„Physik für Angewandte Informatiker“

Prof. H. Franke
FB Physik
WS 2006/2007
„Physik für Wasserwissenschaftler“ (BA water science)
Inhalt:
Grundzüge der Mechanik bis zur Kernphysik
Mechanik: Einheiten, Vektoren, Skalare, lineare Bewegung ,zusammengesetzte Bewegungen
Beschleunigung, Stossgesetze, Drehbewegung,Schwingungen, Wellen, stehende Wellen
Akustik: longitudinale Wellen, Intensität bei Schallwellen, dB-Skala, phon-Skala
Elektrodynamik: Coulombsches Gesetz, elektrisches Feld, elektrische Spannung,
Verschiebungsdichte, Gaußscher Satz,
Plattenkondensator, Kapazität, Dielektrikum,
elektrischer Strom, Kirchhoffsche Gesetze, Ohmsches Gesetz, magnetische Induktion,
Lorentz-Kraft
Optik: geometrische Optik: Brechungsgesetz, Linsen, Prismen, Abbildungen, optische
Instrumente, Lichtleiter, Dispersion
physikalische Optik: Beugung, Huygens-Prinzip, Spalt, Gitter, Interferenz
Quantenoptik: äußerer Photoeffekt, Comptoneffekt
Atomphysik:Bohr´sches Atommodell, Quantenzahlen, Pauli-Prinzip, Zeemann-Effekt,
Röntgenstrahlen
Kernphysik: Radioaktivität, Zerfallsgesetz, Halbwertszeit, α-,β-,γ-Strahlung
Kernspaltung, Kernfusion, radioaktive Uhren
1. Einleitung:
Physikalische Größen,
Maßeinheiten, SI-System
z.B. Masse = 5 kg
Skalare Grössen : Masse, Temperatur, Energie
Vektorielle Grössen: z.B. Kraft, Geschwindigkeit....
Vektoren, Rechnung mit Vektoren
1
Skalare Multiplikation: F1 = α a
Skalarprodukt:
W= F . r
Vektorprodukt:
M=Fxr
• Koordinatensysteme
a) kartesisch: r= (x,y,z)
b) Zylinderkoordinaten (r,ϕ,z)
c) Kugelkoordinaten (r, ,ϕ, θ)
• Einheiten
Basisgrößen
2.
Abkürzung der
Einheit
Größe
Einheit
Länge
Zeit
Masse
Elektrischer
Stromstärke
Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
Meter
Sekunde
Kilogramm
Ampere
m
s
kg
A
Kelvin
Mol
Candela
K
mol
cd
Mechanik
• Massepunkt:
Bahnbewegung, r=r(t)
Geschwindigkeit: v=v(t) = dr/dt
Beschleunigung a=a(t)= dv/dt = d2r/dt2
• Bewegungsgleichung (Newton)
F = m . a, Gleichgewicht: ΣFi=0, z.B. F-ma =0
• Gleichförmige Bewegung: F=0 ⇔ a=0
Durchschnittsgeschwindigkeit vD= (x2 –x1)/(t2-t1)
2
(2.1)
Momentangeschwindigkeit
v:= Δx/Δt |Δt→0
Zusammengesetzte Bewegung: schiefer Wurf, Relativbewegungen
vges = vmed + v rel vektorielle Addition der Geschwindigkeiten
Bewegung in 2 Dimensionen : (x,z)
(Schräger Wurf)
Parameterdarstellung x(t), z(t), vx(t), vz(t)
Vektorgleichung (in Komponenten):
vx(t) = v0x = const.
(2.3)
Vz(t) = v0z-gt
x(t) = v0x t
(2.4)
2
z(t) = v0z t- (g/2) t
Bahnkurve z=z(x) Parabelbahn : Einsetzen von t= x/v0x in (2.4b)
m: Trägheit, z.B. in F=m.a
(2.5)
Massenanziehung: F = γ m1.m2 / r2
(2.6)
Energie:
Stoß:
potentielle-, kinetische- Rotationsenergie
eindimensionaler Stoß, elastisch, ineleastisch
Starrer Körper:
m =m(r) Schwerpunkt, Trägheitsmoment
Variable Masse: Raketengleichung
F = m d v/dt = dp/dt, p=m v = Impuls
(2.7)
Meist : m=const.
⇒ (1) F =m dv/dt = m a (Newton)
(2.8)
3
Ausnahme: Rakete : dm/dt = Verbrennungsrate
mr = Raketenkörper
mG = ausgestossene Gase mit u relativ zur Rakete
Impulsänderung: dpr/dt = d(mvr)/dt = m dvr/dt + vr dm/dt
Gas: dpg/dt =dmg/dt (v+u)
dmg/dt = - dmr/dt
Summe der Impulsänderung:
F = dp/dt = dpr/dt + dpg/dt = mdv/dt – u dm/dt
(2.9)
(Raketengleichung)
F= m(t) g mit m(t) = m0- (dm/dt) (Δt)
(2.10)
„Lift-off“: erfolgt (Δt ) nach Zündung
einfache Stossprozesse: eindimensional und zentral
I)
elastisch
Es gelten: Energiesatz und Impulssatz
(m1 v12)/2 + (m2v22)/2 = (m1v1´2)/2 + (m2 v2´2)/2
(2.11)
m1 v1 + m2v2 = m1v1´ + m2 v2´
v1´, v2´= Geschw. Nach dem Stoss
Auswertung:
v1´ = v1(m1-m2)/(m1+m2) + 2m2 v2 /(m1+m2)
(2.12)
v2´ = v2(m2-m1)/(m1+m2) + 2m1 v1(m1+m2)
Sonderfälle:
a) m2>>m1
⇒ v1´ = -v1
4
b) m2= m1
II)
⇒ v1´ = v2 , v2´= v1
inelastisch
nur der Impulssatz gilt
m1v1 + m2v2 = (m1+m2) v´
(2.13)
kinetische Energie wird in Wärme umgesetzt
ΔE = m1m2/ 2 (m1+m2) (v1-v2)2
(2.14)
Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung,
Zentripetalbeschleunigung, Frequenz, Drehimpuls
• Projektion auf die y-Achse:
y(t) = r sin (ϕ(t) = r sin (ω t)
(2.15)
Periode: ω T = 2π
• Drehbewegung
Zylinderkoordinaten: r, ϕ
Winkelgeschwindigkeit: ω:= dϕ/dt [s-1]
(achsialer Vektor, Richtung: ↑oder↓ ↔Drehsinn)
ϕ=ϕ(t) , r = const.
