Joa Weber1 - Stony Brook Math Department

Joa Weber1
Februar 1995
Diplomarbeit am Fachbereich Physik
der Technischen Universitaºt Berlin
Vorgelegt bei Prof. Dr. K.-E. Hellwig
1 Kapitel 1
1.1
1.2
1.3
Einleitung
Uºbersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Morse-Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Physikalische Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
5
11
Kapitel 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Der Wittensche Beweis der Morse-Ungleichungen
Der Laplace-Beltrami-Operator L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der deformierte Laplace-Operator Lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der quasiklassische Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beweis der schwachen Morse-Ungleichungen . . . . . . . . . . . . .
Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beweis der starken Morse-Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
18
20
42
58
62
69
75
Kapitel 3
3.1
3.2
3.3
3.4
Der Morse-Witten Komplex
Der kanonische Randoperator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der kanonische Kettenhomomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der kanonische Isomorphismus zur singulaºren Homologie . . . . .
Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
83
91
97
98
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Verwendete Symbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Zielsetzung : Es werden zwei Beweise der Morse-Ungleichungen fuºr eine glatte,
geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit (Mn,g) praºsentiert. Der erste Beweis
(Kapitel 2) benutzt Methoden und Ideen, wie sie in der theoretischen Physik typisch
sind. Er geht auf den Physiker E. Witten [Wi3] zuruºck und hat eine asymptotisch
variierte Hodge-Theorie zur Grundlage. Der zweite (klassische) Beweis (Kapitel 3)
benutzt den Morse-Witten Komplex fuºr M. Dieser besteht aus den Kettengruppen
Ck(f,g,s) und dem kanonischen Randoperator k : Ck(f,g,s) Ck-1(f,g,s) . Die
Kettengruppen werden von den kritischen Punkten einer Morse-Funktion
f C (M,R) frei abelsch uºber Z erzeugt, d.h. Ck(f,g,s) Z#Critk f (s ist eine
orientierungsabhaºngige Groº≠e). Im Fall der Guºltigkeit der Morse-Smale Bedingung
ist der kanonische Randoperator wie folgt definiert: Sei <x> Critk f ein
Erzeuger von Ck(f,g,s), dann ist
n(x,y)<y> ,
k<x> :=
s
J
r
66
6 6
Y
6
J
s
6
!
6
¡
y Critk-1f
J
wobei die Koeffizienten n(x,y) die Anzahl der x mit y verbindenden Orbits (gezaºhlt
mit einem orientierungsabhaºngigen charakteristischen Vorzeichen) bezeichnen.
(Ck(f,g,s), k)k Z stellt einen algebraischen Kettenkomplex dar, es koºnnen also
zugehoºrige Homologiegruppen HM*(f,g,s,M;Z) definiert werden. Es stellt sich
heraus, da≠ diese nicht von (f,g,s) abhaºngen und kanonisch isomorph zur
ganzzahligen singulaºren Homologie von M sind. Hieraus folgen nun die MorseUngleichungen. Dieser zweite Zugang wurde zwar in [Wi3] als plausibel betrachtet,
konnte mit den dort verwendeten Methoden jedoch nicht gezeigt werden.
s
J
1.1 Uºbersicht
In Kapitel 1 dieser Arbeit wiederholen wir in Paragraph 1.2 'Die MorseUngleichungen' die hier relevanten grundlegenden Begriffe der endlich-dimensionalen
nichtdegenerierten Morse-Theorie, insbesondere die starken und schwachen MorseUngleichungen. Wir zeigen die Aºquivalenz der starken Morse-Ungleichungen zur
Existenz eines algebraischen Kettenkomplexes (Ck, k)k , wobei die
Kettengruppen Ck von den kritischen Punkten einer Morse-Funktion f vom MorseIndex k frei abelsch uºber Z erzeugt sind und die Bettizahlen bk( ) der zugehoºrigen
Homologiegruppen mit denen der singulaºren Homologie der Mannigfaltigkeit M
uºbereinstimmen.
In Paragraph 1.3 'Physikalische Motivation' skizzieren wir den physikalischen
Hintergrund beziehungsweise die physikalischen Fragestellungen, welche E. Witten
1982 [Wi2&3] einerseits den Morse Komplex wiederentdecken lie≠en, andererseits zu
einem neuen Beweis der Morse-Ungleichungen durch asymptotische Analysis einer
variierten Hodge-Theorie fuºhrten.
s
J
s
6
/
Letzteres ist Inhalt von Kapitel 2 'DER WITTENSCHE BEWEIS DER
MORSE-UNGLEICHUNGEN'. In Paragraph 2.1 'Der Laplace-Beltrami-Operator L'
bilden wir zunaºchst den Abschlu≠ L p(M) des Raumes Lp(M) der glatten pDifferentialformen auf M bezuºglich eines L2-inneren Produkts < , >p und
erhalten einen Hilbertraum (L p(M),< , >p). Wir definieren den LaplaceBeltrami-Operator L als Abschlu≠ in L p(M) des Operators dd* d*d auf Lp(M) (d
ist die aºu≠ere Differentiation). L ist selbstadjungiert und von unten durch Null
beschraºnkt. Anschlie≠end beweisen wir das Theorem uºber die Hodge-Zerlegung von
L p(M), woraus letztendlich folgt dim Ker L bp (p-te Bettizahl von M).
In Paragraph 2.2 'Der deformierte Laplace-Operator Lt' erlaºutern wir die Idee
Wittens den Operator der aºu≠eren Differentiation d mit e-itf zu konjugieren (f
Morse-Funktion auf M, t R), d.h.
dt := e-tfdetf , Lt := dtdt* dt*dt .
Die Bedeutung dieser Idee zeigt sich in dem Resultat dim Ker Lt bp, denn wir
koºnnen nun t R beliebig variieren ohne die linke Seite zu veraºndern. Dies ist
entscheidend, denn das Spektrum von Lt kann fuºr gro≠e t besser analysiert werden.
Unter Verwendung einer mittels Morse-Koordinaten konstruierten Metrik berechnen
,
/ /
,
/ /
,
+
6 6
,
V
J
+
J
6 6
V
wir Lt zu
6
Lt L t2 df 2 t A ,
wobei A ein beschraºnkter Operator nullter Ordnung ist. Die beiden letzten Terme
interpretieren wir als Potential. Fuºr gro≠es t sind die lokalen Minima genau durch
die kritischen Punkte von f gegeben. Es ist nun naheliegend, da≠ sich der t
Limes von Lt als direkte Summe a K(a) von harmonischen Oszillatoren K(a) ergibt,
welche bei den kritischen Punkten von f lokalisiert sind.
In Paragraph 2.3 zeigt sich, da≠ diese Vermutung richtig ist. Den t
Limes
nennen wir quasiklassischen Limes. Fuºr gro≠es t vereinfacht sich das Spektrum von
Lt, es spaltet in einen tiefliegenden und einen hochliegenden Anteil auf. Die
Eigenwerte in ersterem wachsen schwaºcher als t, jene in letzterem mindestens wie t.
In Paragraph 2.4 werden wir die schwachen Morse-Ungleichungen beweisen. Wir
analysieren hierzu den quasiklassischen Limes a K(a) von Lt. Es stellt sich heraus,
da≠ jeder Summand K(a) genau eine Eigenfunktion (-form) zum Eigenwert Null
besitzt. Diese ist bei einem kritischen Punkt x(a) von f lokalisiert. Sie ist eine
Differentialform vom Grad Indf(x(a)). Es ergibt sich
dim Ker a K(a)|Lp(M) cp := # {x M|df(x) 0 , Indf(x) p} .
Das asymptotische Verhalten der Eigenwerte von Lt liefert cp bp.
In Paragraph 2.5 definieren wir den Begriff 'Supersymmetrische
Quantenmechanik'. Die Bedeutung dieser Theorie fuºr den Beweis der starken MorseUngleichungen liegt darin, da≠ fuºr nichtverschwindende Eigenwerte von Lt die
zugehoºrigen Eigenformen in Paaren (p gerade , p ungerade) oder physikalisch
ausgedruºckt (bosonisch , fermionisch) auftreten (p sei der Grad der Form).
In Paragraph 2.6 werden die starken Morse-Ungleichungen bewiesen.
V
+
2
/
+
/
6
!r
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2
6
2
V
6
J
V
V
;
66
66
In Kapitel 3 'DER MORSE-WITTEN KOMPLEX' konstruieren wir diesen und
zeigen die Isomorphie der zugehoºrigen Homologiegruppen HM*(M;Z) zur singulaºren
Homologie von M Hsing
* (M;Z). Das beweist, wie zuvor bemerkt, die starken MorseUngleichungen (Thm. 1.2.4). Der Morse-Witten Komplex ist in der Mathematik seit
langem bekannt (unter dem Namen Morse-Komplex). Er wurde bereits von R.
Thom (40'er Jahre) [T], J. Milnor (50'er Jahre) [Mi] und S. Smale (60'er Jahre) [Sm]
studiert. Anfang der 80'er Jahre wurde er von dem Physiker E. Witten [Wi3]
wiederentdeckt, der durch die Untersuchung eines supersymmetrischen
3
quantenmechanischen Systems auf ihn gestossen ist. Die Instantonen dieses Systems
sind gerade die isolierten verbindenden Orbits des Morse-Witten Komplex.
In Paragraph 3.1 'Der kanonische Randoperator' zeigen wir, da≠ der
Gruppenhomomorphismus k ein Randoperator ist, d.h. da≠ gilt k-1 k 0, k Z.
In Paragraph 3.2 'Der kanonische Kettenhomomorphismus' konstruieren wir
diesen , yba genannt. Er stellt einen Homomorphismus zwischen zwei Morse-Witten
Komplexen uºber M fuºr verschiedene Wahlen von (f,g,s) dar. Wir wiederholen dazu
im wesentlichen die Konstruktion von k in Paragraph 3.1 fuºr den Fall M x S1, sowie
einer hierauf speziell definierten Morse-Funktion F und Metrik G. fa und fb werden
hierzu durch eine Homotopie verbunden, genauso ga und gb. Auf Homologieniveau
stellt yba
* einen Isomorphismus dar.
In Paragraph 3.3 'Der kanonische Isomorphismus zur singulaºren Homologie'
skizzieren wir die Beweisidee fuºr einen solchen. Das besondere hierbei ist, da≠ es sich
bereits auf Kettenniveau um einen Isomorphismus handelt. Ein Isomorphismus auf
Homologieniveau wurde dagegen schon mehrfach bewiesen [Mi] [Sa].
Abschlie≠end zeigen wir in Paragraph 3.4 'Anwendung', wie sich mittels der
Morse-Homologie die Homologie von Sn der n-dimensionalen Sphaºre einfach
berechnen laº≠t.
s
s
vs V
J
/
s
66
Terminologie:
_Innerhalb eines Kapitels erfolgen Verweise zweistellig. Die erste Stelle gibt die
Nummer des Paragraphen innerhalb des Kapitels an, die zweite Stelle die Nummer
des Objekts (des Satzes, der Gleichung usw.), z.B. verweist (2.5) in Kapitel 3 auf die
Gleichung 5 in Paragraph 3.2 .
Verweise zwischen Kapiteln erfolgen dreistellig. Die erste Stelle gibt jetzt das
Kapitel an, die zweite den Paragraphen innerhalb dieses Kapitels und die dritte die
Nummer des Objekts, z.B. verweist (3.2.5) auf dieselbe Gleichung wie zuvor.
_Wir verwenden gelegentlich die Einsteinsche Summenkonvention, d.h. uºber
gleiche obere und untere Indizes wird summiert.
6
1.2 Die Morse-Ungleichungen
In diesem Paragraphen wollen wir kurz die grundlegenden Begriffe der MorseTheorie einfuºhren, insbesondere den der Morse-Funktion und der Bettizahl. Hierbei
definieren wir die Bettizahlen nicht in ihrer allgemeinsten Form, sondern als
Dimensionen der de Rham Kohomologiegruppen, welche wir zuvor einfuºhren.
Anschlie≠end zitieren wir die schwachen und die starken Morse-Ungleichungen,
zeigen deren Aºquivalenz zur Existenz eines bestimmten Kettenkomplexes und
schlie≠en mit einem illustrierenden Beispiel.
Mit Mn bezeichnen wir im folgenden eine geschlossene (kompakte und
unberandete) glatte Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n. f : M R sei
eine glatte Funktion.
p M hei≠t kritischer Punkt von f, falls gilt df(p) 0. Das hei≠t in einem und
damit jedem lokalen Koordinatensystem x1,\,xn um p gilt
(2.1)
1f(p) \
nf(p) 0 .
Ein kritischer Punkt p M hei≠t nichtdegeneriert, falls die Hesse-Matrix
(2.2)
i jf(p) ij {1,\,n}
nichtdegeneriert ist, d.h. Null nicht als Eigenwert besitzt. Der Morse-Index Indf(p)
eines nichtdegenerierten kritischen Punktes p M ist definiert als die Anzahl der
negativen Eigenwerte der Hesse-Matrix (diese ist symmetrisch und nichtdegeneriert
sie besitzt n reelle nichtverschwindende Eigenwerte). Diese Definitionen sind
unabhaºngig vom gewaºhlten Koordinatensystem.
Eine Funktion f C (M,R) hei≠t Morse-Funktion, falls gilt: Alle kritischen Punkte
von f sind nichtdegeneriert.
Da M in unserem Fall kompakt ist, folgern wir leicht die Endlichkeit der Anzahl
von kritischen Punkten von f (siehe z.B. [We, Prop. 1.2.5]). Mit ck(f) oder auch ck
bezeichnen wir die Anzahl der kritischen Punkte von f vom Morse-Index k.
66 6 6
!
J
V
s
J
V
B6
s s
Vs
6K
V
J
J
&
r
J
Die kritischen Punkte von Morse-Funktionen haben lokal eine einfache Gestalt:
Lemma 2.1 (M
Morse-Lemma) [H, Kap.6, Lemma 1.1] Sei p M ein
nichtdegenerierter kritischer Punkt einer Cr 2-Abbildung g : M R, r 1, mit
+
66 6 6
!
J
;
Indg(p) k, dann existiert eine Cr-Karte (ª,U) um p (genannt Morse-Karte oder
auch Morse-Koordinaten), so da≠ gilt
k
n
g ª-1(x1,\,xn) g(p)
xi2
xi2 , x (x1,\,xn) ª(U) Rn .
V
v
¡
¡
i=1
i=k+1
V
,
+
V
J
B
Jetzt benoºtigen wir einige Grundbegriffe des Differentialformenkalkuºls. Mit
Lp(M) , p {0,\,n}, bezeichnen wir den Raum der glatten p-Formen auf M.
dp : Lp(M) Lp+1(M)
sei die aº u≠ere Differentiation, sie erfuºllt
(2.3)
dp dp-1 0 .
Es seien hierbei Lp(M) := 0 und dp := 0 fuºr p Z\{0,\,n}. Aus (2.3) folgt
Im dp-1 Ker dp , die folgende Definition macht also Sinn
6
J
!
6
F
v
6 6
6 6
V
6 6
J
Ker d
HDp R(M;R) := Im d p , p Z .
(2.4)
J
p-1
Die HpDR(M;R) sind endlichdimensionale Vektorraºume, sie hei≠en p-te de Rham
Kohomologiegruppen von M.
Die Bettizahlen von M seien nun definiert als
(2.5)
bp := dim HpDR(M;R) , p Z .
6
J
Uºblicherweise werden die Bettizahlen im Rahmen der algebraischen Topologie als
Dimensionen der singulaºren Homologiegruppen definiert. Die Definition (2.5) ist
dann das Theorem von de Rham. Hieraus folgt die Unabhaºngigkeit der bp von der
gewaºhlten differenzierbaren Struktur auf M.
Theorem 2.2 [H, Kap. 6, Thm. 3.5] Sei f Cr+1(M,R), r 1, eine Morse-Funktion
auf einer geschlossenen Mannigfaltigkeit M, dann gelten
i) die starken Morse-Ungleichungen
J
m
¡
(
k=0
ii)
6
1)k+m ck
,
n
¡
(
k=0
;
m
¡
(
k=0
6
6
1)k+m bk , 0 m n ,
,
1)k ck
,
;
n
¡
(
k=0
V
:
6
1)k bk .
,
:
Durch Summation der Ungleichungen aus i) fuºr m i und m i 1 folgt das
V
V ,
Theorem 2.3 [H, Kap. 6, Thm. 3.7] Die Voraussetzungen seien wie in Theorem 2.2,
dann gelten die schwachen Morse-Ungleichungen
ck bk , 0 k n .
;
:
:
Theorem 2.4 Die starken Morse-Ungleichungen (Thm. 2.2 i)) sind aºquivalent zur
Existenz eines Gruppenhomomorphismus k : Ck Ck-1 ( k Z) mit k-1 k 0,
wobei Ck die von den kritischen Punkten der Morse-Funktion f frei abelsch erzeugte
Gruppe sei, d.h. Ck Z#Critk f. Fuºr k Z\{0,\,n} sei Ck := 0. Die Bettizahlen bk( )
des Kettenkomplexes (Ck, k)k Z stimmen mit jenen der Mannigfaltigkeit M uºberein.
s
6
Y
s
66 6 6
!
M
J
s
vs V
6 6
J
s
J
BEWEIS ' ' Es gelte also Theorem 2.2 i). Wir definieren
ak := rk Ker k , bk := rk Im k ,
wobei rk den Rang einer Gruppe bezeichnet und Im bzw. Ker das Bild bzw. den
Kern eines Gruppenhomomorphismus. Wir stellen an k : Ck Ck-1 drei Bedingungen
i) k ist ein Gruppenhomomorphismus
ii) bk( ) bk
iii) k-1 k 0 , was aºquivalent ist zu Im k Ker k-1 .
Aus i) ergibt sich mit dem Homomorphiesatz fuºr Gruppen
(2.6)
ck rk Ck rk Ker k rk Im k ak bk .
Aus ii) ergibt sich
Ker sk
(2.7)
bk bk( ) rk Im
sk+1 ak bk+1 .
Aus iii) erhalten wir
(2.8)
bk ak-1 .
Es bleibt zu zeigen, da≠ Zahlen ak,bk N0 (k 0,\,n) existieren, so da≠ (2.6)-(2.8)
erfuºllt sind. Die Forderung (2.8) ergibt sich bereits aus (2.7): bk ak-1 bk-1 ak-1 .
Aus (2.6) und (2.7) erhalten wir
(2.9)
bk+1 ck bk bk .
Es ergeben sich hieraus
b0 c-1 b-1 b-1 0 0 0 0
&
&
s
s
s
66 6 6
!
s
s V
s
6
vs V
V
V
V
s B
s +
66
s V
s V
V
6
s
+
,
:
J
V
V
V
V
,
,
V
+
+
V
,
,
,
:
6
b1Vc0,b0
b2Vc1,b1,(c0,b0)V(c1,c0),(b1,b0)
6
(2.10) a
bkV
6a
k-1
¡
(
s=0
6
1)s+k-1 cs
,
n
¡
(
s=0
,
6
1)s+n cs
k-1
¡
(
s=0
,
n
¡
(
s=0
6
1)s+k-1 bs
6
1)s+n bs 0
fuºr r n 1
, Thm. 2.2 i) .
Aus den starken Morse-Ungleichungen ergibt sich bk 0 fuºr alle k, was notwendig
ist um die bk als Rang einer Gruppe zu interpretieren. Aus (2.6) erhalten wir nun
ak ck bk , d.h.
a0 c0 b0 c0
a1 c1 (c0 b0) (c1 c0) b0
a2 c2 (c1 c0) (b1 b0) (c2 c1 c0) (b1 b0)
(2.11) a
k-1
k-1
ak ck
( 1)s+k-1 cs
( 1)s+k-1 bs
bn+1V
,
,
,
V
V
br
;
+
;
V
,
6
6
V
,
V
V
,
,
V
V
,
,
+
V
6a
,
k
¡
(
s=0
V
¡
s=0
,
+
,
V
6
+
,
+
+
6 ¡
s=0
k-1
¡
( 1)s+k-16bs
s=0
,
1)s+k cs
,
,
,
6
,
,
an+1Vcn+1,bn+1V0Var
fuºr r n 1 .
;
+
Mittels der starken Morse-Ungleichungen erhalten wir
k
k-1
(2.12)
ak
( 1)s+k cs
( 1)s+k-1 bs
¡
s=0
V
;
k
(
¡
s=0
,
6
6
1)s+k bs
,
,
,
¡
s=0
k-1
¡
(
s=0
,
6
6
1)s+k-1 bs
,
V
bk
;
0.
wird nun wie folgt konstruiert: Auf ak Erzeugern von Ck definieren wir k zu
Null, den restlichen bk ck ak Erzeugern ordnen wir Erzeuger von Ck-1 zu.
Ker k-1 waºhlen wir nun so, da≠ letztere Erzeuger darin enthalten sind (moºglich da
bk ak-1). Die Konstruktion ergibt sich nun iterativ.
' ' Mit Bezeichnungen wie zuvor ergibt sich unter Verwendung der Relationen
(2.6)-(2-8) und b0 0
k
s
s
6
V
s
:
%
%
V
,
c0 a0
c1 c0
b0Vb0+b1;b0
V
+
,
V
;
a1,b2,(a0,b1)
,
+
,
V
+
;
V
6a
;
b1 b0
c0 a2 b2 a1 b1 a0 b0
(a2 b3) (a1 b2) (a0
b2 b1 b0
V
c2 c1
, (2.6)
, b2 0
, (2.7)
, (2.6)
, b3 0
, (2.7)
a1+b1,a0,b0
,
,
,
,
,
+
,
+
+
b1)
,
;
+
ck ck-1 ck-2 \ c0
,
+
,
0
ak+bk,ak-1,bk-1+ak-2+bk-2,\0a00b0
V
;
(ak bk+1) (ak-1 bk) (ak-2
bk bk-1 bk-2 \ b0
V
,
,
,
+
,
,
+
bk-1),\0(a0,b1)
,
P
0
Die Morse Ungleichungen zeigen, da≠ die Topologie einer glatten
Mannigfaltigkeit die Analysis auf ihr einschraºnkt: Eine Morse-Funktion auf einer
Mannigfaltigkeit mit Bettizahlen bk mu≠ mindestens bk kritische Punkte vom MorseIndex k besitzen.
Beispiel 2.5 Sei M T2 der 2-Torus, eingebettet in den R3, wie in Figur 2.1
skizziert. Aus der algebraischen Topologie ist bekannt, da≠ gilt
(2.6)
b0(T2) 1 , b1(T2) 2 , b2(T2) 1 .
Sei nun f : R3 T2 R, (x,y,z) z, die Hoºhenfunktion. Diese hat offenbar genau 4
kritische Punkte. Ein Minimum mit Indf(m) 0, zwei Sattelpunkte mit
Indf(mi) 1 und ein Maximum mit Indf(M) 2. Dieses Beispiel realisiert also
gerade die, durch die Morse-Ungleichungen gegebene, minimale Anzahl kritischer
Punkte einer beliebigen Morse-Funktion auf T2.
V
66
C
6 6
!
V
6 6
V
V
*
V
V
V
Figur 2.1
10
1.3 Physikalische Motivation
In diesem Paragraphen wollen wir das Konzept der Supersymmetrie in der
Physik skizzieren (siehe z.B. [BL, Ch. 1\3] fuºr mehr Details) und motivieren welche
physikalischen Untersuchungen und Uºberlegungen zu dem Wittenschen Beweis der
Morse-Ungleichungen (siehe Kapitel 2), sowie zum Morse-Witten Komplex (siehe
Kapitel 3) fuºhren. Wir orientieren uns hierbei vor allem an den Artikeln
[Wi1],[Wi2],[Wi3]. Im ersten Teil 'SUPERSYMMETRISCHE QUANTENFELDTHEORIE' (im folgenden SS QFT abgekuºrzt) diskutieren wir insbesondere den
Aspekt der spontanen Symmetriebrechung. Indem wir die Ortsabhaºngigkeit der
Felder streichen, gelangen wir von der SS QFT zur 'SUPERSYMMETRISCHEN
QUANTENMECHANIK' (SS QM); diesen Begriff diskutieren wir im zweiten Teil.
Er fuºhrt zu Wittens deformierter Hodge-Theorie, sowie zum Morse-Witten Komplex.
SUPERSYMMETRISCHE QUANTENFELDTHEORIE
Wir betrachten im folgenden nur den Fall von 1 1 Dimensionen (d.h. eine
Raum- und eine Zeitdimension), sowie einem Supersymmetrieoperator Qa (d.h.
N 1, a 1,2 ist ein Spinorindex). Der Hilbertraum h einer QFT laº≠t sich als
direkte Summe der bosonischen Zustaºnde hb und der fermionischen Zustaºnde hf
schreiben
(3.1)
h hf hb .
Sei NF der Operator der Fermionenzahl, und sei ( 1)NF der Operator der
Fermionenzahl modulo 2; er sei definiert durch
( 1)NFª ª , ª hb ,
(3.2)
( 1)NFy
y ,
y hf .
Fuºr den Supersymmetrieoperator Qa soll nun folgende Bedingung gelten
(3.3)
{( 1)NF,Qa} := ( 1)NFQa Qa( 1)NF 0 , a 1,2 ,
d.h. Qa bildet hb in hf und hf in hb ab. Die Supersymmetriealgebra lautet
(3.4)
[Qa,H] := QaH HQa 0 , a 1,2 , {Q1,Q2} 0 ,
d.h. Qa ist tatsaºchlich ein Symmetrieoperator und fuºhrt daher zu einer
Erhaltungsgroº≠e. Diese Superladung (vgl. z.B. [IZ, Se. 3-1-3] fuºr den analogen Fall
der elektrischen Ladung) ist wie sich herausstellt durch #Fermionen #Bosonen
+
V
6
V
V
2
,
,
,
,
,
V
M
V,
,
,
+
V
J
M
,
V
J
V
V
V
,
gegeben.
Da wir nur eine Raumdimension betrachten, gibt es genau einen Impulsoperator P
und die Supersymmetriealgebra (3.4) ist realisiert durch
(3.5)
Q12 H P , Q22 H P mit {Q1,Q2} 0 .
Es ergibt sich (mit der Jacobi-Identitaºt), da≠ die Forderung (3.4) erfuºllt ist, sowie
da≠ gilt [Qa,P] 0. Durch Addition der ersten beiden Gleichungen in (3.5) erhalten
wir au≠erdem
(3.6)
H 12 (Q12 Q22) ,
d.h. H ist positiv semi-definit. Ein Zustand O h mit
(3.7)
QaO 0 , a 1,2 ,
hei≠t invariant unter Supersymmetrie, wir sagen dann das System besitze Supersymmetrie. Es gilt fuºr o h
(3.8)
Ho 0
Qao 0 , a 1,2 .
Falls also ein supersymmetrieinvarianter Zustand O existiert, so hat er Energie Null
und ist somit der Grundzustand (das Vakuum). Die Supersymmetrie hei≠t spontan
gebrochen, falls kein supersymmetrieinvarianter Zustand existiert. In diesem Fall
hat also der Grundzustand positive Energie. Falls Supersymmetrie vorliegt, kann
gezeigt werden, da≠ Fermionen und Bosonen in Dupletts gleicher Masse vorliegen.
