Kapitel 2 Quellen und Senken als Feldursachen

Kapitel 2
Quellen und Senken als Feldursachen
Wir sprechen von Quellenfeldern und Wirbelfeldern. Beide unterscheiden sich
grundlegend voneinander. Wir wollen deswegen beide Feldarten getrennt besprechen, um deren Unterschiede deutlich herausarbeiten zu können. Zunächst
gehört unsere Aufmerksamkeit den Quellenfeldern.
2.1
Quellenfelder qualitativ
Freie elektrische (nicht aber magnetische!) Ladungen wie z.B. Elektronen und
Ionen, die im Raum einzeln, also diskret, oder auch kontinuierlich als makroskopische Raumladungsdichten vorkommen, sind Ursachen eines elektrischen
Quellenfeldes. Dabei sind diese Ladungen getrennt worden von der sie neutralisierenden elektrischen Gegenladung.
1. Beispiel
+
-
E
+
-
+
+
-
+
+
-
Von zwei einander benachbarten Körpern enthalte der eine einen Überschuss an positiver Ladung, der andere einen
Überschuss an negativer Ladung. Es entsteht ein Quellenfeld, das bei positiven Ladungen (Quellen) entspringt und
bei negativen Ladungen (Senken) endet.
Bild 2.1.1: Elektrisches Quellenfeld E zwischen zwei Körpern
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2015
G. Strassacker, R. Süße, Rotation, Divergenz und Gradient, DOI 10.1007/978-3-8348-2362-5_2
12
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
2. Beispiel: Eine Metallkugel, die einen Überschuss an positiven elektrischen
Ladungen trägt (Elektronen wurden abgezogen) und die, verglichen mit ihrem
Radius r0, weit von anderen Körpern entfernt ist, ist Anfang, Ausgangspunkt
oder Quelle für ein kugelsymmetrisches elektrisches Quellenfeld E:
+Q
E
Bild 2.1.2: Kugel mit positivem Ladungsüberschuss als Quelle
Definitionsgemäß, was allein historisch begründet ist, zeigt der elektrische Feldvektor von positiven zu negativen Ladungen hin und nicht umgekehrt. Eine
andere Kugel, mit nur negativem Ladungsüberschuss, ist daher Ende, Senke
oder negative Quelle eines kugelsymmetrischen Vektorfeldes E:
-Q
E
Bild 2.1.3: Kugel mit negativem Ladungsüberschuss als Senke eines Quellenfeldes
Positive elektrische Ladungen sind also Anfang oder Quellen, negative
elektrische Ladungen sind Ende oder Senken eines elektrischen Quellenfeldes. Von einem ”Senkenfeld” spricht man nicht. Eher bezeichnet man gelegentlich eine Senke (negative elektrische Ladung) als negative Quelle.
3. Beispiel: Ein komplizierterer Verlauf des elektrischen Feldes entsteht bei
den folgenden drei, einander benachbarten, elektrisch geladenen Kugeln.
Treten nicht nur drei, sondern n diskrete Quellen im Raum v auf, so sind sie alle
Ursache für das Entstehen eines entsprechend komplizierteren Quellenfeldes.
An Stellen, an denen keine elektrischen Ladungen vorkommen, ist zwar ein
elektrisches Feld vorhanden, aber es ist quellenfrei (der Raum zwischen den
2.1 Quellenfelder qualitativ
13
drei Kugeln). Das Feld kann von Ladungen, die an anderer Stelle sitzen, (bei
unserem Beispiel auf den Kugeln,) erzeugt werden.
E
- Q2
für -Q 2 > -Q3
+ Q1
- Q3
Bild 2.1.4: Quellenfeld bei drei geladenen Kugeln
Einige Quellen der Elektrotechnik
Einzelne (diskrete) positive und negative elektrische Ladungen qi sowie kontinuierliche Flächenladungsdichten σ und Raumladungsdichten η sind Quellen
des elektrischen Feldes. Es gibt jedoch keine damit vergleichbaren freien oder
abtrennbaren magnetischen Ladungen. Dennoch kennt man an Ferromagnetika
(nicht aber von B),
auch ohne ExisQuellen der magnetischen Feldstärke H
tenz magnetischer Einzelladungen oder Monopole. Ebenso gibt es Quellen der
(nicht aber von D)
an Dielektrika, auch ohne Vorelektrischen Feldstärke E
handensein freier elektrischer Ladungen, wie spätere Beispiele zeigen werden.
Solche Quellen findet man z.B. bei permanent polarisierter Materie an den
Stirnflächen von Permanentmagneten und Elektreten. Aber auch ohne permanente Polarisation, jedoch bewirkt durch ein äußeres Feld, gibt es Quellen, besonders an Stirnflächen von Dielektrika durch elastische Ladungsverschiebung
oder durch Ausrichtung von elektrischen Elementardipolen. Und es gibt Quellen, besonders an den Stirnflächen von Ferromagnetika, durch Ausrichtung von
Elementarmagneten. Bild 2.1.5 möge dies für ein nicht polarisiertes Dielektrikum, Bild 2.1.6 für ein Ferromagnetikum schematisch verdeutlichen:
14
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
Eine von außen eingeprägte, elektrische
bewirkt mehr oder weniFlussdichte D
ger starke elastische Ladungsverschiebungen im Dielektrikum, derart, dass
an der einen Stirnfläche die negativen,
an der anderen Stirnfläche die positiven
Ladungen überwiegen. So werden die
(Siehe
Stirnflächen zu Quellen für E.
auch Abschnitt 4.1.1)
D
D
Bild 2.1.5: Prinzip der elastischen Ladungsverschiebung im unpolarisierten Dielektrikum
B
S
N
S
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
S
N
B
N
Eine von außen eingeprägte, magneti bewirkt im Ferrosche Flussdichte B
magnetikum eine mehr oder weniger
starke Ausrichtung der Elementarmagnete derart, dass an der einen Stirnfläche die Nordpole, an der anderen
Stirnfläche die Südpole überwiegen. So
werden die Stirnflächen zu Quellen von
(Siehe Abschnitt 4.2.2)
H.
