Übungs-Blatt 5 Grundlagen der

Übungs-Blatt 5
Master E/MST Statistik
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prof. Dr. B. Grabowski
Zufällige Ereignisse
Aufgabe 1)
In einem Reaktionszeitversuch V seien folgende Ereignisse von Interesse: A= „Die
Reaktionszeit ist größer oder gleich 3 Sekunden“, B=“Die Reaktionszeit ist nicht größer als 7
Sekunden“, C=“Die Reaktionszeit ist größer als 9 Sekunden“, D=“Die Reaktionszeit liegt
zwischen 3 und 7 Sekunden (einschließlich 3 und 7)“.
a) Stellen Sie A,B,C,D als Mengen dar!
b) In welcher Relation stehen A und C zueinander?
c) Stellen Sie D aus A und B unter Verwendung von Mengenoperationen dar!
d) Welches Ereignis wird durch die Menge A\C beschrieben? Geben Sie die Menge an!
e) Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt, wenn sie nicht gemeinsam eintreten,
d.h. wenn A ∩B=Φ ist. Geben Sie alle Paare disjunkter Ereignisse an, die sich aus A,B,C
und D bilden lassen!
Aufgabe 2)
Sei V der zufällige Versuch „Zweimaliger Münzwurf. Ein Versuchsausgang sei durch das
Paar ω=(M1, M2), Mi ∈{K,Z}, beschrieben (Mi.: Ergebnis des i.ten Wurfes, i=1,2).
a) Geben Sie Ω an!
b) Beschreiben Sie die Ereignisse A={(K,K),(Z,K)}, B={(K,K),(Z,Z)},
C={(K,K), (Z,K), (K,Z)} in Worten!
Aufgabe 3)
Sei Bi das Ereignis Bi = „Bauelement Bi ist O.K”, i=1,...,n.
G sei das in folgender Skizze dargestellte Gerät:
Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eine Reihe funktioniert. Eine Reihe funktioniert,
wenn alle Bauelemente der Reihe funktionieren.
Stellen Sie mit Hilfe der Ereignisse Bi und den Mengenoperationen ∩, ∪, \ , sowie
Komplementbildung folgende Ereignisse dar:
a) A=“ Das Gerät ist O.K.“
b) B= “Nur B1 und B4 sind O.K, die anderen Bauelemente nicht“
c) C= „Genau 2 Reihen des Gerätes funktionieren“
d) D=“ Mindestens ein Bauelement ist O.K.“
e) E=“ Mindestens ein Bauelement ist defekt“
f) F=“ Höchstens ein Bauelement ist O.K.“
Aufgabe 4)
Bei der Herstellung eines Produktes treten 2 Fehler F1=“nicht maßhaltig“ und F2=“nicht
funktionsfähig“ ein. Formulieren Sie folgende Ereignisse unter Verwendung von F1 und F2
und den Mengenoperationen ∩, ∪, \, sowie Komplementbildung :
a) Das Produkt ist mit mindestens einem Fehler behaftet
b) Das Produkt hat keinen der beiden Fehler
c) Das Produkt hat höchstens einen der beiden Fehler
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Relative Häufigkeit
Aufgabe 5)
200 Dioden wurden nach den beiden Merkmalen X = Farbe und Y = Form klassifiziert.
Folgende 2-dimensionale Häufigkeitstabelle enthält die Ergebnisse.
Farbe\Form
rot
grün
Summe
rund
50
70
120
dreieckig
60
20
80
Summe
110
90
200
Seien A = „Diode ist grün“ B =“ Diode ist rund“ 2 Ereignisse.
a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten (Anteile) hn(A) und hn(B) von A und B an diesen
200 Dioden.
b) Berechnen Sie hn(A∪B) und hn(A∩B).
c) Machen Sie sich folgenden Formeln klar:
1.hn ( A ) = 1 − hn ( A)
2.hn ( A ∪ B) = hn ( A) + hn ( B) − hn ( A ∩ B)
d) Welche Eigenschaft müssen 2 Ereignisse A und B besitzen, damit gilt:
.hn ( A ∪ B) = hn ( A) + hn ( B)
Aufgabe 6)
Zeigen bzw. begründen Sie, dass die relative Häufigkeit folgende Eigenschaften besitzt:
a) 0≤ hn(A) ≤ 1 für alle A⊆Ω
b) hn(Ω) = 1
c) .hn ( A ∪ B) = hn ( A) + hn ( B) falls A∩B=Φ
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Die relative Häufigkeit eignet sich nicht als Maß für die Quantifizierung der Chance des
Eintretens eines Ereignisses A bei Durchführung von V, weil hn(A) von n abhängt und
zufallsbehaftet ist (d.h., jeder, der hn(A) berechnet, würde einen anderen Wert
herausbekommen). Der Mathematiker Kolmogorrow kam 1937 auf die geniale Idee, als
Wahrscheinlichkeit eine Abbildung P(A) zu definieren, die die gleichen Eigenschaften wie
die relative Häufigkeit besitzt (siehe Aufgabe 6), aber weder von n abhängt noch
zufallsbehaftet ist. Er definierte:
Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge Ω. Jede Abbildung P: A⊆Ω→P(A)∈[0,1],
die einem Ereignis A⊆Ω eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet wird als
Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω bezeichnet, wenn P folgende Eigenschaften (Axiome) erfüllt:
Axiom 1: 0≤ P(A) ≤ 1 für alle A⊆Ω
Axiom 2: P(Ω) = 1
Axiom 3: P(A∪B)=P(A)+P(B), falls A∩B=Φ
∞
∞
Axiom 4: P(∪ Ai ) = ∑ P ( Ai ) , falls Ai∩Aj =Φ für i≠j
i =1
i =1
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(Axiom 4 wurde hinzugenommen, damit man bei den theoretischen Berechnungen in dem
Modell für unendlich viele Ereignisse nicht „hängenbleibt“).
D.h., eine Wahrscheinlichkeit P besitzt die gleichen Eigenschaften wie die relative Häufigkeit
und ist damit ein Modell für die relative Häufigkeit, welches aber weder vom SP-Umfang n
noch vom Zufall abhängt.
Aufgabe 7)
Zeigen Sie unter Verwendung der o.g. 4 Axiome der Wahrscheinlichkeit, dass für beliebige
Ereignisse A und B aus dem Definitionsbereich von P gilt:
1) P(A) = 1- P( A )
2) P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
Aufgabe 8)
Bei der Herstellung eines Produktes treten 2 Fehler F1=“nicht maßhaltig“ und F2=“nicht
funktionsfähig“ ein. Es gilt für ein zufällig ausgewähltes Produkt: Es hat mit der
Wahrscheinlichkeit 0,1 mindestens einen der beiden Fehler, mit Wahrscheinlichkeit 0,09 den
Fehler F1 und mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 den Fehler F2. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit hat das Produkt beide Fehler F1 und F2?
Aufgabe 9)
Berechnen Sie die gesuchten Wahrscheinlichkeiten aus den gegebenen!
Verwenden Sie dazu die Eigenschaften von Mengenoperationen und die o.g. Axiome der
Wahrscheinlichkeit.
a) Gegeben: P(A»B) = 0,9, P( B ) = 0,4 , P(A…B) = 0,3, Gesucht: P(A)
b) P(A…B) = 0,3, P(C)=0,7, P((A»C)…(B»C))=0,8 Gesucht: P(A…B…C)
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