Transfer : (x,y)→ r, ϕ
x(t)= r cos(ϕ(t)), y=r sin(ϕ(t))
r(t)= (r cos(ϕ(t)), r sin(ϕ(t)), 0))=r (cos(ϕ(t )),sin(ϕ(t)),0)
(2.16)
5
v(t)= dr/dt = r(-dϕ/dt .sin ϕ, dϕ/dt .cos ϕ, 0 )
= r dϕ/dt (-.sin ϕ, cosϕ, 0 )
(2.17)
⇒ v(t)⊥ r(t), denn : v . r = 0
Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ/dt
[ω] = s-1
⎮v⎮= r . dϕ/dt . SQRT( sin2(ϕ) + cos2 (ϕ) +0 ) = r dϕ/dt
= r. ω
(2.18)
Beschleunigung bei der Kreisbewegung:
a=dv/dt = r d2ϕ/dt2( - sinϕ, cosϕ, 0) +
r. (dϕ/dt)2 (-cosϕ, -sinϕ, 0)
mit v aus Gl. (1.12) : und r aus Gl. (1.11)
a = at + ar , wobei at ⎜⎜v (Tangentialkomponente) und
ar⎜⎜r (Radialkomponente)
(2.19)
für ω= const. ⇒ dω/dt =d2ϕ/dt2=0 und at=0
ar = ω2 .r
(2.20)
d.h.: gleichförmige Drehbewegung = gleichmäßig beschleunigte Bewegung
3. Schwingungen und Wellen
3.1 Schwingungen: periodische Bewegungen
3.1.1 freie Schwingungen
Beispiele:
a) Feder: rücktreibende Kraft: F = - D x
Bewegungsgleichung: F= m d2x/dt2 = - D x
6
→ d2x/dt2 + (D/m) x =0
b) Mathematisches Pendel, Fadenlänge l, Auslenkung φ:
Auslenkung senkrecht zur Vertikalen: s
Rücktreibende Kraft: F = -mg sin φ
Bewegungsgleichung: F = m d2s/dt2 = - mg sin φ
→ d2s/dt2 + (g/l) s =0 für kleine Längen s (kleine Winkel)
c) Flüssigkeit im “U”- Rohr, Auslenkung y
Rücktreibende Kraft: ρA 2y g
Beschleunigte Masse: ρAl
→ ρAl d2y/dt2 + ρA 2 g y =0
Alle Fälle zeigen eine Gleichung des Typs:
F = m d2x/dt2 + α x = 0
(3.1)
α= constant
Gl. 2.1 ist eine homogene Differentialgleichung (DGL)
Lösungen sind:
x(t) = A sin (ωt) + B cos (ωt)
(3.2)
A, B werden bestimmt durch Anfangsbedingungen:
x(0) und
dx/dt (0)
z.B. x(0) = 0 → 0 = A sin (0) + B cos (0) → B=0
oder: x(0) = x0 → x0 = A sin (0) + B cos (0) → B=x0
3.1.2 Addition von Schwingungen mit ω1= ω2
7
x1(t) = a1 sin (ωt + ϕ1)
+
x2(t) = a2
sin (ωt + ϕ2)
Resultierende :
Addition der Vektoren in der komplexen Ebene:
ar2 = a12 + a22 + 2 a1a2 cos (ϕ1 - ϕ2)
Schwingungen mit leicht veränderter Frequenz:
ω1 ≈ ω2
xr= a sin(ω1t) + a sin (ω2t)
→ xr (t) = a sin ((ω1t+ (ω2t)/2) * cos ((Δω/2) t)
(3.3)
Schwebungsfrequenz : Δω = ω1 - ω2
3.1.3 Energie während einer harmonischen Schwingung:
E r = Epot + Ekin = ½ D ( sin2(ωt) + cos2(ωt)) = ½ D x02 = const.
(3.4)
3.1.4 freie, gedämpfte Schwingung:
zusätzliche Kraft: K ∝ v ( häufig )
Bewegungsgleichung:
m d2x/dt2 + k dx/dt + D x = 0
(3.5)
d2x/dt2 + 2 ρ dx/dt + ω02 x = 0 ⏐2 ρ = k/m ; ω02 = D/m
(3.5a)
algemeine Lösung der homogenen DGL:
(2.5a)
x = c1exp(λ1t) + c2 exp(λ2t)
(3.6)
8
with λ1, 2 = -ρ ± √ (ρ2 -ω02 )
2
Fälle:
a)
(3.7)
a) ρ <ω0: kleine Dämpfung
b) ρ= ω0 : Spezialfall (aperiodisch)
c) ρ > ω0 : grosse Dämpfung
ρ <ω0 :
(ρ2 -ω02 ) = i √ (ω02 - ρ2)
(3.8)
allgemeiner Löaungsansatz:
x = c1exp(λ1t) -c2 exp(λ2t)
(3.6a)
Anfangsbedingung : x(0) =0
⇒ 0 = c1 – c2 ⇒ c1= c2 =c
eingesetzt in : (2.6a)
x(t) = c exp(λ1t) - c exp(λ2t)
wegen Gl.(2.8) : λ1, 2 = - ρ ± i ωD mit
ωD = √ (ω02 - ρ2) = Dämpfungsfrequenz
(3.9)
in (3.6a):
x(t) = c exp ( -ρt) [ exp (+i ωDt) – exp (-iωDt)]
(3.10)
mit Eulerscher Formel:
x(t) = c exp (-ρt) . 2 cos (ωDt)
(3.11)
Gl. (3.11) beschreibt eine gedämpfte Schwingung
Maß für Dämpfung:
Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Maxima:
at / at+Td = e-ρt/ e-ρ(t+Td) = e-ρTd
9
ln (at / at+Td) = -ρTd = logarithmisches Inkrement
(3.12)
allgemein gilt: für ein abgeschwächtes Signal I0 →I
10 log (I/I0) = 1 dB (deziBel)
z.B. I = 0.01 I0 ⇔ 20 dB Schwächung
Verdopplung: ⇔ 3dB
Halbierung:
⇔ -3dB
Andere Fälle:
b)
Grenzfall : ρ= ω0 : Lösung: x(t) = exp(-ρt)
c)
grosse Dämpfung: aperiodische Lösung
3.1.5
(3.13)
erzwungene Schwingung
erzwungene, ungedämpfte.....
Bewegungsgleichung:
md2x/dt2 + Dx = k sin ωt
k=konst.
(3.14)
Lösung einer inhomogenen DGL:
Spezielle Lösung der inhomogenen DGL + allgemeine Lösung der zugehörigen
homogenen DGL:
Hier: spezielle Lösung: x= c sin ωt
dx/dt = c ω cos ωt
d2x/dt2 = - c ω2 sin ωt = -ω2x,
mit D/m = ω02
⇒
c (-mω2 + m ω02 ) = k
⇒ c= (k/m)/ (ω02 - ω2)
( 3.15)
10
d.h. c als Amplitude hat eine Resonanzstelle bei ω→ω0
allgemeine Lösung der zugeh. Homogenen DGL:
x=A cosω0t + B sin ω0t ,
ω02 = D/m
(beschreibt Einschwingvorgang)
erzwungene, gedämpfte Schwingung:
Bewegungsgleichung:
md2x/dt2 + 2ρ dx/dt + Dx = k1 sin ωt
(3.16)
spezielle Lösung:
x= |c| sin (ωt +δ) = (|c|/2i) [ei(ωt+ δ) + e-i(ωt+ δ) ]
(3.17)
eingesetzt in (2.16), geordnet nach eiδ, eiωt :
|c| = k1/m / [(ω02 - ω2)2 + 4ρ2ω2]
(3.18)
Maximum bei der Frequenz ωm mit ωm2= ω02 - 2ρ2
(3.19)
3.2Wellen
Welle = eine sich ausbreitende Schwingung im Raum
Schwingungsamplitude am Ort x, zur Zeit t: y= y(x,t)
Sei c die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle (Phasengeschwindigkeit)
Bei x=0:
y= y0 sin ωt , bei x : um τ =x/c verspätet:
y= y0 sin[ω(t- τ)] = y0 sin [ω(t- x/c)]
(3.20)
Gleichung (2.20) beschreibt eine Welle
Mit den Grössen:
11
c = λ ν , λ = Wellenlänge (Periode In der Ortskoordinate)
ν = Frequenz
(3.21)
und ω= 2 π ν = 2π /T,
sowie , λ = c T = c / ν = c 2π / ω
(3.22)
eingesetzt in (2.20):
y(x,t) = y0 sin ( ωt - ω x/c) = y0 sin ( 2 πνt - ω x/c)
= y0 sin (2 πt/T - ω 2π x/ λω)
= y0 sin (2 πt/T - 2π x/ λ)
y(x,t)= y0 sin [(2 π(t/T - x/ λ)]
(3.20a)
äquivalente Darstellung zu (2.20)
Definition: Wellenvektor k , Betrag k =2π / λ
k =2π / λ
= 2πν /ν λ =
eingesetzt in (2.20):
2πν /c = ω /c
y(x,t) = y0 sin ( ωt - ω x/c) = y0 sin ( ωt - k x)
ωt ↔ Zeitphase
kx↔ Ortsphase
Ausbreitungsrichtung : +kx ↔ Welle läuft in Richtung +x
- kx ↔ Welle läuft in Richtung –x
äquivalent zu (3.20) und (3.20a)
Richtung des Wellenvektors= Ausbreitung der Welle
Allgemein: Amplitude
y0 = const ↔ ebene Welle
y0 = c/r
↔
Kreiswelle
y0 = c/r2
↔
Kugelwelle
Überlagerung von Wellen :
Betrachtet werden 2 Wellen mit dem Gangunterschied Δx=d
12
(3.23)
(3.20b)
y1= y10 sin (ωt –kx)
y2= y20 sin [ωt –k(x-d)]
yr = y1 + y2 =y10sin (ωt –kx) + y20 sin (ωt –kx+kd)
Ansatz für resultierende Welle :
yr = yr0 sin (ωt –kx+kD) mit Amplitude yr0 und Phase kD
es ergeben sich für die Amplitude der Resultiernden:
(yr0)2= (y10 )2+ (y20)2 +2y10 y20 cos kd
(3.24)
und die Phase :
sin kD / sin kd = y20/ yr0
(vergleiche Addition von Schwingungen)
stehende Wellen:
Überlagerung einer hinlaufenden Welle mit einer rück-laufenden Welle:
y1= y0 sin (ωt – kx)
y2 = y0 sin (ωt + kx)
yr = y1 + y2 = 2y0 sin (ωt) cos (kx)
(3.25)
Gleichung einer stehenden Welle
Randbedingungen entscheiden über spezielle Lösungen:
z.B. 2 feste Enden : y(0) = y (L) = 0
Lösung : yr= 2y0cos(ωt) sin (kx)
(3.25a)
Denn, (2.25a) hat Knoten bei sin (kx) =0 ↔ kx =nπ
Bei x= L: knL = nπ n=1,2,3... mit kn= 2π/λn ⇒
13
L 2π/λn = nπ ⇒ λn = 2L/n
(3.26)
Eigenfrequenzen für stehende Welle mit festen Enden:
νn = c /λn = n c/2L , νn= n ν1 mit ν1= c/2L
Ähnliches gilt für 2 offene Enden:
(3.27) .