Bild 2.1.6: Prinzip der Ausrichtung von Elementarmagneten im Ferromagnetikum
2.2
2.2.1
Quellenfelder quantitativ
Ergiebigkeit oder Quellenstärke
Es wurde gezeigt,
dass für das Vektorfeld u ein Fluss durch das Flächeninte
gral φ =
u da definiert ist. Wir wählen jetzt als Fläche eine geschlossene
Hülle, eine Hüllfläche aH , die das endlich große Volumen v einschließt. An der
Oberfläche der Hülle soll ein Vektorfeld u vorhanden sein. Dieses kann durch
Ursachen, die innerhalb oder außerhalb der Hüllfläche liegen, verursacht sein.
Wir vereinbaren, wie allgemein üblich, dass der Normalenvektor n stets von
der Hüllfläche weg, nach außen zeigt; dann gilt diese Richtung n auch für das
Flächenelement auf der Oberfläche der Hülle
da = n da.
(2.2– 1)
2.2 Quellenfelder quantitativ
15
Alle Feldvektoren u, die von der Oberfläche der Hülle nach außen (innen) zeigen, liefern einen positiven (negativen) Beitrag zum Fluss. Nur für tangential
verlaufende Feldlinien: u⊥da ist u da = 0.
da
da
u
u * da = 0
u *da > 0
u * da = 0
u * da < 0
da
Bild 2.2.1: Flussanteile, die teilweise positiv, negativ oder Null sind
Den Wert des Hüllenintegrals bezeichnen wir als Hüllenfluss φH oder als Ergiebigkeit des eingeschlossenen Volumens v:
⎧
⎨ a) > 0
φH = u da =
b) < 0
(2.2– 2)
⎩
c) = 0
u
u
v
aH
da = n * da
Bild 2.2.2: Volumen mit möglicherweise Quellen und Senken innerhalb aH
Wir diskutieren die nach Bild 2.2.2 möglichen Ergebnisse.
Zu a) φH > 0: Im eingeschlossenen Volumen v befinden sich eine oder mehrere
Quellen, so dass mehr Feldlinien, Feldröhren
oder Feldvektoren aus der Hüllfläche austreten, als in sie hineinführen: u da > 0 bedeutet φH und daher
auch die Ergiebigkeit sind positiv.
16
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
Zu b) φH < 0: Die Hüllfläche schließt eine oder mehrere Senken,
vielleicht u.a.
auch Quellen ein, jedoch bleibt ein Überschuss der Senken: u da < 0. Es
führen also mehr Feldlinien, Feldröhren oder Feldvektoren in die Hülle hinein
als aus ihr heraus. Der Hüllenfluss φH und damit die Ergiebigkeit sind negativ.
Zu c) φH = 0: Der Wert des Hüllenintegrals und damit die Ergiebigkeit sind
Null. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:
c,1) Die Hüllfläche aH schließt Quellen und Senken von gleichem Betrag ein.
Die Ergiebigkeit ist Null. Beispiel mit diskreten elektrischen Ladungen:
n
i=1
|qi + | =
m
|qj − |
(2.2– 3)
j=1
c,2) In der Hüllfläche sind gar keine echten Quellen und Senken enthalten.
Daher müssen alle in die Hülle eintretenden Feldlinien, Feldröhren oder Feldvektoren (an anderer Stelle) auch wieder aus der Hülle austreten.
Beispiel Permanentmagnet: Nordpol und Südpol sind polarisierte Quelle
und Senke eines magnetischen Feldes, jedoch gibt es keine freien magnetischen
Ladungen als Quellen und Senken (siehe hierzu Abschnitt 2.2.3, Beispiel 1).
Umfasst die Hülle den ganzen Permanentmagneten, dann ist die Ergiebigkeit
gleich Null. Das Hüllenintegral
φH = u da = u n da
Hüllenintegral
(2.2– 4)
ist die allgemeingültige Rechenvorschrift zur Ermittlung der Ergiebigkeit, die
auch Quellenstärke genannt wird. Sie liefert stets den Überschuss zwischen
eingeschlossenen Quellen und Senken als integralen (zusammenfassenden, summierenden) Wert.
Beispiel zu positiver Ergiebigkeit
Eine Metallkugel vom Radius r0 sei durch Wegnehmen von Elektronen mit
einer Ladung +Q positiv geladen. Sie verteilt sich gleichmäßig auf der Kugeloberfläche mit der Ladungsdichte σ = Q/(4πr2). Für R ≥ r0 zeigen radial nach
= (+Q/(4πR2))er der elektrischen Flussdichte und der
außen: Der Vektor D
= D/
= (D/)er der elektrischen Feldstärke.
