Grundlagenpraktikum A - Fakultät für Elektrotechnik und

BachelorGrundlagenpraktikum
Elektrotechnik und
Informationstechnik
Versuchsunterlagen
Bachelor-Grundlagenpraktikum
Elektrotechnik und Informationstechnik
Inhalt
Einführung
Versuchsanleitungen zu neun elektrotechnisch/informationstechnischen Versuchen
Versuch M: Elektrische Messgeräte
Versuch E1: Strom- und Spannungsmessungen
Versuch E2: Elektrisches Feld und Strömungsfeld
Versuch E3: Magnetisches Feld und Induktion
Versuch E4: Transformator
Versuch I1: RLC-Netzwerke
Versuch I2: Elektrische Filter
Versuch I3: Abtastung und Quantisierung
Versuch I4: Nachrichtenübertragung und Codierung
Versuchsanleitungen zu drei physikalischen Versuchen
Versuch A6: Kreisel
Versuch C14: Beugung am Spalt, Doppelspalt und Gitter
Versuch C20: Lichtelektrischer Eﬀekt
Einige allgemeine Lernziele
• Im Team arbeiten.
• Sicherheitsvorschriften kennenlernen und anwenden.
• Grundlegende elektrische Messgeräte kennenlernen.
• Schaltungen aufbauen und Messfehler systematisch eliminieren.
• Messtechnische Arbeiten protokollieren und Versuchsberichte anfertigen.
1
Einführung
Sicherheitshinweise für elektrische Laboratorien
Die Praktikumsversuche ﬁnden in einem elektrischen Laboratorium statt, in dem die Sicherheitsvorschriften nach VDE 0100 für ”Elektrische Betriebsräume” eingehalten werden müssen. Arbeiten
unter Laborbedingungen bedeutet, dass die außerhalb elektrischer Laboratorien geforderten Sicherheitsvorschriften wegen der durchzuführenden Aufgaben nicht eingehalten werden können. Es wird
vorausgesetzt, dass Sie hinsichtlich der Arbeitsbedingungen ”unterwiesen” wurden, also insbesondere die möglichen Gefahren kennen. Bei Ihrem ersten Praktikumsversuch müssen Sie unterschreiben, dass Sie die folgenden Sicherheitshinweise zur Kenntnis genommen haben.
• Einen gefährlichen elektrischen Schlag kann man bereits ab einer Spannung von 42 V bekommen
(”Schutzkleinspannung”). Niemals mit beiden Händen gleichzeitig leitende Teile anfassen!
• Der Sternpunktleiter des Drehstromnetzes ist geerdet. Da viele der in Laboratorien beﬁndlichen
Metallgegenstände (Metallteile der Labortische, Heizkörper, Fensterrahmen, Wasserleitung)
mit Erde in Verbindung stehen, kann sogar bereits das Berühren nur eines unter Spannung
stehenden Metallteils zu einem elektrischen Schlag führen.
• Bei Fehlern in Versuchsschaltungen können Gegenstände auch unerwartet Spannung annehmen, z. B. Gehäuse und metallene Konstruktionsteile. Also Berührungen metallischer Teile
grundsätzlich soweit wie möglich vermeiden!
• Aufbau und Änderung der Verkabelung einer Messschaltung nur im spannungsfreien Zustand!
• Informieren Sie sich vor Beginn über die Bedienung des Notausschalters, mit dem der gesamte
Labortisch elektrisch abgeschaltet werden kann. Der Weg zu diesem Hauptschalter darf auf
keinen Fall zugestellt werden!
• Bei einem Unfall oder dem Verdacht auf eine Störung sofort alle Spannungen mit Hilfe des
Notausschalters abschalten und danach einen Betreuer verständigen.
Organisatorische Hinweise
Versuchsvorbereitung und -durchführung
• Die Versuchsanleitungen sind vor Beginn der jeweiligen Versuche durchzuarbeiten. Zusätzlich
ist es sinnvoll, entsprechende Kapitel aus den Unterlagen zu den Vorlesungen ”Grundlagen der
Elektrotechnik” und ”Grundlagen der Informationstechnik” zur Vorbereitung heranzuziehen.
• Jeder Versuchstermin beginnt mit einem Gespräch über Theorie und Praxis des Versuchs.
Unvorbereitete Versuchsteilnehmer werden vom Versuch ausgeschlossen.
• Bitte einen Taschenrechner mitbringen!
• Vor Einschalten eines Versuchsaufbaues (auch nach jeder Änderung!) muss dem Betreuer Gelegenheit gegeben werden, die Messschaltung zu kontrollieren. Also nicht ohne Rückfrage selbst
einschalten!
2
• Während der Messungen ist ein Protokoll zu führen. Bei der Aufnahme von Kurvenverläufen
sollten diese sofort in ein Diagramm eingetragen werden, um Fehler zu erkennen. Die Anzahl der
Messpunkte muss zur Interpolation ausreichen. Die Protokolle müssen den Ablauf Ihrer Versuchsdurchführung dokumentieren. Sie beinhalten eine Liste der verwendeten Geräte, Skizzen
aller Messschaltungen und Ihre Messergebnisse in Form von Tabellen und Diagrammen.
• Lassen Sie sich am Ende der Versuchsdurchführung auf dem Deckblatt für den Versuchsbericht ein ”Vortestat” geben. Damit wird festgehalten, dass Sie an der Versuchsdurchführung
erfolgreich teilgenommen haben.
Versuchsberichte und Testate
• Jeder Versuchsteilnehmer muss einen eigenen Versuchsbericht anfertigen.
• Geben Sie ihren Versuchsbericht (ohne die Testatkarte) an Ihrem nächsten Versuchstag (also
in der Regel eine Woche später) ab, und zwar bevor Sie mit dem neuen Versuch beginnen.
Zur Ab- und Rückgabe der elektrotechnischen/informationstechnischen Versuchsberichte dient
ein Regal, das sich im Eingangsbereich von Raum ICN 02/603 beﬁndet. In der Regel werden
Ihre Versuchsberichte während der Praktikumszeit überprüft, so dass Sie nach Beendigung eines
Versuches den Bericht über den vorangegangenen Versuch bereits zurückbekommen. Lassen Sie
sich ein erteiltes Endtestat vom Betreuer des Versuchs so bald wie möglich auf die Testatkarte
übertragen.
• Am Semesterende wird ein ”Testiertermin” angeboten, bei dem Sie eventuell noch fehlende
Testate erhalten können.
Abfassung der Versuchsberichte
Der Versuchsbericht beginnt mit Ihrem (vollständig ausgefüllten und unterschriebenen) Deckblatt mit dem darauf eingetragenen Vortestat. Eine Wiederholung des Inhaltes der Versuchsanleitungen ist nicht erforderlich. Zu Ihrem Bericht gehören insbesondere folgende Erläuterungen:
• Die Geräteliste enthält die Typenbezeichnungen aller verwendeten kommerziellen Geräte bzw.
eine technische Kurzbeschreibung sonstiger Geräte.
• Kurze Darstellung der einzelnen Messaufgaben und der tatsächlich verwendeten Messverfahren.
Im Zweifelsfall fragen Sie Ihren Betreuer, welche Gesichtspunkte im Versuchsbericht abgehandelt werden sollen.
• Messergebnisse (Messprotokolle, Tabellen, Diagramme): Zu Diagrammen und Messtabellen
gehören erklärende Unterschriften, etwa ”Ausgangsspannung UA als Funktion der Frequenz
f bei konstanter Eingangsspannung UE = 20 mV”.
• Achten Sie auf eindeutige Angabe der dargestellten Größen und der Skalierung.
• Auswertung: Erklären und interpretieren Sie Ihre Messergebnisse. Versuchen Sie insbesondere,
Abweichungen von erwartetem Verhalten zu erklären. Wenn Sie Widersprüche in Ihren Messdaten entdecken, verfälschen Sie diese nicht, sondern weisen Sie darauf hin, evtl. unter Angabe
vermuteter Ursachen.
3
Farbkennzeichnung von Widerständen
Den Farben sind Ziﬀern wie folgt zugeordnet: schwarz (0), braun (1), rot (2), orange (3), gelb (4),
grün (5), blau (6), violett (7), grau (8), weiß (9). Die ersten beiden Farbringe bedeuten die ersten
beiden Ziﬀern des Widerstandswertes. Der dritte Ring gibt die Zehnerpotenz an, mit der die Zahl
aus den ersten beiden Ziﬀern multipliziert werden muss. Der vierte Ring gibt die zulässige Toleranz
an.
... ein paar Gedanken zur Durchführung des Praktikums
Wir wollen aus den Vorbesprechungen zu den einzelnen Versuchen keine Prüfung machen. Andererseits macht die Durchführung eines Versuchs keinen Sinn, wenn Sie mehr oder weniger unvorbereitet
erscheinen. Also geben Sie uns bitte keinen Anlass, Sie wegen mangelnder Kenntnisse über den
Versuch ”nach Hause schicken” zu müssen. Alle Teilnehmer wirken - positiv oder negativ - an der
Atmosphäre mit, die im Praktikum herrscht!
Wir erwarten, dass Sie nach dem Durcharbeiten der Versuchsanleitung - und nach Klärung der
verbleibenden Fragen in der Vorbesprechung - die Versuche weitgehend selbstständig zusammen mit
Ihrem Versuchspartner durchführen. Selbstverständlich dürfen und sollen Sie nach Herzenslust fragen,
wenn Sie etwas nicht verstehen oder mit der Versuchsdurchführung nicht klar kommen. Fragen nach
Dingen, die in der Versuchsanleitung ausführlich erklärt wurden, kommen natürlich nicht so gut an!
4
Versuch M: Elektrische Messgeräte
Inhaltsverzeichnis
1 Messgeräte für elektrische Ströme und Spannungen
2
2 Messung von Wechselgrößen mit und ohne Gleichanteil
7
3 Messung von Phasenverschiebungen
9
4 Aufnahme von Kennlinien
11
5 Vorbereitende Aufgaben
12
6 Messaufgaben
6.1 Gleichspannungen und Gleichströme .
6.2 Wechselspannungen und Wechselströme
6.3 Phasenverschiebungen . . . . . . . . .
6.4 Kennlinie einer Zenerdiode . . . . . . .
12
13
14
14
14
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mit und
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ohne
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Gleichanteil
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7 Literatur
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15
Lernziele
• Drehspulinstrumente, analoge und digitale Multimeter und Oszilloskope verstehen.
• Gleich- und Wechselgrößen mit analogen und digitalen Multimetern und Oszilloskopen messen.
• Messmöglichkeiten von Oszilloskopen (inklusive der x-y-Ablenkung) verstehen und beherrschen.
• Effektivwerte bei sinusförmigen und nicht sinusförmigen Sig-nalen mit und ohne Gleichanteil
berechnen und messen.
• ”Echte” Effektivwertbildung (TRMS) und die bei analogen Multimetern verwendete Effektivwertbildung verstehen.
• Phasenverschiebungen mit einem Oszilloskop und durch Auswertung von Effektivwertmessungen bestimmen.
• Maßstäbliche Zeigerbilder konstruieren.
• Eintor-Kennlinien mit einem Oszilloskop aufnehmen.
• Mit nicht potenzialfreien Geräten arbeiten.
M-1
1
Messgeräte für elektrische Ströme und Spannungen
Zur Messung elektrischer Spannungen und Ströme können sehr unterschiedliche Messgeräte verwendet werden. Ausführliche Darstellungen findet man in der Literatur (siehe Angaben am Ende
dieser Versuchsanleitung). Hier werden nur einige im Praktikum häufig benutzte Messgeräte kurz
beschrieben: Drehspulinstrumente, analoge und digitale Multimeter und Oszilloskope. Generell wird
bei analogen Geräten ein Messwert durch ein veränderliches Anzeigeelement wie etwa durch einen
beweglichen Zeiger dargestellt. Bei digitalen Messgeräten wird die Messgröße durch einen Zahlenwert
auf einem Display angegeben. Selbstverständlich ist bei digitalen geräten normalerweise nicht nur
die Anzeige, sondern auch die Auswertung digital, d. h. die analogen Eingangsgrößen werden digital
verarbeitet.
a) Drehspulinstrumente
Abb. 1: Drehspulmesswerk.
Das wichtigste analoge Messgerät ist das Drehspulinstrument (Abb. 1). Bei diesem Instrument ist
eine Spule mit vielen Windungen drehbar in einem Magnetfeld angeordnet, das von einem Permanentmagneten erzeugt wird. Durch die Polschuhe und das Weicheisenelement, an dem die Spule
befestigt ist, wird das Magnetfeld so geführt, dass die Feldlinien im Luftspalt senkrecht auf den
Begrenzungsflächen stehen. Ein durch die Spule fließender Strom verläuft im Luftspalt wiederum
senkrecht zu den magnetischen Feldlinien, und zwar auf beiden Seiten der Spule in entgegen gesetzter Richtung. Die dadurch erzeugten Kräfte addieren sich in ihrer Wirkung (warum?) und bilden
ein Drehmoment, das die Spule zusammen mit dem Zeiger bewegt. Um den Ausschlag zu begrenzen,
muss ein Gegenmoment erzeugt werden, so dass sich ein Gleichgewichtszustand einstellen kann. Zu
diesem Zweck ist die Achse, die die Drehspule trägt, durch Drehfedern gelagert (nicht abgebildet).
Fließt ein Gleichstrom I durch die Spule, stellt sich ein fester Gleichgewichtszustand ein, so dass man
einen dem Strom proportionalen Wert ablesen kann, wenn der Zeiger entlang einer Skala geführt wird.
b) Analoge Multimeter
Herzstück eines analogen Multimeters ist das gerade besprochene Drehspulinstrument. Hinzu kommen eine Reihe von Zusatzeinrichtungen, die es erlauben, neben Gleichströmen auch andere Messgrößen erfassen zu können. Auch zur Strommessung werden i. A. zusätzliche Widerstände benötigt.
Ein empfindliches Drehspulinstrument erzeugt ja bereits bei kleinen Strömen einen großen Zeigerausschlag. Um auch größere Ströme messen zu können, muss man einen definierten Anteil des zu
M-2
messenden Stroms durch Zusatzwiderstände abführen (wie müssen solche Widerstände mit der Drehspule verschaltet werden?). Durch Verwendung verschiedener Widerstände schafft man verschiedene
Messbereiche für Ströme unterschiedlicher Größenordnung.
Mit dem Drehspulinstrument lässt sich auch eine Gleichspannung U messen, weil sich eine Spannung durch einen bekannten Widerstand R aufgrund der Beziehung U = RI auf einen Messstrom
I zurückführen lässt. Da der Innenwiderstand des Drehspulmesswerks recht klein ist, würden bei
Anlegen von üblichen Messspannungen so große Ströme durch das Messwerk fließen, dass es zerstört
würde. Zur Messungen von Spannungen müssen also in Multimetern Zusatzwiderstände so angebracht werden, dass der Strom durch das Messwerk auf eine messbare Größenordnung reduziert wird
(wie müssen diese Widerstände mit der Drehspule verschaltet werden?). Bei Multimetern lassen sich
damit auch verschiedene Messbereiche für Gleichspannungen wählen.
Abb. 2: Messschaltung zum Messen von Spannung und Strom an einem bzw. durch einen Widerstand.
Eine Schaltung zur gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung an einem Widerstand mit zwei
Multimetern zeigt Abb. 2. Daraus geht hervor, dass ein ideales Strommessgerät einen verschwindend
kleinen Innenwiderstand, ein ideales Spannungsmessgerät einen unendlich großen Innenwiderstand
haben muss (warum?).
Gleichströme und -spannungen werden in den DC-Bereichen (”direct current”) gemessen, oft unterteilt nach DCA und DCV für Ströme (Ampere) bzw. Spannungen (Volt). Die Art der Messung wird
entweder nur durch den Bereichswahlschalter eingestellt oder durch getrennte Anschlussbuchsen für
”A” und ”V” realisiert. Um eine Überlastung des Messwerks zu vermeiden, muss sich das Messgerät vor Inbetriebnahme der Schaltung in der unempfindlichsten Stellung der richtigen Messgröße
(größter Skalenendwert von Strom bzw. Spannung) befinden. Nach Inbetriebnahme schaltet man
das Instrument stufenweise empfindlicher, bis ein hinreichend großer Zeigerausschlag abzulesen ist.
Was geschieht, wenn man die Messbereiche für Ströme und Spannungen verwechselt? Also aufpassen!
Die Richtung des Zeigerauschlags zeigt die Richtung des Gleichstroms an. Bei machen Geräten befindet sich die Nullanzeige mitten auf der Skala, so dass positive und negative Ströme angezeigt werden
können. Bei den meisten Instrumenten liegt die Nullstellung des Zeigers jedoch ganz links, so dass
der Zeiger nur nach rechts ausschlagen kann. Solche Messgeräte müssen stets so in den Stromkreis
geschaltet werden, dass ein positiver Strom vom positiven Anschluss ”+” bzw. ”A” zum Gegenanschluss ”-” bzw. ”COM” (”common”) fließt. Bei der Spannungsmessung muss das höhere Potenzial
an Klemme ”+” bzw. ”V”, das niedrigere an Klemme ”COM” angeschlossen werden. Schaltet man
das Instrument falsch in den Stromkreis, besteht die Gefahr einer Zerstörung des Messwerks!
M-3
Neben Gleichspannungen und -strömen lassen sich mit einem Multimeter auch Gleichstromwiderstände
messen. Dazu wird eine interne Batterie benötigt. Wie könnte die innere Verschaltung aussehen, wenn
man Messbereiche für verschieden große Widerstände realisieren will?
Weiterhin kann man mit einem Multimeter auch Wechselströme und -spannungen messen (ACBereiche (”alternating current”), oft unterteilt nach ACA und ACV für Ströme bzw. Spannungen).
Dazu braucht man allerdings weitere Zusatzelemente. Lässt man einen sinusförmigen Wechselstrom
durch ein Drehspulmesswerk fließen, so sieht man bei niedrigen Frequenzen, dass der Zeiger um den
Nullpunkt schwankt. Mit wachsender Frequenz führt die Trägheit des drehbaren Elements aber dazu, dass der Zeiger nicht schnell genug folgen kann. Die Schwankungsbreite wird mit wachsender
Frequenz immer kleiner und verschwindet fast ganz, so dass man trotz Stromflusses keine Anzeige
mehr erhält. Hier besteht offensichtlich eine große Gefahr, die Drehspule durch zu große Ströme zu
überlasten. Man braucht also eine Zusatzmaßnahme, um Wechselgrößen messen zu können. Diese
besteht in einer Betragsbildung des Messstroms durch Gleichrichter. Die negativen Halbwellen des
sinusförmigen Verlaufs werden dabei ”nach oben geklappt”.
Bei analogen Multimetern erfolgt die Gleichrichtung automatisch, wenn man einen Wechselstromoder Wechselspannungs-Messbereich wählt. Da normalerweise die Frequenz der untersuchten Ströme
groß genug ist, zeigt das Messinstrument aufgrund der Trägheit des Messwerks einen festen Wert
an, nämlich den Mittelwert des durch die Spule fließenden Stroms. Den gemessenen Wert, also den
Mittelwert des gleichgerichteten Stroms, bezeichnet man als ”Gleichrichtwert”. Wir werden darauf
im folgenden Abschnitt noch einmal zurückkommen.
c) Digitale Multimeter
Wie bei allen digital arbeitenden Messgeräten, besteht der wesentliche Schritt in der digitalen Erfassung der Messgrößen. Das bedeutet, dass die zu messenden Ströme und Spannungen abgetastet
und mit Hilfe eines Analog-Digital-Umsetzers quantisiert werden. Dadurch stehen sie als zeitliche
Abfolge von Zahlenwerten zur Verfügung. Das hat den großen Vorteil, dass die Signale mit Prozessoren digital weiter verarbeitet werden können. Damit hat man grundsätzlich viel mehr Möglichkeiten,
die Messgrößen in der gewünschten Weise auszuwerten, als bei analogen Geräten. Als Beispiel sei
die Messwert-Quadrierung genannt, wie sie zur Ermittlung des Effektivwerts (siehe Abschnitt. 2)
benötigt wird. Die analoge Realisierung der Quadrierung erfordert einen nicht unerheblichen Aufwand, wenn sie über einen großen Wertebereich korrekt erfolgen muss. Digital bedeutet die Quadrierung eine einfache Rechenoperation.
Das grundsätzliche Blockschaltbild eines digitalen Multimeters für die Messung von Spannungen und
Strömen zeigt Abb. 3. In der Eingangsstufe wird durch Impedanzwandler, realisiert durch elektronische Schaltungen mit Operationsverstärkern, dafür gesorgt, dass die Anforderungen an gute Strombzw. Spannungsmessgeräte (sehr niedriger bzw. hoher Eingangswiderstand) gut erfüllt werden. Dies
stellt einen weiteren wesentlichen praktischen Vorteil dar, weil die durch die endlichen Eingangswiderstände entstehenden Messfehler meist vernachlässigt werden können (dieser Vorteil hat allerdings
nichts mit der Digitalisierung zu tun, Impedanzwandler werden auch bei hochwertigen analogen
Messgeräten eingesetzt). Eine weitere Vereinfachung ergibt sich dadurch, dass man auf die Größe
der zu messenden Größe bei vielen Geräten, auch bei dem im Praktikum verwendeten Tischmultimeter, nicht achten muss, weil sich die Empfindlichkeit automatisch der Messgröße anpasst. Bei
dem verwendeten Tischmultimeter muss man allerdings bereits beim Anschluss zwischen Strom- und
Spannungsmessung unterscheiden (so wie dies auch im Blockschaltbild dargestellt ist).
M-4
Art der
Datenauswertung
V
u(t)
Spannungsfolger
uu(t)
COM
AnalogDigitalUmsetzer
uk
Prozessor
Anzeige
A
i(t)
StromSpannungsWandler
ui(t)
COM
Abb. 3: Vereinfachtes Blockschaltbild eines digitalen Multimeters zur Messung von Spannungen und
Strömen.
d) Oszilloskope
Abb. 4: Elektronenstrahl-Röhre.
Das klassische Oszilloskop, so wie es im Praktikum eingesetzt wird, basiert auf der spannungsgesteuerten Ablenkung eines Elektrodenstrahls in einer evakuierten Glasröhre (Braunsche Röhre, Abb. 4).
Durch Anlegen einer Spannung zwischen Anode und einer geheizten Kathode treten an der Kathode
Elektronen aus, die zu einem Strahl fokussiert und beschleunigt werden und beim Auftreffen auf einen
Leuchtschirm einen hellen Punkt erzeugen. Zwei Paare paralleler Platten, an die Spannungen gelegt
werden können, dienen der Ablenkung des Elektronenstrahls in vertikale und horizontale Richtung.
M-5
Die meist verwendete Betriebsart eines Oszilloskops besteht darin, den zeitlichen Verlauf eines periodischen Signals darzustellen. Dazu wird dieses Signal in Form einer Spannung an das Plattenpaar
für die vertikale Ablenkung gelegt. Ohne horizontale Ablenkung entsteht dabei ein senkrechter Strich
auf dem Leuchtschirm, der zwischen Minimal- und Maximalwert der angelegten Spannung pendelt.
Damit der zeitliche Verlauf auf dem Schirm erscheint, benötigt man eine horizontale Ablenkung, die
innerhalb einer Periode des Signals oder einem Vielfachen davon den Elektronenstrahl vom linken
zum rechten Rand des Leuchtschirms führt, also eine linear mit der Zeit ansteigende Spannung. Danach muss der Elektronenstrahl unsichtbar (durch Unterdrückung des Elektronenstrahls) wieder an
den Ausgangspunkt geführt werden, also die Spannung schnell wieder auf den Startwert herabgesetzt
werden. Die Spannung an den horizontalen Platten hat damit einen Verlauf, den man als ”Sägezahn”
bezeichnet (zeichnen Sie solch eine ”Sägezahnfunktion” auf!).
Offenbar ist es wichtig, dass der Sägezahn einen zeitlichen Verlauf hat, der zum Signal passt,
sonst würden ja willkürlich irgendwelche Signalabschnitte auf den Schirm geschrieben. Wenn dies
tatsächlich passiert, ist das Oszilloskop nicht richtig ”getriggert”. Dann erhält man ein wirres, sich
ständig veränderndes Bild. Zur richtigen Synchronisierung dient die sogenannte Trigger-Einheit. Machen Sie sich mit der Triggerfunktion des Oszilloskops im Praktikum vertraut!
Selbstverständlich kann man an zur Horizontalablenkung auch andere Spannungen verwenden als
den Sägezahn, indem man an die horizontal ablenkenden Platte eine externe Spannung legt. Im
”x-y-Modus” wird die Spannung an Kanal I als horizontale x-Ablenkung, die an Kanal II als vertikale y-Ablenkung verwendet. Dies kann man z. B. zur Darstellung einer Kennlinie nutzen: Wenn
man mithilfe eines Widerstands den Strom durch ein Bauelement in eine proportionale Spannung
umwandelt, so hat man neben der Spannung am Bauelement eine stromproportionale Spannung zur
Verfügung. Auf diese Weise kann man die Spannung als Funktion des Stroms u(i(t)) darstellen. Bei
sinusförmigen Signalen wird dabei die Kennlinie u(i) in jeder Periode einmal durchlaufen, so dass
man ein stehendes Bild erhält.
Auch Oszilloskope lassen sich digitalisieren, indem man die darzustellenden Signale mit einem AnalogDigital-Umsetzer in zahlenmäßig gegebene Abtastwerte verwandelt. Diese können gespeichert, weiterverarbeitet und auf einem geeigneten Bildschirm dargestellt werden. Da der wesentliche Unterschied
gegenüber dem klassischen Oszilloskop in der Speicherung der Daten liegt, spricht man meist von
(digitalen) Speicher-Oszilloskopen. Es muss nicht gesagt werden, dass die Speicherung große Vorteile besitzt. Unverzichtbar bleiben klassische Oszilloskope jedoch im Bereich sehr hoher Frequenzen
(GHz) und sehr kurzer Spannungspulse (ps).
Damit Sie sich schon vor Beginn des Praktikums etwas mit dem Oszilloskop HAMEG 303 vertraut
machen können, werden im Folgenden die wichtigsten Bedienelemente anhand der Abb. 5 erläutert.
Die Erläuterung ist sehr kurz gefasst und keineswegs vollständig.
Es handelt sich um ein zweikanaliges Gerät mit zwei BNC-Eingängen (28, 32). Der dritte Eingang (36)
ist ein externer Triggereingang, der im Praktikum nicht benötigt wird. Neben den beiden Eingängen
befinden sich Tasten (29, 33), mit denen sich die Darstellung des Gleichanteils im Signal unterdrücken
lässt (”AC”). Jeweils daneben sind zwei weitere Tasten (30, 34, ”GD”, ”ground”) angeordnet, mit
denen sich die Spannung 0 V anzeigen lässt. Dies dient zur Orientierung der vertikalen Ablenkung
(einstellbar über die Drehknöpfe 5 und 8, siehe später). Über den beiden Signaleingängen befinden
sich Tasten, mit denen die Art der Anzeige beeinflusst werden kann. Taste 15 schaltet zwischen KaM-6
Abb. 5: HAMEG 303, Frontpanel.
nal I und II um, wenn Taste 16 nicht gedrückt ist. Anderenfalls (im ”Dual”-Betrieb) werden beide
Kanäle gleichzeitig (”alternierend”) dargestellt. Mit Taste 17 kann die Summe der Eingangsspannungen angezeigt werden. Durch Invertierung des Kanals II (35) kann auch die Differenz angezeigt
werden.
Über den gerade besprochenen Tasten liegen die beiden Einstellknöpfe (13, 18) für die Empfindlichkeiten der beiden Kanäle (von 5 mV/cm bis 20 V/cm). Damit die so eingestellten Werte genau
stimmen, müssen die beiden Drehknöpfe 14 und 19 ganz nach rechts gedreht sein. Direkt darüber
befinden sich die beiden bereits erwähnten Drehknöpfe (5, 8) zur vertikalen Positionierung der angezeigten Kurve in den Kanälen I und II. Rechts neben den Empfindlichkeitsstellern (13, 18) kann man
zwischen verschiedenen Triggereinstellungen wählen (AC: Wechselspannung, DC zusätzlich Gleichspannung). Direkt darüber kann man das Vorzeichen der Triggerflanke (9, steigend oder fallend) und
den Triggerpegel (10, Größe der Augenblicksspannung, bei der die Triggerung erfolgen soll) einstellen. Rechts neben der Triggereinstellung befindet sich der Drehknopf (24) für die Zeitablenkung (0,2
s/cm bis 0,1µ s/cm). Direkt darunter befindet sich u. A. die Taste zur Umstellung auf x-y-Betrieb
(Achtung: wegen fehlender Zeitablenkung Einbrenngefahr des Leuchtpunktes bei fehlenden Eingangsspannungen). Über dem Drehknopf für die Zeitablenkung (24) befindet sich ein Drehknopf (11) zur
horizontalen Verstellung beider Kanäle.
2
Messung von Wechselgrößen mit und ohne Gleichanteil
Wir beschränken uns hier auf Wechselgrößen mit periodischen Zeitverläufen. Zur einfachen Charakterisierung solcher Wechselgrößen x(t) verwendet man verschiedene Kenngrößen wie den Mittelwert
und den Effektivwert. Den zeitlichen Mittelwert erhält man durch Integration über eine Periode T .
M-7
1
x(t) =
T
+T
Z /2
x(t)dt.
(1)
−T /2
Zieht man den Mittelwert von der Zeitfunktion ab, so erhält man per Definition ein mittelwertfreies
Signal. Diesen Anteil nennt man den ”Wechselanteil” x∼ (t) des Signals
x∼ (t) = x(t) − x(t) = x(t) − X= .
(2)
Den Mittelwert bezeichnet man dazu passend auch als ”Gleichanteil” X= . Der Wechselanteil ist
messtechnisch leicht durch einen Kondensator abzuspalten, da der Kondensator für Gleichstrom undurchlässig ist.
Abb. 6: Zerlegung einer allgemeinen und einer sinusförmigen Wechselgröße in Gleich- und Wechselanteil.
In Abb. 6 ist die Zerlegung in Gleich- und Wechselanteil für ein allgemeines und ein sinusförmiges
Signal dargestellt. Die schraffierten Flächen sind jeweils gleich groß (warum?). Die Differenz zwischen
maximalem und minimalem Wert der Wechselgröße bezeichnet man als Spitze-Spitze-Wert XSS . Bei
einer sinusförmigen Wechselgröße ist die Amplitude des Wechselanteils gleich dem halben SpitzeSpitze-Wert.
Zur Angabe der Stärke einer Wechselgröße wird häufig der Effektivwert berechnet oder gemessen. Er
ist definiert als
v
u +T /2
u Z
u1
X=u
x2 (t)dt.
(3)
tT
−T /2
Durch diese Definition wird erreicht, dass eine Wechselgröße mit einem bestimmten Effektivwert dieselbe elektrische Leistung in einem Widerstand in Wärme umsetzt wie eine Gleichgröße (Strom oder
M-8
Spannung) derselben Stärke. Entsprechend der englischen Bezeichnung des Effektivwerts als ”Root
Mean Square” findet man häufig die Bezeichnung RMS.