Lösung: yr= 2y0 sin (ωt) cos (kx)
(3.28)
Maxima bei x=0 und x=L : cos (0)= cos(kL) =±1
⇒knL = n π ⇒ 2πL/λn = n π ⇒ λn = 2L/n
Frequenzen wie (2.27):
νn = c /λn = n ν1
mit ν1= c/2L
4. Akustik
Kundt´sches Rohr:
Über einen Stahlstab wird eine stehende Welle in einem gasgefüllten
Glaszylinder angeregt. Die Knoten werden mit Korkmehl sichtbar gemacht und
können gemessen werden:
Gasraum: νgas = cgas /λgas
Stab: νST = cST /λST
Wegen νST = νgas ⇒
cgas = cST λgas /λST
(4.1)
für Festkörper gilt:
c= SQRT( E/ρ)
(4.2)
mit E =
Elastizitätsmodul in Pa (Druckeinheit)
(Spannung)
einige Schallgeschwindigkeiten:
Material
Stahl
Wasser
Stickstoff
c in m/s
5100
1485
349
14
Dichte in g/cm3
8
1
0.001
Sauerstoff
Luft (Normalbed.)
326
331
„
„
Tab. 4.1: einige Schallgeschwindigkeiten
Geschwindigkeitsamplitude , Schallschnelle:
y=y0 sin [2π(νt – x/λ)]
⇒ dy/dt= 2πνy0 cos [2π(νt-x/λ)]
(4..3)
Definition : u0 = 2πνy0 = ω y0
(4.4)
Darstellung einer akustischen Welle als Druckschwankung
Bewegungsgleichung für ein Teilchen in einer Welle :
Kraft auf ein „Gasscheibchen“ , Querschnitt A, Dicke dx,
Volumen dV= A dx
F = A p – A(p + dx (δp/δx) = - A δp/δx dx
(4.5)
Newton: F = dm δ2y/δt2 = ρdVδ2y/δt2 = ρAdx δ2y/δt2
⇒ ρ δ2y/δt2 = - δp/δx
p(x) =∫ρ δ2y/δt2dx
(4.6)
mit der ebenen Welle y= y0 sin [2π(νt-x/λ)]
⇒
p(x) = 2πν2ρy0 cos [2π(νt-x/λ)] +p0
(4.7)
mit Schallschnelle u0 = 2πνy0
und Δp0 := c ρ u0 gilt:
p(x) = p0 +Δp0 cos [2π(νt-x/λ)]
(4.8)
15
Energiedichte einer harmonischen Schallwelle :
Ekin /V =(1/2) ρ (dy/dt)2 = (1/2) ρ 4π2ν2y02cos2[2π(νt-x/λ)]
:
2
(4.9)
Zeitlicher Mittelwert für cos [2π(νt-x/λ)] =1/2
eingesetzt in (2.34): Energiedichte, gemittelt über T:
Ekin/V = ρ π2ν2y02
Gesamtenergie :Eges = 2Ekin
Eges/V = 2 ρ π2ν2y02
(4.10)
Intensität = Energiedichte . c
I = 2 ρ π2ν2y02 c = (1/2) ρcu02
(4.11)
I = (1/2ρc) (Δp0)2
(4.12)
Spektrales Hörvermögen: Weber-Fechner Gesetz
Lautstärkeeinheit Phon auf 1 kHz
Phon = 10 log (I/I0) bei 1 kHz
z.B. 20 Phon ⇔ I/I0 = 102
Hörschwelle I0= 10 –12 W/m2
Schmerzgrenze bei 130 Phon ( I = 1013 I0= 10 W/m2)
16
Abb. 4.1: Weber-Fechner Gesetz : spektrales Hörvermögen
Abb. 4.2 Schallstärken (aus U.Leute...)
17
Dopplereffekt:
Frequenzverschiebung in der Wahrnehmung
a) Bewegter Beobachter: mit ± u:
Frequenz der wahrgenommenen Welle ändert sich zu f´
f´=(c ± u)/f0 = f0 ( 1± u/c)
(4.13)
b) bewegter Sender mit ± u
Wellenlänge erscheint verändert:
f´´ = c/λ´´ = c /(λ0±u/f0) = cf0/(f0λ0±u) = f0/(1±u/c)
(4.14)
Brechung von Wellen an Grenzflächen:
Medium 1, c1, Einfallswinkel: α
Medium2: c2, Ausfallswinkel: β
sinα/ sinβ = c1 / c2
(Snellius´sches Brechungsgesetz) (4.15)
Huygens´sches Prinzip
Beugung einer Welle: d ≈ λ
5.
Elektrizitätslehre
5.1
Stromkreise
Ohm´sches Gesetz:
El. Widerstand: R = ρ.l/A
[R]= Ω = V/A
(5.1)
Für einen Leiter der Länge l, Querschnitt A , spez. Widerstand ρ in Ω mm2 /m
An R fällt Spannung U ab:
U = R.I
Serienschaltung von Widerständen: Rges= R1 + R2 = Σ Ri
(5.2)
(5.3)
Maschenregel an Verzweigungen:
I = I1 + I2 + I3
(5.4)
18
(1. Kirchhoff´sche Regel)
Parallelschaltung von Widerständen:
1/Rges = 1/R1 + 1/R2
(5.5)
2.Kirchhoff´sche Regel oder Maschenregel:
über eine Masche gilt : Σ Ui=0
(5.6)
5.2 Elektrostatik
Elektrisches Feld E:= U/d, [E] = V/m
(5.7)
Coulombkraft zwischen 2 Ladungen q1(+), q2(-) im Abstand r:
FC = q1 q2/(4πε0 r2)
(5.8)
Kraft auf Probeladung q im Feld E: F = q. E
(5.9)
Dielektrischer Fluss: im Vakuum D0:=ε0 E
(5.10)
In Materie mit DK εr
[D] = As/m2
D = εr . ε0 E
(5.11)
(Ladungsdichte)
elektrischer Fluss im E-Feld: durch Flächenelement dA
dΨ:= D . dA (Skalarprodukt) Ψ =D A cosα
Gausscher Satz: für eine beliebige Fläche, die Ladungsquellen qi umschliesst, gilt:
Ψ = ∫ D . dA = Σ qi
Elektrisches Dipolmoment: p = q.s
(5.12)
[p] = Asm =Cm
Orientierung im homogenen Feld infolge eines Drehmoments:
M=s x F
mit F aus (5.9)
M = p x E , M= p.E.sinα
(5.13)
Potential φ = Arbeit, für die Verschiebung einer Probeladung q vom Punkt P0 zum Punkt P1
Im elektrischen Feld:
φ:= WP0,P1/q
(5.13)
wit W = F ds →
WP0P1= - ∫ F ds und (5.9) → W = q ∫ E ds oder
19
φ = ∫ E ds
(5.14)
für eine Punktladung gilt: φ = q/ (4πε0r)
und die Feldstärke einer Punktladung: E = q/ 4πε0r2 ) = φ/r
Kapazität, Kondensator
Anwendung von Gl. (5.10) zusammen mit E =U/s für einen leeren Plattenkondensator der
Fläche A im Abstand s: ergibt für die verschobene Ladung:
Q = D A = ε0 E A = ε0 A U / s = (ε0 A/s) U
Oder:
Mit der Kapazität C:= ε0 A/s
(5.15)
C:= Q/U
[C] = As/V =F = Farad
(5.16)
Parallelschaltung von Kapazitäten: U =const.
