Vorkurs Mathematik Kapitel 1 – Mengenlehre und

Vorkurs Mathematik
Kapitel 1 – Mengenlehre und Kombinatorik
Christoph Hindermann
Vorkurs Mathematik
Mengenlehre und Kombinatorik
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Vorkurs Mathematik
Mengenlehre und Kombinatorik
1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.1 Begriff der Menge
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmer, wohl unterscheidbarer Objekte
unserer Anschauung oder unseres Denkens. Die Objekte heißen Elemente der Menge.
Ist ein Objekt a Element der Menge A, so schreibt man a ∈ A.
Beispiel: Angela Merkel a ist Element der Menge der Bundeskanzler der BRD A.
Ist ein Objekt b nicht Element der Menge A, so schreibt man b∉ A.
Beispiel: Donald Trump b ist nicht Element der Menge der Bundeskanzler der BRD A.
Objekte einer Menge beschreibt man durch Aufzählung der Elemente in geschweiften
Klammern {} oder durch Beschreibung der erforderlichen Eigenschaften:
M ={x | x hat die Eigenschaft E }
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A={a | a hat die Eigenschaft Bundeskanzler der BRD}
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.2 Weitere Definitionen
Grundmenge
Ω : Alle Elemente für eine bestimmte Betrachtungsweise.
Beispiel: Alle Bundeskanzler der BRD.
Ω
Venn-Diagramm: Grundmenge
Leere Menge { } (auch ∅): Enthält keine Elemente.
Beispiel: Alle Personen, die mit Nachnamen Trump heißen und auch Bundeskanzler
der BRD waren.
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.2 Weitere Definitionen
Mächtigkeit: Anzahl der Elemente n( A) einer Menge.
Beispiel: Die Menge A seien alle Bundeskanzler der BRD.
A={Konrad Adenauer, Ludwig Erhard, Kurt Georg Kiesinger, Willy Brandt,
Helmut Schmidt, Helmut Kohl, Gerhard Schröder, Angela Merkel}
n( A)=8
Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen sind einander gleich ( A=B ) wenn jedes Element
aus A auch Element von B ist und zugleich jedes Element aus B auch Element von A ist.
Beispiel: Die Menge A seien alle Bundeskanzler der BRD.
Die Menge B seien alle Bundeskanzler der BRD, die entweder der CDU oder
der SPD angehörten.
(CDU: Konrad Adenauer, Ludwig Erhard, Kurt Georg Kiesinger, Helmut Kohl, Angela Merkel)
(SPD: Willy Brandt, Helmut Schmidt, Gerhard Schröder)
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.2 Weitere Definitionen
Teilmenge: Ist jedes Element von A auch Element von B, so ist A eine Teilmenge von B
( A⊂B ). Für alle Mengen gilt { } ⊂A , A⊂ A .
Beispiel: Die Menge A seien alle Bundeskanzler der BRD.
Die Menge H seien alle Bundeskanzler der BRD,
die mit Vornamen Helmut heißen.
H⊂A
H
A
Venn-Diagramm: Teilmenge
Komplementärmenge: M̄ ={x | x ∉ M ∧x∈Ω} ist Komplement zu M ⊂Ω. Es gilt weiterhin
¯ =M , ∅=Ω
¯
M̄
, Ω̄=∅.
Beispiel: Die Menge A seien alle Bundeskanzler der BRD. Die Menge H seien alle
Bundeskanzler der BRD, die mit Vornamen Helmut heißen. Die
Komplementärmenge H enthält dann alle Bundeskanzler, die mit Vornamen
nicht Helmut heißen.
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.2 Weitere Definitionen
Potenzmenge: Die Menge aller Teilmengen von A heißt Potenzmenge von A: P ( A)= { x | x⊂ A }
Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer endlichen Menge A (mit n( A)=m): n( P ( A))=2 m
Beispiel: Die Menge B seien alle Bundeskanzler der BRD, die der SPD angehörten.