Vektor E
2.2 Quellenfelder quantitativ
17
R
ro
+Q
Bild 2.2.3: Radialsymmetrisches Feld um eine geladene Metallkugel
Legt man in Gedanken eine Hüllfläche um die Metallkugel und zwar zweckmäßigerweise eine konzentrische Hohlkugel mit dem Radius R > r0, dann ist die dort
zu berechnende Ergiebigkeit:
Q er
Q
Q
D da = da =
da er =
4πR2 = Q.
(2.2– 5)
2
2
4πR
4πR
4πR2
Die Ergiebigkeit oder Quellenstärke ist gleich der eingeschlossenen Ladung +Q.
Denn im Volumen mit den Radien r0 < r ≤ R kommen, was wir voraussetzen
wollen, keine weiteren elektrischen Ladungen vor.
2.2.2
Divergenz oder Quellendichte
Die Ergiebigkeit oder Quellenstärke, ist eine integrale Aussage. Man erfährt
durch sie, ob es in einem endlichen Volumen einen Überschuss der Quellen
über die Senken oder umgekehrt gibt und wie groß er ist. Aber an welchen
Orten innerhalb der Hüllfläche aH im Volumen v Quellen oder Senken sitzen,
ist zunächst unbekannt.
Vergleich: In einem Paket sei eine bestimmte Masse enthalten. Man spürt’s
am Gewicht. Dies ist eine integrale Feststellung, ähnlich der Ergiebigkeit. Wie
jedoch die Masse innerhalb des Paketes auf die Volumenelemente verteilt ist,
darüber sagt die Ergiebigkeit nichts aus. Man benötigt eine Rechenvorschrift
die einer Lupe vergleichbar ist. Sie muss differentieller Art sein und Aussagen
machen über die ”Masseverteilung”, elektrisch über Quellen und Senken in den
Volumenelementen. Das ist die Quellendichte.
Gedankenexperiment zur Herleitung der Quellendichte: Wir berechnen wie
im Abschnitt 2.2.1 die Ergiebigkeit mittels des Hüllenintegrals, wählen jedoch
18
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
unsere Hüllfläche kleiner und kleiner, bis sie schließlich nur noch ein Volumenelement umfasst. Mathematisch bedeutet dies, wir bilden einen Grenzwert. Dann
dividieren wir durch dieses winzige Volumen:
⎧
⎨ =Ergiebigkeit pro Volumenelement
1
limv→0 u da =Quellendichte des Vektors u
(2.2– 6)
⎩
v
=Divergenz u (= div u)
Soweit die Herleitung von div u, gesprochen: Divergenz u. Sie ist ein Skalar
und lautet als Rechenvorschrift, angewandt auf den Vektor u, in kartesischen
Koordinaten:
∂ux ∂uy ∂uz
+
+
;
u = ux ex + uy ey + uz ez .
(2.2– 7)
div u =
∂x
∂y
∂z
Für kartesische Koordinaten kann dieses Ergebnis auch mit dem symbolischen
Vektor Nabla ”∇” wie folgt angeschrieben werden:
div u ≡ ∇u
∂
∂
∂
ex + ey + ez (ux ex + uy ey + uz ez )
=
∂x
∂y
∂z
∂ux ∂uy ∂uz
+
+
=
∂x
∂y
∂z
(2.2– 8)
Der Ausdruck div u sollte in Zylinder- oder Kugelkoordinaten, der Fehlerquellen
wegen, nicht durch ∇u gebildet werden. Es ist besser, der Nichtmathematiker
schlägt die fertige Formel in den gewünschten Koordinaten im Anhang nach!
Erklärung der Divergenz in Worten
Die Divergenz oder Quellendichte eines Vektorfeldes u ist nichts anderes als
die Ergiebigkeit eines Volumenelementes bezogen darauf. Ist die Divergenz des
Vektorfeldes u ungleich Null, so gibt es Quellen oder Senken im betrachteten
Volumenelement dv. Differentiell betrachtet, ist div u gleich der Längsänderung
des Vektors u im kleinen; denn jede Komponente von u wird differenziert nach
derjenigen Variablen, in deren Richtung diese Komponente wirkt:
∂ux
∂uy
∂uz
,
aus uy wird
,
aus uz wird
aus ux wird
∂x
∂y
∂z
gebildet. Für diese Berechnung der Divergenz muss der funktionale Zusammenhang (also der Vektor u mit der Ortsabhängigkeit seiner Komponenten) gegeben
sein:
ux = f1(x, y, z);
uy = f2 (x, y, z);
uz = f3(x, y, z).
2.2 Quellenfelder quantitativ
19
Quellen oder Senken im Raum werden dann vorhanden sein, wenn sich ux in
x–Richtung und/oder uy in y-Richtung und/oder uz in z-Richtung ändern. Bei
dieser Aussage ist jedoch Vorsicht geboten; denn die Quellendichte kann auch
Null sein, wenn, z. B. in der Ebene (uz = 0), ux von x in der gleichen Weise
abhängt, wie −uy von y; dann nämlich gilt mit
∂uz
= 0;
∂z
∂ux
∂uy
=−
∂x
∂y
und
div u =
∂ux ∂uy
+
+ 0 = 0.
∂x
∂y
Solche Vektorfelder sind quellenfrei!
1. Einfachstes Beispiel für Quellenhaltigkeit
Gegeben sei ein linear polarisiertes Vektorfeld u (der Feldvektor u zeigt
dabei nur in eine Richtung) z.B.: u = ux ex . Seine Quellendichte ist von Null
verschieden, wenn gilt:
div u =
∂ux
= 0.