Addition der Ladungen Q = Q1 + Q2 + Q3 +.... = (C1 + C2 +...) U = Cges U
→ Cges = C1 + C2 + C3 Addition der Kapazitäten
Bei der Serienschaltung addieren sich die Spannungen gemäss:
(5.17)
U1 + U2 + U3+... = Uges = Q/ Cges = Q/C1 + Q/C2 + Q/C3 = Q(1/C1 + 1/C2+ 1/C3)
→ 1/Cges = 1/C1+1/C2 + 1/C3)
(5.18)
Energie eines geladenen Kondensators:
W = ∫ UdQ = 1/C ∫ QdQ = Q2 / 2C = UQ/2
Mit Q =CU → Wel = CU2/2
Mit (5.15)→
W = CU2/2
W= ε0A U2 /2s
Oder
W = ε0 E2As/2
(5.19)
mit Volumen V=As
W = ½ ε0 E2V mit D= ε0 E
Wel = ½ EDV
(5.20)
i.allg. ist das Feld nicht homogen über ein Volumen V:
dWel/dV = ½ ED dV/dV = ½ ED = ½ ε0 E2
für die Energie eines elektrischen Feldes
5.3 Magnetisches Feld
20
(5.21)
Magnetisches Feld in einer homogenen Spule mit Windungszahl N, Länge l:
H := I N /l
(5.22)
[H] = A/m
magnetischer Fluss Φ, magnetische Flussdichte B:=μ0 H
B = Φ/A in Vs/m2 , Φ in Vs
(5.23)
Materie: µr =B / B0 Permeabilitätszahlr
Einteilung der Materie:
µr<1 diamagnetisch
µr>1 paramagnetisch
µr>>1 ferromagnetisch
Magnetisches (Dipol) Moment: j:= Φ s , s =Abstand der beiden Pole (N,S)
[j] = Vsm
elektromagnetisches Moment: m:= j/µ0
(5.24)
im Zusammenhang mit verursachenden Strömen!
[m] = A m2
Energie eines Momentes im Magnetfeld:
W =- m . B [Am2 x Vs/m2 = VAs]
(5.25)
Elektromagnetische Felder, Maxwellgleichungen:
δE/ δt → (δ/δx...) x B
ein zeitlich verändertes E-Feld verursacht ein magnetisches Wirbelfeld
δH/ δt
→ (δ/δx...) x D
(5.26)
(5.27)
ein zeitlich verändertes Magnetfeld verursacht ein elektrisches Wirbelfeld
(Induktionsgesetz), z.B. induzierte Spannung in bewegtem Leiter im B-Feld:
allgemein gilt das Induktionsgesetz : in einem Leiter von N Windungen wird bei Änderung
des magn. Flusses
Uind = - N dΦ/dt
(5.28)
induziert.
21
Abb. 5.1 : induzierte Spannung bei Flussänderung (aus: H.Lindner: „Physik für Ingenieure“)
Abb. 5.2 Induktionsstrom bei Zunahme des magnetischen Flusses in einer Spule (a), bzw.
Leiterschleife (b) (aus H.Lindner)
Bei bewegten (v), geladenen Teilchen(q) in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft (LorentzKraft) auf die Teilchen:
FL = q v x B (Vektorprodukt)
22
(5.29)
Abb. 5.3: Induktionsstrom bei Bewegung eines Leiters senkrecht zu einem B-Feld
(aus H.Lindner)
5.4 Wechselstrom
U = U0 sin ωt
I = I0 sin ωt
Leistung P = U . I , W = P . t = U2/ R = I2 R
Bei Ohmschen Widerständen bleibt die Phasenlage von Strom und Spannung erhalten.
Bei der Verwendung von Kondensatoren und Spulen kann es aber zu Phasenverschiebungen
zwischen Strom und Spannung kommen.
Mittlere Energie über eine Periode t=T:
W= ∫U2/R dt = Ueff2 /R mit:
(5.30)
Ueff2 : = U02 / 2
(5.31)
Ieff2 := I02/2
Spule mit L: I sei I =I0 sin ω t
Mit
U= L dI/dt = L ω I0cos ωt = ωLI0 sin (ωt + π/2)
U = U0 sin (ωt + π/2) = Z I →
Z = RL= ω L
(5.32)
Z = Wechselstromwiderstand
Phasenlage wird in komplexer Ebene dargestellt. Relle Achse = Phase 0 ~ Strom I
Bei der Spul eilt Spannung dem Strom voraus, deshalb:
RL = + i ωL (pos. Imaginäre Achse)
23
(5.32a)
werden Wechselstromwiderstände in der komplexen Ebene dargestellt.
Kondensator mit Kapazität C:
RC= -i/ ωC
Für den Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung gilt daher die vektorielle Addition in der
komplexen Ebene:
Rges = R + RL + RC mit dem Betrag :
Rges = √ [( R2 + (ωL – 1/ ωC)2 ]
(5.33)
Schwingkreise
i)
6.
Parallel : L und C parallel: Addition der Leitwerte zu 0: 1/ ωL – ωC =0
→ Resonanzfrequenz ω02= (LC)-1
(5.34)
OPTIK
Licht ist eine elektromagnetische Welle
mit 400 nm≤λ≤700 nm
6.1 geometrische Optik
optische Medien: transparent, lichtdurchlässig
Luft, Wasser, Glas
ci = Phasengeschw. im Medium,
c0/ ci := Brechzahl , Brechungsindex ni = c0/ci
c0= 3 108m/s (Vakuum)
Grenzflächen: Reflexion und Brechung
Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Spiegel: metallisierte Fläche mit r→1
Lichtstrahl= Bündel mit Divergenz → 0
24
Hohlspiegel: mit f= R/2
Abbildungsgleichung:
1/f = 1/g + 1/b
(6.1)
reelle Abbildungen↔ g >0 und b> 0 (G und B rechts von der Spiegelebene)
virtuelle Abbildungen↔ g >0 und b < 0 (B hinter dem Spiegel)
für die Vergrößerung beim Hohlspiegel gilt:
β= B/G = f/(g-f) = (b-f)/f
(6.2)
⇒ f=βg- βf und βf = b-f
⇒(1+β)f
⇒ f + βf =βg mit βf = b-f ⇒
βf = βg-f = b-f
⇒
b= βg oder β = B/G = b/g
(6.3)
Schwäche des Sphärischen (kugelförmigen) Hohlspiegels:
Brennpunkt F gilt nur für achsennahe Strahlen
Abhilfe: Parabolspiegel: alle Parallelstrahlen werden durch F reflektiert! →
„Kegelschnittsmathematik“
Anwendungen:
•
•
Solaröfen
Scheinwerfer
Brechungsgesetz (Snellius):
n1 sin.α1= n2sin.α2= ni sin αi = const.α
(6.4)
Totalreflexion bei Übergang von Medium 2→1 (n2 >n1):
Grenzwinkel: α1 = 90o ⇒ sin α1 =1 in (6.2)
sinα2tot= n1/n2
(6.5)
Phänomene in der Natur: Luftspiegelungen über heissem oder kaltem Grund (Fata morgana
etc.)