B ={Willy Brandt , Helmut Schmidt ,Gerhard Schröder }
Die Potenzmenge wäre dann:
P ( B)={ {∅},{Willy Brandt }, {Helmut Schmidt },{Gerhard Schröder },
{Willy Brandt , Helmut Schmidt }, {Willy Brandt ,Gerhard Schröder },
{Gerhard Schröder , Helmut Schmidt },
{Willy Bradt ,Gerhard Schröder , Helmut Schmidt }}
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n( B)=3→ n( P ( B))=2 =8
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.2 Weitere Definitionen
Zerlegung einer Menge (Partition): Eine Menge Z von nicht leeren Teilmengen von A
( Z i ∈Z , i=1,2... , n mit Z i ⊂ A ) heißt Zerlegung von A, wenn jedes a ∈ A in genau einer
Teilmenge Zi liegt.
Beispiel: Die Menge B seien alle Bundeskanzler der BRD, die der SPD angehörten.
B ={Willy Brandt , Helmut Schmidt ,Gerhard Schröder }
Dann hat die Menge B genau fünf Partionen:
Z 1={{Willy Brandt , Helmut Schmidt ,Gerhard Schröder }}
Z 2={{Willy Brandt },{Helmut Schmidt ,Gerhard Schröder }}
Z 3 ={{Helmut Schmidt }, {Willy Brandt , Gerhard Schröder }}
Z 4={{Gerhard Schröder },{Willy Brandt , Helmut Schmidt }}
Z 5 ={{Gerhard Schröder }, {Willy Brandt },{Helmut Schmidt }}
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.2 Weitere Definitionen – Aufgaben
Bestimmen Sie alle Teilmengen mit genau vier Elementen der Menge: M = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 }.
Bestimmen Sie alle Teilmengen der Menge A={ 1/2 , 2 , 9/ 4 , 4 , 25 } die kein Element der
Menge C= { 4 , 25 } sind.
Bestimmen Sie die Potenzmenge P(T) von T = {1 , 3 , 5 , 7 }. Geben Sie ihre Mächtigkeit an.
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.3 Mengenoperationen
Durchschnitt (Schnittmenge): A∩B={x | x ∈A∧x ∈B}
Menge aller Elemente die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
Beispiel: Die Menge A seien alle Bundeskanzler, die den Vornamen Helmut haben.
A={Helmut Schmidt , Helmut Kohl }
Die Menge B seien alle Bundeskanzler, die der SPD angehörten.
B={Willy Brandt , Helmut Schmidt ,Gerhard Schröder }
A∩B={Helmut Schmidt }
A
B
Ω
Ist der Durchschnitt zweier Mengen A und B leer ( A∩B=∅), so heißen A und B disjunkt
(elementfremd).
Ω
A
B
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.3 Mengenoperationen
Vereinigung: A∪B= { x | x∈ A∨ x∈ B }
Menge aller Elemente die in A oder B enthalten sind.
Beispiel: Die Menge A seien alle Bundeskanzler, die den Vornamen Helmut haben.
A={Helmut Schmidt , Helmut Kohl }
Die Menge B seien alle Bundeskanzler, die der SPD angehörten.
B={Willy Brandt , Helmut Schmidt ,Gerhard Schröder }
A∪B={Helmut Schmidt , Helmut Kohl ,Gerhard Schröder ,Willy Brandt }
A
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B
Ω
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.3 Mengenoperationen
Differenz von Mengen: A ∖ B= { x | x∈ A∧ x∉ B }
Menge aller Elemente von A, die nicht in B enthalten sind.
Beispiel: Die Menge A seien alle Bundeskanzler, die den Vornamen Helmut haben.
A={Helmut Schmidt , Helmut Kohl }
Die Menge B seien alle Bundeskanzler, die der SPD angehörten.
