpinski-Dreieck und seine Verwandten. Matroids Matheplanet.
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[59] Martin Infinite. Die Qual der Vektorauswahl. Matroids Matheplanet.
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[60] Martin Infinite. von-Koch’sche Flockenkurve. Matroids Matheplanet.
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[61] Martin Infinite and marvinius. Multiple Choice und Antiketten. Matroids Matheplanet.
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[62] r.b. Errata und Ergänzungen zu diesem Buch.
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[63] D. Shakhmatov and S. Watson, editors. Topology Atlas. York University, Toronto.
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