Zwischen dem Effektivwert einer Wechselgröße X und dem Effektivwert des Wechselanteils X∼ besteht folgender Zusammenhang (nachrechnen!):
X 2 = X=2 + X∼2 .
(4)
Die Messung des Effektivwerts erfordert entsprechend der Definitionsgleichung (3) eine in analoger
Technik nur relativ schwer zu realisierende Messvorschrift. Deshalb wird in analogen Geräten statt
des Effektivwerts meist ein anderer, leichter messbarer Wert, der ”Gleichrichtwert” gemessen und
durch Umskalierung in den Effektivwert überführt. Die Umskalierung erfolgt unter Zugrundelegung
einer sinusförmigen Wechselgröße. Dies wird im Folgenden erklärt:
Der Gleichrichtwert ist definiert als Mittelwert des Betrags einer Wechselgröße, wobei die Bildung
dieser Größe meist nur für den Wechselanteil x∼ (t) sinnvoll ist (dem entspricht das Ausfiltern des
Gleichanteils durch einen Kondensator).
1
|x|=
T
+T
Z /2
| x(t) | dt.
(5)
−T /2
Der Betrag einer Zeitfunktion kann mit Gleichrichtern leicht gebildet werden. Für eine konkrete
Zeitfunktion lässt sich der Konversionsfaktor F, der sogenannte ”Formfaktor”, berechnen, mit dem
der primär gemessene Gleichrichtwert in den zugehörigen Effektivwert umgerechnet werden kann:
X = F · | x |.
(6)
Bei analogen Multimetern wird bei der Anzeige von Effektivwerten grundsätzlich der Konversionsfaktor für sinusförmige Wechselgrößen (ohne Gleichanteil) berücksichtigt (F = 1, 11). Hochwertige digitale Multimeter zeigen hingegen ”echte” Effektivwerte nach der Definitionsgleichung (3) an.
Das wird als TRMS (true RMS) bezeichnet. TRMS-Werte können für Wechselgrößen mit und ohne
Gleichanteile gebildet werden. Mit steigender Frequenz und steigendem Scheitelfaktor (Verhältnis
von Maximalamplitude zu Effektivwert des Wechselanteils) wird die Genauigkeit des TRMS-Wertes
allerdings meist schlechter (können Sie sich Gründe dafür vorstellen?).
3
Messung von Phasenverschiebungen
Häufig interessiert man sich für die Spannungs-Übertragung vom ”Eingang” zum ”Ausgang” einer
”linearen” elektrischen Schaltung. Lineare Schaltungen entstehen z. B., wenn man ausschließlich Widerstände R, Kondensatoren C und Induktivitäten L verwendet. Als Eingang und Ausgang dient
jeweils ein Klemmenpaar, an dem die Eingangsspannung uE (t) bzw. die Ausgangsspannung uA (t)
auftritt. Die dazwischen liegende Schaltung wird als Zweitor bezeichnet. Abb. 7 zeigt ein allgemeines
Zweitor. Das angedeutete RC-Glied ist nur als einfaches Beispiel für eine spezielle ”Füllung” des
Zweitors gemeint.
Bei sinusförmiger Speisung des Zweitors tritt auch am Ausgang eine sinusförmige Spannung auf,
die dieselbe Frequenz f bzw. Kreisfrequenz ω = 2πf wie die speisende Spannung besitzt. In diesem
M-9
Abb. 7: Spannungen an einem Zweitor.
Fall beschreibt man die Situation am Besten mit komplexen Amplituden, also mit den komplexen
Spannungen Û E und Û A . Der Unterschied zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung lässt sich
durch das Verhältnis der Amplitudenbeträge und die Phasenverschiebung ausdrücken. Das Amplitudenverhältnis lässt sich leicht bestimmen, indem man die reellen Amplituden oder die Effektivwerte
von Ausgangs- und Eingangsspannung durcheinander dividiert. Dies liefert das Verhältnis
V =
ÛA
ÛE
=
UA
.
UE
(7)
D
Abb. 8: Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen zwei Sinusschwingungen.
Die Phasenverschiebung zwischen Eingang und Ausgang kann mit einem zweikanaligen Oszilloskop
direkt sichtbar gemacht werden (Abb. 8). Überlegen Sie sich, wie Sie aus den abgelesenen Werten für
∆t und T die Phasenverschiebung berechnen können. Alternativ lässt sie sich auch aus Effektivwerten
bestimmen. Dazu muss man neben den Effektivwerten der Eingangs- und Ausgangsspanuung (UE
und UA ) auch den Effektivwert der Spannungsdifferenz zwischen Ein- und Ausgang U∆ messen. Das
zugehörige Zeigerdiagramm (Abb. 9) repräsentiert den Maschenumlauf Û E = Û ∆ + Û A . Aus dem
Kosinussatz erhält man
)
(
½ 2
¾
UA + UE2 − U∆2
ÛA2 + ÛE2 − Û∆2
= arccos
ϕ = arccos
.
(8)
2UA UE
2ÛA ÛE
M - 10
j=
D
Abb. 9: Zeigerdiagramm, das der Situation in Abb. 8 entspricht.
Man kann also durch Messung der drei Spannungen die Phasenverschiebung ϕ bestimmen.
Das Amplitudenverhältnis und die Phasenverschiebung kann man zu einer komplexen Übertragungsfunktion zusammenfassen, die die komplexen Ein- und Ausgangsgrößen verbindet.
Û A = H · Û E ,
H = V ejϕ .
(9)
Prüfen Sie dies nach!
4
Aufnahme von Kennlinien
Als Kennlinie eines elektrischen Bauelements mit zwei Anschlussklemmen (”Eintor”) bezeichnet man
die Darstellung der Gleichspannung an dem Bauelement als Funktion des hindurch fließenden Gleichstroms U = f (I) oder umgekehrt I = f (U ). Solche Kennlinien können Punkt für Punkt (U, I) gemessen werden oder mit einem Oszilloskop unter Verwendung von Wechselgrößen niedriger Frequenz
dargestellt werden (bei einer Gleichspannungsquelle sähe man auf dem Oszilloskop nur einen einzigen Punkt der Kennlinie). Eine Messschaltung zur Aufnahme der Kennlinie eines Eintors mit dem
Oszilloskop zeigt Abb. 10.
Abb. 10: Aufnahme der Kennlinie eines Eintors mit einem Oszilloskop unter Verwendung der x-yAblenkung. Das Symbol für das Oszilloskop zeigt symbolisch die vier beteiligten Platten zur Ablenkung
des Elektronenstrahls.
Um die Strom-Spannungs-Kennlinie Ix = f (Ux ) des unbekannten Eintors aufzunehmen, muss die
horizontale x-Ablenkung des Oszilloskops, die normalerweise die Zeitachse repräsentiert und intern
M - 11
erzeugt wird, durch eine von außen eingespeiste Spannung gesteuert werden, die der Spannung am
Eintor ux entspricht. Dazu ist die Betriebsart ”x-y-Ablenkung” des Osziloskops vorgesehen. In vertikaler Richtung soll die Ablenkung dem Strom durch das Eintor entsprechen. Dies gelingt durch Umwandlung des Stroms ix in eine proportionale Spannung mithilfe eines Widerstands R. Der zusätzlich
in Abb. 10 vorgesehene Vorwiderstand RV dient einer Strombegrenzung bei eventuellen Verschaltungsfehlern.
Zwei der vier Ablenkungsplatten eines Oszilloskops sind miteinander und mit dem Gehäuse elektrisch
verbunden (Laborjargon: ”sie liegen auf Masse”). Dieser Punkt wird bei Anschluss an eine Steckdose
geerdet. Der Masseanschluss ist in der Messschaltung in Abb. 10 eingezeichnet. Die beiden Eingänge
des Oszilloskops sind also ”nicht potenzialfrei”. Die beiden Eingänge sind mit ”BNC-Buchsen” ausgeführt. Außen liegt der mit dem Gehäuse leitend verbundene ”Masseanschlus”, innen der freie Pol,
im Laborjargon auch als ”heißes Ende” bezeichnet.
Das Faktum, dass das Oszilloskop nicht potenzialfrei ist, hat Auswirkungen auf die Wahl der die
Schaltung speisenden Spannungsquelle u0 . Würde man als Spannungsquelle den in anderen Versuchsteilen benutzten Funktionsgenerator ohne weitere Maßnahmen einsetzen, entstünde ein Problem
dadurch, dass auch der Funktionsgenerator über die Steckdose geerdet ist. Bei diesem Gerät ist der
Ausgang nicht potenzialfrei: er liegt einseitig ”auf Masse”. Überlegen Sie sich die Folgen einer gleichzeitigen Erdung der Spannungsquelle und des Oszilloskops durch Betrachtung der Messschaltung für
diesen Fall.
5
Vorbereitende Aufgaben
(a) Bei der Messschaltung nach Abb. 2 entstehen Messfehler aufgrund der endlichen Innenwiderstände
der beteiligten Messgeräte. Die Schaltung sei an eine ideale Spannungsquelle U0 angeschlossen.
Berechnen Sie die auftretenden relativen Fehler von Strom und Spannung für die zwei folgenden
Messfälle:
• Messfall I: Innenwiderstand des Strommessgeräts RA = 1Ω, Spannungsmessgerät ideal.
• Messfall II: Strommessgerät ideal, Innenwiderstand des Spannungsmessgerät RV = 2M Ω.
Der zu messende Widerstand beträgt Rx = 220 kΩ. Bestimmen Sie die relativen Fehler für den Bezugsfall, dass die wahren Werte von Strom und Spannung Iw und Uw auftreten, wenn die Messgeräte
entfernt werden.
I − Iw
∆U
U − Uw
∆I
=
und
=
(10)
Iw
Iw
Uw
Uw
(b) Berechnen Sie den Effektivwert und den Gleichrichtwert für ein sinusförmiges Signal, ein Rechtecksignal und ein Dreiecksignal, wobei zwecks Allgemeingültigkeit jeweils ein Gleichanteil überlagert
sein soll.
6
Messaufgaben
Zur Durchführung der Messungen benötigen Sie neben den verschiedenen Messgeräten und Verbindungskabeln das Schaltbrett nach Abb. 11 und für die letzte Messaufgabe 6.4 einen zusätzlichen
Übertrager zur Potenzialtrennung.
M - 12
W
W
Abb. 11: Schaltbrett zu diesem Versuch. Die Kreise kennzeichnen Buchsen, die Sie verkabeln können.
Die eingezeichneten elektrischen Bauelemente sind bereits fest eingelötet.
6.1
Gleichspannungen und Gleichströme
In diesem Versuchsteil wird der denkbar einfachste elektrotechnische Versuch durchgeführt. Sie sollen an einem durch eine Gleichspannungsquelle gespeisten Widerstand Rx Strom und Spannung
messen. Bei dieser Gelegenheit werden Sie den Umgang mit analogen und digitalen Multmetern lernen. Grundsätzlich wird die Messchaltung nach Abb. 2 verwendet, wobei Sie ein analoges und ein
digitales Multimeter zur Verfügung haben.
Messungen:
Zunächst muss die Überstimmung der beiden Multimeter überprüft werden. Entwerfen Sie zwei Schaltungen, bestehend aus Gleichspannungsquelle, Widerstand und den beiden Multimetern, mit denen
Sie mit beiden Multimetern dieselbe Spannung bzw. denselben Strom messen können. Führen Sie die
Messungen durch. ”Trauen” Sie den mit den digitalen Multimetern gemessenen Werten und bestimmen Sie die Faktoren für Strom und Spannung, mit denen die analog gewonnenen Werte korrigiert
werden müssen.
Realisieren Sie nun die Messschaltung nach Abb. 2 und messen Sie zweimal Strom und Spannung
wie folgt: Setzen Sie zunächst das analoge Multimeter zur Strom- und das digitale Multimeter zur
Spannungsmessung ein (Messfall I). Danach führen Sie die Messung mit vertauschten Rollen der
beiden Multimeter durch (Messfall II).
Auswertung:
Gehen Sie von der Annahme aus, dass sich das digitale Multimeter ideal verhält (was bedeutet das?).
Berechen Sie unter dieser Annahme den Wert des benutzten Widerstands Rx . Welche Messgröße in
welchem Messfall wird besonders fehlerhaft gemessen? Berechnen Sie den relativen Messfehler dieser
Größe, bezogen auf den ohne Anwesenheit der Messgeräte am Widerstand Rx auftretenden Wert.
M - 13
Dabei können Sie davon ausgehen, dass auch der Innenwiderstand des analogen Multimeters bei
Strommessung klein gegen den Widerstand Rx ist.
6.2
Wechselspannungen und Wechselströme mit und ohne Gleichanteil
Messungen:
Generieren Sie mit dem Funktionsgenerator (a) eine sinusförmige, (b) eine rechteckförmige und (c)
eine dreieckförmige Spannung und stellen Sie zusätzlich einen Gleichanteil ein. Verwenden Sie eine
Frequenz von etwa 1kHz. Stellen Sie die für alle Signale die Amplitude des Wechselanteils auf 3 V,
den Gleichanteil auf 2 V ein. Kontrollieren Sie die Zeitfunktion mit dem Oszilloskop.
Messen Sie mit dem Digitalmultimeter, jeweils für alle drei Signale, die Effektivwerte in den beiden
Einstellungen ”VAC ” (nur Wechselanteil) und ”VAC+DC ” (Gleich- und Wechselspannung zusammen).
Auswertung:
Überprüfen Sie die gemessenen Ergebnisse anhand der Berechnungen zur vorbereitenden Aufgabe
(b).
6.3
Phasenverschiebungen
Es werden die Phasenverschiebungen an einem speziellen Zweitor gemäß Abschnitt 3 gemessen. Bei
dem Zweitor handelt es sich um ein CR-Glied mit variablem Widerstand (”Potenziometer”). Durch
Drehen am Potenziometer können verschiedene Phasenverschiebungen eingestellt werden.
Achtung: Das Zweitor ist nicht identisch mit dem in Abschnitt 3 (Abb. 7) als Beispiel verwendeten!
Sie müssen sich insbesondere das Zeigerbild neu überlegen.
Messungen:
Stellen Sie durch Variation des Potenziometers zwei deutlich unterschiedliche Phasenlagen ein und
messen Sie die Phasendifferenzen zwischen Ein- und Ausgang jeweils gemäß Abschnitt 3 mit dem
Oszilloskop und durch Messung von Effektivwerten mit dem Digitalmultimeter.
Auswertung:
Berechnen Sie für beide Potenziometerstellungen die Phasenverschiebungen zwischen Ein- und Ausgang nach beiden Messmethoden. Zeichen Sie jeweils ein maßstäbliches Zeigerbild der Spannungen.
6.4
Kennlinie einer Zenerdiode
Dieser Versuchsteil folgt Abschnitt 4. Als spezielles Eintor wird in diesem Versuch eine ”Zenerdiode”
verwendet. Während eine normale Diode in eine Spannungsrichtung leitet und in die andere sperrt,
wird die Zenerdiode ab einer bestimmten Spannung auch in ”Sperrrichtung” leitend.
M - 14
Messungen:
Realisieren Sie die Messschaltung nach Abb. 10. Da das Oszilloskop einseitig geerdete Eingänge besitzt, kann der ebenfalls einseitig geerdete Ausgang des Funktionsgenerators nicht direkt benutzt
werden, um die Schaltung zu speisen. Aus diesem Grunde wird zur Potenzialtrennung ein Übertrager zwischengeschaltet, dessen Sekundärwicklung potenzialfrei ist. Zeichnen Sie das Schaltbild der
Anordnung und kennzeichnen Sie dabei alle geerdeten Pole.
Nehmen Sie im x-y-Modus die Kennlinie der Zenerdiode bei sinusförmiger Anregung mit einer Frequenz von etwa 300 Hz auf. Skizzieren Sie die Kennlinie in ein Diagramm UR = f (UZ ), indem Sie
Wertepaare vom Oszilloskop ablesen. Der Widerstand R zur Messung des Stroms besitzt den Wert
1 kΩ.
Stellen Sie Strom IZ und Spannung UZ der Zenerdiode auch als Zeitfunktionen auf dem Oszilloskop
dar. Skizzieren Sie die beiden Zeitfunktionen in einem gemeinsamen Diagramm. Achten Sie dabei
auf die korrekte Lage der Nulllinien von Strom und Spannung.
Auswertung:
Skalieren Sie die Strom-Achse der bereits gezeichneten Kennlinie, so dass Sie die gewünschte Kennlinie
IZ = f (UZ ) darstellen. Erklären Sie ferner den Verlauf der gemessenen Zeitfunktionen von Zenerstrom
und -spannung.
7
Literatur
Schrüfer, Elmar: Elektrische Messtechnik, Hanser Fachbuchverlag 2004, ISBN 3446220704
Becker, W-J., Bonfig, K.W., Höing, K.: Handbuch der elektrischen Messtechnik, Hüthig Verlag Heidelberg, 2000, ISBN 3-7785-2769-X
M - 15
Versuh E1 Strom- und Spannungsmessungen,
Kompensationsmessverfahren
Inhaltsverzeihnis
1 Vorbemerkung
2
2 Grundlagen
2
2.1
Der Spannungsteiler
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Ersatzspannungsquelle für lineare Shaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3
Spannungsmessung durh Kompensation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.4
Strommessung durh Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3 Vorbereitende Aufgaben
5
4 Versuhsdurhführung
5
4.1
Strom-Spannungs-Kennlinie einer Quelle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.2
Der Spannungsteiler ohne und mit Belastung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.3
Innenwiderstand eines Voltmeters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5 Auswertung
7
6 Literatur
8
Lernziele
•
Idee des Kompensationsmessverfahrens verstehen
•
Praktishe Erfahrungen beim Aufbau elektrisher Shaltungen sammeln
•
Grundsätzlihe Überlegungen beim Entwurf von Messshaltungen kennen lernen (z.B. Trennung der Messshaltungen für Strom und Spannung)
•
Einfahe Shaltung zur Widerstandsmessung entwerfen und dimensionieren können
•
Fehlerfortpanzung bei der Verwendung von Messwerten in Berehnungen erkennen
E1 - 1
1
Vorbemerkung
Bitte arbeiten Sie diese Versuhsunterlagen sorgfältig durh. Lösen Sie auh die vorbereitenden
Aufgaben (Kap. 3). Dadurh können Sie kontrollieren, ob Sie für den Versuh ausreihend
vorbereitet sind. Bringen Sie die Lösungen der Vorbereitungsaufgaben zum Praktikumstermin
mit.
2
2.1
Grundlagen
Der Spannungsteiler
i
i
R1
u0
(1 − α) · R
u0
R
α·R
R2
u2
u2
RL
Ein Spannungsteiler kann aus zwei diskreten Widerständen R1 und R2 oder als
einstellbarer Spannungsteiler aus einem Widerstand R mit vershiebbarem Mittelabgri aufgebaut werden. Die Stellung des Mittelabgris wird durh den Wert von α angegeben (0 ≤ α ≤ 1).
Abbildung 1:
R1 und R2 gemäÿ Abb. 1 mit einer Spannungsquelle u0
R2 eine Spannung u2 < u0 abgreifen. In dem durh
die Spannungsquelle und die beiden Widerstände gebildeten Stromkreis ieÿt der Strom i =
u0 /(R1 + R2 ). Damit erhält man für die Spannung u2 am Widerstand R2 den Wert
Shaltet man zwei ohmshe Widerstände
zusammen, so kann man am Widerstand
u2 = R2 i = u0
R mit vershiebbarem Mittelabgri gebildet. Die Spannung u2 errehnet sih in diesem Fall mit R1 = (1 −α) R,
R2 = α R und R = R1 + R2 zu u2 = α u0 (0 ≤ α ≤ 1).
Häug werden die Widerstände
R1
und
R2
R2
.
R1 + R2
durh einen einzigen Widerstand
Die oben angegebene Beziehung zur Berehnung von
nungsteiler. Durh Anshluss eines Lastwiderstandes
und die Spannung
u2 gilt nur für den unbelasteten SpanRL wird der Spannungsteiler belastet,
u2
sinkt. Rehnerish lässt sih dies erfassen, wenn man die entstandene
′
′
und RL zu einem Ersatzwiderstand R2 zusammenfasst und R2 statt
R2 in die oben angegebene Formel zur Berehnung von u2 einsetzt man erhält
Parallelshaltung aus
R2
u2 = u0
mit
R2′ = (
R2′
R1 + R2′
1
1 −1
+
) .
R2 RL
E1 - 2
2.2
Ersatzspannungsquelle für lineare Shaltungen
Beliebige Zusammenshaltungen aus idealen Quellen und linearen Shaltelementen (z.B. ohmshen Widerständen) verhalten sih linear. Die Strom-Spannungs-Kennlinie einer linearen Shaltung ist eine Gerade. Jede lineare Shaltung kann also durh eine Ersatzspannungsquelle ersetzt
werden, wie sie in Abb. 2 dargestellt ist, wenn man deren Elemente
ui
und
Ri
entsprehend
wählt.
Ri
u
i
ui
Last
ui
u
iK
i
Ersatzspannungsquelle mit den Elemente ui und Ri . Abhängig von der angeshlossenen Last ergibt sih als Strom-Spannungs-Kennlinie eine Gerade. Die negative Steigung dieser
Geraden ist gleih dem Innenwiderstand Ri der Ersatzspannungsquelle es gilt Ri = ui /iK .
Abbildung 2:
2.3
Spannungsmessung durh Kompensation
iV
Messobjekt
ux
Voltmeter mit
Innenwiderstand RV
V
Abbildung 3: Spannungsmessung durh Anshlieÿen eines Voltmeters direkt an die Klemmen
des Messobjekts
Die Messung der Spannung
ux an den Klemmen eines Messobjekts erfolgt meist durh Anshlie-
ÿen eines Voltmeters direkt an die Klemmen des Messobjekts (siehe Abb. 3). Da allerdings jedes
Voltmeter einen endlih groÿen Innenwiderstand
Strom iV
= ux /RV .
RV
aufweist, ieÿt durh das Voltmeter der
Dieser Strom wird dem Messobjekt entnommen und kann die Spannungs-
messung beeinussen.
Mit Hilfe eines Kompensationsmessverfahrens kann man den Strom i, welher dem Messobjekt
entnommenen wird, zu Null mahen und damit eine möglihe Beeinussung der Spannungsmessung vermeiden. Die dazu erforderlihe Shaltung ist in Abb. 4 dargestellt. Die Messung
der Spannung
ux
am Messobjekt erfolgt durh Vergleih mit einer Spannung
uy ,
die von
uy wird von einer (Hilfs-)Spannungsquelle
R bereitgestellt. Je nah Stellung des Abgris
am einstellbaren Spannungsteiler kann uy kleiner, gröÿer oder gleih ux sein. Der Strom i
durh das Amperemeter A vershwindet genau dann, wenn ux = uy gilt, denn dann ist keine
einem Voltmeter gemessen und angezeigt wird.
uH ≥ uy
und einem einstellbaren Spannungsteiler
Potentialdierenz zwishen den Klemmen des Amperemeters vorhanden, die einen Strom durh
E1 - 3
A
R
i
uH
iV
ux
Messobjekt
uy
V
Abbildung 4: Spannungsmessung mit Hilfe eines Kompensationsmessverfahrens. Durh Einstellung des Spannungsteilers R wird der Strom i zu Null abgeglihen, und es gilt ux = uy .
das Amperemeter treiben könnte. Als Amperemeter verwendet man ein möglihst empndlihes Messinstrument, welhes sowohl positive wie auh negative Ströme anzeigen kann, also
beispielsweise ein Zeigerinstrument mit Mittelstellung des Zeigers im stromlosen Zustand. Die
Messung der Spannung
Spannungsteilers
uy = ux
2.4
R
ux
erfolgt nun folgendermaÿen: Man vershiebt den Mittelabgri des
so lange, bis das Amperemeter
am Voltmeter
V
A
den Strom
i = 0
anzeigt. Nun kann
abgelesen werden.
Strommessung durh Kompensation
ix
uA
Messobjekt
Amperemeter mit
Innenwiderstand RA
A
Strommessung durh Einshalten eines Amperemeters in den Leiter mit dem zu
messenden Strom ix
Abbildung 5:
Die Messung des Stromes
ix
in einem Leiter erfolgt meist durh Auftrennen des Leiters und
Einshalten eines Strommessgerätes (siehe Abb. 5). Da allerdings jedes Amperemeter einen
Innenwiderstand
RA > 0
aufweist, fällt am Amperemeter eine Spannung
uA
ab, welhe die
Strommessung beeinussen kann.
uH
ix
Messobjekt
V
u=0
ix (RS + RA )
RS
uA
RA
A
Strommessung mit Hilfe eines Kompensationsmessverfahrens. RS wird so eingestellt, dass uH = ix (RS + RA ) gilt dadurh wird die Spannung u zu Null, und der Strom ix
ieÿt vollständig durh das Amperemeter A.
Abbildung 6:
Mit Hilfe eines Kompensationsmessverfahrens kann man den Spannungsabfall
uA
kompensie-
ren und damit eine möglihe Beeinussung der Messung vermeiden. Die dazu erforderlihe
E1 - 4
Shaltung ist in Abb. 6 dargestellt. In Reihe mit dem Amperemeter wurden eine Hilfsspannungsquelle
uH
und ein einstellbarer Widerstand
RS
geshaltet.
der Spannungsabfall an Amperemeter und Widerstand
nung
uH
RS
RS
wird so eingestellt, dass
zusammen genau gleih der Span-
ist (Beahten Sie die Rihtung der Hilfsspannungsquelle!). Dies wird mit Hilfe eines
u = 0 V abgeglihen wird. Dadurh wird der Strom durh dieses Spannungsmessgerät zu Null, und ix ieÿt
vollständig durh das Amperemeter A. Als Spannungsmessgerät verwendet man ein möglihst
Spannungsmessgeräts kontrolliert, welhes (durh Variation von
RS )
auf den Wert
empndlihes Messinstrument, welhes sowohl positive wie auh negative Spannungen anzeigen
kann, also beispielsweise ein Zeigerinstrument mit Mittelstellung des Zeigers im spannungslosem
Zustand. Auh ein empndlihes Amperemeter ist einsetzbar.
3
Vorbereitende Aufgaben
i
R
(1 − α) · R
u0
α·R
u2
Abbildung 7:
RL
Durh den Widerstand RL belasteter einstellbarer Spannungsteiler
Betrahtet wird der in Abb. 7 dargestellte einstellbare Spannungsteiler. Im unbelasteten Zustand, also ohne Anshluss des Lastwiderstandes
nungsteilers den Wert
a) Ist
u2,mB
u2,oB .
kleiner oder gröÿer als
u2,oB ?
b) Gegeben seien die folgenden Gröÿen:
4 V.
Auf welhem Wert
Widerstand
R, u2,oB
4
4.1
RL ,
hat die Ausgangsspannung
Durh den Anshluss von
α
RL
u2
des Span-
ändert sie sih auf den Wert
u2,mB .
Begründen Sie Ihre Antwort.
u0 = 10 V, R = 10 kΩ, u2,oB = 5 V, u2,mB =
steht der Mittelabgri des Spannungsteilers? Wie groÿ ist der
RL ? Geben Sie auh einen allgemeinen Ausdruk
u2,mB an.
für
RL
als Funktion von
u0 ,
und
Versuhsdurhführung
Strom-Spannungs-Kennlinie einer Quelle
Mit Hilfe der in Abb. 8 dargestellten Messshaltung soll ein Teil der Strom-Spannungs-Kennlinie
(ix in Abhängigkeit von
ux )
einer Quelle (= Messobjekt) aufgenommen werden. Der Strom ix ,
welher der Quelle entnommen wird, kann mit Hilfe des verstellbaren Widerstandes
R1
variiert
werden und wird vom Vielfahmessinstrument Metrix im jeweils empndlihsten möglihen
der angegebenen Messbereihe angezeigt. Die Messung der Spannung
ux
eines Kompensationsmessverfahrens. Für jeden Messpunkt muss der Strom
E1 - 5
erfolgt mit Hilfe
∆i
mit Hilfe des
grün
+/ − 250 µA
∆i
rot
ix
0, 5 / 5 mA
Quelle
12 V
R2 =
11500 Ω
ux
(Messobjekt)
5V
R1 = 11500 Ω
uy
400 mV
grün
schwarz
Messshaltung zur Bestimmung der Strom-Spannungs-Kennlinie einer Quelle
(= Messobjekt)
Abbildung 8:
einstellbaren Spannungsteilers
somit
ux
R2
zu Null abgeglihen werden, so dass dann
uy = ux
gilt und
am Voltmeter abgelesen werden kann. Die gesamte Messshaltung ist so aufgebaut,
dass der Strom
ix
in einem eigenen Strompfad ieÿt und dadurh keine Spannungsabfälle in
Leitungen oder Stekkontakten verursahen kann, welhe die Spannungsmessung verfälshen
könnten.
Die beshriebene Messshaltung ist geeignet, den gröÿten Teil der Stom-Spannungs-Kennlinie
der Quelle auszumessen. Eine kleine Veränderung ist notwendig, um den Leerlauf der Quelle
(d.h. ix
= 0) zu erfassen: Es ist notwendig, den Strompfad zu unterbrehen, beispielsweise durh
Herausnehmen des Vielfahmessinstruments.
Völlig ungeeignet ist die Shaltung jedoh zur Messung des Kurzshlussstroms der Quelle. Der
Strompfad weist immer einen endlih groÿen Widerstand auf, minimal den Innenwiderstand des
ux > 0
u x = 0!
als Amperemeter verwendeten Vielfahmessinstruments. Daher ist immer eine Spannung
erforderlih, um Strom durh den Strompfad zu treiben. Im Kurzshlussfall ist jedoh
ix
rot
5 mA
grün
R1 =
11500 Ω
∆i
Quelle
12 V
(Messobjekt)
ux
+/ − 250 µA
5V
grün
schwarz
Abbildung 9:
Messshaltung zur Bestimmung des Kurzshlussstroms einer Quelle
Um den Kurzshlussstrom der Quelle zu messen, soll die Shaltung aus Abb. 9 verwendet
werden. Der Strom
∆i
R1 zu
u x = 0,
muss durh geeignetes Einstellen des verstellbaren Widerstandes
Null abgeglihen werden in diesem Fall gilt auh für die Ausgangsspannung der Quelle
d.h. es liegt der erwünshte Kurzshluss der Quelle vor. Der Ausgangsstrom
ix
der Quelle ist
gleih dem gesuhten Kurzshlussstrom und kann am Vielfahmessinstrument (Messbereih
0,5 mA)
abgelesen werden.
E1 - 6
4.2
Der Spannungsteiler ohne und mit Belastung
R1 = 11500 Ω
(mit Skala)
+/ − 250 µA
R2 =
11500 Ω
∆i
12 V
15 V
15 V
zweipoliger Umschalter
Shaltung zur Messung der Ausgangsspannung eines einstellbaren Spannungsteilers R1 in Abhängigkeit von der Stellung des Mittelabgris. Die Ausgangsspannung von R1 wird
je nah Stellung des zweipoligen Umshalters mit Hilfe des Kompensationsmessverfahrens oder
direkt durh das Voltmeter gemessen.
