Übungs-Blatt 6 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungs-Blatt 6
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik
Prof. Dr. B. Grabowski
Aufgabe 1)
In einem Reaktionszeitversuch V seien folgende Ereignisse von Interesse: A= „Die
Reaktionszeit ist größer oder gleich 3 Sekunden“, B=“Die Reaktionszeit ist nicht größer als 7
Sekunden“, C=“Die Reaktionszeit ist größer als 9 Sekunden“, D=“Die Reaktionszeit liegt
zwischen 3 und 7 Sekunden (einschließlich 3 und 7)“.
a) Stellen Sie A,B,C,D als Mengen dar!
b) In welcher Relation stehen A und C zueinander?
c) Stellen Sie D aus A und B unter Verwendung von Mengenoperationen dar!
d) Welches Ereignis wird durch die Menge A\C beschrieben? Geben Sie die Menge an!
e) Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt, wenn sie nicht gemeinsam eintreten,
d.h. wenn A ∩B=Φ ist. Geben Sie alle Paare disjunkter Ereignisse an, die sich aus A,B,C
und D bilden lassen!
Aufgabe 2)
Sei V der zufällige Versuch „Zweimaliger Münzwurf. Ein Versuchsausgang sei durch das
Paar ω=(M1, M2), Mi ∈{K,Z}, beschrieben (Mi.: Ergebnis des i.ten Wurfes, i=1,2).
a) Geben Sie Ω an!
b) Beschreiben Sie die Ereignisse A={(K,K),(Z,K)}, B={(K,K),(Z,Z)},
C={(K,K), (Z,K), (K,Z)} in Worten!
Aufgabe 3)
Sei Bi das Ereignis Bi = „Bauelement Bi ist O.K”, i=1,...,n.
G sei das in folgender Skizze dargestellte Gerät:
Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eine Reihe funktioniert. Eine Reihe funktioniert,
wenn alle Bauelemente der Reihe funktionieren.
Stellen Sie mit Hilfe der Ereignisse Bi und den Mengenoperationen ∩, ∪, \ , sowie
Komplementbildung folgende Ereignisse dar:
a) A=“ Das Gerät ist O.K.“
b) B= “Nur B1 und B4 sind O.K, die anderen Bauelemente nicht“
c) C= „Genau 2 Reihen des Gerätes funktionieren“
d) D=“ Mindestens ein Bauelement ist O.K.“
e) E=“ Mindestens ein Bauelement ist defekt“
f) F=“ Höchstens ein Bauelement ist O.K.“
Aufgabe 4)
Bei der Herstellung eines Produktes treten 2 Fehler F1=“nicht maßhaltig“ und F2=“nicht
funktionsfähig“ ein. Formulieren Sie folgende Ereignisse unter Verwendung von F1 und F2
und den Mengenoperationen ∩, ∪, \, sowie Komplementbildung :
a) Das Produkt ist mit mindestens einem Fehler behaftet
b) Das Produkt hat keinen der beiden Fehler
c) Das Produkt hat höchstens einen der beiden Fehler
1
Übungs-Blatt 6
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik
Prof. Dr. B. Grabowski
Aufgabe 5)
Zeigen Sie unter Verwendung der 4 Axiome der Wahrscheinlichkeit dass für beliebige
Ereignisse A und B aus dem Definitionsbereich von P gilt:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
Aufgabe 6)
Bei der Herstellung eines Produktes treten 2 Fehler F1=“nicht maßhaltig“ und F2=“nicht
funktionsfähig“ ein. Es gilt für ein zufällig ausgewähltes Produkt: Es hat mit der
Wahrscheinlichkeit 0,1 mindestens einen der beiden Fehler, mit Wahrscheinlichkeit 0,09 den
Fehler F1 und mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 den Fehler F2.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat das Produkt beide Fehler F1 und F2?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat das Produkt höchstens einen der beiden Fehler?
Aufgabe 7)
Berechnen Sie die gesuchten Wahrscheinlichkeiten aus den gegebenen!
a) Gegeben: P(A»B) = 0,9, P(B\A) = 0,4
Gesucht: P(A)
b) P(A…B) = 0,3, P(C)=0,7, P((A»C)…(B»C))=0,8 Gesucht: P(A…B…C)
Aufgabe 8)
Ein Spam-Filter unterscheidet 3 verschiedene spamverdächtige Worte: F1 =„Viagra“ ,
F2=“Rolex“, F3=“crown“. Diese Worte treten mit folgenden Wahrscheinlichkeiten beim
e-mail-Verkehr auf:
P(F1)
P(F2)
P(F3)
P(F1…F2)
P(F1…F3)
P(F2…F3)
P(F1…F2…F3)
0,05
0,05
0,07
0,01
0,02
0,03
0,005
Der Spam-Filter lässt eine e-mail nur dann durch, wenn sie keines der 3 Worte enthält!
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Filter die e-mail durchlässt?
(D.h., wieviel % aller e-mails werden als O.K. eingestuft?)
Hinweis: Versuchen Sie eine zu P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) analoge Formel für 3
Ereignisse A, B, C aufzustellen! Wenden Sie dann diese Formel an, um die gesuchte
Wahrscheinlichkeit zu berechnen!
Aufgabe 9)
Eine Versuch V mit endlicher Grundmenge Ω={ ω1 , ω 2 ,..., ω k } und gleichwahrscheinlichen
Elementarereignissen {ω i } , d.h. für die gilt: P({ω i }) = q, i = 1,..., k , heißt LaplaceVersuch oder Glücksspiel. Beweisen Sie unter Verwendung der axiomatischen Definition der
Wahrscheinlichkeit P,
2
Übungs-Blatt 6
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik
Prof. Dr. B. Grabowski
a) dass gilt: q = 1/k
b) dass für beliebige Ereignisse A⊆Ω gilt:
P( A) =
| A|
|Ω|
Aufgabe 10)
Wir betrachten den Laplace-Versuch V= „Werfen zweier Würfel“.
| A|
Berechnen Sie unter Verwendung der Formel P( A) =
aus Aufgabe 5 die
|Ω|
Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A = „Werfen zweier Sechsen“
b) A = „Die Summe der Augenzahl ist gleich 8 oder 10“
Aufgabe 11)
Ein Los von 200 LED’s enthält 120 rote und 80 grüne LED’s. Von den roten LED’s haben
die Hälfte eine dreieckige Form, die anderen sind rund. Insgesamt gibt es 110 dreieckige
LED’s unter allen 200 Stück. Aus dem Los der 200 LED’s wird zufällig eine (zur
Qualitätskontrolle) herausgezogen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) dass sie rot ist,
b) dass sie eine runde rote oder eine grüne ist,
c) dass sie grün ist,
d) dass sie grün und dreieckig ist.
3