B={Willy Brandt , Helmut Schmidt ,Gerhard Schröder }
A ∖ B={Helmut Kohl }
A
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B
Ω
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.3 Mengenoperationen – Aufgabe
Gegeben sei die Grundemenge Ω={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } sowie die Mengen A={ 1 , 3 , 4 , 5 , 7 },
B={ 1 , 2 , 6 , 7 , 8 } , C= { 5 , 7 , 8 } . Bestimmen Sie:
a) A∩B
g) B ∖ C
b) A∪C
h) C ∖ B
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c) A∩ B∩C
i) ( A∪B)∩C
d) A∪C
e) B∩C
f) C ∪ A∪B
j) ( A∪B)∖ C
k) ( B ∖C )∩ A
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.4 Zahlenmengen
Natürliche Zahlen: ℕ bzw. ℕ0
ℕ ={1,2,3,. ..}
ℕ 0 ={0,1,2,3,...}
Ganze Zahlen: ℤ, Erweiterung der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen
ℤ ={... ,−3,−2,−1 , 0, 1,2,3,...}
Rationale Zahlen: ℚ, Verhältnis zweier ganzer Zahlen ℤ1 und ℤ2
ℤ1
ℚ=
ℤ2
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.4 Zahlenmengen
Irrationale Zahlen: ℝ\ℚ (lies: die Menge der reellen Zahlen abzüglich der Menge der
rationalen Zahlen); unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen, nicht als Bruchzweier
Zahlen darstellbar (z.B. √(2) oder π).
I =ℝ ∖ ℚ
Reelle Zahlen: ℝ, rationale und irrationale Zahlen
√(2)
1
1
ℝ =ℚ ∪I
Komplexe Zahlen: ℂ, Erweiterung der reelen Zahlen um den Imaginärteil i, mit i=√(−1)
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.4 Zahlenmengen – Aufgabe
Entscheiden Sie, welche der Mengen jeweils identisch sind (es gibt insgesamt fünf
verschiedene Übereinstimmungen).
A1 ={ x | x ∈ℕ∧ x⋅x=4 }
A2={ x | x ∈ℚ∧ x∉ℤ }
A3 ={ 2 x | x∈ℤ∧−1≤x ≤1 }
A4={ x | x ∈ℤ∧x⋅x=4 }
A5 ={ x | x ∈ℕ0 ∧x + x=0 }
A6 ={ 2 x | x ∈ℕ∧0≤x ≤1 }
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A7 ={−2 , 2 }
A8 ={ 0 }
A9 ={ 2 }
A10 ={−2 , 0 , 2 }
A11=∅
A12 ={ }
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.5 Produkte von Mengen
n-Tupel
Es sei n eine natürliche Zahl und a1,…,an seien nicht notwendig verschiedene Elemente
gewisser Mengen. Die Darstellung (a1,…,an) heißt ein aus diesem Elementen gebildetes
n-Tupel und ai, i=1,…,n seine i-te Koordinate. Im Gegensatz zu Mengen spielt bei Tupeln
die Reihenholge eine Rolle.
Beispiel: {Helmut Schmidt , Helmut Kohl }={Helmut Kohl , Helmut Schmidt }
( Helmut Schmidt , Helmut Kohl ) ≠ ( Helmut Kohl , Helmut Schmidt )
Für n=2 spricht man von einem geordneten Paar, für n=3 von einem Tripel, für n=4 von
einem Quadrupel etc.
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.5 Produkte von Mengen
Kartesisches Produkt
Das kartesische Produkt ( A×B) zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten
Paare (a,b) mit a ∈ A und b∈ B :
A×B= {(a , b)| a ∈ A∧b∈B }
Beispiel: Das kartesische Produkt der beiden Mengen A={a,b,c,d,e,f,g,h} und
B={1,2,3,4,5,6,7,8} dient beim Schach dazu, die Schachfelder zu
identifizieren.
