Diskrete Mathematik

Diskrete Mathematik
Mitschrift nach der VO von Ao.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Eranda Dragoti-Cela
Korrekturen bitte an Stefan Lendl <[email protected]>
SS 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Graphentheorie
1.1 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bäume und Wälder . . . . . . . . . . . . .
1.3 Isomorphie in Graphen . . . . . . . . . . .
1.4 Anzahl nicht isomorpher Graphen . . . .
1.5 Wurzelbäume und normale Bäume . . . .
1.6 Charakterisierung von bipartiten Graphen
1.7 Eulersche Graphen . . . . . . . . . . . . .
1.8 Hamiltonsche Graphen . . . . . . . . . . .
1.9 Planare Graphen . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Färbungsprobleme in Graphen . . . . . .
1.10.1 Knotenfärbung . . . . . . . . . . .
1.11 Matchings in Graphen . . . . . . . . . . .
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10
10
11
12
14
14
17
2 Kombinatorik
2.1 Ziehen von Elementen aus einer Menge . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kombinatorische Beweisprinzipien . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Schubfachprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Prinzip der Inklusion-Exklusion . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Die Bonferroni Ungleichunge . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Nochmals Binomialkoeffizienten und Multinomialkoeffizienten
2.3.1 Vandemonde’sche Identität . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Multinomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Näherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Näherung der Harmonischen Zahl . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Näherung der Fakultät . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Näherung der Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . .
2.5 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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32
3 Erzeugende Funktionen
3.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Rechenregeln mit Folgen und deren erzeugenden Funktionen .
3.3 Fibonacci-Folgen und der goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Lineare Rekursionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Binäre Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Würfeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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47
4 Geordnete Mengen und Verbände
4.1 Satz von Dilworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
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1
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1
Graphentheorie
(J. Matoušek und J. Nešetřil, Diskrete Mathematik: eine Entdeckungsreise, Springer, 2007)
1.1
Graphen
Abbildung 1: Beispiel eines Graphen
Definition. (Graph) Ein Graph G ist ein Paar G = (V, E), wobei V die Menge der Knoten ist
und E ⊆ V2 = {{x, y}|x ∈ V, y ∈ V, x 6= y} ist die Menge der Kanten. (Bei manchen Autoren
wird eine Schleife, d.h. Kante (x, x) erlaubt. Wir schließen Schleifen aus.)
Modellierungsbeispiel
1. Straßennetz eines Landes
Ortschaften ≡ Knoten
Direkte Verbindung von x und y durch eine Straße ≡ Kante {x, y}
2. Frequenzzuweisung im Mobilfunk
Basisstationen ≡ Knoten
Basisstationen x und y benötigen unterschiedliche Frequenzen ≡ Kante {x, y}
Färbungsproblem
Definition. (Vollständiger Graph) In einem vollständigen Graphen G = (V, E) (complete graph)
gilt E = V2 . Bezeichnung Kn vollst. Graph mit n Knoten.
Abbildung 2: Beispiel eines vollständigen Graphen
Definition. (Kreis) Ein Kreis (cycle) Cn besteht aus n Knoten die zyklisch miteinander verbunden
sind.
2
Abbildung 3: Beispiel eines Kreises
Definition. (Pfad) Ein Pfad (path) Pn besteht aus n + 1 Knoten und n Kanten, die aufeinanderfolgende Knoten verbinden.
Definition. (Hyperwürfel) Einen d-dimensionalen Hyperwürfel (d-dimensional hypercube) Qd
erhält man, indem als Knotenmenge die Menge der d-dim. 0-1-Vektoren gewählt wird und zwei
solche Knoten genau dann durch eine Kante verbunden werden, wenn die dazugehörigen Vektoren
sich an genau einer Stelle unterscheiden.
(a) Hyperwürfel der Dimension 3
(b) Hyperwürfel der Dimension 4
Abbildung 4: Hyperwürfel
Definition. (Bipartiter Graph) Ein bipartiter Graph G = (V, E) ist gegeben, wenn V = A ] B
und E ⊆ {{x, y}|x ∈ A, y ∈ B}. Falls E = {{x, y}|x ∈ A, y ∈ B} hat man einen vollständigen
bipartiten Graph K|A|,|B| .
Abbildung 5: Bipartiter Graph
Definition. (Nachbarschaft) Sei G = (V, E) ein Graph und v ∈ V . Die Nachbarschaft (neighborhood) von v in G ist ΓG (v) := {y ∈ V |{v, y} ∈ E}.
3
Definition. (Grad) Der Grad (degree) von v in G ist deg(v) = |Γ(v)|. G = (V, E) heißt k-regulär
(k-regular), wenn ∀v ∈ V : deg(v) = k.
P
Satz 1.1. Handschlagslemma Für jeden Graphen G = (V, E) gilt v∈V deg(v) = 2|E|.
Beweis. Jede Kante {v, u} wird links genau 2x gezählt, einmal beim deg(v) und dann beim deg(u).
Ebenfalls rechts wird jede Kante 2x gezählt.
Korollar. ∀Graphen G = (V, E) : # der Knoten mit ungeradem Grad ist gerade.
Beweis. Vg ⊆ V Menge jener Knoten v ∈ V mit deg(v) gerade.
Vu ⊆ V Menge jender Knoten v ∈ V mit deg(v) ungerade.
X
X
X
deg(v)
dev(v) +
2|E| =
deg(v) =
v∈V
⇒
X
v∈Vu
v∈Vg
deg(v) = 2|E| −
v∈Vu
X
deg(v) gerade
v∈Vg
Summe ungerader Zahlen nur Gerade wenn gerade Anzahl.
Definition. (Teilgraph) Ein Graph H = (V (H), E(H)) heißt Teilgraph eines Graphen G =
(V (G), E(G)), falls V (H) ⊆ V (G) und E(H) ⊆ E(G).
Falls E(H) = E(G) ∩ V (H)
gilt, dann nennt man H einen induzierten Teilgraphen von G und
2
bezeichnet H = G[V (H)].
Sei X ⊆ V :
G[X] = (X, {e ∈ E(G) : e ⊆ X})
(a) Graph G
(b) Graph H, Teilgraph von G
(c) Graph H1 , induzierter Teilgraph von G
Abbildung 6: Teilgraphen
Definition. (Zusammenhängender Graph) Ein Graph G = (V, E) heißt zusammenhängend (connected), wenn für jedes Paar von Knoten u, v ∈ V ein Pfad P in E existiert, das u und v verbindet.
Eine Zusammenhangskomponente von G ist ein induzierter Teilgraph H von G, der zusammenhängend ist, sodass jeder Teilgraph H1 von G mit V (H) ⊂ V (H1 ) nicht zusammenhängend
ist.
Für den obigen Graphen G sind Zusammenhangskomponenten H1 = ({v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }, E(H1 ))
und H2 = ({v6 , v7 , v8 }, {v6 ,v27 ,v8 } ).
Beobachtung: Die Menge V (G) der Knoten eines Graphen
G lässt sich in die Knotenmenge
U
seiner Zusammenhangskomponenten zerlegen V (G) = 1≤i≤k V (Hi ), wobei Hi , 1 ≤ i ≤ k, die
Zusammenhangskomponente von G sind V (Hi ) 1 ≤ i ≤ k, sind die Äquivalenzklassen folgender
Äquivalenzrelation in V (G):
∀u, v ∈ V (G) u steht in Relation zu v ⇐⇒ ∃ ein Pfad in G der u und v verbindet.
4
Definition. Ein Weg (Kantenzug, walk) der Länge l in einem Graphen G = (V, E) ist eine Folge
W = (v0 , v1 , . . . , vl ) von Knoten aus V , sodass zwei aufeinanderfolgende Knoten jeweils durch eine
Kante verbunden sind.
v0 , vl nennt man Endknoten des Weges. Einen Weg mit Endknoten u und v nennt man einen
u-v-Weg.
(Ein Weg kann Zyklen enthalten.)
Satz 1.2. Jeder Graph G = (V, E) enthält mindestens |V | − |E| viele Zusammenhangskomponenten.
Beweis. Induktion nach m = |E|
Induktionsbasis: m = 0
# Zusammenhangskomponenten |V | = |V | − 0 = |V | − |E|
Ind. Ann.: Wenn |E| = m, dann gilt # Zusammenhangskomponenten ≥ |V | − |E|.
Ind. Schritt: m → m + 1 D.h. es gibt eine neue Kante e ∈ E
Die Kante kann entweder zwei Zusammenhangskomponenten verbinden (Fall 1) oder in einer Zusammenhangskomponente liegen (Fall 2).
Fall 1: # Zusammenhangskomponenten verringert sich um 1
Fall 2: # Zusammenhangskomponenten bleibt gleich.
v − (m + 1) = (v − m) − 1
# Zusammenhangskomponenten G+{e} =
# Zusammenhangskomponenten G ≥ |V | − m ≥ |V | − m − 1
# Zusammenhangskomponenten G − 1 ≥ |V | − m − 1
Korollar.
∀Zushg Graphen gilt |E| ≥ |V | − 1
Beweis. #Zshg Komp = 1 einsetzen
Die Umkehrung des Korollar gilt natürlich nicht.
|E| = |V | = 6 |E| ≥ |V | − 1 gilt und G nicht zusammenhängend.
1.2
Bäume und Wälder
Definition. (Baum) Ein Baum (tree) ist ein zshg. kreisfreier Graph.
Ein Wald (forest) ist ein kreisfreier Graph oder äquivalent ein Wald ist ein Graph dessen
Zusammenhangskomponenten alle Bäume sind.
Definition. (Blatt) Ein Knoten v in G mit degG (v) = 1 heißt Blatt (leaf).
Abbildung 7: Beispiel eines Baums
Lemma 1.1. (Blatt-Lemma) Jeder Baum T mit |V (T )| ≥ 2 besitzt mindestens 2 Blätter.
5
Beweis. Sei P der längste Pfad in T mit Endknoten x und y, x 6= y.
Wir zeigen x und y sind Blätter in T , z.B. für x.
Sei degT (x) ≥ 2.
Sei v der Nachbar von x in P . Sei v 0 6= v ein anderer Nachbar von x.
1. v 0 ∈ V (P ): Hier entsteht ein Kreis. Widerspruch.
2. v 0 ∈
/ V (P ): Widerspruch zu P ist längster Pfad.
⇒ degT (x) ≤ 1.
Da T zusammenhängend ist muss degT (x) ≥ 1.
Notation. Sei G = (V, E) Graph und v ein Knoten in G.
G − v ist jener Graph, der aus G entsteht, wenn v und die mit v inzidierenden (verbundenen)
Kanten entfernt werden.
img:nota
Lemma 1.2. Sei G ein Graph und v ein Blatt in G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. G ist ein Baum
2. G − v ist ein Baum.
Beweis. 1)⇒2): G ist ein Baum. Zu Zeigen G − v ein Baum. Z.z. G − v zusammenhängend und
kreisfrei. Kreisfrei als Teilgraph eines kreisfreien Graphen G.
Zusammenhang: ∀x, y ∈ V (G − v), x 6= y : Da G Baum (Zshg) ∃ x-y-Pfad P in G. Wir zeigen
v∈
/ V (P ), weil v 6= x, y und kein innerer Knoten in P , weil v ein Blatt ist.
2)⇒1) G − v ist ein Baum. Z.z. G ist ein Baum. Zsgh. innerhalb von G − v, da G − v ein Baum
und Zshg. von v über v 0 ∈ ΓT (v). Kreisfrei, weil eventuelle Kreise in G − v sein müssten und es
dort keine gibt.
Satz 1.3. Charakterisierungen von Bäumen Folgende Bedgingungen sind für einen Graphen G =
(V, E) äquiv.:
1. G ist ein Baum
2. (eindeutige Wege) Zu je 2 Knoten x, y ∈ V (G), x 6= y gibt es einen eindeutigen x-y-Pfad in
G.
3. (min. Zshg.) G ist zshg. und zerfällt in 2 Zshg. Komp. nach Entfernung einer beliebigen
Kante.
4. (max. Kreisfreiheit) G enthält keinen Kreis und wenn eine Kante e ∈ V2
E(G) hinzugefügt wird, dann entsteht entsteht ein Kreis in G.
5. (Eulerische Formel für Bäume) G ist Zshg. und |E(G)| = |V (G)| − 1.
Beweis. Wir zeigen, dass jede der Aussagen Äquivalten zu 1) ist. (Fast) jede Äquivalenz wird per
Induktion über |V | bewiesen.
Ind. Basis: |V | = 1: alle Aussagen sind in diesem Fall trivial.