∂x
Die vorhandene ux –Komponente muss sich also in Richtung ±ex ändern, dann
ist dieses Feld ist in seinem Verlauf quellenhaltig.
Graphische Darstellung durch ein Vektorfeld:
u
ex
Bild 2.2.4: Linear polarisiertes Quellenfeld
2. Qualitatives Beispiel
dv
u
Bild 2.2.5: Quelle im Volumenelement dv
Das vorhandene Feldlinienbild wird
durch eine Quelle in dv verändert:
Zwei zusätzliche Feldlinien entspringen in dv. Dieses in dv neu entstehende Quellenfeld überlagert sich dem
äußeren Vektorfeld. Daraus folgt ein
Flussüberschuss, es gibt eine Quellendichte in dv.
20
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
3. Qualitatives Beispiel
u
dv
Eine Flüssigkeitsströmung sei gekennzeichnet durch den Vektor u der Strömungsgeschwindigkeit: u-Linien laufen
fast parallel zur äußeren Begrenzung.
Hierbei fließt ebensoviel Flüssigkeit in
jedes Volumenelement hinein wie wieder heraus: div u = 0. Es gibt keine
Quelle oder Senke in dv.
Bild 2.2.6: div u = 0
4. Qualitatives Beispiel
Ein Volumenelement dv enthält die einzige Quelle eines Vektorfeldes (z.B. eine
punktförmige Ladung). Ein zusätzliches
äußeres Feld ist nicht überlagert.
dv
Bild 2.2.7: Volumenelement als einzige Quelle
5. Beispiel
Gegeben ein Rohr, dessen Durchmesser sich verjüngt, mit Flüssigkeitsströmung
einer inkompressiblen Flüssigkeit:
aH
(2)
(1)
u
u (z2) > u (z1)
z1
z2
Bild 2.2.8: Quellenfreiheit in einem Rohr
Die dem Rohr einbeschriebene Hüllfläche sei dosenförmig. Sie ist als Rechteck mit den Deckelflächen (1) und (2) zu erkennen. Man sieht: Bei (1) ist die
Feldliniendichte geringer als bei (2) wegen der bei (1) geringeren Strömungsgeschwindigkeit u = v . Von (1) nach (2) hat sich demnach die Längskomponente
2.2 Quellenfelder quantitativ
21
uz = vz im Rohr vergrößert. Liegt eine Quellendichte vor? Die Antwort muss
lauten: Nein, es ist div u = div v = 0.
Erklärung
1) In die eingezeichnete zylindrische Hüllfläche aH strömt auch seitlich Flüssigkeit ein, so dass die insgesamt eintretende gleich ist mit der bei (2) insgesamt
austretenden Flüssigkeitsmenge, wie dies bei einer inkompressiblen Flüssigkeit
sein muss.
2) Bei einem Vergleich von |v | an der Stelle (1) mit (2) darf die Rechenvorschrift
div v nicht verwendet werden; denn div v ist eine differentielle Rechenvorschrift. Die Stellen (1) und (2) aber haben mehr als nur differentiellen Abstand
voneinander. Will man div v innerhalb des Rohres korrekt berechnen, so muss
div v z.B. in Zylinderkoordinaten gegeben sein und auf die einzelnen Volumenelemente angewandt werden. In Zylinderkoordinaten gilt (siehe Anhang):
div v =
1 ∂vα ∂vz
1 ∂
(r vr ) +
+
.
r ∂r
r ∂α
∂z
(2.2– 9)
∂vα/∂α ist beim kreisrunden Rohr gleich Null. Ohne zirkulierende Strömung ist
auch vα = 0. Da bei inkompressibler Flüssigkeitsströmung div v = 0 sein muss,
bleibt als Differentialgleichung zur Berechnung der Strömungsgeschwindigkeit:
0=
∂vz
1 ∂
(r vr ) +
.
r ∂r
∂z
(2.2– 10)
Die Lösung v(r, z) = {vr , vz } hängt von der vorzugebenden Geometrie ab, nach
der sich der Rohrquerschnitt verjüngt (= Randbedingung).
6. Beispiel
Wegen konstanter Raumladungsdichte η = ΔQ/Δv sei in der Umgebung ei =η =
ner langen, kreiszylindrischen Kathode, die in der z-Achse liegt: div D
selbst in diesem Raumteil. Die Einheit von div D
constx,y,z . Man berechne D
ist:
= 1 As = As .
[div D]
(2.2– 11)
m m2
m3
Dies aber ist die Einheit von räumlicher Ladungsdichte η.
Lösung: Bei kreiszylindrischen Körpern empfiehlt sich stets die Verwendung von
Zylinderkoordinaten:
= 1 ∂ (r Dr ) + 1 ∂Dα + ∂Dz .
div D
r ∂r
r ∂α
∂z
(2.2– 12)
22
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
Aus Symmetriegründen kann auch hier ∂Dα /∂α = 0 angenommen werden. Dα
selbst darf auch Null gesetzt werden, da kein Wirbelfeld vorliegt. Ferner sei
∂Dz /∂z = 0 und Dz = 0, da wir bei der unendlich lang ausgedehnten Kathode in Richtung ez keine Ladungs– und daher auch keine Potentialunterschiede
annehmen wollen.
Zu integrieren ist nun
= 1 ∂ (r Dr )
div D
r ∂r
also
η = const =
mit
= η = const,
div D
(2.2– 13)
1∂
(r Dr ),
r ∂r
r Dr = η
r dr + const.