Abbildung 10:
Die in Abb. 10 dargestellte Shaltung soll zur Messung der Ausgangsspannung eines einstellbaren Spannungsteilers verwendet werden. Die Ausgangsspannung wird in der eingezeihneten
Stellung des zweipoligen Umshalters mit Hilfe des Kompensationsmessverfahrens gemessen.
Wegen des Abgleihs auf
∆i = 0
wird der Spannungsteiler niht belastet. (Dieser Abgleih
muss für jeden Messpunkt neu vorgenommen werden!)
Durh Umshalten der Shaltkontakte wird das Voltmeter direkt an den Mittelabgri des
Spannungsteilers geshaltet, wodurh dann der durh das Voltmeter ieÿende Strom den Spannungsteiler belastet. Die gemessene Spannung wird je nah Stellung des Mittelabgris des
Spannungsteilers vershieden stark vom unbelasteten Fall abweihen.
Im Versuh ist die Ausgangsspannung des Spannungsteilers für folgende Stellungen des Mittelabgris in jeweils beiden Stellungen des zweipoligen Umshalters aufzunehmen:
0,1; 0,2; 0,3;
4.3
. . . 0,9;
α = 0; 0,05;
0,95; 1.
Innenwiderstand eines Voltmeters
Bauen Sie unter Verwendung der im Versuh vorhandenen Messgeräte eine möglihst einfahe
Messshaltung zur Bestimmung des Innenwiderstands des in 4.2 verwendeten Voltmeters auf
und führen Sie die entsprehende Messung durh.
5
Auswertung
Zu 4.1:
•
Zeihnen Sie die Strom-Spannungskennlinie der vermessenen Quelle.
•
Berehnen Sie die Elemente der zugehörigen Ersatzspannungsquelle.
Zu 4.2 und 4.3:
E1 - 7
•
Zeihnen Sie die aufgenommenen Kennlinien des Spannungsteilers ohne und mit Belastung
in ein einziges Diagramm ein.
•
Berehnen Sie jeweils aus den Messwerten zu mehreren Stellungen des Mittelabgris Werte
für den Innenwiderstand des verwendeten Voltmeters. Vergleihen Sie diese Werte mit der
unter 4.3 direkt ermittelten Gröÿe des Innenwiderstandes.
6
Literatur
•
Pregla, R: Grundlagen der Elektrotehnik, Hüthig Verlag Heidelberg
•
Albah, M.: Grundlagen der Elektrotehnik 1, Pearson Studium
E1 - 8
Versuh E2 Elektrishes Feld und Strömungsfeld
Inhaltsverzeihnis
1 Vorbemerkung
2
2 Grundlagen
2
2.1
Feldbegri, graphishe Darstellung von Feldern
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Elektrishes Feld, Potential und Strömungsfeld im stationären Zustand
. . . . .
2
2.3
Feldlinienbilder des stationären Strömungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 Vorbereitende Aufgaben
5
4 Versuhsdurhführung
6
5 Auswertung
7
6 Literatur
7
Lernziele
•
Untershied zwishen einem skalaren Feld und einem Vektorfeld erklären können
•
Zusammenhänge zwishen elektishem Feld, Potential und Strömungsfeld kennen
•
Äquipotential- und Feldlinien eines Stromdihtefeldes bei einfahen Elektrodenanordnungen konstruieren können
E2 - 1
1
Vorbemerkung
Bitte arbeiten Sie diese Versuhsunterlagen sorgfältig durh. Lösen Sie auh die vorbereitenden
Aufgaben (Kap. 3). Dadurh können Sie kontrollieren, ob Sie für den Versuh ausreihend
vorbereitet sind. Bringen Sie die Lösungen der Vorbereitungsaufgaben zum Praktikumstermin
mit.
2
Grundlagen
2.1 Feldbegri, graphishe Darstellung von Feldern
Man spriht von einem Feld, wenn jedem Punkt im Raum eine physikalishe Gröÿe die
Feldgröÿe zugeordnet werden kann. Man untersheidet:
•
Skalare Felder: Die Feldgröÿe ist ein Skalar, jeder Punkt im Raum ist durh den Wert
dieses Skalars gekennzeihnet (z.B. Raumtemperatur).
•
Vektorfelder: Die Feldgröÿe ist ein Vektor, jeder Punkt im Raum ist sowohl durh den
Betrag als auh durh die Rihtung dieses Vektors gekennzeihnet (z.B. Strömungsgeshwindigkeit einer Flüssigkeit).
Skalare Felder werden graphish durh die Darstellung von Bereihen mit konstanter Feldgröÿe
dargestellt. Diese Bereihe sind meist Flähen, bei der zeihnerishen Darstellung ergeben sih
durh den Shnitt mit der Zeihenebene Linien konstanter Feldgröÿe (z.B. Isothermen auf einer
Wetterkarte).
Vektorfelder werden graphish meist durh so genannte Feldlinien dargestellt. Die Rihtung
der Feldgröÿe entspriht dann der Feldlinienrihtung, der Betrag der Feldgröÿe entspriht der
Feldliniendihte auf einer Flähe senkreht zu den Feldlinien.
2.2 Elektrishes Feld, Potential und Strömungsfeld im stationären
Zustand
Betrahtet wird in diesem Versuh der stationäre Zustand einer elektrishen Versuhsanordnung. Jeglihe zeitlihe Änderung von elektrishen (und auh magnetishen) Feldern ist dabei
niht erlaubt durh derartige Änderungen hervorgerufene Einshwingvorgänge müssen vollständig abgeklungen sein. Zugelassen ist nur eine gleihförmige Bewegung von Ladungsträgern
dies entspriht einem ieÿenden Gleihstrom.
Analog zu der potentiellen Energie einer Masse im Shwerefeld der Erde hat ein Ladungsträger,
welher die Ladung
Q
trägt, in einer elektrishen Versuhsanordnung im stationären Zustand
eine potentielle Energie
proportional zu
Q
W,
welhe vom Ort in der Versuhsanordnung abhängt und auÿerdem
ist. Dividiert man diese potentielle Energie durh die Gröÿe der Ladung, so
erhält man die Gröÿe
φ = W/Q, welhe nur noh vom Ort in der Versuhsanordnung abhängt. φ
wird elektrishes Potential oder kurz Potential genannt. Da jedem Punkt im Raum (bzw. der
Versuhsanordnung) ein Potential zugeordnet werden kann, handelt es sih um eine Feldgröÿe,
und zwar um eine skalare Feldgröÿe, da ihr keine Rihtung zugeordnet werden kann.
Wird eine Ladungsmenge
dem Potential
Q
von einem Ort mit dem Potential
φ1
zu einem anderen Ort mit
φ2 gebraht, so verliert oder gewinnt Q potentielle Energie. Die Potentialdierenz
E2 - 2
zwishen vershiedenen Punkten einer Versuhsanordnung ist eine so wihtige Gröÿe, dass sie
U12 =
einen eigenen Namen bekommen hat. Man spriht von der (elektrishen) Spannung:
φ1 − φ2 .
Das Potential eines Punktes kann niht absolut bestimmt werden, sondern es hängt von der
Wahl eines Bezugspunktes ab, dem das Potential Null zugeordnet wird. Die Wahl dieses Bezugspunktes ist beliebig. Häug werden ein unendlih ferner Punkt, die Erdoberähe oder
ein Bezugsleiter als Bezugspunkt gewählt. Relativ zum Bezugspunkt kann dann das Potential
aller anderen Raumpunkte bestimmt werden. Von praktishem Interesse sind fast immer nur
Potentialdierenzen, also Spannungen.
In elektrishen Versuhsanordnungen beobahtet man, dass ursprünglih ruhende Ladungsträger sih von selbst bewegen, wenn sie dadurh in unmittelbarer Umgebung einen Ort niedrigeren
Potentials erreihen können. Die Menge an potentieller Energie, welhe sie bei der Bewegung
verlieren, wird dabei in kinetishe Energie umgewandelt oder an die umgebende Materie in
Form von Wärme abgegeben.
Aus der Tendenz von Ladungsträgern, sih von selbst in Bewegung zu versetzen, kann man
shlieÿen, dass auf die Ladungsträger eine Kraft wirkt. Diese Kraft ist wie auh der Verlust
an potentieller Energie proportional zur Gröÿe der Ladung des Ladungsträgers. Daraus
kann man eine weitere Feldgröÿe ableiten, welhe die Eigenshaft des Raumes beshreibt,
auf elektrishe Ladungen Kräfte auszuüben. Diese Gröÿe heiÿt elektrishe Feldstärke, das
zugeordnete Formelzeihen ist
~.
E
Es handelt sih um eine vektorielle Feldgröÿe, welhe die
gleihe Rihtung hat wie die wirkende Kraft. Die Beziehung zwishen der wirkenden Kraft und
der elektrishen Feldstärke ist
~.
F~ = Q E
Der Zusammenhang zwishen der elektrishen Feldstärke
~
E
und dem Potential
φ ergibt sih aus
dem Verlust an potentieller Energie (−dW , das negative Vorzeihen kennzeihnet den
Verlust
F~ um
~
~
s. Man erhält −dW = −Q dφ = F · d~s = Q E · d~s. Es gilt also der Zusammenhang
eine Streke d~
~ immer senkreht auf Äquipotentialähen
~
dφ = −E · d~s. Daraus kann man shlieÿen, dass E
~ · d~s zu
steht, denn bei einer Bewegung senkreht zur Feldrihtung wird das Skalarprodukt E
~
Null, dies entspriht einer Bewegung auf einer Äquipotentialähe. E zeigt in Rihtung kleinerer
an potentieller Energie) bei einer Bewegung des Ladungsträger in Rihtung der Kraft
Potentiale.
σ ruft eine elektrishe Feldstärke
~
~
~ . Die Stromdihte beshreibt
eine zu
proportionale Stromdihte J hervor es gilt J = σ E
die Verteilung eines elektrishen Stromes I auf die zur Verfügung stehende Quershnittsähe A. Bei einer gleihförmigen Verteilung spriht man von einem homogenen Feld, und es gilt
~ = I/A. Im allgemeinen muss man aber von einer ungleihförmigen Verteilung, also einem
|J|
In einem elektrish leitfähigen Material mit der Leitfähigkeit
~
E
~
E
inhomogenen Feld ausgehen.
In einem idealen Leiter gilt
σ → ∞.
Die elektrishe Feldstärke im Inneren eines idealen Leiters
ist unabhängig von der Stromdihte gleih Null. Daraus lässt sih folgern, dass das Potential
im Inneren eines idealen Leiters konstant ist, und dass die Oberähe eines idealen Leiters
eine Äquipotentialähe ist. Der Vektor der elektrishen Feldstärke steht also senkreht auf der
=
0) niht eindringen. Die Vektoren des Stromdihtefeldes müssen also parallel zur Oberähe von
Oberähe eines idealen Leiters. Im Gegensatz dazu kann das Stromdihtefeld in Isolatoren (σ
Isolatoren verlaufen. Äquipotentialähen stehen senkreht auf der Oberähe von Isolatoren.
2.3 Feldlinienbilder des stationären Strömungsfeldes
Wie in Kap. 2.1 bereits erwähnt, werden zur Veranshaulihung elektrisher Strömungsfelder
Feldlinien und Äquipotentiallinien (d.h. Shnittlinien von Äquipotentialähen und der ZeiheE2 - 3
nebene) verwendet. Die Gestalt des Feldes ist festgelegt durh die Form und die Anordnung
von leitfähigen oder isolierenden Körpern im Raum. Bei der Konstruktion eines Feldlinien/Äquipotentiallinienbildes ist zu beahten (dies ist gröÿtenteils eine Wiederholung der Erkenntnisse aus Kap. 2.2):
= const.).
•
Die Oberähen von idealen elektrishen Leitern sind Äquipotentialähen (φ
•
Äquipotentialähen stehen senkreht auf den Oberähen isolierender Körper.
•
Die Feldlinien stehen senkreht auf Äquipotentialähen.
•
Die Feldlinien sind in Rihtung der Feldstärke gerihtet und zeigen von höheren zu
niedrigeren Potentialen.
•
Die Feldliniendihte ist proportional zur Stärke des Strömungsfeldes
•
Äquipotentiallinien werden jeweils im Abstand
∆φ = const.
~.
|J|
gezeihnet. So erhält man
bei einer hohen Feldliniendihte auh eine hohe Dihte von Äquipotentiallinien.
Abb. 1 zeigt ein Beispiel für ein Feld- und Äquipotentiallinienbild des Stromdihtefeldes in
einem leitfähigen Medium zwishen zwei Metallelektroden, deren Leitfähigkeit viel höher ist als
die des leitfähigen Mediums.
leitfähiges Medium
J~
φ = const.
I
Isolator
Zwishen zwei Metallelektroden bendet sih ein leitfähiges Medium sowie, darin
eingebettet, ein Isolator. Dargestellt ist das sih einstellende Feldlinien- und Äquipotentiallinienbild des Stromdihtefeldes.
Abbildung 1:
In diesem Versuh sollen das Potentialfeld und das Stromdihtefeld im Inneren eines shwah
leitfähigen Kohlepapiers ausgemessen werden. Dies ist messtehnish einfaher als das Ausmessen eines elektrishen Feldes. Wegen der Proportionalität von
J~
zu
~
E
sind die Feldlinienbilder
beider Felder in einem leitfähigen Medium aber identish.
Das Kohlepapier ist im Verhältnis zu seinen übrigen Maÿen sehr dünn. Man kann näherungsweise von einer senkreht zur Papieroberähe gleihförmigen Verteilung der Stromdihte ausgehen,
da die Äquipotentialähen sowohl an der Ober- wie an der Unterseite des Papiers senkreht
zur Papieroberähe stehen müssen und nur shwah gekrümmt sind. Durh Messung wird der
Verlauf der Äquipotentialähen an der Oberseite des Kohlepapiers bestimmt. Bei der grashen
Konstruktion der Feldlinien des Stromdihtefeldes wählt man den Abstand der Feldlinien in
etwa so groÿ wie den Abstand der Äquipotentiallinien. Dadurh entstehen näherungsweise kleine
Quadrate, gebildet aus Äquipotential- und Stromdihtelinien.
Fasst man alle aus Äquipotential- und Stromdihtelinien gebildeten Quadrate zwishen zwei
benahbarten Feldlinien zusammen, so nennt man dies eine Stromröhre. Innerhalb jeder
E2 - 4
Stromröhre ieÿt ein gleih groÿer Teil des Gesamtstroms zwishen den Elektroden. Kennt
man die Gröÿe
I
des insgesamt ieÿenden Stroms, so kann aus der Zahl
n der
im Feldlinienbild
enthaltenen Stromröhren der in jeder Stromröhre ieÿende Strom bestimmt werden zu
∆I =
I/n.
3
Vorbereitende Aufgaben
Aufgabe 1
φ2
φ1
σ
d
∆s
∆I
∆s
Betrahtet wird der oben gezeihnete quadratishe Ausshnitt aus einer Stromröhre in einem
Medium der Dike
d
mit der Leitfähigkeit
σ.
Länge und Breite des Quadrats sind
shattiert dargestellten Äquipotentialähen haben die Potentiale
φ1
bzw.
φ2 .
∆s.
Die
Im Inneren des
leitfähigen Mediums ergibt sih ein homogenes Stromdihtefeld.
a) Wie groÿ ist der Betrag der Stromdihte
b) Berehnen Sie den Strom
∆I
~
J im leitfähigen Medium?
in Abhängigkeit von den Gröÿen
φ1 , φ2 , σ , d
und
∆s.
Aufgabe 2
Metall, σ → ∞
leitfähiges Medium
I
Skizzieren Sie das Feldlinien- und das Äquipotentiallinienbild der oben gegebenen Anordnung.
E2 - 5
4
Versuhsdurhführung
Die Versuhsanordnung besteht aus einem Messtish, auf dessen einer Seite Kohlepapier mit ei−1
und einer Dike d = 0,1 mm aufgelegt wird. Auf der anderen Seite
ner Leitfähigkeit σ = 25 S m
des Messtishs wird ein Blatt Papier eingespannt, welhes zur Aufnahme der Messpunkte dient.
Zwei Elektroden können auf dem Kohlepapier beliebig platziert und aufgepresst werden, um
einen elektrishen Kontakt herzustellen. Die Leitfähigkeit der Metallelektroden ist im Vergleih
zur Leitfähigkeit des Kohlepapiers sehr groÿ. Die Messshaltung (siehe Abb. 2) stellt zwishen
den Metallelektroden eine Potentialdierenz von
10 V her. Der dann ieÿende Strom verursaht
im Kohlepapier ein Stromdihtefeld. Mit Hilfe einer Tastspitze ist es möglih, das Potential an
beliebigen Stellen auf dem Kohlepapier zu messen. Mittels eines Kopiermehanismus werden
diese Messpunkte auf ein Blatt Papier übertragen.
R1 = 320 Ω
pos. Elektrode
R2 =
930 Ω
12 V
G
10 V
Tastspitze
U
neg. Elektrode
(Bezugspotential)
Shaltung zur Messung des Potentials auf einem Kohlepapier. Die Tastspitze
kann an beliebige Stellen des Kohlepapiers gesetzt werden. Die Potentialmessung erfolgt mit
Hilfe eines Kompensationsmessverfahrens (siehe Versuh E1).
Abbildung 2:
Die Versuhsdurhführung erfolgt in folgenden Shritten:
1. Erneuern Sie das Kohlepapier, falls es starke Abnutzungsersheinungen aufweist.
2. Bringen Sie die Elektroden auf dem Messtish in geeigneter Weise an.
3. Legen Sie ein neues Blatt Papier in die dafür vorgesehene Vorrihtung auf dem Messtish
ein.
4. Kopieren Sie die Form und die Lage der Elektroden durh Abtastung mit der Tastspitze
auf das Blatt Papier.
5. Bauen Sie die Messshaltung auf und verbinden Sie diese mit dem Messtish. Ahten Sie
dabei darauf, dass beim späteren Verfahren des Wagens mit der Tastspitze keine Kabel
eingequetsht werden können.
R1 eine Spannung von 10 V zwishen den ElektroPotentiometers R2 im oberen Anshlag niht unbedingt
6. Stellen Sie mit Hilfe des Potentiometers
den ein. Da der Mittelabgri des
auf dem Potential des oberen Anshlusses liegt, verbinden Sie dazu das Voltmeter temporär statt mit dem Mittelabgri mit dem oberen Anshluss von
E2 - 6
R2 .
7. Durh verstellen des Potentiometers
detektierende Potentialdierenz
U
R2
bei angehobener Tastspitze können Sie die zu
zwishen der Tastspitze und der negativen Elektrode
einstellen. Beginnen Sie mit dem Wert
U = 1 V.
Senken Sie anshlieÿend die Tastspitze
auf das Kohlepapier und ertasten Sie die zugehörige Äquipotentiallinie, indem Sie die
Tastspitze so lange auf dem Kohlepapier hin und her bewegen, bis das Galvanometer
(Galvanometer: Sehr empndlihes Strommessgerät) den Wert
0 µA
G
anzeigt. Fahren Sie
jetzt die Äquipotentiallinie entlang und kopieren Sie diese auf das Blatt Papier.
8. Wiederholen Sie den letzten Shritt für die Potentialdierenzen
Shrittweite von
2V
bis
9V
mit einer
1 V.
9. Messen Sie den Gesamtstrom, der durh das Kohlepapier ieÿt, mit dem Multimeter.
Überlegen Sie sih vorher, an welher Stelle der Messshaltung Sie das Multimeter einfügen.
5
Auswertung
a) Zeihnen Sie die Feldlinien des Stromdihtefeldes in das Blatt mit den Äquipotentiallinien
ein. Beginnen Sie die Konstruktion der Feldlinien an der stabförmigen Elektrode.
b) Berehnen Sie den Strom
∆I
durh eine ausgewählte Stromröhre entsprehend der Me-
thode aus Aufgabe 1 der Vorbereitungsaufgaben. Vernahlässigen Sie dabei etwaige Randeekte.
) Berehnen Sie den Strom
I
∆I
durh eine Stromröhre aus dem gemessenen Gesamtstrom
durh Division durh die Zahl der eingezeihneten Stromröhren. Vergleihen Sie dieses
Ergebnis mit dem aus b) und diskutieren Sie eventuelle Untershiede.
6
Literatur
•
Pregla, R: Grundlagen der Elektrotehnik, Hüthig Verlag Heidelberg
•
Albah, M.: Grundlagen der Elektrotehnik 1, Pearson Studium
E2 - 7
Versuh E3 Magnetishes Feld, Induktion und
Gegeninduktion
Inhaltsverzeihnis
1 Vorbemerkung
2
2 Grundlagen
2
2.1
Magnetishes Feld im Inneren einer Zylinderspule
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Messung eines magnetishen Wehselfeldes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Selbst- und Gegeninduktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3 Vorbereitende Aufgaben
6
4 Versuhsdurhführung
7
4.1
Messung des Magnetfeldes einer Zylinderspule in Abhängigkeit vom Ort . . . . .
7
4.2
Messung der Gegeninduktivität eines Variometers
7
. . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Auswertung
8
6 Literatur
8
Lernziele
•
Näherungslösung für das magnetishe Feld im Inneren einer Zylinderspule verstehen und
berehnen können
•
Messverfahren zur Bestimmung der Flussdihte eines Magnetfeldes kennen lernen
•
Untershied zwishen Selbst- und Gegeninduktion verstehen
•
Einfahes Messverfahren zur Bestimmung von Gegeninduktivitäten kennen lernen
E3 - 1
1
Vorbemerkung
Bitte arbeiten Sie diese Versuhsunterlagen sorgfältig durh. Lösen Sie auh die vorbereitenden
Aufgaben (Kap. 3). Dadurh können Sie kontrollieren, ob Sie für den Versuh ausreihend
vorbereitet sind. Bringen Sie die Lösungen der Vorbereitungsaufgaben zum Praktikumstermin
mit.
2
2.1
Grundlagen
Magnetishes Feld im Inneren einer Zylinderspule
Die Berehnung des magnetishen Feldes einer Zylinderspule erfordert einen erheblihen Aufwand, da die Beiträge durh Ströme in jeder einzelnen Windung am betrahteten Punkt
überlagert werden müssen. Wesentlih einfaher ist dagegen die Betrahtung einer Ringspule,
wie sie in Abb. 1 dargestellt ist. Aus der Berehnung des magnetishen Feldes einer Ringspule
lässt sih eine Näherungslösung für das Feld im Inneren einer langgestrekten Zylinderspule
ableiten.
ri
rm
ra
~
H
Abbildung 1: Ringspule mit
NR
I
Windungen, welhe gleihförmig über den Umfang verteilt sind.
Der Zusammenhang zwishen der magnetishen Erregung
~
H
und der felderzeugenden elektri-
shen Durhutung wird durh das Durhutungsgesetz beshrieben. Es gilt
I
s
Darin sind
J~
~ · d~s =
H
Z
~ · dA
~.
~+ d
D
J~ · dA
dt A
A
Z
~ die elektrishe Flussdihte. Der Integrationsweg s ist
D
~ bilden eine Rehtsshraube. Die rehte Seite
A, d~s und dA
die Stromdihte und
Rand der Integrationsähe
der
des
Durhutungsgesetzes heiÿt elektrishe Durhutung sie entspriht der Summe aller Ströme,
welhe die Integrationsähe
A durhsetzen.
In vielen Fällen, insbesondere bei Wehselströmen
d R ~
~ ) im Vergleih zu den LeitungsD · dA
dt A
niedriger Frequenz, sind die Vershiebungsströme (
strömen vernahlässigbar klein.
E3 - 2
Das Durhutungsgesetz wird nun auf die vom Strom
I
stromdurhossene Ringspule ange-
wandt. Aus Symmetriegründen erfolgt die Lösung des Ringintegrals auf einem kreisförmigen
r entgegen dem Uhrzeigersinn. Der Integrationsweg s
2πr . Man muss drei Fälle untersheiden:
Weg mit dem Radius
und hat die Länge
• HFür Integrationswege
~ s = 0.
s H · d~
•
mit Radien
r < ri
Für Integrationswege mit Radien
ist dann ein Kreis
werden keine Ströme eingeshlossen es gilt also
r i < r < ra
innerhalb der Ringspule durhsetzt der
~
s=
s H · d~
NR I . Aus Symmetriegründen ist der Betrag der magnetishen Erregung an jeder Stelle des
N I
Integrationsweges gleih groÿ man erhält H = R . Aufgrund der Rehtsshraubigkeit
2πr
von Integrationsrihtung und elektrisher Durhutung (NR I ist aus der Zeihenebene
Strom
I
die vom Integrationsweg eingeshlossene Flähe
heraus orientiert) ist
~
H
NR -mal es gilt also
H
bei der abgebildeten Ringspule entgegen dem Uhrzeigersinn
gerihtet.
•
Für Integrationswege mit Radien
NR -mal sowohl
r > ra durhsetzt der Strom I
die eingeshlossene Flähe
in die Zeihenebene hinein wie auh wieder aus der Zeihenebene heraus.
Die resultierende elektrishe Durhutung ist daher Null. Es gilt also
s
~ · d~s = 0.
H
NR I
. Mir r =
2πr
lässt sih dieser Ausdruk umformen in ein Produkt aus der magnetishen Erregung
Nur im Inneren der Ringspule herrsht also die magnetishe Erregung
rm + ∆r
H
auf dem mittleren Radius
rm
und einem Korrekturfaktor:
H(r) =
Den Faktor
NR
2πrm
= N′
H(r) =
NR I
NR I
1
=
2πr
2πrm 1 + ∆r/rm
kann man als Wiklungsdihte der Ringspule interpretieren.
Bei konstanter Wiklungsdihte
N′
lässt man nun den mittleren Radius
wahsen, während man den Durhmesser
ra − ri
rm
über alle Grenzen
der Ringspule konstant hält. Die magnetishe
Erregung im Inneren der Ringspule hat dann überall näherungsweise denselben Wert
H(r) = lim N ′ I
rm →∞
1
= N′ I .
1 + ∆r/rm
Shneidet man nun aus der unendlih ausgedehnten Ringspule einen endlihen Abshnitt der
ℓZ heraus, so erhält man eine Zylinderspule, denn die Krümmung der Ringspule geht für
rm → ∞ gegen Null. Die Zylinderspule hat NZ = N ′ ℓZ Windungen. Die magnetishe Erregung
Länge
im Inneren der Zylinderspule ist im Rahmen dieser Überlegung konstant
H=
NZ I
.
ℓZ
Die magnetishe Flussdihte erhält man durh Multiplikation mit der Permeabilität
−7 V s
luftgefüllte Zylinderspule (µ = µ0 = 4π · 10
) ergibt sih
Am
B = µ0
µ. Für eine
NZ I
.
ℓZ
Entsprehend der hier vorgestellten Näherungslösung herrsht im Inneren einer luftgefüllten
Zylinderspule ein homogenes magnetishes Feld. Auÿerhalb der Spule vershwindet das magnetishe Feld.
E3 - 3
2.2
Messung eines magnetishen Wehselfeldes
Magnetishe Wehselfelder lassen sih am einfahsten mit Hilfe einer kleinen, ahen Prüfspule
messen, in welher aufgrund der zeitlihen Änderung des Magnetfeldes eine Spannung induziert
wird. Bringt man die Prüfspule so in das magnetishe Wehselfeld ein, dass Ihr Quershnitt
AP
senkreht vom magnetishen Feld durhsetzt wird, so kann man mit Hilfe des Induktionsgesetzes
den Eektivwert der induzierten Spannung zu
U = NP AP 2πf B .
Darin bezeihnet
B
den Eektivwert der Flussdihte des magnetishen Wehselfeldes und
f
seine Frequenz.
2.3
Selbst- und Gegeninduktion
u1 (t)
N1
ΦS1
i1 (t)
Φ21
Φ12
ΦS2
u2 (t)
N2
i2 (t)
Abbildung 2: Magnetishe Kopplung zweier benahbarter Spulen
Betrahtet wird die Anordnung zweier benahbarter, stromdurhossener Spulen gemäÿ Abb. 2.
Durh den Strom i1 (t) wird in der oberen Spule (N1 Windungen) der magnetishe Fluss
Φ11 =
Φ21 auh die untere Spule (N2 Windungen),
ΦS1 niht mit der unteren Spule verkoppelt ist. In analoger Weise gilt: Durh
den Strom i2 (t) wird in der unteren Spule der magnetishe Fluss Φ22 = Φ12 + ΦS2 verursaht.
Davon durhsetzt der Anteil Φ12 auh die obere Spule, während der Anteil ΦS2 niht mit der
oberen Spule verkoppelt ist. ΦS1 und ΦS2 werden auh Streuüsse genannt.
Φ21 + ΦS1
verursaht. Davon durhsetzt der Anteil
während der Anteil
Die (Klemmen-)Spannungen an den Spulen lassen sih unter Vernahlässigung etwaiger Wiklungswiderstände mit Hilfe des Induktionsgesetzes berehnen:
Der Strom
i,
u1 (t) = N1 ·
d
(Φ11 + Φ12 )
dt
u2 (t) = N2 ·
d
(Φ22 + Φ21 )
dt
welher in einer Spule der Windungszahl
N
ieÿt, ist aufgrund des Durhu-
tungsgesetzes proportional zur Gröÿe des magnetishen Flusses
E3 - 4
Φ,
der durh diesen Strom
verursaht wird. Der Proportionalitätsfaktor heiÿt Selbstinduktivität oder kurz Induktivität
(Formelzeihen:
L)
allgemein gilt
N Φ = L i.
Das Produkt
N Φ nennt
man den mit der Spule
verketteten magnetishen Fluss. Die Induktivität einer Spule ist eine Systemeigenshaft und
niht von elektrishen Gröÿen abhängig. Die (Selbst-)Induktivitäten der Spulen in Abb. 2 sind
N Φ
N Φ
demnah L1 = 1 11 und L2 = 2 22 .
i1
i2
Analog zur Selbstinduktivität kann man das Verhältnis des mit einer zweiten Spule verketteten
magnetishen Flusses, welher durh einen Strom in der ersten Spule verursaht ist, zu dem
Strom in der ersten Spule als Gegeninduktivität denieren. Wie die Selbstinduktivität ist
auh die Gegeninduktivität eine Systemeigenshaft, welhe nur von den Eigenshaften der
beiden Spulen und der Anordnung der Spulen zueinander abhängig ist. Die Gegeninduktivitäten
N1 Φ12
N2 Φ21
der Spulen in Abb. 2 sind M12 =
und M21 =
. In linearen Systemen sind die
i2
i1
Gegeninduktivitäten immer gleih groÿ es gilt also M12 = M21 = M .