25
Abb. 6.1: Erscheinung der Fata Morgana (aus U.Leute, )
Abb. 6.2:Luftspiegelung über
kaltem Grund ( aus: U.Leute)
Anwendungen der Totalreflexion:
• Refraktometer
• Lichtleitfasern
Apertur einer Lichtleitfaser:
sinα = √(nk2-nm2)
(6.6)
optisches Prisma: 2
brechende Flächen unter
dem Winkel γ
für symmetrischen
Strahlengang gilt:
Ablenkung δ minimal
n= sin [(γ+δ)/2] / sin (γ/2)
(6.7)
26
Die Erscheinung, dass δ = δ(λ) oder δ = δ(ω)
(6.8a)
wird Dispersion genannt, mit (3.7) ⇒ n= n(λ)
(6.8b)
Erscheinung des Regenbogens ⇔ Totalreflexion und spektrale Aufspaltung des Lichtes an
Regentropfen
Abb. 6.3: zur Erscheinung des
Regenbogens (aus U.Leute)
•
Anwendung:
Prismenspektrograph
Näherung für kleine brechende
Winkel γ:
Einfallswinkel α1≈sinα1;
Ausfallswinkel α2≈sinα2
sinα1 =n sinα2 ; δ=α1 - α2 +
α1´-α2´,
γ=α2 + α2´
α1-α2=(n-1)α2 und
α1´-α2´=(n-1)α2´
27
⇒ δ= (n-1) (α1 + α2) = (n-1) γ
Material
Kronglas
Flintglas
Diamant
Eis
rot
670nm
1.515
1.624
2.410
1.306
(6.9)
Orange
620nm
1.522
1.626
2.415
1.308
Gelb
570nm
1.523
1.627
2.417
1.309
Grün
520nm
1.526
1.632
2.426
1.311
Blau
470nm
1.532
1.640
2.444
1.314
Violett
410nm
1.538
1.651
2.458
1.317
Tab. 6.1: Dispersion, Brechzahlen für einige Materialien,
Linsen
innen dicker ↔ konvex↔ Sammellinse
aussen dicker↔ konkav↔ Zerstreuungslinse
Linse = räumliches Gebilde, begrenzt von 2 Kugelschalen : R1, R2
Beim Durchgang werden Strahlen 2 mal gebrochen: formal einmal an der Hauptebene
Für dünne Linsen gilt:
δ = φ1 + φ2 = (n-1) γ
Linsengleichung: f=f (n,R1,R2):
1/f = (n-1) (1/R1 + 1/R2)
(mit n=n2/n1)
(6.10)
mit g= Gegenstandsweite und b=Bildweite →
Abbildungsgleichung:
1/f/ = 1/g + 1/b
Grafische Bildkonstruktion bei dünnen Linsen:
Parallelstrahl P
Brennstrahl B
Hauptstrahl H
→
→
→
Brennstrahl B
Parallelstrahl P
Hauptstrahl H
→
f < b < 2f
→
b=f
→
b > 2f
(6.11)
reelle Abbildungen :
g> 2f
g=2f
f < g < 2f
(verkleinertes B)
( B =G)
(vergrößertes Bild)
virtuelle Abbildung:
g<f
→ 1/g > 1/f in Abb. Gl. (3.11)
28
→1/b = 1/f – 1/g <0, → b<0 (B auf gleicher Seite wie G)
Zerstreuungslinse (f<0)
→
Für g>0 → 1/b = 1/f – 1/g wegen 1/f <0 → 1/b <0, d.h. b<0 (3.12)
nur virtuelle Bilder mit Z-Linse
Definition: Brechkraft D = 1/f
(6.13)
Masseinheit für D: [D] = m-1 = Dioptrie
z.B. Linse mit f= 25 cm hat 4 Dioptrien
Linsensysteme: Addition der Brechkräfte
D ges = 1/fges = 1/f1 + 1/f2 = D1 + D2
(6.14)
Dicke Linsen: 2 Hauptebenen, eine Brechung
→ Gl. (3.11) gilt weiterhin, wenn b, g zur jeweiligen Hauptebene gemessen werden.
hauptsächliche Linsenfehler:
•
Chromatische Aberration: eine Folge der Dispersion des Glases
n=n(λ) → f =f(λ) , Frot .... Fblau
•
Astigmatismus (Punktlosigkeit)
Folge der Zweischaligkeit , Fy ≠ Fx
•
Sphärische Aberration
Unterschiedliches F für achsenferne Strahlen,
vgl. Hohlspiegel
einfache optische Instrumente:
Abbildungsmaßstab ß= B/G =b/g
Sehwinkel : tan ε = β = B/b = G/g
Für kleine Winkel:
Sehwinkel ε 0 = G/s0
(3.15)
für Gegenstand im Abstand der deutlichen Sehweite s0 =25 cm
Vergrößerung v:= Sehwinkel mit Gerät / Sehwinkel ohne Gerät
v= ε / ε0
(6.16)
minimale Auflösung des menschlichen Auges ~ 1 Bogenminute
29
a) Die Lupe
Sammellinse für den Fall g < f und g→ f ( b→∞ )
(6.17)
b) das Mikroskop: 2-Linsen-System, Objektiv + Okular
Objektiv: konvexe Linse mit reeller Abbildung,
produziert reelles, vergrößertes Zwischenbild
vObj= B/G = b1/g1
Okular: betrieben als Lupe,
vOk = s0/f2
vMik= vObj x vOk = t s0 / f1 f2
(6.18)
mit Näherungen: g1≈ f1 , b1 ≈ t (Tubuslänge)
Abschätzung der Näherung an einem Beispiel:
gegeben sei Mikroskop mit f1=4mm, f2= 20mm, b1= 160mm
Objektiv:
Okular:
Mikroskop
2-Linsensystem
Mikroskop-Näherung
1/g1= 1/f1 – 1/b1
→g1= 4.1mm
g1≈ f1 , b1 ≈ t
→vObj= b1/g1= 160/4.1
= 39 fach
vObj= t/f1 = 160/4
= 40 fach
1/g2= 1/f2- 1/b2
mit b2 = 250 mm = s0
→g2 = 18.5 mm
v2 = b2 / g2 = 250/18.5
v2 = 13.5 fach
vOk = s0/f2
vOk = 250/ 20
= 12.5 fach
v1,2= 39x 13.5
v1,2 = 527 fach
Teleskopisches Fernrohr:
30
vMik= 40x 12.5
vMik = 500 fach
2-Linsensystem :
Objektiv: reelles Zwischenbild B
Okular: Lupe für B=G2
Grosse g1 ↔ kleine Winkel α, β
v = Sehwinkel mit Teleskop / Sehwinkel ohne Teleskop
v= β / α
(6.19)
aus Abbildungskonstruktion mit Hauptstrahl:
α= B / f1 , β =B/f2
→ vT = (B/f2) / (B/f1) = f1/ f2
(6.20)
→ grosse f1, kleine f 2 ↔ grosse vT
Spiegelteleskope ↔ grosse f1 (einige m), grosse Lichtstärke
Terrestrisches Fernrohr:
• dritte Linse oder
• Retroprisma
Umkehr des Zwischenbildes durch
Größenordnungen: vMik ≤ 2000 fach
Auflösungsvermögen wegen Beugung:
sin α ≥ 1.22 λ /d mit d= beugende Öffnung, z.B. beim Auge
d≈ 3mm (Pupille) für λ=550nm:
→ α ≥ 1.22 x 550 10-9/ 3 10-3 ≈ 2 10-4 oder 46 ´´
→ in 100m Δs ≥ 2 cm , auf dem Mond: Δs ≥ 74m (364000km)
6.2 Wellenoptik (phys. Optik)
kohärentes Licht (interferenzfähig)
• gleiche Polarisation
• gleicher Wellenvektor (Richtung und Betrag)
• feste Phasenbeziehung
Herstellung von...:
- punktförmiger Lichtquelle
- Laser (light amplification by stimulated emission of radiation)
Beugung von Lichtwellen:
31
Objekte mit d ≈ λ
Beugung am Spalt (Breite d):
Abb. 6.4: Beugungserscheinung am Spalt
Betrachtet wird ein Strahlenbündel in Richtung ß:
Mittelstrahl mit Phase:Δx = λ/2 → paarweise Auslöschung
Auslöschung für d sin ßn = n λ mit n=1,2,3...