1)⇒2): G ist ein Baum. z.Z. ∃ eindeutiger Pfad zwischen je zwei Knoten x 6= y in G. Pfad ∃
weil G zshg. Pfad eindeutig sonst entsteht ein Kreis.
1)⇒3): G ist ein Baum. Z.z. min Zshg.: Zshg klar weil G ein Baum. Warum min Zshg.? Sei
e = {x, y} eine Kante in G. Betrachte G − e. G Baum ⇒ ∃ mindestens 2 Blätter in G lt. Lemma
1.2. Sei v ein solches Blatt.
• {x, y} inzidiert mit v (x = v oder y = v): trivial
6
• {x, y} und v nicht inzidieren
G Baum ⇒ G − v Baum. Laut Ind. Annahme ist G − v min. Zshg, d.h. G − v zerfällt in ...
nach Entfernung von e ⇒ G zerfällt in ... nach Entfernung von e.
1)⇒4) G ist ein Baum. Z.z. G ist max. Kreisfrei. Kreisfrei klar, weil Baum. Warum max.
Kreisfrei? Sei e ∈ V2
E(G). Füge e hinzu. Sei v ein Blatt von G.
• e liegt in G − v: G Baum ⇒ G − v ein Baum ⇒ G − v max. Kreisfrei ⇒ Hinzufügen von e
erzeugt Kreis K in G − v ⇒ K Kreis in G.
• e verbindet v mit G − v: Sei e = (v, v 00 ). Da G − v Baum ∃v 0 -v 00 -Pfad P in G − v ⇒ P bildet
mit {v, v 0 } und {v, v 00 } einen Kreis in G.
1)⇒5): G ist ein Baum Z.z. G zshg und |E| = |V | − 1. Sei v ein Blatt in G ⇒ G − v ein Baum
⇒ ind. Ann. |V (G − v)| − 1 = |E(G − v)|. Das ist das selbe wie |V (G)| − 1 − 1 = |E(G)| − 1.
5)⇒1): Ann. G zshg. und |E(G)| = |V (G)| − 1. Z.z. G ist ein Baum. Es fehlt die Kreisfreiheit.
X
2|V | ≤!!!
degG (v) = 2|E| = 2|V | − 2
v∈V
∃ Knoten mit degG (v) = 1.
Wir zeigen 5) gilt für G − v ⇒ ind. Ann. G − v Baum ⇒ G Baum.
G − v zshg. (trivial), |V (G − v) = |V (G)| − 1. |E(G − v) = |E(G)| − 1 und |V (G| − 1 = |E(G)|
gilt auch |V (G − v)| + 1 − 1 = |E(G − v)| + 1 ⇒ |V (G − v)| − 1 = |E(G − v)|.
1.3
Isomorphie in Graphen
Definition. (Gleichheit bei Graphen) Seien G1 = (V1 , E1 ) und G2 = (V2 , E2 ) Graphen. G1 =
G2 ⇐⇒ V1 = V2 , E1 = E2 .
Definition. (Isomorphe Graphen) Zwei Graphen G1 = (V1 , E1 ) und G2 = (V2 , E2 ) heißen isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung von f : V1 → V2 gibt, sodass {x, y} ∈ E1 ⇐⇒
{f (x), f (y)} ∈ E2 . f heißt Isomorphismus zwischen G1 und G2 . G1 ' G2 .
Es gilt ' ist eine Äquivalenzrelation.
1.4
Anzahl nicht isomorpher Graphen
V =
{1, 2, . . . , n} Knotenmenge
V
2 mögliche Kanten
Selektiere E (Kantenmenge
von G) E ⊆
n
V
Auf wieviele Arten: P 2 = 2( 2 )
V
2
Sei G ein Graph mit |V (G)| = n.
Wie viele Graphen mit n Knoten gibt es, die zu G isomorph sind?
Ein Isomorphismus ist eine Bijektion + andere Eigenschaften.
Es gibt n! Bijektionen von {1, 2, . . . , n} → {a1 , a2 , . . . , an }
Nicht alle sind Isom., daher ist n! eine Obergrenze für # Isom.
| Äquivalenzklasse von G | ≤ n!
(n2 )
# Äquivalenzklassen ≥ 2 n!
n
Bemerkung.
2( 2 )
n!
n
wächst ungefähr wie 2( 2 ) .
n n n(n − 1)
n2
1
(
)
2
log2 2
=
=
=
1−
2
2
2
n
7
n
2( 2 )
n!
log2
log2
D.h.
1.5
n
2( 2 )
n!
n
2
2( )
n!
!
=
n
n2
1
n2
1
log2 (n)
− log2 (n!) ≥
(1 − ) − n log2 (n) =
1− −
2
2
n
2
n
2n
n und log2 2( 2 ) verhalten sich wie
n2
2
für n → ∞.
n
n2
und 2( 2 ) verhalten sich wie 2 2 ≥ 2n .
Wurzelbäume und normale Bäume
(rooted and normal trees)
Definition. Ein Wurzelbaum ist ein Baum T mit einem als Wurzel gekennzeichneten Konten r ∈
V (T ) und einer Ordnungsrelation R auf V (T ), sodass x R y ⇐⇒ x ist im r-y-Pfad in T enthalten.
R wird oft als ≤T,r bezeichnet und Höhenrelation genannt.
Notation.
dxe := {y ∈ V (T ) : x ≤ y} Nachfolger
bxc := {y ∈ V (T ) : y ≤ x} Vorgänger
Wenn {x, y} ∈ E(T ) und x ≤ y dann ist x Vater von y und y Sohn von x.
Beispiel. Zeichne Baum und zeige Vater und Sohn und die Ordnungsrelation... (auch für 2. Wurzel
r0 )
Satz 1.4. ≤ ist eine Ordnungsrelation.
Beweis. HÜ
Definition. Ein Wurzelbaum T in einem Graphen G heißt normal in G, wenn die Endkonoten
eines beliebigen T -Pfades in G vergleichbar sind.
Ein T -Pfad in G ist ein Pfad x = t0 , t1 , . . . , tk = y in G, sodass V (P ) ∩ V (T ) = {x, y}.
Beispiel. Ein Beispiel wäre schön
Definition. Ein Baum T in G heißt Spannbaum wenn V (T ) = V (G).
Beispiel. Ein Beispiel wäre schön
Satz 1.5. Ein Spannbaum mit Wurzel ist normal, dann und nur dann :
∀{x, y} ∈ E(G) : x, y vergleichbar in T
Beweis. Sei T ein Spannbaum mit Wurzel r.
T ist normal ⇐⇒ ∀T -Pfade mit Endknoten x, y gilt x ≤ y oder y ≤ x.
Z.z.: T ist normal ⇐⇒ ∀{x, y} ∈ E(G) : x, y vergleichbar in T
Sei P ein T -Pfad mit Endknoten x und y: x = t0 , t1 , . . . , tk = y
ti sodass 1 ≤ i ≤ k − 1 ist in V (T ) weil T Spannbaum
ti sodass 1 ≤ i ≤ k − 1 ist nicht in V (T ) weil P ein T-Pfad.
D.h. T-Pfade haben keine innern Knoten ⇒ T-Pfade für T Spannbaum sind Kanten in E(G).
Lemma 1.3. Sei T ein Baum in G. Dann gilt
1.
∀x, y ∈ V (T ) und einem x-y-Pfad P in G gilt V (P ) ∩ bxc ∩ byc =
6 ∅
(bxc ∩ byc ist ein Separator von x und y in G)
8
S
2. Wenn S ⊆ V (T ) = V (G) und S 0 = s∈S bsc dann sind die Zshg.Komp. von G − S die
Induzierten Teilgraphen G(dxe) mit x minimal in G − S bzgl. der RElation ≤T .
Beweis.
1. Sei P ein x-y-Pfad in G, x, y ∈ V (T )
Seien {x = t1 , t2 , . . . , tk = y} = P ∩ V (T )
Alle Teilpfade von ti nach ti+1 (1 ≤ i ≤ k − 1), sind T -Pfade. Da T normal gilt ti ≤ ti+1
oder ti ≥ ti+1 .
1.) x = t1 ≤ · · · ≤ tk = y ⇒ x ≤ y vergl.
2.) x = t1 ≥ · · · ≥ tk = y ⇒ x ≥ y vergl.
3.) x = t1 ≥ · · · ≥ tP ≤ · · · ≤ tk = y
4.) x = t1 ≤ · · · ≤ tP ≥ · · · ≥ tk = y
Im 3. Fall gibt es einen Knoten in dem sich die Pfade trennen ⇒ vergl.
Im 4. Fall entsteht ein Kreis ⇒ Widerspruch: Fall kann nicht auftreten.
S
2. Sei S ⊆ V (T ) = V (G) sodass S = s∈S bsc.
Sei v ∈ G − S und sei C die Zshg.Komp. die v enthält.
Es gilt dve ⊆ C weil
∀w ∈ bvc : ∃v-w-Weg P in T mit V (Pvw ) ⊆ dve und dve ∩ S = {v}
Sei nun v0 ein minimales Element in C. Es gilt auch für v0 , dass dv0 e ⊆ C. Wir zeigen, dass
Minimalität von v0 dv0 e = C impliziert.
Ann.: dv0 e ⊂ C, d.h. ∃x ∈ C \ dv0 e
P ein v0 , x Weg in G − S
Aus 1): P enthält mindestens einen Knoten aus bv0 c ∩ bxc.
Sei w ∈ bv0 c ∩ bxc D.h. w ≤ v0 ⇒ w = v0 da v0 min. w ≤ x ⇒ v0 ≤ x ⇒ x ∈ dv0 e.
Widerspruch.
Beispiel. asdf
Satz 1.6. In jedem zushg. Graphen gibt es einen minimalen Spannbaum mit Wurzel r, ∀r ∈ V (G).
Beweis. Sei G ein Zushg. Graph und r ∈ V (G).
Sei T ein max. normaler Baum in G mit Wurzel r in G (∃ trivial, da T0 = ({r}, ∅))
max. bzgl Knotenzahl
Wir zeigen T ist ein Spannbaum.
Ann. T ist kein Spannbaum, d.h. V (T ) ⊂ V (G)
Sei C := V (G) \ V (T ) 6= ∅
Da G Zshg. ∃ mind. ein Pfad von V (T ) nach C.
∃ Kante {x, y} ∈ E(G) mit x ∈ V (T ), y ∈ C
Sei {x, y} ∈ E(G) so gewählt, dass x max bzgl. O.Rel. im normalen Baum T .
Sei T 0 = (V (T ) ∪ {y}, E(T ) ∪ {x, y})
Wir zeigen T 0 ein norm. Baum mit Wurzel r. Widerspruch, da V (T ) ⊂ V (T 0 ) und T maximal.
T 0 ist trivialerweise ein Baum mit Wurzel weil O.Rel. kann erweitert werden. x R y ⇒ x
Vorgänger von y.
Noch zu zeigen: T 0 ist auch normal, d.h. es ist zu zeigen, dass für jeden T 0 -Pfad mit Endknoten
u und v ⇒ u R v oder v R u gilt. Sei P ein bel. T 0 -Pfad.
Fallunterscheidung:
9
1. u, v ∈ V (T ) ⊂ V (T 0 ). Dann ist P auch ein T -Pfad, da T normal gilt u RT v oder v RT u ⇒
u RT0 v oder v RT0 u
2. u ∈
/ V (T ) d.h. y = u und v ∈ V (T ) oder (u ∈ V (T ) und v ∈
/ V (T ), d.h. v = y)
Sei P 0 ein x-v-Pfad, sodass P 0 = (x, {x, y}, y, P )
P 0 ist T-Pfad ⇒ x und v sind T normal vergleichbar in T.
x RT v (unmöglich aufgrund Auswahl von x) oder v RT x (möglich).
v RT x einzige Möglichkeit.
x RT0 y ⇒ v RT0 y ⇒ T 0 normal.
1.6
Charakterisierung von bipartiten Graphen
Sei G = (A ∪ B, E) bipartit. Sei C ein Kreis in G. Falls |V (C)| ungerade, dann gibt es eine
A-A-Kante.
Satz 1.7. Ein Graph G = (V, E) ist dann und nur dann bipartit, wenn er keine ungeraden Kreise
enthält.
Beweis. ⇒“ G bipartit ⇒ @ ungerader Kreis laut Beobachtung.
”
⇐“ Ann. @ unger. Kreise in G. Z.z. G ist bipartit.
”
OBdA G Zshg, ansonsten argumentiere, dass jede ZshgKomp bipartit und das impliziert G
bipartit.
Laut Satz 1.6 ∃ in G ein norm. Spannbaum mit Wurzel r für ein r ∈ V (G).
Sei dieser n. Spannbaum T .
Färbe r rot an. ∀x ∈ V (T ) = V (G)∃1 Pfad Px von r nach x (Satz 1.3).
Färbe x rot falls Länge(Px ) gerade und blau sonst.
Wir zeigen ∀{x, y} ∈ E(G): x und y haben untersch. Farben.
2 Fälle für die Kante {x, y}
1. {x, y} ∈ E(T )
x R y oder y R x ⇒ x und y haben unterschiedliche Farben bekommen.
2. {x, y} ∈
/ E(T )
{x, y} bildet einen Kreis in T. Dieser Kreis C und laut Ann. ist |V (C)| gerade.
Pfad von x nach y in C liegt in T ⇒ Knoten sind alternierend blau und rot gefärbt. ⇒ da
|V (C)| gerade hören Pfade bei x mit rot auf wenn y blau ist und umgekehrt.
1.7
Eulersche Graphen
Definition. Eine Tour ist ein Weg in dem keine Kante 2x vorkommt.
W = (v0 , e0 , v1 , e1 , . . . , vk ek vk+1 ), wobei ei = {vi , vi+1 } ∈ E(G), mit 0 ≤ i ≤ k.
Die Tour W heißt geschlossen, wenn v0 = vk+1 und offen sonst.
Eine Euler-Tour ist eine Tour die alle e ∈ E(G) enthält.
Definition. G = (V, E) heißt eulersch wenn G eine geschl. Euler-Tour besitzt.
Satz 1.8. (Charakterisierung eulerscher Graphen) Ein Graph G = (V, E) ist eulersch dann und
nur dann, wenn er zusammenhängend ist und ∀v ∈ V (G) : deg(v) gerade.
10
Beweis. ⇒“ Ann. G ist eulersch. Z.z. Zusammenhang und ∀v ∈ V (G) : deg(v) gerade.
”
∃ Euler-Tour W in G. ∀x, y ∃ Teilweg von W der x und y verbindet ⇒ G zusammenhängend.
Lege eine Durchlaufrichtung in W fest ⇒ ∀v ∈ V (G) : # einmündenden Kanten = # ausmündenden Kanten ⇒ Gesamtanzahl der mit v inzidierten Kanten ist gerade.
⇐“ Sei G zshg und deg(v) gerade ∀v ∈ V (G)
”
z.Z. G ist eulersch
Starte in beliebigen Knoten v0 . Sei e0 = {v0 , v1 } mit v0 inzidierend.
(*) Da deg(v1 ) gerade ∃ Kante e1 = {v1 , v2 } =
6 e0 . Da deg(v2 ) gerade ∃e2 = {v2 , ?} =
6 e1 .
Fallunterscheidung:
1. Eine geschlossene Tour W wurde gebildet. Wenn W alle Kanten enthält dann ist W die
gesuchte Euler-Tour.
2. ∃ek ∈ E(G) mit einem Endknoten vk ∈ V (W ). Wiederhole Konstr. Schritt (*) bis ein bereits
besuchter Konten eingetreten wird.
Somit schließen wir eine Tour die keine Kanten wiederholt.
Wenn die alle Kanten enthält fertig.
Sonst wiederhole 2. Verfahren terminiert weil |E(G)| endlich.
Definition. Sei G = (V, E) ein Graph e ∈ E heißt Brücke wenn # ZshgKomp in G0 = (V, E \ {e})
großer ist als # ZshgKomp in G.
Lemma 1.4. Wenn in einem Graphen G = (V, E), ∀v : deg(v) gerade, dann enthält G keine
Brücken.
Beweis. ObdA gilt für Zshg, ansonsten argumentiere für jede ZshgKomp separat.
Dann ist G eulersch (Satz 1.8)
Ann. G besitzt eine Brücke e ∈ E(G) ⇒ (V (G), E(G) \ {e}) hat mind. 2 ZshgKomp.