(2.2– 14)
Nimmt man an, dass die Raumladungsdichte η zwischen r0 und r1 vorhanden
sei, so erhält man durch die Integration im Bereich r0 ≤ r ≤ r1 die Lösung:
Dr (r) =
2.2.3
r2
η
(r − 0 )
2
r
(2.2– 15)
Der Satz von Gauß
Die Quellendichte oder Divergenz div u ist nach Definition und Herleitung: Ergiebigkeit des Volumenelementes bezogen darauf. Multipliziert man diese Ergiebigkeit p r o Volumenelement mit dem Volumenelement dv und summiert
(integriert) über alle Volumenelemente eines endlichen Volumens v, so erhält
man die Ergiebigkeit dieses Volumens:
Ergiebigkeit =
(Quellendichte von u) dv
(2.2– 16)
div u dv.
(2.2– 17)
=
Andererseits haben wir die Ergiebigkeit mit dem Hüllintegral über eine geschlossene Hüllfläche direkt aus dem Vektorfeld u berechnet zu:
Ergiebigkeit = u da.
(2.2– 18)
2.2 Quellenfelder quantitativ
Beide Rechenvorschriften sind also gleichwertig, so dass gilt:
div u dv = u da
Satz von Gauß
23
(2.2– 19)
In Worten: Anstatt die Quellendichte div u über alle Volumenelemente des Volumens v zu summieren (integrieren), kann man zur Berechnung der Ergiebigkeit
eine Hüllfläche aH um das zu untersuchende Volumen v legen und berechnen,
ob es einen Überschuss gibt zwischen dem in die Hülle eintretenden und dem
daraus austretenden Fluss.
Die im Gauß’schen Satz zur Berechnung der Ergiebigkeit vorkommende Hüllfläche aH und das Volumen v hängen aufs engste miteinander zusammen: aH
ist die Hülle um das von ihr umfasste Volumen v. Berechnet man die Ergiebigkeit mit dem Hüllenintegral, so ist nur ein Zweifachintegral, rechnet man
bei gegebener Divergenz mit dem Volumenintegral, so ist ein Dreifachintegral
auszuwerten!
Hinweis zu Randbedingungen: In der Praxis sind die geometrischen Gegebenheiten (Randbedingungen) oft kompliziert. Man versucht deswegen, reale Körper auf möglichst einfache Geometrien, wie Kugel, Zylinder, Quader oder auf
deren Hohlkörper zurückzuführen.
Manchmal liegt die einfache Geometrie schon vor:
Kugel mit Ladung: Hüllfläche = Kugel
Koaxialkabel: Hüllfläche = kreisförmiger (Hohl–)zylinder
stromführender Draht: Hüllfläche = Kreiszylinder
Der Vorteil von Kugel und Kreiszylinder besteht darin,
1) dass deren Felder in der Regel winkelunabhängig sind, d.h. der Vektor u hat
einen konstanten Betrag für r = const,
2) dass der Vektor u und das Oberflächenelement da = n da gleichsinnig oder
gegensinnig parallel zueinander verlaufen. Bei gleichsinnig parallelem Verlauf
gilt: u ↑↑ da : u da = u er da er = u da,
3) dass für kreiszylindrische Körper Zylinderkoordinaten, für kugelförmige
Körper Kugelkoordinaten rechentechnisch vorteilhaft verwendbar sind.
1. Beispiel zum Satz von Gauß
Nach der makroskopischen Maxwelltheorie gibt es keine wahren magnetischen
Einzelladungen. Man kann dies wie folgt plausibel machen: Wir stellen uns
24
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
vor, wir hätten einen Stabmagneten zerbrochen, um den Nordpol als magnetische Einzelladung vom Südpol als magnetische Gegenladung zu trennen. Nach
der Teilung jedoch haben wir zwei neue komplette Permanentmagnete, von denen jeder wiederum Nordpol und Südpol enthält. Teilt man diese Bruchstücke
erneut und immer wieder, so gelingt es doch niemals, einen Nordpol oder
einen Südpol allein zu isolieren. Es entstehen zwar immer kleinere, jedoch stets
vollständige Teilmagnete mit jeweils dem Polpaar Nordpol–Südpol. Man hat
daher für die magnetische Flussdichte allgemeingültig anzuschreiben:
= 0.
div B
(2.2– 20)
N
S
N
S
Bild 2.2.9: Teilung eines Stabmagneten
Kein Volumenelement dv liefert isolierte magnetische Einzelladungen als Quel Daher ist nach dem Satz von Gauß:
len oder Senken für B.
dv = B
da = 0.
div
B
(2.2– 21)
=0
=0
= 0 muss auch die Ergiebigkeit des Volumens v, also auch das
Wegen div B
Hüllenintegral (rechte Seite des Gauß’schen Satzes) gleich Null sein. Daraus
dass
folgt für jedes im Raum vorhandene Magnetfeld mit der Flussdichte B,
in ein vorgegebenes Volumen v mit der Hüllfläche aH ebensoviele B–Feldlinien
ein– wie austreten: Die Ergiebigkeit oder Quellenstärke ist stets Null.
Die Hüllfläche aH kann größer oder kleiner sein; in jedem Falle ist
da = 0.
B
aH
B
aH
B
Bild 2.2.10: Zur Quellenfreiheit von B
2.2 Quellenfelder quantitativ
25
2. Beispiel
Eine elektrisch geladene Kugel möge einer elektrisch neutralen, ebenen Metallwand gegenüberstehen. Durch Influenz entsteht in der Metallwand eine Ladungsverschiebung so, dass die von der Kugel ausgehenden Feldlinien an der
Metallwand ihre Gegenladung finden.