Dies wird aber experimentell nicht beobachtet, d.h. Supersymmetrie mu≠ bei den
heutzutage experimentell erreichbaren Energien spontan gebrochen sein.
Um zu entscheiden ob in einem System spontane Supersymmetriebrechung vorliegt,
muºssen wir also untersuchen, ob der Energieeigenwert Null auftritt. Falls ja, so mu≠
wegen (3.5) der Impulsoperator P auf dem zugehoºrigen Eigenraum verschwinden.
Wir beschraºnken uns also zur Untersuchung des Energieeigenwerts Null oBdA auf
den Teilraum h0 von h, auf welchem P identisch Null ist. Auf h0 h0f h0b
vereinfacht sich die Realisierung (3.5) der Supersymmetriealgebra (3.4) zu
(3.9)
Q12 Q22 H , {Q1,Q2} 0 ,
es genuºgt daher einen der beiden Operatoren Q1,Q2 auf das Auftreten des
Eigenwerts Null zu untersuchen; wir nennen diesen Operator im folgenden Q. Seien
nun
(3.10)
nfE=0 bzw. nbE=0
die Anzahl fermionischer bzw. bosonischer Zustaºnde mit Energie Null. Der Operator
V
+
V
,
V
V
V
6
+
J
V
V
J
V
)
V
V
V
V
V
V
2
Q paart fermionische und bosonische Zustaºnde nichtverschwindender Energie. Diese
tragen also nicht zu der formalen Groº≠e Tr ( 1)NF bei, also ist formal
(3.11)
Tr ( 1)NF nE=0
nE=0
.
b
f
6
6
,
,
V
,
Diese Groº≠e betrachten wir aus zwei Gruºnden:
i) Sie ist invariant unter Variation der Parameter der betrachteten Theorie
(Volumen, Massen, Kopplungskonstanten), denn Uºbergaºnge von Zustaºnden
verschwindender in solche mit nichtverschwindender Energie (oder umgekehrt)
muºssen in Paaren (Boson,Fermion) geschehen. nE=0
nE=0
aºndert sich also nicht.
b
f
Wir koºnnen demnach eine zu ihrer Berechnung bequeme Wahl der Parameter
treffen. Au≠erdem liefert die Berechnung mittels Stoºrungstheorie ein exaktes
Ergebnis, denn jeder Korrekturterm zur Energie eines bosonischen Zustands hat
einen entsprechenden fermionischen Korrekturterm zur Folge.
ii) Falls nE=0
nE=0
0 ist, existiert offenbar ein Zustand mit Energie Null; die
b
f
Supersymmetrie ist also nicht gebrochen.
Wie in Paragraph 2.5 ausgefuºhrt, siehe (2.5.5), hat Q bezuºglich der Aufspaltung
h hf hb die Gestalt
,
,
V
W
2
(3.12)
Q
V
0 A
A* 0
.
6
Zustaºnde verschwindender Energie sind genau jene in Ker Q. Bosonische Zustaºnde in
Ker Q sind genau jene in Ker A, fermionische in Ker Q genau jene in Ker A*, d.h. es
gilt
(3.13)
nE=0
nE=0
dim Ker A dim Ker A*
b
f
dim Ker A dim Coker A
index A .
Im Fall von Beispiel 2.5.3 ist h die L2-Vervollstaºndigung der Menge der glatten
Differentialformen und A d der Abschlu≠ des Operators der aºu≠eren
Differentiation. (h,d) ist nach [Ch, App. Se. 1] ein elliptischer Komplex und index
A daher definiert. Die obige Eigenschaft i) ist nun ein Spezialfall der Invarianz des
Index eines Operators unter bestimmten Deformationen, siehe z.B. [BB].
Witten untersuchte Tr ( 1)NF fuºr das nichtlineare supersymmetrische SigmaModell [Wi2]. In diesem Modell haben die skalaren Felder Werte in einer
Riemannschen Mannigfaltigkeit M der Dimension n. Lokale Koordinaten ª1,\,ªn
6
6
,
V
,
V
,
V
,
V
6
6
,
6
auf M beschreiben n skalare Felder (d.h. neutral und bosonisch), gij sei die Metrik
auf M in diesen Koordinaten. Die Lagrange-Funktion fuºr n freie, massive
Superfelder
fi
ªi
yi
V
lautet ausgedruºckt in den Komponentenfeldern ªi,yi nach [Wi3]
(3.14)
L
$d2x B 12 gij
V
,
s
i
mª
s
m
1 gij s(t~f)
2
sªi
,
ªj+2i gij y i gkDkyj+18
/
s(t~f)
s ªj
,
a
6 K
2
1 s (t~f) y i yj
2 sªisªj
,
,
6 6 6
Rijkl y i yk y j yl
,
,
m,kV0,\,3
,
hierbei sind gk Dirac-Matrizen, Dk eine kovariante Ableitung nach der k-ten
Koordinate, yi antikommutierende Vektorfelder auf M, Rijkl der Kruºmmungstensor
von M und f ist eine Morse-Funktion auf M (das Superpotential), t~ R+ ist ein
Parameter. Wir waºhlen auf M eine Metrik, die lokal bei den kritischen Punkten
Crit f von f flach ist und bezuºglich der die Hesse-Matrix (s2(t~f)/sªisªj) von t~f
diagonal ist (Morse-Koordinaten). In der Naºhe der kritischen Punkte beschreibt
(3.14) eine QFT mit n freien Bosonen der Masse 2 und n freien Fermionen deren
Massen gerade durch die (nichtverschwindenden) Eigenwerte der Hesse-Matrix von
2
t~f gegeben sind, siehe z.B. [BL, Se. 2.5]. Der vorletzte Term ~t2 | f|2 stellt das
effektive Potential in der Stoºrungstheorie 1. Ordnung (Feynman Baumdiagramme)
dar. Er verschwindet genau auf Crit f, d.h. wir haben #Crit f Vakua.
Es bleibt festzulegen welche der Vakua bosonisch und welche fermionisch sind.
Wittens physikalische Uºberlegungen in [Wi2, Se. 10] fuºhren dazu, da≠ er jene Vakua
bosonisch bzw. fermionisch nennt, deren zugehoºriger kritischer Punkt von f geraden
bzw. ungeraden Morse-Index besitzt. Hieraus ergibt sich
J
6
{
6
6
(3.15)
6
Tr ( 1)NF
,
¡(
x Critf
V
J
z
6
1)Indf(x)
,
n
¡
(
k=0
V
6
,
6
1)k ck
V
c(M)
,
wobei ck die Anzahl von x Crit f mit Morse-Index k bezeichnet. c(M) ist die
Eulercharakteristik von M und ist eine topologische Invariante. Dies verdeutlicht
noch einmal die Unabhaºngigkeit von Tr ( 1)NF von den Parametern der Theorie.
Damit haben wir ein einfaches Kriterium dafuºr, da≠ Supersymmetrie nicht spontan
gebrochen ist, naºmlich c(M) 0.
J
6
W
,
SUPERSYMMETRISCHE QUANTENMECHANIK
Indem wir nun die Ortsabhaºngigkeit der Felder in (3.14) streichen, gehen wir von
der QFT zur QM uºber. Wir erhalten folgenden Ausdruck (beachte: in (3.14) ist
d2x dx dt)
V
(3.16)
6
$ B 12 gij
I l dt
V
,
i
j
tª tª
s
s
62i gij y i g0Dtyj
,
+
1 t~ 2 gij sf
2
s ªi
sf
sªj
/
+
,
1
2
1
8
,
a
6 K
t~ sªsisfªj y i yj
2
,
6 6 6
Rijkl y i yk y j yl
,
.
l ist das Volumen der Raumkomponente unserer (1 1)-dimensionalen Raumzeit.
Wir interpretieren den Integranden als Lagrange-Funktion L(ªi,ªi,yj,yj). Durch eine
Legendretransformation gehen wir uºber zur entsprechenden Hamilton-Funktion und
anschlie≠end quantisieren wir das System kanonisch: ªi ªi, pªi i d/dªi, die yj
betrachten wir als Operatoren mit folgenden Antikommutationsrelationen
(3.17)
{yi,yj} 0 {(yi)*,(yj)*} , {yi,(yj)*} gij .
Mit unserer speziell gewaºhlten Metrik ergibt sich lokal bei Crit f (Metrik flach
Rijkl 0) der Hamiltonoperator (modulo dem konstanten Faktor l/2)
2
, f Laplace-Op.
(3.18)
Ht~ f t~2| f|2 t~ sªsisfªj [(ai)*, aj]
dt~*dt~ dt~dt~*
, dt~ := e-t~fdet~f, s. Kap. 2.2
(dt~ dt~*)2
, dt~2 0 (dt~*)2
Q2
, (3.9) .
Witten [Wi2, p. 309] interpretierte die Operatoren (yj)* bzw. yj als
Fermionenerzeuger bzw. -vernichter und den (Praº-)Hilbertraum dieses
quantenmechanischen Systems als den Raum der glatten Differentialformen L(M)
auf der Riemannschen Mannigfaltigkeit M. Wie in Kapitel 2.2 sind (aj)* := (yj)* bzw.
aj := yj die Operatoren der aºu≠eren bzw. inneren Multiplikation auf L(M).
Das Studium von Ker Ht~ fuºhrte Witten in [Wi3] zunaºchst zum Beweis der
schwachen Morse-Ungleichungen; dieser Beweis ist in Kapitel 2 detailliert dargestellt
(t~ ist dort mit t bezeichnet). Witten argumentierte, da≠ die Eigenformen von Ht~
zum Eigenwert 0 fuºr gro≠es t~ bei Crit f lokalisiert sein muºssen, und er approximierte
Ht~ dort durch einen Operator (im wesentlichen die direkte Summe von
harmonischen Oszillatoren) dessen Kern explizit berechenbar ist. Die starken Morse+
/
*
V
V
V
/
*, /
6
)
V
V
V
V
+
z
+
6 6
+
+
V
V
V
6 6
6 6
6
6
Ungleichungen beweisen wir in Kapitel 2.5 und 2.6 mittels den
Supersymmetrieeigenschaften unseres Systems.
Witten wollte nun das tiefliegende Spektrum von Ht~ noch genauer analysieren,
indem er die obige Approximation durch Beruºcksichtigung von Tunneleffekten
(IInstantonen) zu verbessern gedachte. Die Interpretation von Matrixelementen
<q2,t2|q1,t1> mittels des Feynman Pfadintegrals (siehe z.B. [IZ, Ch. 9]) zeigt,
da≠ die wesentlichen Beitraºge von den Loºsungen der klassischen
Bewegungsgleichungen herruºhren. Es gilt also (nun in invarianter Notation)
(3.19)
I(ª)
l
2
V
$ dt B|ª(t)|2
r
/
+
K
t~2| f(ª(t))|2
z
,r
6
zu minimieren. Hierbei sei ª C (M,R) und es gelte fuºr x,y Crit f
(3.20)
t lim ª(t) x und t lim ª(t) y .
Die Loºsungen dieses Variationsproblems sind genau die Trajektorien des negativen
Gradientenflusses der Morse-Funktion f auf M, welche von x nach y fuºhren. Wir
sehen dies folgenderma≠en ein: Es ist
2
2
2
ª
2t~ < f(ª) , ª> t~ f(ª)
(3.21)
ª
t~ f(ª)
und
(3.22)
< f(ª(t)) , ddtª> df(ª(t)) (ddtª) dtd f(ª(t)) .
Damit erhalten wir
r
J
J
V
V
!,r
/
0
6
z
I(ª)
V
/
V
6
0
66
z
(3.23)
!+r
l
2
$
r
,r
V
dt ddtª
V
66
z
l
2
0
/
+
6
/z
V
t~ f(ª)
z
62
1
l
2
$ dt B 2t~ dtd f(ª) K
r
/
,r
$ dt ddtª
r
0
t~ f(ª)
z
62
1
l t~ (f(y) f(x))
/
,
,r
l t~ (f(y) f(x)) .
Die absoluten Minima bei vorgegebenen Endpunkten x,y Crit f sind also die
Loºsungen von
d
(3.24)
t~ f(ª(t)) .
dt ª(t)
Wir waºhlen das ' ' Zeichen, dann ist f laºngs Loºsungen von (3.24) monoton fallend.
Witten zeigt, da≠ fuºr den Instantonkorrekturterm nur jene Loºsungen von (3.24)
relevant sind mit Indf(x) Indf(y) 1. Nun erinnern wir uns daran (Thm 2.4), da≠
16
; 1
/
,
J
V0 /z
,
,
V
die starken Morse-Ungleichungen aºquivalent dazu sind, da≠ die kritischen Punkte
von f ein Modell der Homologie von M beschreiben und zwar in folgendem Sinn:
Seien Ck , k 0,\,n , freie abelsche Gruppen erzeugt von den kritischen Punkten
von f vom Morse-Index k. Die starken Morse-Ungleichungen sind nun aºquivalent
zur Existenz eines Operators k : Ck Ck-1 mit k-1 k 0, so da≠ die Bettizahlen
bezuºglich der Homologie von gleich denen der singulaºren Homologie von M sind.
Die Morse-Ungleichungen liefern jedoch keine kanonische Form fuºr den
Randoperator . Die Idee ist nun die zuvor diskutierten Tunnelpfade zur
Konstruktion von zu verwenden. Dies geschieht in Kapitel 3. Dort skizzieren wir
zunaºchst den Beweis von k-1 k 0; dieses Resultat wurde in [Wi3] als plausibel
betrachtet, jedoch nicht bewiesen. Ein detaillierter Beweis findet sich in [We]. Da≠
die Homologie bezuºglich kanonisch isomorph zur singulaºren Homologie von M ist,
werden wir ebenfalls nur skizzieren. Die Details fuºr diesen Beweis sind noch nicht
vollstaºndig ausgearbeitet, mittels anderer (indirekter) Zugaºnge wurde ein
Isomorphismus jedoch bereits mehrfach bewiesen, siehe [Mi] [Fl1] [Sa] [Sch].
Wir schlie≠en nun diese skizzenhafte Exkursion uºber die physikalischen
Hintergruºnde und Untersuchungen die Witten zu seinem neuen Beweis der MorseUngleichungen fuºhrten und kehren im folgenden zu mathematischer Strenge zuruºck.
6
6
V
s
66
!
s
s
s
s
s
vs V
s
vs V
In diesem Kapitel wollen wir die Morse-Ungleichungen, sowohl in der schwachen,
als auch in der starken Form beweisen. Wir folgen hierbei den Ideen von E. Witten
[Wi3].
In Paragraph 2.1 rufen wir uns die Grundzuºge der Hodge-Theorie in Erinnerung.
Wir bilden den Abschlu≠ des Raumes Lp(M) der p-Differentialformen auf der
Mannigfaltigkeit M bezuºglich eines inneren Produkts < , >p und erhalten einen
p
Hilbertraum L (M). Wir definieren den Laplace-Beltrami-Operator L als Abschlu≠
p
in L (M) des Operators dd* d*d auf Lp(M). L ist selbstadjungiert, positiv und
von unten durch Null beschraºnkt. Es gilt
dim Ker L bp .
/ /
,
,
+
V
In Paragraph 2.2 betrachten wir Wittens deformierten Laplace-Operator. Wir
konjugieren die aºu≠ere Differentiation d mit e tf (f sei eine Morse-Funktion, t R)
und definieren Lt analog zu L
:= e tf d etf , Lt := d d * d *d .
,
,
J
+
Fuºr Lt gelten entsprechende Resultate wie fuºr L, insbesondere
dim Ker Lt bp .
V
Unter Verwendung einer mittels Morse-Koordinaten konstruierten Metrik berechnen
wir Lt zu
Lt L t2 df 2 t A ,
wobei A ein beschraºnkter Operator nullter Ordnung ist. Die beiden letzten Terme
interpretieren wir als Potential. Fuºr gro≠es t sind die lokalen Minima genau durch
die kritischen Punkte von f gegeben. Es ist nun naheliegend, da≠ sich der t
Limes von Lt als direkte Summe a K(a) von harmonischen Oszillatoren K(a) ergibt,
welche bei den kritischen Punkten von f lokalisiert sind.
V
+
2
6
/
+
/
6
!r
In Paragraph 2.3 zeigt sich, da≠ diese Vermutung richtig ist. Den t
Limes
nennen wir quasiklassischen Limes. Fuºr gro≠es t vereinfacht sich das Spektrum von
Lt, es spaltet in einen tiefliegenden und einen hochliegenden Anteil auf. Die
Eigenwerte in ersterem wachsen schwaºcher als t, jene in letzterem mindestens wie t.
!r
In Paragraph 2.4 werden wir die schwachen Morse-Ungleichungen beweisen. Wir
analysieren hierzu den quasiklassischen Limes a K(a) von Lt. Es stellt sich heraus,
da≠ jeder Summand K(a) genau eine Eigenfunktion (-form) zum Eigenwert Null
besitzt. Diese ist bei einem kritischen Punkt x(a) von f lokalisiert. Sie ist eine
Differentialform vom Grad Indf(x(a)). Es ergibt sich
dim Ker a K(a) cp := # {x M|df(x) 0 , Indf(x) p} .
Das asymptotische Verhalten der Eigenwerte von Lt liefert cp bp.
2
6
2
V
6
J
V
V
;
In Paragraph 2.5 definieren wir den Begriff 'Supersymmetrische
Quantenmechanik'. Die Bedeutung dieser Theorie fuºr den Beweis der starken MorseUngleichungen liegt darin, da≠ fuºr nichtverschwindende Eigenwerte von Lt die
zugehoºrigen Eigenformen in Paaren (p gerade , p ungerade) oder physikalisch
ausgedruºckt (bosonisch , fermionisch) auftreten (p sei der Grad der Form).
66
66
In Paragraph 2.6 werden die starken Morse-Ungleichungen bewiesen.
19
L
2.1 Der Laplace-Beltrami-Operator L
In diesem Paragraphen soll der Laplace-Beltrami Operator L definiert werden.
Dies geschieht in Verallgemeinerung des bekannten Laplace-Operators
n
2/ (xi)2 auf dem Rn mit dem euklidischen Skalarprodukt. Wir konstruieren
i 1
zunaºchst ein L2-inneres Produkt < , >p auf den glatten p-Formen Lp(M) und
bilden dann die Vervollstaºndigung L p(M) bezuºglich dieses inneren Produkts.
Anschlie≠end definieren wir den Operator L : D(L) L p(M) L p(M) als Abschlu≠
des Operators d*d dd* : Lp(M) Lp(M) im Hilbertraum (L p(M) ,< , >p).
Am Ende zeigen wir ein Hauptresultat der Hodge-Theorie, naºmlich
(1.1)
bp := dim HpDR(M;R) = dim Ker L .
¡
s
s
V
/ /
,
+
66
6 6
66
6 6
,
B
,
!
,
!
6
/ /
Wir setzen ab jetzt voraus, da≠ unsere glatte, geschlossene Mannigfaltigkeit Mn
zusaºtzlich orientierbar sei und waºhlen eine feste Orientierung von Mn. Eine
Orientierung von Mn besteht aus einem Atlas {(ªa,Ua)}a A , so da≠ die
Jacobimatrizen der Uºbergangsabbildungen
(1.2)
ªi ªj-1 : ªj(Ui Uj) Rn
ªi(Ui Uj) Rn
positive Determinante besitzen.
Weiter waºhlen wir eine Riemannsche Metrik g auf M. Eine solche existiert aufgrund
der Kompaktheit von M (uºblicher Beweis: Waºhle endlichen Atlas {(ªa,Ua)}a A
und eine untergeordnete Zerlegung der Eins {ra}a A . gm( , ) :=
r (m) (ªa 1)*< , > ist eine Metrik auf M, < , > bezeichne z.B. die
a A a
euklidische Metrik auf Rn, siehe z.B. [We, S. 13]).
J
v
¡
D
B
!
D
B
J
/
,
/ /
6
6
6
J
/ /
/ /
J
DAS L2-INNERE PRODUKT AUF Lp(M)
Die Metrik g auf M liefert fuºr jedes m M ein inneres Produkt gm( , ) auf
TmM, welches glatt von m abhaºngt; d.h. fuºr X,Y x(M) := {glatte Vektorfelder auf
M} ist gm(X(m),Y(m)) f(M) := C (M,R). Mittels des folgenden Lemmas erhalten
wir ein inneres Produkt auf Tm*M.
J
J
6 6
J
6 6
/ /
r
Lemma 1.1 [O'N, Kap.3 Prop.10] Sei (M,g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit,
dann ist durch
i : 8(M)
L1(M)
V
g(V, )
!
*
/
L
ein Isomorphismus definiert.
BEWEIS Injektivitaº t Seien V,W 8(M) und sei i(V) i(W), d.h.
g(V,X) g(W,X), X 8(M)
g(V W,X) 0 , X 8(M)
V W 0 , wegen der Nichtdegeneriertheit von g.
Surjektivitaº t Sei h L1(M), nun ist die Existenz eines V 8(M) zu zeigen mit
h( ) g(V, ). Sei (U,ª (x1,\,xn)) eine Karte von M. In U ergibt sich h hidxi,
und wir definieren
(1.3)
V := gij hi j ,
wobei ((gij)) die inverse Matrix von ((gij)) ((g( i, j))) ist. Es genuºgt zu zeigen
h( k) g(V, k).
g(V, k) g(gijhi j, k) gijhigjk hidik hk h( k) .
V ist in U aufgrund der Injektivitaºt von i eindeutig festgelegt. In einer Karte (U ,y)
erhalten wir analog ein V 8(U ). Auf U U mu≠ gelten: V V . Die lokal
konstruierten Vektorfelder sind also auf dem Uºberlapp zweier Karten identisch, sie
definieren daher ein globales Vektorfeld.
P
J
V
M
J
&
,
&
,
V
V
M
J
V
J
/ V
/
J
V
V
s
V
s
V
s
s
s
s
V
s
s
V
V
V
V
s
[
[
[
[
J
[
D
V
Mittels der inversen Abbildung
(1.4)
i-1 : L1(M) 8(M)
beziehungsweise
(1.5)
i -1|m : T*mM TmM
koºnnen wir das innere Produkt gm von TmM nach T*mM zuruºckziehen:
< , >1m : T*mM x T*mM R
(1.6)
<o1,o2>1m := gm(i-1|mo1,i-1|mo2) , o1,o2 T*mM .
< , >1m haºngt insbesondere glatt vom Fu≠punkt m M ab (dies ergibt sich aus
(1.3)).
Mit diesem inneren Produkt auf T*mM definieren wir nun ein inneres Produkt
< , >pm auf Lp(T*mM), dem p-fachen antisymmetrischen Tensorprodukt von
T*mM.
Sei {o1(m),\,on(m)} eine ONB (Orthonormalbasis) von T*mM, dann bildet
(1.7)
{oi1(m)P\Poip(m)|1 i1<i2<\<ip n}
eine Basis von Lp(T*mM). Wir deklarieren diese Basis nun als orthonormal und
!
!
66
/ /
!
M
/ /
J
J
/ /
:
:
L
erhalten so ein inneres Produkt auf Lp(Tm* M)
(1.8)
< , >mp : Lp(T*mM) x Lp(T*mM) R .
Die Unabhaºngigkeit dieses inneren Produkts von der zu seiner Definition gewaºhlten
ONB von T*mM ergibt sich aus der folgenden Proposition, welche eine
basisunabhaºngige Formel fuºr < , >pm liefert.
66
/
/ /
/
!
/ /
Proposition 1.2 [CFKS, Se. 11.3] Seien l1,\,lp,r1,\,rp T*mM, dann gilt
<l1P\Plp,r1P\Prp>pm det ((<li,rj>1m))i,j {1,\,p}
J
V
J
BEWEIS Sei {o1,\,on} eine ONB von T*mM und seien i1,\,ip {1,\,n} mit
ir is fuºr r s, dann ist
(1.9) <l1P\Plp,oi1P\Poip>pm <l1k1ok1P\Plpkpokp,oi1P\Poip>pm
J
W
W
V
l1k
V
k i
i
k
\
lpk <o 1P\Po p,o 1P\Po p>pm
1
p
¡
Permutationen
V
\
p
von {i1, ,ip}
6
6
l1p(1)\lpp(p)/(,1)sgn p
,
wobei sgn p gleich 0 ist fuºr gerade Permutationen und gleich 1 fuºr ungerade. Weiter
gilt
(1.10) det ((<lr,oij>1m))r,j {1,\,p}
V
J
¡ (
Perm. von
V
\
,
p
{i1, ,ip}
¡ (
Perm. von
V
\p
6
1)sgn p <l1,op(1)>1m\<lp,op(p)>1m
{i1, ,ip}
¡ (
Perm. von
V
\
{i1, ,ip}
6
/
l1k
<ok1,o (1)>1m \lpkpruuuuuuuusuuuuuuuut
<okp,o (p)>1m
ruuuuuuuusuuuuuuuut
k , (1)
k , (p)
1
p
p
p
d 1
V
1)sgn p
,
p
6
1)sgn p
,
, [BS, 2.4.4.2.2]
/
/
l1p(1)\lpp(p)
p
d p
V
.
Es ist also fuºr i1,\,ip {1,\,p}
(1.11) <l1P\Plp,oi1P\Poip>pm det ((<lr,oij>1m))r,j
Nun ist
<l1P\Plp,r1P\Prp>pm
J
V
V
J
\
{1, ,p}
.
L
<l1P\Plp,r1k1ok1P\Prpkpokp>pm
k
r1k \rpk det ((<lr,o j>1m))r,j {1,\,p}
1
p
V
V
/
r1k
V
<l1,ok1>1m
\rpkp
1
, (1.11)
J
/
a
k1
<lp,o >1m
\
<l1,okp>1m
\
<lp,okp>1m
a
<l1,r1>1m
\
<l1,rp>1m
<lp,r1>1m
\
<lp,rp>1m
a
V
det ((<li,rj>1m))i,j
V
, Spaltenlin.
von det
a
\ .
P
{1, ,p}
J
Sei nun m M und U(m) M eine hinreichend kleine Umgebung von m, dann
existieren auf U orthonormale Vektorfelder e1,\,en , d.h. gm(ei(m),ej(m)) dij fuºr
jedes m M. {e1,\,en} hei≠t Rahmen von TU ("frame") und im Falle
(1.12)
[e1(m),\,en(m)] [TmM]
orientierter Rahmen von TU. Hierbei bezeichnet [\] die Orientierung (der linearen
Huºlle) eines Objekts, [TmM] sei die vorher fixierte Orientierung von M, siehe (1.2).