Durh einsetzen der Selbst- und Gegeninduktivitäten in die Beziehungen für
erhält man:
d
i1 (t) + M
dt
d
u2 (t) = L2 i2 (t) + M
dt
u1 (t) = L1
u1 (t)
und
u2 (t)
d
i2 (t)
dt
d
i1 (t)
dt
In elektrishen Shaltbildern kann die magnetishe Kopplung zweier Induktivitäten durh einen
mit der Gröÿe der Gegeninduktivität gekennzeihneten Doppelpfeil angegeben werden. Je nah
Wiklungssinn der Spulen zueinander bzw. je nah Wahl der Zählpfeilrihtungen der Spannungen und Ströme muss die durh Gegeninduktion erzeugte Spannung zu der durh Selbstinduktion erzeugten Spannung addiert oder von dieser subtrahiert werden. Dies wird durh Punkte
an den Shaltzeihen der gekoppelten Induktivitäten gekennzeihnet (siehe Abb. 3).
i1 (t)
i2 (t)
i1 (t)
M
u1 (t)
L1
M
L2
d
i1 (t) + M
dt
d
u2 (t) = L2 i2 (t) + M
dt
u1 (t) = L1
i2 (t)
u2 (t)
u1 (t)
d
i2 (t)
dt
d
i1 (t)
dt
L2
L1
d
i1 (t) − M
dt
d
u2 (t) = L2 i2 (t) − M
dt
u1 (t) = L1
u2 (t)
d
i2 (t)
dt
d
i1 (t)
dt
Abbildung 3: Das Vorzeihen der Wirkung der Gegeninduktion wird im Shaltbild durh Punkte
an den Shaltzeihen der gekoppelten Induktivitäten gekennzeihnet.
Die Wirkung der Gegeninduktivität soll in diesem Versuh mit Hilfe eines Variometers (einstellbare Induktivität) gemäÿ Abb. 4 demonstriert werden. Das Variometer besteht aus zwei
zylindrishen Luftspulen, welhe in Serienshaltung betrieben werden. Spule 2 ist im Inneren von
Spule 1 angeordnet und kann gegen die Ahse von Spule 1 um beliebige Winkel
α verdreht
wer-
den. Abhängig vom Verdrehwinkel wird Spule 2 mehr oder weniger stark von dem magnetishen
Fluss durhsetzt, welher von einem Strom in Spule 1 erzeugt wird. Durh eine Änderung von
α
kann also die Stärke der magnetishen Kopplung der Spulen und damit die Gegeninduktivität
beeinusst werden. Die Serienshaltung der beiden Spulen liefert eine durh Variation von
einstellbare Induktivität (siehe dazu auh Aufgabe 2 der vorbereitenden Aufgaben).
E3 - 5
α
1
α
2
Abbildung 4: Variometer
3
Vorbereitende Aufgaben
Aufgabe 1
y
RS = 3,6 Ω
x
230 V ≈
24 V ≈
A
I = 5,5 A
Prüfspule
U
Abbildung 5: Messaufbau zur Bestimmung der magnetishen Flussdihte an vershiedenen
Stellen im Inneren einer Zylinderspule
Betrahtet wird der in Abb. 5 dargestellte Messaufbau. In der Zylinderspule mit
NZ
Windungen,
f mit einem Eektivwert I . Die Länge der Zylinderspule
ℓZ . Im Inneren der Zylinderspule bendet sih eine Prüfspule mit der Windungszahl NP
und der Quershnittsähe AP . Geben Sie alle gesuhten Gröÿen in Form allgemeiner Ausdrüke
ieÿt ein Wehselstrom der Frequenz
beträgt
in Abhängigkeit von diesen gegebenen Gröÿen an.
a) Welhen Wert hat näherungsweise der EektivwertBZ der magnetishen Flussdihte im
Inneren der Zylinderspule?
b) Wie groÿ ist der Eektivwert
U
der in der Prüfspule induzierten Spannung?
Aufgabe 2
Betrahtet werden die in Abb. 6 dargestellten Shaltungen. Gegeben sind die Ströme
Iˆ1 sin(ωt) und i2 (t) = Iˆ2 sin(ωt)
und u2 (t).
mit der Kreisfrequenz
E3 - 6
ω = 2πf
i1 (t) =
u1 (t)
sowie die Spannungen
i1 (t)
i2 (t)
M
u1 (t)
Quelle
M
L1
u2 (t)
L2
L1
Schaltung 1
L2
Schaltung 2
Abbildung 6: Shaltungen zur Bestimmung der Gegeninduktivität zweier gekoppelter Induktivitäten
u1(t) und u2 (t)
L2 und M an.
a) Geben Sie für
Iˆ2 , ω , L1 ,
jeweils eine allgemeine Beziehung in Abhängigkeit von
b) Wie groÿ sind jeweils der Sheinwiderstand
Z1
in Shaltung 1 sowie
Z2
Iˆ1 ,
in Shaltung 2?
(Hinweis : Sheinwiderstand heiÿt das Verhältnis der Sheitel- oder der Eektivwerte von
Spannung und Strom.)
) Berehnen Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus Teil b) einen Ausdruk für
4
M.
Versuhsdurhführung
4.1
Messung des Magnetfeldes einer Zylinderspule in Abhängigkeit
vom Ort
•
Bauen Sie die Shaltung gemäÿ Abb. 5 auf.
•
Stellen Sie vor dem Einshalten den Shiebewiderstand
•
RS
auf den maximalen Wert.
Shalten Sie nun den Versuhsaufbau ein. Stellen Sie mit Hilfe des Shiebewiderstandes
den vom Amperemeter
A
angezeigten Strom auf den Wert
I = 5,5 A
RS
ein. Diesen Wert
müssen Sie während der Versuhsdurhführung konstant halten (gelegentlih kontrollieren!).
•
Nehmen Sie folgende Messreihen auf:
4.2
U
als Funktion von
x
auf der Spulenahse (y
U
als Funktion von
y
für
x = −10 cm
U
als Funktion von
y
für
x = 0 cm
U
als Funktion von
y
für
x = 20 cm
von
von
= 0)
y = 0 mm
y = 0 mm
von
von
bis
y = 0 mm
x = −10 cm
bis
bis
x = 38 cm
y = 40 mm
y = 40 mm
bis
y = 40 mm
Messung der Gegeninduktivität eines Variometers
Mit Hilfe von einfahen Messungen der Eektivwerte von Strömen und Spannungen in den
Shaltungen aus Abb. 6 soll die Gegeninduktivität eines Variometers in Abhängigkeit von der
E3 - 7
Winkelstellung bestimmt werden. Dazu stehen neben dem Variometer eine Wehselspannungsquelle und zwei Multimeter zur Strom- und Spannungsmessung zur Verfügung.
•
•
Bauen Sie eine Messshaltung entsprehend Abb. 6 (zunähst Shaltung 1) auf.
Shalten Sie die Wehselspannungsquelle ein und stellen Sie diese auf die Frequenz
10 kHz
•
f =
ein.
Nehmen Sie folgende Messreihen für die Winkelstellungen
◦
von 10 auf:
α = 0◦
bis
α = 90◦
in Shritten
U1 und I1 (Eektivwerte von u1 (t) und i1 (t)) als Funktion von α
Nah einem Umbau der Shaltung in Shaltung 2 aus Abb. 6 U2 und I2 als Funktion
von
5
α
Auswertung
Zu 4.1:
•
Berehnen Sie mit Hilfe der Messwerte jeweils den Eektivwert der magnetishen Flussdihte und vergleihen Sie die Ergebnisse mit dem in den Vorbereitungsaufgaben ermittelten Wert. Die Zylinderspule hat folgende Daten: ℓZ = 382 mm, NZ = 360. Die Prüfspule
2
hat folgende Daten: NP = 800, AP = 1,75 cm . Die Netzfrequenz ist f = 50 Hz.
•
Zeihnen Sie zu jeder Messreihe den Verlauf der magnetishen Flussdihte als Funktion
des Ortes in ein entsprehendes Diagramm ein. Vergleihen Sie die Ergebnisse mit der
Näherungslösung aus Kap. 2.1.
Zu 4.2:
•
Berehnen Sie die Gegeninduktivität des Variometers (die Wiklungswiderstände der
Spulen sollen dabei vernahlässigt werden) für die vershiedenen Winkelstellungen
zeihnen Sie diese in ein Diagramm
6
M = f (α)
ein.
Literatur
•
Pregla, R: Grundlagen der Elektrotehnik, Hüthig Verlag Heidelberg
•
Albah, M.: Grundlagen der Elektrotehnik 1, Pearson Studium
E3 - 8
α
und
Versuh E4 Der Transformator
Inhaltsverzeihnis
1 Vorbemerkung
2
2 Grundlagen
2
2.1
Der ideale Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Das T-Ersatzshaltbild des realen Transformators
. . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3
Parallel- und Reihenshwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3 Vorbereitende Aufgaben
6
4 Versuhsdurhführung
6
5 Auswertung
7
6 Literatur
7
Lernziele
•
Prinzipiellen Aufbau und Funktionsweise eines Transformators kennen
•
T-Ersatzshaltbild des Transformators zur Erklärung bestimmter Betriebszustände verwenden können
E4 - 1
1
Vorbemerkung
Bitte arbeiten Sie diese Versuhsunterlagen sorgfältig durh. Lösen Sie auh die vorbereitenden
Aufgaben (Kap. 3). Dadurh können Sie kontrollieren, ob Sie für den Versuh ausreihend
vorbereitet sind. Bringen Sie die Lösungen der Vorbereitungsaufgaben zum Praktikumstermin
mit.
2
Grundlagen
Der Transformator ist ein elektrishes Shaltelement, mit dessen Hilfe man Wehselspannungen
nahezu ohne Energieverlust in andere Werte umwandeln kann. Im Prinzip besteht ein Transformator aus zwei Wiklungen, welhe magnetish gekoppelt sind. Eine derartige Anordnung
wurde bereits im Versuh E3 bei der Behandlung der Gegeninduktivität betrahtet. Durh
Aufbringen der Wiklungen auf einen gemeinsamen magnetishen Kreis wird die magnetishe
Kopplung verbessert.
2.1
Der ideale Transformator
Transformator
i1 (t)
u1 (t)
Quelle
Φ(t)
i2 (t)
N1
N2
u2 (t)
Verbraucher
Abbildung 1: Prinzipieller Aufbau eines Transformators. Die von einer Quelle bereitgestellte
Primärspannung
u1(t)
wird durh den Transformator in die Sekundärspannung
u2 (t)
transfor-
miert und dem angeshlossenen Verbrauher zugeführt.
Betrahtet wird zunähst der in Abb. 1 skizzierte magnetishe Kreis mit zwei Wiklungen,
deren Wiklungswiderstände vernahlässigbar sind. Die Wiklung mit der Windungszahl
N1
nennt man Primärwiklung, die andere Wiklung heiÿt Sekundärwiklung. Der magnetishe
Kreis sei streufrei. Dadurh sind alle auftretenden magnetishen Flüsse mit beiden Wiklungen
verkoppelt, Streuüsse treten niht auf. Der gesamte magnetishe Fluss im Kreis ist Φ(t). AufdΦ
grund des Induktionsgesetzes erhält man für die Spannungen an den Wiklungen u1 (t) = N1
dt
dΦ
und u2 (t) = N2
. Das Verhältnis der Spannungen zueinander ist also gleih dem Verhältnis
dt
der Windungszahlen: u1 (t)/u2 (t) = N1 /N2 . Dieses Verhältnis ist eine wihtige Kenngröÿe des
Transformators und wird Übersetzungsverhältnis
Der magnetishe Fluss
Φ(t)
ü
genannt.
im magnetishen Kreis ist durh die von der Quelle bereitgestellte
Primärspannung und das Induktionsgesetz bestimmt. Das Durhutungsgesetz besagt, dass zur
Erzeugung eines magnetishen Flusses ein Strom nötig ist. Diesen Strom nennt man Magnetisierungsstrom er entspriht dem Strom, welher ieÿt, ohne dass ein Verbrauher an den
Transformator angeshlossen ist. Beim idealen Transformator ist der Magnetisierungsstrom
gleih Null. Dies ist theoretish erreihbar durh ein Kernmaterial des magnetishen Kreises
mit unendlih hoher Permeabilität.
E4 - 2
R an, so
= −u2 (t)/R. Aufgrund des DurhutungsgesetN2 i2 (t) einen Beitrag zum magnetishen Fluss. Da
Shlieÿt man an die Sekundärwiklung eines idealen Transformators einen Widerstand
ieÿt in der Sekundärwiklung der Strom i2 (t)
zes verursaht die elektrishe Durhutung
Φ(t) durh die angelegte Spannung u1 (t) vorgegeben ist (Induktionsgesetz!), muss der durh
N2 i2 (t) verursahte Beitrag zum magnetishen Fluss durh einen weiteren Beitrag durh den
Strom i1 (t) in der Primärwiklung kompensiert werden, so dass sih N2 i2 (t)+N1 i1 (t) = 0 ergibt.
Für das Verhältnis von Primär- zu Sekundärstrom erhält man also i1 (t)/i2 (t) = −1/ü. Der
2
Primärstrom ist i1 (t) = u1 (t)/(ü · R). Der ideale Transformator transformiert demnah einen
2
an die Sekundärwiklung angeshlossenen Widerstand R mit dem Faktor ü auf die Primärseite.
2.2
Das T-Ersatzshaltbild des realen Transformators
i1 (t)
R1
R2
i2 (t)
M
u1 (t)
L1
u2 (t)
L2
Abbildung 2: Elektrishe Shaltbild zweier magnetish gekoppelter Induktivitäten unter Berüksihtigung der Wiklungswiderstände
In der Praxis gelingt es nur näherungsweise, die Verhältnisse eines realen Transformators zu
realisieren. Beispielsweise lassen sih Streuüsse niht vollständig vermeiden. In Versuh E3 wurde bereits erläutert, dass zwei magnetish gekoppelte Wiklungen durh ihre Induktivitäten
und
L2
mit den Windungszahlen
N1
und
N2
sowie durh eine Gegeninduktivität
werden können. Jetzt sollen auh die Wiklungswiderstände
R1
und
R2
M
L1
beshrieben
berüksihtigt werden.
Das elektrishe Shaltbild eines solhen realen Transformators ist in Abb. 2 dargestellt. Die
Beziehungen der Spannungen und Ströme zueinander sind:
u1 (t) = R1 i1 (t) + L1
d
d
i1 (t) + M i2 (t)
dt
dt
u2 (t) = R2 i2 (t) + L2
d
d
i2 (t) + M i1 (t)
dt
dt
Diese Beziehungen können durh Einsetzen von
und
M = Lh1 /ü
R2′ = ü2 R2 , L1 = LS1 + Lh1 , ü2 L2 = L′S2 + Lh1
umgeformt werden in die Gleihungen
u1 (t) = R1 i1 (t) + (LS1 + Lh1 )
d
d
i1 (t) + Lh1 i2 (t)/ü
dt
dt
und
ü u2 (t) = R2′ i2 (t)/ü + (L′S2 + Lh1 )
d
d
i2 (t)/ü + Lh1 i1 (t) ,
dt
dt
welhe die Verhältnisse in dem in Abb. 3 dargestellten T-Ersatzshaltbild des realen Transfor-
LS1 und LS2 werden Streuinduktivitäten genannt. Sie
′
2
sind mit den von den Strömen i1 (t) und i2 (t) verursahten Streuüssen verknüpft. LS2 = ü LS2
ist die von einem idealen Transformator mit dem Übersetzungsverhältnis ü = N1 /N2 auf die
′
2
Primärseite transformierte Streuinduktivität der Sekundärwiklung, analog ist R2 = ü R2 der
mators wiedergeben. Die Induktivitäten
E4 - 3
i1 (t) R1
L′S2
LS1
u1 (t)
R2′
i2 (t)/ü
ü : 1
ü u2 (t)
Lh1
T-Ersatzschaltbild
des realen Transformators
i2 (t)
u2 (t)
idealer
Transformator
Abbildung 3: T-Ersatzshaltbild des realen Transformators. Zusammen mit dem idealen Transformator beshreibt das T-Ersatzshaltbild die Funktion gekoppelter Induktivitäten genau so wie
das Shaltbild in Abb. 2.
auf die Primärseite transformierte Wiklungswiderstand der Sekundärwiklung. Die Induktivität
Lh1
wird Hauptinduktivität genannt. In der Hauptinduktivität wird derjenige magnetishe
Fluss erzeugt, welher beide Wiklungen durhsetzt.
Eine für diesen Versuh wihtige Eigenshaft des realen Transformators, welhe insbesondere
bei hohen Frequenzen bemerkbar wird, wurde bisher niht berüksihtigt. Die elektrishen
Eigenshaften einer Wiklung werden niht nur durh Selbst- und Gegeninduktivität sowie
durh einen Wiklungswiderstand beshrieben. Aufgrund des mehanishen Aufbaus mit räumlih benahbarten Windungen muss bei hohen Frequenzen auh eine parasitäre Kapazität
berüksihtigt werden. Bei sehr hohen Frequenzen kann diese parasitäre Kapazität sogar zur
wesentlihen elektrishen Eigenshaft einer Wiklung werden.
Die parasitären Kapazitäten der Wiklungen des realen Transformators können mit einer für
diesen Versuh ausreihenden Genauigkeit durh eine parallel zur Hauptinduktivität liegende
Kapazität
C
berüksihtigt werden. Das (zumindest die Ergebnisse dieses Versuhs beshrei-
bende) vollständige T-Ersatzshaltbild des Transformators ist in Abb. 4 dargestellt.
i1 (t) R1
u1 (t)
L′S2
LS1
C
Lh1
R2′
i2 (t)/ü
ü u2 (t)
Abbildung 4: Vollständiges T-Ersatzshaltbild des Transformators, wie es in diesem Versuh
verwendet wird
2.3
Parallel- und Reihenshwingkreise
Induktivitäten und Kapazitäten sind in der Lage, Energie zu speihern. Benden sih sowohl
Induktivitäten als auh Kapazitäten in derselben elektrishen Shaltung, so kann zwishen ihnen
ein periodisher Energieaustaush stattnden. Man spriht von elektrishen Shwingungen
Induktivitäten und Kapazitäten bilden Shwingkreise. Man untersheidet zwei prinzipielle
Typen von Shwingkreisen, die im folgenden kurz behandelt werden sollen.
E4 - 4
Parallelshwingkreise
i(t)
Quelle
iL (t)
iC (t)
L
C
u(t)
Abbildung 5: Parallelshwingkreis
In einem Parallelshwingkreis bilden eine Induktivität und eine Kapazität eine Parallelshal-
uL(t) = uC (t) = u(t).
i(t) = iL (t) + iC (t).
tung. Dadurh liegt an beiden Shaltelementen dieselbe Spannung
von der Quelle zum Shwingkreis gelieferte Strom ist
Der
uL(t) = L diL (t)/dt und iC (t) = C duC (t)/dt kann man ermitteln, dass die Ströme iL (t)und iC (t) bei sinusförmiger Spannung u(t) eine Phasenvershiebung
◦
von 180 aufweisen. Für eine bestimmte Frequenz f0 sind iL (t)und iC (t) betragsmäÿig gleih
Mittels der Zweipolgleihungen
groÿ und heben sih aufgrund ihrer Phasenvershiebung bei der Summation gegenseitig auf der von der Quelle gelieferte Strom wird zu Null. Die Frequenz
f0
ist die Resonanzfrequenz des
Shwingkreises. Für Frequenzen in der Nähe der Resonanzfrequenz sind die in den Shaltelementen des Paralleshwingkreises ieÿenden Ströme betragsmäÿig viel gröÿer als der von der
Quelle gelieferte Strom.
Reihenshwingkreise
Quelle
C
L
i(t)
uL (t)
u(t)
uC (t)
Abbildung 6: Reihenshwingkreis
In einem Reihenshwingkreis bilden eine Induktivität und eine Kapazität eine Reihenshaltung.
Dadurh ieÿt in beiden Shaltelementen derselbe Strom
gelieferte Spannung ist
i(t) = iL (t) = iC (t). Die von der Quelle
u(t) = uL (t) + uC (t).
Mittels der Zweipolgleihungen
uL(t) = L diL (t)/dt
und
iC (t) = C duC (t)/dt
kann man ermit-
teln, dass die Spannungen uL (t)und uC (t) bei sinusförmigem Strom i(t) eine Phasenvershiebung
◦
von 180 aufweisen. Für eine bestimmte Frequenz f0 sind uL (t)und uC (t) betragsmäÿig gleih
groÿ und heben sih aufgrund ihrer Phasenvershiebung bei der Summation gegenseitig auf die von der Quelle gelieferte Spannung wird zu Null. Die Frequenz
f0
ist die Resonanzfrequenz
des Shwingkreises. Für Frequenzen in der Nähe der Resonanzfrequenz sind die an den Shaltelementen des Reihenshwingkreises anliegenden Spannungen betragsmäÿig viel gröÿer als die
von der Quelle gelieferte Spannung.
E4 - 5
3
Vorbereitende Aufgaben
Gegeben ist ein Transformator mit einem Aufbau gemäÿ Abb. 1. Bekannt sind folgende Gröÿen:
Windungszahl der Primärwiklung
N1
Windungszahl der Sekundärwiklung
Eingangsspannung
N2
u1 (t) = Û1 · sin(ωt)
Geben Sie alle gefragten Gröÿen als Funktion der jeweils bekannten Gröÿen an. Die Indizes a)
bis ) beziehen sih auf den jeweiligen Aufgabenteil.
Zunähst sei der Transformator ideal.
a) Der Transformator wird im Leerlauf betrieben. Berehnen Sie den Sheitelwert des ma-
Φ̂a) , den Sheitelwert des Primärstromes Iˆ1 a)
Ausgangsspannung Û2 a) .
gnetishen Flusses
b) Der Transformator wird mit dem bekannten Widerstand
Φ̂b) , den
Ausgangsspannung Û2 b) .
Sheitelwert des magnetishen Flusses
den Sheitelwert der
R
und den Sheitelwert der
belastet. Berehnen Sie den
Sheitelwert des Primärstromes
Iˆ1 b)
und
Die folgenden Aufgabenteile sollen nur qualitativ gelöst werden. Als Antwort wird jeweils wird
gröÿer, bleibt gleih oder wird kleiner zusammen mit einer Begründung erwartet.
Jetzt soll die endlihe Permeabilität des Kernmaterials berüksihtigt werden. Der Transformator wird im Leerlauf betrieben. Streuüsse und Wiklungswiderstände werden weiterhin
vernahlässigt.
) Wie ändern sih gegenüber Aufgabenteil a) der Sheitelwert des magnetishen Flusses,
der Sheitelwert des Primärstromes und der Sheitelwert der Ausgangsspannung?
d) Wie ändert sih die Ausgangsspannung gegenüber Aufgabenteil ) qualitativ, wenn man
den Transformator mit einem bekannten ohmshen Widerstand
R
belastet?
e) Wie ändert sih die Ausgangsspannung gegenüber Aufgabenteil ), wenn man Streuüsse
und Wiklungswiderstände berüksihtigt?
4
Versuhsdurhführung
Der in diesem Versuh verwendete Transformator hat die Windungszahlen
N2 = 2400. Alle Messungen
N1 = 800
sollen mit einer Eingangsspannung mit einem Eektivwert von
und
1V
durhgeführt werden. Dies muss für jeden aufgenommenen Messwert kontrolliert werden. Nehmen Sie folgende Messreihen auf:
•
Messung der Sekundärspannung am unbelasteten Transformator als Funktion der Frequenz
f
bis
f = 100 Hz
in
10 Hz-Shritten
E4 - 6
bis
f = 1 kHz
bis
f = 100 kHz
1 kHz
Messung der Sekundärspannung bei
R = 200 Ω
in
20 Ω-Shritten
bis
R = 500 Ω
in
50 Ω-Shritten
bis
R = 1 kΩ
bis
R = 10 kΩ
f = 5 kHz
und induktiver Last als Funktion der
1 kΩ-Shritten
L
bis
L = 100 mH
bis
L = 1000 mH
10 mH-Shritten
in
in
100 mH-Shritten
f = 5 kHz
und kapazitiver Last als Funktion der
C
Lastkapazität
bis
C = 200 nF
bis
C = 1000 nF
in
10 nF-Shritten
in
100 nF-Shritten
Bestimmen Sie die Kapazität für die maximale Überhöhung der Sekundärspannung
auf
5
in
Messung der Sekundärspannung bei
und Ohmsher Last als Funktion des
100 Ω-Shritten
in
Messung der Sekundärspannung bei
f = 5 kHz
R
bis
Lastinduktivität
•
5 kHz-Shritten
genau und dokumentieren Sie diese Bestimmung.
Lastwiderstandes
•
in
Bestimmen Sie die Frequenz für die maximale Überhöhung der Sekundärspannung
auf
•
100 Hz-Shritten
in
1 nF
genau und dokumentieren Sie diese Bestimmung.
Auswertung
Erstellen Sie aus den Messergebnissen folgende Diagramme:
•
Sekundärspannung als Funktion der Frequenz verwenden Sie eine halblogaritmishe
Darstellung
•
Sekundärspannung als Funktion der jeweiligen Belastung durh
R, L
und
C
Die Sekundärspannung des Transformators zeigt bei zwei Messreihen jeweils eine starke Überhöhung. Welher Shwingkreistyp ist dafür verantwortlih? Welhe Shaltelemente aus Abb. 4
bilden jeweils diese Shwingkreise?
6
Literatur
•
Pregla, R: Grundlagen der Elektrotehnik, Hüthig Verlag Heidelberg
•
Albah, M.: Grundlagen der Elektrotehnik 1, Pearson Studium
E4 - 7
Versuch I1: RLC-Netzwerke
Inhaltsverzeichnis
1 Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Erregung
1.1 RC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
4
2 Lineare Netzwerke bei Anregung mit rechteckförmigen Spannungen unterschiedlicher Tastverhältnisse
6
2.1 RC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2 Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Vorbereitende Aufgaben
8
4 Messaufgaben
4.1 RC-Glied bei sinusförmiger Anregung . . . . . . . .
4.2 RC-Glied bei rechteckförmiger Anregung . . . . . .
4.3 Reihenschwingkreis bei sinusförmiger Anregung . .
4.4 Reihenschwingkreis bei rechteckförmiger Anregung .
.
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Lernziele
• Verstehen der messtechnischen Bedeutung der ”komplexen Rechnung”
• Messen an RLC-Netzwerken bei sinusförmiger und nichtsinusförmiger Anregung
• Messen von Impedanzen
• Konstruktion maßstäblicher Zeigerbilder
• Darstellung von Frequenzgängen als Bodediagramm
• Bestimmen von Schwingkreis-Güten
• Darstellung von Einschwingvorgängen mit dem Oszilloskop
• Bestimmen von Abklingkonstanten
I1 - 1
.
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.
8
9
9
10
10
1
Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Erregung
In diesem Versuch betrachten wir elektrische Netzwerke, die nur Widerstände (R), Induktivitäten
(L) und Kondensatoren (C) enthalten. Diese Bauelemente sind in idealisierter Form durch folgende
Beziehungen zwischen Strom und Spannung definiert
uR (t) = R · iR (t) ,
Z
1
uC (t) =
iC (t)dt ,
C
diL (t)
uL (t) = L ·
.
dt
(1)
(2)
(3)
Durch Zusammenschaltung von R, L, C entsteht stets ein ”lineares” Netzwerk. Für ein lineares Netzwerk gilt das Superpositionsprinzip: werden in das Netzwerk mehrere elektrische Quellen integriert,
so kann man den Zustand des Netzes (Spannungen und Ströme in allen Bauelementen) dadurch berechnen, dass man die Beiträge der einzelnen Quellen getrennt berechnet und addiert (superponiert).
Lineare Netzwerke haben eine weitere damit direkt zusammenhängende Eigenschaft: erzeugen alle
Quellen sinusförmige (”harmonische”) Erregungen, so sind alle im Netzwerk vorkommenden Spannungen und Ströme ebenfalls sinusförmig mit derselben Frequenz f . Diese Eigenschaft führt zu einer
erheblichen Vereinfachung bei der Berechnung der Spannungen und Ströme bei sinusförmigen Anregungen: da man schon weiß, dass alle Größen sinusförmig verlaufen, muss man nur die Amplituden
und Phasen berechnen.
Das vereinfachte Verfahren dazu liefert die ”komplexe Rechnung”. Ausgangspunkt ist die tatsächliche,
reelle harmonischen Zeitfunktion u(t) = Û cos(ωt + ϕ) mit der Kreisfrequenz ω = 2πf . Dieser
Funktion wird rechnerisch ein Imaginärteil (die imaginäre Einheit wird mit j bezeichnet) hinzugefügt,
so dass man die Zeitfunktion durch Realteilbildung zurückerhält.
n
o
u(t) = Re Û cos(ωt + ϕ) + j Û sin(ωt + ϕ)
(4)
Auch wenn das Hinzufügen des Imaginärteils zunächst eine Aufblähung der mathematischen Beschreibung zu sein scheint, ergeben sich daraus letzlich erhebliche Vereinfachungen. Mit Hilfe der
Eulerschen Formel ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ lässt sich schreiben:
n
o
u(t) = Re Û ej(ωt+ϕ) .
(5)
Das Produkt Û ejϕ wird zur komplexen Amplitude Û = Û ejϕ zusammengefasst. Hat man durch eine
Netzwerkberechnung die komplexe Amplitude X̂ = X̂ejϕ einer gewünschten Größe gefunden, so lässt
sich die zugehörige Zeitfunktion durch folgende Operation gewinnen
o
n
(6)
x(t) = Re X̂ejωt .
Bei bekannter Frequenz wird die Zeitfunktion also vollständig durch die komplexe Amplitude beschrieben. Wegen der Einfachheit der Rückgewinnung der Zeitfunktion sieht man meist bereits die
komplexe Amplitude als Ergebnis einer Berechnung an. Die wesentliche Vereinfachung der komplexen Rechnung ergibt sich daraus, dass die Beziehungen zwischen Spannungen und Strömen an
RLC-Elementen sich als (komplexe) algebraische Gleichungen schreiben lassen. Die Entsprechungen
sind wie folgt
I1 - 2
uR (t) = R · iR (t) ⇐⇒ Û R = R · IˆR ,
Z
1
1
uC (t) =
iC (t)dt ⇐⇒ Û C =
· Iˆ ,
C
jωC C
diL (t)
uL (t) = L ·
⇐⇒ Û L = jωL · IˆL .
dt
(7)
(8)
(9)
Offenbar entspricht die Multiplikation mit einer Konstanten auch im Komplexen einer Multiplikation. Die Integration im Zeitbereich entspricht einer Division durch jω, die Differenziation einer
Multiplikation mit jω. Die Addition bzw. Subtraktion von Spannungen und Strömen gemäß den
Kirchhoffschen Gleichungen kann einfach auf die komplexen Amplituden übertragen werden.
1.1
RC-Glied
Anstatt einer allgemeinen Darstellung wird die Vorgehensweise der ”komplexen Rechnung” im Folgenden am Beispiel erklärt. Man betrachte die in Abbildung 1 gezeigte Schaltung aus einem ohmschen
Widerstand R und einem Kondensator mit der Kapazität C, das sogenannte RC-Glied.