Seien G1 und G2 zwei ZsghKomp von G0 . Sei e = {v1 , v2 } und gehöre v1 zu V (G1 ).
∀v ∈ V (G1 ), v 6= v1 : degG1 (v) gerade, aber degG1 (v1 ) ungerade. Widerspruch zum HandschlagsLemma.
1.8
Hamiltonsche Graphen
Definition. Ein Hamliton-Kreis in einem Graphen G = (V, E) ist ein Kreis, der jeden Knoten v ∈
V (G) genau einmal enthält. Ein Graph der einen Hamiltonschen Kreis besitzt heißt Hamiltonsch.
Bemerkung. Der Peterson-Graph ist nicht hamiltonsch.
Satz 1.9. Chartal 1976, Ore 1960 Sei G = (V, E) ein Graph. Sei (*)
deg(v) + deg(u) ≥ |V | ∀u, v ∈ V ,
sodass u 6= v und {u, v} ∈
/ E. Dann enthält G einen Hamiltonschen Kreis.
Beweis. Annahme: Aussage ist falsch. Gesucht ist ein Widerspruch.
∃G = (V, E), sodass deg(u) + deg(v) ≥ |V |, ∀u 6= v, {u, v} ∈
/E
und G nicht Hamiltonsch. Sei G der größtmögliche Graph dieser Art bzgl. Kanten inkl. Da G
nicht Hamiltonsch ist G 6= K|V | , d.h. ∃u, v ∈ V (G) : {u, v} ∈
/ E(G).
G0 := G ∪ {u, v}
Die Bedingungen (*) sind für G0 erfüllt und G0 ist hamiltonsch (da G maximal war).
Sei C ein hamiltonscher Kreis in G0 . Wenn {u, v} ∈
/ G(C), dann ist C ein hamiltonscher Kreis
in G. Widerspruch.
⇒ jeder hamiltonsche Kreis in G0 enthält {u, v}.
Nummeriere Knoten von C mit u = v1 , v2 , . . . , vn = v.
11
Sei S := {vi : 1 ≤ i < n, {u, vi+1 } ∈ E(G)} und T := {vi : 1 ≤ i < n, {v, vi } ∈ E(G)}.
T = Γ(vn ) = Γ(v) ⇒ |T | = deg(v) |S| = |Γ(u)| = deg(u) (, aber S 6= Γ(u), S enthält nur den
Vorgänger von jedem Nachbar von u)
Aus (*): |S| + |T | ≥ |V | =: n
S ∪ T ⊆⇒ |S ∪ T | ≤ n
Es gilt sogar |S ∪ T | < n, weil vn ∈
/ S, vn ∈
/ T.
Falls S ∩ T = ∅, dann müsste |S ∪ T | = |S| + |T | ≥ n Widerspruch.
D.h. S ∩ T 6= ∅. Sei vi0 ∈ S ∩ T .
⇒ {u, vi0 +1 ∈ E(G) und {vi0 , v} ∈ E(G).
Konstruiere C 0 = C \ {u, v} ∪ {vi0 , vi0 +1 } ∪ {u, vi0 +1 } ∪ {v, vi0 }.
(pair exchange); C 0 ist Hamiltonscher Kreis in G. Widerspruch.
Satz 1.10. Dirac 1952 Sei G = (V, E) und |V | ≥ 3 und ∀v ∈ V : deg(v) ≥
Hamiltonsch.
n
2.
Dann ist G
Beweis. G mit deg(v) ≥ n2 ∀v ist Zshg, sonst mind. 2 Zshg.Komp. C1 , C2 . Sei C1 die kleinste Zshg.
Komp. ⇒ |V (C1 )| ≤ n2 ⇒ degG (v) ≤ n2 − 1∀v ∈ V (C1 ). Widerspruch.
Sei P ein längerster Pfad in G, (x0 , x1 , . . . xk ).
Da P längstmöglich gilt: Γ(x0 ) ⊆ {x0 , x1 , . . . , xk } und Γ(xk ) ⊆ V (P ).
|Γ(x0 )| ≥ n2 und |Γ(xk )| ≥ n2 . ⇒ ∃i ∈ {1, 2, . . . , k − 1}, sodass {x0 , xi+1 } ∈ E und {xi , xk } ∈ E,
weil S := {xi : 0 ≤ i ≤ k − 1, {x0 , xi+1 } ∈ E} = Menge der Vorgänger von Nachbarn und
T := {xi : 1 ≤ i < k; {xk , xi } ∈ E} = Γ(xk )
S ∪ T ⊂ {x0 , . . . , xk } ⇒ |S ∩ T | ≤ n und |S| + |T | ≥ n2 + n2 = n.
Fall a): |S ∪ T | = n ⇒ x0 , xk ist eine Kante P ∪ {x0 , xk } ist Hamiltonscher Kreis
Fall b): |S ∪ T | ⊂ n ⇒ S ∩ T 6= 0 und analog wie im Beweis vom Satz von Chartal P 0 :=
P \ {xi , xi0 +1 } ∪ {x0 , xi0 +1 } ∪ {xi0 , xk } |V (P 0 )| = |V (P )| + 1 Widerspruch.
Bemerkung. Untere Grenze für Knotengrade bei Dirac ist bestmöglich.
Zeige Gegenbeispiel (2 verbundene K4 zusammenhängend) ...
1.9
Planare Graphen
Beispiel. Beispiele für planare Graphen
Definition. G = (V, E) heißt planar, wenn es gelingt G so in der Ebene zu zeichnen, dass es keine
Kantenüberschneidungen außer an den Knoten gibt.
Eine derartige Zeichnung von G heißt planare Einbettung von G.
Beispiel. Verschiedene planare Einbettungen des Q3 .
Definition. Sei der planare Graph G = (V, E) in der Ebene eingebettet. Die zusammenhängenden
Teile der Ebene die man erhält, wenn die Ebene entlang der Kanten geschnitten wird heißen
Gebiete oder Flächen der planaren Einbettung. Äußeres Gebiet wird mitgezählt. # der Gebiete
ist eine Invariante über alle planaren Einbettungen eines planaren Graphen.
Satz 1.11. Eulersche Polyederformel Sei G = (V, E) ein zshg. planarer Graph.
Dann gilt, dass # Gebiete = |E| − |V | + 2.
Beweis. Induktion über # Kanten.
G zshg. ⇒ |E| ≥ |V | − 1 (aus Satz 1.2)
Ind. Basis:
|E| = |V | − 1 und G zshg. ⇒ G Baum ⇒ 1 Gebiet. Ok.
Ind. Ann.: Formel gilt für G = (V, E).
Ind. Schritt: Formel gilt für G0 = (V 0 , E 0 ) mit |E 0 | = |E| + 1, |V 0 | = |V |
|E 0 | > |E| ≥ |V | − 1 und G zshg. ⇒ G ist kein Baum. ⇒ ∃ Kreis C in G0 .
12
Sei e ∈ E(C). Entferne e aus G0 ; für G0 \ {e} gilt Ind. Ann. # Gebiete(G0 \ {e}) = E(G0 \
{e}) − |V (G0 )| + 2 = |E(G0 )| − 1 − |V (G0 )| + 2.
e teilt das Gebiet von G0 \ {e} in 2 Teilgebiete die auch Gebiete in G0 sind. ⇒ # Gebiete(G0 ) =
# Gebiete(G0 \ {e}) + 1
Korollar. Sei G = (V, E) ein planarer Graph. Es gilt |E| ≤ 3(|V | − 2).
Beweis. Sei F Menge der Gebiete einer pl. Einbettung von G. Sei f ∈ F ein Gebiet und δ(f ) der
Rand von f , d.h. die Kanten am Rand von f.
X X
X
X
(Σ1 )
1 = (Σ2 )
1 (***)
f ∈F l∈δ(f )
e∈E f ∈F,e∈δ(f )
3|F | ≤ Σ1 = Σ2 ≤ 2|E|
|F | ≤
Eulersche Polyederformel:
2|E|
3
2|E|
3
≥ |F | = |E| − |V | + 2
|E|
≤ |V | − 2 ⇒ |E| ≤ 3(|V | − 2)
3
Korollar. Sei G = (V, E) ein planarer bipartiter Graph. Dann gilt |E| ≤ 2(|V | − 2).
Beweis. Bis Absch (***) gleich wie Korollar oben.
4|F | ≤ Σ1 = Σ2 ≤ 2|E|
weil jeder Kreis eines bipartiten Graphen mind. 4 Kanten enthält.
Also |F | ≤ |E|
2
Eingesetzt in Eulersche Polyederformel Formel:
|E|
|E|
≥ |F | = |E| − |V | + 2 ⇒
≤ |V | − 2 ⇒ |E| ≤ 2(|V | − 2)
2
2
Beispiel.
5
K5 ⇒ |E| =
= 10, |V | = 5 nicht planar
2
K3,3 ⇒ |V | = 6, |E| = 9, 9 ≤ 8 nicht planar
Bemerkung. Ein G, der K5 oder K3,3 als Teilgraphen enthält, ist nicht planar.
Definition. Eine Unterteilung eines Graphen G entsteht, wenn (einige) Kanten von G durch
Pfade ersetzt werden, sodass je zwei unterschiedliche Pfade keine gemeinsamen inneren Knoten
haben.
Bemerkung. Ein planarer Graph enthält keine Unterteilung von K5 bzw. K3,3 als Teilgraphen.
Satz 1.12. Satz von Kuratowski Ein Graph G ist dann und nur dann planar, wenn er keine
Unterteilung von K5 bzw. K3,3 als Teilgraphen enthält.
Bemerkung. Planarität eines Graphen ist effizient entscheidbar, das heißt die Frage ist ein geg.
”
Graph planar“, kann mit einem effizienten Algorithmus korrekt beantwortet werden. Lt. Satz 1.12.
13
1.10
Färbungsprobleme in Graphen
1.10.1
Knotenfärbung
Definition. Sei G = (V, E) ein Graph. Eine Knotenfärbung ist eine Abb. c : V → {1, 2, . . . r}
sodass ∀{x, y} ∈ E : c(x) 6= c(y).
Die chromatische Zahl von G, χ, ist die kleinste k ∈ für die es eine Knotenfärbung gibt.
N
χ(G) := min{k ∈
N : ∃c : V → {1, 2, . . . k} und c ist Färbung}
Beispiel. Handynetz
Knoten = Basisstationen
Kante zwischen zwei Basisstationen, falls sie so nahe aneinander sind, dass Interferenzgefahr
besteht.
Färbung ist die Zuordnung von Frequenzen zu den Basisstationen, sodass Interferenzgefährdete
Basissationen unterschiedliche Frequenzen bekommen.
Bemerkung. Färbung von Bäumen Sei T Baum, dann gilt χ(T ) = 2.
Beweis. Jeder Baum ist ein bipartiter Graph (HÜ: Ordnungsrelation auf der Knotenmenge wie
bei Wurzelbäumen. Färbung: Knoten in geradem Abst. von Wurzel rot, andere grün)
Bemerkung. χ(G) = 2 ⇐⇒ G bipartit und |E(G)| =
6 0.
Beispiel. Färbung von Landkarten
Ann.:
1. Je zwei aneinander angrenzende Länder haben mehr als einen Punkt gemeinsam.
2. ∀ Land ist sein Territorium zusammenhängend.
Länder ≡ Knoten
x und y haben eine gemeinsame Grenze ⇐⇒ {x, y} ∈ E
Färbung c: Länder → Farben 1, 2, . . . , k, sodass x, y haben gem. Grenze ⇒ c(x) 6= c(y)
Algorithmus. Färbung: Greedy
• Ordne Knoten beliebig v1 , v2 , . . . , vn ; c(vi ) = ∞∀i ∈ {1, 2, . . . , n}
• For i = 1 to n
Färbe vi mit der kleinstmöglichen Farbe(Fbindex), d.h. c(vi ) = min{k ∈
k 6= c(y)}
N : ∀y ∈ Γ(vi) :
Beispiel. S1,3 Stern.
Hier arbeitet Greedy optimal.
Bemerkung. Greedy ist im Allgemeinen nicht optimal.
Beispiel. G = (V (Kn,n ), E(Kn,n ) \ {{ui , vi } : 1 ≤ i ≤ n})
Sortierung der Knoten: u1 , v1 , u2 , v2 , . . . , un , vn
Für jedes Knotenpaar verwendet Greedy hier eine neue Farbe.
Greedy(G) = n 6= χ(G) = 1
Mit der Reihenfolge u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn wäre Greedy optimal.
Bemerkung. Für jeden Graphen G gibt es eine Reihenfolge von Knoten, sodass Greedy mit dieser
Reihenfolge das χ(G) korrekt berechnet.
Beweis. Sei c eine Färbung von G mit χ(G) Farben.
Seien S1 , . . . , Si , . . . , Sχ(G) die Farbklassen von c, d.h. Si ⊆ V (G), sodass ∀i ∈ {1, 2, . . . , χ(G)} :
c(x) = i ⇐⇒ x ∈ Si
Betreibe Greedy mit Reihenfolge S1 , S2 , . . . , Sχ(G) .
14
Bemerkung. Knotenfärbung in beliebigen Graphen ist ein NP-schweres Problem.
Bemerkung. Der Greedy Algorithmus verwendet höchstens ∆(G) + 1 Farben, wobei
∆(G) := max{degG (v) : v ∈ V (G)}
Beweis. # gefärbter Nachbarn von vi ≤ deg(vi ) ≤ ∆(G)
Also für Greedy gilt
χ(G) ≤ Greedy(G) ≤ ∆(G) + 1
Satz 1.13. (Satz von Brooks, 1941) Es gibt einen Algorithmus, der G = (V, E) effizient (d.h. in
O(|V | + |E|) Zeit) färbt und zwar mit A(G) Farben, sodass
∆(G) + 1
G = Kn oder C2n+1
χ(G) ≤ A(G) ≤
∆(G)
sonst
Beispiel. χ(Kn ) = n = ∆(Kn ) + 1 mit ∆(Kn ) = n − 1
χ(C7 ) = 3 = ∆(C7 ) + 1 mit ∆(C7 ) = 2.
Satz 1.14. (4 Farben Satz, 1977) Jeder planerer Graph kann mit 4 Farben gefärbt werden.
Satz 1.15. (5 Farben Satz) Jeder planerer Graph kann mit 5 Farben gefärbt werden.
Beweis. Induktion über |V (G)|.
Induktionsbasis: Fall |V (G)| ≤ 5 ordne jedem Knoten eine eigene Farbe zu. Diese Färbung ist
natürlich zulässig.
Ind. Ann.: Jeder planare Graph H mit |V (H)| < |V (G)| Knoten kann mit 5 Farben gefärbt
werden.
Ind. Schritt: Beweise die Aussage für planare Graphen mit |V (G)| Knoten.
∃v0 mit deg(v0 ) ≤ 5, sonst ∀v ∈ V (G) : deg(v) ≥ 6
X
2 · 3(|V (G)| − 2) ≥ 2|E| =
deg(v) ≥ 6|V (G)|
v∈V (G)
6(|V (G)| − 2) ≥ 6|V (G)| Widerspruch
1. ∃v0 : deg(v0 ) < 5
G \ {v0 } ist planar und aus I.A. mit 5 Farben färbbar.
deg(v0 ) ≤ 4 ⇒ Für Γ(v0 ) werden höchstens 4 Farben verwendet ⇒ 5. Farbe frei für v0 .
2. deg(v0 ) = 5
Seien x, z, y, t, u Nachbarn von v0 in zykl. Reihenfolge (Uhrzeigersinn).
Sei c : V \ {v0 } → {1, 2, 3, 4, 5} eine Färbung von G \ {v0 }.
Falls # Farben die für x, y, z, t, u verwendet wurden ≤ 4, dann bleibt eine Farbe frei für v0
wie in Fall 1.
Sonst: O.b.d.A.: c(x), c(y), c(z), c(t), c(u) sind paarweise verschieden.
Sei Vx,y die Menge der Knoten aus V \ {v0 } mit Farbe c(x) oder c(y).
Vx,y := {v ∈ V : v 6= v0 , c(v) ∈ {c(x), c(y)}}
15
(a) @ x-y-Pfad in G der ausschließich Knoten aus Vx,y verwendet.
0
Sei Vx,y
Menge jender Knoten s ∈ V \ {v0 }, die von x aus über einen Weg erreicht
werden können, der nur Knoten aus Vx,y verwendet.
0
y∈
/ Vx,y
. Vergebe neue Farben c0 (umfärben)