Maxima für
d sinαn = (2n+1) λ/2
32
(6.21)
. Abb.6.5: Beugung an Mehrfachspalten
Beugung am Gitter mit Gitterkonstanten d:
Maxima für Richtungen:
d sinαn = n λ n=1,2,3,..
(6.22)
Minima für:
d sin ßn = (2n+1) λ/2 , n=1,2,3...
(6.23)
beim Gitter: Abbeugung (sin αn) ~λ (dispersives Element)
Anwendung im Gitterspektrometer
Spektralzerlegung für weisses Licht: rot wird stärker gebeugt als blau!
Farben an dünnen Schichten:
Einfallswinkel α, n= Brechungsindex der Schicht, d= Schichtdicke
Phasendifferenz zwischen Wellen, die an der Oberseite und Unterseite reflektiert werden:
Δ= 2d √ ( n2 – sin2α) +λ/2
(6.24)
Häufig: α→0: Δ= 2dn + λ/2
(6.25)
Anwendung auf Keil mit Winkel ε = D / s:
Parallele Streifen im Abstand Δs = λ / 2 ε
(6.26)
→ Messung von s → Bestimmung von ε (D)
33
bei runder Geometrie: Newton´sche Ringe ,
Bestimmung von Krümmungsradien von e.g. Linsen möglich
Optische Messung , Ortssensoren
Optische Interferometer:
- nach Michelson
-Fabry-Perot
- Mach Zehnder
Auflösung im Bereich λ (< µm)!
6.3 Quantenoptik
Welle: Energie = Epot + Ekin = Epot(Amplitude) + Ekin(Frequenz)
kontinuierliche Werte,
für klassische Theorie→ „UV-Katastrophe“
Abhilfe durch Quantenhypothese für Licht:
Experimentelle Beweise:
a) Planck´sche Strahlungsformel
quantisierte Energie für „Lichtteilchen“: E = hν
(6.27)
Spektralverteilung
Häufigkeitsverteilung für Photonen mit Frequenz ν,ν+dν
f(ν)dν =.......
entspricht Messung
b) Photoeffekt (äußerer)
inastischer Stoß eines Photons mit einem gebundenen Elektron:
tritt auf bei Bestrahlung einer Kathode mit Licht,
bei Belichtung: Stromfluss
hν= WA+ (me/2) ve2 =WA +Wkin,e
(6.28)
WA ist typisch für ein Kathodenmaterial, Austrittsarbeit
Effekt setzt ein oberhalb einer Grenzfrequenz νg
c) Comptoneffekt:
inelastische Streuung von Photonen an Elektronen
Sei θ der Winkel zwischen einfallendem (λ) und
und gestreutem Licht(λ´), dann gilt für die Wellenlängenverschiebung
( Comptonverschiebung):
λ- λ´ = (e /m0c) ( 1-cos θ)
(6.29)
34
wobei λC = e/m0c = Comptonwellenlänge
λc = 2.42 10-12m =2.42 pm
(6.30)
7. Atomphysik
7.1 Quanteneffekte
beschleunigte, geladene Teilchen
Kaufmann (1901): m = m(v) für v→c:
mit ß=v/c gilt:
me(v) = me0 / √ (1 –ß2)
(7.1)
Beschleuniger: Teilchen mit der Masse m und der Ladung q im E-Feld E =U/x
Arbeit am geladenen Teilchen: W = ∫Fdx =∫qE dx= qEx= qU
Masseinheit: eV; e = elektrische Elementarladung = 1.602 10-19 As
1eV = 1.602 10-19 Ws
(7.2)
Energiesatz für beschl. Teilchen: qU = m/2 v2
(7.3)
Gl. (4.3) gilt für v<<c (klassisch) oder für ß in Gl. (4.1) gilt: ß<<1
Falls v→c, gilt (4.1) und:
dEkin/dt = F dx/dt =F v mit F = d(mv)/dt mit m=m(v) gemäß (4.1)
⇒ dEkin/dt = m0v / (√(1-ß2))3 dv/dt = m0∫ vdv/ (√(1-ß2))3
⇒ Ekin = m0c2/ (√(1-ß2) + K = mc2 +K
(7.4)
mit der Integrationskonstanten K
Bestimmung von K:
Ekin =0 für v=0, m=m0 ⇒
0=m0c2 +K ⇒ K = -m0c2, eingesetzt:
Ekin = mc2 – m0c2
( relativistische,kinetische Energie)
m0c2 = Ruheenergie
(7.5)
35
Einstein´sches Äquivalenzprinzip Masse∼ Energie
Photonen: E = hν=mc2
ν= c/λ , Impuls p = mc
⇒“m“ = E/c2 = hν/c2, p= hν/c = h/λ
(7.6)
(4.6) ist die de-Broglie Beziehung Welle ∼ Teilchen
Konsequenz: schwere Masse bei Photonen:
“m” = hν/c2
(verifiziert durch Mössbauereffekt)
Krümmung der Lichtbahnen durch Planeten
Abb. 7.1 : Prinzip eines Elektronenmikroskops aus :
Bohrmann et.al : »Physik für Ingenieure »
geladene Teilchen in E- oder B-Feldern
a) Elektrisches Feld: E =U/d, [E] = V/m
Kraft auf Teilchen: F =q .E
[F]= As.V/m=Nm/m = N
36
⇒Beschleunigungceleration a =F/m = E.q/m
(7.7)
für v0 = vx and E=Ey ⇒ sx=vx.t ; sy = (q/m) t2 (parabolisch)
b) in einem Magnetfeld B= Bz , v0=vx;
Lorenz-Kraft :
FL = q . v x B
mit v⊥B :
FL = q . v. B
(7.8)
⇒
Kreisbahn mit Radialbeschleunigung:
ar= qvB/m
(7.9)
mit R= radius
qvB = mv2/R
(7.10)
⇒ R= mv/qB (Gleichgewichtsradius)
(7.11)
7.2 Atommodelle
Modelle für das einfachste Atom: (Wasserstoff, H):
Periodensystem sollte erklärt werden durch Atommodelle
Periodizität, chemische Eigenschaften
Rutherford:
•
•
•
+Z
-Z
positiv geladener Kern
negativ geladene Elektronen auf Bahnen mit R
Kern enthält gesamte Masse A
dk ∼ 10-15 m
Z Elektronen mit der Ladung –Ze0 =- Z x 1.602 10-19 As umkreisen den Kern
(Planetenmodell)
Problem: bewegte Ladungen strahlen Energie ab ⇒ Lebensdauer eines
Rutherford-Atoms ≈10-8s
Bohr´sches Modell:
Postulate :
I)
stabile, nicht strahlende Bahnen mit rn (En)
Photonen mit diskreten Energien werden emittiert (absorbiert)
37
E n1- En2 = hνn1 n2
II)
(7.12)
In diesen strahlungslosen Bahnen (rn) beträgt der Drehimpuls ein
ganzzahliges Vielfaches von h/2π:
p 2πr = nh;
n=1,2,3……
mit p=h/λ → 2πr = n λ
(7.13)
Konsequenzen dieser Postulate für das RAM:
Zentrifugalkraft = Coulomb-Kraft
mv2/ rn = e2/4πε0/rn2 mit (4.10)⇒
rn= ε0h2 n2/ (πe2m)
(7.14)
Bohr´scher Radius: n=1: r1=5.92 10-11m
Energiezustände:
Wges = ∫FCdr = C – Ze2/(4πε0 r)
W = Wkin + Wpot wegen Wkin = Wpot ⇒ W = C- Ze2/(8πε0 r)
diskrete Zustände Wn (rn) mit (7.14)⇒
(7.15)
Wn = C – e4m/(8ε02h2) . 1/n2
(7.16)
Konstante C?
lim Wn = W∞ = C
verschiedene Skalen: a) W∞=0 ( Bindungsenergie) : Wn = - e4m/(8ε02h2) . 1/n2
b)W1=0 (Anregungsenergie): Wn= e4m/(8ε02h2) . 1/n2
Für Wasserstoff::
W1=W∞- 13.59 eV
(7.17)
2. Bohr´sches Postulat angewandt auf Wasserstoff
hν1,2 = C - e4m/(8ε02h2) . 1/n12- C + e4m/(8ε02h2) . 1/n22
⇒ν1,2 = e4m/(8ε02h3) ( 1/n22- 1/n12)
für n1>n2
mit der Rydbergkonstante R∞= e4m/(8ε02h3) = 3.28x 10 15 s-1
Serien:
n2 =1 : Lyman-Serie
n2=2: Balmer-Serie
n2=3: Paschen- “
38
(7.18)
n2=4: Brackett- “
n2=5: Pfund-Serie
Energiezustände des H-Atoms konnten mit dem Bohr´schen Modell erklärt werden (s. Abb.