Abb. 1: RC-Glied als Beispiel für ein lineares Netzwerk
Mit Hilfe komplexer Bauelementgleichungen und komplexer Kirchhoffschen Maschen- und Knotengleichungen können die im Netzwerk auftretenden komplexen Spannungen und Ströme (es fließt nur
ein einziger Strom) bestimmt werden. Für die komplexe Amplitude der Spannung Û 1 am Eingang
erhält man:
1
Û 1 = Û R + Û 2 = R · Iˆ +
· Iˆ =
jωC
µ
1
R+
jωC
¶
Iˆ = Z · Iˆ
(10)
Den komplexen Quotienten von Strom und Spannung bezeichnet man als Impedanz Z, den Kehrwert
davon als Admittanz Y . Ein Kondensator hat also die Impedanz bzw. Admittanz
Z=
1
U
1
=
=
,
I
jωC
Y
(11)
die Reihenschaltung von R und C hat die Impedanz
Z =R+
1
1
=
.
jωC
Y
I1 - 3
(12)
Abb. 2: Zeigerdiagramm der im RC-Glied auftretenden Spannungen
Die Phasenbeziehungen zwischen Spannungen und Strömen lassen sich durch ”Zeigerdiagramme”
veranschaulichen (Abb. 2). Der (nicht eingezeichnete) Stromzeiger liegt parallel zu dem Zeiger der
komplexen Spannung Û R , weil an einem ohmschen Widerstand Strom und Spannung in Phase sind.
An einem Kondensator eilt der Strom Iˆ der Spannung Û 2 hingegen um 90 Grad vor (mathematisch positive Drehrichtung der Zeiger), was sich aus dem Faktor 1/j ergibt. Zwischen den beiden
Spannungen Û R und Û 2 besteht demnach eine Phasenverschiebung von 90 Grad.
1.2
Reihenschwingkreis
Einen einfachen elektrischen Schwingkreis erhält man, wenn man einen Widerstand, eine Spule und
einen Kondensator in Reihe schaltet (Abbildung 3). In einem solchen Kreis kann elektrische Energie
zwischen Kondensator und Induktivität hin- und herschwingen.
Abb. 3: Reihenschwingkreis
Die Impedanz der Reihenschaltung beträgt
µ
¶
Û
1
Z=
= R + j ωL −
ωC
Iˆ
(13)
und ist somit frequenzabhängig. Die Impedanz wird reell, wenn sich die beiden imaginären Anteile
gerade kompensieren. Die zugehörige Frequenz f0 heißt Resonanzfrequenz:
ω0 L −
1
1
= 0 ⇒ f0 = √
ω0 C
2π LC
(14)
Der Schwingkreis befindet sich für diese Frequenz in Resonanz. Der Strom Iˆ wird dann maximal, weil
er nur noch durch den Widerstand R bestimmt ist. Der Strom fließt auch durch die Blindelemente
und kann dabei an diesen Spannungen erzeugen, die wesentlich größer als die angelegte Spannung
I1 - 4
Û 1 sind. Für die Spannung Û L (ω0 ) an der Spule und die Spannung Û C (ω0 ) am Kondensator bei
Resonanz ergibt sich:
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯ ¯ 1 rL
¯
¯ ¯
¯ ¯ˆ
¯
¯ ¯
.
(15)
¯Û L (ω0 )¯ = ¯Û C (ω0 )¯ = ¯I 0 (ω0 )¯ ω0 L = ¯Û 0 ¯
R C
Das Verhältnis der Spannung am Blindwiderstand zur angelegten Spannung bei Resonanz wird Güte
Q genannt.
r
1 L
ω0 L
1
Q=
=
=
(16)
R C
R
ω0 CR
Normiert man die Admittanz auf den Leitwert G =
Phase ϕ(ω)
1
,
R
so erhält man für den Betrag
|Y (ω)|
1
=q
G
1 + Q2 ( ωω0 − ωω0 )2
µ
µ
¶¶
ω
ω0
ϕ(ω) = arctan −Q
−
.
ω0
ω
|Y (ω)|
G
und die
(17)
(18)
Das Verhalten des Schwingkreises als Funktion der Frequenz wird häufig durch ein ”Bode-Diagramm”
dargestellt. Bei einem Bode-Diagramm wird der Betrag logarithmisch dargestellt, während die Phase
linear aufgetragen wird. Für die logarithmische
Darstellung des Betrags, z. B. einer Admittanz Y ,
³¯ ¯´
¯Y ¯
verwendet man den Ausdruck 20 lg ¯ Y0 ¯ dB. Um die Logarithmierung durchzuführen, muss man
¯ ¯
durch eine geeignet gewählte Bezugsgröße ¯Y0 ¯ dividieren, um ein dimensionsloses, reelles Argument
für die Logarithmusfunktion zu erhalten. Um diese Art der Logarithmierung eindeutig zu kennzeichnen, versieht man das Ergebnis mit einer Pseudoeinheit, nämlich dem deziBel (dB). Im Fall des
Schwingkreises bezieht man am besten auf die Admittanz bei Resonanz, also auf G = R1 .
Eine logarithmische Darstellung ist vor allem aus zwei Gründen sinnvoll. Zum einen lassen sich große
Wertebereiche über mehrere Zehnerpotenzen gut darstellen, zum anderen bilden sich Abhängigkeiten
nach Potenzgesetzen (z. B. proportional ω, ω 2 , 1/ω, 1/ω 2 ) als Geraden ab, deren Steigung unmittelbar Aufschluss über die Potenz gibt. So führt eine Proportionalität zu ω zu einer Steigung von
20 dB/Dekade, während sich eine Potenz von 1/ω 2 durch eine fallende Gerade der Steigung -40
dB/Dekade abbildet (eine Dekade bedeutet Verzehnfachung der Frequenz).
Das Bode-Diagramm der Admittanz eines Schwingkreises für verschiedene Güten Q ist in Abbildung 4
dargestellt. Bei den Frequenzen f+45 und f−45 , bei denen der Betrag des Phasenwinkels von Z 45◦
beträgt, sind Re {Z} und Im {Z} betragsmäßig gleich:
|Z(f±45 )| =
√
2 · |Z(f0 )| =
√
2·R .
(19)
Der Strom ist in diesem Fall um 3 dB gegenüber dem Resonanzfall abgesunken. Die Frequenzen f+45
und f−45 werden obere und untere Grenzfrequenz genannt, ihre Differenz ist die Bandbreite
∆f = f+45 − f−45 .
Damit wird die Güte
Q=
f0
.
∆f
I1 - 5
(20)
(21)
Q=0,1
Q=1
Q=10
|Y/G| in dB
0
−20
−40
−60
−80
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
ω \ ω0
1
10
2
10
3
10
Phase in Grad
100
50
0
−50
−100
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
ω \ ω0
1
10
2
10
3
10
Abb. 4: Bode-Diagramm der Admittanz des Reihenschwingkreises (Bezug auf die Admittanz bei Resonanz) für verschiedene Güten Q
Sie kann somit auch als Maß für die relative Breite der Resonanzkurve angesehen werden (s. Abbildung 4).
2
Lineare Netzwerke bei Anregung mit rechteckförmigen
Spannungen unterschiedlicher Tastverhältnisse
Die bisherigen Betrachtungen gelten nur für Netzwerke, die sich im eingeschwungenen Zustand befinden: die Quellen sind schon seit beliebig langer Zeit eingeschaltet und die Einschaltvorgänge sind
vollständig abgeklungen. In diesem Versuchsteil interessieren wir uns nun für die Ein- und Ausschwingvorgänge verschiedener Netzwerke bei Anregung mit einer rechteckförmigen Spannung. Als
einfaches Beispiel betrachten wir zunächst wieder das RC-Glied.
2.1
RC-Glied
Die Differenzialgleichung (DGL) für das in Abbildung 5 gezeigte Netzwerk kann mit Hilfe von
Maschen- und Bauelementgleichungen aufgestellt werden
u0 (t) = uR (t) + uC (t) = R · i(t) + uC (t) = RC
duC (t)
+ uC (t) .
dt
(22)
Die allgemeine Lösung der so gefundenen DGL lautet
uC (t) = uh (t) + up (t) ,
(23)
1
C (t)
wobei uh (t) die Lösung der homogenen DGL dudt
+ RC
uC (t) = 0 ist und up (t) die partikuläre
Lösung unter Berücksichtigung der anregenden Funktion u0 (t). Mit dem Ansatz uh (t) = K · eλt
t
1
und der charakteristischen Gleichung λ + RC
= 0 folgt für die homogene Lösung uh (t) = K · e− RC .
I1 - 6
Abb. 5: RC-Glied bei Anregung mit rechteckförmiger Spannung
Die Konstante K kann aus der Anfangsbedingung uC (t = t0 ) bestimmt werden. Verwendet man
als Anregungssignal eine Rechteckspannung nach Abbildung 5 mit der Pulsbreite T (Periodendauer
2T ) und der Amplitude U0 , so erhält man im eingeschwungenen Zustand für die beiden Bereiche
0 ≤ t < T und T ≤ t < 2T die Lösung
³
´

−T
t
t

U0 e− Tτ −1 e− τ + U0 1 − e− τ
0≤t<T
e τ +1
´
³
(24)
uC (t) =
T
− t−T
 −U0 e− Tτ −1 e− t−T
τ
τ
T
≤
t
<
2T.
−
U
1
−
e
0
−
e
2.2
τ
+1
Reihenschwingkreis
Abb. 6: Reihenschwingkreis
Die Differenzialgleichung für die Kondensatorspannung uC (t) für den Reihenschwingkreis nach Abbildung 6 lautet
d2 uC (t) R duC (t)
1
u0 (t)
+
+
uC (t) =
.
2
dt
L dt
LC
LC
Für die charakteristische Gleichung der DGL gilt dementsprechend
1
R
λ+
= 0.
L
LC
und dem Dämpfungsgrad D =
(25)
λ2 +
Mit der Resonanzfrequenz ω0 =
charakteristischen Gleichung:
√1
LC
√
λ1/2 = −Dω0 ± ω0 D2 − 1.
I1 - 7
(26)
R
2Lω0
folgt für die Lösung der
(27)
Der Wurzelausdruck kann imaginär, reell oder gleich Null sein, je nachdem, wie sich die Werte der
Bauelemente zueinander verhalten. Man unterscheidet die folgenden drei charakteristischen Fälle,
die getrennt betrachtet werden müssen:
• D > 1: Überkritische Dämpfung
• D = 1: Kritische Dämpfung
• D < 1: Gedämpft periodischer Fall
Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung für λ1 6= λ2 lautet:
uC (t) = K1 eλ1 t + K2 eλ2 t .
(28)
Für die Bestimmung der beiden Konstanten K1 und K2 werden zwei Anfangsbedingungen zum
Zeitpunkt t0 benötigt.
3
Vorbereitende Aufgaben
a) Überlegen Sie, wie Sie aus dem Zeitverlauf von uC (t) bei einem RC-Glied mit rechteckförmiger
Anregung (Gleichung 24) die Zeitkonstante τ auf einem Oszilloskop ablesen können. Welches
Verhältnis zwischen der Pulsbreite T und der Zeitkonstante τ muss dafür gelten ?
b) Berechnen und zeichnen Sie für die in Abbildung 7 dargestellte Schaltung die Spannung uC (t)
für t > 0. Der Schalter wird zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen. Für die Anfangsbedingungen
C (t)
zum Zeitpunkt t = 0 gilt: uC (t) = u0 und i(t) = C · dudt
= 0.
Abb. 7: LC-Netzwerk
4
Messaufgaben
Die einzelnen Messschaltungen werden mit Hilfe eines Steckbretts und verschiedener Bauelemente
realisiert. Die Widerstände sind mit R1 bis R5 gekennzeichnet (R1 ist zunächst unbekannt, R2 = 1kΩ,
R3 = 10kΩ, R4 = 2kΩ, R5 = 1Ω), die Spule und die Kapazität mit L bzw. C. Für die Erzeugung des
sinus- bzw. rechteckförmigen Anregungssignals U0 steht ein Funktionsgenerator zur Verfügung.
I1 - 8
4.1
RC-Glied bei sinusförmiger Anregung
Messungen:
Bauen Sie mit Hilfe des Steckbretts ein RC-Glied auf, das aus dem Widerstand R1 und der Kapazität
C besteht.
a) Messen Sie mit dem Multimeter den Wert des Widerstandes R1 und der Kapazität C.
b) Stellen Sie die Amplitude der Eingangsspannung am Frequenzgenerator mit Hilfe des Oszilloskops auf Û0 = 2, 5 V ein. Messen Sie für die Frequenzen 1 kHz und 10 kHz die Spannungen
UR1 und UC mit dem Multimeter.
c) Messen Sie die Spannungen UR1 und U0 für folgende Frequenzen mit dem Multimeter: 100 Hz,
300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, 1 kHz, 2 kHz, 3 kHz, 4 kHz, 5 kHz, 6 kHz, 7 kHz, 8 kHz, 9 kHz, 10
kHz, 20 kHz, 50 kHz, 100 kHz
Auswertung:
a) Zeichnen Sie für die Frequenzen 1 kHz und 10 kHz jeweils ein Zeigerdiagramm der Spannungen
U0 , UC und UR1 (Maßstab: 100 mV = 0,5 cm).
b) Berechnen Sie den Wert der Kapazität C und vergleichen Sie ihn mit dem gemessenen und
dem tatsächlichen Wert (100 nF). Benutzen Sie für R1 den mit dem Multimeter gemessenen
Wert (tatsächlicher Wert 100 Ω).
Z
c) Bestimmen Sie den Betrag der auf den Widerstand bezogenen Impedanz R
als Funktion der
Frequenz und zeichnen Sie das Ergebnis in ein Bodediagramm. Bestimmen Sie dabei die Phase
rechnerisch aus den gemessenen Bauelementwerten.
4.2
RC-Glied bei rechteckförmiger Anregung
Messungen:
Tauschen Sie R1 gegen R3 = 10 kΩ aus.
a) Wählen Sie als Anregungssignal ein Rechtecksignal und stellen Sie die Spannungen uC (t) und
u0 (t) gleichzeitig auf dem Oszilloskop dar. Wählen Sie zunächst eine niedrige Frequenz (f =
100 Hz), um einen vollständigen Auf- bzw. Entladevorgang betrachten zu können.
b) Skizzieren Sie den Verlauf der Spannungen und bestimmen Sie aus dem Zeitverlauf die Zeitkonstante τ .
c) Variieren Sie bei festem τ die Frequenz zu f = 1 kHz und skizzieren Sie den Verlauf von uC (t)
und u0 (t).
d) Variieren Sie bei fester Frequenz des Rechtecksignals die Zeitkonstante τ , indem Sie den Widerstand R3 wieder gegen R1 austauschen. Skizzieren Sie die Verläufe von uC (t) und u0 (t).
Auswertung:
I1 - 9
a) Berechnen Sie die Zeitkonstante τ für R1 und C und vergleichen Sie sie mit dem abgelesenen
Wert.
b) Erläutern Sie den Verlauf der Spannungen uC (t) und u0 (t) für variable Frequenzen f des Anregungssignals bzw. für variable Zeitkonstante τ .
4.3
Reihenschwingkreis bei sinusförmiger Anregung
Messungen:
Bauen Sie mit Hilfe des Steckbretts einen Reihenschwingkreis aus dem Widerstand R1 , der Induktivität L und der Kapazität C auf. Stellen Sie die Amplitude der Eingangsspannung am Frequenzgenerator mit Hilfe des Oszilloskops wieder auf Û0 = 2, 5 V ein.
a) Messen Sie die Spannungen UR1 und U0 für folgende Frequenzen mit dem Multimeter: 100 Hz,
300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, 1 kHz, 2 kHz, 3 kHz, 4 kHz, 5 kHz, 6 kHz, 7 kHz, 8 kHz, 9 kHz, 10
kHz. Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz f0 und nehmen Sie rund um f0 einige zusätzliche
Messpunkte auf.
b) Messen Sie mit dem Multimeter die Spannungen UL (f0 ) und UR1 (f0 ).
Auswertung:
a) Berechnen Sie den Strom I(f0 ) und bestimmen Sie L und C.
b) Berechnen Sie den theoretischen Wert der Resonanzfrequenz (L = 100 mH) und vergleichen
Sie ihn mit dem gemessenen.
c) Berechnen Sie die Güte des Schwingkreises Q mit den Werten aus b) für L und C.
Z
d) Bestimmen Sie den Betrag der auf den Widerstand bezogenen Impedanz R
als Funktion der
Frequenz und zeichnen Sie das Ergebnis in ein Bodediagramm. Bestimmen Sie dabei die Phase
rechnerisch aus den gemessenen Bauelementwerten. Lesen Sie aus dem Bode-Diagramm die
Güte ab und vergleichen Sie mit dem vorher erhaltenen Ergebnis.
4.4
Reihenschwingkreis bei rechteckförmiger Anregung
Messungen:
Wählen Sie als Anregungssignal ein Rechtecksignal mit einer Frequenz von f = 100 Hz. Variieren
Sie den Widerstand R, stellen Sie für jeden dieser Fälle den Verlauf der Spannungen uC (t) und u0 (t)
auf dem Oszilloskop dar und skizzieren Sie ihn für die drei Fälle R = R1 = 100 Ω , R = R3 = 10 kΩ
und R = R4 = 2 kΩ.
Auswertung:
Um welche charakteristischen Fälle handelt es sich ?
I1 - 10
Versuch I2: Elektrische Filter
Inhaltsverzeichnis
1 Fourier-Reihen periodischer Signale und Signalübertragung
2
2 Filternetzwerke
3
3 Vorbereitende Aufgaben
6
4 Messaufgaben
4.1 RLC-Netzwerke als Filterschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Messung des Spektrums von Rechtecksignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Filterung von Rechtecksignalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
7
Lernziele
• Definition und Anwendung von Fourierreihen und den Begriff ,,Spektrallinie” verstehen und
anwenden.
• Filternetzwerke durch Widerstände, Kondensatoren und Spulen realisieren.
• Übertragungsfunktionen von Netzwerken messen und darstellen.
• Einzelne Spektrallinien im Signal durch einen festen Bandpass hervorheben.
• Verstehen, wie ein Filternetzwerk auf die Amplituden von Oberschwingungen eines periodischen
Signals wirkt.
• Einzelne Spektrallinien im Signal durch einen variablen Bandpass hervorheben.
I2 - 1
1
Fourier-Reihen periodischer Signale und Signalübertragung
Ein Filter ist allgemein gesprochen eine Einrichtung zum Trennen verschiedener Komponenten eines
Gemisches. Diese werden durch das Filter unterschieden und sind an dessen Ausgang in geeigneter
Form abrufbar. Elektrische Filternetzwerke können beispielsweise Spannungssignale eines gewünschten Frequenzbereichs aus einem Signalgemisch extrahieren und an weitere Verarbeitungsstufen leiten.
Hierzu zwei Beispiele:
a) Drahtlose Telekommunikation: Die Antenne empfängt ein Gemisch elektromagnetischer Wellen,
die einerseits von einer Reihe verschiedener Sender stammen, andererseits als Hintergrundrauschen anzusehen sind. Um einen der Sender gezielt auswählen zu können, wird ein Bandpassfilter eingesetzt, das die Signale des gewünschten Senders von allen anderen trennt und zu anderen
Verarbeitungsstufen weiterleitet.
b) Mehrwegelautsprecher: Ein elektrisches Signal von einer Leistungsendstufe enthält viele Frequenzen. Da in einer Mehrwegebox jeder Lautsprecher für einen bestimmten Frequenzbereich
optimiert ist, muss das Leistungssignal durch eine spezielle Filterstufe aufgeteilt werden (Frequenzweiche).
Zunächst muss genauer beschrieben werden, wie man ein Signal aus einzelnen Frequenzanteilen zusammensetzen kann (also woher die von einem Filter zu trennenden Komponenten ursprünglich
stammen). In diesem Experiment wird nur die Klasse der periodischen Signale betrachtet. Diese
Signale werden mit der Theorie der Fourierzerlegung behandelt: Jede periodische Zeitfunktion x(t)
kann durch eine Summe von sinusförmigen Funktionen allgemeiner Amplitude und Phase zusammengesetzt werden. Man formuliert
x(t) = X0 + 2
∞
X
X̂g,n cos(nω0 t) + 2
n=1
∞
X
X̂u,n sin(nω0 t)
(1)
n=1
Die Indizes u und g beziehen sich dabei auf die ungeraden und geraden Anteile der Zeitfunktion
x(t) (Sie sehen: die X̂u bilden die ungeraden Anteile des Signals aus und werden mit der ungeraden
Sinusfunktion multipliziert. Analoges gilt für die Cosinusfunktion). Die Größe X0 drückt einen eventuell vorhandenen Gleichanteil aus, ω0 = 2π/T ist die Grundkreisfrequenz. Die Fourierkoeffizienten
ergeben sich zu
X̂g,n
X̂u,n
1
=
T
1
=
T
Z
T /2
x(t) cos(nω0 t)dt
(2)
x(t) sin(nω0 t)dt
(3)
−T /2
Z
T /2
−T /2
Im Falle des Rechtecksignals mit der Periodendauer T und der Amplitude 1 (siehe Abbildung 1)
ergibt sich also
X̂g,n = 0
(4)
X̂u,n =
1 − cos(nπ)
nπ
I2 - 2
(5)
Das Linienspektrum des periodischen Rechtecksignals mit der in Abbildung 1 dargestellten Zeitfunktion besitzt also keine Komponenten X̂g , die aus dem geraden Teil der Zeitfunktion stammen, denn
ein Rechtecksignal nach Abbildung 1 besitzt keinen solchen. Zudem verschwinden auch die Fourierkoeffizienten mit geraden Werten von n. Bild 1 zeigt neben der Zeitfunktion auch das Linienspektrum
des Rechtecksignals. Das Linienspektrum repräsentiert das Rechtecksignal eindeutig. Das bedeutet,
x(t)
X
1
/T
T
2T
t
-1
Abb. 1: Ein Rechtecksignal der Periodendauer T mit seinem Linienspektrum
dass die Angabe des Zeitsignals völlig äquivalent zur Angabe der Fourierkoeffizienten ist, da implizit
festgelegt ist, dass es sich um unendlich andauernde und periodische Signale handelt (Machen Sie
sich dies anhand eines sinusförmigen Signals klar: die Zeitfunktion x(t) = A sin(ωt + φ) kann auf die
Angabe der Amplitude A, der Kreisfrequenz ω und des Phasenversatzes φ reduziert werden. Ebenso
können Signale, die aus mehreren sinusförmigen Komponenten bestehen, lediglich mit Hilfe der einzelnen Amplituden A1 bis AN , der Teilfrequenzen ω1 bis ωN und der Teilphasen φ1 bis φN beschrieben
werden). Im nächsten Abschnitt wird die Wirkung linearer Netzwerke auf das Fourierspektrum des
Eingangssignals untersucht.
2
Filternetzwerke
Wir betrachten ein Spannungsteilernetzwerk nach Abbildung 2. Beim unbelasteten Spannungsteiler
Z1
Û1
Z2
Û2
Abb. 2: Ein Spannungsteilernetzwerk mit zwei Impedanzen
(wenn also parallel zur Impedanz Z2 keine weitere Last zugeschaltet ist), gilt
H(jω) =
Û 2 (jω)
Û 1 (jω)
=
Z 2 (jω)
Z 1 (jω) + Z 2 (jω)
(6)
Diesen Ausdruck, der die Beziehung zwischen der Spannung an der Quellseite und der Spannung an
der Impedanz Z 2 (jω) beschreibt, nennt man eine Spannungsübertragungsfunktion. Da H(jω) die
Form Wirkung/Ursache besitzt, nennt man Formeln dieser Gestalt auch Wirkungsfunktion. Gleichung 6 enthält im Allgemeinen frequenzabhängige Terme (nämlich die Impedanzen Z 1 (jω) und
I2 - 3
Z 2 (jω)) und ist somit selbst eine Funktion der Frequenz. Im folgenden sollen die Eigenschaften
solcher Netzwerke bei veränderlicher Frequenz untersucht werden. Grundlage sind die vier in Abbildung 3 gezeigten Schaltungen. Weil RLC-Netzwerke als frequenzabhängige Spannungsteiler betrieben
Û1
Schaltung 1
Û2
Û1
Schaltung 2
Û2
Û1
Schaltung 3
Û2
Û1
Schaltung 4
Û2
Abb. 3: Vier RLC-Grundschaltungen
werden können, eignen sie sich hervorragend als Filterbausteine. Dazu wird die Quellseite des Spannungsteilers als Eingang des Filters und die Klemmen der Impedanz, über der die interessierende
Spannung abfällt, als Ausgang definiert. Da Schaltungen mit Ein- und Ausgang durch zwei Tore
mit genau beschreibbaren Strömen und Spannungen gekennzeichnet sind, bezeichnet man diese als
Zweitornetzwerke. Die Amplituden der einzelnen Spektrallinien des Eingangssignals werden mit dem
Übertragungsfaktor bei der jeweiligen Frequenz verstärkt oder abgeschwächt. Diese Modifikationen
des Signals im Frequenzbereich äußern sich auch im Zeitbereich, also durch eine Veränderung der
Form der Zeitfunktion.
In der Informationstechnik interessiert meist weniger die Darstellung dieser Funktionen nach Realund Imaginärteil. Vielmehr ist eine Repräsentation gefragt, aus der schnell abgelesen werden kann, ob
ein Filter in einem gewissen Frequenzbereich gut oder schlecht ,,durchlässig” ist oder bei welcher Frequenz die stärkste Veränderung der Phasenlage zwischen Ein- und Ausgang vorliegt. Zu diesem Zweck
benutzt man die Betrags- und Phasendarstellung der Übertragungsfunktionen im Bode-Diagramm.
Eine logarithmische Wiedergabe der Frequenz ω und des Übertragungsfaktors |H(jω)| weist gegenüber einer linearen Darstellung viele Stärken auf. Dazu besitzt das Bode-Diagramm eine logarithmische Frequenzachse. Der Übertragungsfaktor wird nach der Formel A(ω) = 20 log10 (|H(jω)|) in
ein logarithmisches Pegelmaß (das Verstärkungsmaß A) umgewandelt, das die Pseudoeinheit Dezibel
(dB) trägt. Dezibelwerte können somit linear in das Bode-Diagramm eingetragen werden. Negative Verstärkungsmaße entsprechen dabei einer Abschwächung, positive Werte einer Verstärkung.
Unterschiedlich aufgebaute Filternetzwerke weisen in jeweils unterschiedlichen Bereichen der Frequenzachse große Dämpfungen auf, in anderen wird die anliegende Spannung kaum abgeschwächt
oder sogar verstärkt. Mit diesen Frequenzbändern ist es möglich, Filterschaltungen nach ihrem Verwendungszweck zu klassifizieren. Man unterscheidet
• Tiefpassfilter (TP), die tiefe Frequenzen an das Ausgangstor weitergeben, hohe Frequenzen
dagegen dämpfen,
• Hochpassfilter (HP), die hohe Frequenzen passieren lassen und bei tiefen Frequenzen sperren,
• Bandpassfilter (BP), die ein bestimmtes Frequenzband zwischen einer oberen und einer unteren
Grenzfrequenz ausfiltern und darüber bzw. darunter eine hohe Dämpfung aufweisen,
I2 - 4
• Bandsperren (BS), die im gesamten Frequenzbereich durchlässig sind und nur ein bestimmtes
Frequenzband zwischen zwei Grenzfrequenzen sperren.
Man kann sich anhand der Schaltung schnell klarmachen, welche Charakteristiken die Filter aus
Abbildung 3 besitzen, indem man sich überlegt, ob jeweils bei sehr hohen und/oder sehr niedrigen
Frequenzen eine Spannung über der Impedanz am Filterausgang abfällt (Faustregel: Kapazitäten
wirken bei tiefen Frequenzen als Leerlauf, bei hohen dagegen als Kurzschluss. Für Induktivitäten
gilt die umgekehrte Regel) und indem man sich klarmacht, dass ein Parallelschwingkreis bei seiner
Resonanzfrequenz als Leerlauf wirkt, ein Reihenschwingkreis jedoch als Kurzschluss. Der hier bereits
benutzte Begriff Grenzfrequenz bezeichnet die Frequenz, bei der das Verstärkungsmaß des Filternetzwerks 3 dB unter dem Verstärkungsmaß 1 (also der
√ 0 dB-Linie) liegt. Das Netzwerk dämpft ein
eintreffendes Signal bei dieser Frequenz also auf das 1/ 2-fache. So lässt sich auch die Bandbreite von
Bandpässen und -sperren definieren: Die 3 dB-Bandbreite entspricht der Differenz der oberen und
der unteren 3 dB-Grenzfrequenz eines Filternetzwerks. Die Filterbandbreite hängt nach
√ der Formel
∆f3dB = f0 /Q von der Güte des Schwingkreises Q und dessen Kennfrequenz (f0 = 1/2π LC) ab. Im
Sperrbereich eines Filters sinkt dessen Übertragungsfunktion mehr oder weniger steil zu sehr geringen Werten hin ab. Die Steigung dieses Bereichs, der Filterflanke, wird Flankensteilheit genannt und
z.B. in dB/Dekade angegeben. Eine Dekade entspricht einer Verzehnfachung der Frequenz. Während
Dekaden auf linearen Achsen zu größeren Frequenzwerten hin immer stärker gestreckt werden, ist
der Dekadenabstand auf einer logarithmischen Achse stets gleich. Dies kann man sich an der äquidistanten Abstufung der Dekadenmarkierungen im Bode-Diagramm (10−1 Hz, 100 Hz, 101 Hz, 102
Hz ...) verdeutlichen. Die Flankensteilheit wird maßgeblich durch die Filterordnung bestimmt. Diese
ist gleich der Anzahl aller im System vorkommenden unabhängigen Energiespeicher (Induktivitäten
und Kapazitäten). Die in Abschnitt 2 vorgestellten Filter besitzen also die Ordnung 2. Sie weisen
eine Flankensteilheit von 20 dB/Dekade (BP, BS) bzw. 40 dB/Dekade (TP, HP) auf. Die bislang
eingeführten Begriffe werden durch Abbildung 4 am Beispiel einer Bandpassübertragungsfunktion
verdeutlicht.
0
Durchlassbereich
-3 dB
Bd -10
/ -20 Sperrbereich
A
-30
-40
10
1
Bandbreite
Mittenfrequenz
10
2
10
3
Sperrbereich
10
4
0.5
π
/
φ
0
-0.5
10
1
10
2
ω/s
10
3
10
4
-1
Abb. 4: Veranschaulichung verschiedener Begriffe zum Verständnis der Funktion von Filternetzwerken
I2 - 5
3
Vorbereitende Aufgaben
(a) Berechnen Sie die Spannungsübertragungsfunktionen Û 2 (jω)/Û 1 (jω) der in Abbildung 3 gezeigten Netzwerke!
(b) Bestimmen Sie die Art der gegebenen Filterschaltungen und skizzieren Sie die Bode-Diagramme
der zugehörigen Spannungsübertragungsfunktionen! (Prinzipskizzen ohne numerische Achsenbeschriftung reichen aus)
(c) Leiten Sie die Fourierkoeffizienten des Rechtecksignals in Abbildung 5 vollständig her! Zeichnen
Sie ein Betragslinienspektrum der ersten Fourierkoeffizienten (Beispiel siehe Abb. 1). Worin unterscheiden sich die Linienspektren der Signale aus Abbildung 5 und Abbildung 1?
x(t)
1
-T/2
t
T/2
-1
Abb. 5: Zu Aufgabe (c)
4
4.1
Messaufgaben
RLC-Netzwerke als Filterschaltungen
Im ersten Experiment bestimmen Sie die Übertragungsfunktionen von Tief- und Bandpassfiltern.
Sie benutzen dazu eine Stecktafel, auf der sie nacheinander die Filterschaltungen mit gegebenen
Bauelementen aufbauen können. Die Bauteilwerte betragen R = 100Ω, C = 100nF, L = 100mH.