Die Existenz eines Rahmens auf einer hinreichend kleinen Umgebung U M,
koºnnen wir auf zweierlei Weise einsehen: 1) Waºhle lokale Koordinaten (x1,\,xn) auf
U und wende das Gram-Schmidt Verfahren auf 1,\, n an und ordne noºtigenfalls
die Koordinaten neu, um die gewuºnschte Orientierung zu erhalten. 2) Waºhle
Normalkoordinaten (x1,\,xn) auf U(m), d.h. gm( i, j) dij , und verschiebe die
ONB { 1,\, n} von TmM laºngs der von m ausgehenden Geodaºten parallel, siehe
[O'N, Ch. 2, frame fields].
Mittels des Isomorphismus aus Lemma 1.1 erhalten wir aus einem Rahmen
{e1,\,en} von TU einen Rahmen
(1.13)
{o1,\,on}
von T*U.
Nun benoºtigen wir den Begriff eines Volumenelements auf M, siehe z.B. [O'N, Ch.
7, volume elements]. Dies ist eine glatte n-Form o mit
(1.14)
o(e1,\,en)
1 ,
J
6
B
V
J
V
B
s
s
s
s
s
V0
s
V
6
L
fuºr jeden Rahmen {e1,\,en} auf M. Volumenelemente existieren lokal:
66 6 6
6
Lemma 1.3 [O'N, Ch. 7, Lemma 19] Sei (U,ª (x1,\,xn) : U Rn) eine Karte von
M, so da≠ auf U ein Rahmen von TUexistiert, dann existiert auf U ein
Volumenelement
oª
mit
oª( 1,\, n) |det (gij)|1/2,
d.h.
1/2
1
n
oª |det (gij)| dx P\Pdx .
BEWEIS Vektorfelder X1,\,Xn auf U lassen sich schreiben als Xj Xij i , wir
definieren
(1.15)
oª(X1,\,Xn) := det(Xij) |det(gij)|1/2 .
Aus den Eigenschaften von det ergibt sich, da≠ hierdurch genau eine n-Form auf U
definiert wird.
Sei {e1,\,en} ein Rahmen von TU, dann ergibt sich
dij g(ei , ej) g(eri r , esj s) eri grs esj .
Wir nehmen von diesem Ausdruck die Determinante und erhalten
1 (det (eij))2 det (gij) .
Also gilt
oª(e1,\,en)
det (eij) |det (gij)|1/2
|det (gij)|-1/2 |det (gij)|1/2
1 .
P
V
V
6
!
s
s
V
V
66
s
/
V
66
6 66 6
V
s
6
V
6
V
6
6
6 6
V
6
/
/
V0
s
6
/
V0
Die soeben in Karten definierten Volumenelemente stimmen auf dem Uºberlapp
zweier Karten uºberein. Im Falle der Orientierbarkeit von M definieren sie global ein
Volumenelement auf M:
Lemma 1.4 [O'N, Ch. 7, Lemma 20] (Mn,g) besitzt genau dann ein globales
Volumenelement, falls M orientierbar ist.
BEWEIS Wir zeigen nur die Richtung " ", da wir " " nicht benoºtigen. Sei also M
orientierbar, d.h. M hat einen orientierten Atlas, so da≠ fuºr Karten
(U,ª (x1,\,xn)) und (V,y (y1,\,yn)) mit U V gilt
1,\,xn)
>0 .
det ss(x
(y1,\,yn)
Die lokalen Volumenelemente oª und oy stimmen auf U V uºberein: Seien
X1,\,Xn Vektorfelder auf U V, dann ist
oª(X1,\,Xn) det (Xij) |det (gij)|1/2 ,
24
%
V
V
&
K
B
D
WL
D
D
V
6
/
6
L
wobei Xij die Komponenten von Xj bezuºglich der durch ª (x1,\,xn) gegebenen
Basis { 1,\, n} des Tangentialraumes von M sind. Seien nun Xij die Komponenten
von Xj bezuºglich der durch y (y1,\,yn) gegebenen Basis { 1,\, n}, dann gilt
(wegen der Unabhaºngigkeit von det von der Wahl einer Basis)
det (Xij) |det (gij)|1/2 det (Xij) |det (gij)|1/2 oy(X1,\,Xn) .
Da die lokalen Volumenelemente auf dem Kartenuºberlapp uºbereinstimmen,
definieren sie global ein Volumenelement o.
P
V
[
s
s
V
6
6
/
6
V
6
[
[
/
[
[
s
s
V
Nun definieren wir die Integration einer Differentialform uºber die orientierte,
geschlossene Mannigfaltigkeit Mn. Wir orientieren M indem wir einen orientierten
Atlas a {(ªa,Ua)}a A waºhlen, d.h. einen Atlas, so da≠ die Determinanten der
Jacobi-Matrizen aller Uºbergangsabbildungen dasselbe Vorzeichen haben. Sei
{ra}a A eine {Ua}a A untergeordnete Zerlegung der Eins, d.h. [O'N, Ch. 1,
partition of unity]
i) ra f(M) ,
ii) 0 ra 1 , a A ,
iii) {supp ra | a A} ist lokal endlich, d.h. jedes m M besitzt eine Umgebung,
die in nur endlich vielen Traºgern der ra enthalten ist ,
iv) a A ra 1 ,
v) supp ra Ua , a A .
Sei b Ln(M) := C ( nT*M), also eine glatte n-Form auf M, wir definieren
(1.17)
b :=
ra b
V
J
J
J
J
6 66
¡ 6
6
6 6
$M
:
:
J
M
J
J
\
B
J
J
r
M
J
P
¡a $U
/
a
¡a $Rn(ª -1)*(r
a/b
a
V
¡a $Rnr
((ª -1)*b)( / x1,\, / xn) dnx
ruuuuuuuuuuuuuuusuuuuuuuuuuuuuuut
b(ruuuusuuuut
Dª -16 / x1 ,\,ruuuusuuuut
Dª -16 / xn )
-1(x)
avªa
V
) dnx
/
a
s
a
s
s
s
a
s
1
s
¡a $Rnr
V
-1(x)
avªa
f
/
s
ªa-1(x) dnx
v
wobei wir im letzten Schritt die Darstellung von
s
b
s
s
n
,
in Koordinaten auf Ua
L
P\Pdxn verwendeten.
bVf(x)/dx1
%
Lemma 1.4 [BT, Ch. I, Prop. 3.3] Mb ist unabhaºngig vom orientierten Atlas
a {(ªa,Ua)}a A und der Zerlegung der Eins {ra}a A.
BEWEIS Sei {(yg,Vg)}g C ein anderer orientierter Atlas von M und {cg}g C eine
{Vg}g C untergeordnete Zerlegung der Eins, dann ist
V
J
J
J
J
J
$Mb ¡a $U r
V
a
V
¡
$ r
a,g V
g
a/b
cg/b
a
/
!
g
!
a
cgV1
V
ijk
r c
supp\ Ua Vg
¡
$
a,g U
B
a/ g
a
raV1
V
¡ $V c
g
g/ b
g
D
V
/
b
$Mb
P
Nun koºnnen wir ein inneres Produkt auf Lp(M), dem Raum der glatten
Differentialformen auf der Mannigfaltigkeit M, definieren.
Lemma 1.6 Seien a,b
und sei o das Volumenelement auf M, dann ist durch
<a,b>p := <a(m),b(m)>pm o
M
ein inneres Produkt auf dem Modul Lp(M) uºber dem Ring f(M) der glatten
Funktionen auf M gegeben. Das hei≠t es gelten a,b,g Lp(M)
i) Linearitaºt: <a,bb cg>p b<a,b>p c<a,g>p, b,c f(M) ,
ii) Symmetrie: <a,b>p <b,a>p ,
iii) Positive Definitheit: <a,a>p 0 und <a,a>p 0 a 0 .
J
Lp(M)
$
M
+
V
J
+
M
J
V
;
V
)
V
6
BEWEIS i) Linearitaºt folgt aus der punktweisen Linearitaºt von < , >pm , sowie
der Linearitaºt des Integrals.
ii) Symmetrie folgt aus der punktweisen Symmetrie von < , >pm .
iii) _Sei {(ªa,Ua)}a A eine orientierte Uºberdeckung von M mittels
Normalkoordinaten und {ra}a A eine untergeordnete Zerlegung der Eins, dann ist
/ /
/ /
6
J
J
$M<a(m),a(m)>pm o ¡a $U r <a(m),a(m)>pm o
0
0
1
illlljllllk
illlllllllllllllljllllllllllllllllk
illlllllllljllllllllllk
-1
p n
<a,a>p
V
¡a $Rn r
V
V
a
;
avªa
(x)
;
V
/
o| -1 (s1,\,sn)
ªa (x)
a/
/
<a|ª
-1(x),a|ª -1(x)>m
a
a
dx
;
0,
L
da der Integrand nicht negativ ist.
_Sei a 0, dann ist <0,0>p
M0 o 0.
_Sei umgekehrt M<a(m),a(m)>pm o 0 . Dieses Integral ergibt sich wie zuvor
gezeigt als Summe von Integralen mit nicht negativen stetigen Integranden, es folgt
daher <a(m),a(m)>pm 0 m M und damit, wegen der Nichtdegeneriertheit
von < , >pm , a 0.
P
%
%
V
6
/ /
V
/
V
V
V
M
6
J
V
Nun noch einige Bemerkungen zum Hodge-*-Operator
Lemma 1.7 [CFKS, Prop. 11.9] Sei o die Volumenform auf der orientierten
p(T* M) existiert
Riemannschen Mannigfaltigkeit (Mn,g), dann gilt: Fuºr jedes b
m
n-p
*
genau ein *b
(TmM) , so da≠
n-p(T* M) .
<a,*b>n-p
<bPa,o>nm , a
m
m
n-p(T* M) kann als Abbildung
Die punktweise definierte Abbildung * : p(T*mM)
m
p
n-p
von L (M) L (M) aufgefa≠t werden (selbe Bezeichnung *), indem wir zu ihrer
Auswertung die punktweise definierten Abbildungen benutzen (diese haºngen glatt von
m M ab ). Es gelten a,b Lp(M) g Ln-p(M)
a) Linearitaºt: *(a b) *a *b , *(fa) f(*a) , f f(M) ,
b) <* a(m),* b(m)>n-p
<a(m),b(m)>pm ,
m
c) <*a,g>n-p ( 1)p(n-p)<a,*g>p ,
d) *(*a) ( 1)p(n-p)a ,
e) aP(*b) <a,b>pm o .
6
JP
JP
V
M
66
6 6
JP
6 6
P
!P
!
J
M
6
6
J
+
V
M
J
+
V
M
J
V
V ,
V ,
V
66
6
6 6
BEWEIS <bP ,o>nm : n-p(T*mM) R definiert ein lineares Funktional auf
( n-p(T*mM) , < , >n-p
m ). Nach dem Satz von Riesz existiert nun ein eindeutiges
n-p(T* M) , so da≠ das obige lineare Funktional gleich <*b, >n-p
Element *b
m
m
ist.
a)
<a,*(fb gg)>n-p
<(fb gg)Pa,o>nm
m
f<bPa,o>nm g<gPa,o>nm
f<a,*b>n-p
g<a,*g>n-p
m
m
<a,f*b g*g>n-p
m .
P
66
/
/ /
JP
+
P
!
/
V
+
V
+
V
V
+
+
c)
<*a,g>n-p
L
%M<*a(m),g(m)>n-pm o
%M<a(m)Pg(m),o(m)>nm o
%M<( 1)p(n-p)g(m)Pa(m),o(m)>nm o
%M( 1)p(n-p)<a(m),*g(m)>n-pm o
V
V
V
,
V
,
( 1)p(n-p)<a,*g>p .
b) Sei (o1,\,on) eine positiv orientierte ONB von T*mM, d.h. o o1P\Pon.
n-p(T* M), dann ist
Berechnung von *b *(oi1P\Poip) : Sei a
m
i
k
k
<(oi1P\Po p) P
ak \k o 1P\Po n-p , o1P\Pon>nm
1 n-p
V ,
V
¡
\
6
V
JP
1 k1< <kn-p n
:
:
( 1)p aj1\jn-p ,
(hierbei ist j1<\<jn-p und {j1,\,jn-p} {1,\,n}\{i1,\,ip}. p ist das Vorzeichen
der Permutation, welche (1,\,p) auf (i1,\,ip) und (p 1,\,n) auf (j1,\,jn-p)
abbildet.)
k
k
!<
ak \k o 1P\Po n-p , *b>n-p
m
1 n-p
V ,
V
+
V
¡
\
1 k1< <kn-p n
:
:
*b ( 1)p oj1P\Pojn-p .
D.h. * bildet eine ONB von p(T*mM) auf eine ONB von n-p(T*mM) ab, d.h. * ist
eine Isometrie, d.h. das innere Produkt ist invariant unter *.
d)
<**a,b>p c) ( 1)p(n-p)<*a,*b>n-p b) ( 1)p(n-p)<a,b>p
**a ( 1)p(n-p)a .
n(T* M), wobei dim n(T* M) 1. Also existiert ein c R
e) Es ist (aP*b)(m)
m
m
n
*
mit (aP*b)(m) c o, wobei o
(TmM) die Volumenform von M sei. Es ist
Def.
c c <o(m),o(m)>nm <a(m)P*b(m),o(m)>nm von * <*b(m),*a(m)>n-p
m
b)
<b(m),a(m)>pm <a(m),b(m)>pm .
Also gilt aP*b <a(m),b(m)>pm o.
P
&
V ,
P
P
V ,
V ,
&
V ,
JP
V
V
/
/
6
P
V
J
JP
V
V
V
V
V
Lemma 1.8 [CFKS, Thm. 11.10 a)] d*a ( 1)n+np+1*d*a , a Lp(M).
BEWEIS Sei a Lp(M), b Lp-1(M), d.h. *a Ln-p(M) und bP*a Ln-1(M), d.h.
d(bP*a) Ln(M). Nun gilt mit dem Satz von Stokes
(1.18)
d(bP*a)
bP*a 0 .
M
sMVL
Hieraus folgt
V ,
J
J
J
$
M
J
$
V
J
J
V
$MdbP*a
(1.19)
Es ist
(1.20)
und
(1.21)
+
L
$MbP(d*a)
( 1)p-1
,
Lemma
1.7 e)
$MdbP*a $M<db,a>pm o
V
$MbP(d*a)
Lemma
1.7 d)
V
$MbP((
Lemma
1.7 e)
V
V
0 .
V
<db,a>p
1)(n-p+1)(n-n+p-1)**d*a)
,
$M<b,*d*a>p-1m o
( 1)(p-1)(n-p+1)
,
( 1)(p-1)(n-p+1) <b,*d*a>p-1 .
V ,
Es ist
(p 1)(n p 1) n np p 1 pn p2 p n p 1 n np p 1
2n p(p 1)
,
,
+
,
,
,
+
o rusut
gerade
V
,
+
V,
gerade
,
,
+
,
,
,
,
+
,
eine gerade Zahl, d.h. entweder sind (p 1)(n p 1) und (n np p 1) beide
gerade oder beide ungerade, d.h.
(*)
( 1)(p-1)(n-p+1) ( 1)n+np+p-1 .
Nun ist also
(*)
(1.19)
(1.21)
(1.20)
p
p
( 1)p+n+np+p-1<b,*d*a>p-1
<db,a>
( 1)
bP(d*a)
,
,
,
V
2p gerade
V
,
+
+
+
,
V ,
$M
V
,
( 1)n+np+1<b,*d*a>p-1 .
P
,
Die Aussage des Lemma 1.8 werden wir bei der Frage der Abschlie≠barkeit von
d : Lp(M) Lp(M) benoºtigen.
66
6 6
!
DER HILBERTRAUM L p(M)
Der Raum (Lp(M),< , >p) ist bezuºglich des in Lemma 1.6 definierten L2inneren Produkts (genauer: bezuºglich der dadurch induzierten Norm) nicht
vollstaºndig. Wir koºnnen uns dies folgenderma≠en veranschaulichen: Sei M Rn und
p 0, d.h. L0(M) f(Rn), dann ist
(1.22)
<f,g>0 := nf(x) g(x) dnx .
,
,
/ /
V
V
V
$R
/
L
Es ist wohlbekannt, da≠ die Vervollstaºndigung von f(Rn) bezuºglich < , >0
(modulo Gleichheit bis auf Nullmengen) mit L2(Rn) bezeichnet wird. Was wir unter
dem Verfahren der Vervollstaºndigung verstehen, wollen wir nun etwas genauer
beschreiben, siehe z.B. auch [RSI, Se. I.2].
/ /
66 6 6 6 6
Definition 1.9 (N,d) hei≠t metrischer Raum :
N Menge und d : N x N R
Abbildung mit i) d(x,y) 0 , x,y N ,
ii) d(x,y) 0
x y,
iii) d(x,y) d(y,x) , x,y N ,
iv) d(x,z) d(x,y) d(y,z) , x,y,z N .
)
;
M
V
)
J
V
V
M
:
!
J
+
M
J
Definition 1.10 Eine Folge {xn}n N von Elementen eines metrischen Raumes (N,d)
hei≠t Cauchyfolge :
e>0 k N : n,m k
d(xn,xm)<e .
J
)
M
N
J
;
&
Definition 1.11 Ein metrischer Raum in dem alle Cauchyfolgen konvergieren hei≠t
vollstºandig.
Definition 1.12 Eine Teilmenge B eines metrischen Raumes (N,d) hei≠t dicht :
jedes x N ist Haºufungspunkt von Elementen von B.
)
J
Theorem 1.13 [RSI, Thm. I.3] Sei (N,d) ein nicht vollstaºndiger metrischer Raum,
dann existiert ein vollstaºndiger metrischer Raum N , so da≠ N isometrisch zu einer
dichten Teilmenge von N ist.
BEWEIS Betrachte die Menge aller Cauchyfolgen in N. Zwei Cauchyfolgen
{xn}n N , {ym}m N hei≠en aº quivalent, falls limn d(xn,yn) 0. Sei N die Menge
der Aºquivalenzklassen von Cauchyfolgen unter dieser Aºquivalenzrelation.
_Seien {xn}n N , {ym}m N Cauchyfolgen in N, dann existiert
+
(1.23)
nlim d(xn,yn) =: c R0 .
Denn sei cn := d(xn,yn) , dann genuºgt es wegen der Vollstaºndigkeit von R zu zeigen,
da≠ {cn}n N eine Cauchyfolge ist. Sei e>0 beliebig und sei kx N, so da≠
d(xn,ym)<e/2 n,m kx , ky analog fuºr {ym}m N , k := max{kx,ky} . Seien nun
n,m k, dann ist
(1.24)
|cn cm| |d(xn,yn) d(xm,ym)|
,
|d(xn,xm) d(xm,ym) d(ym,yn) d(xm,ym)|
, Def. 1.9 iv)
[
[
J
66
[
J
66
6 6
J
6
J
M
V
!r
J
;
J
!r
6
J
6 6 6
;
,
V
:
,
+
+
,
6
J
L
d(xn,xm) d(ym,yn)
,
<e/2 e/2 e
,
d.h. {cn}n N ist eine Cauchyfolge.
_Seien {un}n N [{xn}n N] und {vn}n N [{yn}n N] ([ ] bezeichnet die Aºquivalenzklasse), dann ist
(1.25) nlim d(un,vn) nlim d(un,xn) d(xn,yn) d(yn,vn)
, Def. 1.9 iv)
0 nlim d(xn,yn) 0
(1.26) nlim d(xn,yn) nlim d(xn,un) d(un,vn) d(vn,yn)
, Def. 1.9 iv)
0 nlim d(un,vn) 0 .
Aus (1.25) und (1.26) folgt die Unabhaºngigkeit von limn d(xn,yn) von der Wahl
der Repraºsentanten der Aºquivalenklassen [{xn}n N] und [{yn}n N].
_Wir definieren eine Metrik auf N durch
(1.27)
d ( [{xn}n N] , [{ym}m N] ) := nlim d(xn,yn) .
Die Existenz von (1.27), sowie die Unabhaºngigkeit von der Wahl der Repraºsentanten
wurden in den beiden vorigen Schritten gezeigt. (N ,d ) hat die Eigenschaften eines
metrischen Raumes (Def. 1.9), aufgrund der Eigenschaften von d, sowie der
Definition der Aºquivalenzrelation auf der Menge der Cauchyfolgen.
_(N ,d ) ist vollstaºndig: Sei {uk}k N eine Cauchyfolge in N , d.h.
(1.28)
uk [ {v(k)
s }s N ] ,
wobei {v(k)
s }s N eine Cauchyfolge in N ist. Mit
(1.29)
u := [ {v(s)
s }s N ]
ergibt sich
(1.30)
lim uk u .
k
Damit hat jede Cauchyfolge in N ein Grenzelement in N , was zu zeigen war.
P
V
+
+
V
J
J
!r
J
J
:
V
!r
:
V
J
!r
+
/
J
+
K
+
+
B
!r
!r
+
B
J
+
K
+
+
!r
!r
J
J
[
[
J
66
J
!r
[[
[[
[
J
V
6
J
6
J
J
6
6
V
!r
[
[
DER ABSCHLU≠ VON d*d dd* UND DIE HODGE-ZERLEGUNG
Wir definieren zunaºchst einige Begriffe aus der Funktionalanalysis, insbesondere
den des Abschlusses eines Operators. Abgeschlossene Operatoren haben den Vorteil,
da≠ es zur Untersuchung ihrer Eigenschaften genuºgt, sie auf einem in ihrem
Definitionsbereich dichten Teilraum zu studieren. Wie wir sehen werden, bedeutet
+
+
L
dies eine wesentliche Vereinfachung des Formalismus.
Von einem unbeschraºnkten Operator koºnnen wir im Allgemeinen nur erwarten,
da≠ er auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraumes h definiert ist. Dies folgt
aus dem Hellinger-Toeplitz Theorem, welches besagt, da≠ ein auf ganz h definierter
Operator A mit <Aª,y> <ª,Ay> ª,y h notwendigerweise ein
beschraºnkter Operator ist.
V
M
J
Definition und Satz 1.14 [RSI, Ch. VIII] i) Ein Operator (auch lineare
Transformation) T auf einem Hilbertraum (h,< , >) ist eine lineare Abbildung
von einem linearen Unterraum von h (ihrem Definitionsbereich D(T)) nach h, d.h.
T : h D(T) h .
ii) Der Graph der linearen Transformation T ist gegeben durch
G(T) := { (ª,Tª)|ª D(T) } hxh .
T hei≠t abgeschlossener Operator : G(T) ist abgeschlossene Teilmenge von hxh
(bezuºglich der Graphennorm (1.36)).
iii) T1,T seien Operatoren auf h. Falls G(T1) G(T), dann hei≠t T1 Erweiterung
von T. Wir benutzen hierfuºr die Notation T1 T.
iv) Ein Operator T hei≠t abschlie≠bar, falls er eine abgeschlossene Erweiterung
besitzt. Jeder abschlie≠bare Operator besitzt eine kleinste abgeschlossene Erweiterung,
wir nennen diese Abschlu≠ von T (T
T ).
v) Sei T ein dicht definierter linearer Operator auf dem Hilbertraum h und sei
D(T*) := { ª h | j h : <Ty,ª> <y,j>, y D(T) } .
Fuºr jedes ª D(T*) definieren wir T*ª j. T* hei≠t der zu T adjungierte Operator.
vi) Ein auf dem Hilbertraum h dicht definierter Operator T hei≠t symmetrisch, falls
T T*. Dies ist aºquivalent zu
<Tª,y> <ª,Ty> , ª,y D(T) .
Ein symmetrischer Operator ist immer abschlie≠bar [RSI, Se. VIII.2].
vii) T hei≠t selbstadjungiert, falls T T* ( T symmetrisch und D(T) D(T*)).
viii) Ein symmetrischer Operator T hei≠t wesentlich selbstadjungiert, falls T
selbstadjungiert ist. Ein wesentlich selbstadjungierter Operator T hat genau eine
selbstadjungierte Erweiterung [RSI, Se. VIII.2].
/ /
C
!
J
B
)
C
C
,
,
J
N
J
V
J
M
J
V
B
V
M
V
)
J
V
,
BLT-Theorem 1.15 [RSI, Thm. I.7] Sei T ein beschraºnkter linearer Operator von
L
einem normierten linearen Raum (V1,
1) in
linearen Raum (V2,
2). Dann existiert
T : (V1,
1) (V2,
2) von T. Hierbei
Vervollstaºndigung von V1 (siehe Thm. 1.13). T
Operator (mit derselben Schranke wie T).
einen vollstaºndigen normierten
eine eindeutige Erweiterung
bezeichnet (V1,
1) die
ist ein beschraºnkter linearer
U/U
66
[
[
[
U/U
6 6
!
U/U
U/U
[
6
[
[
U/U
66
6
Wir betrachten nun den Hilbertraum ( Lp(M) , < , >p ) und wollen den
Operator der aº u≠eren Differentiation
(1.31)
d : Lp(M) D(d) Lp(M) Lp+1(M) Lp+1(M)
abschliessen. Um die Abschlie≠barkeit von d zu zeigen, genuºgt es nach [RSI, Thm.
VIII.1 b)] zu zeigen, da≠ D(d*) dicht in Lp+1(M) ist. Es ist Lp+1(M) dicht in
Lp+1(M), womit zu zeigen bleibt
,
,
C
V
/ /
,
B
!
,
,
Proposition 1.16
Lp+1(M) D(d*) .
BEWEIS Es ist
D(d*) := {a Lp+1(M)| j Lp(M) : <db,a>p+1 <b,j>p, b D(d)} .
Sei nun a Lp+1(M), dann gilt fuºr b Lp(M)
Lemma
(1.32)
<db,a>p+1 1.8 <b,( 1)n+np+1*d*a>p <b,j>p
mit j := ( 1)n+np+1*d*a Lp(M). Also ist gezeigt Lp+1(M) D(d*).
P
B
6 6
,
J
N
,
J
J
6 6
66
V
M
J
J
V
,
,
V
J
B
Wir bilden nun den Operator-Abschlu≠ von d
(1.33)
d : D(d ) Lp(M) Lp+1(M) .
Nach [RSI, Thm. VIII.1 c)] gilt
(1.34)
(d )* d* : D(d*) Lp+1(M) Lp(M) .
Der Abschlu≠ eines Operators T : D(T) h h auf (h,< , >) ist definiert als
Abschlu≠ von
(1.35)
Graph T := {(ª,Tª)|ª D(T)} h x h
bezuºglich der vom inneren Produkt auf h x h
(1.36)
< , > : (h x h) x (h x h)
R
((ª1,y1),(ª2,y2)) <ª1,ª2> <y1,y2>
,
,
,
V
/ /
66
,
B
,
B
B
66
66 66 66
,
!
,
6 6
!
!
J
/ /
B
66
!
*
+
L
66
induzierten Norm auf h x h; diese hei≠t Graphennorm.
Nun genuºgt es einen abgeschlossenen Operator T auf der dichten Teilmenge
D(T) D(T ) zu betrachten, denn es gilt
,
,
B
Proposition 1.17
von D(T) mit an
BEWEIS Sei a
mit
0 nlim
dann existiert eine Folge {an}n N von Elementen
a und T a limn Tan .
D(T ), d.h. es existiert Folge {an}n N von Elementen von D(T)
Sei
aJD(T ),
,
6
,
!