 c(s)
c(y)
c0 (s) =

c(x)
0
s∈
/ Vx,y
0
s ∈ Vx,y , c(s) = c(x)
0
s ∈ Vx,y
, c(s) = c(y)
c0 (y) = c(y), c0 (x) = c(y) ⇒ c(x) wird frei für v0
0
0
Umfärbung Vx,y
: Wenn monochrome Kanten, dann mit mind. einem Endknoten in Vx,y
.
(Zeichnungen besorgen!!!!)
(b) ∃ x-y-Pfad mit Knoten aus Vx,y . Sei
Vt,z = {s ∈ V : s 6= v0 , c(s) = c(t) oder c(s) = c(z)}
Vx,y ∩ Vt,z = ∅
Der Pfad P und {v0 , x}, {v0 , y} schließen einen Kreis C.
Einer der Knoten z, t ist im Inneren von C und einer im Äußeren.
⇒ @ z-t-Pfad, der ausschließlich Knoten aus Vt,z verwendet.
Umfärbung wie im Fall 2a) mit t, z statt x, y. Eine Farbe wird für v0 frei.
Definition. Kantenfärbung: c : E(G) → {1, 2, . . . , k}, sodass e ∩ f 6= ∅ ⇒ c(e) 6= c(f ).
Chromatischer Index: χ0 (G) := min{k ∈ : ∃Kantenfärbung mit k Farben}
N
Bemerkung.
∀G = (V, E) : χ0 (G) ≥ ∆(G)
wobei ∆(G) = maxv∈V (G) deg(v)
Satz 1.16. (Vizing 1964)
In jedem Graphen G = (V, E) gilt,
∆(G) ≤ χ0 (G) ≤ ∆(G) + 1
Bemerkung. Problem ist schwer (NP-schwer) zu lösen.
Satz 1.17. (König, 1916)
Für jeden bipartiten Graphen G = (V ] B, E) gilt,
χ0 (G) = ∆(G)
Beweis. Induktion über |E(G)|:
|E(G)| = 0 ⇒ ∆(G) = 0 = χ0 (G)
|E(G)| = 1 ⇒ ∆(G) = 1 = χ0 (G)
Sei |E(G)| ≥ 1. Ind. Ann.: Aussage gilt für Graphen G0 mit |E(G0 )| ≤ |E(G)|. Ind. Schritt.:
Beweis für G.
Sei {x, y} ∈ E(G). Sei G0 = {V (G), E(G) \ {x, y}} = G \ {x, y}.
I. Ann.: ∃ Kantenfärbung von G0 mit ∆(G0 ) Farben.
Kanten die mit α gefärbt sind heißen α-Kanten ∀ Farbe α.
16
degG0 (x) = degG (x) − 1 ≤ ∆(G) − 1
degG0 (y) ≤ ∆(G) − 1 es gilt auch ∆(G0 ) ≤ ∆(G)
Betrachte Farben {1, 2, . . . , ∆(G)}.
∃ Farbe α, sodass keine mit x inzidierte Kante Farbe α trägt.
∃ Farbe β, sodass keine mit y inzidierte Kante Farbe β trägt.
Wenn α = β, dann kann {x, y} mit α gefärbt werden.
Sonst, d.h. @ Farbe aus {1, . . . , ∆(G)}, sodass α frei in x und y ist.
∃β-Kante (α-Kante), die mit x (y) inzidiert.
Betrachte Wege die bei x mit einer β-Kante starten und alternierend mit β und α gefärbt sind.
Sei P ein längster solcher Weg.
• Aus der Zulässigkeit der Kantenfärbung ist P ein Pfad.
• y ∈
/ P , weil innere Knoten sowohl mit α-Kanten, als auch mit β-Kanten inzidieren und β
frei bei y ⇒ y innerer Knoten unmöglich.
y ist kein Endknoten von P , weil sonst ein ungerader Kreis im bipartiten G. Wiederspruch.
Wir färben alle Kanten aus P um: α-Kante → β-Kanten, β-Kante → α-Kante.
• Das ist wieder eine Kantenfärbung (Betrachte eventuelle Farbkollisionen bei x, z und bei
den inneren Knoten separat. Bei x Farbe α ist frei. Bei z, beachte dass P maximal. Für die
inneren Knoten trivial.)
• Farbe β wird auch bei x frei: für y war β schon frei. ⇒ Fall 1: Färbe {x, y} mit β.
1.11
Matchings in Graphen
Beispiel. Menge A Jobs mit unterschiedlichen Anforderungen.
Menge B Rechner mit unterschiedlichen Leistungsmerkmalen.
Annahmen:
• Kein Job i darf in mehreren Rechnern gleichzeitig bearbeitet werden (Jobs sind nicht parallelisierbar).
• Kein Rechner kann mehrere Jobs simultan bearbeiten (no multitasking)
• Einfachheitshalber: processing times ≡ 1
Gesucht: eine Zuordnung der Jobs zu den Rechnern, sodass die Verarbeitung aller Jobs frühest
möglich beendet wird.
{i, j} Kante ⇐⇒ Job i kann von Rechner j bearbeitet werden.
Gesucht: Menge M von Kanten, sodass ∀i ∈ A ∃ genau 1 Kante aus M , die mit i inzidiert und
∀j ∈ B ∃ höchstens 1 Kante aus M , die mit j inzidiert.
So ein M ist ein Matching, das alle Jobs matcht.
Definition. Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Matching M in G ist eine Menge von Kanten, sodass
∀e, f ∈ M, e 6= f ⇒ e ∩ f = ∅.
Wir sagen: v ∈ V ist in M gematcht, falls ∃e ∈ M , sodass v ∈ e. In diesem Fall sagen wir e
matcht v.
Ein Matching M heißt perfekt, wenn in M alle Knoten gematcht sind.
Beispiel. Zeichne ein Matching...
17
Definition. Sei X ⊆ V (G)
Γ(X) :=
[
Γ(v)
v∈X
Γ(v) = {u ∈ V (G) : {u, v} ∈ E(G)}
Γ(v) = {e ∈ E(G) : v ∈ e}
Satz 1.18. (Hall, Heiratssatz) In einem bipartiten Graphen G = (A ] B, E) gibt es genau dann
ein Matching M , in dem alle v ∈ A gematcht sind, wenn
|Γ(X)| ≥ |X| ∀X ⊆ A (Hall-Bedingung)
Beweis. “⇒” Sei M ein Matching in dem alle a ∈ A gematcht. Sei X ⊆ A.
Γ(X) ⊇ {b ∈ B : ∃e ∈ X{a, b} ∈ M } ⇒ |Γ(X)| ≥ |X| ∀X ⊆ A
“⇐” Z.z.: ∃ ein Matching M in dem alle a ∈ A gematcht sind.
Induktion bzgl. |A|.
Basis: |A| = 1 gilt
Sei |A| ≥ 2. Ind. Ann.: Aussage gilt für alle A0 mit |A0 | ≤ |A|.
Fall 1:
Falls |Γ(X)| ≥ |S| + 1 ∀∅ =
6 S ⊂ A.
Sei {a, b} ∈ E(G) (∃ aus Annahme). Sei G0 := (V (G) \ {a, b}, E(G) \ {e ∈ E(G) : b ∈ e}).
G0 ist bipartit mit 1 Kante weniger auf der A-Seite. D.h. Ind. Ann. gilt für G0 .
Beh. ist erfüllt:
∀∅ =
6 S ⊂ A : |ΓG0 (S)| ≥ |ΓG (S)| − 1 ≥ |S| + 1 − 1 = |S|
D.h. ∃ Matching M 0 in G0 in dem Knoten aus A gematcht. Setze
M = M 0 ∪ {{a, b}}
ist Match in G in dem alle A-Knoten geamtcht sind.
Fall 2: ∃∅ =
6 A0 ⊂ A, sodass |A0 | = |Γ(A0 )|, Γ(A0 ) = B 0
Betrachte G[A0 ∪ B 0 ].
Aus Ind. Ann. (|A0 | < |A|) gibt es ein Matching M1 in G[A0 ∪ B 0 ] in dem alle Knoten aus A0
gematcht sind.
Hall-Bedingung für den Restgraphen, d.h. G00 = G \ G[A0 ∪ B 0 ] erfüllt?
Ann. Nein. ∃S ⊆ A \ A0 , sodass |ΓG00 (S)| < |S| ⇒
Betrachte A0 ∪ S.
|ΓG (A0 ∪ S)| = |ΓG00 (S)| + |Γ(A0 )| < |S| + |A0 | = |S ∪ A0 |
Widerspruch. Die Hall-Bedingung ist erfüllt.
Aus Ind. Ann. ∃ Matching M2 in G00 , in dem alle Knoten aus A gematcht sind.
M := M1 ∪ M2 Matching in G (weil Knoten(M1 ) ∩ Endknoten(M2 ) = ∅) und M matcht alle
a ∈ A0 durch M1 und alle a ∈ A \ A0 durch M2
Korollar. Sei G = (A]B, E) ein bipartiter Graph mit |A| = |B|. G besitzt ein perfektes Matching
⇐⇒ ∀S ⊂ A : |Γ(S)| ≥ |S|
Beweis. G besitzt perfektes Matching ⇐⇒ ∃ Matching M , das alle a ∈ A matcht.
Korollar. Sei G = (A ] B, E) bipartit mit |A| = |B| und k-regulär mit k ≥ 1. Dann gibt es ein
perfektes Matching in G.
18
Beweis. Wir zeigen, dass die Hall-Bedingung erfüllt ist.
Sei S ⊆ A: Z.z. |Γ(S)| ≥ |S|
G0 = G[S ∪ Γ(S)] Handschlagslemma in G0 :
X
X
deg(v) ≥
deg(v) = k|S|
k|Γ(S)| >= |E(G0 )| =
v∈V (G0 )
V ∈S
Vermutlich korrekt:
k|ΓG (S)| >= |E(G0 )| =
1
2
X
v∈V
degG0 (v) =
(G0 )
X
degG0 (v) = k|S|
v∈S
Definition. Ein k-Faktor von G = (V, E) ist ein spannender Teilgraph G0 (V (G0 ) = V (G)), der
k-regulär ist.
Beispiel. Bsp für Faktoren
Bemerkung. perfektes Matching ≡ 1-Faktor
Korollar. Sei G = (V, E) 2k-regulär mit k ≥ 1. Dann besitzt G einen 2-Faktor.
Beweis.
deg(v) = 2k ∀v ∈ V (G)
S O.B.d.A.: G ist zusammenhängend. (sonst gibt es einen 2-Faktor Fi in jeder ZshgKomp Ci und
i Fi ist 2-Faktor in G)
∃ Euler Tour T in G. T = (v0 , e1 , v1 , e2 , . . . , el , vl = v0 ). Fixiere eine Durchlaufrichtung.
∀v ∈ V führe v − , v + ein.
−
∀e = {vi , vi+1 } wird durch {vi+ , vi+1
} ersetzt.
0
0
In G gilt: G bipartit mit Partitionen V + = {vi+ : vi ∈ V (G)} und V − = {vi− : v ∈ V (G)} ⇒
|V + | = |V − |
G0 ist k-regulär.
Aus Korollar 2 oben folgt ∃ perefektes Matching M 0 in G0 .
Konstruiere M ⊆ E(G) in G, sodass {vi− , vi+ } ∈ M 0 ⇐⇒ {vi , vj } ∈ M
degM 0 (vi+ ) = 1 = degM 0 (vi− ) ∀i ⇒ degM (vi ) = 2 ⇒ M bildet einen 2-Faktor in G
Definition. Sei G = (A ] B, E) ein bipartiter Graph. Ein U ⊆ A ] B heißt Knotenüberdeckung,
wenn
∀e ∈ E : e ∩ U 6= ∅
gilt. |U | ist Kardinalität der Knotenüberdeckung.
Beispiel. Grafik wäre toll!
Definition. Sei G = (A]B, E) ein bipartiter Graph und M ein Matching in G. Ein alternierender
Pfad P in G ist ein Pfad, der in einem ungematchten Knoten beginnt und sich alternierend aus
nicht Matching-Kanten bzw. Matching-Kanten besteht.
Wenn P in einem ungematchten Knoten endet, heißt P augmentierend.
Beispiel. Grafik
Satz 1.19. (König, 1931) Sei G ein bip. Graph. Die maximale Kardinalität eines Matchings ist
gleich der minimalen Kardinalität einer Knotenüberdeckung.
max
M Matching in G
|M | =
min
U Knotenüberdeckung in G
19
|U |
Beweis. Sei M ein Matching mit max Kardinalität in G. Konstruiere eine Knotenüberdeckung U
mit |M | = |U |.
Dann fertig, d.h. @ kleinere Überdeckung, weil
Setze U := ∅.
∀e ∈ M muss es ein eigenes u ∈ U geben, die e überdeckt.
∀e = {x, y} mit x ∈ A, y ∈ B: Falls in y ein alternierender Pfad endet, dann U := U ∪ {y},
sonst U := U ∪ {x}.
Es gilt |U | = |M |. Z.z.: U ist eine Knotenüberdeckung.
Sei f = {a, b} ∈ E \ M . Wir zeigen f ∩ U 6= ∅.
Da M max. ist entweder a oder b gematcht, aber nicht beide.
⇒ ∃{a0 , b0 } ∈ M , sodass a ≡ a0 oder b ≡ b0 , aber nicht beide.
Fall I:
Falls a 6= a0 , dann b ≡ b0 (b gematcht und a ungematcht). Dann ist P = (a, b ≡ b0 ) ein alt.
Pfad, der bei Knoten b ≡ b0 endet. ⇒ b ≡ b0 ∈ U .
Fall II:
a0 = a gematcht und b 6= b0 ungematcht.
Entweder a ∈ U (f ∪ U 6= ∅) Ok, oder a ∈
/ U.
{a = a0 , b0 } ∈ M und a0 ∈
/ U ⇒ b0 ∈ U . b0 ∈ U ⇒ ∃ alternierender Pfad P , der in b0 endet.
Falls b ∈ P , d.h. P = (v0 , v1 , . . . b, . . . , b0 ), dann ist P 0 = (v0 , v1 , . . . b) ein alt. Weg der in b
endet ⇒ b ∈ U .
Sonst b ∈
/ P , setze P 0 = (P, a0 = a, b). P 0 ist alternierend und endet bei b ⇒ b ∈ U .
Bemerkung. Der Satz gilt nur für bipartite Graphen!
Definition. (Stabile Matchings)
∀v ∈ A gibt es eine Totalordnung in Γ(v)i ≤v .
Ein Matching M heißt stabil, wenn für jede Kante e ∈ E \ M, ∃f ∈ M , sodass für v ∈ f ∩ e :
e ≤v f gilt
Satz 1.20. (Gale u Shapley, 1962, the stable marriage problem)
Sei G = (A ] B, E) ein bip. Graph und sei ≤v eine Totalordnung in Γ(v), ∀v ∈ A. Dann gibt
es in G ein stabiles Matching (neben dem leeren Matching).
20
2
Kombinatorik
(Buch: Steger)
2.1
Ziehen von Elementen aus einer Menge
Geg.: n-elementige Menge M , |M | = n.
Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es aus M k Elemente zu ziehen.
Beispiel.
M = {1, 2, 3}, n = 3, k = 2
|M | = n, k Elemente
geordnet
mit zurücklegen
(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)
ohne zurücklegen
(1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2)
Formeln zur Berechnung:
|M | = n, k Elemente
geordnet
nicht geordnet
k+n−1
mit zurücklegen
nk
k
n
n!
nk
n!
ohne zurücklegen
nk = (n−k)!
k! = k!(n−k)! = k
nicht geordnet
{1,1} {1,2} {1,3} {2,2} {2,3} {3,3}
{1,2} {1,3} {2,3}
Beispiel.
A = {a, b, . . . , z}, |A| = 26
Wie viele Wörter der Länge k gibt es?
26k
Beispiel. |A| = 26, Wörter Länge k in denen die Buchstaben nicht wiederholt werden.
Spezialfall:
k = n, nn = n!
Beispiel. {a, b, c}{b, a, c} gelten als identisch, einmal gezählt.
...
Pn
Import aus Grundbegriffen: Pasccalsches Dreieck, 2n = k=0
n
k