In diesem Feldverlauf, also zwischen Kugel und Metallwand (außerhalb der
beiden!) möge eine Hüllfläche aH eingebracht werden; dann ist die Ergiebigkeit
des von der Hüllfläche umfassten Volumens v, für r = const:
da = 0.
div D dv = D
(2.2– 22)
In Worten: Das von der Hüllfläche umschlossene Volumen v enthält keine Quel oder D
wie in
len oder Senken: Ebensoviele Feldlinien oder Feldröhren von E
die Hülle eintreten, treten auch wieder aus ihr aus. Elektrische Ladungen auf
der Kugeloberfläche und an der Metallwand sind zwar Quellen und Senken oder
Anfang und Ende des Feldes, in seinem Verlauf aber ist dieses (raumladungsfreie) Vektorfeld im homogenen Medium quellenfrei.
E,D
Metallwand
+Q
aH
Bild 2.2.11: Geladene Kugel vor einer Metallwand
3. Beispiel
Es möge wieder eine elektrische Raumladungsdichte η als räumliche Quellendichte eines elektrischen Feldes vorhanden sein:
= η(x, y, z).
div D
(2.2– 23)
Durch Integration erhält man daraus die in einem endlichen Volumen eingeschlossene Gesamtladung Q:
dv =
Q=
div D
η dv.
(2.2– 24)
26
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
Wendet man auf diese Gleichung den Satz von Gauß an:
da,
div D dv = D
(2.2– 25)
so braucht man, bei gegebenem D–Feld,
anstelle des Dreifach– nur ein Zweifach–
(Hüllen–)integral auszuführen.
Erweiterter Satz von Gauß
Gelegentlich können innerhalb eines von der Hüllfläche aH umfassten Volumens v sowohl Punktladungen qi als auch Flächenladungsdichten σ (Einheit:
As/m2) als auch Raumladungsdichten η (Einheit: As/m3 ) vorkommen (siehe
Bild 2.2.12).
da
Hüllfläche a
h
s
qi
da
Flußdichtelinien D
Bild 2.2.12: Punktladungen, Flächen– und Raumladungsdichten in v
Sie alle sind Quellen eines elektrischen Feldes und tragen gegebenenfalls zur Ergiebigkeit bei. Das Hüllenintegral des Gauß’schen Satzes, das die Ergiebigkeit
liefert, muss dafür wie folgt angeschrieben werden:
D da =
qi +
η dv +
Punkt–
Raum–
σ da
(2.2– 26)
Flächenladungen
Quellen eines elektrischen Feldes
2.2.4
Sprungdivergenz
Die Normalkomponente un eines Feldvektors u (z.B. der elektrischen Verschie ändert ihren Betrag sprunghaft (nicht stetig) an einer Trennbungsdichte D)
2.2 Quellenfelder quantitativ
27
fläche, wenn darauf Quellen von u flächenhaft dünn verteilt sind (z.B. elektrische
Ladungen mit der Flächenladungsdichte σ)
1
2
u2
u1n
P1 P2
x x
u1
n12
u1 : u1n genommen in P1
u2 : u2n genommen in P2
n12: Normalen–Einsvektor
u2n
y
x
Bild 2.2.13: Trennfläche mit flächenhaften Quellen
Ist bereits ein äußeres Vektorfeld mit der Feldstärke u1 und deren Normalkomponente u1n an der Trennfläche vorhanden, so kann u2n = u1n + σ sein. Dabei
ist σ diejenige Flächendichte der Quellen, die an der Trennfläche eine Zusatzfeldstärke erzeugt.
Würden wir zur Berechnung den für räumliche Felder bekannten Ausdruck für
Quellendichte oder Divergenz verwenden, so wäre gemäß Bild 2.2.13 zu bilden:
∂
∂
(2.2– 27)
ux =
un
∂x
∂x
falls, wie oben angedeutet, die Trennfläche in einer Ebene x = const liegt.
∂ux/∂x oder ∂un/∂x kann aber mathematisch nur ausgeführt werden, wenn
un(x) oder ux (x) als stetige Funktion vorliegt. Dies ist aber an Trennflächen
in aller Regel nicht der Fall. Daher führt div u, also ∂ux/∂x mathematisch zu
keinem Ergebnis. Es musste deswegen eine andere, passende Rechenvorschrift
(Formel) gefunden werden, mit welcher die sprunghafte Änderung von Normalkomponenten an Trennflächen berechnet werden kann. Die Mathematik liefert
uns dafür den Ausdruck der Sprungdivergenz mit folgender Formel:
div u =
Div u = n12 (u2 − u1)
= u2n − u1n.
Sprungdivergenz
(2.2– 28)
Diese Sprungdivergenz Div u (groß geschrieben, um Verwechslungen mit der
räumlichen div u zu vermeiden,) ist gleich der Differenz der Normalkomponenten des Vektors u (u1n auf der Seite 1, im Punkt 1, dicht neben der Trennfläche
und u2n auf der Seite 2, im Punkt 2, dicht neben der Trennfläche).
Man erkennt: Die Einheit oder Art der Sprungdivergenz Div u ist gleich der des
Vektors u selbst, während div u, die räumliche Quellendichte, die Einheit von
u dividiert durch die Einheit der Länge aufweist.