7.2)
Experiment zum Nachweis der quantisierten Anregung der Elektronenniveaus:
Abb.7.2 : Energieniveaus des Wasserstoff-Atoms
aus : Bohrmann et.al : »Physik für Ingenieure »
Franck-Hertz-Versuch für Hg- Atome
Kennlinie I(U) weist Einbrüche bei jeweils 4.9V auf
Erklärung: ΔE = 4.9 eV bei Hg – Atomen
39
Erweiterung des Bohr-Modells auf H-ähnliche Atome: Li, Na....
Abb. 7.3 : Termschema des Li-Atoms
(Aus U.Leute: „Physik und ihre Anwendung...“
Problem: Entartung der Energieniveaus mit n > 1
Im Magnetfeld: Aufhebung der Entartung (Zeemanneffekt)
Für n=2: 3fach; n=3: 5-fach
magnetische Eigenschaften
aus der Elektrodynamik gilt: μ:= I A
mit I =strom und A= eingeschlossene Fläche
Abschätzung für Atom:
Umlaufendes Elektron stellt Stromfluss dar:
(7.19)
40
I = Q/t = ke0/t = vte0/t2πr
mit k= Umlaufzahl/s k= vt/2πr
(7.20)
magnetisches Moment des umlaufenden Elektrons auf einer Bahn mit Radius r:
μe= ve0 πr2/ 2πr = e0v r/2
(7.21)
nach Bohr: Bahndrehimpuls L=mevr = l h/2π , für l= 1,2,3...
gyromagnetisches Verhältnis: γ:= magn. Moment /Drehimpuls = evr/2mvr=e/2m
Abb. 7.4 Einstellung der Bahnen im Magnetfeld, a) l=1, b) l=2, c) l=3
Aus: H.Lindner: „Physik für Ingenieure“
⇒μe= γ L mit L=l h/2π und γ= e/2m
⇒μe= l eh/2πme , für l=1: μe= eh/2πme = μB= 9.273 10 –24Am2
μB= Bohr´sches Magneton (kleinstes magnetisches Moment)
Zeemanneffekt: Wm = μe . B : Orientierung im Magnetfeld
Quantisierte Einstellung der z-Komponente (s. Abb. 7.4)
Quantenzahl ml = - l,...,0, …+l
z.B. für l=1: ml= -1,0,+1
(3 Werte)
(5 Werte)
l=2: ml = -2,-1,0.+1,+2
allgemein: 2l+1 Werte
Quantenzahlen:
n= Hauptquantenzahl (Energie)
41
l,.= Nebenquantenzahl l=0,1,..n-1
ml = magn. QZ –l,..,0,...+l für l > 0
für Atome mit l=0: kein magnetisches Bahnmoment, z.B. Ag-Atome
Wechselwirkung mit inhomogenem Magnetfeld
Experimenteller Beweis: Stern-Gerlach-Versuch
⇒ Elektronenspin:, Eigendrehimpuls (Drehsinn links, rechts)
Spinquantenzahl ms= ±1/2:
QZ
n
Name
Hauptquantenzahl
Werte
1,2,3....
Bedeutung
Energie,Bahngröße
l
Nebenquantenzahl
0≤ l ≤n-1
ml
Magnetische QZ
-l,..0,...+l
ms
Spinquantenzahl
+1/2, -1/2
Bahnart,
Bahndrehimpuls
Orientierung der
Bahn, LzKomponente
Eigendrehimpuls,
z-Komponente
Tab.7.2: Quantenzahlen, Werte und ihre Bedeutung
Abb. 7.5: Stern-Gerlach-Versuch zum Nachweis des Elektronenspins
(aus: U.Leute...)
⇒ Elektronenspin:, Eigendrehimpuls (Drehsinn links, rechts)
Spinquantenzahl ms= ±1/2:
42
Haupt- Unter- Zustand
schale schalen
l
ml
Anzahl Spin Maximale Maximale
Elektronen Elektronenzahl
Zahl Unter Hauptschale
schale
1
2
2
±1/2
1
2
±1/2
3
6
8
±1/2
K(n=1)
L(n=2)
0
0
1
1s
2s
2p
0
0
0, ±1
M(n=3)
0
1
2
3s
3p
3d
0
0,±1
0,±1,±2
1
3
5
0
0,±1
0,±1,±2
0,±1,±2,
±3
1
3
5
7
N(n=4)
X (n)
0
1
2
3
4s
4p
4d
4f
±1/2
±1/2
±1/2
2
6
10
±1/2
±1/2
±1/2
±1/2
2
6
10
14
18
32
2n2
0..n-1
Tab. 7.3 Anordnung der Elektronen auf Schalen
Pauli-Prinzip:
2 Elektronen in einem Atom müssen sich in mindestens einer QZ unterscheiden
oder.
Jede Kombination aus n,l,ml,ms kommt nur einmal vor
Röntgenstrahlung:
Übergänge aus inneren Schalen schwerer Elemente
Erzeugung durch Beschuss von Anoden mit Elektronenstrahlen
(Energiebereich: (10-100)keV)
Charakteristische Strahlung, Bremsstrahlung
43
Abb.7.6: Röntgenspektren
(aus H.Lindner: Physik für Ingenieure“
kurzwellige Grenze: gesamte Elektronenenergie geht auf ein Photon über:
h νmax= eU
(7.22)
Röntgenstrahlung: λ≈ Atomabstand in Kristallen
⇒Anwendungsfelder
a)Analytik von Festkörpern
b)Medizintechnik
zu a)
Bragg´sche Gleichung : nλ= 2d sinα
(7.23)
λ= Wellenlänge, α = Einfallswinkel, d= Atomlagenabstand
Kα, Kβ, Kγ,...Lα,Lβ,Lγ sind charakteristisch für ein Element
⇒ Elemtanalyse , Methode: „RFA“ (Röntgenfluoreszenzanalyse)
zu b) Schwächung von Röntgenstrahlung der Materie:
I(x) = I0 e-μx
(7.24)
44
mit dem Schwächungskoeffizienten µ = µ(Z, ρ)
ρ = Dichte
Halbwertsdicke: d1/2 = ln2/μ
heutiger Stand : Quantenmechanik: ψn,l,ml, ms
Schrödinger Gleichung, ψn,l,ml, ms = Zustandsfunktion
Teilchen als Welle dargestellt: eindimensional:
ψ(x,t) = ψ0 ei(kx-ωt)
(7.25)
heutiger Stand : Quantenmechanik: ψn,l,ml, ms
Schrödinger Gleichung, ψn,l,ml, ms = Zustandsfunktion
Darstellung:
|ψn,l,ml, ms |2 als Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeit
Abb. 7.7: Ionisierungsenergien (Z) Aus: U.Leute
45
Abb. 7.8: elektronische Orbitale (aus U. Leute)
46
8. Kernphysik
Nomenklatur: für Kern des Elementes Y:
Z
A
Y,
A= Massenzahl , Z= Kernladungszahl
Nukleonen: Proton (mp,+e0)
Proton:
Neutron:
1
1
H, neutrons ( 0 1n) , mn ≈mp
mp = 1.6727x10-24 g
mn = 1.6747x 10-24
Abb. 8.1: Nuklidkarte mit Z(N),
Atomgewichte
Z. mp + N.mn ≈ Amp mit Massenzahl A = Z+N
Für höhere Z gilt: N > Z (Abb. 5.1)
1 AMU 1u = atomare Masseneinheit = mC/12= 1.66054. 10-24 g ↔ 0.93 GeV
Isotope (Z=const)
Isobare (A=const.)