Definition. Ergebnisse des Experiments (mit zurücklegen, nicht geordnet) sind Multimengen.
Vielfachheit eines Elements x in Multimenge M ≡ Wie oft mal x in M vorkommt.
Kardinalität einer Multimenge ≡ # Elemente wobei jedes mit seiner Vielfachheit gezählt wird.
Frage: # Multimengen mit Kard. k aus einer Menge mit Kard. n.
Fixiere eine beliebige Anordnung der n Elemente a1 , a2 , . . . an . Jede Multimenge wird so dargestellt:
Schreibe so viele * wie die Vielfachheit von a1 in M . Dann eine Trennlinie |, dann so viele *
wie Vielfachheit von a2 , Trennlinie, . . . .
∗ ∗ ∗|| ∗ ∗||∗ → a1 , a1 , a1 , a3 , a3 , a5
Multimengen der Kardinalität k mit einer n-elementigen Menge entsprechen ∗|-Codes mit k ∗
und n − 1 Trennlinien.
Frage: Wie viele ∗|-Codes gibt es mit k ∗ und n − 1 Trennlinien. In k + n − 1 Kästchen wählen wir k Positionen für die ∗: k+n−1
k
Beispiel. Wahl des Vorsitzenden eines Gremiums, anonoym.
3 Kandidaten und 100 gültigen Stimmen.
Frage: Anzahl der möglichen Wahlausgänge.
n = 3, k = 100
k+n−1
100 + 3 − 1
102
102
=
=
=
= 5151.
k
100
100
2
21
2.2
Kombinatorische Beweisprinzipien
Definition.
{1, 2, . . . , n} =: [n]
Die Summenregel:
S=
]
Si ⇒ |S| =
i∈I
X
|Si |
i∈I
Beispiel. # 5-elementigen Teilmengen von [10], die 1 oder 2 enthalten, aber nicht beide Elemente.
# der TM die 1 enthalten [1, , , , ]
8·7·6·5
4!
# der TM die 2 enthalten: [2, , , , ]
8·7·6·5
4!
# TM 2 ·
8·7·6·5
4!
Die Produktregel:
S=
× S ⇒ |S| =
Y
i
i∈I
|Si |
i∈I
Beispiel. # n-stelligen Zahlen deren i. Ziffer durch i teilbar ist.
[9, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, . . . ]
n fix n > 10: 9 · 5 · 4 · 3 · 3 · 2
Satz 2.1. (Gleichheitsregel) Sei f : S → T Bijektion ⇒ |S| = |T |.
S, T endliche Mengen.
Statt |S| zu ermitteln berechnet man |T |.
Beispiel. # von Multimengen einer Menge als # der dazugehörigen */- Codes.
Satz 2.2. (Doppeltes Abzählen) Sei R ⊆ S × T .
Gesucht n = |{(s, t) : s ∈ S, t ∈ T, (s, t) ∈ R}|.
X
X
n=
|{(s0 , t) : t ∈ T, (s0 , t) ∈ R}| =
|{(s, t0 ) : s ∈ S, (s, t0 ) ∈ R}|
s0 ∈S
t0 ∈T
Beispiel. Übung: Beispiel 30
S = Menge der Gebiete vom planaren G = (V, E)
T =E
s ∈ S, t ∈ T : (s, t) ∈ R ⇐⇒ t ∈ δ(s)
2.2.1
Schubfachprinzip
Gegeben: n Elemente, die auf m Fächer verteilt werden.
Falls m < n, dann ∃ Fach, welches mind. 2 Elemente enthält.
Satz 2.3. (Schubfachprinzip) Sei f : X → Y eine Abbildung und |X| > |Y | gilt. Dann ∃y ∈ Y ,
sodass |f −1 (y)| ≥ 2.
Beweis. Trivial.
22
Beispiel. P = Menge von Personen |P | = k.
P = {p1 , p2 , . . . , pk }
Relation “pi kennt pj ” sei symmetrisch und nicht reflexiv.
Beh.: ∃ (mind.) 2 Personen, die die gleiche Anzahl von Personen aus P kennen.
Sei pi = # Personen aus P , die pi kennt ∀1 ≤ i ≤ k
|{pi : 1 ≤ i ≤ k}| = k
f : pi → {0, 1, . . . , k − 1}, f (pi ) = pi
Fall A: ∃ Person pi , die niemanden kennt, pi = 0
Jede Person pj kennt pi0 nicht (Symmetrie).
∀pj : pj ≤ k − 2 ⇒ pj ∈ {0, . . . , k − 2}
|{0, 1, . . . , k − 2}| ≤ |{pi : 1 ≤ i ≤ k}|
Fall B: ∀pi gilt pi ≥ 1
pi ∈ {1, 2, . . . , k − 1}∀i
⇒ Schubfachprinzip, weil
|{pi : 1 ≤ i ≤ k}| < {pi : 1 ≤ i ≤ k}
Satz 2.4. (verallgemeinertes Schubfachprinzip)
Sei f : X → Y eine Abbildung. ∃y ∈ Y mit |f −1 (y)| ≥ d |X|
|Y | e.
Beweis. Durch Widerspruch. Ann.: ∀y ∈ Y gilt |f −1 (y)| < d |X|
|Y | e.
Beobachtung:
∀a, b ∈
Z+b 6= 0 : d ab e − 1 ≤? a + bb − 1 − 1 = a −b 1
a = kb + r, a ≤ r < b
Falls r = 0:
a
kb + b − 1
1
1
d e−1=k−1≤
− 1 = (k + 1) − − 1 = k −
b
b
b
b
Falls r > 0:
d
kb + r
kb + r + b − 1
r 1
r−1
e−1=k+1−1≤
−1=k+1+ − −1=k+
b
b
b
b
b
|X| =
X
y∈Y
|f −1 (y)| ≤
X |X|
X |X| − 1
|X| − 1
d
e≤
= |Y |
= |X| − 1
|Y |
|Y |
|Y |
y∈Y
y∈Y
Widerspruch.
Beispiel. 6 Personen. Beh.: Entweder ∃ 3 Personen, die sich untereinander kennen, oder ∃ 3 Personen die sich untereinander nicht kennen.
Sei
1 pi kennt p1
pi =
0
sonst
f : {2, . . . , 5} → {0, 1}, f (i) = pi ∀2 ≤ i < 5
23
|X| = 5, |Y | = 2 ⇒ ∃y : |f −1 (y)| = d
5
|X|
e=d e=3
|Y |
2
Fall 1:
|f −1 (1)| ≥ 3 ⇐⇒ ∃ zumindest 3 Pers. die Person 1 nicht kennen
Person 1 kennt mindests 3 Personen
Fall 1a: ∃ 2 Personen aus 2,3,4 die sich kennen.
Falls 1b: ∀ Paar von Pers aus 2,3,4: kennen einander nicht ⇒ {2, 3, 4} ist das gesuchte Tripel
Fall 2:
|f −1 (0)| ≥ 3 ⇐⇒ zumindest 3 Pers. die Person 1 kennen
Fall 2a: ∃ Paar (i, j) aus 2,3,4 das einander nicht kennt. Tripel {1, i, j}.
Fall 2b: alle Paare aus {2, 3, 4} kennen sich ⇒ {2, 3, 4} das gesuchte Tripel.
2.2.2
Prinzip der Inklusion-Exklusion
Summenregel:
I endlich.
A=
]
Ai ⇒ |A| =
i∈I
X
|Ai |
i∈I
Was wenn Mengen nicht disjunkt?
Beispiel.
|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 |
|A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A2 ∩ A3 | − |A1 ∩ A3 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 |
Notation.
{1, 2, . . . , n}
r
:= Menge aller r-elementigen Teilmengen von {1, 2, . . . , n}
Satz 2.5. (Inklusions-Exklusions-Prinzip) Seien A1 , A2 , . . . An Mengen. Es gilt
n
\
X
n
r
n
[ X
\ X
X
(−1)r−1
Aij =
(−1)r−1
Ai =
Ai r=1
r=1
i=1
1≤i1 <i2 <...ir ≤n j=1
I∈({1,2,...,n}
) i∈I
r
Beweis. Kombinatorischer
Beweis:
Sn
Sei a ∈ i=1 Ai beliebig. A wird links genau einmal gezählt. Wir zeigen, dass a auch rechts
genau einmal gezählt wird Sei l die # von Mengen aus A1 , A2 , . . . , An die a enthalten.
l := |{Ai : 1 ≤ i ≤ n, a ∈ Ai }|
Einfachheitshalber sind A1 , . . . , Al die Mengen die a enthalten.
\ X
Ai I∈({1,2,...,n}
) i∈I
r
wird rl gezählt falls r ≤ l.
24
\
a∈
Ai ⇐⇒ a ∈ Ai ∀i ∈ I ⇐⇒ i ∈ {1, 2, . . . , l}∀i ∈ I ⇐⇒ I ⊆ {1, 2, . . . , l}
i∈I
Wenn r > l wird a in
\ Ai X
I∈({1,2,...,n}
) i∈I
r
0 Mal gezählt.
Insgesamt wird a rechts
l
X
(−1)
r−1
r=1
l
r
mal gezählt.
Beh.:
l
X
l
(−1)r−1
=1
r
r=1
l
0 = (1 − 1) =
l X
l
l X
l
(−1) = 1 −
(−1)r−1
r
r
r=1
r=0
r
Beispiel. n Matrosen die nicht unbedingt in eigener Koje schlafen.
# Möglichkeiten, dass kein Matrose in der eigenen Koje schläft
π : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} Bijektion
Matrose i gehört Koje i.
Gefragt: # Bijektionen π, sodass π(i) 6= i ∀1 ≤ i ≤ n. (Fixpunktfreie Abbildungen (Bijektionen)). Man nennt deren Anzahl Derangement-Zahl Dn .
Sei ξn die Anzahl der Bijektionen π mit mindestens einem Fixpunkt.
Dn = n! − ξn
∀1 ≤ i ≤ n sei Ai Menge Bijektionen π mit π(i) = i.
ξn =
n
[
n
X
Ai ⇒ |ξn | =
(−1)r−1
r=1
i=1
Betrachte
T
i∈I
X
\ Ai I∈({1,2,...,n}
) i∈I
r
Ai für |I| = r:
\ Ai = (n − r)!
i∈I
ξn =
n
X
(−1)
r=1
Dn = n! −
n
X
r−1
n
X
n
n!
(n − r)! =
(−1)r−1
r!
r
r=1
n!
n! n!
n!
= n! − (n! −
+
+ · · · + (−1)n−1 )
r!
2!
3!
n!
r=1
1
1
1
1
Dn = n!
− + + · · · + (−1)n
2! 3! 4!
n!
(−1)r−1
25
2.2.3
Die Bonferroni Ungleichunge
Satz 2.6. Es gilt. Seien A1 , . . . An Mengen:
q
X
(−1)r−1
r=1
n
\ [
Ai ≤ Ai falls q gerade
X
I∈({1,2,...,n}
) i∈I
r
q
X
(−1)r−1
r=1
i=1
n
\ [
Ai ≥ Ai falls q ungerade
X
i=1
I∈({1,2,...,n}
) i∈I
r
Beweis. q=1,2 Übung
2.3
Nochmals Binomialkoeffizienten und Multinomialkoeffizienten
Satz 2.7. Symmetrie:
n
n
=
k
n−k
N
für k ≤ n, k, n ∈
Pascalsches Dreieck:
für k ≤ n − 1, k, n ∈
2.3.1
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
N.
Vandemonde’sche Identität
n + m Studierende, n Studentinnen, m Studenten.
Daraus
sind k Studierende zu wählen.
n+m
k
n
l l Studentinnen 0 ≤
m
k−l k − l Studenten
l ≤ min{k, n}
n+m
k
min{k,n} =
X
l=0
n
l
m
k−l
Folgerung: n = m und k = n:
2.3.2
2n
n
=
X
n n 2
X
n
n
n
=
l
n−l
l
l=0
l=0
Multinomialkoeffizient
MISSISSIPPI
Wieviele Wörter lassen sich mit den Buchstaben von Mississippi bilden (auch Wörter ohne
Bedeutung) ≡ # Möglichkeiten die Buchstaben des Wortes umzuordnen.
M1 I1 S1 S2 I2 S3 S4 I3 P1 P2 I4
Es gibt 11! Anordnungen.
Pro Buchstabe sei vb die Vielfachheit. Pro Buchstabe zählen wir in den indexierten Anordnungen vb ! identische Wörter.
11!
Multinomialkoeffizient: 1!4!4!2!
26
Definition. m Sorten von Objekten, insgesamt n Objekte, ki Objekte von Sorte i
n
n!
:=
k1 , k2 , . . . , kn
k1 !k2 ! . . . kn !
mit k1 , k2 , . . . , kn , n ∈
N0, k1 + k2 + · · · + kn = n.
Lemma 2.1.
n
n−1
n−1
n−1
=
+
+ ··· +
k1 . . . km
k1 − 1 . . . km
k1 , k2 − 1, . . . km
k1 , k2 , . . . km − 1
Beweis.
n!
(n − 1)!
(n − 1)!
k1 + k2 + km = n
n!
=!
+· · ·+
=
(n−1)! =
k1 ! . . . km !
(k1 − 1)! . . . km !
k1 !k2 ! . . . (km − 1)!
k1 !k2 ! . . . km !
k1 ! . . . km !
R
N
Satz 2.8. Die folgende Gleichung gilt für x1 , . . . , xm ∈ beliebig und n ∈ :
X
n
n
(x1 + x2 + · · · + xm ) =
xk1 xk2 . . . xkmm
k1 , k2 , . . . , km 1 2
N
k1 +k2 +...km =n
k1 ,k2 ,...,km ∈ 0
Bemerkung. (Binomischer Lehrsatz) k = 2
X
n
(x1 + x2 ) =
N
k1 +k2 =n
k1 ,k2 ∈ 0
n X
n
n k1 n−k1
k1 k2
x x =
x x
k1 , k2 1 2
k0 1 2
k1 =0
Beweis. Induktion nach n.
Basis n = 1
X
x1 +x2 +· · ·+xm =
X
··· =
(k1 ,...,km )∈{0,1}m
ein ki =1, die anderen 0
N
k1 +k2 +···+km =1
k1 ...,km ∈ 0
1
xk1 . . . xkmm = x1 +x2 +. . . xm
k1 . . . km 1
I. Ann.: Aussage gilt für n − 1
I. Schritt: Z.z.: Aussage gilt für n
(x1 + x2 + . . . xm )n = (x1 + . . . xm )n−1 (x1 + . . . xm ) =
X
N
k1 +k2 +...km =n−1
k1 ,k2 ,...,km ∈ 0
=
m
X
n−1
xk1 xk2 . . . xkmm (x1 + · · · + xm ) =
k1 , . . . , k m 1 2
X
N
j=1 k1 +···+km =n−1
k1 ,...,km ∈ 0
Setze
kj0
n−1
k +1
xk1 . . . xj j . . . xkmm =
k1 , . . . , km 1
= kj + 1.
=
m
X
X
j=1 k1 +···+kj0 +···+km =n
k1 ,...,km ∈ 0
N
n−1
k0
xk11 . . . xj j . . . xkmm =
0
k1 , . . . kj − 1, . . . , km
27
m X
X
=
k1 +···+kj0 +···+km =n j=1
k1 ,...,km ∈ 0
N
n−1
k0
xk11 . . . xj j . . . xkmm =
0
k1 , . . . kj − 1, . . . , km
X
=
m
X
xk11 . . . xkmm
N
··· =
j=1
k1 +···+km =n
k1 ,...,km ∈ 0
Laut Lemma oben:
X
=
xk11 . . . xkmm
n
k1 . . . km
N
k1 +...km =n
k1 ,...,km ∈ 0
2.4
Näherungen
2.4.1
Näherung der Harmonischen Zahl
Hn := 1 +
1 1
1
+ + ··· +
2 3
n
n → ∞ ⇒ Hn → ∞
Gruppierung der Summanden, sodass in k. Gruppe Gk alle
1
i
vorkomen, für die
1
1
1
< ≤ k−1 ⇐⇒ 2k−1 ≤ i < 2k
2k
i
2
gilt.
Gk =
1
1
1
1
. . . k−1 =
2k − 1 2k − 2
2
2 2k−1 − 2k−1
⇒ |Gk | = 2k−1
|Gk |
2k
X1
1
1
1
≤
≤ |Gk | k−1 ∀ ∈ Gk
−1
i
2
i
⇒
X 1
1
≤
≤1
2
i
1
i
∈Gk
1
∈ Gk ⇐⇒ 2k−1 ≤ i < 2k ⇐⇒ k − 1 ≤ log2 i < k
i
⇒ k = blog2 ic + 1
Nun verwenden wir diese Tatsachen zur Abschätzung der Harmonischen Zahl:
Hn =
n
X
1
i=1
i
blog2 nc+1
≤
Hn ≥
⇒
X
X
k=1
x∈Gk
x ≤ blog2 nc + 1
1
(blog2 nc + 1)
2
1
1
log2 n ≤ (blog2 nc + 1) ≤ Hn ≤ log2 n + 1
2
2
28
Es gilt also:
1
log2 n ≤ Hn ≤ log2 n + 1
2
Dies ist eine gute Approximation, weil:
lim
n→∞
2.4.2
log2 n + 1
=2
1
2 log2 n
Näherung der Fakultät
Sehr einfache Näherung:
2
n−1
≤ n! =
n
Y
i ≤ nn
i=1
Etwas genauer:
n gerade:
n! =
n
Y
n
i=
2
Y
n
Y
i
i=1 i= n
2 +1
i=1
n
Y
i≥
i≥
i= n
2 +1
n n2
2


