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8.2.2006
WS 2005/2006
Klausur
Theoretishe Physik IV:
Thermodynamik und Statistik
Vorname:
Name:
Matrikel-Nummer:
Aufgabe
moglihe Punkte
erreihte Punkte
1
25
2
25
3
25
4
35
Summe
110
Aufgabe 1
Gegeben ist ein klassishes, ideales, einkomponentiges, einatomiges Gas.
a)
Wie lauten die thermishe und die kalorishe Zustandsgleihung?
(2 P.)
(2 P.)
Wie gro ist die am System verrihtete Arbeit bei einer quasistatishen
Volumenanderung dV ? (N = onst.)
b)
(3 P.)
Wie ist allgemein in der phanomenologishen Thermodynamik die Entropieanderung dS nah Clausius deniert?
)
(6 P.)
Nutzen Sie den ersten Hauptsatz sowie a), b) und ), um das Differenzial dS in den unabhangigen Variablen U und V auszudruken:
dS = f (U; V )dU + g (U; V )dV ! (N = onst.)
d)
e)
Zeigen Sie, dass dS ein vollstandiges Dierenzial ist!
(3 P.)
(4 P.)
Bestimmen Sie jetzt S = S (U; V ) bis auf eine (N -abhangige) Konstante S0(N )!
f)
(3 P.)
Welhe N -Abhangigkeit muss S0(N ) besitzen, damit S extensiv ist?
g)
h)
Zeigen Sie, dass der dritte Hauptsatz hier verletzt ist!
(2 P.)
Aufgabe 2
Gegeben ist wiederum ein klassishes, ideales, einkomponentiges, einatomiges Gas bestehend aus N Teilhen im Volumen V bei Temperatur T .
(2 P.)
a)
Geben Sie die Hamilton-Funktion an!
(3 P.)
Wie ist in der klassishen statistishen Mehanik das kanonishe Zustandsintegral Z = Z (T; V; N ) deniert?
b)
(10 P.)
)
1 V
Zeigen Sie, dass fur das ideale Gas Z = 3
, wobei die thermishe
N!
de Broglie-Wellenl
ange ist!p
R1
2
(Hinweis: 1 dx e = )
N
N
x
(4 P.)
Berehnen Sie die freie Energie in ihren naturlihen Variablen, und zeigen Sie, dass F extensiv ist!
d)
e)
(3 P.)
f)
(3 P.)
Leiten Sie aus F die thermishe Zustandsgleihung ab!
(Hinweis: dF = SdT pdV )
Leiten Sie die kalorishe Zustandsgleihung ab!
Aufgabe 3
Betrahten Sie ein quantenmehanishes System, das aus M unabhangigen und gleihen Subsystemen besteht. Der Hamilton-Operator ist:
H=
M
X
H :
m
=1
m
Der Hamilton-Operator des m-ten Subsystems H besitze zwei nihtentartete Eigenwerte "1 und "2 mit "1 6= "2.
m
a)
(10 P.)
b)
(8 P.)
Bestimmen Sie die freie Energie F = F (T )!
Untersuhen Sie, ob der dritte Hauptsatz erfullt ist!
(7 P.)
Zeigen Sie allgemein fur ein beliebiges Quantensystem, dass die Entropie
im Limes T ! 0 durh S = k ln g0 gegeben ist, wobei g0 die Grundzustandsentartung bezeihnet! Fuhren Sie die Rehnung dabei in der
kanonishen Gesamtheit durh!
)
Aufgabe 4
Der Gleihgewihtszustand eines Quantensystems kann durh die grokanonishe Gesamtheit beshrieben werden. Die Teilhenzahl ist hier niht
fest sondern eine Zufallsvariable.
(17 P.)
Leiten Sie eine Beziehung zwishen der mittleren quadratishen Shwan hN i kung der Teilhenzahl und dem AntwortkoeÆzienten =
her!
Warum muss positiv sein?
a)
T ;V
(8 P.)
Warum kann dasselbe System im Gleihgewiht auh durh die kanonishe oder durh die mikrokanonishe Gesamtheit beshrieben werden,
obwohl die Teilhenzahl dort als fest angenommen wird?
b)
(10 Bonus-P.)
Der Hamilton-Operator des Systems sei H = H0 + H1 mit einer kleinen
reellen Zahl . Es gelte [H0; H1℄ = 0. Fur = 0 seien die Zustandssumme 0 = ( = 0) und das Potenzial 0 = ( = 0) einfah zu
berehnen.
)
Entwikeln Sie fur den allgemeinen Fall die grokanonishe Zustandssumme in Potenzen von , geben Sie die Korrekturterme erster und
zweiter Ordnung in fur das grokanonishe Potenzial an, und zeigen
Sie, dass die Korrektur zweiter Ordnung zu 0 stets negativ ist!
(Hinweis ln(1 + x) = x x2=2 + O(x3))