Im ersten Schritt messen Sie das Betragsübertragungsspektrum, im zweiten Schritt nehmen sie den
Phasenverlauf zwischen Ein- und Ausgangsspannung auf.
Bauen Sie dazu nacheinander die Filterschaltungen Tiefpass und Bandpass auf (siehe Abschnitt 2)!
Regen Sie die jeweilige Schaltung dann mit einem Sinussignal aus dem Frequenzgenerator an. Stellen
sie den Generator zunächst so ein, dass bei allen Frequenzen eine Spannung mit einem Effektivwert
von 1 V am Eingang des Filters anliegt. Dadurch vereinfacht sich die Berechnung des Übertragungsmaßes: A(jω)/dB = 20 log10 (UA /1V ) Messen Sie mit dem Multimeter die Effektivwerte der
Ausgangsspannung. Bitte überlegen Sie sich vor Beginn des Experiments sinnvolle Messfrequenzen
(diese können z.B. in Frequenzbereichen, in denen die Filterübertragungsfunktion sich nur leicht
ändert, einen größeren Abstand besitzen als in ,,interessanten” Bereichen der Kurve)! Wählen Sie so
viele Messpunkte, dass Sie einerseits den Kurvenverlauf sicher erfassen, andererseits aber den Arbeitsumfang möglichst gering halten. Die von der Signalquelle erzeugte Eingangsspannung kann durch die
Änderung der Generatorbelastung schwanken. Stellen Sie deshalb während des Experiments sicher,
dass die Eingangsspannung konstant bleibt! Dazu benutzen sie einen Kanal des Oszilloskops, der an
I2 - 6
den Filtereingang geschaltet wird.
Nach der Messung der beiden Betragsübertragungsfunktionen wird der Phasenverlauf ermittelt. Dazu
wird ein einfaches Interpolationsverfahren benutzt. Legen Sie an den ersten Kanal des Oszilloskops
das Eingangssignal des Filters und an den zweiten Kanal dessen Ausgangssignal an und stellen Sie
beide Kanäle auf dem Schirm dar. Stellen Sie jetzt die Frequenz des Signalgenerators so ein, dass sich
für den Tiefpass die Phasenlagen a) -45◦ , b) -90◦ , c) -135◦ und für den Bandpass die Phasenlagen
a) 45◦ , b) 0◦ , c) -45◦ . Damit haben Sie für die beiden Schaltungen je drei Messpunkte, an denen Sie
Phasenwinkel und Frequenz kennen. Schätzen Sie darüberhinaus rechnerisch das Phasenverhalten
der Schaltungen für ω → 0 und ω → ∞ ab.
Zeichnen Sie die gemessenen bzw. interpolierten Betrags- und Phasenübertragungsfunktionen in ein
Bode-Diagramm (Frequenz logarithmisch, Betragsübertragungsfunktion in dB, Phase linear) ein!
Welche Mittenfrequenz, welche Bandbreite und welche Güte besitzt der Bandpass? Welche 3 dBGrenzfrequenz besitzt der Tiefpass? Wie groß ist die Flankensteilheit der Filter jeweils? Stimmen die
Messungen mit den theoretischen Werten überein? Zeichnen Sie auch den Versuchsaufbau.
4.2
Messung des Spektrums von Rechtecksignalen
Rechtecksignale bestehe aus einer Reihe von sinusförmigen Komponenten. In diesem Versuchsteil
werden deren Amplituden bestimmt, also letztendlich die Fourierkoeffizienten eines Rechtecksignals
experimentell ermittelt. Mit dem Bandpassfilter aus dem letzten Versuchsteil können Sie einzelne
Spektrallinien des Rechtecksignals von den übrigen Komponenten trennen und ihre Effektivwerte
messen. Dazu muss die Frequenz der gerade gemessenen Linie genau mit der Mittenfrequenz des
Bandpasses übereinstimmen. Sie ,,schieben” also das Spektrum eines Recktecksignals an dem Bandpass vorbei, indem Sie das Signal in das Filter einspeisen und die Signal frequenz absenken, anstatt
die Filter frequenz zu erhöhen. Zur Messung der ersten Spektrallinie muss die Grundfrequenz des
Signals mit der Filtermittenfrequenz identisch sein. Der Ausgang des Signalgenerators wird nun so
eingestellt, dass die erste Spektrallinie einen Effektivwert von 100 mV besitzt. Alle Teilspannungen
geradzahliger Oberschwingungen eines Rechtecksignals sind Null (siehe oben), daher können Sie sich
im Weiteren auf die Messung der ungeradzahligen Oberschwingungen konzentrieren. Welche Signalgrundfrequenz müssen sie einstellen, damit sie nun die dritte Spektrallinie messen können?
Messen Sie auf diese Weise die Effektivwerte von sechs bis sieben ungeradzahligen Schwingungskomponenten des Rechtecksignals. Zur Auswertung: Tragen Sie die Messergebnisse als Linienspektrum
über einer Achse, die die laufende Nummer der Teilschwingungen angibt, auf. Zeichnen Sie nun in
dasselbe Diagramm das Linienspektrum eines Rechtecksignals nach Formel 5 ein, das Sie so skalieren,
dass dessen erste Teilschwingung die gleiche Amplitude wie die erste Teilschwingung ihrer Messungen besitzt. Vergleichen Sie Ihre Messergebnisse mit der Theorie der Fourierzerlegung! Erklären Sie
mögliche Abweichungen! (Tip: Überlegen Sie, wie viele Spektrallinien sich jeweils bei tiefen und bei
hohen Grundfrequenzen in dem glockenförmigen Durchlassbereich des Bandpassfilters befinden und
wie sich das auf die gemessene Ausgangsspannung auswirkt.)
4.3
Filterung von Rechtecksignalen
Im ersten Versuchsteil haben Sie unter anderem die Übertragungsfunktion eines Bandpassfilternetzwerks mittels eines monofrequenten sinusförmigen Signals aufgenommen. Die verwendeten linearen
Filter lassen jedoch auch Messungen mit breitbandigen Signalen zu. Es ist nahe liegend, das im
vorangegangenen Experiment untersuchte Rechtecksignal zu verwenden, um den Bandpass gleichzeitig mit mehreren Sinuskomponenten anzuregen. Wie im ersten Teil wird die Formel A(jω)/dB =
I2 - 7
gelb
schwarz
weiß
grün
gelb
schwarz
weiß
grün
20 log10 (UA /UE ) zur Berechnung der Verstärkungsfunktion benutzt. Da sowohl UA als auch UE jedoch
ein Frequenzgemisch darstellen, muss mit einem zweiten Filter für jede Messung eine der gegebenen
Spektrallinien ausgewählt werden. Da zudem nicht a priori UE = 1V eingestellt werden kann, muss
hier im Gegensatz zum ersten Teil UE stets mitgemessen werden.
Zur Anwahl der Frequenzlinien wird ein zusätzlicher Messbandpass benutzt, dessen Mittenfrequenz
zwischen ca. 300 und 3000 Hz eingestellt werden kann und der eine sehr geringe Bandbreite (im
Mittel etwa 100 Hz) besitzt (Steckerbelegung siehe Abbildung 6).
Regen Sie dazu die Schaltung mit einem Rechtecksignal (f = 300 Hz, Amplitude 20 mV eff) an. Verbinden Sie den Eingang der Schaltung mit dem Eingang der Messbandpasses und dessen Ausgang mit
dem Multimeter und mit dem Oszilloskop. Durch Veränderung der Mittenfrequenz des Messfilters
können Sie einzelne Spektrallinien hervorheben. Kontrollieren Sie mit dem Oszilloskop den Zeitverlauf
der Ausgangsspannung am Messfilter. Beobachten Sie, wie die Amplituden der dargestellten Signale
sich verändern, wenn die Filterfrequenz variiert wird. Sie haben eine Frequenzlinie erreicht, wenn die
Spitzenamplituden maximal werden. Die gerade eingestellte Frequenz können Sie ermitteln, indem
Sie das Multimeter kurz in den Frequenzmessbereich schalten (Schalter ,,Hz”). Bestimmen Sie die
Spannungsübertragungsfunktion des Netzwerks bei den Teilfrequenzen des Rechtecksignals! Hierzu
messen Sie, nachdem Sie die jeweilige Spektrallinie eingestellt haben, die Ein- und Ausgangsspannung
am von Ihnen aufgebauten Bandpass, um den Spannungsquotienten bei jeder Frequenz zu bilden zu
können! Dazu verbinden Sie den Eingang des Messfilters jeweils mit dem Ein- oder Ausgang des von
Ihnen aufgebauten Bandpasses. Zeichnen Sie ein Bode-Diagramm der Bandpassübertragungsfunktion
und vergleichen Sie dieses mit Ihren bereits vorhandenen Messungen. Zeichnen Sie den Versuchsaufbau!
rot
rot
UB
blau
BP
f0
blau
BNC
BNC
BNC
Abb. 6: Steckerbelegung der Messschaltung
I2 - 8
BNC
Versuch I3: Abtastung und Quantisierung
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Quantisierung
2
3 Abtastung und Rekonstruktion
3
4 Vorbereitende Aufgaben
6
5 Messaufgaben
5.1 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Aussteuerung . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Quantisierung . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Quantisierungskennlinie . . . . . . .
5.1.4 Quantisierungsfehler . . . . . . . . .
5.2 Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Abtasttheorem und Aliasing . . . . .
5.2.2 Interpolation 0. Ordnung (Halteglied)
5.2.3 Interpolation mit si-Funktionen . . .
5.3 Quantisierung und Abtastung . . . . . . . .
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A Realisierung des Versuchsaufbaus
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7
8
8
9
10
10
10
11
11
12
12
12
Lernziele
• Auswirkungen der Parameter einer digital-analog / analog-digital-Wandlung benennen und ihre
Auswirkung auf die Signalqualität verstehen.
• Einen Höreindruck von Artefakten (ungewollt hervorgerufene Fehler, Störungen) bekommen
und diese präzise beschreiben. Artefakte können enstehen
– aufgrund geringer Quantisierungstiefe,
– aufgrund unangemessener Signalaussteuerung,
– bei der Abtastung von analogen Signalen unter Verletzung des Abtasttheorems,
– bei der Rekonstruktion wegen unzureichender Tiefpassfilterung.
• Den Unterschied zwischen idealem und realem Tiefpass kennen lernen.
I3 - 1
1
Einleitung
Aus der Netzwerktheorie kennen wir RLC-Netzwerke, dies sind passive Schaltungen aus Widerständen
(R), Induktivitäten (L) und Kapazitäten (C), mit denen analoge Eingangssignale gefiltert werden
können. Ein Tiefpassfilter z.B. bedämpft hochfrequente Signalanteile, ein Hochpass tieffrequente und
ein Bandpass bedämpft alle Signalanteile, die nicht in einem Frequenzbereich liegen, der als Durchlassbereich definiert ist. Zur exakten Ermittlung des Ausgangssignals eines Netzwerkes ist es u. U.
hinreichend, wenn anstelle des zeitkontinuierlichen Eingangssignals lediglich periodisch entnommene
Stützstellenwerte (“Abtastwerte”) bekannt sind. Hierzu müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt
sein. Werden die bereits zeitdiskreten Stützstellenwerte auch noch in ihrer Amplitude diskretisiert
(“Quantisierung”), eignet sich die so gewonnene Zahlenreihe zur Verarbeitung in einem digitalen
Prozessor. Im Signalprozessor kann dann die Wirkung eines analogen RLC-Netzwerkes auf ein Eingangssignal durch eine Berechnungsvorschrift ersetzt werden. Z.B. kann der aktuelle Stützstellenwert
des Ausgangssignals aus einer gewichteten Summe der vergangenen Stützstellenwerte des Eingangssignals berechnet werden. Anders als in der Analogtechnik, in der die Filtercharakteristik durch die
Wahl der Bauteilewerte vorab festgelegt ist, erlaubt dabei die Digitaltechnik die Realisierung von
sich zeitlich ändernden Filtercharakteristiken.
Der vorliegende Versuch soll Ihnen die wesentlichen Zusammenhänge und Voraussetzungen bei der
Abtastung und Quantisierung von analogen Signalen und der Rekonstruktion von analogen Signalen
aus Abtastwerten verdeutlichen [1], [2]. Im Verlauf des Versuchs bekommen Sie die Möglichkeit, sich
einen auditiven Eindruck von Effekten zu verschaffen, die im Zusammenhang mit Abtastung und
Quantisierung zu beobachten sind.
2
Quantisierung
Quantisierung bezeichnet den Vorgang des Zuordnens eines ursprünglich amplituden-kontinuierlichen
Wertes auf diskrete Amplitudenwerte, d.h. es werden die Amplitudenwerte innerhalb eines Quantisierungsintervalls auf einen diskreten Wert abgebildet. Dieser Vorgang ist für die meisten Signale mit
einem Informationsverlust, d.h. mit einem Quantisierungsfehler
e(t) = x(t) − xq (t)
(1)
verbunden, der bei kleiner Stufenanzahl als Quantisierungsrauschen wahrnehmbar ist. x(t) kennzeichnet hier die analoge Signalamplitude und xq (t) die zugeordnete quantisierte Signalamplitude zum
Zeitpunkt t. Für eine hinreichend große Anzahl Quantisierungsstufen (Q > 24 ) und eine symmetrische Verteilungsdichtefunktion der Amplitudenwerte gilt für die Leistung des Quantisierungsfehlers
die Näherung
∆x2
Pe ≈
12
(2)
mit der Stufenhöhe ∆x wie in Bild 1 gezeichnet. Aufgrund des Quantisierungsrauschens lässt sich
das Verhältnis von Signalleistung zu Rauschleistung (engl. signal to noise ratio, SNR) berechnen.
Üblicherweise wird das SNR in dezibel, dB angegeben:
SN R = 10 log10
PS
dB,
PN
I3 - 2
(3)
wobei PS eine Signalleistung und PN eine Rauschleistung bezeichnen. Unter vereinfachenden Annahmen ergibt sich
SNR ≈ w · 6.02 dB/Bit.
(4)
Pro bereitgestelltes Bit Wortbreite wird also der Signal-Störabstand um etwa 6 dB verbessert, d.h.
die Leistung des Quantisierungsfehlers wird gegenüber der Signalleistung um etwa den Faktor vier
(106/10 ≈ 4) verringert.
Bild 1 zeigt das Beispiel einer gleichmässigen Quantisierungskennlinie mit w = 3 Bit, entsprechend
Q = 23 = 8 Quantisierungsstufen.
xq
∆x
x
PSfrag replacements
xmin
xmax
∆x
Abbildung 1: Mid-tread-Quantisierungskennlinie für eine Quantisierung mit w=3 Bit.
Analoge Eingangswerte, x, die größer als xmax bzw. kleiner als xmin sind, werden auf den Wert quantisiert, der xmax bzw. xmin zugeordnet ist. Praktisch entspricht dieses Verhalten einer Signalbegrenzung,
auch “Clipping” genannt. Um diese Art der Verzerrung zu vermeiden, muss dafür Sorge getragen
werden, dass der Pegel des Eingangssignals so gewählt ist, dass der Aussteuerbereich des Quantisierers nicht überschritten wird. Auf der anderen Seite ist eine kleine Aussteuerung des Quantisierers
ebenfalls unvorteilhaft, da dann der Dynamikumfang des Quantisierers nicht ausgenutzt wird. Die
äußeren Quantisierungsstufen würden nie verwendet, so dass effektiv eine Quantisierung mit kleinerer
Stufenzahl und damit größerem Quantisierungsfehler, also schlechterem Signal-Störabstand erfolgt
(s. Gleichung (4)). Als Regel folgt daher, dass der Pegel am Eingang des Quantisieres so eingestellt
werden sollte, dass der Aussteuerbereich gut abgedeckt aber gerade nicht überschritten wird.
Typische Anwendungen verwenden z.B. w = 8 Bit (ISDN-Telefonie) oder w = 16 Bit (Audio-CD).
3
Abtastung und Rekonstruktion
Abtastung
Mit Abtastung wird der Vorgang bezeichnet, bei dem aus einem zeitkontinuierlichen Signal zu diskreten (in der Regel periodischen) Zeitpunkten Messwerte entnommen werden. Damit aus den Abtastwerten das analoge Signal fehlerfrei rekonstruiert werden kann, muss laut Abtasttheorem mit mehr
I3 - 3
als dem Doppelten der größten Frequenz fg , die in dem abzutastenden Signal vorkommt, abgetastet
werden, d.h.
fA > 2fg .
(5)
Das Inverse des Zeitintervalls, nach dem jeweils ein Abtastwert entnommen wird, ist die “Abtastfrequenz” oder “Abtastrate”, fA .
Wird das Abtasttheorem verletzt, d.h. die Abtastrate kleiner als das Zweifache der maximal im Signal
vorhandenen Frequenz gewählt, kann das ursprüngliche Signal (unabhängig von der RekonstruktionsMethode, s.u.) nicht mehr fehlerfrei rekonstruiert werden. In Versuch 5.2.1 werden Sie erfahren, wie
ein hochfrequentes harmonisches Eingangssignal durch eine Abtastung mit zu geringer Rate verfälscht
erscheint. Mit den Abtastwerten entstünde nach Rekonstruktion ein Signal mit einer Frequenz, die
unter der tatsächlichen Frequenz des Eingangssignals liegt. Weil bei einer Verletzung des Abtasttheorems Signale mit phantomhaften Frequenzen entstehen, spricht man bei dieser Art von Fehler auch
von einem “aliasing-Fehler” oder kurz “aliasing”.
Typische Abtastraten betragen z.B. 8 kHz (ISDN-Telefonie), 44.1 kHz (Audio-CD), mehrere GHz
für digitale Oszilloskope oder etwa 64 nHz = 2/Jahr für das Ablesen des Stromzählers.
Die Einhaltung des Abtasttheorems (5) ist notwendige Voraussetzung jedoch nicht hinreichend für
eine fehlerfreie Rekonstruktion des Signals am Ausgang. Entscheidend ist zusätzlich noch das Vorgehen bei der Signalrekonstruktion. Dieses soll im Folgenden erläutert werden.
Rekonstruktion
Bei der Rekonstruktion wird aus der digitalen Signalrepräsentation wieder ein analoges Signal erzeugt. Hierfür sind unterschiedliche Strategien denkbar, die unter Umständen Rekonstruktionsfehler
hervorrufen:
Eine grobe Approximation des analogen Signals erhält man, wenn jeweils für die Dauer eines Abtastintervalls das analoge Ausgangssignal auf dem Wert des Abtastwertes gehalten wird. Man bezeichnet
dies als Interpolation 0. Ordnung oder Halteglied (Bild 2) 1 . Der Unterschied zwischen dem Sinussignal und dem rekonstruierten Signal ist nicht nur an der Kurvenform direkt ersichtlich sondern
lässt sich auch leicht auditiv detektieren: Das derart rekonstruierte Signal hört sich stark verzerrt
an. Hochfrequente Anteile sind hörbar, die weit über der Frequenz von 0.5fA liegen und daher bei
einem rekonstruierten Signal eines tieffrequenten unter Einhaltung von Bedingung (5) abgetasteten
Eingangssignals eigentlich nicht zu erwarten wären. Diese Signalanteile werden daher offensichtlich
durch die Art der Rekontruktion hervorgerufen.
Konsequenterweise könnte man auf die Idee kommen, die Signalanteile, deren Frequenz größer als
0.5fA sind und daher in einem mit fA abgetasteten und anschließend rekonstruierten Signal nicht
auftreten dürfen, mithilfe eines Tiefpassfilters weitestmöglich zu bedämpfen. Dieser Ansatz führt auf
die Interpolation mit si-Funktionen, s.u..
Es ist wichtig zu verstehen, dass mit dem beobachteten Rekonstruktionsfehler nicht etwa das Abtasttheorem in Frage gestellt wird. Vielmehr zeigt diese Beobachtung, dass eine Begrenzung der im
Signal vorhandenen Frequenzkomponenten auf fg < 0.5fA zwingend erforderlich ist, wenn das analoge Ursprungssignal fehlerfrei rekonstruiert werden soll.
1
Aufgrund weiterer Beschaltung mit R, L, C, ist eine instantane Änderung der Amplitude in der gezeigten Treppenform im Versuch nicht möglich. Statt dessen beobachtet man an den Sprungstellen eine überlagerte periodische
schnell abklingende gedämpfte Schwingung.
I3 - 4
1
analoges Eingangssignal
Abtastwerte
rekonstruiertes Ausgangssignal
0.8
0.6
0.4
Amplitude
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
Zeit, s
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
Abbildung 2: Nicht-perfekte Rekonstruktion mittels Interpolation 0. Ordnung (Halteglied).
Eine im Vergleich mit dem Halteglied etwas bessere Approximation des analogen Kurvenverlaufs
erreicht man mit einem Interpolator 1. Ordnung. Dieser interpoliert den analogen Signalverlauf zwischen zwei Abtastwerten durch eine Gerade (Bild 3). Auch diese Art der Rekonstruktion ist nicht
fehlerfrei. Es entstehen auch hierbei hochfrequente Signalverzerrungen mit einer Frequenz oberhalb
von 0.5fA .
Es zeigt sich, dass für eine perfekte Rekonstruktion des analogen Signals mit dem Abtastwert skalierte si-Funktionen summiert werden müssen (Bild 4). Als Vorgriff auf spätere Vorlesungen sei an
dieser Stelle erwähnt, dass eine Interpolation dieser Art gerade durch eine Filterung mit einem “idealen” Tiefpass erreicht wird, welcher eine Grenzfrequenz2 von 0.5fA aufweist. Der “ideale” Tiefpass
unterdrückt alle Frequenzanteile oberhalb von 0.5fA , die bei Rekonstruktion aus einem unter Einhaltung des Abtasttheorems (5) abgetasteten Signal nicht auftreten dürfen. Das Filter beseitigt damit
alle Komponenten oberhalb der halben Abtastfrequenz, die dem eigentlichen Signal als Verzerrung
überlagert wären (s.o.).
Nicht-ideale (reale) Tiefpässe erreichen eine hohe Dämpfung erst mit zunehmender Frequenz jenseits
der Grenzfrequenz. Ein Beispiel hierfür ist der in diesem Versuch verwendete Tiefpass, dessen Amplitudengang in Bild 6 dargestellt ist. Für große Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz nimmt die
Dämpfung mit 160 dB/Dekade zu. Aufgrund der endlichen Steigung des realen Tiefpasses muss die
2
Die Grenzfrequenz eines Filters ist definiert als die Frequenz, bei der das Filter eine Dämpfung von 3 dB gegenüber
dem Verhalten im Durchlassbereich erreicht.
I3 - 5
1
analoges Eingangssignal
Abtastwerte
rekonstruiertes Ausgangssignal
0.8
0.6
0.4
Amplitude
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
Zeit, s
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
Abbildung 3: Nicht-perfekte Rekonstruktion mittels Interpolation 1. Ordnung.
Grenzfrequenz weit unterhalb von 0.5fA angesetzt werden, damit aliasing-Komponenten jenseits von
0.5fA bereits hinreichend (Dämpfung > 40 dB) bedämpft werden. Als Konsequenz hieraus folgt, dass
die maximale in einem Signal vorkommende Frequenz nicht nur kleiner der halben Abtastrate sein
muss, sondern zusätzlich noch kleiner als die Grenzfrequenz des Tiefpasses sein sollte, da ansonsten
diese Signalkomponenten durch den Tiefpass bedämpft würden. Um ein AD/DA-System einer bestimmten Bandbreite zu entwerfen, kann also entweder eine geringe Abtastrate mit einem Tiefpass
hoher Steilheit kombiniert werden oder aber ein Tiefpass geringerer Steilheit mit einer entsprechend
erhöhten Abtastrate (“oversampling”). Da der Aufbau eines analogen Tiefpasses hoher Steilheit im
Vergleich zu einer Erhöhung der Abtastrate im Zeitalter hochintegrierter digitaler Schaltkreise kostenintensiver ist, wird häufig die letztere Alternative gewählt.
4
Vorbereitende Aufgaben
a) Zeichnen Sie eine Periode eines Sinussignals der Amplitude 1.0 und der Frequenz f = 200 Hz.
Zeichnen Sie das mit w = 3 Bit (gemäß Bild 1 mit xmin = −1, xmax = 1) quantisierte Signal ein.
Zeichnen Sie in einem zweiten Graphen darunter den Quantisierungsfehler über der Zeit.
b) In Versuchsteil 5.2.3 soll u.a. ein abgetastetes Signal mit (approximierten) si-Funktionen rekonstruiert werden. Dazu wird das reale Tiefpassfilter verwendet, dessen Frequenzgang in Bild 6 gezeigt ist.
Welche Abtastraten können verwendet werden, wenn das Rekonstruktionsfilter alias-Komponenten
mit mindestens 40 dB dämpfen soll? Auf welche Bandbreiten (d.h. maximale Frequenzen) muss dann
I3 - 6
1
analoges Eingangssignal
Abtastwerte
rekonstruiertes Ausgangssignal
0.8
0.6
0.4
Amplitude
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
Zeit, s
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
Abbildung 4: Perfekte Rekonstruktion mittels Interpolation durch gewichtete si-Funktionen (idealer
Tiefpass).
jeweils das Eingangssignal begrenzt sein und welche Bandbreite haben die rekonstruierten Signale?
5
Messaufgaben
Bild 5 zeigt das Blockschaltbild des Versuchs. Das in der Amplitude einstellbare Signal einer Signalquelle wird einem A/D-Wandler zugeführt. Nach Quantisierung und D/A-Wandlung (Halteglied,
zunächst kein Tiefpass) steht das Signal an einer BNC-Buchse zum Vergleich mit einem gleich
verzögerten aber weder abgetasteten noch quantisierten Referenzsignal zur Verfügung. Zusätzlich
kann das Differenzsignal abgegriffen werden. Die Parameter “Abtastrate” und “Anzahl Quantisierungsstufen” können über eine Tastatur eingestellt werden.
Um die Signale abzuhören, kann ein einstellbarer Kopfhörer-Verstärker (nicht gezeichnet) entweder
direkt oder über ein Tiefpass-Filter an einen der Signalausgänge “Ausgang”, “Differenz” oder “Referenz” angeschlossen werden. Das Tiefpassfilter weist eine Grenzfrequenz von fg = 4600 Hz auf. Sein
Amplitudengang, d.h. die Dämpfung in Abhängigkeit von der Frequenz ist Bild 6 zu entnehmen.
Die Signalquelle liefert sieben Signale, die mittels der Tastatur zyklisch ausgewählt werden können:
• Sinus der Frequenz f = 200 Hz
• Sinus der Frequenz f = 800 Hz
I3 - 7
Signalquelle
Abtastung, Quantisierung, Rekonstruktion
Ausgang
Signal
Q
A/D
D/A
Differenz
Trigger
−
Verzögerungs−
glied
+
Referenz
Abbildung 5: Blockschaltbild des Versuchs.
• Sinus der Frequenz f = 1600 Hz
• Sinus der Frequenz f = 2800 Hz
• Kastagnetten-Schläge, bandbegrenzt auf 4.6 kHz
• Männliche Stimme, bandbegrenzt auf 4.6 kHz
• Weibliche Stimme, bandbegrenzt auf 4.6 kHz
• Sinus mit kontinuierlich ansteigender Frequenz von f1 = 100 Hz bis f2 = 2000 Hz (“Chirp”).
Im Falle der Sinussignale fester Frequenz steht auch ein Trigger-Impuls zur Verfügung, der als externer Trigger für das Triggern bei der Darstellung des Ausgangssignals (bzw. Referenzsignal oder
auch Differenzsignal) auf einem Oszilloskop verwendet werden kann. Ebenfalls für diesen Signaltyp
besteht die Möglichkeit, Abtastwerte über einen kurzen Signalabschnitt zu speichern und dann die
Werte über das Display auszulesen. Durch erneutes Drücken der Aufnahmetaste wird wieder in den
kontinuierlichen Betrieb geschaltet.
Bitte achten Sie stets darauf, die Lautstärke vor Aufsetzen des Kopfhörers, bzw. vor Modifikationen
zunächst zurückzustellen, um Ihr Gehör vor unerwartet lauten Tönen zu schützen!
5.1
Quantisierung
In diesem Versuchsabschnitt sollen Effekte untersucht werden, die allein aufgrund einer Signalquantisierung hervorgerufen werden. Stellen Sie daher die Abtastfrequenz für die Dauer dieses Versuchsabschnitts auf ihren maximalen Wert, fA = 96 kHz. Hören Sie die Signale ohne das Tiefpassfilter
ab.
5.1.1
Aussteuerung
Dieser Versuchsteil dient dazu, Ihnen einen auditiven Eindruck von Artefakten zu verschaffen, die
aufgrund von Übersteuerung des Eingangssignals auftreten. Für die Dauer dieses Versuchsteils bleibt
I3 - 8
0
Verstärkung, dB
−50
PSfrag replacements
−100
−160 dB
−150
−200
1 Dekade
1
10
2
3
10
10
4
10
Frequenz, Hz
Abbildung 6: Amplitudengang des analogen Tiefpass (Tschebyscheff 8. Ordnung, Grenzfrequenz f g =
4600 Hz, 2 dB Welligkeit im Durchlassbereich, [3]).
die Quantisierung auf w = 22 Bit eingestellt um zusätzliche Effekte aufgrund reduzierter Quantisierungstiefe zu vermeiden.
Wählen Sie zunächst das Signal “Sinus 200 Hz” aus und erhöhen Sie kontinuierlich den Pegel der
Signalquelle bis Clipping einsetzt. Sehen Sie sich das Ausgangssignal mit und ohne Übersteuerung
auch auf dem Oszilloskop an.
Wiederholen Sie den Versuch auch für die übrigen Signale. Versuchen Sie bei den Sprachbeispielen
ohne Blick auf das Oszilloskop rein auditiv den Punkt zu finden, bei dem gerade keine Übersteuerung
vorliegt. Übersteuerung zeigt sich auf dem Oszilloskop durch abgeflachte (“abgeschnittene”) Amplitudenverläufe.
Prägen Sie sich den Höreindruck von übersteuerten Signalen ein, da Sie im weiteren Versuchsablauf
den Pegel der jeweiligen Signalquelle stets so einstellen sollen, dass gerade kein Clipping auftritt.
5.1.2
Quantisierung
Wählen Sie das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie den Pegel so ein, dass gerade keine
Übersteuerung auftritt. Stellen Sie eine Periode des quantisierten Ausgangssignals auf dem Oszilloskop dar.
a) Hören Sie sich das quantisierte Ausgangssignal für unterschiedliche Quantisierungsstufen an. Ab
welcher Quantisierungsstufe sind Artefakte hörbar? Beschreiben sie möglichst exakt den Klangcharakter der Artefakte.
b) Stellen Sie für w = 2 Bit eine Periode des Referenz- und des Ausgangssignals gleichzeitig auf dem
Oszilloskop dar (beachten Sie die Fußnote auf Seite 4) und skizzieren Sie die beiden Signale. Um
I3 - 9
welche Art der Quantisierungskennlinie handelt es sich (mid-rise / mid-tread)?
c) Reduzieren Sie den Pegel des analogen Eingangssignals um etwas mehr als die Hälfte. In wieviele
Stufen wird das Signal nun quantisiert und welcher effektiven Quantisierung w enspricht dies?