n
n
n
n
2
n n2
n n2 n
Y
Y
Y
n
nn

i
= √
n! =
i≤
n =
n2 = √
2
2
( 2)n
2
i=1 n +1
i= n +1
2
2
Für n gerade gilt also:
⇒
r n
n
n
n
≤ n! ≤ √
2
2
Für n ungerade gleiches Ergebnis (siehe Übung).
Bemerkung. Untere Grenze bei 2. Näherung:
p n n
n
n
n!
2
√
≥
=
→n→∞ ∞
2n
2n
2 2
n! wächst also viel schneller als 2n .
Obere Grenze bei 2. Näherung:
Satz 2.9. (Näherung nach Gauß)
∀n ∈
N:n
n
2
≤ n! ≤
n+1
2
n
Beweis. ∀i ∈ [n] betrachte i(n + 1 − i):
1≤i≤n⇒1≤n+1−i≤n
n
Y
(i(n + 1 − i)) = 1 1 2 2 . . . n n = (n!)2
i=1
v
u n
uY
n! = t (i(n + 1 − i))
i=1
Wir zeigen: i(n + 1 − i) ≥ n ∀i ∈ [n]
29
i = 1 : 1 n = n, i = n : n 1 = n
Für 2 ≤ i ≤ n − 1 gilt
i + (n + 1 − i) = n + 1 ⇒ max{i, n + 1 − i} ≥
n+1
2
min{i, n + 1 − i} ≥ 2
i(n + 1 − i) ≥ 2
n+1
=n+1≥n
2
Laut der Mittelungleichung gilt:
p
n+1
i(n + 1 − i) ≤
2
n
√ n
n+1
n ≤ n! ≤
2
Aus der Analysis gilt:
1 + x ≤ ex
Satz 2.10.
∀n ≥ 1 : e
n n
e
∀x ∈
R
≤ n! ≤ en
n n
e
wobei e die Eulersche Zahl ist.
Beweis. Beweis der oberen Schranke durch Induktion nach n (untere Schranke Übung):
Ind. Anfang: n = 1:
1
1! ≤ e
=1
e
Ann. Aussage gilt für n − 1
Schritt:
n! = (n − 1)!n ≤ e(n − 1)
n−1
e
n−1
n n (n − 1)n n n
n= e·n
e
=
e
·
n
e
nn
e
Beobachtung:
n−1
n
n
weil Analysis
lim
n→∞
1
1−
n
e≤1
n
= e−1
oder
e
n−1
n
n
n
1 n
1
=e 1−
≤ e e− n
=1
n
30
2.4.3
Näherung der Binomialkoeffizienten
obere Schranke
n
≤ n(n − 1) . . . (n − k + 1) ≤ nk
k
Bemerkung. Falls k >
n
2:
k
n
n
n
=
≤
nn−k
k
n−k
Untere Schranke:
k−1
Y n − i n k
n−i
n
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
n
falls
=
=
≥
≥
k
k(k − 1) . . . 1
k−i
k
k−i
k
i=0
n−i
n
≥
⇐⇒ (n − i)k ≥ (k − i)n ⇐⇒ nk − ik ≥ nk − in ⇐⇒ ik ≤ in ⇐⇒ k ≤ n
k−i
k
Satz 2.11. ∀n, k ∈
N, 1 ≤ k ≤ n, gilt
n
e · n k
≤
k
k
Beweis. Wir zeigen eine noch stärkere Ungl.:
n
n
n
en k
+
+ ··· +
≤
k
0
1
k
Sei x ∈ (0, 1]. Aus dem Binomischen Lehrsatz folgt
n
n
n k
+
x + ··· +
x ≤ (1 + x)n
0
1
k
Dividiere durch xk :
1 n
1 n
1 n k
(1 + x)n
+
x
+
·
·
·
+
x ≤
k
k
k
x 0
x 1
x k
xk
1 n
1
n
n
n
n
n
(1 + x)k
≥
+
+
·
·
·
+
≥
+
+
·
·
·
+
∀x ∈ (0, 1]
xk
xk 0
xk−1 1
k
0
1
k
Setze x =
k
n
k n
n
k k
n
1+
≥
n
n
n
+ ··· +
≥
0
k
k
n n k en k
k
n k k/n k
1+
≤ e
= ek
=
n
k
k
k
31
2.5
Permutationen
Definition. Eine Permutation einer Menge A = {a1 , . . . , an } ist eine bijektive Abb. von A auf
sich selbst.
π : A → A, π Bijektion
Notation. Sei π eine Permutation, dann ist
a1
a2
...
π=
π(a1 ) π(a2 ) . . .
an
π(an )
Bemerkung. # Permutationen von A ist |A|!, falls A endlich.
Notation. Menge der Permutationen einer n-elementigen Menge: Sn
Beispiel. Siehe Lineare Algebra...
Definition. Ein Zyklus i1 , i2 , . . . it der länge t in einer Permutation π ist eine Folge von Elementen
aus A, sodass π(ij ) = ij+1 ∀1 ≤ j ≤ t − 1 und π(it ) = i1 .
Beispiel. Zyklenschreibweise
Bemerkung. Die Darstellung einer Permutation als Produkt von Zyklen ist eindeutig bis auf die
Reihenfolge der Zyklen bzw. bis auf das Startelement eines jeden Zyklus.
Definition. (Stirling-Zahlen 1. Art - Stirling Cycle Number) Seien n, k ∈
Anzahl der Permutationen von n Elementen mit k Zyklen.
N0, dann setze sn,k :=
Bemerkung.
s0,0 = 1
sn,0 = 0 für n ≥ 1
sn,1 = (n − 1)!
sn,n = 1 (id)
n
sn,n−1 =
2
allgemeine Rekursion:
Satz 2.12. Die Stirling-Zahlen 1. Art erfüllen die Rekursion
sn,k = sn−1,k−1 + (n − 1)sn−1,k
für n ≥ 1, k ≥ 1.
s0,0 = 1, sn,k = 0 für k > n, sn,0 = 0 für n ≥ 1
Beweis. Fall 1: n ist in Zyklus der Länge 1: Muss n − 1 Elemente auf k − 1 Zyklen aufteilen.
sn−1,k−1
Fall 2: n ist in Zyklus, in welchem es auch andere Elemente gibt. Teile die n − 1 Elemente
von {1, . . . , n − 1} auf k Zyklen auf. (mögliche Einfügepositionen: nach jedem Element in einem
Zyklus). (n − 1) Einfügepositionen für n. (n − 1)sn−1,k Möglichkeiten in diesem Fall
=⇒ sn,k = sn−1,k−1 + (n − 1)sn−1,k
32
n/k
0
1
2
3
4
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
2
6
2
0
0
1
3
11
3
0
0
0
1
6
4
0
0
0
0
1
Definition. (Transposition) Eine Transposition ist eine Permutation mit Zyklendarstellung (i, j)
mit i 6= j, also eine Vertauschung von i und j.
Satz 2.13. Jede Permutation lässt sich als Produkt von nicht notwendigerweise disjunkten Transpositionen darstellen; insbesondere lässt sich jeder Zyklus der Länge k als Produkt von k − 1
Transpositionen schreiben.
Beweis. Da jede Permutation als Produkt von Zyklen geschrieben werden kann, reicht es den 2.
Teil des Satzes zu beweisen.
(a1 a2 . . . ak−1 ak ) = (a1 a2 )(a2 a3 ) . . . (ak−2 ak−1 )(ak−1 ak )
Induktionsbeweis wäre möglich.
Definition. Sei π eine Permutation. Dann definiere
sgn π := (−1)f ,
wobei f die Anzahl der Fehlstände (Inversionen) von π ist, d.h. die Anzahl der i < j, sodass
π(i) > π(j).
Lemma 2.2. Sei π eine Permutation von n Elementen. Dann gilt
sgn π =
Y π(j) − π(i)
i≤j
j−i
Beweis. Bis auf Vorzeichen kürzt sich im Produkt alles weg. Wo Fehlstand, genau ein negatives
Vorzeichen.
Satz 2.14. Seine σ, π zwei Permutationen. Dann gilt
sgn σπ = sgn σ sgn π
sgn ist ein Gruppenhomomorphismus von Sn nach {±1}.
Beweis.
sgn σπ =
Y σ(π(j)) − σ(π(j)) π(j) − π(i)
·
=
π(j) − π(i)
j−i
i<j
π(j) = l
π(i) = k
= sgn π ·
Y σ(l) − σ(k)
l−k
= sgn π · sgn σ
(doppelter Vorzeichenfehler, falls π(j) < π(i)).
Proposition. Sei (ij) eine Transposition. Dann gilt
sgn(ij) = −1.
33
Beweis. σ = (12) hat einen Fehlstand: 1 < 2, aber σ(1) > σ(2).
(1j)(2i)(12)(2i)(1j) = (ji)
⇒ sgn(ij) = sgn(1j) sgn(2i) sgn(12) sgn(2i) sgn(1j) = −1
(Falls i, j, 1, 2 nicht paarweise verschieden, nehme n − 1 und n statt 1 und 2 odgl).
Korollar. Ein Zyklus der Länge k hat sgn(−1)k−1 .
Beweis. Schreibe den Zyklus als Produkt von k − 1 Transpositionen.
Definition. Eine Permutation heißt gerade, wenn sie Signum +1 hat; ungerade anderenfalls.
An := {π ∈ Sn | sgn π = 1}.
alternierende Gruppe.
Bemerkung.
|An | =
n!
für n ≥ 2
2
Beweis. Multiplikatioen mit (12) ist Bijektion zwischen geraden und ungeraden Permutationen.
Induktion.
34
3
Erzeugende Funktionen
(J. Matoušek und J. Nešetřil, Diskrete Mathematik: eine Entdeckungsreise, Springer, 2007)
Analyse von unendl. Folgen anhand zur Folge assozierter stetiger Funktionen.
3.1
Polynome
p(x) = x + x2 + x3 + x4
g(x) = x + x3 + x4
p(x)g(x) = x8 + 2x7 + 2x6 + 3x5 + 2x4 + x2 + x3
Koeffizient von x5 = 3
x aus p(x), x2 aus p(x), x4 aus p(x), x4 aus q(x), x3 aus q(x), x aus q(x).
Proposition. Seien I, J ⊂
N endlich. Seien
p(x) =
X
xi
q(x) =
i∈I
r
Der Koeffizient neben x , r ∈
X
xj
j∈J
N ist # Lösungen i + j = r für i ∈ I, j ∈ J.
Beispiel. Zahlenbeispiel: 21 Euro bezahlen:
6 1-Euro-Münzen, 5 2-Euro-Münzen, 4 5-Euro-Scheine
Setze
i1 Betrag der mit 1-Euro-Münzen bezahlt wird
i2 Betrag der mit 2-Euro-Münzen bezahlt wird
i3 Betrag der mit 5-Euro-Scheine bezahlt wird
i1 + i2 + i3 = 21
i1 ∈ {0, 1, . . . , 6}
i2 ∈ {0, 2, 4, 6, 8, 10}
i3 ∈ {0, 5, 10, 15, 20}
Anzahl der Lösungen ist der Koeffizient neben x21 im folgenden Produkt:
(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 )(1 + x2 + x4 + x6 + x8 + x10 )(1 + x5 + x10 + x15 + x20 )
Beispiel. Beispiel 2:
n
X
n
k
= n2n−1
k
k=0
per Induktion möglich. Sonst:
!0
n X
n k
((1 + x) ) =
x
k
k=0
n
X
n k−1
n−1
k
n(1 + x)
=
x
∀x ∈
k
n 0
k=1
Für x = 1
n · 2n =
X
n
n
X
n
n
k
=
k
k
k
k=1
k=0
35
R
Beispiel. Zz.
n 2
X
n
i=0
i
=
2n
n
Dies ist der Koeffizient neben xn in (1 + x)2n (Bin. Lehrsatz)
2n X
2n
k=0
k
xk = (1 + x)2n = (1 + x)n (1 + x)n =
n X
n
k=0
k
xk
n X
n k
x
k
k=0
n
Koeffizientnevergleich (x ):
n n 2
X
2n n X n
n
n
x =
xk xn−i =
xn
n
i
n
−
i
i
i=0
i=0
3.2
Potenzreihen
Definition. Eine Potenzreihe ist eine unendliche Reihe der Form
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + . . .
wobei a0 , a1 , . . . an , · · · ∈
R (Koeffizienten) und Variable x ∈ R.
Beispiel.
f (x) :=
1
= 1 + x + · · · + xn + . . .
1−x
x ∈ (−1, 1)
an = 1 =
Reihe
P∞
f (n) (x)
n!
, Folge a0 , . . . und Funktion f (x) sind ”äquivalent“.
R
Lemma 3.1. (Taylor) Sei a0 , a1 , . . . an , . . . eine
Es existiere k ∈ , sodass
P∞Folge ireeller Zahlen.
1 1
|an | ≤ k n für allePn ≥ 1. Dann konvergiert
i=0 ai x ∀x ∈ − k , k absolut und definiert eine
∞
Funktion a(x) := i=0 ai xi , die in x = 0 beliebig oft differenzierbar ist und ∀n ∈ 0
N
a(n) (0)
n!
an =
Beweis. Analysis
Definition. Sei a0 , a1 , . . . , an , . . . einer Folge reeller Zahlen.
P∞
Die (gewöhnliche) erzeugende Funktion von (ai )i∈N0 ist die Potenzreihe i=0 ai xi .
Bemerkung. Falls nur endliche viele Glieder von (ai )i∈N0 ungleich 0, dann ist Erzeugendenfunktion
ein Polynom.
Lemma 3.2. Sei r ∈ beliebig und k ∈ 0 und sei kr der verallgemeinerte Binomialkoeffizient.
Es gilt
R
N
r
(1 + x) =
Z
∞ X
r
k=0
k
xk .
Falls r < 0, r ∈
(−r + k − 1) . . . (−r)
r
(−r)(−r + 1) . . . (−r + k − 1)
= (−1)k
= (−1)k
=
k
k!
k!
36
⇒
r
−r + k − 1
= (−1)k
k
k
(gewöhnlicher Binomialkoeffizient)