28
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
1. Beispiel zur Sprungdivergenz
1
2
n12
Bild 2.2.14: Trenn- oder Grenzfläche
(z.B. dünne Metallfolie) mit elektrischen Ladungen in beidseitig gleichartigem Dielektrikum. n12 ist der Normalen–Einsvektor.
D2
D1n
P1 P2
xx
D2n
D1
Die Trennfläche zwischen den Halbräumen 1 und 2 möge die elektrische Flächenladungsdichte σ = Q/a enthalten. Die ankommende elektrische Flussdichte sei
1 ; die auf der Seite 2 abgehende sei D
2 . Es möge gelten: D2n > D1n. Dann ist
D
die Quellendichte an der Trenn– oder Grenzfläche:
= D2n − D1n
Div D
= D1n + σ − D1n
= σ
(=Ladung pro Flächeneinheit)
(2.2– 29)
2. Beispiel zur Sprungdivergenz
+ Q1
D1r
+ Q2
Bild 2.2.15: Eine Massivkugel mit dem Radius r1 trage die
positive Ladung Q1 . Eine zweite, konzentrische Kugel mit
r1
dem Radius r2 , die aus sehr dünnem Blech besteht, trage die
r2
auch positive Ladung Q2 . Man berechne die Quellendichte,
also die Sprungdivergenz α) bei r = r1 und β) bei r = r2 .
D2r
=E
= 0. Denn gäbe es im
α) r = r1: Innerhalb der Massivkugel mit r1 ist D
= 0, so würde ein Strom fließen; dies aber wäre ein Widerspruch
Metall ein E
zur Elektrostatik. Bei r = r1 ist die Sprungdivergenz
= D1r − 0.
Div D
(2.2– 30)
Die Flächenladungsdichte σ ist gleich D1r :
D1r = σ =
Q1
.
4πr12
(2.2– 31)
1 existiert hier nur mit einer Normalkomponente:
D
1 = D1r er
D
(2.2– 32)
2.2 Quellenfelder quantitativ
29
β) r = r2: Wir betrachten je einen Punkt dicht innerhalb und dicht außerhalb
der äußeren Kugel; dicht innerhalb existiert Dir :
r = r2 − Δr :
Dir =
+Q1
4π(r2 − Δr)2
(2.2– 33)
Dagegen ist Dar , dicht außerhalb der äußeren Kugel, bei r = r2 + Δr:
Dar =
+Q1 + Q2
.
4π(r2 + Δr)2
(2.2– 34)
Somit folgt für r = r2, wenn Δr → 0 geht, als Differenz der Normalkomponenten:
= D2n − D1n = Dar − Dir
Div D
=
Q2
4πr2 2
Flächenladungsdichte bei r2
(2.2– 35)
3. Beispiel: Sprungdivergenz bei ladungsfreier Trennfläche
An einer ebenen Trennfläche mögen zwei Dielektrika mit unterschiedlichen Dielektrizitätszahlen r1 = r2 aneinanderstoßen. Die Trennfläche sei frei von elektrischen Ladungen.
Eine Hüllfläche aH , die von der Trennfläche zweigeteilt wird, liefert für die
die Ergiebigkeit Null, da nach Voraussetzung keine
elektrische Flussdichte D
Ladungen umfasst werden.
Seite 1
Seite 2
er1
E1n
E1t
er2 = er1
E2
P1 P2
x x
E1
E2n
n12
Hüllfläche aH
Bild 2.2.16: Sprungdivergenz bei ladungsfreier Trennfläche
E2t = E1t
30
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
An der Trennfläche ist daher auch die Sprungdivergenz der Verschiebungsdichte
Null:
= D2n − D1n = 0.
Div D
(2.2– 36)
Wegen D2n = D1n gilt aber für die Normalkomponenten der elektrischen
Feldstärke E:
r2 E2n = r1 E1n
oder
r1
E2n
=
.
E1n
r2
(2.2– 37)
Daher verändern sich die Normalkomponenten der elektrischen Feldstärke für
r2 = r1 sprunghaft an der Trennfläche. Diese ist eine Quelle für E:
= E2n − E1n = E2n 1 − r2 .
Div E
(2.2– 38)
r1
= 0. Dies
Man erkennt: Für r2 = r1 ist auch die Sprungdivergenz Div E
ist eine Folge der elektrischen Polarisation des Dielektrikums (siehe Abschnitt
4.1.1). Analoges gilt für das magnetische Feld.
Da es keine echten magnetischen Einzelladungen gibt, gilt im magnetischen
Feld an der Trennfläche zweier Medien mit unterschiedlicher Permeabilitäts
zahl μr1 = μr2 für die magnetische Flussdichte B:
=0
Div B
oder
μr1 H1n = μr2 H2n
Auch hier ist für μr1 = μr2 :
Quelle für H:
B1n = B2n
oder
und daher:
H2n
μr1
=
.
H1n
μr2
(2.2– 39)
(2.2– 40)
= 0 und damit die Trennfläche eine
Div H
= H2n − H1n = H2n 1 − μr2 ,
Div H
μr1
(2.2– 41)
als Folge der Magnetisierung (siehe Abschnitt 4.2.2).
2.2.5
Quellenfelder durch Gradientenbildung
Da wir gerade Quellenfelder behandeln, gehört auch die Möglichkeit ihrer mathematischen Ableitung aus einer übergeordneten Potentialfunktion hierher.