V
!r
J
,
J
V
&
6
B6,Taa6K B6Taa 6K
,
!r
n
n
V
hh
lim an
limn Tan .
n!r
also T limn
,
!r
J
anV
!r
a
V
6
lim
n!r
a,an
h
lim T a Tan h
,
+
n!r
,
und T a nlim Tan ,
,
V
!r
P
Das hei≠t wir koºnnen jedes Bild T a als Limes von Bildern Tan des urspruºnglichen
Operators T darstellen. Zum Beispiel gilt in unserem Fall fuºr jedes a D(d )
(1.37)
d a nlim dan ,
fuºr eine geeignete Folge {an}n N Lp(M) D(d).
,
,
J
,
V
J
!r
B
V
66
6 6
Proposition 1.18 Der Operator d2 0 : Lp(M) Lp+2(M) hat die eindeutige
Fortsetzung 0 auf Lp(M), ebenso der Operator (d*)2 0.
BEWEIS d2 0 ist beschraºnkt mit Schranke 0. Nach dem BLT-Theorem 1.15
existiert eine eindeutige Fortsetzung auf L p(M) mit derselben Schranke 0, d.h. wir
erhalten den Nulloperator auf L p(M). Analoges gilt fuºr (d*)2.
P
V
,
!
V
V
6
,
,
Betrachte den Operator
(1.38)
f := d*d dd* : D(f) := Lp(M) Lp(M) ,
dieser ist offenbar symmetrisch: Seien a,b D(f), dann ist
(1.39) <(d*d dd*)a,b>p <d*da,b>p <dd*a,b>p
<a,d*db>p <a,dd*b>p
<a,(d*d dd*)b>p .
Nach Definition und Satz 1.14 vi) ist f damit abschlie≠bar.
+
+
6 6
!
J
+
V
+
V
+
V
+
L
66
6 6L p(M)
Definition 1.19 Der Laplace-Beltrami Operator L : D(L) L p(M)
definiert als Abschlu≠ von f d*d dd* : Lp(M) Lp(M) in L p(M).
V
Theorem 1.20
selbstadjungiert.
[C][St]
66
+
f
6 6
,
,
!
ist
!
66
6 6Lp(M)
d*d dd* : Lp(M)
V
,
B
+
!
ist
wesentlich
Proposition 1.21 Es gilt fuºr alle a D(L) L p(M) <a,La>p 0 (d.h.
Spec(L) R+0 ).
BEWEIS Eigentlich genuºgt es nach Prop. 1.17 diese Aussage fuºr a Lp(M)dichtD(L)
zu zeigen:
(1.40)<a,La>p <a,(d*d dd*)a>p <da,da>p <d*a,d*a>p 0 .
Wir wollen jedoch noch einmal die vollstaºndige Argumentation wiedergeben: Sei
a D(L) L p(M) und sei {an}n N eine Folge von Elementen von Lp(M) mit
an a. Da L d*d dd*, gilt nach Prop. 1.17
L nlim an nlim (d*d dd*) an .
Damit ergibt sich
(1.41)
<a,La>p <lim
an ,L nlim an>p
n
<lim
an ,nlim (d*d dd*)an>p
n
lim <an ,(d*d dd*)an>p
n
0 P
lim <dan ,dan>p <d*an ,d*an>p
n
,
B
J
;
B
J
V
6 6
J
!
+
V
,
B
V
+
6
B
;
6
J
+
!r
6
V
V
V
6
6 6 6
6 66 6
6
K
6
B ruuuuuuusuuuuuuut
6
ruuuuuuuuusuuuuuuuuut
0
0
!r
!r
!r
!r
6
+
!r
V
V
!r
+
!r
+
+
;
;
;
Definition 1.22 i) a D(L) L p(M) hei≠t harmonisch :
La 0. (Im Fall
p
*
a L (M) ist dies a
ºquivalent zu da 0 und d a 0).
ii) L Hp (M) := Ker L
iii) L pd(M) := Ran ( d :L p-1(M) D(d ) L p(M) )
iv) L pd*(M) := Ran ( d *:L p+1(M) D(d *) L p(M) )
v) Die Raºume LHp (M) , Lpd(M) , Lpd*(M) seien definiert als jene Teilmengen der
entsprechenden Raºume mit Querstrich, welche aus glatten Formen bestehen.
J
J
,
,
,
,
,
,
6
66
66
,
B
V
,,
,
)
,
C
6
,
6
V
6 6
,
!
,
C
6 6
,
!
Nun benoºtigen wir zwei wohlbekannte Resultate
6
6
V
L
Theorem 1.23 (E
Elliptische Regularitºat) [GrHa, Ch.0 Se.6 p.93 global Sobolev lemma
and p.94 regularity lemma]
D (Lk) Lp(M) .
( 6
k=1
r
V
Theorem 1.24 [GrHa, Ch. 0 Se. 6 p. 94 lemma] (L Id)-1 ist ein kompakter
Operator.
+
66 6 6
Definition 1.25 Seien X,Y Banachraºume. Ein linearer Operator T : X Y hei≠t
kompakt, falls er beschraºnkte Mengen in X in praºkompakte Mengen in Y abbildet.
Eine Menge hei≠t praºkompakt, falls ihr Abschlu≠ kompakt ist.
!
Die Aussagen i) und ii) des folgenden Theorems werden auch als Hodge-Zerlegung
bezeichnet.
Hodge-Theorem 1.26 [CFKS, Prop. 11.7]
i) L p(M) L pH(M) L pd(M) L pd*(M)
ii) Lp(M) LpH(M) Lpd(M) Lpd*(M)
iii) Ker ( d : Lp(M) Lp+1(M) ) LpH(M) Lpd(M)
iv) LpH(M) L pH(M) ist endlich-dimensional.
,
,
V
66 66
V
,
V
,
2
6 6
2
!
,
2
6
2
V
2
Zum Beweis des Hodge-Theorems benoºtigen wir das
Hilbert-Schmidt-Theorem 1.27 [RSI, Thm. VI.16] Sei A ein selbstadjungierter
kompakter Operator auf dem Hilbertraum h. Dann existiert eine vollstaºndige ONB
{fn}n N von h, so da≠
Afn lnfn und ln 0 fuºr n
.
J
V
!
!r
66 6 6
Proposition 1.28 Ein kompakter Operator T : h h ist ein beschraºnkter Operator.
sup
Tª h
BEWEIS
T Op sup Tª h
!
V
||ª||=1
V
sup
yJT(B1(0))
da die stetige Funktion
U/U
V
ªJB1(0)Bh
y h
:
sup
yJT(B1(0))
y h
=: c <
r
,
auf der kompakten Menge T(B1(0)) ihr Maximum
36
L
annimmt.
P
BEWEIS VON THEOREM 1.26
iv) Die Inklusion LpH(M) L pH(M) gilt nach Definition von L pH(M). Um die
umgekehrte Inklusion zu zeigen, sei a L pH(M), d.h. La 0. Damit gilt auch
Lka 0, k N, anders ausgedruºckt
a
D(Lk) ,
k=1
also a Lp(M) (elliptische Regularitaºt, Thm. 1.23) und damit a LpH(M). Die
endliche Dimension von LpH(M) L pH(M) ergibt sich aus der Kompaktheit von
(L Id)-1 und wird im Verlauf des Beweises von i) gezeigt, siehe (1.55).
i) Wir zeigen zuerst, da≠ die direkte Summe eine orthogonale Summe und
anschlie≠end, da≠ sich jedes a L p(M) in drei Anteile zerlegen laº≠t, einer aus jedem
der drei direkten Summanden. Um die paarweise Orthogonalitaºt der drei direkten
Summanden zu zeigen, genuºgt es glatte Formen zu betrachten, siehe Prop. 1.17.
_L pH(M) L pd(M) : Sei a Lp(M) mit La 0 und b Lpd(M), also b dg mit
g Lp-1(M), dann ist
Def. 1.22 i)
=0
p
p
(1.42)
<a,b> <a,dg> <d*a,g>p-1 0 .
_L pH(M) L pd*(M) : Sei a Lp(M) mit La 0 und b Lpd*(M), also b d*g mit
g Lp+1(M), dann ist
Def. 1.22 i)
=0
p
*
p
(1.43)
<a,b> <a,d g> < da ,g>p+1 0 .
_L pd(M) L pd*(M) : Sei a Lpd(M), also a db mit b Lp-1(M), und sei
g Lpd*(M), also g d*j mit j Lp+1(M), dann ist
=0
p
*
p
(1.43)
<a,g> <db,d j> < ddb ,j>p+1 0 .
,
B
,
,
J
V
M
J
V
)
r
J
J
J
,
V
+
,
J
,
,
Q
6
J
V
J
,
V
6
,
Q
V
J
J
,
Q
V
6
V
J
V
f
V
J
,
J
V
V
V
J
f
V
V
J
g
J
V
V
V
Nun zur Zerlegung von a L p(M) in drei Anteile: Die Kompaktheit von
(L Id)-1 (Thm. 1.24) hat die Beschraºnktheit dieses Operators zur Folge (Prop.
1.28), d.h. der Operator (L Id) hat eine beschraºnkte Inverse (L Id)-1. Nach [RSI,
Thm. VI.3 d)] hat (L Id)* eine beschraºnkte Inverse und es gilt
,
J
+
+
+
+
(1.45)
((L Id)*)-1 ((L Id)-1)* .
Hieraus folgt die Selbstadjungiertheit von (L Id)-1 :
(1.46)
((L Id)-1)* ((L Id)*)-1
+
V
+
+
+
V
+
6
, (1.45)
L
(L* Id*)-1
, * linearer Op.
(L Id)-1
, L,Id s.adj. .
Nun koºnnen wir das Hilbert-Schmidt Theorem 1.27 anwenden: Es existiert demnach
eine vollstaºndige ONB {fn}n N von L p(M), so da≠
(1.47)
(L Id)-1 fn ln fn und ln 0 fuºr n
.
Sei nun
(1.48)
Pn := <fn , >p fn , n N ,
dann gelten: Pn ist ein Orthogonalprojektor (: Pn2 Pn und Pn* Pn) und
(1.49)
Pn Id .
n=1
Seien y,j L p(M), dann ist
(1.50)
Pn2y Pn<fn,y>p fn <fn,<fn,y>pfn>p fn
<fn,y>p <fn,fn>p fn Pny
=1
und
(1.51)
<Pny,j>p <<fn,y>p fn , j>p
, (1.48)
<fn,y>p <fn,j>p
, Lin. d. Sk.Prod.
p
p
<y,<fn,j> fn>
, Lin. d. Sk.Prod.
<y,Pnj>p
, (1.48).
Die Aussage (1.49) folgt aus der Vollstaºndigkeit der ONB {fn}n N . Sei y L p(M),
dann gilt
(1.52)
(L Id)-1y (L Id)-1
Pn y
, (1.49)
V
+
V
+
,
6
6
J
+
V
!
6
6
/
J
)
¡
!r
V
V
r
V
,
J
6
ruuuuusuuuuut
V
6
V
V
V
6 66
6
V
V
V
V
J
B¡
K
n=1
Id)-1 ¡<fn,y>p6fn
n=1
6
,
J
r
+
V
+
(L
V
r
+
¡
<fn,y>p (L Id)-1fn
n=1
¡
<fn,y>p lnfn
n=1
¡
lnPny
n=1
B¡
lnPn K y
n=1
r
V
+
, lin. Op.
r
, (1.47)
r
, (1.48)
V
V
r
V
Nun ist
(1.53)
, (1.48)
(L Id) y
+
1 P Ky
B¡
n
n=1 n
r
V
l
38
,
.
denn es gilt
(1.54) (L Id)-1(L Id)y
+
+
V
B¡
Pn K y B ¡
n=1
n,k=1
B n,k=1
¡ nk PnPk K y
B¡
ln6Pn K B ¡ 1 Pk K y
n=1
k=1 k
(L Id)-1 B ¡ 1k Pk K y
k=1
y
(1.49)
r
r
V
V
r
V
ln
lk
dnk
Pn
K y,
l
l
r
V
L
,
,
r
l
, (1.52) .
r
V
Hieraus erhalten wir
(1.55)
+
l
1 P Ky
Id6y
, (1.53)
B¡
n
n=1 n
B¡
( 1 1) Pn K y
, (1.49) .
n=1 n
Aus ln 0 fuºr n
(1.47) schlie≠en wir, da≠ Ker6L endlich-dimensional ist (denn es
sind hoºchstens endlich viele Eigenwerte ln gleich 1), au≠erdem ist Spec6L diskret
p
Ly
r
V
,
l
r
V
!
l
,
!r
und nicht negativ (Prop. 1.21). Aus (1.55) erhalten wir eine Zerlegung von L (M) in
eine orthogonale Summe
(1.56)
L p(M) Ker L Ran L .
Ran L ist abgeschlossen, dies folgt aus Ran L (Ker L) und der Tatsache, da≠ aus
der Abgeschlossenheit von Ker L (da endlich-dimensional) auch die
Abgeschlossenheit von (Ker L) folgt [RSI, Se. II.2].
Fuºr a L p(M) gilt nun
(1.57)
a aH Lg
, aH Ker L, g D(L)
*
*
aH d (dg) d(d g)
, oBdA g Lp-1(M) .
Der letzte Schritt erfolgte unter Anwendung von Prop. 1.17 . Damit ist i) gezeigt.
ii) Die Summe von glatten Differentialformen ist eine glatte Differentialform, womit
" " gezeigt waºre. Es bleibt also " " zu zeigen: Sei a Lp(M), dann ist nach
Gleichung (1.56)
(1.58)
a aH Lg , aH L pH(M) LpH(M) , g L p(M) .
Die Glattheit von a und aH impliziert die selbige von Lg. Nun ist
(1.59)
L(Lg) L(a aH) La LaH La
Lkg Lk-1a , k 2 ,
d.h.
,
,
V
6
6
,
J
6
6
6
6
2
V
6
Q
Q
V
+
V
+
C
J
+
V
,
J
+
V
,
V
J
6
B
J
,
J
V
V
,
;
V
6
J
(
D(Lk)
k=1
(1.60)
also
aJ
L
gJ
gJLp(M)
Lp(M)
gilt
,
r
(elliptische Regularitaºt, Thm. 1.23). Damit ist gezeigt: Fuºr
(1.61)
aVaH+Lg
, aH LpH(M), g
aH d(d*g) d*(dg)
, da g Lp(M) ,
LpH(M) Lpd(M) Lpd*(M) .
V
J
+
+
J
J
Lp(M)
J
2
2
66 66
6 6
6
iii) " " Sowohl LpH(M) als auch Lpd(M) sind in Ker ( d : Lp(M) Lp+1(M) )
enthalten, damit auch ihre orthogonale Summe.
" " Offenbar ist
(1.62)
Ker ( d : Lp(M) Lp+1(M) ) Lp(M) ,
andererseits aber
{0} ,
(1.63)
Lpd*(M) Ker ( d : Lp(M) Lp+1(M) )
denn sei g Lpd*(M) Ker ( d : Lp(M) Lp+1(M) ) , d.h. g d*a und dg 0. Damit
ist
(1.64)
0 <dg,a>p+1 <dd*a,a>p+1
<d*a,d*a>p <g,g>p ,
also g 0. Aus (1.62), (1.63) und ii) ergibt sich nun
(1.65)
Ker ( d : Lp(M) Lp+1(M) ) LpH(M) Lpd(M) .
P
C
C
B
B
66 66
D
J
D
66 66
6 6
6
!
66 66
!
6
V
V
V
V
V
66 66
66
!
V
V
B
6 6
6 6
!
V
6 6
6
!
B
2
Die Aussage iv) LpH(M) L pH(M) von Thm. 1.26 ist eine Regularitaºtsaussage:
Alle Elemente im Eigenraum zum Eigenwert Null von L sind glatte
Differentialformen. Der Kern von L wurde also durch die Vervollstaºndigung
bezuºglich des L2-inneren Produkts nicht veraºndert. Solange wir uns nur fuºr den Kern
interessieren, koºnnen wir daher L entweder als selbstadjungierten Operator auf dem
Hilbertraum L p(M) auffassen oder als Differentialoperator auf dem Raum der
glatten p-Differentialformen Lp(M).
,
V
,
6
6 6
6
6
Theorem 1.29 [CFKS, Thm. 11.8] bp := dim HpDR(M;R) dim Ker L .
BEWEIS
( d : Lp(M) Lp+1(M) )
HpDR(M;R) := Ker
Ran ( d : Lp-1(M) Lp(M) )
66 66
66 66
V
6 6
6 6
!
!
40
V
Y
LpH(M)2Lpd(M)
Lpd(M)
L
, Thm. 1.26 iii)
LpH(M)
6
= Ker L
P
41
Lt
2.2 Der deformierte Laplace-Operator Lt
Witten definierte 1982 in [Wi3] eine durch einen reellen Parameter variierte
Hodge-Theorie:
Definition 2.1 Sei f C (M,R) eine Morse-Funktion und seien
i) dt := e tf d etf : Lp(M) Lp+1(M)
ii) ft := dt*dt dtdt* : Lp(M) Lp(M)
iii) Lt := ft : D(Lt) L p(M) L p(M)
iv) L Hp t(M) := Ker Lt
v) L pdt(M) := Ran ( dt : D(dt) L p-1(M) L p(M) )
vi) L pdt*(M) := Ran ( dt* : D(dt*) L p+1(M) L p(M) )
(beachte: dt* ist ein abgeschlossener Operator und (dt)* dt* [RSI, Thm. VIII.1])
vii)Die Raºume LHp t(M) , Lpdt(M) , Lpdt*(M) seien definiert als jene Teilmengen der
entsprechenden Raºume mit Querstrich, welche aus glatten Formen bestehen.
,
66
r
J
!
+
,
!
,
B
,
!
,
,
,
,
,
,
,
B
,
!
,
B
,
,
66
,
!
,
66
V
Im vorigen Paragraphen 2.1 wurde gezeigt, da≠ die p-te Bettizahl bp von M durch
die Dimension des Kerns von L, wirkend auf den glatten p-Formen, gegeben ist.
Witten bemerkte, da≠ fuºr die durch t variierten Groº≠en Resultate, analog zu denen
des Paragraphs 2.1, gelten: Es gilt insbesondere eine Version des Hodge-Theorems
1.26 (Hodge-Zerlegung) aus dem wir
(2.1)
bp dim Ker Lt
ableiten. Fuºr gro≠e t vereinfacht sich das Spektrum von Lt . Der Limes t
von Lt
(der sogenannte quasiklassische Limes) wurde bereits fruºher studiert [CDS], er liefert
obere Schranken fuºr dim Ker Lt und damit fuºr bp . Diese oberen Schranken sind
durch die Anzahl cp der kritischen Punkte der Morse-Funktion f mit Morse-Index p
gegeben. Dies ist jedoch Gegenstand der folgenden Paragraphen.
Zunaºchst wollen wir die Wohldefiniertheit der Begriffe in Definition 2.1
uºberpruºfen. Wir berechnen die formal adjungierte Abbildung dt* und zeigen
Lp+1(M) D(dt*) ; hieraus folgt die Dichtheit von D(dt*) in L p+1(M) und damit die
Abschlie≠barkeit von dt , siehe (1.31) und [RSI, Thm. VIII.1 b)].
V
6
6 6
B
6
6
,
6
66
Proposition 2.2 dt*|Lp+1(M) etf d* e tf : Lp+1(M)
BEWEIS Seien a Lp+1(M) , b D(dt) Lp(M)
V
J
!r
6
J
,
V
!
Lp(M)
.
Lt
66 6
6 6 6
6 6 6
66 6
6
6
<dtb,a>p+1 <e tf d etf b,a>p+1
,
tf
tf
p+1
<d e b,e a>
, f(M)-Lin. , Lemma 1.6 i)
<etf b,d* e tf a>p
, Def. von d*
<b,etf d* e tf a>p
, f(M)-Lin. , Lemma 1.6 i)
<b,dt* a>p
, Def. von dt* .
Es ist etf d* e tf a Lp(M), denn e tf a Lp+1(M) und d* bildet nach Lemma 1.8
glatte (p 1)-Formen in glatte p-Formen ab.
P
,
V
,
V
,
V
V
66 6
,
6
6
,
V
,
J
J
+
6
Es gilt weiter ft|Lp(M) ft*|Lp(M) , also ist Lp(M) D(ft*), also D(ft*) dicht
in L p(M) und ft somit abschlie≠bar; Lt ist also wohldefiniert.
Unser Ziel ist es nun eine Formel fuºr Lt zu finden, die die Abhaºngigkeit von Lt
von den kritischen Punkten der Morse-Funktion f darstellt. Hierzu fuºhren wir zwei
Operatoren (ai)* und ai auf Lp(M) ein, die in der Quantentheorie als
Fermionenerzeugungs- bzw. Fermionenvernichtungsoperator bekannt sind.
V
,
B
Definition 2.3 Seien (x1,\,xn) lokale Koordinaten auf U M, wir definieren
(ai)* : Lp(U) Lp+1(U)
a
(ai)* a := dxiPa .
B
6
!
*
Lemma 2.4 Der zu (ai)* formal adjungierte Operator (bezuºglich des L2-inneren
Produkts < , >_ auf L _(U))
ai : Lp+1(U) Lp(U)
ergibt sich durch lineare Fortsetzung aus
,
/ /
!
ai (dxj1P\Pdxjp+1)
V
p+1
(
¡
k=1
1)k+1 gijk dxj1P\PdxjkP\Pdxjp+1 .
P
,
66
Hierbei ist gij <dxi,dxj>1 g(i-1(dxi) , i-1(dxj)) die induzierte Metrik auf T*U,
siehe Lemma 1.1 .
i
i
BEWEIS Mit a Lp(U), d.h. a
ai \i dx 1P\Pdx p und
1
i
<
\
<i
n
1
p
1
p
j
j
b dx 1P \Pdx p+1 Lp+1(U) ergibt sich
<(ai)* a,b>p+1 <dxiPa,b>p+1
6
V
V
¡
J
V
:
:
6
6
J
6
V
$ <1 i <¡
\<i
V
U
V
:
1
V
6dxiPdxi1P\Pdx p , dxj1P\Pdx p+1>p+1
m o
1\ip
ai
p n
:
i
j
Lt
$
V
¡
i <\<i
U 1 1
$
V
U
:
1
:
¡
i <\<i
1
i
j
\ <dxiPdxi1P\Pdx p , dxj1P\Pdx p+1>p+1
m o
ai
1 ip
p n
:
, Linearitaºt von < , >p+1
m
/ /
\ det (<dxr,dxs>1m) r
ai
:
\
\
{i,i1, ,ip} o
s {j1, ,jp+1}
1 ip
p n
J
J
, Prop. 1.2
p+1
(
$ 1 ¡i <a\i1\ip ¡
k=1
V
U
\
1)k+1<dxi,dxjk>1m det (<dxr,dxs>1m)r
,
1
<ip n
:
\
\ \
{i1, ,ip} o
s {j1, ,jk , ,jp+1}
/
J
P
J
:
, Entwicklung der Det. nach 1. Zeile (i)
p+1
(
$ 16 ¡i <a\i1\ip6¡
k=1
V
U \<i1 n
p
:
:
(
¡
k=1
p+1
<a,
V
6
6
1)k+1 gijk
,
6 6
1)k+1 gijk <dxi1P\Pdxip , dxj1P\PdxjkP\Pdxjp+1>pmo
, Prop. 1.2
,
P
dx P\PdxjkP\Pdxjp+1 >p
j1
P
<a,ai b>p
V
P
In der Formel fuºr ai ist in [CFKS, Formel (11.32)] ein Vorzeichenfehler zu finden.
Dieser wuºrde zu einem falschen Vorzeichen in Proposition 2.5 fuºhren und statt
Proposition 4.3 ergaºbe sich [(ai)*,ai] 1, womit der Beweis der Morse-Ungleichungen
zusammenbrechen wuºrde.
V
Proposition 2.5 Sei a
Lp(U),
dann gilt
{ai,(aj)*} a gij a ,
wobei {A , B} := AB BA den Antikommutator bezeichnet.
BEWEIS Es genuºgt die Aussage fuºr ein Basiselement a dxl1P\Pdxlp,
1 l1<\<lp n , zu zeigen:
{ai,(aj)*} a ai (aj)* a (aj)* ai a
p
ai dxjPdxl1P\Pdxlp (aj)* ( 1)k+1 gilk dxl1P\PdxlkP\Pdxlp
66 6 6
:
6
:
V
V
J
6
V
/
+
6
6 6
6
V
+
66
+
6¡
k=1
44
,
6
P
Lt
p+1
( 1)k+1gilk dxjPdxl1P\Pdxlk-1P\Pdxlp
¡
k=2
p
( 1)k+16gilk dxjPdxl1P\PdxlkP\Pdxlp
¡
k=1
gij dxl1P\Pdxlp
V
P
+
,
P
,
+
r=k-1 gij
V
p
¡
( 1)r+26gilr dxjPdxl1P\PdxlrP\Pdxlp
r=1
p
( 1)k+16gilk dxjPdxl1P\PdxlkP\Pdxlp
¡
k=1
dxl1P\Pdxlp
P
+
,
P
,
+
gij a
V
P
Proposition 2.6 (ai)* ist ein beschraºnkter Operator auf Lp(U) mit
(ai)* Op Gii , wobei Gii := sup gii(m)>0 .
6
6 m6
:
U
J
BEWEIS Sei a Lp(U), dann ist
2
2
aia
(ai)*a
<aia,aia>p-1 <(ai)*a,(ai)*a>p+1
6
J
+
6
V
+
<a,(ai)*aia>p <a,ai(ai)*a>p
<a,{(ai)*,ai}a>p
<a,{(ai)*,ai}a>pm o
V
+
V
$U
$U<a,giia>pm o
$Ugii(m) <a,a>pm o
Gii$ <a,a>pm o Gii a 62
U
V
, Prop. 2.5
V
V
:
/
V
Hieraus erhalten wir insbesondere
(2.2)
woraus folgt
(2.3)
(ai)*a
6
a 2
62
62
(ai)* 6Op := sup
0
:
6
a 2
45
.
Gii ,
(ai)*a
aW
/
62
:
Gii .
P
Lt
66
6 6Lp(U) ist ein beschraºnkter Operator mit
6Op Gii , Gii wie in Prop. 2.6 .
Proposition 2.7 ai : Lp+1(U)
ai
!
:
BEWEIS Der Beweis von Proposition 2.6 liefert bereits die Behauptung, es gilt
naºmlich eine zu (2.2) analoge Ungleichung fuºr ai. Wir koºnnen die Behauptung
jedoch auch mittels der Theorie der beschraºnkten linearen Operatoren einsehen: Sei
h ein Hilbertraum und l(h) bezeichne die beschraº nkten linearen Operatoren von h
nach h. (l(h) , || || Op) ist ein Banachraum. Sei T l(h), dann ist die Abbildung
* : l(h)
(2.4)
l(h)
T
T*
ein isometrischer Isomorphismus [RSI, Thm. VI.3 a)], d.h.
(2.5)
T Op T* Op .