3.2.1
Rechenregeln mit Folgen und deren erzeugenden Funktionen
Seien (ai )i∈N , (bi )i∈N zwei Folgen reeller Zahlen und a(x) bzw. b(x) deren erzeugende Funktionen.
1. Addition: Erz Funktion der (ai + bi )i∈N ist a(x) + b(x)
a(x) + b(x) =
∞
X
ai xi +
i=0
R: (αai)i∈N
3. Rechtsverschiebung: Sei n ∈ N fest
2. Multiplikation mit α ∈
0
→
P∞
i=0
∞
X
bi x i =
∞
X
(ai + bi )xi
i=0
i=0
αai xi = α
P∞
i=0
ai xi = αa(x)
Erzeugende Funktion: 0, 0 . . . , 0, a0 , a1 , . . . , an , . . . (n Nullen)
xn a(x) = xn
∞
X
i=0
ai xi =
∞
X
ai xn+i = a0 xn + a1 xn+1 + · · · = 0 · x0 + · · · + 0 · xn−1 + a0 xn + . . .
i=0
4. Linksverschiebung: Erzeugende Funktion der Folge an , . . . :
a(x) − a0 − a1 x − . . . an−1 xn−1
=
xn
P∞
i=n ai x
xn
i
= an · 1 + an+1 x + · · · + an+k xk + . . .
5. a0 , 0, . . . , 0, a1 , 0, . . . , 0, a2 , . . . (immer n − 1 Nullen dazwischen)
Erzeugende Funktion der obigen Folge ist c(x) = a(xn )
=
∞
X
ai (xn )i = a0 + a1 xn + a2 x2n + . . .
i=0
6. a0 , αa1 , α2 a2 , . . . , αn an , . . . für α ∈
R
Erzeugende Funktion der obigen Folge ist c(x) = a(αx) =
=
∞
X
ai (αx)i =
i=0
∞
X
(ai αi )xi
i=0
7. Ableitung
a(x) =
∞
X
ai xi ⇒ a0 (x) =
i=0
∞
X
iai xi−1 =
i=1
a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + . . .
a0 (x) ist also erzeugende Funktion von a1 , 2a2 , 3a3 , . . . , nan
37
8. Integration
a(A) =
∞
X
i
Z
ai A ⇒
x
a(t) dt =
0
0
i=0
∞
xX
Z
i
ai t dt =
i=0
∞ Z
X
0
i=0
x
X
∞
xi+1
ai t dt =
ai
i+1
i=0
i
in einem Intervall (−, ) mit > 0.
Z
x
a(t) dt erzeugende Funktion 0,
0
a0 a1
an−1
, ,...,
,...
1 2
n
9. Multiplikation
a(x)b(x) =
∞
X
i=0
ai x
i
∞
X
i
bi x =
i=0
∞
∞
X
X
i=0
!
ak bi−k
xi
k=0
⇒ a(x)b(x) erzeugende Funktion der Folge a0 b0 , a0 b1 + a1 b0 , a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 , . . . ,
Beispiel. Erzeugende Funktion von 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, . . . .
∞
X
1
1
xi ⇒
=
Erzeugende Funktion von 1, 1, . . .
1−x
1
−
x
i=0
Betrachte die Folgen:
0, 1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, . . . 0, 2n , . . .
1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, 0, . . . , 2n , 0, . . .
Betrachte dafür:
1, 2, 4, 8, . . . , 2n , · · · ≡ 20 · 1, 21 · 1, 22 · 1, . . .
1
Wende Operation 6 auf a(x) := 1−x
, was für 1, 1, 1, . . . steht an:
a(2x) =
1
1 − 2x
Operation 5 mit n = 2 auf 1, 2, 4, 8, . . .
1
⇒ 1−2x
2 ist Erzeugende Funktion von 1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, 0, . . . .
Rechtsverschiebung um 1:
x
erzeugende Funktion von 0, 1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, . . .
1 − 2x2
Gesuchte Erzeugendenfunktion ist Summe:
1+x
1 − 2x2
Beispiel. 30 rote, 40 blaue, 50 weiße Bälle. gleichfarbige Bälle sind identisch (paarweise).
Auf wie viele Arten kann man 70 Bälle wählen?
Anzahl der Lößungen i1 + i2 + i3 = 70 mit
i1 ∈ {0, . . . 30}, i2 ∈ {0, . . . 40}, i3 ∈ {0, . . . 50}
Lösung ist Koeffzient neben x70 in
(1 + x + · · · + x30 )(1 + x + · · · + x40 )(1 + · · · + x50 ) =
statt ausmultiplizieren umschreiben
∞ X
1 − x31 1 − x41 1 − x51
1
3+k−1 k
31
41
51
=
(1−x )(1−x )(1−x ) =
x (. . . )(. . . )(. . . ) =
=
1−x 1−x 1−x
(1 − x)3
k
k=0
38
2
3
4 2
5 3
=
+
x+
x +
x ...
1 − x31 − x41 − x51 + . . . Punkte sind Potenzen höher als 70
0
1
2
2
= ··· +
72
41
31
21
−
−
−
x70 + . . .
70
34
29
19
Die Lösung ist also 1061.
3.3
Fibonacci-Folgen und der goldene Schnitt
Definition. F0 , F1 , . . . , Fn , . . .
F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn ∀n ≥ 0
Fragen: Erzeugende Funktion, explizite Formen für Fn ?
Sei F (x) die erz. Funktion von Fn .
Es gilt F (x) − xF (x) − x2 F (x) = x, weil
Fn
F0
F1 F2 . . .
Fn
...
Fn−1 −(0 F0 F1 . . . Fn−1 . . . )
Fn−2 −(0 0 F0 . . . Fn−2 . . . )
0
1
0 ...
0
...
Erz. Funktion = x
∞
X
!
ai xi für (ai ) = (0, 1, 0, . . . , 0)
i=0
F (x) − xF (x) − x2 F (x) = x ⇒ F (x) =
x
für x 6= Nullstelle von 1 − x − x2
1 − x − x2
Taylor-Entwicklung von F (x) führt zurück zur Rekursion, also kein Mehrwert.
Alternativer Weg: Partialbruchzerlegung für F (x).
√
√
A
−1 − 5
B
−1 + 5
F (x) =
und x2 =
+
mit x1 =
x − x1
x − x2
2
2
A
=
−x1 1 −
x
x1
−
B
x2 1 −
x
x2
Berechne Koeffizienten:
1
1
=: λ1 ,
= λ2
x1
x2
A
B
, b :=
x1
x2
√
√
1+ 5
1− 5
λ1 =
, λ2 =
2
2
1
1
a = √ , b = −√
5
5
a := −
⇒
=
a
b
+
1 − λ1 x 1 − λ2 x
39
=a
∞
X
k
(λ1 x) + b
k=0
=
∞
X
(λ2 x)k
k=0
∞
X
aλk1 + bλk2 xk
k=0
n
Koeff. neben x = Fn =
aλn1
+
bλn2
√ !n
√ !n !
1+ 5
1− 5
−
∈
2
2
a λ2
Fn = aλn1 1 +
≈n→∞ aλn1
b λ1
1
Fn = √
5
N
Asymptotisches Verhalten von Fn / Fn+1 :
n
b λ2
1 1 + a λ1
aλn1 + bλn2
1
Fn
=
=
n+1 →n→∞
n+1
n+1
Fn+1
λ1
λ1
aλ1 + bλ2
1 + ab λλ21
Definition.
3.4
1
= 0.6180399 . . . heißt goldener Schnitt.
λ1
Lineare Rekursionen
Notation. (Iversion Notation, Keneth Iverson) Sei P Aussage
1 P wahr
[P ] =
0 P falsch
Frage:
fn =
d
X
j=1
Beispiel. d = 3, k = 1, Bj =
√
aj fn−j +
k
X
pj (n)Bjn n ≥ d
j=1
5
√
fn = a1 fn−1 + a2 fn−2 + a3 fn−3 + (3n2 + n) · ( 5)n
aj für 1 ≤ j ≤ d, Bj für 1 ≤ j ≤ k Konstanten, Pj (n) Polynome in n
Erzeugende Funktion von fn bzw. explizite Formel?
Proposition. Sei x ∈
R und n ∈ N. Es gelten folgende Gleichungen:
1.
xn =
n
X
Sn,k xk
k=0
2.
xn =
n
X
k=0
40
sn,k xk
Beweis.
1. Betrachte x ∈
N, x > n.
Betrachte Abbildungen f : [n] → [x].
# solcher Abb. ist xn .
[
{f |f : [n] → [x]} =
{f |f : [n] → Y, f surjektiv}
Y ⊆[X]
X
[
n
X
n
|{f |f : [n] → Y, surjektiv}|
{. . . } =
x =
k=0 Y ⊆[X]
Y ⊆[X]
|Y |=k
Sei Y = {y1 , y2 , . . . , yk } eine k-elem. TM von [X] und sei f : [n] → Y surjektiv.
[
[n] =
f −1 (y)
y∈Y
Umgekehrt ∀ Partitionen A1 , . . . Ak von [n] in k disjunkte nicht leere TM von [n] gibt es eine
Abb. f : [n] → Y sodass
f (ai ) = yi ∀ai ∈ Ai , 1 ≤ i ≤ k
∃ Bijektion zwischen Abb. f : [n] → Y mit |Y | = k und Partitionen von [n] in k disjunkte
nicht leere TM.
# solcher Partitionen ist per Definition Sn,k .
n
x =
n
X
Sn,k · xk
k=0
weil xk # Möglichkeiten ein Y ⊆ [X] mit |Y | = k auszuwählen.
xn −
n
X
Sn,k xk
k=0
ist ein Polynom und ∀x ∈
ist muss P (x) ≡ 0∀x ∈ .
R
N mit x > n ist eine Nullstelle davon. Da # dieser Nullstellen ∞
Somit gilt die Behauptung.
2. Induktion über n
n = 0:
x0 =
0
X
s0,k xk = s0,0 x0 = 1
k=0
n = 1:
x1 =
1
X
s1,k xk = s1,0 x0 + s1,1 x1 = x
k=0
Ind. Ann.: Aussge gültig für n.
Z.z: Aussage gilt für n + 1.
41
x
n+1
n
X
n
= x(x + 1) . . . (x + n) = x (x + n) =
sn,k xk (x + n) =
k=0
=
n
X
n
X
sn,k xk+1 +
k=0
= sn,n xn+1
n+1
X
nsn,k xk =
k=0
k0 =1
n
X
n
X
sn,k−1 xk +
k=1
0
sn,k0 −1 xk +
n
X
nsn,k xk =
k=0
nsn,k xk + nsn,0 x0 =
k=1
= sn+1,n+1 xn+1 +
n
X
(sn,k−1 + nsn,k )xk + sn+1,0 x0 =
k=1
=
n+1
X
sn+1,k xk
k=0
Proposition. Sei k ∈
N, a ∈ R. Dann gilt ∀x ∈ R \ {a}.
∞
X
nk an xn =
n=0
k
X
Sk,l l!
l=0
(ax)l
1 − (ax)l+1
Beweis. Fall a = 1
Aus der Proposition oben (1) gilt
∞
X
nk xn =
k
X
Sk,l xl
k
X
∞
X
k
X
Sk,l xl
l=0
∞
X
nl xn−l =
n=0
!(l)
xn
∀x in einer kleinen Umgebung von 0
n=0
l=0
=
Sk,l k l xn =
n=0 l=0
n=0
=
k
∞ X
X
Sk,l xl
l=0
1
1−x
(l)
=
k
X
Sk,l xl − l(−l − 1) . . . 1(1 − x)−l−1 (−1)l =
l=0
∞
X
=
Sk,l xl
l=0
l!
(1 − x)l+1
0
Falls a 6= 1 dann ersetze ax durch x .
Satz 3.1. (lineare Rekursionen) Sei
fn =
N
d
X
aj fn−j +
j=1
k
X
pj (n)Bjn
j=1
R
gegeben, wobei d ∈ , aj , 1 ≤ j ≤ d, sind Konstanten ∈ , pj (n), 1 ≤ j ≤ k Polynome in n
mit Grad dj . Weiters sind Bj , 1 ≤ j ≤ k Konstanten und die Startwerte f0 , f1 , . . . , fd−1 gegeben.
Seien α1 , α2 , . . . , αr die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
xd −
d
X
aj xd−j
j=1
mit Vielfachheiten µ(αi ), 1 ≤ i ≤ r.
42
Sei weiters µ(γ) = 0
∀γ die keine NS des charakteristischen Polynoms sind.
Es existieren dann die Polynome q1 (n), . . . , qr (n) mit deg(qj (n)) ≤ µ(dj ) − 1,
sowie die Polynome R1 (n), . . . , Rk (n) mit deg(Rj (n)) ≤ dj , ∀1 ≤ j ≤ k, sodass
(∗∗)fn =
r
X
qj (n)αjn +
j=1
k
X
∀1 ≤ j ≤ r,
nµ(Bj ) Rj (n)Bjn ∀n ≥ d
j=1
Beweis. (gleiche Vorgangsweise wie bei Fibonacci)
1. Schreibe die Rekursion ∀n ∈
fn =
d
X
aj fn−j +
j=1
k
X
N in eine Gleichung:
pj (n)Bjn +
j=1
d−1
X
cj [n = j] ∀n ≥ 0 : n ≥ d die gegebene Rekursion
j=0
0 ≤ n < d, 0 ≤ j0 < d : fn =
X
··· +
X
· · · + cj 0
Setze
cj0 := fj −
X
−
X
2. Multipliziere (**) mit xn und summiere auf für n = 0, 1, . . . , n, . . .
∞
X
fn xn =
n=0
∞
X






d−1
k
∞
d
∞
X
X
X
X
X



cj [n = j] xn
pj (n)Bjn  xk +
aj fn−j  xn +
n=0
a(x) =
n=0
j=0
d
X
aj xj
∞
X
n=0
j=1
fn−j xn−j +
∞
X
j=1
n=0
n=0
d
X
∞
X
∞
X
j=0


k
∞
X
X

pj (n)Bjn  xn +
cn x n
n=0
j=1
Es gilt nun auch:
a(x) =
aj xj
j=1
fn−j xn−j +


k
∞
X
X

pj (n)Bjn  xn +
cn xn
n=0
n=j
n=0
j=1
Z
weil fz = 0 ∀z ∈ z < 0.
Weiters gilt:
∞
X
fn−j xn−j =
n=j
∞
X
fk xk = a(x)
k=0
Es folgt also:
a(x) =
d
X
j=1
aj xj a(x) +
∞
X


k
∞
X
X

pj (n)Bjn  xn +
cn xn
n=0
j=1
n kommt mit Potenz höchstens dj in Pj (n) vor. Daher gilt
43
n=0
∞
X