Isotone (N= const.)
A bei Kohlenstoff ( 12C) besonders gut definiert
Folge der Isotope: gebrochene Zahlen für A, z.B. bei Chlor:
ACl= 35.457)
47
Kernreaktionen:
e.g.:
1
1
H+
0
1
n →
1
2
D
Erhaltung der Nukleonenzahl:
(8.1)
Z1+Z2= Z3 = const. und
(8.2)
A1+A2=A3 = const.
Nebelkammer: Spuren von Teilchen→ Kernreaktionen
Abb.8.2: Kernspuren in einer Nebelkammer
Massendefekt Δm:
ΔW =Δm c2
(8.3)
Massenvergleich bei Kernreaktion
z.B. Reaktion (8.1)
mH= 1.008142 u, mN=1.008982u ; mD= 2.014735u :
Δm= (1.008142 + 1.008982)u –2.014735u = 2.389. 10-3 u
mit Gl. (8.3): ΔE = 2.389. 10-3 GeV = 2.22 MeV
Bindungsenergie/Nukleon
48
Abb. 8.3 Bindungsenergie pro Nukleon als Funktion von Z
(aus: U.Leute: „Physik und ihre Anwendung...)
Aus Abb. 5.1 folgt, dass die stabilsten Kerne bei Z≈ 50 zu finden sind.
Damit ergibt sich ein möglicher Energiegewinn
a) durch Fusion, Verschmelzung kleiner Kerne zu größeren,
z.B (Gl. 5.1) oder
2
2
4
1D + 1D → 2 He + ΔE
Abschätzung aus Massendefekt ergibt für Fusion typische Werte von
ΔE ≈ 2.2 MeV
b) Kernspaltung:
z.B. 23592 U + 10 n → 14456Ba + 89 36Kr + 3 10n + ΔE1
oder „ + „ → 138 55 Cs + 96 37 Rb + 2 10n + ΔE2
typische Werte für die Uranspaltung sind ΔE ≈ MeV/Kern
ΔE steckt in kinetischen Energien der Spaltprodukte oder deren Anregung
Spaltung ist statistischer Prozess gemäß:
49
Abb.8.4 : Spaltprodukte des Urans mit der Häufigkeit ihres Auftretens
( Aus : Paus: Effekte der Physik ...)
radioaktive Kerne: spontane Zerfälle
•
•
Zerfall = statistischer Prozess, aber
Zerfallskonstante λ ist eine charakteristische Größe
Sei N(t) = Zahl der zerfallenden Kerne:
Aktivität A(t)= dN/dt = λ N(t)
(8.4)
N(t) = N0. exp (-λt)
(8.5)
Mit: A0=λN0
A(t) = A0 exp (-λt)
(8.6)
Halbwertszeit TH
in (8.4):
⇒
N(TH) = N0/2 = N0. exp(λTH)
TH= ln(2)/λ
(8.7)
Prinzip “radioaktiver Uhren”
14
C Methode, Radiokarbonmethode
in Atmosphäre: 147N + n → 146 C + p ,
Das Isotop146 C kommt mit 1.2x10-12 im C des CO2 der Luft vor, ist aber instabil:
50
Zerfällt mit TH =5700a in einem β- Zerfall
gemäß: 146C → 147 N + β-
Abb. 8.5: Tandem-Beschleuniger für die Bestimmung des 14C-Gehaltes einer Probe,
Ionisierung in der Ionenquelle Q, Sortierung in Magneten M, S = Stripper (Gas oder Folie) ,
Linearbeschleuniger B, Problem: 13CH-, 12CH 2- müssen mit S entfernt werden.(aus U.Leute:..)
Altersbestimmung organischer Materialien, Holz, Textilien,…
40
Ar : Alter von Knochen aus dem Ar/ K Verhätnis
Reichweite: R:= Schichtdicke eines Materials, welches noch 1% einer Strahlung durchlässt
Art der Strahlung
α
β
γ
Kerne
Neutronen
Energie
5 MeV
20 keV
1 MeV
20 keV
1 MeV
50 MeV
1 MeV
Reichweite
40µm
10µm
7mm
6.4cm
65 cm
1 µm
20 cm
Tab. 5.1: Reichweite verschiedener Strahlenarten in Wasser (menschl. Gewebe)
In Luft: ca. 103 fache Werte
Einheiten für Strahlung: 1 Ereignis /s = 1 Bequerel = 1 Bq = 1s-1
1Ci = 3.7 1010 Zerfälle = 3.7 1010 Bq
51
Energiedosis : Energie, die von einer Strahlung an die Masseneinheit des betreffenden
Materials abgegeben wird, Einheit J/kg =1Gy (Gray)
Ionendosis : elektrische Ladung eines Vorzeichens die von der Strahlung
pro Masseneinheit erzeugt wird, Einheit = As/kg (Röntgen)
Ionendosis x Ionisierungsarbeit = Energiedosis
Strahlenschäden hängen von der Gewebeart ab, daher
Faktor wR= rel. biol.Wirksamkeit (dimensionslose Zahl)
Richtwerte:
Strahlenart
Röntgen + γ-Strahlung
Β
schnelle n
langsame n
Α
schwere Kerne
wR
1
1
10 (<20 Mev), 5 (>20MeV)
5 ( <10keV), 10 (<100 keV)
20
20
Tab. 5.2: einige wR- Werte
Weitere Wichtung nach Gewebeart:
Faktoren wT, z.B.
Haut, Knochen, wT =0.01
Knochenmark, Lunge: wT =0.12
Abb. 8.6: Größen und Einheiten bei radioaktiver Strahlung
52
Flussdichten für Teilchen:
Kosmische Strahlung : p,e-,α, Kerne, γ bis zu 1020eV: 1≈ 1012m-2s-1
Im Reaktor: n ≈ 1014 – 1017 m-2 s-1
Kernzerfälle:
a) α- Zerfall (Gamow, 1928)
•
α verlässt Kern durch Tunneln
• in Luft werden α-Teilchen durch Ionisation gebremst, kaum abgelenkt
• scharfe Energieverteilung (charakteristisch)
• Z → Z- 2, z.B. 21084 Po → 20682Pb + α
b) β- - Zerfall:
z.B. 60Co → 60Ni + β•
Z → Z+1, A= const.
•
Energieverteilung ist kontinuierlich
n,p,e haben Spin von ± ½ → wegen Drehimpulserhaltung:
esgibt ein weiteres Teilchen: Antineutrino υe
β- : n →p + e- + νe
c) ß+ - Zerfall:
p→n + e+ + νe
Z→Z–1
Ähnlich dem ß+ - Zerfall: (per saldo)
d) K-Einfang:
p+ e- → n + νe
z.B. beim 4019K → 4018Ar
e) γ- Übergang :
Z=const., A = const.
53
Linienspektrum, vgl. Röntgen
Kerne haben auch magnetische Momente
Kernmagneton μk = 3.152 x 10-8 eV/Tesla
(µB= eh/4πme)
Kernmoment durch vektorielle Addition alller Nukleonenmomente
Anwendung: „NMR“ = nuclear magnetic resonance
Messung von Kernstrahlung:
•
•
•
•
•
Nebelkanmmer
Ionisationskammer
Proportionalzähler
Geiger-Müller-Zählrohr
Szintillationszähler
54
Abb. 8.7: Die natürlichen Zerfallsreihen mit Halbwertszeiten, a= Jahr, d=Tag, m=Minute,..
55
Abb. 5.7: : Prinzip eines Szintillationszählers (aus Paus:“ Physik in Experimenten und
Beispielen)
56