Benuºtze nun die Aussage von Proposition 2.6 .
P
66 6
/
J
6
!
*
6
V
6
6
Bemerkung 2.8 i) Nach dem BLT-Theorem 1.15 existieren eindeutige Fortsetzungen
von ai bzw. (ai)* (selbe Bezeichnung) auf den gesamten Hilbertraum L p(U)
ai : L p+1(U) L p(U)
und
(ai)* : L p(U)
L p+1(U) .
ii) a bzw. a* sind gerade die innere bzw. aºu≠ere Multiplikation mit a L1(M) in der
Algebra der Differentialformen auf M [Ch, p. 277]
a : Lp+1(M)
Lp(M)
b
iab
a* : Lp(M)
Lp+1(M)
b
aPb .
,
,
,
!
,
,
!
J
!
*
!
*
Lemma 2.9 Es gilt
6
Lt L t2 df 2 t A ,
wobei A ein Operator nullter Ordnung ist und L den in Definition 1.19 eingefuºhrten
Operator bezeichnet. Falls die Metrik in U M flach ist, so ergibt sich in lokalen
orthonormalen Koordinaten (x1,\,xn)
V
+
+
B
Lt
A
¡i,j ssxi2sfxj [(ai)*,aj]
.
V
66
BEWEIS Wir betrachten oBdA glatte Formen und zeigen ft f t2 df 2 t A ,
siehe Proposition 1.17 . Der Abschlu≠ des Operators ft liefert dann obiges Resultat.
Sei a Lp(M), dann ist
6
V
+
+
J
(2.6)
dta
Def.
2.1 i)
e
da e
V
V
(2.7)
Es ist also
(2.8)
66
df
V
,
6 dfPa
n
¡
6
fi6(ai)*
i=1
tfetf t
,
+
n
¡
6
fi6dxi
i=1
V
dt
6
Produkttf d (etfa) regel e tf (detf)a
,
da
V
,
+
+
6 6
, wobei fi := ssxfi .
V
t dfP , bzw.
n
t fi (ai)* ,
d
d
/
/V
/+
V
/
/+
+
und damit
(2.9)
dt * d*
Weiter ist
(2.10)
ft := {dt ,dt*}
V
e tfetfda
t dfPa ,
+
/
6 6¡
66
i=1
/
/
n
6t6¡
6
fi6ai
i=1
/
/+
+
d*
/
/V
/+
6
t idf
/
.
6
n
n
n
n
Bd t¡
6
fi6(ai)*K Bd* t¡6fj6ajK Bd* 6t¡6fj6ajK Bd 6t¡6fi6(ai)*K
i=1
j=1
j=1
i=1
, (2.8)6,6(2.9)
n
n
n
n
d*d dd* t26B ¡6fi6(ai)*K B ¡6fj6ajK t26B ¡6fj6ajK B ¡6fi6(ai)*K
i=1
j=1
j=1
i=1
n
n
n
n
Bd t¡
6
fi6aiK B t¡6fi6(ai)* d*K Bd* t¡6fi6(ai)*K B t¡6fi6ai dK
i=1
i=1
i=1
i=1
V
+
V
+
+
+
+
f
f
f
V
mit
(2.11)
t2
n
+
+
+
+
, d2 0 (d*)2
V
, Prop. 2.5
+
+
+
47
V
tA
n
n
T ¡
6
fi6ai ] T d* , ¡6fi6(ai)* ] =: A1
i=1
i=1
A := d ,
+
+
¡
fifj {(ai)*,aj}
i,j=1
n
t2 ¡fifj gij t A
i,j=1
t2 df 62 t6A
+
+
+
+
V
V
+
+
A1*
Lt
und
df
i sei
s
s
(2.12)
62
<df,df>1 <fidxi,fjdxj>1 fifj gij .
V
V
V
der Operator, der nach der lokalen Koordinate xi ableitet:
s
i
B 1 ¡j <\uj1\jp dxj1P\PdxjpK
\
V
\
1
<jp n
1
<jp n
:
V
Es ist
(2.14)
:
n
¡
6
(ai)*6 i
i=1
V
J
,
s
n
n
B¡
6
6
K
¡
6
(ai)* ssxfi ¡6 ssxfi dxi
i=1
i=1
i=1
s
V
V
n
n
T¡
6
(ai)*6 i , ¡6fj6aj ]
i=1
j=1
n
¡
T
(ai)*6 i , fj6aj ]
i,j=1
n
¡
B
(ai)*6fj6aj6 i fj6aj6(ai)*6 i
i,j=1
A1
V
, Lin. von { , }
n
¡
B
{6(ai)*6,6fj6aj6}6 i
i,j=1
n
¡
(gij6fj6 i A2)
i,j=1
s
V
/ /
666
s +
s
,
s
, Prop. 2.5
n
¡
(ai)*6[6 i6,6fj6aj6]
i,j=1
.
s
Sei der Einfachheit halber a h dxj1P\Pdxjp, dann ist
n
(2.16) A2a
(ai)* ( i fj aj fj aj i) a
V
V
V
s
,
+
¡D 6 ji6 6
i,j=1
n
V
/
¡ 66 66 6
¡
(ai)* (fji6aj fj6 i6aj fj6aj6 i)6a
i,j=1
i,j=1
n
(ai)* f
aj a
+
s
66 66 6 6 K
+
s +
A2 :=
666 K
(ai)* i fj aj (ai)* fj aj i
, Null addieren
(ai)* [ i , fj aj ]
s +
V
mit
(2.15)
66
s
V
.
, (2.11) , (2.13)
s
V
.
:
:
Damit ergibt sich aus (2.7)
(2.13)
d
fuºr f f(M) erhalten wir
n
df
(ai)* i f
suj1\jp j1
j
¡
dx
P
\Pdx p
i
1 j <\ s x
, (2.15)
s
s
,
(
6 6 6Bh ¡
k=1
(ai)* fj i
s
, Produktregel
s
p
/
6
1)k+1 gijk
,
P\PdxjkP\PdxjpK
dxj1
P
Lt
,
¡D 6 ji6 6
i,j=1
n
(ai)* f
V
aj a
+
,
p
(
6 6 B¡
k=1
(ai)* fj hi
+
6
(
6 6 6B ¡
k=1
p
(ai)* fj hi
p
(
6 6 B¡
k=1
(ai)* fj h
,
P
6
1)k+1 gijk
dx P\PdxjkP\Pdxjp
P
j1
K
KM
1)k+1 ssgxi dxj1P\PdxjkP\Pdxjp
ijk
P
,
(
6 j6hi B ¡
k=1
p
(ai)* f
KM
1)k+1 gijk dxj1P\PdxjkP\Pdxjp
,
6
1)k+1 gijk
,
KM
dx P\PdxjkP\Pdxjp
P
j1
ijk
p
n
¡
D
fij6(ai)*6aj6a h6fj6(ai)* B¡( 1)k+1 ssgxi dxj1P\PdxjkP\PdxjpKM6,
i,j=1
k=1
d.h. A26:6Lp(M)6 6Lp(M) ist ein Operator nullter Ordnung (die Koeffizientenfunktion
P
V
,
+
!
wird nicht differenziert), welcher erste Ableitungen von f und g, sowie zweite
Ableitungen von f beinhaltet.
(2.17)
A A1 A1*
, (2.11)
n
n
*
gijfj i A2
gijfj i A2
, (2.14)
V
+
¡
V
i,j=1
s +
¡
gijfj i
i,j=1
K
fj g
gij
g
n
¡
( i)* (fj)* (gij)*
p
i,j=1
s +
A2
+
V
s
A2*
+
i
part.Integr.
V,s
n
¡
[ i6,6gijfj]
ruusuut
i,j=1
ij
f
=6 g i 6fj gij6 ji6
x
x
V,
s +
V
n
V
B i,j=1
¡
+
s
+
A2 A2* ,
+
s
s
+
s
66
s
6 6Lp(M) ist ein Operator nullter Ordnung.
d.h. A : Lp(M)
!
_Sei m Mn und U(m) sei eine Koordinatenumgebung von m in der die Metrik g
J
flach ist, d.h. der Kruºmmungstensor R ist an jedem Punkt x U(m) Null. Dies ist
gleichbedeutend damit, da≠ alle Christoffelsymbole in U(m) verschwinden. In den
lokalen Koordinaten (x1,\,xn) haben wir also die n3 Gleichungen [O'N, Ch. 3, Prop.
13]
sg
sg
0 ! amij := gkm Gkij 12 sxjmi ssgximj sxmij
J
V
6
V
B
49
+
+
K
Lt
6
in den n3 Unbekannten gjm/ xi . Dieses lineare Gleichungssystem hat nur die
triviale Loºsung gjm/ xi 0 , d.h. gjm const .
Wir waºhlen nun in einer Normalumgebung U U(m) von m Normalkoordinaten
(x1,\,xn) , d.h. es gilt
gij(m) dij und Gkij(m) 0 .
Aus dem obigen ergibt sich nun
gij(x) dij und Gkij(x) 0 , x U .
s
s
s
V
6
s
6
V
[
6
B
V
V
[
V
V
M
J
_Alternative: Nehme an es existiert eine Umgebung U(m) von m Mn, in der
J
die Metrik g gerade gleich der zuruºckgezogenen euklidischen Metrik < , >
des Rn ist, d.h.
g ª*< , > mit ª : U Rn Diffeomorphismus .
Damit ist
gij g( i, j) (ª*< , >)( i, j) <ª* i,ª* j> <ei,ej> dij .
/ /
V
V
s
s
/ /
V
6
!
/ /
s
s
V
s
s
V
V
Sei also gij dij , d.h. gij dij, und sei wieder der Einfachheit halber
l
\Pdx p, dann ist
(2.18) [ i,aj] h dxl1P\Pdxlp
V
V
s
/
l
P
aVh/dx 1
V
p
( 1)k+16gilk dxl1P\PdxlkP\PdxlpK aj (hi dxl1P\Pdxlp)
6i Bh ¡
k=1
p
hi ¡( 1)k+16dilk dxl1P\PdxlkP\PdxlpK
k=1
p
il
hi ¡( 1)k+1 ssdxik dxl1P\PdxlkP\PdxlpK
p
k=1
P
Vs
,
,
/
P
V
,
/
P
+
,
/
V
hi
,
(
¡
k=1
p
/
6
1)k+1 gilk
,
0
dx P\PdxlkP\Pdxlp
l1
P
0 ,
V
d.h. es gilt
(2.19)
Damit und mit
[ i,aj] 0 .
s
V
K
/
Lt
(2.20)
6
[ i,fj aj]
s
ifja
fjiaj
fjiaj
fjiaj
j
Vs
fjaj i
fj iaj fjaj
fj[ i,aj]
,
V
+
V
+
s
s
(2.22)
n
¡
fi i
i=1
n
¡
fi i
i=1
A1
V
s
+
V
s
+
A2*
s
i
s
V
erhalten wir
(2.21)
,
A2
illllllllljlllllllllk
n
¡
(ai)*6[6 i6,6fj6aj6]
i,j=1
n
¡
(ai)*6fji6aj
i,j=1
s
B i,j=1
¡n (ai)*6fji6aj K*
n
n
¡
(aj)*6fji*6(ai)** ¡ (aj)*6fji6ai
i,j=1
i,j=1
n
(ai)*6fij6aj
¡
i,j=1
n
¡
(ai)*6fji6aj A2
i,j=1
V
V
V
V
Wir erhalten nun den Operator A in der gewuºnschten Form
(2.23)
A A1 A1*
n
[ i , dij fj] 2A2
+
¡6 66 6
n
¡
[6 i6,6fi] 2 ¡fji6(ai)*6aj
i=1
i,j=1
n
n
¡
(fii fi i fi i) 2 ¡fji6(ai)*6aj
i=1
i,j=1
n
n
¡
dijfij
2 ¡fji6(ai)*6aj
i,j=1
i,j=1
n
¡
fij ( aj6(ai)* (ai)*6aj 26(ai)*6aj )
i,j=1
n
¡
fij [(ai)*,aj]
i,j=1
V,
s
V,
s
i,j=1
n
V,
+
+
+
V,
V
V
, (2.20)
66
, (2.15) , (2.20)
V
V
V
, (2.14)
s ,
s
+
, i,j vertauschen
, fij fji .
V
, (2.11)
, (2.17) , (2.22)
66
, (2.21)
, Produktregel
+
,
,
+
, Prop. 2.5
P
Unser Ziel ist es nun fuºr den Operator Lt ein Analogon zum Hodge-Theorem 1.26
(Hodge-Zerlegung) zu beweisen. Wir gehen dabei wie folgt vor:
Lt
6
_ Das Kato-Rellich Theorem 2.12 liefert die Selbstadjungiertheit von Lt , d.h.
Spec Lt R .
_ Lt ist semi-positiv, d.h. Spec Lt R+0 . Also ist 1 r(Lt), woraus folgt, da≠
6
B
6
6
6
B
,
J
(Lt
ein beschraºnkter Operator ist.
_ (Lt
ist ein kompakter Operator.
_ elliptische Regularitaºt: k=1D( (Lt)k ) Lp(M) .
_ Die beiden letzten Resultate liefern ein Hodge-Theorem fuºr Lt ; der Beweis ist
analog zu dem des Hodge-Theorems 1.26 fuºr L.
+
+
Id)-1
Id)-1
)
6 6
r
6
V
6
Definition 2.10 Seien A und B dicht definierte Operatoren auf einem Hilbertraum h.
Falls die folgenden Bedingungen erfuºllt sind
i) D(B) D(A) ,
ii) a,b R ª D(A) : Bª a Aª b ª ,
dann hei≠t B A-beschraºnkt. Das Infimum solcher a, welche ii) erfuºllen, hei≠t relative
Schranke von B bezuºglich A. Falls die relative Schranke Null ist, so hei≠t B
infinitesimal klein bezuºglich A (Schreibweise: B A).
C
N
J
M
:
J
/
+
/
<
<
Definition 2.11 Sei T ein abgeschlossener Operator. Eine Teilmenge D D(T) hei≠t
Kern von T (nicht zu verwechseln mit Ker T), falls T|D T.
6
B
V
Kato-Rellich-Theorem 2.12 [RSII, Thm. X.12] T sei selbstadjungiert, B sei
symmetrisch und T-beschraºnkt mit relativer Schranke a<1. Dann ist T B
selbstadjungiert auf D(T) und wesentlich selbstadjungiert auf jedem Kern von T.
Falls T von unten durch c beschraºnkt ist, so ist T B von unten beschraºnkt durch
c max { 1,b a , a|M| b } ,
wobei a und b durch Definition 2.10 ii) gegeben sind.
+
,
+
6
+
In unserem Fall ist T L und B t2 df
V
V
Proposition 2.13 Der Operator
S1 : Lp(M)
ist beschraºnkt mit S1
62 t6A6.
!
+
Lp(M)
t2 df
max t2 df(m) 2 .
m M
6Op6 6
a
:
/
J
*
66
62 a
/
Lt
BEWEIS
S1
6Op6
V
V
sup S1a
sup
||a||=1
D$
sup (<S1a,S1a>p)1/2
V
||a||=1
||a||=1
<t2
M
df(m) 62a(m)6,6t2
1/2
6
2
p
df(m) a(m)>m oM
1/2
6
4
p
sup D $ df(m) <a(m)6,6a(m)>m oM
|| ||=1
V
:
a
sup
||a||=1
t4
M
D B mmaxM
J
max t2 df(m)
m M
V
/
J
1/2
6
4
p
6 df(m) 6K $<a(m)6,6a(m)>m oM
t4
62
6
M
/
sup
||a||=1
max t2 df(m) 2 <
m M
V
/
J
Proposition 2.14 Der Operator
S2 : Lp(M)
!
r
a
, da M kompakt .
P
Lp(M)
66
tAa ,
wobei A der Operator aus in Lemma 2.9 ist, ist beschraºnkt.
BEWEIS Wegen der Kompaktheit von M genuºgt es die Beschraºnktheit von tA in
lokalen Koordinaten zu zeigen. Im Fall einer flachen Metrik ergab sich fuºr t A in
lokalen Koordinaten der folgende Ausdruck (Lemma 2.9)
s2f [(ai)*,aj] .
A
sxisxj
a
*
6
¡i,j
V
Fuºr eine beliebige Metrik sind lediglich die zweiten Ableitungen von f durch
kovariante Ableitungen zu ersetzen [CFKS, Se. 11.4]. Der so erhaltene Ausdruck fuºr
A ist invariant unter Koordinatenwechseln [CFKS, Se. 12.4] und definiert daher A
global. A ist als Summe von Produkten beschraºnkter Operatoren, selbst wieder ein
beschraºnkter Operator (die beschraºnkten Operatoren bilden eine Algebra). Die
Beschraºnktheit von (ai)* und aj hatten wir in den Propositionen 2.6 und 2.7 gezeigt.
Der Multiplikationsoperator mit den zweiten Ableitungen von f ist ebenfalls
beschraºnkt, da M kompakt und f glatt ist.
P
Lt
Die Propositionen 2.13 und 2.14 zusammen ergeben nun die
6 6 6 62 t6A6:6Lp(M)6 6Lp(M) ist ein beschraºnkter Operator.
Proposition 2.15 B := t2 df
+
!
B besitzt daher (BLT-Theorem 1.15) eine eindeutige Fortsetzung
B : L p(M) L p(M)
(wir benutzen im folgenden dieselbe Bezeichnung B fuºr den fortgesetzten Operator).
[
,
,
!
Bemerkung 2.16 Die Voraussetzung i) in Definition 2.10 ist also erfuºllt. Au≠erdem
gilt mit a 0 , b B Op
Bª b ª , ª D(L) ,
d.h. B ist L-beschraºnkt. Wegen a 0 ist B sogar infinitesimal klein bezuºglich L
(B L).
V
66
6
V
:
/
M
J
V
<
Proposition 2.17 B ist symmetrisch.
BEWEIS Seien a,b Lp(M), dann ist
<Ba,b>p
<t2 df(m) 2a(m) ,b(m)>pm <t (A1 A1*)a(m) , b(m)>pm o
M
, siehe (2.11)
<a(m) ,t2 df(m) 2b(m)>pm <a(m) ,t (A1* A1)b(m)>pm o
M
, < , >pm lin.
<a,Bb>p
P
6
J
$B 6
V
$B
6
6
6 6
V
6
+
66
+
66
+
K6
K6
+
/ /
V
6
6
Aus Bemerkung 2.16 , Proposition 2.17 , sowie der Selbstadjungiertheit von L (Thm.
1.20) erhalten wir mittels des Kato-Rellich-Theorems 2.12
Lemma 2.18 Lt ist selbstadjungiert und D(Lt) D(L)
V
6
L p(M).
,
B
Es ist also insbesondere Spec Lt R.
B
Definition 2.19 T sei ein abgeschlossener Operator auf einem Hilbertraum h. l C
ist in der Resolventenmenge r(T), falls lId T eine Bijektion von D(T) auf h mit
beschraºnkter Inverser ist. Falls l r(T), so hei≠t
J
,
J
54
Lt
Rl(T) := (lId T)-1
Resolvente von T an der Stelle l. l C ist im Spektrum Spec T, falls l
,
6
J
6
K
Proposition 2.20 Spec Lt R+0 .
BEWEIS Es genuºgt Lt auf Lp(M) zu betrachten (Prop. 1.17). Sei a
<a,Lta>p <a,(dt*dt dtdt*)a>p
<dta,dta>p <dt*a,dt*a>p 0 .
Fuºr lt R und at D(Lt) mit at 1 und Ltat ltat gilt also
0 <at,Ltat>p <at,ltat>p lt at 2 lt .
r(T).
B
Lp(M)
J
V
+
V
J
+
;
V
J
:
6 6
V
V
V
P
V
Proposition 2.21 (Lt Id)-1 ist beschraºnkt.
BEWEIS Aus Proposition 2.20 folgt 1 Spec Lt, also ist 1 r(Lt), d.h.
( Id Lt)
(Lt Id) besitzt eine beschraºnkte Inverse (Lt Id)-1, damit ist
auch (Lt Id)-1 beschraºnkt.
P
+
,
,
,
V,
6
K
,
+
,
J
+
+
Proposition 2.22 (L Id)-1 (Lt Id)-1 (L Id)-1 (Lt L) (Lt Id)-1.
BEWEIS
(L Id)-1 (Lt Id)-1 (L Id)-1 Id (L Id) (Lt Id)-1
(L Id)-1 Id (Lt Id) (L Id) (Lt Id)-1
(L Id)-1 (Lt L) (Lt Id)-1
+
,
+
,
+
+
V
+
V
+
V
B
V
+
B
+
+
,
,
,
,
+
+
+
K
6
K
+
+
+
Theorem 2.23 (Lt Id)-1 ist ein beschraºnkter Operator.
BEWEIS Nach Proposition 2.22 gilt
(L Id)-1 (Lt Id)-1 (L Id)-1 B
P
+
ruuusuuut
kompakt
+
Thm. 1.24
,
+
(Lt Id)-1
q
ruuusuuut
ruuusuuut
kompakt beschraºnkt beschraºnkt
V
+
Thm. 1.24
Prop. 2.15
+
.
Prop. 2.21
Die rechte Seite ist ein kompakter Operator, da die Komposition eines kompakten
Operators mit einem beschraºnkten Operator wieder ein kompakter Operator ist
[RSI, Thm. VI.12 c)]. D.h. die Menge der kompakten Operatoren Com (h) ist ein
Ideal in l(h).
Nun ist Com (h) als abgeschlossener linearer Teilraum des Banachraumes l(h) [RSI,
6
6
Lt
Thm.VI.12] selbst ein Banachraum. Also ist
(Lt Id)-1 (L Id)-1 (L Id)-1B (Lt Id)-1
als Summe zweier kompakter Operatoren selbst ein kompakter Operator.
+
V
+
,
Theorem 2.24 (eelliptische Regularitºat)
D( (Lt)k )
( 6 6
k=1
r
6
+
Lp(M)
+
P
.
V
BEWEIS " " Fuºr a Lp(M) ist Lta (dt*dt dtdt*)a Lp(M), d.h. Lt bildet
glatte Formen in glatte Formen ab, d.h.
Lp(M) D( (Lt)k ) , k N .
" " Es genuºgt zu zeigen (Thm. 1.23)
Dt := D( (Lt)k )
D( Lk ) =: D .
C
J
V
B
B
+
6 6
M
J
( 6 6 k=1
( 6 6
k=1
N gilt a D(6(Lt)k6) D(6(L
r
J
r
B
6
6
6
66
Sei also a Dt , d.h. k
B)k ) D( Lk \ ) . D.h.
a D( Lk ) k N. Beachte D(Lt) D(L) nach Lemma 2.18 .
P
J
6 6
J
M
M
J
J
J
V
V
+
6
V
+
Theorem 2.25 (H
Hodge-Zerlegung)
p
i) L (M) L pHt(M) L pdt(M) L pdt*(M)
ii) Lp(M) LpHt(M) Lpdt(M) Lpd *(M)
t
p
p+1
p
iii) Ker ( dt : L (M) L (M) ) LHt(M) Lpdt(M)
iv) LpHt(M) L pHt(M) ist endlich-dimensional.
,
,
V
,
2
V
2
66 66
6 6
,
2
6
!
2
V
2
,
V
6
Der Beweis geht analog zum Beweis des Hodge-Theorems 1.26 , wir muºssen lediglich
Theorem 1.24 uºber die Kompaktheit von (L Id)-1 durch Theorem 2.23, sowie die
elliptische Regularitaºt (Thm. 1.23) durch Theorem 2.24 ersetzen.
+
Proposition 2.26
i) Ker dt e tf Ker d
ii)Ran dt e tf Ran d
BEWEIS i) " " Sei a Ker d, dann ist
6
6
V
V
,
,
6 6
6 6
C
J
6
Lt
dt(e tfa) e tfdetfe tfa e tfda e tf 0 0 .
Sei b Ker dt , d.h. 0 dtb e tfdetfb. Also ist etfb Ker d, also
tf Kerd .
" Sei a Ran d, d.h. es existiert ein b mit db a , dann ist
dt(e tfb) e tfdetfe tfb e tfdb e tfa .
Sei b Ran dt , d.h. es existiert ein a mit b dta e tfdetfa . Es ist
Ran d und damit b e tf Ran d.
P
,
" "
b e
ii) "
B
J
V
66
6
6
,
J
,
/
C
V
" "
detfa
J
V
V
,
V
6
,
V
J
,
,
V
,
V
6
,
V
Theorem 2.27 bp dim Ker Lt , p {0,\,n} .
BEWEIS
Ker Lt L pHt(M)
LpH (M)
t
V
V
6
6
/
/
J
V
66
J
,
,
J
,
B
,
V
,
6
J
, Def. 2.1 vii)
, Thm. 2.25 vi)
,
V
V
66 66
66 66
6 6
6 6
6
6
Ker ( dt : Lp(M) Lp+1(M) )
Ran ( dt : Lp-1(M) Lp(M) )
Y
e
e
tf
tf
,
V
,
!
66 66
66 66
!
6 6
6 6
, Thm. 2.25 iii)
6
Ker ( d : Lp(M) Lp+1(M) )
Ran ( d : Lp-1(M) Lp(M) )
/
/
66 66
66 66
!
6 6
6 6
!
6
6
, Prop. 2.26
Ker ( d : Lp(M) Lp+1(M) )
Ran ( d : Lp-1(M) Lp(M) )
Y
!
!
=: HpDR(M;R)
6
, (1.2.5).
57
P
2.3 Der quasiklassische Limes
Wir interessieren uns fuºr das asymptotische Verhalten des Spektrums von
Schroºdingeroperatoren auf L2(Rn). Wir betrachten selbstadjungierte Operatoren der
Form
(3.1)
H(t)
f t2 h t g ,
[
V,
+
6 6
+
definiert als Abschlu≠ des entsprechenden Differentialoperators auf C0 (Rn)
(f:= nk 1 2/ (xi)2). Es seien h,g C (Rn), g sei beschraºnkt, h 0 und
h>const>0 au≠erhalb eines Kompaktums. Weiterhin soll h bei nur endlich vielen
Punkten {y(r)}Nr 1 verschwinden und die Hesse-Matrix von h
2h
(3.2)
H(r)
ij
xi xj (y(r))
soll fuºr jedes r positiv definit sein.
Wir wollen nun die Eigenwerte von H(t) fuºr gro≠e t abschaºtzen. In diesem Fall
ist der Term t2 h im Potential V(t) t2 h t g dominierend. In der Naºhe einer
Nullstelle y(r) von h aºhnelt das Potential V(t) dem eines harmonischen Oszillators,
die Eigenfunktionen zu kleinen Eigenwerten von H(t) (insbesondere dem Eigenwert
0) sind au≠erdem bei den Nullstellen von h lokalisiert, da sonst die
Eigenwertgleichung nicht erfuºllt sein kann (der Term t2h(x) ist sehr gro≠ fuºr
x Ue(y(r))). Wir erwarten daher, da≠ das Spektrum von H(t) fuºr gro≠es t aussieht
wie das Spektrum der direkten Summe von Operatoren der Form
j
i
(3.3) H(r)(t)
f t2 12 H(r)
ij (x y(r)) (x y(r)) t g(y(r)) , r {1,\,N} .