k
X

n=0

pj (n)Bjn  xn
=
k
X
j=1
j=1
p˜j (x)
(1 − Bj x)d+1
wegen Proposition oben, wobei deg(p˜j (x)) ≤ dj .
Bezeichne
d−1
X
P0 =
cn x n
n=0
P0 ist ein Polynom und es gilt deg(P0 ) ≤ d − 1.
Wir erhalten:
a(x) =
d
X
aj xj a(x) +
j=1

a(x) 1 −
k
X
j=1
d
X

xj  =
j=1
k
X
p˜j (x)
+ P0 (x)
(1 − Bj x)dj +1
p˜j (x)
+ P0 (x)
1 − Bj x)dj +1
j=1
3. Zerlegung des Nenners:
xd −
d
X
r
Y
aj xd−j =
j=1
(x − αj )µ(αj )
j=1
Dividiere durch xd
1−
d
X
weil
j=1
1−
j=1
j=1
Pr
r Y
aj x−j =
αj µ(αj )
x
µ(αj ) = d
Ersetze x durch
1
x
(x 6= 0)
1−
d
X
aj xj =
j=1
r
Y
(1 − αj x)µ(αj ) (∗ ∗ ∗)
j=1
p˜j (x)
j=1 1−βj x)dj +1 + P0 (x)
Qr
µ(αj )
j=1 (1 − αj x)
Pk
a(x) =
= Qr
j=1 (1
− xαj
p˜j (x)
Qk
)µ(αj )
j=1 (1
− βj x)dj +1
Da a(x) → 0 für x → 0 muss deg p̃(x) < deg(Ergebnis oben).
⇒ Partialbruch-Zerlegung möglich:
4. Partialbruchzerlegung von der rechten Seite:
a(x) =
l
X
j=1
bj
(1 − γj x)lj
wobei γj ∈ {α1 , α2 , . . . , αr , β1 , β2 , . . . , βk }.
und lj ≤ µ(αj ) falls γj = αj , γj 6= βj , 1 ≤ j ≤ r bzw. lj ≤ µ(βi )+di +1 falls γj = βj , 1 ≤ j ≤ k
44
5. Entwickle in einer Reihe
a(x) =
l
X
j=1
bj
∞ X
−lj
k=0
k
(−γj x)k =
l
X
bj
j=1
∞ X
lj + k − 1 k k
γj x (∗ ∗ ∗∗)
lj − 1
k=0
Koeff. neben xn in (****):
fn =
l
X
bj
j=0
lj + n − 1 n
γj
n−1
Koeffizienten sind Polynome in n.
Falls γj = αj sind die Koeff. Polynome von Grad µ(αj ) − 1.
+n−1
bj Polynome vom Grad µ(βj ) + dj + 1.
Falls γj = βj sind die Koeff. lj n−1
3.5
Binäre Bäume
Definition. (induktiv) Ein binärer Baum ist entweder ein leerer Baum oder er besteht aus einem
ausgezeichnetem Knoten (die Wurzel) und aus einem geordnten Paar von binären Bäumen, dem
linken Teilbaum und dem rechten Teilbaum.
n ≡ Anzahl der Knoten.
n = 0: leerer Baum
n = 1: Singleton
n = 2: P2 mit unterschiedlichem Teilbaum besetzt.
n = 3: . . .
Frage: Wie viele binäre Bäume mit n Knoten gibt es? Bezeichne diese Anzahl mit bn .
b0 = 1, b1 = 1, b2 = 2, b3 = 5
Sei b(x) die erzeugende Funktion von b0 .
Für n ≥ 1: # binären Bäume mit n Knoten ist die Anzahl der geordneten Paare (B, B 0 ), wobei
B und B 0 binäre Bäume mit insgesamt n − 1 Knoten sind.
Möglichkeit |B| := # Knoten
|B| = 0, |B 0 | = n − 1
|B| = 1, |B 0 | = n − 2
...
|B| = n − 1, |B 0 | = 0
Insgesamt gilt also:
bn =
n−1
X
bi bn−1−i
i=0
b(x)b(x) =
∞
X
bn x n ·
k=0
∞
X
bn x n =
k=0
∞
X
cn xn
n=0
mit
cn =
n
X
bk bn−k
k=0
Koeffizient von xn in b(x) = bn Koeffizient von xn−1 in b(x)b(x) = cn−1 =
45
=
n−1
X
bk bn−1−k = bn
k=0
b(x) = xb(x)b(x) + 1
b(x) = xb2 (x) + 1 ⇒ b(x) =
lim
1+
1−
√
1 − 4x
2x
√
x→0
lim
1±
1 − 4x
1 − 1 + 4x
√
=∞
= lim
x→0 2x(1 −
2x
1 − 4x)
√
x→0
1 − 4x
2
1 − 1 + 4x
√
√
= lim
=1
= lim
x→0
x→0 2x(1 +
2x
1 − 4x)
1 + 1 − 4x
P∞
Da n=0 bn xn gleichm. konvergent in einer kleinen abgeschlossenen Umgebung von [−, ] ist
b(x) stetig in [−, ] und somit kann b(0) = ∞ nicht gelten.
Es gilt also:
√
1 − 1 − 4x
b(x) =
2x
∞
X
1/2
1/2
(1 − 4x)
=
(−4x)k
k
k=0
!
√
∞
∞ X 1/2
1
1 − 1 − 4x
1 X 1/2
k
=
−
(−4x)
=−
(−4)k xk−1
2x
2x
2
k
k
k=1
k=1
!
∞
1 X 1/2
n
k k−1
bn = [x ] −
(−4) x
2
k
k=1
1 (1/2)(1/2 − 1) . . . (1/2 − n)
1 1/2
(−1)n+1 22(n+1) =
bn = −
(−4)n+1 = −
2 n+1
2
(n + 1)!
= (−1)n
=
( 12 )(− 12 )(− 23 ) . . . (− (2n−1)
) 2(n+1)
2
2
=
(n + 1)!
113
223
. . . 2n−1
(2n − 1)!!
(2n − 1)!!n!
2
22(n+1) = 2n+1
= 2n+1
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)n!n!
Es gelten:
2n+1 n! = 2n(2n − 2)(2n − 4) . . . 2 = (2n)!!
(2n − 1)!!2n!! = (2n)!
Damit gilt:
1 (2n)!
1
2n
=
n + 1 n!n!
n+1 n
Catalan Zahl bn .
46
3.6
Würfeln
Problemstellung: Mensch ärgere dich nicht. Wie oft muss man durchschnittlich werfen, bis 1. Sechs
fällt?
Annahme: Würfel ist nicht manipuliert, d.h. jede Seite fällt mit Wahrscheinlichkeit 61 . Jeder
Wurf ist von anderen Würfen unabhängig.
• p=
1
6
Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Wurf die Sechs fällt.
• Wahrscheinlichkeit, dass die Sechs erstmals beim i-ten Wurf fällt:
(1 − p) - Wahrscheinlichkeit für nicht 6 beim 1. Mal.
(1 − p) - Wahrscheinlichkeit für nicht 6 beim 2. Mal.
..
.
(1 − p) - Wahrscheinlichkeit für nicht 6 beim (i − 1). Mal.
p - Wahrscheinlichkeit für die 6 beim iten Mal.
⇒ qi := (1 − p)i−1 p Wahrscheinlihckeit, dass die Sechs erst beim i. Wurf fällt.
Es muss also
∞
X
iqi =: P
i=1
oftmal durchschnittlich geworfen werden bis die erste Sechs fällt.
Sei
a(x) =
∞
X
q i xi =
∞
X
(1 − p)i−1 pxi =
i=1
i=1
a0 (x) =
∞
p
p X
(1 − p)i xi =
1 − p i=1
1 − (1 − p)x
∞
∞ X
X
iqi xi−1
i=1 i=1
P = a0 (1) = p(1 − (1 − p)x)−2
4
x=1
=6
Geordnete Mengen und Verbände
4.1
Satz von Dilworth
Definition. Sei (X, ≤) eine partial geordnete Menge (Poset). (vielleicht mal das geschwungene
¡= verwenden?)
1. A ⊆ X heißt Kette falls ∀x, y ∈ A : x ≤ y oder y ≤ x.
2. A ⊆ X heißt Antikette falls je zwei x, y ∈ A nicht vergleichbar sind.
3. Sei X endlich und X 6= ∅. Die Kettenzahl von X k(X) ist die kleinste Anzahl von Ketten in
die X partitioniert werden kann.
k(X) = min{n ∈
N|∃K1, K2, . . . , Kn, Ketten, mit
n
[
Ki = X und Ki ∩ Kj = ∅ ∀i 6= j}
i=1
4. Die Dilworth-Zahl von X d(X) ist die Länge einer längsten Antikette.
47
Beispiel.
X = {2k : k ∈
N0} ∪ {3k : k ∈ N0} ∩ {n ∈ N : n ≤ 20}
x ≤ y ⇐⇒ ∃i ≤ j, i, j ∈
N sodass (x = 2i ∧ y = 2j ) ∨ (x = 3i ∧ y = 3j )
X = {1, 2, 3, 4, 8, 16, 9} (X, ≤) Poset
Kette → 1, 2, 4, 8, 16
1, 2, 3 keine Kette
Antikette: 2, 3 eine längste Antikette
d(X) = 2
{1, 2, 4, 8, 16}, {3, 9} Zerlegung in 2 Ketten
Laut Dilworth k(X) = 2 = d(x) kleinste Zerlegung
Satz 4.1. Sei X endlich und (X, ≤) ein Poset. Dann gilt d(X) = k(X).
Beweis. Sei k1 , k2 , . . . , kn eine Zerlegung von X in Ketten.
Sei A eine beliebige Antikette in X.
|A ∩ ki | ≤ 1 ∀1 ≤ i ≤ n ⇒ |A| ≤ n ⇒ max |A| ≤ n
A
Das heißt also d(X) ≤ n für jede Zerlegung von X in n Ketten, also auch für die kleinste
Zerlegung mit k(X) Ketten. Also d(X) ≤ k(X).
Wir beweisen k(X) ≤ d(X) mittels Induktion über |X|.
Induktionsbasis: |X| = 1 trivial k(X) = d(X) = 1.
Ind.Ann.: Aussage gilt ∀X : |X| < n.
Ind.Beh.: Aussage gilt für X mit |X| = n.
Schritt:
Sei Y 6= ∅ ⊂ X (echte Teilmenge).
Aus I.Ann. gilt k(Y ) = d(Y ).
Da X endlich ∃xmin (ein minimales Element) und ein relatives xmax , wobei xmax ist ein maximales Element der Menge {z ∈ X|z ≥ xmin }.
Y := X \ {xmin , xmax }
Es gilt:
d(Y ) + 1 ≥ d(X) ≥ d(Y )
weil Antikette in Y ist auch Antikette in X ⇒ d(Y ) ≤ d(X) und längste Antikette in X kann
höchstens eines der beiden Elemente xmin , xmax enthalten ⇒ d(X) ≤ d(Y ) + 1.
Es gilt auch:
k(Y ) + 1 ≥ k(X) ≥ k(Y )
weil sei k1 , k2 , . . . , kl eine kleinste Zerlegung von X und sei kj jene Kette die xmin und xmax
enthält, bzw. ki , kj die Ketten die xmin und xmax enthalten.
Dann ist k1 , . . . , kj \ {xmin , xmax }, . . . kl (bzw. entsprechende mit xi , xj ) eine Zerlegung von Y
mit Kardinalität l ⇒ k(Y ) ≤ l = k(X)
Sei k1 , k2 , . . . , kl eine kleinste Zerlegung für Y .
k1 , k2 , . . . , kl = {xmin , xmax } ist eine Zerlegung für X ⇒ k(X) = l + 1 = k(Y ) + 1
Fallunterscheidung:
1. d(Y ) < d(X) ⇒ d(X) = d(Y ) + 1
Da d(X) ≤ k(X) muss k(X) = k(Y ) + 1, weil sonst d(Y ) + 1 = d(X) ≤ k(X) = k(Y ) ⇒
d(Y ) < k(Y ) Widerspruch zur Ind. Ann.
Zusammenfassend: d(X) = d(Y ) + 1, k(X) = k(Y ) + 1, d(Y ) = k(Y ) ⇒ d(X) = k(X).
48
2. d(Y ) = d(X)
Sei A = {X1 , . . . , Xd } eine max. Antikette in Y (d := d(Y )).
Da d(X) = d(Y ) ist A auch maximale Antikette in X.
Definiere:
X + := {x ∈ X : ∃y ∈ A, x ≥ y}
X − := {x ∈ X : ∃y ∈ A, y ≥ x}
X + , X − sind echte Teilmengen von X, weil xmin ∈ X − \ X + und xmax ∈ X + \ X − ⇒
k(X + ) = d(X + ), k(X − ) = k(X + ) wegen Ind.Ann..
Sei k1+ , . . . , kd+ eine kleinste Kettenzerlegung von X + und k1− , . . . , kd− eine kleinste Kettenzerlegung von X − .
Jeweils Kardinalität d, weil A ist längste Antikette in X + bzw. X − und Ind. Ann. gilt
(A ⊆ X + , A ⊆ X − und A Antikette in X).
Setze ki := ki+ ∪ ki− ∀1 ≤ i ≤ d
Wir zeigen k1 , k2 , . . . , kd ist eine Kettenzerelgung von X ⇒ k(X) ≤ d = d(X).
X+ =
d
[
i=1
ki+ , X − =
d
[
ki− , X = X + ∪ X − =
d
[
(ki+ ∪ ki− )
i=1
i=1
ki ∪ kj = (ki+ ∪ ki− ) ∩ (kj+ ∪ kj− ) = · · · = ∅
(hier vl. ausdünnen)
ki+ ∪ ki− ist eine Kette (∀1 ≤ i ≤ d) weil die Nummerierung bei k1− , . . . , kd− folgendermaßen
gewählt wurde.
k1+ , . . . , kd+ beliebige kleinste Kettenzerlegung von X + .
Sei x ∈ k1+ . Falls x ∈ X − ∃ Kette aus Zerl. von X − die x enthält. Genau diese Kette nennen
wir k1− usw.,sodass xi ∈ ki+ und xi ∈ ki− .
Dann sind alle y ∈ ki− ∪ ki+ über xi untereinander vergleichbar Raki+ ∪ ki− Kette.
Definition. (Verband) Ein Verband ist ein Tripel (X, t, u) aus einer Menge X und 2 inneren
Verknüpfungen t, u in X, sodass
1.
x t (y t z) = (x t y) t z ∀x, y, z ∈ X
x u (y u z) = (x u y) u z ∀x, y, z ∈ X
(Assoziativität)
2.
x t y = y t x ∀x, y ∈ X
x u y = y u x ∀x, y ∈ X
(Kommutativität)
3.
x t (x u y) = x ∀x, y, z ∈ X
x u (x t y) = x ∀x, y, z ∈ Xx
(Absorptionsgesetz)
49
Beispiel.
1. Sei M Menge und X = P(M )
(X, ∪, ∩) ist der sogenannte Teilmengenverband.
∀A, B ∈ P (M ) : A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A
2. (X, ∧, ∨) Boolscher Verband.
(Aussagenlogik)
∀p, q Aussagen
p ∧ (p ∨ q) = p, p ∨ (p ∧ q) = p
Bemerkung. (Starke Dualität der Eigenschaften) Eigenschaften in einer Verknüpfüng lassen sich
im Allgemeinen leicht auf die andere Verknüpfung übertragen.
50