Formulieren Sie eine allgemeine Empfehlung, wie der Pegel des Eingangssignals eingestellt werden
sollte, um den Quantisierungsfehler so gering wie möglich zu halten. Bedenken Sie hierbei auch das
Ergebnis aus Teil 5.1.1.
d) Hören Sie sich nun auch die Sprachbeispiele bei unterschiedlicher Quantisierung an (auf korrekte Aussteuerung ist zu achten). Ab welcher Quantisierungsstufe treten Artefakte auf? Wieviel Bit
genügen in etwa zur Quantisierung, damit das Signal noch verständlich ist? Wieviele Bit werden für
eine akzeptable Qualität benötigt?
5.1.3
Quantisierungskennlinie
Wählen Sie das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie die Quantisierung auf w = 2 Bit. Stellen Sie
die Quantisierungskennlinie auf dem Oszilloskop dar (Welche Betriebsart des Oszilloskops ist hierfür
geeignet?) und zeichnen Sie diese. Überprüfen Sie Ihre Entscheidung aus 5.1.2 b) bezüglich der Art
der Quantisierungskennlinie (mid-rise / mid-tread).
5.1.4
Quantisierungsfehler
a) Wählen Sie das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie den Pegel so ein, dass gerade keine
Übersteuerung auftritt. Stellen Sie eine Periode des Ausgangssignals auf dem Oszilloskop dar. Sehen
Sie sich nun bei gleicher Einstellung das Differenzsignal zwischen quantisiertem Ausgang und unquantisierter Referenz an. Reduzieren Sie die Zahl der Quantisierungsstufen.
Hinweis: Auf dem zweiten Kanal des Oszilloskops können Sie zugleich das quantisierte Signal anzeigen. Mit der “Add”-Funktion des Oszilloskops sollten sich das quantisierte und das Fehlersignal
zusammen wieder zu dem analogen Eingangssignal summieren.
b) Hören Sie sich nun noch das Differenzsignal für Sprachbeispiele an (achten Sie wieder auf eine
korrekte Aussteuerung). Beschreiben Sie den Klangcharakter des Differenzsignals für w = 8 Bit.
Welches Signal-zu-Rausch-Verhältnis (SNR) erwarten Sie bei einer Quantisierung mit w = 8 Bit?
Wieviel schlechter wird das SNR, wenn das Eingangssignal aufgrund mangelnder Vorverstärkung den
Aussteuerbereich nur zu 1/4 ausnutzt?
5.2
Abtastung
In den folgenden Versuchsteilen soll das Verhalten untersucht werden, das bei der Abtastung eines
Signals und seiner anschließenden Rekonstruktion mittels Halteglied oder mittels si-Funktionen beobachtet werden kann. Um zusätzliche Effekte aufgrund einer gering auflösenden Quantisierung zu
vermeiden, ist die Anzahl Quantisierungsstufen auf w = 22 Bit zu stellen.
I3 - 10
analoger Amplitudenwert, x quantisierter Wert, xq
xmax
2w − 1
xmin
0
Tabelle 1: Zuordnung von analogen Amplitudenwerten zu quantisierten Werten für das vorliegende
Versuchsgerät (siehe auch Bild 1).
5.2.1
Abtasttheorem und Aliasing
In diesem Versuchsteil soll ein Sinussignal bewußt unter Verletzung des Abtasttheorems abgetastet
werden um die Folgen zu veranschaulichen, die sich hieraus ergeben (“aliasing-Fehler”).
Wählen Sie das 2.8 kHz Sinussignal aus und stellen Sie die Verstärkung so ein, dass der Eingang
des A/D-Umsetzers nicht übersteuert wird. Tasten Sie das Signal mit fA = 3 kHz ab und stellen
Sie Eingang und Ausgang zugleich am Oszilloskop dar (Zeitablenkung: 0.5 ms/div). Triggern Sie
das Oszilloskop auf das abgetastete Signal. Speichern Sie durch Drücken der roten Taste eine Sequenz Abtastwerte und nehmen Sie die Werte tabellarisch auf (15 Werte): Durch Drehen des Rades
können Sie durch die aufgezeichneten Abtastwerte navigieren und auf dem Display den Wert zu jedem
Abtastzeitpunkt ablesen. Zusätzlich wird in dem abgetasteten Signal, das Sie auf dem Oszilloskop
sehen, der auf der Anzeige gerade angezeigte Abtastwert durch eine kleine Spitze markiert (Hinweis:
Aufgrund der dem quantisierten Signal hinzugefügten Spitze klingt dieses verzerrt und soll daher in
diesem Versuchsteil nicht abgehört werden). Das Gerät ordnet die Amplitudenwerte des analogen
Eingangssignals gemäß Tabelle 1 auf quantisierte (und abgetastete) Werte ab. Erstellen Sie einen
Graphen, in dem die Abtastwerte eingetragen sind (“Stecknadelköpfe”). Zeichnen Sie dann das analoge Ausgangssignal ein, das man mit einem Interpolator 1. Ordnung erhalten würde. Zeichnen Sie
auch das Eingangssignal in dasselbe Diagramm ein. Welche Grundfrequenz weist ein aus den Abtastwerten rekonstruiertes Signal auf? In welchem arithmetischen Zusammenhang stehen offensichtlich
die Abtastfrequenz, fA , die Frequenz des Eingangssignals, fg und die Grundfrequenz fr des Signals,
das man nach Rekonstruktion durch Interpolation 1. Ordnung erhalten würde?
5.2.2
Interpolation 0. Ordnung (Halteglied)
Tasten Sie im folgenden wieder unter Einhaltung des Abtasttheorems ab.
a) Wählen Sie das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie den Pegel so ein, dass gerade keine
Übersteuerung auftritt. Schalten Sie das Triggersignal auf den externen Triggereingang des Oszilloskops. Sehen Sie sich auf dem Oszilloskop das per Halteglied (d.h. Ausgangssignal ohne Tiefpass)
rekonstruierte Ausgangssignal zugleich mit dem Eingangssignal für unterschiedliche Abtastfrequenzen fA an. Beachten Sie die Fußnote auf Seite 4. Skizzieren Sie eine Periode des Eingangs- und des
abgetasteten und mittels Interpolation 0. Ordnung rekonstruierten Ausgangssignals für eine Abtastfrequenz von fA = 2 kHz.
b) Hören Sie sich nun das Ausgangssignal bei unterschiedlichen Abtastraten fA an. Welche minimale
Abtastrate ist laut Abtasttheorem zulässig, so dass das Signal prinzipiell noch fehlerfrei rekonstruiert
werden kann? Ab welcher Abtastrate klingt der 200 Hz Sinuston verzerrt? Was ist die Ursache für
die Verzerrung?
c) Wiederholen Sie den Versuch für das Chirp-Signal. Das klare Chirp-Signal besteht aus einem
I3 - 11
Sinuston mit kontinierlich anwachsender Frequenz (100 Hz - 2000 Hz). Welches Verhalten zeigt der
bei gerade einsetzender Verzerrung überlagerte Ton für fA = 12 kHz?
5.2.3
Interpolation mit si-Funktionen
Hören Sie sich nun die Sinustöne und das Chirp-Signal vergleichend mit Tiefpassfilter (d.h. Interpolation mit approximierten si-Funktionen) und ohne (d.h. Interpolation 0. Ordnung) an.
Wählen Sie dann jeweils für das Kastagnetten-Signal und für eines der Sprachsignale die Abtastrate so, dass das Abtasttheorem erfüllt wird (s. Abschnitt 5) und beschreiben Sie für beide Signale
möglichst exakt, was den Klangeindruck der Rekonstruktionsfehler bei Verwendung einer Interpolation 0. Ordnung ausmacht im Gegensatz zur Interpolation mittels eines Tiefpassfilters. Achten Sie
darauf, dass das Eingangssignal den A/D-Umsetzer korrekt aussteuert.
5.3
Quantisierung und Abtastung
Nachdem Sie in den Abschnitten 5.1 und 5.2 das Verhalten und die Eigenschaften von Quantisierung
und Abtastung getrennt voneinander kennen gelernt haben, haben Sie abschließend die Gelegenheit,
sich ein Bild von den Effekten bei der Anwendung beider Systeme zu machen.
Hierzu wählen Sie bitte das Signal “Sinus 200 Hz” aus und stellen Sie eine Periode des quantisierten
bzw. abgetasteten Signals gleichzeitig mit der Referenz auf dem Oszilloskop dar. Schließen Sie das
externe Triggersignal an und stellen Sie die Abastfrequenz auf fA = 2 kHz ein. Sie erhalten das
bereits aus einem früheren Abschnitt bekannte Bild eines abgetasteten Sinussignals. Mit dem Drehknopf können Sie nun die Frequenz des Sinussignals um 0.1 Hz erhöhen oder verringern. Dies hat (bei
unveränderter Abtastfrequenz) zur Folge, dass ein Abtastzeitpunkt nicht mehr exakt auf ein und die
gleiche Stelle innerhalb einer Sinus-Periode fällt, sondern sich langsam innerhalb der Sinus-Periode
verschiebt. Da das Triggersignal nicht von der Variation der Frequenz betroffen ist, scheint sich der
Sinus unter den Abastpunkten hinwegzubewegen.
Stellen Sie schließlich zusätzlich zur Abtastung eine Quantisierung ein (z.B. w = 4 Bit). Sie sehen
nun anschaulich, wie zu den Abtastzeitpunkten das Signal die diskreten Amplitudenwerte annimmt,
die aufgrund der Quantisierung möglich sind. Variieren Sie auch die Eingangsverstärkung.
A
Realisierung des Versuchsaufbaus
Im folgenden beschreiben wir kurz die Realisierung des Versuchsgerätes, mit dem Sie den vorliegenden
Versuch zur Abtastung und Quantisierung durchführen. Diese Angaben sind nicht notwendig für die
Versuchsdurchführung, sollen aber Interessierten zur Information dienen.
Das Versuchsboard enthält einen digitalen Signalprozessor (DSP), der die Testsignale generiert, bzw.
aus einem Digitalspeicher (nichtflüchtiges RAM) ausliest und ausgibt, entsprechend der Tastaturbetätigung die A/D- D/A-Umsetzung steuert und das LCDisplay aktualisiert. Ein Signalprozessor
ist ein Rechner, dessen Architektur besonders zur effizienten Bearbeitung typischer Signalverarbeitungsoperationen ausgelegt ist. DSPs befinden sich z.B. in Mobiltelefonen, in LCD-Kameras oder in
modernen Autoradios.
Auf der Platine (Bild 7) befinden sich im wesentlichen die folgenden Komponenten:
I3 - 12
• 32-bit floating point DSP mit 800 MFLOPS (mega floating point operations per second) bei
200 MHz Taktung, 2 Mbits on-chip SRAM (static random access memory)
• Stereo AD/DA-Umsetzer für max. 96 kHz, 24 Bit
• 1 MByte FLASH memory (elektrisch lösch- und wiederbeschreibbarer Speicher, also insbesondere für Programmcode und die aufgezeichneten Sprachsignale geeignet)
• 512 kBit SRAM, 512 kBit FLASH memory.
Die Programmentwicklung für diesen Versuch erfolgte unter C/C++ auf einem PC. Nach dem
Übersetzen des Codes wird dieser mittels USB-Verbindung in den nichtflüchtigen Programmspeicher auf der Platine geladen.
Die LCD-Anzeige verfügt über ein 8 Bit breites Interface über das die darzustellenden Zeichen in Form
von ASCII-Code gesendet werden. Ein auf der LCD-Platine integrierter Mikroprozessor (StandardTyp HD44780) interpretiert den Code und sorgt dafür, dass die für die Darstellung der Zeichen
benötigten Pixel an- oder ausgestellt werden. Legt man ein Signal an eine spezielle Steuerleitung der
LCD-Anzeige an, werden die über das Interface gesendeten Daten nicht als darzustellende Zeichen,
sondern als Kommandos interpretiert. So kann z.B. die Anzeige gelöscht werden, der Cursor an oder
ausgestellt werden, oder die ganze Anzeige abgeschaltet werden.
Literatur
[1] R. Martin, Vorlesung Grundlagen der Informationstechnik I, 2005
[2] U. Zölzer, Digitale Audiosignalverarbeitung, 3. Auflage, Teubner 2005
[3] U. Tietze, Ch. Schenk, Halbleiter-Schaltungstechnik, 6. Auflage, Springer-Verlag 1983, S. 396,
S. 404 f.
[4] Analog Devices, Datasheet SHARC Processor ASDP-21262, Rev. A, 2004
I3 - 13
Abbildung 7: Blockdiagramm der DSP-Platine. LCDisplay und Tastatur (nicht eingezeichnet) sind
über den Parallelport an den DSP angeschlossen. [4]
I3 - 14
Versuch I4: Nachrichtenübertragung
und Codierung
Inhaltsverzeichnis
1 Quelle-Kanal-Senke Modell
1.1 Sender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Diskreter Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Empfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
5
5
2 Erläuterung der Software
6
3 Vorbereitende Aufgaben
8
4 Versuchsdurchführung
4.1 Quellencodierung eines Binärbildes (s/w)
4.2 Quellencodierung eines Halbtonbildes (16
4.3 Kanalcodierung . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Unbekannter Kanal . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Graustufen)
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5 Literatur
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8
8
9
9
10
10
Lernziele
• Verständnis für den Unterschied zwischen Information und Bedeutung.
• Verständnis für das Quelle-Kanal-Senke Modell der Nachrichtenübertragung.
• Eigenschaften (Vor- und Nachteile) einfacher Quellen- und Kanalcodierverfahren.
• Auswirkungen von Übertragungsfehlern.
• Unterschiede zwischen Fehlerdetektion und Fehlerkorrektur.
I4 - 1
1
Quelle-Kanal-Senke Modell
Quelle
Sender
diskreter
Kanal
Empfänger
Senke
Abb. 1: Blockschaltbild eines digitalen Übertragungssystems
Ein Nachrichtenübertragungssystem, wie es in Abbildung 1 dargestellt ist, wird verwendet, um Informationen über einen Kanal zu übertragen. Eine Nachrichtenquelle wählt dafür Symbole, die unterschiedliche Nachrichten repräsentieren, aus einer endlichen Menge von zulässigen Zeichen, dem
Alphabet. Im einfachsten Fall besteht das Alphabet aus zwei Symbolen (“0”/“1”). Diese Auswahl
entspricht dann einer binären Entscheidung der Quelle und kann mit einem Bit codiert werden. Besteht das Alphabet aus mehr als zwei Symbolen, so lässt sich die Auswahl durch eine Folge von
binären Entscheidungen darstellen.
Wenn die Symbole mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden, wird die Zahl der Entscheidungen im Mittel durch den Entscheidungsgehalt
H0 = ld(N)
(1)
angegeben, wobei ld den Logarithmus Dualis bezeichnet und N die Anzahl der Symbole. Es sind
dabei H0 bit zur Codierung einer ausgewählten Nachricht notwendig. Die Nachrichten werden dann
in Worten von H0 bit übertragen.
Die Auswahl eines Symbols lässt sich dabei als Zufallsexperiment auffassen, bei dem jedes elementare
Ereignis Ai der Auswahl genau einer Nachricht entspricht. Der Informationsgehalt I(Ai ) einer Nachricht ist dabei umso größer, je geringer die Auftrittswahrscheinlichkeit p(Ai ) des Auswahlereignisses
ist.
1
I(Ai ) = ld
= −ld(pi )
, pi = p(Ai )
(2)
pi
Der mittlere Informationsgehalt wird Entropie genannt und gibt die Anzahl an Bits an, die zur
Darstellung der Symbole (im Mittel) mindestens benötigt werden:
H=
N
X
i=1
p i Ii = −
N
X
pi ld(pi )
,
Ii = I(Ai ) .
(3)
i=1
Die Entropie H ist gleichzeitig ein Maß dafür, wie gleichmäßig die Auftrittswahrscheinlichkeiten
verteilt sind. Bei einer Gleichverteilung (d.h. alle Symbole haben die gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit) wird die Entropie maximal und erreicht dabei den Wert des Entscheidungsgehaltes H0 . Sind
die Symbolwahrscheinlichkeiten nicht gleichverteilt, besitzt die Quelle Redundanz. Diese Redundanz
kann durch eine geschickte Codierung reduziert werden.
Häufig liefert die Quelle nicht ein einzelnes Symbol sondern viele aufeinanderfolgende Symbole. Dies
ist z.B. dann der Fall, wenn die quantisierten Abtastwerte eines Signals übertragen werden. Die Symbole der Nachrichtenquelle entsprechen dann den Quantisierungsniveaus des Quantisierers. In vielen
Fällen sind aufeinanderfolgende Symbole zudem statistisch abhängig.
Die Aufgabe des in Abschnitt 1.1 beschriebenen Senders ist die Reduktion der Redundanz unter
Berücksichtigung der Verteilung und Korrelation der Symbole. Der in Abschnitt 1.3 beschriebene
I4 - 2
Empfänger wandelt die so codierten Symbole wieder in die Quellensymbole um. Der diskrete Kanal, über den die Daten übertragen werden, ist dabei zu berücksichtigen. Er wird in Abschnitt 1.2
beschrieben.
1.1
Sender
Quelle
diskreter
Kanal
Sender
Quellen−
codierer
Empfänger
Senke
Kanal−
codierer
Abb. 2: Detailliertes Blockschaltbild des Senders
Die Aufgabe des Senders ist es, die Symbole der Quelle so zu codieren, dass sie sich mit einer
geringen Anzahl an Bits über den Kanal übertragen lassen und gegen Fehler bei der Übertragung
geschützt sind. Abbildung 2 zeigt die Funktionsblöcke des Senders. Im ersten Schritt wird dabei vom
Quellencodierer Redundanz entfernt (soweit vorhanden), um eine Datenkompression zu erzielen. Die
erzielte Kompression lässt sich dabei mit dem Kompressionsfaktor
ck =
unkomprimierte Datenmenge
komprimierte Datenmenge
(4)
angeben. Im zweiten Schritt wird vom Kanalcodierer wieder gezielt Redundanz hinzugefügt, um
die Daten gegen Übertragungsfehler zu schützen. Die Coderate cr läßt sich dabei angeben als das
Verhältnis von k Informationsbits zu n Übertragungsbits:
cr =
k
≤1
n
(5)
Quellencodierung
Die gemeinsame Codierung aufeinanderfolgender Symbole ist immer dann zweckmäßig, wenn diese
statistisch abhängig sind. Allerdings entsteht dabei eine große Zahl von Verbundsymbolen und eine
entsprechend umfangreiche Codetabelle. Damit der Quellencodierer die Symbole auf einfache Weise codieren kann, werden diese meist in einem vorherigen Schritt dekorreliert, d.h. die statistische
Abhängigkeit der Symbole wird minimiert. Der Quellencodierer kann dann auch bei Betrachtung
einzelner Symbole ein nahezu optimales Ergebnis erzielen. Sind aufeinanderfolgende Symbole “ähnlich” (dies ist der Fall bei einem Bild mit weichen Farbverläufen oder bei einem Audiosignal mit
Frequenzkomponenten weit unter der Abtastrate), kann durch eine Differenzbildung aufeinanderfolgender Symbole eine Dekorrelation erzielt werden. Dieser Effekt wird bei der Differential-Puls-CodeModulation (DPCM) genutzt.
Ein Quellencode, der ebenfalls die statistische Abhängigkeit aufeinanderfolgender Symbole ausnutzt, ist die Lauflängencodierung (engl. run-length encoding, kurz RLE). Statt die Symbole einzeln
I4 - 3
Quelle
Sender
diskreter
Kanal
Empfänger
Modulator
kontinuierl.
Kanal
Demodu−
lator
Senke
Abb. 3: Detailliertes Blockschaltbild des diskreten Kanals
zu codieren, werden dabei gleiche aufeinanderfolgende Symbole zusammengefasst. Die Symbolfolge
B-B-B-A-A-C-C-C-C wird dann als 3B-2A-4C codiert. Ältere Bildformate wie Microsofts Windows
Bitmap Format (BMP) oder das Tagged Image File Format (TIFF) verwenden u.a. dieses Verfahren.
Umfasst das Alphabet der Quelle lediglich zwei Symbole, folgen diese immer im Wechsel, so daß die
Angabe des Symbols entfallen kann. Die Symbolfolge B-B-B-A-A-B-B-B-B kann somit mit der Folge
0-3-2-4 codiert werden. Dieses Verfahren kommt z.B. beim Telefax zum Einsatz.
Einzelne Symbole wie auch Symbolfolgen werden durch Fano- und Huffman-Codes optimal codiert,
indem die Quellensymbole durch Codewörter mit variabler Länge ersetzt werden. Beide Codes sind
prefix-frei, d.h. kein Codewort ist der Beginn eines anderen. Für Symbole mit geringer Auftrittswahrscheinlichkeit werden dabei mehr Bits zur Darstellung verwendet als für solche mit hoher Auftrittswahrscheinlichkeit. Der Algorithmus zur Erstellung dieser Codes kann dem Skript zur Vorlesung
“Grundlagen der Informationstechnik I” entnommen werden.
Kanalcodierung
Aufgabe des Kanalcodes ist es, die Symbole gegen Übertragungsfehler zu schützen. Dies geschieht
durch gezieltes Hinzufügen von Redundanz. Diese kann genutzt werden, um Übertragungsfehler zu
beheben (Fehlerkorrektur) oder um lediglich festzustellen, ob welche aufgetreten sind (Fehlerdetektion). Ein sehr einfacher Kanalcode ist der Wiederholungscode, bei dem jedes Symbol mehrfach übertragen wird. Die Decodierung geschieht mit Hilfe einer Mehrheitsentscheidung. Pro Symbol müssen
also mindestens zwei Symbole hinzugefügt werden, um eine Mehrheitsentscheidung treffen zu können.
Dieser Code ist damit nicht sehr effizient und findet daher kaum Anwendung.
Möchte man einen Fehler lediglich detektieren können, so läßt sich dies durch Bits (nicht ganze
Symbole!) zu einem Block zusammengefasst und ein Prüfbit angehängt. Je nach System ergänzt
das Prüfbit die Quersumme des Blocks stets zu einer geraden Summe (“gerade Parität”) oder einer
ungeraden (“ungerade Parität”). Dieses Verfahren wird z.B. verwendet, um die Datenübertragung
zwischen Computer und Modem über die serielle Schnittstelle gegen Fehler zu schützen.
Weitaus leistungsfähiger sind Codes, die auf algebraischen Konstruktionsprinzipien beruhen. Ein einfacher Vertreter ist der Hamming-Code, der ebenfalls den Bitstrom in Blöcke fester Länge unterteilt
und eine feste Anzahl an Kontrollbits hinzufügt. Er gehört somit zur Familie der Blockcodes und ist
in der Lage, einen Bitfehler im Datenblock zu korrigieren. Hamming-Codes werden u.a. zur Fehlerkorrektur bei Speicherriegeln (DRAM mit ECC) verwendet.
Interleaver
I4 - 4
Bei gedächnisbehafteten Kanälen treten Fehler oft nicht als einzelne Bitfehler sondern als Büschelfehler auf (engl.: burst error). Dabei sind mehrere aufeinanderfolgende Bits von einem Fehler betroffen.
Die Folge ist, dass Kanalcodes, die für Einzelfehler optimiert wurden, selbst bei geringen Bitfehlerraten Fehler nicht mehr korrigieren können. Um dies zu verhindern, wird ein sogenannter Interleaver
verwendet, der die Übertragungsreihenfolge der codierten Bits vor der Übertragung ändert. Auf
Empfängerseite wird dann durch die inverse Operation die ursprüngliche Reihenfolge wiederhergestellt. Bei der Übertragung auftretende Büschelfehler werden somit aufgebrochen und gleichmäßiger
über die Codeworte verteilt.
1.2
Diskreter Kanal
Um Symbole über einen kontinuierlichen Kanal (wie z.B. einem Funkkanal) zu übertragen, müssen
sie moduliert werden. Unter Modulation versteht man dabei die Wandlung des digitalen Symbols in
ein analoges Zeitsignal, das geeignet ist, um über den kontinuierlichen Kanal übertragen zu werden.
Der Demodulator wandelt das empfangene Signal schließlich wieder zurück in digitale Symbole.
Diese Elemente der physikalischen Schicht lassen sich als diskreter Kanal der Informationsschicht
zusammenfassen (s. Abb. 3).
1.3
Empfänger
Der Empfänger führt die zum Sender inversen Transformationsschritte1 in umgekehrter Reihenfolge
aus:
• Kanaldecodierung
• Quellendecodierung
Abbildung 4 zeigt die einzelnen Funktionsblöcke des Empfängers. Je nach verwendetem Code können
Bitfehler vom Kanaldecodierer korrigiert oder detektiert werden. Im zweiten Fall kann dies vom
Quellendecodierer genutzt werden, um fehlerhafte Symbole gesondert zu behandeln (z.B. sie durch
interpolierte Werte ersetzen wie es u.a. beim CD-Player der Fall ist).
Quelle
Sender
diskreter
Kanal
Empfänger
Kanal−
decodierer
Senke
Quellen−
decodierer
Abb. 4: Detailliertes Blockschaltbild des Empfängers
1
Der Deinterleaver wird hier als Teil des Kanaldecodierers und der Korrelator als Teil des Quellendecoders angesehen.
I4 - 5
2
Erläuterung der Software
Für diesen Versuch wird eine speziell für das Praktikum entwickelte Software verwendet, die in diesem
Abschnitt kurz beschrieben wird. Abbildung 5 zeigt ein Screenshot des Programms, das folgende
Komponenten enthält:
1. Navigationsbereich
2. Blockschaltbild
3. Binäre Anzeige für Eingangsdaten
4. Binäre Anzeige für Ausgangsdaten
5. Auswahl der Eingangsdaten
6. Auswahl der Ausgangsdaten
7. Originalbild (Ausgang der Quelle)
8. Empfangenes Bild (Ausgang des Quellendecodierers)
9. Differenzbild
10. Eingabebereich
Im Navigationsbereich (1) sind in einer Baumstruktur die einzelnen Elemente der Übertragungskette angeordnet. Der Navigationsbaum lässt sich (wie bei einem gewöhnlichen Datei-Browser) durch
Anklicken der +/- Symbole expandieren bzw. zusammenfalten. Durch einen Klick mit der linken
Maustaste auf eines der Elemente werden im Eingabebereich (10) die zugehörigen Optionen eingeblendet. Alternativ kann auch der entsprechende Block im Blockschaltbild (2) und Reiter im Eingabebereich (10) durch Anklicken ausgewählt werden. Die binäre Anzeige für Eingangsdaten (3) und
binäre Anzeige für Ausgangsdaten (4) werden dabei automatisch auf den Eingang bzw. Ausgang
des selektierten Blocks gesetzt. Die binären Daten an einem anderen Punkt der Übertragungskette
können mit Hilfe der Auswahl der Eingangsdaten (5) und Auswahl der Ausgangsdaten (6) angezeigt
werden. Das Originalbild (7) zeigt das Bild, das von der Quelle stammt. Das empfangene Bild (8)
zeigt das Bild, das die Senke am Ausgang des Quellendecodierers erhält. Im Differenzbild (9) werden
durch Subtraktion des Quell- und Senkebildes Übertragungsfehler verdeutlicht. Durch Markieren einzelner Bildpunkte oder Bits in den binären Anzeigen kann die Position im Bild und im Datenstrom
bestimmt werden, an der ein Fehler aufgetreten ist.
Der Eingabebereich (10) enthält ein oder mehrere Reiter für die einzelnen Blöcke der Übertragungskette. In diesen werden die Einstellungen für die Versuche vorgenommen. Dazu gehören:
Quelle
Bildquelle
Statistik
Auswahl des Bildes
Entropie der Quelle
I4 - 6
Abb. 5: Bedienoberfläche der Software
Quellencodierung
Dekorrelation
Verteilung
Algorithmus
Codebaum
Statistik
PCM / DPCM
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Symbole
keine / Fano bzw. Huffman / RLE
Anzeige des Codebaumes
mittlere Codewortlänge / Kompressionsfaktor
Kanalcodierung
Codierung
Statistik
keine / Parity / Wiederholungscode / Hamming
Entropie der Quelle / Bit pro Codeblock /
mittlere Codewortlänge
I4 - 7
Kanal
Übertragungsfehler
Fehlerwahrsch. / mittlere Büschellänge /
unbekannter Kanal (für Versuch 4.4)
Kanaldecodierung
Statistik
Anzahl (nicht) korrekt erkannter/korrigierter Fehler
Quellendecodierung
Interpolation
3
nie / wenn Berichtigung nicht möglich / immer
Vorbereitende Aufgaben
Führen Sie eine Fano-Codierung für eine Nachrichtenquelle durch, die Symbole mit folgender Auftrittswahrscheinlichkeit sendet:
Ai
P (Ai )
Ai
P (Ai )
A0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
0,0576 0,0127 0,0098 0,0283 0,0273 0,0215 0,0322 0,0234
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
0,0342 0,0381 0,0391 0,0273 0,0293 0,0381 0,0977 0,4830
Geben Sie eine Codetabelle und den zugehörigen Entscheidungsbaum an. Schreiben Sie dabei an
jeden Zweig des Entscheidungsbaumes die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
Wichtig: Ohne die von Ihnen erstellte Codetabelle können Sie diesen Versuch nicht vollständig
durchführen!
4
Versuchsdurchführung
Zur Durchführung der einzelnen Versuche wird ausschließlich die in Abschnitt 2 beschriebene Software
benötigt.
4.1
Quellencodierung eines Binärbildes (s/w)
Versuche:
a) Wählen Sie als Quelle das Binärbild xeyes sw.bmp und bestimmen Sie die Entropie der Nachrichtenquelle.
b) Bestimmen Sie die Quellenredundanz rq für dieses Binärbild.
c) Wählen Sie die Lauflängencodierung als Quellencode und bestimmen Sie den Kompressionsfaktor (1..6 RLE Bits).
I4 - 8
Auswertung:
Stellen Sie die erzielten Kompressionsfaktoren für verschiedene Lauflängen graphisch dar. Vergleichen
Sie diese und erläutern Sie die Ursache für die Unterschiede.
4.2
Quellencodierung eines Halbtonbildes (16 Graustufen)
Versuche:
a) Wählen Sie als Quelle das Halbtonbild go 16.bmp und bestimmen Sie die Entropie der Nachrichtenquelle.
b) Wählen Sie die Lauflängencodierung als Quellencode und bestimmen Sie den Kompressionsfaktor (1..6 RLE Bits).
c) Wählen Sie die Fanocodierung und geben Sie die zuvor in Abschnitt 3 erzeugte Codetabelle
ein. Bestimmen Sie die mittlere Codewortlänge und den Kompressionsfaktor.
Auswertung:
Vergleichen Sie die erzielten Kompressionsfaktoren für verschiedene Lauflängen und Fanocodierung
und berechnen Sie für die Fanocodierung die Coderedundanz rc .
4.3
Kanalcodierung
Es soll nun der Einfluss von Bitfehlern bei der Übertragung untersucht werden. Wählen Sie dafür als
Quelle das Halbtonbild tux 16.bmp und verwenden Sie zunächst keine Quellencodierung.