A×B={(a ,1) ,(a ,2) ,(a ,3) , ... ,(h ,6) ,(h ,7) ,(h ,8)}
Für das kartesische Produkt gilt das Kommutativgesetz nicht: A×B≠ B×A
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1.1 Elementare Mengenlehre
1.1.5 Produkte von Mengen – Aufgabe
Gegeben seien die Mengen A={ 1 , 2 } , B={ a , b } und C= { b , c } .
Bestimmen Sie folgende Menge: A×( B∪C)
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1.2 Elementare Kombinatorik
Zum Nachdenken:
Im Englischen sind dreibuchstabige Wörter, wie cat, dog, etc., sehr beliebt. Wie viele
solche Wörter, also Wörter mit je einen Konsonanten am Anfang und Ende und einem
Vokal in der Mitte, lassen sich theoretisch bilden?
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1.2 Elementare Kombinatorik
1.2.1 Permutationen und Fakultät
Jede mögliche Anordnung von n verschiedenen Elementen, in der alle Elemente verwendet
werden, heißt Permutation Pn dieser Elemente.
Die Anzahl der Permutationen ergibt sich aus:
P n =n ! sprich: n-Fakultät
Beispiel: Die Buchstaben R, S, T sollen in allen Anordnungen abgebildet werden.
Es ergeben sich 6 Möglichkeiten ( P 3 =3!=6):
RST
RTS
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STR
SRT
TRS
TSR
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Mengenlehre und Kombinatorik
1.2 Elementare Kombinatorik
1.2.2 Variation
Jede mögliche Anordnung (mit Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n
Elementen heißt Variation V kn dieser Elemente.
n!
k
Fall 1: ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen): V n =
(n−k )!
Beispiel: An einem Entenrennen nehmen 10 Enten teil. Nur die ersten drei Gewinnen.
Auf wieviele Arten können sich die Top 3 zusammensetzen?
10 !
k
V n=
=720
(10−3)!
Fall 2: mit Wiederholung (mit Zurücklegen): V kn =n k
Beispiel: In einer Urne befinden sich eine rote, eine weiße und eine blaue Kugel. Sie
ziehen 5-mal und legen die gezogenen Kugel wieder zurück. Wie viele mögliche
k
5
Kombinationen gibt es?
V =3 =243
n
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1.2 Elementare Kombinatorik
1.2.3 Kombination
Jede mögliche Anordnung (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n
Elementen heißt Kombination C nk dieser Elemente.
(k )
Fall 1: ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen): C nk = n =
n!
(Binominalkoeffizient)
(n− k )! k !
Beispiel: Beim Zahlenlotto werden 6 aus 49 gezogen. Wie viele Kombinationen gibt es?
49 !
k
C n = 49 =
=13.983 .816
(49−6)! 6 !
6
( )
(
Fall 2: mit Wiederholung (mit Zurücklegen): C nk = n+ k −1
k
)
Beispiel: In einer Urne befinden sich vier verschiedenenfarbige Kugeln. Es sollen drei
Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden. Die Reihenfolge ist irrelevant. Wie
viele Möglichkeiten gibt es?
k
4+3−1
6
(
Cn=
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3
)=(3)=20
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1.2 Elementare Kombinatorik
Aufgaben
1. Eine Menge bestehe aus den fünf Elementen {a,b,c,d,e}.
Wie viele Kombinationen mit drei Elementen lassen sich daraus bilden wenn die
Reihenfolge berücksichtigt werden soll?
Wie viele sind es ohne Beachtung der Reihenfolge?
2. 10 Personen begrüßen einander. Jede schüttelt jeder genau einmal die Hand. Wie viele
Händedrücke gibt es?
3. Eine Gruppe von zehn Frauen und zehn Männern möchte an einem Tanzturnier
teilnehmen. Es sollen 10 Tanzpaare, die gleichzeitig tanzen, gebildet werden. Wie viele
Möglichkeiten gibt es dafür?
4. In einer Firma soll aus den 12 Mitarbeitern und 5 nebenberuflich beratenden Professoren
ein Team aus einem Leiter, zwei Mitarbeitern und einem Professor zusammengesetzt
werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
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