Wir haben hierbei die Taylorentwicklung 2. Ordnung fuºr h eingesetzt (der Ursprung
des Koordinatensystems sei bei y(r) gewaºhlt):
(3.4) h(x) h(y(r)) h (y(r)) (x y(r)) 12 (x y(r))t h (y(r)) (x y(r))
0
0
O(|x y(r)|3) .
[
¡
r
r
s
s
J
;
V
6
V
V
s
s
6
s
V
/
+ /
K
[
V,
,
+
rst rst
V
+
V
m
,
6
,
+
6 6
,
+
6
J
6
mm
6
,
+
V
+
,
Seien nun T(b) mit b Rn und D(t) mit t>0 der Translations- bzw.
Dilatationsoperator auf L2(Rn). Sie sind definiert durch
(T(b)f)(x) := f(x b) ,
(3.5)
(D(t)f)(x) := tn/2 f(tx) .
J
,
/
Proposition 3.1 T(b) und D(t) sind unitaºre Operatoren auf L2(Rn).
BEWEIS
_ <T(b)f,T(b)g>
(T(b)f)(x) (T(b)g)(x) dx
n
$6
$ n6f(x b) g(x b) dx , y6:=6x b
$ n6f(y) g(y) dy <f,g> .
$ n6tn/2f(tx) tn/2g(tx) dx , y6:=6tx
$ n6f(y) g(y) dy <f,g> .
V
V
,
V
/
_ <D(t)f,D(t)g>
/
,
,
V
V
V
/
V
dy dx
&
/
| yx| tn
s
&
s
V
P
V
Mit
i j
(3.6)
K(r) := f 12 H(r)
ij x x g(y(r)) ,
wobei das Koordinatensystem seinen Ursprung bei y(r) habe, gilt
[
,
6
6
+
+
Proposition 3.2 H(r)(t) ist unitaºr aºquivalent zu tK(r), d.h.
D(t1/2) T(t1/2y(r)) tK(r) T( t1/2y(r)) D(t 1/2) H(r)(t) .
,
,
V
BEWEIS (D(t-1/2) f) (x) t-n/4 f(t-1/2x)
V
(T( t1/2y(r)) D(t-1/2) f) (x) t-n/4 f(t-1/2x y(r))
,
V
6
6
6
(tK(r) T( t1/2y(r)) D(t-1/2) f) (x)
,
6
t t-n/4 ( f
V /
V
[
,
6B
t t-n/4
/
+
+
V
612 H(r)ij 6xixj
+
6
g(y(r))) (f(t-1/2x y(r)))
t-1 (ff)(t-1/2x y(r))
+
[
,
/
+
+
6
6
6
-1/2
i j
( 12 H(r)
ij x x g(y(r))) f(t x y(r))
+
/
+
(T(t1/2y(r)) tK(r) T( t1/2y(r)) D(t-1/2) f) (x)
,
6B
t t-n/4
V /
t-1 (ff)(t-1/2x)
V
[
,
+
/
6126H(r)ij 6(x
,
+
t1/2y(r))i (x t1/2y(r))j f(t-1/2x) g(y(r)) f(t-1/2x)
,
59
+
K
K
6
(D(t1/2) T(t1/2y(r)) tK(r) T( t1/2y(r)) D(t-1/2) f) (x)
,
6B
tn/4 t t-n/4
V
/ /
+
(ff)(x)
t-1 (ff)(x)
[
,
/
6 6
1 H(r) (t1/2x
2 ij
+
t1/2y(r))i (t1/2x t1/2y(r))j f(x) g(y(r)) f(x)
,
66 6
,
+
t2 12 H(r)
ij (x y(r))i (x y(r))j f(x)
[
V,
V
+
,
,
+
K
g(y(r)) f(x)
6 6
(H(r)(t) f) (x)
V
P
Also sind insbesondere die Spektren von H(r)(t) und tK(r) gleich: Sei h ein
Hilbertraum und seien U,T,S l(h) mit T U-1SU und U* U-1, dann gilt
(3.7)
Spec T Spec S .
Denn sei t Spec S, d.h. x h mit Sx tx, dann ist
T(U-1x) U-1SUU-1x U-1Sx U-1tx t(U-1x) ,
d.h. t Spec T. Die Relation Spec T Spec S wird analog gezeigt.
Die Eigenwerte von K(r) sind leicht zu berechnen, da K(r) bis auf die Kontante
2 n
g(y(r)) ein harmonischer Oszillator ist. Seien {(o(r)
i ) }i 1 die Eigenwerte der positiv
(r)
definiten symmetrischen Matrix 12 H(r)
ij , die oi seien positiv gewaºhlt. Die Eigenwerte
von K(r) ergeben sich nun durch Summation der Eigenwerte o(r)
i (2ni 1), ni N0 ,
2
(r)
2
d
der eindimensionalen harmonischen Oszillatoren dx2 (oi ) x2, welche noch um
die Konstante g(y(r)) zu verschieben sind. Es ergibt sich
n (r)
(r)
(3.8)
s(K )
oi (2ni 1)
g(y(r)) n1,\,nn N0 .
i 1
Die Eigenwerte des Operators
N 2 n
N (r)
L (R )
K
in
(3.9)
r 1
r 1
ergeben sich zu
N
N (r)
(r)
K
s(K ) .
(3.10)
s
r 1
J
6
J
J
N
6
V
6
V
J
V
V
6
V
6
V
V
6
B
V
6 6
V
,
T B¡ 6
V
V
6B
+
K
+
2
2
V
V
2
V
6
+
J
6
+
J
6
]
K r+1
V
V
Theorem 3.3 [CFKS, Thm. 11.1] Seien H(t) und Nr 1K(r) wie zuvor. Em(t)
bezeichne den m-ten Eigenwert von H(t), em den m-ten Eigenwert von Nr 1K(r),
jeweils gezaºhlt unter Beruºcksichtigung ihrer Vielfachheit. Fuºr festes m und gro≠e t
2
V
2
V
gilt: H(t) besitzt mindestens m Eigenwerte und es ist
Em(t)
em .
tlim t
V
!r
Aufgrund dieses Theorems ist unsere Vermutung bestaºtigt, da≠ das Spektrum
von H(t) fuºr gro≠e t aussieht wie das Spektrum der direkten Summe der Operatoren
H(r)(t).
Bemerkung 3.4 Voriges Theorem findet sich auch in [Si] und wurde zuvor in [CDS]
fuºr den eindimensionalen Fall bewiesen. Wie in [CFKS, Abschn. 11.5] bemerkt, gilt
p
es auch im Fall des deformierten Laplace-Beltrami-Operators Lt auf D(Lt) L (M).
Hierbei geht insbesondere die Kompaktheit von M ein. Ein Beweis fuºr diesen
allgemeinen Fall findet sich in [Ch, App. Se. 3].
,
B
61
2.4 Beweis der schwachen Morse-Ungleichungen
Wir wollen nun die schwachen Morse-Ungleichungen
(4.1)
bp cp , p 0,\,n
beweisen. Hierzu konstruieren wir zunaºchst eine spezielle Riemannsche Metrik auf
M, bezuºglich der unser Operator
(4.2)
Lt L t2 df 2 t A , (Lemma 2.9) ,
lokal bei den kritischen Punkten von f eine einfache Gestalt annimmt. Da wir uns
fuºr den tiefliegenden Teil des Spektrums von Lt interessieren, genuºgt es Lt lokal bei
den kritischen Punkten von f zu betrachten (die Eigenfunktionen zu kleinen
Eigenwerten sind fuºr gro≠es t nur dort lokalisiert). Um nun die Bettizahlen
(4.3)
bp dim Ker Lt|Lp(M) , p 0,\,n , (Theorem 2.27) ,
nach oben abzuschaºtzen, verwenden wir das Theorem 3.3 uºber den quasiklassischen
Limes von Lt.
:
66 66
6 6
V
V
+
+
V
V
Nun also zur Konstruktion der speziellen Riemannschen Metrik auf M. Seien
{y(r)}Nr 1 die kritischen Punkte der Morse-Funktion f. Aufgrund des Morse-Lemmas
1.2.1 existieren in der Umgebung eines kritischen Punktes y(r) mit Indf(y(r)) k
Koordinaten x1,\,xn, so da≠ gilt
k
n
(4.4)
f(x1,\,xn) const
(xi)2
(xi)2 .
V
V
V
,
¡
i 1
V
+
¡
i k 1
V +
Indem wir nun dx1,\,dxn als orthonormal deklarieren, erhalten wir die euklidische
Metrik gij dij lokal um y(r). Da die kritischen Punkte isoliert sind, koºnnen wir,
mittels einer Zerlegung der Eins, obige lokalen Metriken bei den kritischen Punkten,
sowie beliebige Riemannsche Metriken auf den restlichen Bereichen von M zu einer
Riemannschen Metrik auf ganz M zusammensetzen.
V
Proposition 4.1 Sei (ª (x1,\,xn),U) eine Karte von M und sei gij dij die
j
euklidische Metrik auf U, dann gilt fuºr a v dxj1P\Pdx p Lp(U) mit supp v U
n s2v
j
j1
La
fa :=
dx
P
\Pdx p .
k
2
s(x )
V
6
V
V
¡
[
V,
/
J
,
k 1
V
BEWEIS Im Beweis von Lemma 2.9 hatten wir gezeigt
n
(4.5)
d
(ai)* i
i 1
62
¡
V
V
s
, vgl. (2.13) .
B
Die Fermionenerzeuger bzw. -vernichter (ai)* bzw. ai wurden in Definition 2.3 bzw.
Lemma 2.4 eingefuºhrt, der Operator i in (2.12). Es ist
n
*
(4.6)
d*
(ai)* i
s
B6 i¡1 K
n
¡
( i)* ai
i 1
n
i
¡
ia
i 1
n
¡
ai i
i 1
V
s
V
V
, (AB)* B*A*
s
V
V
V
,
,s
*
i
s
V
V,
66
(part. Integ.)
, [ i , aj] 0 fuºr gij
siehe (2.19) .
s
s
V
Nun ist
(4.7) L d*d dd*
V
i
V,s
V
dij
V
+
B i¡n 1ai iK B6 j¡n 1(aj)* jK B6 j¡n 1(aj)* jK B i¡n 1ai iK
n
n
¡
ai i (aj)* j ¡ (aj)* j ai i
i,j 1
i,j 1
n
n
¡
ai (aj)* i j ¡ (aj)* ai j i
, [ i6,6(aj)*]
i,j 1
i,j 1
n
¡
{ai6,6(aj)*} i j
i,j 1
n
¡
dij i j
i,j 1
n
2
¡
i
i 1
V ,
s
s
V
+
V
V,
s
s
,
V
s
,
s
V
s
V
s
V
V,
s
s
,
s
V
s
s
0 & (2.19)
V
V
V,
s
s
V
V,
s
s
V
V,
P
s
V
Lemma 4.2 Der Operator Lt eingeschraºnkt auf Lp(M) hat bezuºglich obiger spezieller
Metrik lokal bei einem kritischen Punkt y(r) von f mit Indf(y(r)) k die Gestalt
k
n
n
Lt
f 4 t 2 x2 2 t
[(ai)*,ai] 2 t
[(ai)*,ai] , x2 := (xi)2 .
66
[
V ,
+
,
6 i¡1
+
V
6i ¡k 1
V +
V
6 6i¡1
V
BEWEIS Nach Lemma 2.9 gilt Lt L t2 df 2 t A. Mit gij dij ergibt sich
(unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention und fi(x) := if(x))
(4.8) df(x) 2 <fi(x) dxi,fj(x) dxj> fi(x) fj(x) <dxi,dxj>
V
6
V
6
fi(x) fj(x) gij(x)
V
6
+
/
+ /
6 6
n
fi(x)6fj(x) dij ¡fi(x)2
i 1
V
V
V
63
V
6 6
V
s
¡
4 (xi)2
i 1
(4.4) n
V
4 x2
V
V
(4.9)
A(x) fij(x) [(ai)*,aj]
V
fii(x) [(ai)*,ai]
, (4.4)
V
2
V,
6i¡k 1 [(ai)*,ai] 2i 6¡nk 1[(ai)*,ai]
fij(x) 0 fuºr i j
V
W
.
+
V
&
V +
Sei a u dxj1P\Pdxjp Lp(U), dann ist
L(a) (d*d dd*) (u dxj1P\Pdxjp)
V
/
J
V
+
/
B k¡n 1 s(xs2ku)2 K dxj1P\Pdxjp
, Prop.4.1
V,
V
=:
fa
P
[
,
In Paragraph 2.3 hatten wir den selbstadjungierten Operator
(4.10)
H(t)
f t2 h t g
betrachtet. In unserem Fall sind nun
h(x) df(x) 2 4 x2
(4.11)
g(x) A(x)
k
n
2 [(ai)*,ai] 2
[(ai)*,ai]
[
V,
+
6 6
+
V
V
V
V,
6i¡1
+
V
6¡
i k 1
, (4.8)
, s. Lemma 2.9
, (4.9) .
V +
h erfuºllt insbesondere die in Paragraph 2.3 geforderten Eigenschaften. Es ist
s2h
i j
(4.12)
K(r)
f 12 H(r)
g(y(r))
, H(r)
ij := sxi sxj
ij x x
f 12 8 dij xi xj A(r)
f 4 x2 A(r) .
Wir wollen nun das Spektrum von K(r) berechnen. Hieraus ergibt sich dann das
Spektrum von r K(r), welches die asymptotischen Eigenwerte von Lt darstellt.
6
[
V ,
+
[
V ,
+
/
6
6
+
+
[
V ,
2
Der Operator
+
+
6
6
f 4 x2 wirkt auf alle p-Formen u dxj1P\Pdxjp gleich,
[
,
+
/
unabhaºngig vom Basiselement (dxj1P\Pdxjp) Lp(U). Er ist also ein skalarer
Operator. Angewendet auf die Koeffizientenfunktion u C (U) stellt er einen ndimensionalen harmonischen Oszillator mit den Eigenwerten
n
(4.13)
2 (ni 1) n1,\,nn N0
i 1
dar. Fuºr jeden dieser Eigenwerte gibt es also (np) unabhaºngige Eigenfunktionen
(Eigenformen)
j
j
(4.14)
y (dx 1P\Pdx p) , 1 j1<\<jp n ,
wobei y C (U) die Eigenfunktion des eindimensionalen harmonischen Oszillators
ist. Als naºchstes ist nun die Wirkung von A(r) auf eine p-Form zu berechnen.
J
r
J
T¡6
+
]
J
V
/
:
:
r
J
Proposition 4.3
u dxj1P\Pdxjp
, i {j1,\,jp} ,
(u
u dxj1P\Pdxjp , sonst .
BEWEIS 1. Fall i {j1,\,jp} (' ^ ' bedeutet das Weglassen des so gekennzeichneten
Terms)
ai (ai)* dxj1P\Pdxjp ai dxiPdxj1P\Pdxjp ai 0 0
[(ai)*,ai]
/
V
dxj1P\Pdxjp)
/
J
V
66
,
J
/
V
(ai)* ai
dxj1P\Pdxjp
V
(ai)*
V
¡(
k 1
p
1)k+1 dijk
dxj1
,
V
P\PdxjkP\Pdxjp
P
V
1)k+1 dii
(
V ,
P
dxi
dxj1
P\PdxjkP\Pdxjp
P
( 1)2 dxj1P\Pdxjp
, (k 1)-faches Vertauschen ,
V ,
d.h. [(ai)*,ai] 1.
2. Fall i {j1,\,jp}
(ai)* ai dxj1P\Pdxjp (ai)*
,
V
K
V
¡
p
¡(
k 1
p
o
P\PdxjkP\Pdxjp 0
( 1)k+1 dijk
k 1
0
ai dxi dxj1 \
V
,
V
ai (ai)* dxj1P\Pdxjp
dxj1
,
V
V
P\PdxjkP\Pdxjp
P
1)k+1 dijk
P
dxj1
V
V
P Pdxjp
( 1)1+1 gii dxj1P\Pdxjp
P
V ,
¡(
k 2
p 1
+
+
1)k+1 gijk-1
,
V
65
dxi
P
P\Pdxjk-1P\Pdxjp
dxj1
P
dxj1P\Pdxjp
V
¡(
l 1
p
+
o
Pdx P\PdxjlP\Pdxjp
1)l+2 dijl
0
jp
,
V
P
j1
dxi
V
dxj1P\Pdx ,
V
damit ist [(ai)*,ai]
V,
1.
6 6
P
Sei nun k := Indf(y(r)) und
I := {j1,\,jp} , J := {1,\,n} \I ,
(4.15)
K := {1,\,k} , L := {k 1,\,n} ,
l(r)(j1,\,jp) := #(J K) #(I K) #(J L #(I L) .
6 6
6 6
6 6
Proposition 4.4
1
2
6 6
6 6
D
,
D
A(r) (y dxj1P\Pdxjp)
/
+
,
D
+
D
j
l(r)(j1,\,jp)/(y/dx 1
P\Pdxjp)
V
BEWEIS
1 A(r) (y dxj1P\Pdxjp)
2
/
k
n
¡
[(ai)*,ai]6(dxj1P\Pdxjp) y ¡ [(ai)*,ai]6(dxj1P\Pdxjp)
i 1
i k 1
( y)6B#(I K) #(J K)K y6B#(I L) #(J L)K (dxj1P\Pdxjp)
B #(J K) #(I K) #(J L) #(I L) K y dxj1P\Pdxjp
y
V,
+
V
V
V
,
V
D
D
,
,
D
D
,
j
l(r)(j1,\,jp)/(y/dx 1
V
Damit gilt
Lemma 4.5
s(K(r))V{
+
D
D
+
+
,
D
D
/
P\Pdxjp)
n
¡
2(ni
i 1
+
1) 2
+
V
P
l(r)(j1,\,jp)|n1,\,nnJN0}
/
.
Wir interessieren uns fuºr den Eigenwert 0 von K(r), insbesondere fuºr dessen
Vielfachheit. Zunaºchst uºberlegen wir uns, da≠ gilt
Proposition 4.6 i)
ii) l(r)(j1,\,jp)
l(r)(j1,\,jp);,n
V,
n
)
,
Indf(y(r)) p und I := {j1,\,jp} K .
V
6 6
V
BEWEIS i) l(r)(j1,\,jp)
#(I K) #(J L)
k (n k)
n.
ii) ' ' Sei k p und I := {j1,\,jp} K, also ist J L und damit
l(r)(j1,\,jp) 0 k (n k) 0
n .
' ' Sei l(r)(j1,\,jp)
n, d.h. J K
und I L , zu zeigen ist zunaºchst
I K
I K (I K) (J K)
,J K
(I J) K
(K L) K
, I J K L {1,\,n}
K (L K)
K
K I.
J L (I L) (J L)
,I L
(I J) L
(K L) L
, I J K L {1,\,n}
(K L) L
L
L J
JC LC
I K , da JC I, LC K.
Also ist gezeigt {j1,\,jp} =: I K := {1,\,k}, also gilt p k := Indf(y(r)).
P
6 6
;,
%
V
D
D
;,
V
V
&
,
V,
,
,
V,
V
,
D
,
,
+
VL
V,
D
VL
V
D
V
D
V
E
V
V
E
E
D
D
VL
D
D
E
D
V
D
E
V
E
D
E
V
D
VL
E
V
E
V
E
V
V
&
B
D
V
E
D
V
D
E
D
V
&
B
&
B
&
6 6
B
V
V
6 6
V
V
6 6
Mit der Zusatzannahme n1,\,nn 0 erhalten wir im Fall von Proposition 4.6 ii)
den Eigenwert
n
(4.16)
2 2 ( n) 2n 2n 0 .
i 1
In jedem anderen Fall ergibt sich ein Eigenwert groº≠er Null. Also gelten
Lemma 4.7
1 , p Indf(y(r))
i)
dim Ker K(r)|Lp(M)
0 , sonst
V
¡
+
/ ,
V
,
V
V
V
ii)
dim Ker
r
2
V
K(r)|Lp(M)
V
V
cp .
Nun wenden wir das Theorem 3.3 uºber den quasiklassischen Limes von Lt an.
Dieses gilt nach [Ch, App. Se. 3] auch fuºr unseren Fall des Operators Lt definiert auf
p
D(Lt) L (M), dem Abschlu≠ der p-Formen auf der geschlossenen Mannigfaltigkeit
M bezuºglich des L2-inneren Produkts aus Lemma 1.6.
,
B
6
p
Seien also enp die Eigenwerte von rK(r)|Lp(M) und Enp(t) jene von Lt|D(Lt) ,
L (M) ,
jeweils gezaºhlt unter Beruºcksichtigung ihrer Vielfachheit und geordnet nach
aufsteigendem Wert. Dann ist
Epn(t)
(4.17)
lim
epn .
t
t
Hieraus folgt, da≠ fuºr gro≠e t nicht mehr Epn(t) gleich Null sein koºnnen, als epn gleich
Null sind, damit gilt
2
B
V
!r
Theorem 4.8 (sschwache Morse-Ungleichungen) cp bp , p 0,\,n .
BEWEIS
bp dim Ker Lt |Lp(M)
, Theorem 2.27
# {Epn(t) 0}
, Def. von Epn(t)
# {epn 0}
, aus (4.17)
dim Ker( r K(r)|Lp(M) )
, Def. von epn
cp
, Lemma 4.7 ii)
V
V
:
6
6
;
6
V
V
V
V
2
6
V
P
Es ist epcp 1 der erste Eigenwert von rK(r)|Lp(M) ungleich Null. Fuºr gro≠es t
waºchst daher Epn(t) wie t fuºr n cp 1. Von den restlichen Eigenwerten
{Ep1(t),\,Epcp(t)} wissen wir, da≠ die ersten bp Null sind. Wir nennen
(4.18)
{Epbp 1(t),\,Epcp(t)}
die tiefliegenden Eigenwerte.
2
+
;
+
+
2.5 Supersymmetrie
Definition 5.1 [CFKS, Abschn. 6.3] Sei h ein Hilbertraum und H,Q seien
selbstadjungierte Operatoren auf h. P sei ein selbstadjungierter beschraºnkter
Operator auf h. Wir sagen das System (H,Q,P) besitze Supersymmetrie, falls gilt
i) H Q2 0 ,
ii) P2 Id ,
iii) {Q,P} := QP PQ 0 .
V
;
V
+
V
(In Paragraph 1.3 hatten wir P mit ( 1)NF bezeichnet.) Aus P2 Id und der
Selbstadjungiertheit von P folgt
(5.1)
Spec P { 1, 1} .
Die zugehoºrigen Eigenraºume bezeichnen wir mit
hf := {ª h|Pª
ª} ,
(5.2)
hb := {ª h|Pª ª} ,
wir erhalten die Zerlegung
Idf 0
.
(5.3)
h hf hb , P
0 Idb
,
6
V
V
+
,
J
V,
J
V
,
V
2
V
Die Elemente von hf nennen wir fermionische Zustaº nde, jene von hb bosonische
Zustaº nde. Wir bezeichnen im folgenden Idf und Idb der Einfachheit halber mit 1.
Aus
0 {Q,P} QP PQ
V
V
+
V
10
0 1
A B
C D
,
folgt A 0 und D 0, d.h.
0 B
(5.4)
Q
C 0
V
V
und Q*
V
10
0 1
A B
C D
0 C*
B* 0
,
,
+
V
die Selbstadjungiertheit von Q liefert dann C B*, d.h.
V
(5.5)
Q
V
0 B
B* 0
Es gelten offenbar
69
.
2A 0
0 2D
,
V
B : hb hf ,
B* : hf hb ,
(5.6)
Q : hb hf ,
Q : hf hb ,
d.h. Q macht aus fermionischen Zustaºnden bosonische und umgekehrt. Aus i) und
(5.5) erhalten wir
BB* 0
2
(5.7)
H Q
,
0 B*B
!
!
!
!
V
V
wir sehen, da≠ hf und hb invariant unter H sind, sowie da≠ gilt
(5.8)
[P,H] 0 .
V
Die (zunaºchst formal definierte) Groº≠e
(5.9)
Indsup(H) := dim Ker(H|hb) dim Ker(H|hf)
hei≠t supersymmetrischer Index von H.
,
Das naºchste Theorem besagt, da≠ zu nichtverschwindenden Eigenwerten von H
dieselbe Anzahl von bosonischen und fermionischen Eigenfunktionen existiert.
Theorem 5.2 [CFKS, Thm. 6.3] Das System (H,P,Q) besitze Supersymmetrie, dann
gilt fuºr jede beschraºnkte offene Menge O (0, )
dim (EO(H) hb) dim (EO(H) hf) ,
wobei EO(H) den Spektralprojektor von H auf O bezeichnet.
BEWEIS Mit P seien die Spektralprojektoren von P auf hb bzw. hf bezeichnet,
d.h.
6
B
r
6
V
0
(5.10) P+
V
Weiter seien
(5.11)
0 0
0 1
und P
,
V
1 0
0 0
, P P+ P
V
6
EO (H) := EO(H) P
0
0
,
,
, Id P+ P .
V
+
,
.
Die Vertauschbarkeit von P und H (5.8) ist per definitionem [RSI, Se. VIII.5]
aºquivalent zur Vertauschbarkeit aller Spektralprojektoren von P und H,
insbesondere gilt also
(5.12)
[EO(H),P ] 0 und [EO(H),P ] 0 .
Hieraus folgt durch Addition
[EO(H),P] 0 .
Da O (0, ) als beschraºnkt vorausgesetzt wurde, ist H^ := H|EO(H)h ein
beschraºnkter Operator und, wegen Q2 H, ist auch Q^ := Q|EO(H)h beschraºnkt. Aus
Q^ 2 H^ ergibt sich
(5.13)
[Q^ ,H^ ] 0 .
Nun liefert [RSI, Thm. VII.2 g) spectral theorem - functional calculus form] die
Existenz eines *-Homomorphismus f^ : b(R) l(EO(H)h), f f^ (f), wobei b(R) die
beschraºnkten Borelfunktionen auf R und l(EO(H)h) die beschraºnkten linearen
Operatoren auf EO(H)h bezeichnet. Weiter gilt f^ (f) H^ und
(5.14)
[Q^ ,H^ ] 0
[Q^ ,f^ (f)] 0 .
Sei f(x) cO(x), dann ist f^ (f) f^ (cO) EO(H^ ), also
(5.15)
[Q^ ,EO(H^ )] 0 ,
das hei≠t
(5.16)
[Q,EO(H)]|EO(H)h 0 .
+
,
V
V
V
B
6 6
6 6
r
V
V
V
66 6 6
6 6
!
*
V
V
V
V
&
V
V
V
V
Weiterhin benoºtigen wir die Resultate
QP+
V
(5.17)
QP
,
V
0 B*
B 0
0 0
0 1
0 B*
B 0
1 0
0 0
V
V
0 B*
0 0
0 0
B 0
V
V
1 0
0 0
0 B*
B 0
0 0
0 1
0 B*
B 0
P Q ,
,
V
P+Q .