Versuche:
Bestimmen Sie für alle Kombinationen von Fehlerschutz (Kanalcodierung), Fehlerwahrscheinlichkeit
(1%, 0,5% und 0,2%) und mittlerer Büschellänge (1,0 und 2,0) die Anzahl der
- nominellen Bitfehlern
- richtig detektierte Bitfehler
- falsch detektierte Bitfehler
- richtig korrigierte Bitfehler
- falsch korrigierte Bitfehler
und die sich ergebende Coderate.
Auswertung:
Beurteilen Sie die Leistungsfähigkeit der einzelnen Kanalcodes in Bezug auf Fehlerkorrektur/-detektion
und hinzugefügter Redundanz.
I4 - 9
4.4
Unbekannter Kanal
Es sollen nun Bilddaten (gimp 16.bmp) über einen unbekannten Kanal übertragen werden.
Versuche:
Wählen Sie eine geeignet Kombination aus Quellen- und Kanalcode, um die Anzahl an resultierenden
Restfehlern so gering wie möglich zu halten.
Auswertung:
Geben Sie eine Vermutung über die Besonderheit des unbekannten Kanals ab und erläutern Sie,
warum die von Ihnen gewählte Kombination in diesem Fall gut geeignet ist.
5
Literatur
Sklar, Bernhard: Digital Communications, Fundamentals and Applications, Prentice Hall, ISBN 0132119390
Proakis, G. John: Digital Communications, McGraw-Hill, ISBN 0071138145
Kammeyer, Karl-Dirk: Nachrichtenübertragung, Teubner Verlag, ISBN 3519161427
I4 - 10
RUHR-UNIVERSITÄT-BOCHUM
Dirk Meyer
Physikalisches Praktikum
für Studierende
der Elektrotechnik
Versuchsanleitungen
2. Auage 2007
KREISEL (A6)
2
Kreisel (A6)
Aufgaben:
1.
Justierung des Kreisels.
2.
Bestimmung des Trägheitsmomentes des Kreisels aus Pendelschwingungen.
3.
Bestimmung des Trägheitsmomentes des Kreisels durch Anwendung des Energiesatzes.
4.
Zubehör:
Bestimmung des Trägheitsmomentes des Kreisels aus der Kreiselpräzession.
Kreisel in Aufhängung, Elektronische Stoppuhr, Gewichtsstücke: 100 g, 200 g,
500 g, 1 kg, 2 kg, anklemmbare Zusatzmasse für Kreisel, Maÿstab 1 m, Schnur
ca. 1,2 m.
Tipps und Fragen zur Vorbereitung:
1.
Wodurch lässt sich ein Kreisel charakterisieren?
2.
Weshalb benutzt man Kreisel in der Navigation?
3.
Welche physikalischen Gröÿen spielen bei der Rotationsenergie eine Rolle?
4.
Erklären Sie die Begrie Nutation und Präzession am Beispiel der Erde im Gravitationsfeld der
Sonne!
Abbildung 1
Der Kreisel
Zu Aufgabe 1:
Der unbelastete Kreisel wird in Rotation versetzt und bei gelöster Feststellschraube so lange auf der
Achse verschoben, bis keine Präzession mehr auftritt. Dann wird die Feststellschraube angezogen.
Zu Aufgabe 2:
Durch Drehen des Kreisels bei eingeschaltetem Umdrehungszähler wird die Stelle gesucht, bei der der
Schwingungszähler weitergeschaltet wird und die Zusatzmasse auf der Felge so befestigt, dass sie sich
lotrecht unter der Drehachse des Kreisels bendet. Überzeugen Sie sich, dass der Zähler bei Pendelschwingungen die Zahl der Schwingungen richtig registriert. Durch Messung der Schwingungsdauer der
Pendelschwingung lässt sich das Trägheitsmoment des Kreisels
s
T =2·π·
J
mit Hilfe der Beziehung
J + m · a2
m·g·a
(1)
berechnen (für die Herleitung s. z.B. Gerthsen-Kneser-Vogel). Führen Sie fünf Messungen durch und
berechnen Sie die Messunsicherheit mit Hilfe des Gauÿschen Fehlerfortpanzungsgesetzes.
Abbildung 2
zu Aufgabe 2
Abbildung 3
zu Aufgabe 3
KREISEL (A6)
3
Zu Aufgabe 3:
m in Bewegung versetzt;
h. Dabei wird die potentielle Energie Epot = m·g ·h in kinetische Energie der Bewegung
1
2
des Massenstückes Ekin = ·J ·ω verwandelt, was praktisch ist, da man so mit einer einfachen Methode
2
die Energie vorgeben kann (Es gilt v = R · ω ).
Der ruhende Kreisel wird durch Abrollen einer Schnur mit anhängender Masse
die Fallhöhe ist
Man erhält (herleiten!):
2·g·h
g · h · T2
J
=
= R2 +
ω2
2 · π2
m
(2)
(Welcher Einuss blieb bei der Herleitung unberücksichtigt? Wie kann der dadurch entstehende Fehler experimentell beseitigt werden?) Benutzen Sie
h
= 1 m,
R
= 0,025 m und
m
= 0,2 kg, 0,5 kg,
1,0 kg, 2,0 kg und messen Sie elektronisch jeweils dreimal die Zeit für fünf Umdrehungen
(5 · T )
des
Kreisels. Um den Einuss der Lagerreibung möglichst gering zu halten, messen Sie die Zeit für fünf
Umdrehungen jeweils zweimal hintereinander (mit möglichst kleiner Pause zwischen den Messungen!)
und bestimmen durch Extrapolation die Umdrehungszeit
den Fuÿboden. Tragen Sie
g
· h · T02 /(2 · π 2 ) gegen
1/m
T0
direkt nach Aufsetzen des Gewichtes auf
auf und bestimmen Sie
Ausgleichsgeraden durch die Messpunkte. Vergleichen Sie das Ergebnis für
J
J
aus der Steigung der
mit dem Resultat von
Aufgabe 2.
Zu Aufgabe 4:
Am rotierenden Kreisel (anwerfen durch Abrollen der Schnur per
Hand) werden durch einseitiges Belasten mit verschiedenen Gewichtsstücken (100 g, 200 g, 300 g, 400 g) verschiedene Drehmomente senkrecht zur Kreiselachse erzeugt. Man erhält eine ruhige Präzessionsbewegung, wenn man anfänglich den Kreisel mit der Hand
führt. Messen Sie die Präzessionsperiode und die Umdrehungszahl
des Kreisels elektronisch dreimal für jede Masse, indem Sie die Zeit
für eine Präzessionsumdrehung und die während dieser Zeit vom
Kreisel verrichteten Umdrehungen registrieren. Es gilt (bitte für
das ausführliche Protokoll herleiten!):
ωP rz =
m·g·l
,
J · ωKreisel
(3)
m die Masse des die Präzession erzeugenden Massenstückes und l der Zeichnung zu entnehmen
ω = 2 · π/T . (Wie wirkt sich die Reibung auf die Messung aus?) Bestimmen Sie wiederum J aus der
wobei
ist;
entsprechenden Ausgleichsgeraden und vergleichen Sie das Ergebnis mit den Resultaten von Aufgabe
2 und 3.
Hinweise zur Auswertung:
Für Aufgabe 3 und 4 gebe man die Messunsicherheit für das bestimmte Trägheitsmoment durch Variation der Ausgleichsgeraden an. Diskutieren Sie zum Schluss die Ergebnisse und bewerten Sie die drei
Messmethoden.
Stichworte
Drehimpuls, Drehmoment, Energie der Drehbewegungen, Typen von Kreiseln, Nutation
und Präzession, Drehschwingungen
Literatur:
Gerthsen-Kneser-Vogel, Physik
Bergmann-Schäfer I/Mechanik
Walcher, Praktikum der Physik
BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14)
4
Beugung am Spalt, Doppelspalt und Gitter (C14)
Aufgaben:
1.
Vervollständigung der Abb. 1 durch Einzeichnen des Strahlengangs.
2.
Justierung des Versuchsaufbaus.
3.
Ausmessung der Beugungsgur eines Einzelspalts und Bestimmung der Spaltbreite
4.
D.
Herstellung einer Skizze der Beugungsgur eines Doppelspalts und Bestimmung
von
b/D.
5.
Ausmessung der Beugungsgur eines Gitters und Bestimmung von
6.
Messung der Spaltbreite
Spaltabstands
7.
Zubehör:
b
D
λ.
D
des Einzelspalts und der Spaltbreite
und des
des Doppelspalts mit Hilfe der Messlupe.
Diskussion der Ergebnisse aus Aufgabe 3, 4, 5 und 6.
Optische Bank, Na-Dampf-Lampe, (λ = 589,3 nm), Kondensor (fK = 200 mm), variabler Beleuchtungsspalt, Linse L1 (f1 = 150 mm), Diaträger als Haltevorrichtung für
Dias, Linse L2 (f2 = 150 mm), Fernrohr auf seitlich verschiebbarem Trieb, Messlupe,
Spiegel und Dias.
Abbildung 1
der Versuchsaufbau
Tipps und Fragen zur Vorbereitung:
1.
Versuchsaufbau
1.1
Welche Aufgabe hat der Kondensor? Wie muss der Kondensor relativ zur Na-Lampe und zum
Beleuchtungsspalt aufgestellt werden?
1.2
Der Abstand zwischen Beleuchtungsspalt und Linse
L1
soll gleich der Brennweite von
L1
sein. Dieser Abstand soll mittels Autokollimation bestimmt werden. Was versteht man unter
Autokollimation?
1.3
Was versteht man unter Fraunhoferscher Beobachtungsart?
L2 ?
1.4
Welche Aufgabe hat die Linse
1.5
Wird der Beleuchtungsspalt oder das Dia (bzw. Beugungsspalt, Doppelspalt oder Gitter) abgebildet?
BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14)
Abbildung 2
1.6
5
Versuchsaufbau (schematisch)
Wie man weiÿ, vergröÿert das in diesem Versuch benutzte Fernrohr den Sehwinkel. Muss man
diese Vergröÿerung bei diesem Versuch in Betracht ziehen?
2.
Intensitätsverteilung: Die Intensitätsverteilung wird durch den Ausdruck

 


2 π·D·sinϕ 
2 N ·π·b·sinϕ 



sin
sin
λ
λ
I
=
·
2


I0 
π·D·sinϕ

  sin2 π·b·sinϕ
λ
λ
beschrieben, wobei
λ
Beugungswinkel,
Spaltzahl und
b
D die Spaltbreite, ϕ der
die Wellenlänge, N die
der Spaltabstand ist. Die-
ser Ausdruck ist auf den ersten Blick sicher nicht einfach zu bewältigen, muss aber
zur Ausführung des Versuches verstanden
worden sein. Die erste Klammer liefert eine Funktion
F1 ,
die etwa folgenden Verlauf
hat (s. Abbildung 2):
Trägt man die zweite Klammer graphisch
auf, so erhält man folgenden Verlauf (s. Abbildung 3):
2.1
Welche Klammer beschreibt in dem Ausdruck für die Intensitätsverteilung die Beugung I. Klasse?
2.2
Abbildung 3
Kann ein Einzelspalt alleine (N = 1) eine
Beugung II. Klasse erzeugen?
2.3
Wie wird der Spaltabstand deniert?
2.4
Hat die Spaltzahl
2.5
Wie lautet die Gleichung, welche die Minima I. Klasse beschreibt, mit n = 1, 2, 3,
N
einen Einuss auf die Lage der Maxima?
...?
(Aus
Abb. 2 sofort erkennbar.)
2.6
Wie lautet die Gleichung, welche die Maxima II. Klasse beschreibt, mit n = 0, 1, 2, 3,
...?
(Aus Abb. 3 sofort ableitbar.)
2.7
Nehmen wir an: Sie teilen die beiden letzten abgeleiteten Gleichungen und erhalten
b/D
= 3.
Was bedeutet dieses Ergebnis?
2.8
Wie sie wissen, wird die erste Klammer im Ausdruck der Intensitätsverteilung mit der zweiten
multipliziert. Das bedeutet, dass die I. Klasse die II. Klasse moduliert. Machen Sie bitte eine
qualitative Skizze von
I/I0 ,
wenn
b/D
= 3 und
N
= 2 ist.
BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14)
6
Abbildung 5
Abbildung 4
Zu Aufgabe 2:
Sie müssen besonders auf folgende Punkte achten:
a) Der Aufbau, justiert, benötigt die ganze optische Bank. b) Gehen Sie in der Reihenfolge Ihrer
Antworten bei den Vorbereitungsaufgaben vor. c) Die optische Achse muss auch in der horizontalen
Ebene stimmen. d) Der Beleuchtungsspalt und die Beugungsspalte sollten möglichst parallel sein. e)
Die Schraube an der Seite des Fernrohrs dient zur Feineinstellung. Das Beugungsbild liegt nur dann
in der Fadenkreuzebene, wenn sich bei Bewegung des Auges keine Parallaxe bemerkbar macht. f ) Zur
Scharfeinstellung des Fadenkreuzes müssen Sie am Okular drehen.
Zu Aufgabe 3:
Bei der lateralen Bewegung des Fernrohrs müssen Sie darauf achten, dass der Trieb ein Spiel hat. Wie
muss man vorgehen, damit der Fehler möglichst gering ist? Nach dem Ausmessen der Maxima
I. Klasse müssen Sie aus diesen Messwerten und mit Hilfe der Abb. 2 den mittleren Wert der Spaltbreite
D
D
bestimmen. Es gibt mehrere Möglichkeiten. Überlegen Sie sich eine davon. Geben Sie den Wert von
zusammen mit der Standardabweichung an.
Zu Aufgabe 4:
Schauen Sie sich die verschiedenen Beugungsbilder verschiedener Doppelspalte an und skizzieren Sie
eines davon in qualitativer Weise. Bestimmen Sie bitte
b/D
dieses Doppelspalts allein aus der Beu-
gungsgur.
Zu Aufgabe 5:
Nach dem Ausmessen der Maximalstellen
von der Wellenlänge
λ
xn
der Beugungsgur eines Gitters sollen Sie den Wert
des Natriumlichtes errechnen. Bei Vorbereitungsfrage 2.6 erhielten Sie eine
Gleichung, die eine Proportionalität von
sinϕn
mit
sinϕn =
wobei
L2
xn
die Lage des n-ten Maximums,
ist. Wenn Sie
xn
x0
n enthält. Sie wissen auch, dass bei kleinen Winkeln
xn − x0
ist,
f2
die Lage des nullten Maximums und
f2
die Brennweite von
gegen n graphisch auf Millimeterpapier auftragen, erhalten Sie eine Gerade, aus
deren Steigung Sie den Mittelwert der Wellenlänge des gebeugten Natriumlichtes errechnen können.
(Das Gitter hat 100 Striche/cm.)
BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14)
7
Zu Aufgabe 6:
Schauen Sie sich mit Hilfe der Messlupe Einzelspalt und
Doppelspalt an. Sie beleuchten den Spalt von hinten, indem Sie das Deckenlicht mit Hilfe des Spiegels auf das Dia
Abbildung 6
werfen.
Anhang zur Versuchsanleitung zu Versuch C14: Ableitung der Intensitätsverteilung für
einen Einzel- und für einen Vielfachspalt
A. Einzelspalt
Die Feldstärke einer unmodulierten elektromagnetischen
Welle am Ort
~r
kann dargestellt werden als
~ r, t) =
E(~
~ r) = E(~
~ r)·e−i(ω·t−~k·~r) , wobei E(~
~ r) den Amplitudenfaktor
E(~
~
−i(ω·t−k·~
r) den Phasenfaktor darstellt.
und e
Nach dem Huygensschen Prinzip geht von jedem Punkt der
Spaltlinie
OB
eine Kugelwelle aus. Alle diese Kugelwellen
tragen zur Gesamtintensität im Aufpunkt P bei. Wir müssen also diese Einzelfeldstärken im Aufpunkt P bestimmen
und sie aufaddieren; die Gesamtintensität ergibt sich als
proportional zum Quadrat dieser Gesamtfeldstärke:
~ ∼{
I(R)
Abbildung 7
L
P
~ m (R,
~ t)}2 .
E
m=1
Für die Rechnung soll der Einfachheit halber angenommen werden:
a)
Alle bei P eintreenden Wellen sind gleich polarisiert, so dass
b)
Alle Wellen sind kohärent, d. h. alle
P~
P
Em durch Em ersetzt werden
kann.
ω
sind gleich;
ω·t
kann als gemeinsamer Faktor aller
Beiträge weggelassen werden.
c)
Der Aufpunkt P ist so weit vom Spalt entfernt, dass alle in P eintreenden Teilwellen parallel
~km
d)
|km | ist wegen der Kohärenz der Teilwellen ohnehin
~km = ~k gesetzt werden. Damit wird ~kkR
~ und ~k · R
~ = k · R.
Alle von der Linie OB ausgehenden Teilwellen haben dieselbe Anfangsphase, z. B. (ω·t−~
k·~r) = 0
e)
Alle Teilwellen haben bei P dieselbe Amplitude
sind, also alle
dieselbe Richtung haben;
gleich; somit kann
(Planwelle).
Die Wegstrecke der Teilwelle 1 von Linie
dann ist die vom m-ten Punkt
m · (s + R)
OB
~ = E0 .
Em (R)
0
zum Aufpunkt P sei
s + R;
(siehe Abb. 7).
So wird der Beitrag der m-ten Welle am Aufpunkt P:
~ = E 0 · ei[k·(R+m·s)]
Em (R)
0
= E00 · ei·k·R · ei·m·k·s
= E0 · ei·m·δ
(δ
=k·s
(1)
ist die Phasendierenz zwischen benachbarten Teilwellen und nicht zu verwechseln mit dem
geometrischen Winkel
ϕ!)
Die Gesamtfeldstärke im Aufpunkt P ist:
und die Intensität:
~ ={
I(R)
L
P
m=1
~ 2
Em (R)}
~ =
E(R)
P
~
Em (R)
BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14)
8
Addition der Feldstärkebeiträge in der komplexen Ebene (Zeigervektoren).
~ = a · ei·m·δ .
Em (R)
D ist, d. h. je gröÿer L ist, desto
L·δ
~
besser nähert sich die Aneinanderreihung der Em (R) einem Kreisbogen, dessen Sehne A = 2·r·sin
2
und Bogen L · a = r · L · δ = r · ϕ sind. Damit wird
Es sei
Je feiner die Unterteilung der Spaltbreite
L·a
A=2·
· sin
L·δ
A0 = L · a
und mit dem Maximalwert für A:
L·δ
2
=L·a·
sin
L·δ
2
L·δ
2
ergibt sich
sin L·δ
A
2
=
.
L·δ
A0
2
δ = k · s = 2·π
λ · s. Aus der Geometrie der Abb. 7 und Abb.
π·D
ϕ = L · δ . Daraus folgt die Beziehung: L·δ
2 = λ · sinϕ.
Es war oben angesetzt worden:
ablesen:
L · s = D · sinϕ
und
8 kann man
Die Winkelverteilung der auf die Maximalintensität normierten
A
A0
Beugungsintensität des Einzelspalts wird so:
2
=
sin2 π ·
D
λ
π·
D
λ
· sinϕ
2
· sinϕ
Gleichung (A)
B. Vielfachspalt
Es sollen nun
Linie
OC
N
solcher Einzelspalte im Abstand
b
auf der
aneinandergereiht werden.
Die Beugungsintensität im Aufpunkt P bzw. in der Richtung
ϕ ergibt sich ganz analog zum Fall A. als proportional
zum Quadrat der Summe der Zeigervektoren. Als einziger
Unterschied ist zu berücksichtigen, dass bei nicht sehr
groÿer Spaltzahl
N
die Aneinanderreihung der Zeigervek-
Abbildung 8
toren in der komplexen Ebene ein Polygonzug bleibt, der
nicht mehr durch einen Kreis angenähert werden kann.
Jeder Spalt n trägt im Aufpunkt P gemäÿ Gleichung (A)
zur Gesamtfeldstärke mit
An · e−i·n·∆
bei;
∆ = k·d
die Phasendierenz zwischen benachbarten Spalten,
ist
An
der Betrag der Feldstärke. In Abb. 8 ist die Aneinanderreihung
dieser
Zeigervektoren
in
der
komplexen
Ebene
veranschaulicht. Daraus kann man für die resultierende
Gesamtfeldstärke sofort ablesen:
B · e−i·
N ·∆
2
=
N
P
An · e−i·n·∆ .
1
Abbildung 9
Der Aufpunkt P soll wieder so weit entfernt sein, dass alle Amplituden
An
Der Betrag dieses Einzelbeitrags ist gemäÿ Abbildung 8:
A = 2 · ρ · sin ∆
2,
und der Betrag der Gesamtfeldstärke:
Durch Elimination von
ρ
folgt:
B=
B = 2 · ρ · sin N2·∆ .
A
N ·∆
· sin
.
∆
2
sin 2
gleich sind, also:
An = A.
BEUGUNG AM SPALT, DOPPELSPALT UND GITTER (C14)
Mit
d = b · sinϕ
9
aus Abbildung 8 wird
∆=k·d=
Schlieÿlich ergibt sich durch Einsetzen von
2·π
2·π
·d=
· b · sinϕ.
λ
λ
A aus Gleichung
(A) die Winkelverteilung der Beugungsintensität eines Vielfachspalts zu:
sin2 π · D
sin2 N · π · λb · sinϕ
B2
λ · sinϕ
=
2 ·
A20
sin2 π · λb · sinϕ
π·D
·
sinϕ
λ
wobei:
D:=
b:=
N :=
Breite der Einzelspalte
Abstand der Vielfachspalte
Anzahl der Vielfachspalte
Abbildung 10
Stichworte:
Brennweite,
Autokollimation,
verschiedene
Linsentypen,
Beugungsbedingung,
Young'scher Doppelspaltversuch, Kohärenz, Babinetsches Theorem
Literatur:
Walcher, Praktikum der Physik
Bergmann-Schäfer /Optik
Version vom 27. Februar 2012
Pohlscher Resonator (A9)
Aufgaben:
1.
2.
Messung der Dämpfungskonstanten und der Kennfrequenz.
Messung der Resonanzkurve und des Phasenverlaufs bei der erzwungenen Schwingung.
Pohlscher
Zubehör:
Resonator,
elektronische
Uhr
mit
Lichtschranke,
Gleichstrom-
Netzgerät, Ampèremeter, Blitzlampe.
Tipps und Fragen zur Vorbereitung:
1.
Was versteht man unter Resonanz?
2.
Suchen Sie bei Google nach dem Stichwort Resonanzkatastrophe! Geben Sie Beispiele an.
3.
Was versteht man unter der Dämpfungskonstanten?
4.
Wie funktioniert eine Wirbelstrombremse?
Abbildung 1
Versuchsaufbau
1 - Lichtschranke
2 - Kupferrad
3 - Feder
4 - Wirbelstrombremse
5 - Winkelskala
6 - Motoreinheit
7 - Ampèremeter
8 - Netzgerät
Zu Aufgabe 1:
Für die bei
Is
= 0 A; 0,2 A; 0,4 A und 0,6 A betriebene Wirbelstrombremse soll die jeweilige Dämp-
fungskonstante ermittelt werden. Bestimmen Sie dazu je nach Dämpfung aus mehreren freien Schwingungen die Amplitudenabnahme, messen Sie mit Hilfe der Uhr die Eigenfrequenzen des gedämpften
Pendels und berechnen Sie daraus
Ein Beispiel: Stellen Sie
Is = 0A
Λ
und
δ.
ein und lenken Sie den Resonator bis
A0 = 19
Skt (Skt steht für
Skalenteile) aus. Messen Sie die Amplituden nach 10, 20, 30, 40 und 50 Schwingungen. Danch Stellen
Sie den Strom an der Wirbelstrombremse auf
Is = 0, 2A.
Da das System nun gedämpft schwingt, wird
es keine 50 Schwingungen mehr vollführen können. Sie müssen also die Messvorgabe dementsprechend
anpassen und messen die Amplituden daher bei 5, 10, 15 Schwingungen usw. Verfahren Sie entsprechend für höhere Dämpfungen.
Überzeugen Sie sich abschlieÿend davon, dass
ω0 =
√
ω2 − δ2
konstant bleibt.
Zu Aufgabe 2:
Die Resonanzkurve und der Phasenverlauf bei der erzwungenen Schwingung sind für die Dämpfungsströme
Is
= 0,2 A und 0,4 A aufzunehmen. Bestimmen Sie für jeden Messpunkt die Frequenz des
Pendels, die für die Aufzeichnung der Messkurven benötigt wird.
Die Drehzahl der Antriebswelle wird über einen Exzenter mit Schubstange auf den Resonator übertragen. An der Antriebsachse ist ein Zeiger befestigt, dessen Stellung auf einer Winkelskala den Phasenwinkel angibt, wenn sich das Drehpendel im Nulldurchgang bendet. Beim Nulldurchgang des Drehpendels
wird deshalb von der Lichtschranke eine Blitzlampe zum Aufblitzen gebracht. Mit etwas Übung kann
◦
so der Phasenwinkel recht genau (auf 1 ) abgelesen werden.
Die Messungen müssen im stationären Zustand ausgeführt werden! Dies erreicht man am einfachsten,
wenn die Erhöhung der Drehzahl kleinschrittig geschieht. Messen Sie am Potentiometer von 3,00 Skt
bis 3,60 in Schritten von 0,10 Skt, zwischen 3,65 und 4,00 in Schritten von 0,05 Skt und von 4,00 bis
4,80 schlieÿlich in Schritten von 0,20 Skt. Der stationäre Zustand ist erreicht, wenn sich der Phasenwinkel nicht mehr verändert. Bei zu groÿen Änderungen der Drehzahl dauert der Einschwingvorgang
sehr lang.
Zu zeichnen sind die Amplitude A,
(A/Ares )2
und der Phasenwinkel
Diskutieren Sie die erhaltenen Kurven und bestimmen Sie
δ
φ
jeweils in Abhängigkeit von
ω.
aus der Halbwertsbreite der Lorentzkurve.
Etwaige Unterschiede zur Bestimmung nach Aufgabe 1 sollen erklärt werden. Treen Sie eine fundierte
Aussage über die Güte der Messungen (Vergleich der Fehlergröÿen).
Erläuterungen zur Lorentzkurve:
Bei kleiner Dämpfung
ω0 + ω = 2 · ω0
(δ 2 ω02 )
und in der Nähe der Resonanzstelle
(Kennfrequenz), wenn man die Variable
ω
(ω ≈ ω0 ) ergibt sich wegen
ω0 kürzt, für die Am-
gegen die Konstante
plitude:
A2
δ2
4 · δ 2 · ω02
=
≈
2
2
Ares2
(ω − ω0 )2 + δ 2
4 · ω0 · (ω − ω0 )2 + 4 · δ 2 · ω0
Das ist eine so genannte Lorentzkurve um
(1)
ω = ω0 . Ihre Halbwertsbreite lässt sich zu h = 2·δ errechnen.
Beachten Sie: In der Formel stehen die Quadrate der Amplituden!
Die Anpassung der Resonanzkurve durch die angegebene Lorentzkurve (1) erscheint jedoch etwas fragwürdig, da sie eine Symmetrie um die Resonanzstelle
ω0
aufweist. Geht man von der ursprünglichen
Gleichung
A2
4 · δ 2 · (ω02 − δ 2 )
≈ 2
Ares2
(ω − ω02 )2 + 4 · δ 2 ω 2
(2)
A2 /A2res bei ω 2 = ω02 − 2 · δ 2 maximal 1 wird, jedoch auf
p
ω2 = p
ω02 − 2 · δ 2 ± 2δ · ω02 − δ 2 . Der Abstand der Halbwertsstellen auf der ω 2 -Skala
4 · δ · ω02 − δ 2 . Man kann für die Lage der Halbwertsstellen auch schreiben:
q
ω 2 = ( ω02 − δ 2 ± δ)2 − 2 · δ 2
aus, so stellt man fest, dass
Wie man sieht, besteht zwischen den Halbwertsstellen auf der
(etwa wegen der Verschiebung von
Halbwertsbreite in
ω2
um
−2 · δ 2 ).
ω -Skala
1
2 abfällt für
beträgt also:
(3)
ein Abstand von etwa
Dieser Abstand ist die nun von
ω0
2·δ
unabhängige
ω.
Die Lorentzkurve (1) liefert zwar in etwa die Halbwertsbreite, zeigt aber nicht das Maximum bei
ω=
p
ω02 − 2 · δ 2
und gibt nicht die Asymmetrie der Flanken der Kurve wieder. Sie stellt also nur eine
sehr grobe Anpassung dar.
Will man eine günstige Anpassung erreichen, so kann man als Näherung für die Lage der Halbwertsstellen entweder
ω1,2
q
= ω02 − 2 · δ 2 ± δ
(4)
q
ω02 − 3 · δ 2 ± δ
(5)
oder
ω1,2 =
setzen. Bildet man das Quadrat von (4) bzw. (5), so ergibt sich
2
ω1,2
= ω02 − δ 2 ± 2 · δ ·
q
ω02 − 2 · δ 2
(4')
2
ω1,2
= ω02 − δ 2 ± 2 · δ ·
q
ω02 − 3 · δ 2
(5')
bzw.
Bei (4) wird die symmetrische Lage der Halbwertsstellen bzgl. des Maximums betont, während durch
(5) die Asymmetrie der Flanken berücksichtigt wird.
Auf diese Weise kann man jetzt mit (4) eine Näherung in Lorentzform angeben, die das Maximum der
Resonanzkurve festhält:
A2
δ2
p
≈
Ares2
(ω − ω02 − 2 · δ 2 )2 + δ 2
(4 )
Ein sehr gute Anpassung auch im Bereich der Flanken in Lorentzform ergibt sich mit (5):
A2
δ2
p
≈
Ares2
(ω − ω02 − 3 · δ 2 )2 + δ 2
(5 )
Will man die Anpassung noch weiter treiben, so wird man eine Integration der Abweichungsquadrate
ω1 , . . . . . . , ω2 durchführen und durch Minimalisierung des Integrals einen noch besse2
den Faktor vor δ in der Wurzel von (4) bzw. (5) gewinnen. Man erwartet einen Faktor
über den Bereich
ren Wert für
zwischen 2 und 3, der jedoch näher an 3 (etwa bei 2,8) liegt.
Literatur:
Walcher, Praktikum der Physik
Pohl, Mechanik, Akustik und Wärmelehre
Stichworte:
Bewegungsgleichungen und Kreisfrequenzen für freie ungedämpfte, freie gedämpfte
und erzwungene Schwingung; Aperiodischer Grenzfall; logarithmisches Dekrement;
Anfangsverhalten und stationärer Zustand der erzwungenen Schwingung; Resonanz
bzw. Amplitudenresonanz; Halbwertsbreite und Verschiebung des Maximums; Phasenverschiebung; Energieübertrag; Bestimmung der Dämpfungskonstanten aus verschiedenen Schwingungstypen
Bei Rückfragen:
Dr. D. Meyer
Leiter des Physikalischen Praktikums
Ruhr-Universität Bochum, NB 04/598
Tel.: (0234) 32-23198
Fax.: (0234) 32-14072
http://physik.rub.de/praktikum/indexp.html

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