2.2 Quellenfelder quantitativ
31
Allerdings kann die mathematische Zulässigkeit erst im Abschnitt 3.6 bewiesen
werden. Dann nämlich sind die dazu notwendigen mathematischen Bedingungen
für Wirbelfreiheit von Quellenfeldern bekannt und können angewandt werden.
Hier jedoch beschränken wir uns auf die Feststellung, dass die Vektoren u eines
Quellenfeldes durch Gradientenbildung aus einem Skalarpotential ϕ(x, y, z) zu
gewinnen sind:
u = ±grad ϕ(x, y, z)
(2.2– 42)
ϕ(x, y, z) ist eine skalare Ortsfunktion. Sie wird als skalare Potentialfunktion oder kurz als Skalarpotential bezeichnet. Mit dem symbolischen Vektor
∇ (Nabla) kann man Gl.(2.2–42) für rechtwinklige Koordinaten auch wie folgt
anschreiben:
∂
∂
∂
ex + ey + ez
(2.2– 43)
u = ±∇ϕ
wobei
∇=
∂x
∂y
∂z
ist. Da in der Elektrotechnik aus historischen Gründen elektrische und magnetische Feldstärken stets vom höheren zum geringeren Potential hin gerichtet
sind, ist der Gradient mit einem Minuszeichen zu versehen. Dazu ein Beispiel
aus der Elektrostatik für die elektrische Feldstärke, also für deren Feldvektor
der sich aus einem Skalarpotential ϕ berechnen lässt:
E,
= −grad ϕ(x, y, z);
E
[ϕ] = V ;
=
[E]
V
.
m
(2.2– 44)
Ein durch Gradientenbildung gewonnenes Vektorfeld steht stets senkrecht auf
Linien oder Flächen ϕ(x, y, z) = const, also auf den Äquipotentiallinien oder
Äquipotentialflächen, was man leicht zeigen kann; denn das vollständige Differential dϕ lautet für die Ortsfunktion ϕ(x, y, z):
dϕ =
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy +
dz.
∂x
∂y
∂z
(2.2– 45)
Diese Gleichung ist aber als Innenprodukt der Vektoren ∇ϕ und ds zu verstehen:
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
ex +
ey +
ez · (dx ex + dy ey + dz ez )
∇ϕ ds =
∂x
∂y
∂z
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy +
dz,
(2.2– 46)
=
∂x
∂y
∂z
also
dϕ = grad ϕ ds
(2.2– 47)
32
Kapitel 2. Quellen und Senken als Feldursachen
j1
j2
j3
ds
grad j
j4
Bild 2.2.17: Äquipotentiallinien und Gradientenvektor
Legt man bewusst ein Linienelement ds so, dass es mit der Tangente an eine
Äquipotentiallinie zusammenfällt, z.B. wie im Bild 2.2.17 mit ϕ3 = const, so
muss das zugehörige dϕ gleich Null sein; denn innerhalb einer Äquipotentiallinie
bleibt ϕ definitionsgemäß stets konstant. dϕ = 0 eingesetzt in Gl.(2.2–47):
0 = grad ϕ ds
(2.2– 48)
bedeutet, dass die beiden Vektoren grad ϕ und ds senkrecht aufeinander stehen!
Da aber ds in eine Äquipotentiallinie gelegt wurde, folgt weiter, dass grad ϕ
stets senkrecht auf Äquipotentiallinien und –flächen steht.
Wir wollen anschließend Wirbelfelder betrachten. Ohne Kenntnis der Theorie
ist kaum zu entscheiden, wann ein Wirbelfeld vorliegt und wann ein Quellenfeld.
Bild 2.2.18 möge dies verdeutlichen:
Bild 2.2.18a
Bild 2.2.18b
Handelt es sich bei den beiden gezeichneten Feldlinien um Quellen– oder um
Wirbelfeldlinien? Oder ist die eine Feldlinie einem Quellenfeld, die andere einem Wirbelfeld zuzuordnen? Die qualitativ korrekte Antwort muss, wenn man
sich auf die Entstehung der Felder bezieht, lauten: Falls die Feldlinie nach
Bild 2.2.18a Anfang und Ende hat, also bei Quellen beginnt und bei Senken
2.2 Quellenfelder quantitativ
33
endet, so ist sie eine Quellenfeldlinie. Falls sie jedoch nur teilweise gezeichnet
wurde und, vollständig gezeichnet, den im Bild 2.2.18b dargestellten Verlauf
hat, so handelt es sich um eine Wirbelfeldlinie. Im einen Falle wird weiter zu
untersuchen sein, ob es sich um ein quellenhaltiges Quellenfeld oder um ein
quellenfreies Quellenfeld handelt. Im zweiten Fall ist zu untersuchen, ob ein
wirbelhaftes oder ob ein wirbelfreies Wirbelfeld vorliegt.
Falls man sich jedoch nicht auf die Entstehung eines Feldes bezieht, sondern
nur auf dessen örtliche Eigenschaften im kleinen oder auch in endlichen Bereichen, so sollte man nur von einem Vektorfeld sprechen, das quellenfrei oder
quellenhaltig, wirbelfrei oder wirbelhaltig ist. Allerdings werden dann gewisse
(nicht alle) Vektorfelder, die von Quellen bzw. von Wirbeln erzeugt wurden, als
gleichartig eingestuft.
Beispiel: Das magnetische H–Feld
außerhalb eines stromführenden Leiters ist
ebenso wie das elektrische E–Feld innerhalb des homogenen Dielektrikums eines
Kondensators quellen– und wirbelfrei.
http://www.springer.com/978-3-8351-0239-2