V
Nun gilt auf EO(H)h
(5.18)
Q EO (H) Q EO(H) P
, (5.11)
Q P EO(H)
, (5.12)
P Q EO(H)
, (5.17)
P EO(H) Q
, (5.16)
EO(H) P Q
, (5.12)
EO (H) Q
, (5.11) .
Wegen 0 O ist Q invertierbar auf EO(H) h und aus (5.18) ergibt sich auf EO(H)h
6
0
V
V
V
V
V
V
K
6 6
6 6
66
6 6
6 6
6
0
0
1
1
1
1
6
6
6
(5.19)
EO (H) Q-1 EO (H) Q ,
woraus folgt
(5.20)
dim Ran EO (H) dim Ran EO (H) .
Nun ist
(5.21)
dim Ran E+O (H) dim (EO(H) P+ h) dim (EO(H) hb)
und analog
(5.22)
dim Ran EO (H) dim (EO(H) hf) .
Also gilt
(5.23)
dim (EO(H) hb) dim (EO(H) hf) .
0
V
0
1
1
V
6 6
V
,
6
V
6
6
V
6
V
P
Beispiel 5.3 Sei Mn wie zuvor eine glatte geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit
der Dimension n, weiter seien
n
(5.24)
h := p 0L p(M) , siehe Paragraph 2.1 ,
,
2
V
(5.25)
L := d*d dd* : D(L) L p(M) L p(M) , siehe Def. 1.19 .
Nach Thm. 1.20 ist L selbstadjungiert
L L*(1.38) (f)*
,
*
*
*
,
(d d dd )
*
(d*d dd*)
,2
d**d* d*d**
,
d d* d*d
,3
(d d*)2
, Prop. 1.18
(5.26)
=: Q2 : D(L) L p(M) h
.
Es ist
(5.27)
Q d d*
, per def. (5.26)
**
*
d (d )
, [RSI, Thm. VIII.1 b) , c)]
(d* d )*
, * linearer Operator
Q*
.
,
B
+
,
!
,
V
V
V
+
V
+
V
+
,
V
V
,
+
,
+
,
B
!
,
V
+
66
,
V
+
V
,
+
V
,)*Vf* f & (f
3d & ,
d Vd** 2
72
Nach Theorem 1.20 ist L L* und nach Proposition 1.21 ist L 0, damit ist also i)
in Definition 5.1 erfuºllt. Mit
(5.28)
P := ( 1)p Id : L p(M) L p(M)
gilt
(5.29)
P2 ( 1)2p Id Id : L p(M) L p(M) ,
also Spec P { 1}, d.h. P ist beschraºnkt und somit ist ii) in Definition 5.1 erfuºllt.
Die Aussage iii) sehen wir wie folgt ein: Sei oBdA y Lp(M) (siehe Prop. 1.17),
dann gilt
(5.30) {Q,P}y QPy PQy
,
( 1)pQy P(Qy)
, (5.28)
( 1)pQy P(d*y dy)
, y Lp(M)
( 1)pQy P(y1 y2)
, y1 := d*y Lp-1(M)
, y2 := dy Lp+1(M)
( 1)pQy ( 1)p 1y1 ( 1)p 1y2
( 1)pQy ( 1)p 1(y1 y2)
, ( 1)p-1 ( 1)p+1
( 1)pQy ( 1)p 1Qy 0
, QED .
Es wurde also gezeigt
Proposition 5.4 Das System (L,P,Q) besitzt Supersymmetrie.
V
;
,
,
/
,
!
,
6
V ,
V
/
,
V
!
0
J
V
+
V ,
+
V ,
+
V ,
+
+
J
6 6
6 6
+
,
V ,
+ ,
V ,
+ ,
V ,
+ ,
J
J
+
+ ,
+
+
,
V ,
+
V
6
Beispiel 5.5 Seien Mn, h und P wie in Beispiel 5.1 , weiter sei
(5.31)
Lt := dtdt* dt*dt : D(L) L p(M) L p(M) .
Wie zuvor ergeben sich
(5.32) Lt Qt2 0 mit Qt dt dt* dt dt* : D(L) L p(M) h
(5.33)
P2 Id und {Qt,P} 0 ,
Lt und Qt sind selbstadjungiert, P ist selbstadjungiert und beschraºnkt. Damit gilt
die
Proposition 5.6 Das System (Lt,P,Qt) besitzt Supersymmetrie.
,
B
+
V
;
V
V
+
,
!
,
V
+
,
B
V
!
6
Wir benutzen nun dieselbe Notation wie in Paragraph 2.4 . Sei cp bp fuºr
mindestens ein p aus {0,\,n} ; sonst waºren die starken Morse-Ungleichungen
trivialerweise erfuºllt. Sei
(5.34)
E { Epbp+1(t),\,Epcp(t) } ,
d.h. E ist ein tiefliegender Eigenwert von Lt ( und insbesondere E 0). Sei O R
ein Intervall um E, das keine weiteren Eigenwerte von Lt enthalte. (Es sei daran
erinnert, da≠ Spec Lt [0, ) diskret ist. Fuºr L sehen wir dies anhand der
Darstellung von L mittels Spektralprojektoren (1.55), fuºr Lt gilt eine analoge
Formel). Theorem 5.2 besagt
(5.35)
dim ( EO(Lt) p ungL p(M) ) dim ( EO(Lt) p gerL p(M) ) .
Es ist
Eigenraum von Lt zum Eigenwert E,
(5.36) dim ( EO(Lt) p ungL p(M) ) dim ( eingeschra
º nkt auf die ungeraden Anteile )
6
W
J
+
W
6
B
B
r
,
2
,
2
V
,
2
V
¡ dim Ker ( (Lt
V
p ung
E Id)|D(L )
,
/
t
L
und analog fuºr p gerade.
Gleichung (5.35) liefert also fuºr jeden tiefliegenden Eigenwert E
(5.37)
dim Ker ( (Lt E Id)|D(L ) L p(M) )
dim Ker ( (Lt E Id)|D(L )
t
¡ 6 66
p ung
,
/
,
B
6 p¡ger 6 6 6
V
,
/
6
p(M) )
,
B
t
L
6
p(M) ).
,
B
In Worten hei≠t das: Die tiefliegenden Eigenwerte von Lt treten in Paaren (p gerade,
p ungerade) auf, d.h. zu jedem tiefliegenden Eigenwert Epk(t) mit p gerade gehoºrt ein
Epk (t) mit p ungerade und es ist
(5.38)
Epk(t) Epk (t) .
Die tiefliegenden Eigenwerte von Lt sind also in (SSuper-) Multipletts gleichen
Betrags angeordnet, wobei die einzelnen Multipletts eine gerade Anzahl von
tiefliegenden Eigenwerten enthalten.
m
m
m
m
V
m
2.6 Beweis der starken Morse-Ungleichungen
Die Anzahl der geraden tiefliegenden Eigenwerte (in (4.18) definiert) ist gegeben
durch
(6.1)
(cp,bp) ,
p ger
die der ungeraden durch
(6.2)
(cp,bp) .
¡
¡
Aufgrund der Paarungen (p gerade6,6p ungerade) der tiefliegenden Eigenwerte (siehe
p ung
(5.38)) gilt
(6.3)
Hieraus folgern wir
n
(6.4)
( 1)p cp
¡
p 0
,
V
¡(cp,bp)) = p¡ung(cp,bp)
.
p ger
6 p¡n 0( 1)p6cp p¡ger(cp,bp) p¡ung(cp,bp) , (6.3)
¡cp p¡ungcp p¡gercp p¡gerbp p¡ungcp p¡ungbp
p ger
n
¡
( 1)p6bp .
p 0
V
,
,
+
V
V
,
V
,
+
+
,
,
V
Dies beweist das Theorem 1.2.2 ii).
p
Sei Xpt L (M) der (cp,bp)-dimensionale Eigenraum der tiefliegenden Eigenwerte { Epbp 1(t),\,Epcp(t) } . Wie in (5.32) sei Qt := dt dt* mit D(Qt) D(L)
n L p(M).
p 0
6
6
,
B
66
+
,
2
V
6 6
,
+
V
Proposition 6.1 Qt2 Lt
Qt erhaºlt die Eigenraºume von Lt .
BEWEIS Sei x Eigenvektor von Lt zum Eigenwert l, d.h. Ltx
zeigen: Qtx ist Eigenvektor von Lt zum selben Eigenwert l
Lt(Qtx)(QtQt)Qtx QtLtx Qt(lx) l(Qtx) .
V
B
&
lx,
V
V
V
V
dann ist zu
P
Da die Eigenwerte Epn(t) von Lt mit n>cp nach (4.17) staºrker in t anwachsen als die
tiefliegenden Eigenwerte, gilt
Epn(t)>Epm(t) , n,m mit n>cp , bp+1 m cp , t 1 .
M
:
:
=
Damit gilt
(6.5)
Qt : Xpt
!
p 1
Xt
p 1
Xt
,
2
.
+
Proposition 6.2 Ker Qt Ker Lt .
BEWEIS ' ' Sei x Ker Qt, dann ist Ltx QtQtx 0 .
' ' Sei x Ker Lt , dann gilt (oBdA nehmen wir an x D(Lt) L p(M))
0 <x,Ltx>p <x,QtQtx>p <Qt*x,Qtx>p <Qtx,Qtx>p ,
woraus mit der Selbstadjungiertheit von Qt, sowie der Nichtdegeneriertheit des
inneren Produkts folgt x Ker Qt .
P
V
B
C
J
6 6
J
6
V
V
6
,
D
J
V
V
V
6 6
J
6 6
V
6
Es folgt aus dim Ker (Lt|Lp(M)) bp (Thm. 2.27), da≠ gilt Ker (Lt|Xpt) {0}, also
folgt mit Proposition 6.2 : Qt ist auf np 0 Xpt injektiv. Folgende Abbildungen sind
also ebenfalls injektiv
6
2
Qt :
(6.6)
Qt :
6
V
2j 1 l
X
l 1 t
l ung
2j
,
2
!
V
2j
2
l 0
l ger
V
Xlt
V
Xl
l 0 t
l ger
, j N ,
2
J
V
2j 1 l
X
l 1 t
l ung
+
!
V
2
V
, j N ,
J
hieraus folgern wir, da≠ die Dimensionen der beiden Raºume auf der rechten Seite
nicht kleiner sind, als jene des entsprechenden Raumes der linken Seite. Es ergeben
sich also
(c1 b1) \ (c2j 1 b2j 1) (c0 b0) \ (c2j b2j) ,
(6.7)
(c0 b0) \ (c2j b2j) (c1 b1) \ (c2j 1 b2j 1) .
Anders geschrieben
b0 b1 b2 \ b2j 1 b2j c0 c1 \ c2j 1 c2j ,
(6.8)
b0 b1 b2 \ b2j b2j 1
c0 c1 \ c2j c2j 1 .
Diese Gleichungen sind aºquivalent zu
m
m
(6.9)
( 1)k+m bk
( 1)k+m ck , 0 m n ,
k=0
k=0
was zu zeigen war.
,
,
+
+
,
+
+
,
,
+
,
,
+
,
+
,
¡
,
,
,
,
:
,
+
+
:
,
,
+
:
+
6 ¡
:
,
:,
,
+
+
+
+
6
+
+
,
,
:
,
,
,
,
+
+
+
+
:
Bemerkung 6.3 Der supersymmetrische Index von Lt (5.9) ergibt sich hier zu
(6.10)
Indsup(Lt) dim Ker(Lt|2,
p )
L (M)
V
¡
( 1)k6bk
k=0
n
V
6
p ger
,
dim Ker(Lt|2 ,
p )
L (M)
6
p ung
,
c(M)
.
c(M) ist die Eulercharakteristik der Mannigfaltigkeit M. Sie haºngt von der
Topologie von M ab. Wir sehen also, da≠ Indsup(Lt) gar nicht von Lt abhaºngt,
insbesondere nicht von der zur Konstruktion von Lt verwendeten Morse-Funktion f,
sondern lediglich von der Topologie von M. (Weiter laº≠t sich zeigen, da≠ Indsup(Lt)
gleich dem Index von d bzw. dt ist, siehe (1.3.13)).
V
Sei (Mn,g) eine n-dimensionale, glatte, kompakte, orientierte Riemannsche
Mannigfaltigkeit und fJCr(M,R) eine Morse-Funktion. Die Loºsungen des Anfangswertproblems der gewoºhnlichen Differentialgleichung
/g(t)V,zf(g(t)) , g(t)Vp ,
(0.1)
definieren durch ftp6:=6g(t) eine einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen
ft6:6M6!6M6, genannt der negative Gradientenflu≠.
Definition und Satz 0.1
i) Crit6f := {xJM|df(x)V0}
Critk6f := {xJCrit6f|Indf(x)Vk}
ck := #6Critk6f
s
ii) Sei xJCrit6f, dann hei≠t Wu(x)6:=6{pJM|limt!0r6ftpVx} stabile bzw. instabile
Mannigfaltigkeit von x (im Fall eines Gradientenflusses ist Wu(s)(x) eine
Untermannigfaltigkeit von M der Dimension Indf(x) bzw. n,Indf(x) [We, Lemma
1.3.9]).
iii) Seien Va,Wb Untermannigfaltigkeiten von Mn. Wir sagen V und W schneiden sich
transversal, falls MpJVDW gilt TpV+TpWVTpM. In diesem Fall ist VDW eine
Untermannigfaltigkeit von M der Dimension a+b,n [H, Ch. 3].
Wir sagen das Tupel (f,g) erfuºllt die Morse-Smale Bedingung, falls fuºr den negativen
Gradientenflu≠ bezuºglich (f,g) gilt: Wu(x) und Ws(y) schneiden sich transversal
Mx,yJCrit6f.
78
iv) Seien x,yJCrit6f und Wu(x) und Ws(y) schneiden sich transversal, dann hei≠t
m(x,y)6:=6Wu(x)DWs(y) die x mit y verbindende Mannigfaltigkeit. Sie ist nach iii)
eine Untermannigfaltigkeit von M der Dimension Indf(x),Indf(y).
v) Sei f(y)<a<f(x) ein regulºarer Wert von f (d.h. MpJf-1(a) gilt df(p)W0), dann
^ (x,y)6:=6m(x,y)Df-1(a) Orbitraum von x und y. Dieser ist eine
hei≠t m
Untermannigfaltigkeit von M der Dimension dim6m(x,y),1 [We, Gl. (2.1.28)]. Im
Fall von dim6m^ (x,y)V0 hei≠en die Elemente von m^ (x,y) isolierte Orbits von x
nach y.
Beispiel 0.2 Wir wollen die eben definierten Begriffe fuºr MVS2BR3 veranschaulichen.
g sei die vom R3 auf S2BR3 induzierte Metrik, f6:6S26!6R sei gegeben durch (x,y,z)6*6z
Figur 0.1
DER MORSE-WITTEN KETTENKOMPLEX
Wir nehmen im folgenden an, da≠ (f,g) die Morse-Smale Bedingung erfuºllt. Die
Gruppen
(0.2) Ck(f,g) :=xJ2
Z <x> , kJ{0,\,n}6, Ck(f,g) := 0 MkJZ\{0,\,n}6,
Critkf 2
hei≠en k-te Kettengruppen. Sie sind per definitionem von den Elementen von Critk6f
frei abelsch erzeugt, <x> bezeichnet einen Erzeuger. Beachte: Die Ck(f,g) sind
endlich erzeugt, denn aus der Kompaktheit von M und der Stetigkeit von f folgt
#Crit6f<r [We, Prop. 1.2.5]. Da wir zunaºchst nur Koeffizienten in Z2 zulassen,
koºnnen wir die Forderung der Orientierbarkeit von M an dieser Stelle streichen.
Seien nun x,yJCrit6f mit Indf(x),Indf(y)V1, also ist dim6m^ (x,y)V0 und
wir definieren
(0.3)
n2(x,y) := #m^ (x,y) (mod 2) .
Weiter definieren wir einen Gruppenhomomorphismus durch Fortsetzung von
sk : Ck(f,g) ! Ck-1(f,g)
(0.4)
<x> * ¡ n2(x,y) <y>
JCritk-1f
y
sk6:=60 , MkJZ\{1,\,n} ,
(d.h. sk zaºhlt die x mit y verbindenden Orbits modulo 2). Die Endlichkeit der Summe
hatten wir bereits gezeigt, es bleibt die Endlichkeit von #m^ (x,y) in (0.3) zu zeigen,
denn sonst ist n2(x,y) nicht wohldefiniert. Dies geschieht in Paragraph 3.16.
Der Gruppenhomomorphismus sk hei≠t Randoperator, falls sk-1vskV0 MkJZ.
Dies zeigen wir in Paragraph 3.16. (Ck(f,g),sk)kJZ bildet also einen algebraischen
Kettenkomplex und wir koºnnen seine zugehoºrigen Homologiegruppen HMk(f,g,M;Z2)
definieren als Ker6sk/Im6sk+16.
In Paragraph 3.2 zeigen wir die Unabhaºngigkeit dieser Homologiegruppen von f
und g. Dies geschieht mittels einem kanonischen Kettenhomomorphismus
yba
/ 6:6Ck(fa,gaa)6!a 6Ck(fb,gb), der aufb bHomologieniveau einen Isomorphismus darstellt,
d.h. HMk(f ,g ,M;Z2)Y HMk(f ,g ,M;Z2), MkJZ. Es genuºgt daher die Bezeichnung
HMk(M;Z2) fuºr die Morse-Homologie von M mit Koeffizienten in Z2. Zur Konstruktion
von yba
/ betrachten wir einen 1speziellen Morse-Witten Komplex (Ck(F,G,S),fk)kJZ
fuºr die Mannigfaltigkeit M6x6S (SY[,1,1]/{01}). Die Morse-Funktion F, sowie die
Metrik G auf M6x6S1 definieren wir mittels Homotopien zwischen fa und fb bzw. ga und
gb. Die Einschraºnkung von F und G auf M6x60 bzw. M6x61 liefert die urspruºnglichen
Morse-Witten Komplexe (Ck(fa,ga,sa),sak )kJZ bzw. (Ck(fb,gb,sb),sbk )kJZ6. yba
/ <x>
zaºhlt nun die <(x,0)> mit <(y,1)> verbindenden Orbits bezuºglich des negativen
Gradientenflusses von F auf M6x6S1. Um die Unabhaºngigkeit des induzierten
Homomorphismus yba
* von der Wahl der zu seiner Konstruktion gewaºhlten Homotopien
zu zeigen, benutzen wir 2-Parameter Homotopien und betrachten einen Morse-Witten
Komplex auf M6x6S16x6S1. Es folgt das Resultat, da≠ yba
* ein Isomorphismus ist.
In Paragraph 3.3 skizzieren wir einen Beweis der Isomorphie von HMk(M;Z2)
sing
und Hk (M;Z2), der singulaºren Homologie von M. Die Idee ist eine zu einer glatten
Triangulierung von M assoziierte Morse-Funktion zu konstruieren und den simplizialen
Randoperator zu imitieren.
Bemerkung 0.3 Wir koºnnen die Kettengruppen auch mit Koeffizienten in Z definieren
(falls M orientierbar ist): Sei M fest orientiert und xJCrit6f, dann bezeichnen wir mit
<x> den Erzeuger x zusammen mit einer beliebig aber fest gewaºhlten Orientierung
von Eux6:=6TxWu(x). (Da Wu(x) kontrahierbar ist, ist TWu(x) ein triviales Vektorbuºndel
und <x> induziert daher eine Orientierung von TWu(x). <x> induziert auch eine
Orientierung von TxWs(x), denn es ist TxMVTxWu(x)2TxWs(x), und damit von
TWs(x)). s bezeichne eine Wahl der Orientierung von Euy MyJCrit6f.
Seien x,yJCrit6f mit Indf(x)>Indf(y), dann ist m(x,y) in natuºrlicher Weise
orientiert, denn wir haben die kurze exakte Sequenz von Vektorbuºndeln
j
0 ! Tm(x,y) !i TmWu(x)2TmWs(y) ! TmM ! 0
(0.5)
i : (p,x) * ((p,x),(p,,x))
j : ((p,x),(p,j)) * (p,x+j)
(bis auf Tm(x,y) sind alle vorkommenden Vektorbuºndel orientiert, also wird nach [Hi,
Ch. 4, Lemma 4.1] eine Orientierung von Tm(x,y) induziert). Wir koºnnen dies auch
folgenderma≠en ausdruºcken: Aus der Transversalitaºtsbedingung
(0.6)
dim TpWu(x)+dim TpWs(y)Vdim TpM+dim Tpm(x,y)
ergibt sich ein Isomorphismus
(0.7)
TpWu(x)/Tpm(x,y)YTpM/TpWs(y)
und die Orientierung von Tpm(x,y) ist jene Orientierung, die obigen Isomorphismus
orientierungserhaltend macht. Die Zusammenhangskomponenten von m(x,y) sind
kontrahierbar und daher ist jede Zusammenhangskomponente von m(x,y) durch die
Orientierung von Tpm(x,y) orientiert, wobei p ein Element dieser
Zusammenhangskomponente sei.
Im Fall Indf(x),Indf(y)V1 ist jede Zusammenhangskomponente ui von
m(x,y) eine 1-dimensionale kontrahierbare Untermannigfaltigkeit von M; durch den
negativen Gradientenflu≠ wird eine weitere Orientierung auf ihr induziert. Jede
Zusammenhangskomponente uiJm(x,y) korrespondiert zu genau einem Element
u^ iJm^ (x,y). Wir ordnen nun jedem Orbit u^ iJm^ (x,y) ein charakteristisches Vorzeichen
nuiJ{01} durch folgende Bedingung zu: Sei pJui, dann gelte
[,nui/zf(p)/R]V[Tpm(x,y)] ,
wobei [/] die Orientierung der Vektorraºume bezeichne. Die Orientierung der linken
Seite ist also durch den negativen Gradientenflu≠ und das charakteristische Vorzeichen
bestimmt, jene der rechten Seite durch (0.7), also letztendlich durch die Wahl s.
Nun definieren wir
(0.8)
n(x,y) := ¡ nuJZ .
Jm u
xy
In den Kettengruppen lassen wir nun Koeffizienten in Z zu und bezeichnen sie mit
Ck(f,g,s). In der Definition von sk (0.4) ersetzen wir n2(x,y) durch n(x,y).
Bemerkung 0.4 Aus dem in Paragraph 3.3 skizzierten Isomorphismus
HM*(M;Z)YHsing
* (M;Z) ergeben sich sofort die schwachen Morse-Ungleichungen:
(0.9)
ckV#{Erzeuger von Ck(f,g,s)}
;#{Erzeuger von HMk(M;Z)}
V#{Erzeuger von HMsing
k (M;Z)}
Vbk .
Die starken Morse-Ungleichungen erhalten wir aus Theorem 1.2.46, denn obiger
Isomorphismus besagt bk(s_)Vbk6.
3.1 Der kanonische Randoperator
In diesem Paragraphen geht es darum zu zeigen, da≠ der zuvor in (0.4) definierte
Gruppenhomomorphismus sk6:6Ck(f,g,s)6!6Ck-1(f,g,s) ein Randoperator ist, d.h. da≠
gilt
Theorem 1.1 [Mi,Fl1,Sa,Po,Sch,We] sk-1vskV0 , MkJZ .
Der detaillierte Beweis dieses Theorems ist Inhalt von [We], er orientiert sich am
folgenden von A. Floer im Zusammenhang mit der Floer-Homologie aufgestellten
Programm [Fl2]
_Transversalitaºt
_Kompaktheit
_Glueing (Verkleben von Orbits).
Bemerkung 1.2 Die Floer-Homologie ist eine unendlich dimensionale Verallgemeinerung
der hier betrachteten Morse-Homologie. Die Rolle von M wird vom Schleifenraum LM
(r-dimensional, M ist hier eine symplektische Mannigfaltigkeit mit symplektischer
Form o und p2(M)aV0), jene von f vom symplektischen Wirkungsfunktional AH
uºbernommen
AH : LM ! R
1
*
g * $ u o+$Ht(g(t)) dt ,
D
2
0
wobei Ht eine Zeit-1-periodische Hamiltonfunktion auf M ist und u6:6D26!6M eine
Fortsetzung von g6:6S16!6M auf D2 darstellt. Hierbei wird vorausgesetzt, da≠ LM aus
kontrahierbaren Schleifen bestehe. Im Falle der Zeitunabhaºngigkeit von Ht6, sowie einer
Nichtdegeneriertheitsbedingung wird HtVH zu einer Morse-Funktion auf M. Dieser
Spezialfall fuºhrt auf den Morse-Witten Komplex.
Vor kurzem erweckte die Floer-Theorie das Interesse von theoretischen Physikern, die
sich mit String-Theorie beschaºftigen, siehe z.B. [Va].
TRANSVERSALITAºT
Die Morse-Smale Bedingung, die fuºr die Wohldefiniertheit von sk notwendig ist,
wird im Allgemeinen nicht erfuºllt sein:
Beispiel 1.3 Wir betrachten noch einmal den Fall des senkrecht in den R3 eingebetteten
2-Torus T2 mit der durch diese Einbettung induzierten Metrik g, siehe Beispiel 1.2.56.
Die Morse-Funktion sei die Hoºhenfunktion f6:6T26!6R6, (x,y,z)6*6z6. Sie hat vier kritische
Punkte M,s1,ss,m mit Indizes 2,1,1,06.
Figur 1.1
Offenbar ist Wu(s1)DWs(s2)Vl1El26, d.h. wir haben zwei s1 und s2 verbindende Orbits.
Da Wu(s1) und Ws(s2) 1-dimensional sind, kann ihr Schnitt nicht transversal sein, d.h.
die Morse-Smale Bedingung ist nicht erfuºllt.
Durch eine beliebig kleine Stoºrung der Situation in Figur 1.1 koºnnen wir jedoch
Transversalitaºt erreichen: Wir kippen den Torus ein wenig wie in Figur 1.2 dargestellt.
Figur 1.2
84
Es gibt nun keine s1 und s2 verbindenden Orbits mehr, d.h. die Morse-Smale Bedingung
ist nun erfuºllt.
Wir koºnnen im Allgemeinen durch kleine Stoºrungen einer nichttransversalen
Situation eine transversale Situation erreichen. Dies ist die Aussage des folgenden
Theorems von Smale, welches sich aus den beiden bekannten Theoremen A und B in
[Sm] ergibt.
Theorem 1.4 (SSmale) Die Menge der Vektorfelder, die der Morse-Smale Bedingung
genuºgen, liegen C1-dicht in Gradr(M) der Menge der glatten Gradientenvektorfelder.
Jede Stoºrung von (f,g) zu (f~ ,g~ ), so da≠ zg~f~ C1-nahe bei zgf liegt und der MorseSmale Bedingung genuºgt, fuºhrt aufgrund der natuºrlichen Isomorphismen aus Paragraph
3.2 zu isomorphen Morse-Homologiegruppen. Wir gehen daher im folgenden oBdA
davon aus, da≠ die Morse-Smale Bedingung fuºr (f,g) erfuºllt sei.
KOMPAKTHEIT
Wir untersuchen nun die Orbitraºume m^ (x,y) auf Kompaktheit. Dies fuºhrt im
Fall der Indexdifferenz 1 auf #m^ (x,y)<r und damit zur Wohldefiniertheit von
n2(x,y) (0.3) bzw. n(x,y) (0.8). Jedes Element u^ Jm^ (x,y) repraºsentiert genau einen
Orbit von x nach y, weiter sei
o : m^ (x,y) ! M
u^ * u := o(u^ ) := f u^ .
^ (x,y) hei≠t kompakt bis auf (l,1)-fach gebrochene Orbits, falls fuºr
Definition 1.5 KBm
jede Folge {p^ i}iJNBK gilt: Entweder besitzt {p^ i}iJN eine (in K) konvergente Teilfolge,
oder es existieren kritische Punkte xVx0,\,xlVy6, 2:l:Indf(x),Indf(y) und xj-1
^ (xj-1,xj)6, jV1,\,l6, so da≠ p^ i6!6(q^1,\,q^l) fuºr i!r.
mit xj verbindende Orbits q^jJm
Die Morse-Smale Bedingung liefert Indf(x0)>\>Indf(xl)6, insbesondere also
lJIndf(x),Indf(y). Die vorige Konvergenz ist folgenderma≠en definiert
Me>0 NIJN Mi>I : o(p^ i)BUe( Elj=1o(q^j) ) .
85
Im Fall der Indexdifferenz 2 koºnnen wir uns die Situation so veranschaulichen
Figur 1.3
^ (x,y) ist kompakt bis auf gebrochene Orbits der
Theorem 1.6 [We, Thm. 2.2.1] m
Ordnung l, lJ{1,\,Indf(x),Indf(y)} geeignet.
^ (x,y)<r.
Korollar 1.7 Im Fall Indf(x),Indf(y)V1 gilt #m
BEWEISIDEE Einerseits folgt die Aussage aus Theorem 1.6, Definition 1.5 (es trifft der
'Entweder'-Fall zu) und der Kompaktheit von M. Andererseits koºnnen wir sie auch so
motivieren (das ist auch die Beweisidee fuºr Theorem 1.6): Es ist dim6m^ (x,y)V0, also
ist m^ (x,y) eine diskrete Punktmenge. Angenommen #m^ (x,y) ist unendlich, dann
besitzt m^ (x,y) aufgrund der Kompaktheit von M einen Haºufungspunkt p^ . Es bleibt zu
zeigen p^ Jm^ (x,y) und wir haben einen Widerspruch zur Diskretheit der Elemente von
m^ (x,y) (denn m^ (x,y) ist ja eine 0-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M). Im Fall
eines Gradientenflu≠es verbindet der Orbit durch p^ o(p^ )6=:6p zwei kritische Punkte von
f, welche im Abschlu≠ von m^ (x,y) liegen. Wie in [We, Abschn. 2.2] detailliert
ausgefuºhrt, folgern wir die Existenz von weiteren kritischen Punkten z0,\,zl und
verbindenden Orbits q^ jJm^ (xj,xj-1)6, jV1,\,l6. Es mu≠ gelten z0Vx,\,zlVy und aus
Indf(x),Indf(y)V1 folgt nun lV1, d.h. p^ Jm^ (x,y).
Figur 1.4
P
GLUEING (VERKLEBEN VON ORBITS)
Wir betrachten im folgenden den Fall Indf(x),Indf(z)V2, d.h. m(x,z) besteht
aus 2-dimensionalen und m^ (x,z) aus 1-dimensionalen Zusammenhangskomponenten.
Letztere, m^ i(x,z) genannt, sind aufgrund der Klassifikation von 1-dimensionalen
unberandeten glatten Mannigfaltigkeiten diffeomorph zu (0,1) oder S1. Im Fall
m^ i(x,z)Y(0,1) wissen wir aufgrund von Theorem 1.6, da≠ die beiden Enden 1-fach
gebrochenen Orbits (u1,v1) und (u2,v2) entsprechen.
Figur 1.5
Das folgende Theorem wurde detailliert in [We, Abschn. 2.3] bewiesen. Der Beweis ist
recht technisch, fuºr das Folgende nicht von Bedeutung und soll deshalb hier nicht
wiederholt werden.
Theorem 1.8 (V
Verkleben von Orbits) Sei Indf(x),Indf(z)V2 und yJCrit6f so da≠
m^ (x,y)WL und m^ (y,z)WL, dann existiert rJR+ und eine Einbettung
/#^// : m^ (x,y) x (0,r) x m^ (y,z) ! m^ (x,z) .
^ (x,y)6x6m
^ (y,z) gibt es genau eine Zusammenhangskomponente
Fuºr festes (u^ ,v^)Jm
m^ i(x,z) mit u^ #^sv^Jm^ i(x,z), sJ(0,r), und
u^ #^sv^ ! (u^ ,v^) fuºr s!r
^ j(x,z),
im Sinne von Definition 1.56. Es gibt keine andere Zusammenhangskomponente m
die eine gegen (u^ ,v^) konvergente Folge beeinhaltet.
Mit Theorem 1.6 und Theorem 1.8 koºnnen wir die Zusammenhangskomponenten
mi(x,z) im Fall Indf(x),Indf(z)V2 wie folgt klassifizieren:
Figur 1.6 Ausgeschlossen aufgrund von Theorem 1.8
Figur 1.7 Moºglich und m^ i(x,z)Y(0,1)
88
Figur 1.8 Moºglich, aber uninteressant, da m^ i(x,z)YS1
Bemerkung 1.9 Aus Theorem 1.8 folgt, da≠ die Menge der 1-fach gebrochenen Orbits
zwischen x und z o^ 1(x,z) in bijektiver Beziehung zu den Enden der zu (0,1)
diffeomorphen Zusammenhangskomponenten von m^ (x,z) steht. Elemente
(u1,v1),(u2,v2)Jo^ 1(x,z), die je einem Ende ein und derselben Zusammenhangskomponente m^ i(x,z)Y(0,1) entsprechen, nennen wir cobordant. Theorem 1.8 besagt
(u1,v1)W(u2,v2), siehe Figur 1.6 rechts.
Bemerkung 1.10 Es laº≠t
(u1,v1),(u2,v2)Jo^ 1(x,z) gilt
sich
zeigen,
da≠
fuºr
cobordante
nu1/nv1V,nu2/nv2 .
Der Beweis findet sich z.B. in [Po2, Prop. 2.4.1].
Figur 1.9 Die charakteristischen Vorzeichen '0' der isolierten Orbits
89
Elemente
BEWEIS VON THEOREM 1.1
Sei <x> ein Erzeuger von Ck(f,g,s), dann ist
sk-1vsk<x>Vsk-16 B yJ¡
Crit
, Def. sk
n(x,y)<y>K
k-1f
VyJ¡
Crit
n(x,y) sk-1<y>
, Z-Lin.
k-1f
VyJ¡
Crit
VzJCrit
¡
k-2f
VzJCrit
¡
JCritk-2f
z
k-2f
¡ n(x,y)/n(y,z)<z>
JCritk-1f
y
¡
JCritk-1f
k-2f y
VzJCrit
¡
, Def. sk-1
n(x,y) ¡ n(y,z)<z>
k-1f
B
¡
^ (x,y)
u^ Jm
¡ nu/nvK<z>
Jm^ (y,z)
v^
, endl. Summen
B ¡ nu/nv K <z>
(u^ ,v^)Jo^ 1(x,z)
ruuuuuuuuuusuuuuuuuuuut
, Def. n(/,/)
, Bem. 1.9
V0, da sich je 2 Summanden
zu Null addieren (Bem. 1.10)
V0
P
3.2 Der kanonische Kettenhomomorphismus
In diesem Paragraphen soll ein kanonischer Kettenhomomorphismus yb/a vom
Grad 0 zwischen zwei Morse-Witten Komplexen uºber M konstruiert werden, d.h. ein die
Graduierung erhaltender Homomorphismus zwischen freien abelschen Gruppen
(2.1)
yb/a : C/(fa,ga,sa) ! C/(fb,gb,sb)
mit
(2.2)
sb/vyba/ Vyba/ vsa/ .
Letztere Eigenschaft stellt sicher, da≠ yba
/ Zyklen in Zyklen und Raºnder in Raºnder
abbildet. Die Abbildung ist daher auf Homologieniveau wohldefiniert
(2.3)
yb* a : HM*(fa,ga,sa,M;Z) ! HM*(fb,gb,sb,M;Z)
[a]
* [yba/ a] .
ein Isomorphismus ist. Daher koºnnen
Es wird sich herausstellen, da≠ yba
*
Homologiegruppen zu verschiedenen Wahlen von (f,g,s) identifiziert werden. Zur
Paragraphen.
Konstruktion von yba
/ benutzen wir die Resultate des vorhergehenden
1
Genauer gesagt betrachten wir Morse-Witten Komplexe uºber M6x6S bzw. M6x6S16x6S1
mit geeignet definierten Morse-Funktionen und Metriken. Dieser Zugang findet sich in
[Po1, Se. 7] [Po2, Se. 2.6]. Wir notieren die Graduierung im folgenden auf Kettenniveau
mit einem Subindex '/' und auf Homologieniveau mit '*'.
Wir definieren zunaºchst den Morse-Witten Komplex in etwas allgemeinerer
Form. Eine offene Menge U in einer Mannigfaltigkeit N hei≠t isolierende Umgebung fuºr
einen Flu≠ ª, falls der Abschlu≠ der Vereinigung aller in U enthaltenen Orbits in U
enthalten ist, d.h.
(2.4)
S(U) := {pJU|ªtpJU, MtJR}BU .
S(U) hei≠t isolierte invariante Menge.
Falls U so eine Umgebung fuºr den Flu≠ von ,zf ist, definieren wir den Morse-Witten
Komplex C/(U,f,g,s) bezuºglich U als die Untergruppe von C/(f,g,s), die frei abelsch
von den Elementen von Crit6fDU erzeugt wird. Der Randoperator sk(U) ist definiert
wie zuvor, au≠er da≠ wir nur jene verbindenden Orbits zaºhlen, welche in U enthalten
sind. sk-1(U)vsk(U)V0 ergibt sich aus der Tatsache, da≠ Mx,zJCrit6fDU gilt:
m(x,z)DU ist offen und abgeschlossen in m(x,z).
Um nun einen Kettenhomomorphismus zwischen C/(fa,ga,sa) und
C/(fb,gb,sb) zu konstruieren, waºhlen wir ein eJ(0,12) und eine Homotopie fs zwischen
fa und fb (sei im folgenden aV0 und bV1)
f0
, s<e
(2.5)
fs := V 1
, sJR ,
f
, s>1,e
sowie eine analoge Homotopie gs zwischen g0 und g1. S1 sei parametrisiert durch
s6*6eips, sJR, d.h. wir identifizieren S1 mit [,1,1]/{01}. g^ bezeichne die durch diese
Parametrisierung auf S1 induzierte Metrik. Fuºr hinreichend gro≠es K>0 erhalten wir
folgende Morse-Funktion auf M6x6S1 (hierbei geht ein, da≠ die Homotopien nahe bei 0
bzw. 01 konstant sind)
(2.6)
F(p,s) := f|s|(p) + Kp cos (ps) , sJ[,1,1] , pJM .
mit
(2.7) Crit FV{6(x,i)|xJCrit fi6, iV0,16} , IndF(x,i)VIndfi(x)+1,i .
Eine Metrik auf M6x6S1 sei definiert durch
(2.8)
G(p,s) := g|s|2g^ .
Fuºr |s,i|<e ergibt sich
(2.9)
,zGF(p,s)V(,zgifi(p),K/sin6ps) ,
d.h. die Untermannigfaltigkeiten Mi6:=6M6x6{i}, iV0,16, sind invariant unter dem
negativen Gradientenflu≠ von F auf M6x6S1, und der auf Mi eingeschaºnkte negative
Gradientenflu≠ erfuºllt die Morse-Smale Bedingung. Sei s0W0,1 und
gV(g1,g2)6:6R6!6M6x6S1 eine Loºsung von /g(t)V,zGF(g(t)) mit g(0)V(p0,s0), dann
folgt aus /g2(t)VK6sin6pt zunaºchst g2(t)6!60 fuºr t!,r und g2(t)6!601 fuºr t!+r (je
nachdem ob s0 aus (0,1) oder aus (,1,0) ist). Es gibt also insbesondere keine
verbindenden Orbits von M1 nach M0 und jene, welche zwei kritische Punkte in M0
(M1) verbinden, sind enthalten in M0 (M1).
Bemerkung 2.1 Wir koºnnen im Allgemeinen nicht erwarten, da≠ die Morse-Smale
Bedingung fuºr den negativen Gradinetenflu≠ von F bezuºglich G auf M6x6S1 erfuºllt ist.
Durch eine (beliebig kleine) Stoºrung koºnnen wir dies jedoch erreichen. Dabei werden
zwar die kritischen Punkte von F bzw. die zuvor invarianten Mengen Mi (beliebig
wenig) verschoben bzw. deformiert, wir koºnnen jedoch Crit6F mit Crit[
6F eindeutig
identifizieren, falls die Stoºrung hinreichend klein ist. Die Orbits in Mi (bezuºglich der
urspruºnglichen Groº≠en F,G) werden durch eine hinreichend kleine Stoºrung auch nicht
zerstoºrt, da sie transversale Schnitte sind und Transversalitaºt eine gegen hinreichend
kleinen Stoºrungen stabile Eigenschaft ist. Um die Notation so einfach wie moºglich zu
halten, gehen wir im folgenden oBdA davon aus, da≠ die Morse-Smale Bedingung erfuºllt
sei.
Die Menge U6:=6M6x6(,d,1+d)BM6x6[,1,1]/{01} mit 0<d<12 ist eine isolierende
Umgebung von S6:=6M6x6[0,1]. Wir betrachten nun den Morse-Witten Kettenkomplex
(CF/,f/)6:=6(C/(U,F,G,S),s/(U)). Wir erhalten die Aufspaltung CF/VC0/2C1/6,
wobei Ci/ durch (x,i)JCrit/-1+i6fi6x6{i} frei abelsch erzeugt wird. Die Orientierung von
<x,i> sei induziert durch die Isomorphismen
T(p,0)Wu(x,0)YTpWu(x)2T0S1
(2.10)
T(p,1)Wu(x,1)YTpWu(x)
fuºr ein und damit jedes pJM (die Orientierung von T0S1 sei durch die
Parametrisierung von S1 induziert). S ist also durch s0 und s1 bestimmt. Es laº≠t sich
zeigen [Po2, Se. 2.6], da≠ die Inklusionen m(x,y)!m((x,i),(y,i)), iV0,1, orientierungserhaltend sind.
Die obige Aufspaltung von CF/ fuºhrt zu folgender Darstellung von f/ :
(2.11)
f/V
f00
/10 f01/11
f/ f/
: C0/2C1/ ! C0/-12C1/-1 ,
wobei f01
/ V0, da es keine verbindenden Orbits von M1 nach M0 gibt. Aus Paragraph
3.1 wissen wir, da≠ gilt f/-1vf/V0. Dies ist aºquivalent zu
f00
/-1vf00/ V0 , f11/-1vf11/ V0 ,
(2.12)
f10
/-1vf00/ +f11/-1vf10/ V0 ,
d.h. fii/6:6Ci/6!6Ci/-1 sind Randoperatoren (klar, da sie bis auf folgende Identifikationen
durch si/ gegeben sind). Mit den Identifizierungen
(2.13)
ci/ : C/(fi,gi,si) ! Ci/+1-i , iV0,1
<x> * <(x,i)>
definieren wir folgenden Gruppenhomomorphismus
(2.14) y/10 := (,1)/6(c1/)-1vf10
/+1vc0/ : C/(f0,g0,s0) ! C/(f1,g1,s1) ,
d.h. y10
/ zaºhlt die isolierten Orbits von kritischen Punkten x (von f0) in M6x60 zu
kritischen Punkten y (von f1) in M6x61 mit Vorzeichen. Aus der dritten Gleichung in
(2.12) ergibt sich unter Verwendung von
f00
/ Vc0/-2vs0/-1v(c0/-1)-1 und f11/-1Vc1/-2vs1/-1v(c1/-1)-1
(2.15)
y10
/-2vs0/-1Vs1/-1vy10/-1 ,
d.h. y10
/ ist ein Grad 0 Kettenhomomorphismus und ist daher auf Homologieniveau
wohldefiniert
0 0 0
1 1 1
(2.16)
y10
* : HM*(f ,g ,s ,M;Z) ! HM*(f ,g ,s ,M;Z) .
Die Abbildung y10
/ ordnet jedem xJCritk6f0 die direkte Summe aller yJCritk6f1 zu
(multipliziert mit einem entsprechenden charakteristischen Vorzeichen), zu denen x
einen verbindenden Orbit besitzt (bezuºglich ,zGF auf M6x6S1). Im Fall von
konstanten Homotopien (d.h. insbesondere f0Vf1,g0Vg1) ergibt sich also y10
VId/
/
und y10
* VId*6.
Um die Unabhaºngigkeit des induzierten Homomorphismus y10
* von den
gewaºhlten Homotopien zu zeigen, betrachten wir nun 2-Parameter Homotopien und
wiederholen die vorige Konstruktion fuºr diesen Fall. Wir wollen das weitere Vorgehen
daher nur skizzieren und entledigen uns insbesondere der laºstigen Graduierungsnotation.
Sei eJ(0,12) und
f0 , s<e
, r<e
1
(2.17) fs,r := V f2 , s>1,e , r<e
, s,rJ[0,1] ,
f , s<e
, r>1,e
f3 , s>1,e , r>1,e
gs,r sei analog definiert (wir verbinden also jetzt vier Morse-Witten Komplexe mittels 2Parameter Homotopien der f's und g's). Eine Morse-Funktion auf M6x6S16x6S1 definieren
wir durch
F(p,s,r) := f|s|,|r|(p) + Kp (cos ps+cos pr) , s,rJ[,1,1]/{01} , pJM ,
eine Metrik G durch
G(p,s,r) := g|s|,|r|2g^ 2g^ .
Die Untermannigfaltigkeiten Mij6:=6M6x6{i}6x6{j}, i,jV0,16, sind bezuºglich ,zGF
invariant und die Restriktion von ,zGF auf Mij liefert gerade die urspruºnglichen
Morse-Witten Komplexe C/(f2j+i,g2j+i,s2j+i) mit Randoperator s2j+i
6.
/
V6:=6M6x6(,d2,1+d2)6x6(,d2,1+d2)6, 0<d<126, ist eine isolierende Umgebung von
S~ 6:=6M6x6[0,1]2. Es ergibt sich der Morse-Witten Komplex
94
der wie folgt aufspaltet:
(C/F ,f/)6:=6(C/(V,F,G,S),s/(V)) ,
3
CF/V2
Cl/ ,
lV 0
wobei Cl/ durch <(x,i,j)> mit lV2j+i, i,jV0,16, frei abelsch erzeugt wird. Aºhnlich
wie zuvor bei der 1-Parameter Homotopie ergibt sich nun eine (46x64)-Matrix f
fV
(2.18)
f00 0
0 0
f10 f11 0
0
f20 f21 f22 0
f30 f31 f32 f33
.
Das Resultat f2V0 aus Paragraph 3.1 fuºhrt auf
fii2V0 , iV0,\,3 ,
(2.19)
f10f00+f11f10V0 , f20f00+f22f20V0 ,
f31f11+f33f31V0 , f32f22+f33f32V0 ,
sowie
(2.20)
f30f00+f31f10+f32f20+f33f30V0 .
Mit den natuºrlichen Identifizierungen
c0 : C/(f0,g0,s0) ! C0/+2
ci : C/(fi,gi,si) ! Ci/+1 , iV1,2
c3 : C/(f3,g3,s3) ! C3/
und yji6:=6(cj)-1vfjivci6:6C/(fi,gi,si)6!6C/(fj,gj,sj) erhalten wir aus (2.19), da≠
y10
/ ,y20/ ,y32/ ,y31/ ,y30/ Kettenhomomorphismen sind.
!s
y/10
0
f _,,,>,,,_ f1
(2.21)
r
#
|
|
y/ 6#
20
6# y/31
|
|
f2 _,,,>32,,,_ f3
y/
.
(2.20) besagt, da≠ y/30 eine Kettenhomotopie (vom Grad +1) zwischen y31
vy10/ und
/
y32
/ vy20/ darstellt, d.h. es gilt
10
32
20
y31
* vy* Vy* vy* .
Waºhle f0Vf2 und f1Vf3, sowie eine in r konstante Homotopie, dann erhalten wir
32
y10
* Vy*
unabhaºngig von der in s gewaºhlten Homotopie. Fuºr f2Vf3 ergibt sich
und fuºr f0Vf2Vf3
d.h.
10
20
y21
* vy* Vy*
0
10
00
00
y01
* vy* Vy* vy* VId* ,
0 0 0
1 1 1
y10
* : HM*(f ,g ,s ,M;Z) ! HM*(f ,g ,s ,M;Z)
ist ein Isomorphismus unabhaºngig von der gewaºhlten Homotopie. Es genuºgt daher die
Bezeichnung
HM*(M;Z)
fuºr die Morse-Homologie.
3.3 Der kanonische Isomorphismus zur singulaº ren Homologie
Da die Details fuºr den Beweis unseres kanonischen Isomorphismus noch nicht
vollstaºndig ausgearbeitet sind, wollen wir diesen hier nur kurz skizzieren und darauf
hinweisen, da≠ es sich bislang nur um eine Hypothese handelt.
Auf Homologieniveau wurde jedoch bereits mehrfach folgende Isomorphie bewiesen,
siehe z.B. [Sa]
Theorem 3.1 (R. Thom, S. Smale, J. Milnor, A. Floer, D. Salamon)
Hsing
* (M;Z)YHM*(M;Z) .
Sei nun (K,h) eine glatte Triangulierung von M (diese existiert nach [Th]), d.h.
K ist ein Simplizialkomplex und h6:|K|!6M ein Homoºomorphismus, der auf jedem
Simplex von K differenzierbar ist. |K| bezeichnet die Vereinigung aller Simplizes von
K, H*(K) die simpliziale Homologie von K. Es ist bekannt, da≠ gilt
sing
(3.1)
Hsing
, h :|K| ! M Homoºomorphismus ,
* (M;Z)YH* (|K|;Z)
YH*(K)
, kan. Isom. [StZi, Satz 9.7.4] .
Es bleibt also einen kanonischen Isomorphismus zwischen H*(K) und HM*(M) zu
finden. Die Idee ist nun auf M eine Morse-Funktion f zu konstruieren, fuºr die gilt: Die
kritischen Punkte von f vom Morse-Index k stimmen genau mit den Bildern (unter der
Triangulierung h) der Baryzentren der k-Simplizes von K uºberein. Damit ist bereits
eine Isomorphie der Kettengruppen der simplizialen und Morse-Witten Homologie
erreicht. Da der Randoperator der simplizialen Homologie jedem k-Simplex die
alternierende Summe seiner (k,1)-Seitensimplizes zuordnet, sind wir fertig, wenn der
negative Gradientenflu≠ von f bezuºglich einer geeigneten Metrik g von M genau einen
verbindenden Orbit, von jedem kritischen Punkt in einem k-Baryzentrum, zu jedem
kritischen Punkt im (k,1)-Baryzentrum der Seitensimplizes besitzt (mit alternierenden
charakteristischen Vorzeichen nu). In diesem Fall imitiert der Morse-Witten
Randoperator sk jenen der simplizialen Homologie. Die offensichtliche Kettenabbildung
zwischen den beiden Komplexen ist bereits auf Kettenniveau ein Isomorphismus, also
auch auf Homologieniveau.
3.4 Anwendung
Die Morse-Homologie bietet die Moºglichkeit die Homologiegruppen einer
Mannigfaltigkeit in manchen Faºllen recht einfach zu berechnen. Denn wir haben die
Freiheit die Mannigfaltigkeit glatt zu deformieren, z.B. sie in einen RN (N hinreichend
gro≠) einzubetten, sowie eine bequeme Wahl einer Morse-Funktion und einer Metrik zu
treffen. Wir wollen dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.
Beispiel 4.1 MVSn
Wir betten Sn zunaºchst in uºblicher Weise in den Rn+1 ein, siehe Figur 0.1 fuºr den Fall
nV2. Als Metrik nehmen wir die durch die Einbettung auf Sn induzierte Metrik, als
Morse-Funktion die Hoºhenfunktion
f : Sn ! R
(x1,\,xn+1) * xn+1 .
Diese hat genau einen kritischen Punkt x mit Indf(x)Vn und genau einen mit
Indf(y)V0. Die Morse-Smale Bedingung ist automatisch erfuºllt, denn wir haben keine
verbindenden Orbits zwischen kritischen Punkten vom selben Index. Nun ist offenbar
CnVZ<x> , C0VZ<y>
und
CiV0 , MiJZ\{0,n} .
Die Orientierungen <x> und <y> von TxWu(x) bzw. TyWu(y) seien beliebig
gewaºhlt. Wegen sn<x>V0 und s0<y>V0 und der Tatsache, da≠ keine kritischen
Punkte vom Index n+1 oder 1 existieren, folgt
Z , kV0,n
HMk(Sn;Z)YV
,
0 , sonst
und hieraus mit Theorem 3.1
Z , kV0,n
n
.
Hsing
k (S ;Z)YV
0 , sonst
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x Crit6f
f
Critk6f
f k
ck
Critk6f
bk
k M
Lp(M)
M p
p
dp
L (M)
*
HDR(M;R) M
2
T
2 Qa
NF
NF
( 1)
2
E=0
nf(b)
E 0
c(M)
M
f(M)
M
x(M)
M
*
p
p
(TmM)
< , >m p Lp(M)
< , >
p
p
p
L (M)
L (M) < , >
f
dd* d*d Lp(M)
L
L pH(M)
L pd(M),L pd*(M),LpH(M),Lpd(M),Lpd*(M)
-tf
tf
dt
e de ft
dtdt* dt*dt Lp(M)
Lt
L pHt(M)
L pdt(M),L pd *(M),LpHt(M),Lpdt(M),Lpd *(M)
Indf(x)
,
,
V
P
//
//
,
,
+
,
+
,
,
i i*
a ,(a )
//
{ , }
,
//
t
t
l(h)
h
Rl(T)
T l
Spec6T
T
Indsup(H)
H
EO(H)
H O R
(u)s
W
(x)
x Crit6f
m(x,y) x y m (x,y) x y
Ck(f,g)
k M k
HMk(M;Z2) Z2
u
u
Ex
TxW (x)
s
nu
i
n(x,y)
Ck(f,g,s)
M m i(x,z) m (x,z)
r
Grad (M) M
o 1(x,z) 1 x z
ba
y
y30
HMk(M;Z) M
B
s
/
/
J
M66S1 M66S166S1