¨Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I Mengensysteme

Löhr/Winter
Sommersemester 2014
Übungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I
Übungsblatt 1 mit Lösungen
Mengensysteme
Sei Ω immer eine nicht-leere Menge.
Aufgabe 1.1 (Algebren mit Schnitt statt Vereinigung).
(4 Punkte)
Beweise Satz 1.8 aus der Vorlesung, also dass A ⊆ 2Ω genau dann eine Algebra ist, wenn folgende
3 Eigenschaften erfüllt sind:
i. Ω ∈ A
ii. A ist komplement-stabil
iii. A ist ∩-stabil
Lösung: Sei A, B ∈ A. Ist A eine Algebra, so sind i) und ii) per Definition erfüllt, und es gilt
A∩B = ∁ ∁(A∩B) = ∁(∁A∪∁B) ∈ A. Gelten umgekehrt i) – iii), so ist auch A∪B = ∁(∁A∩∁B) ∈
A und somit A eine Algebra.
Aufgabe 1.2 (Von Partitionen erzeugte Mengensysteme).
(4 Punkte)
Sei
I
eine
Menge
und
π
=
(π
)
eine
Partition
von
Ω,
das
heißt
π
∩
π
=
∅
für
i 6= j, und
i
i∈I
i
j
S
i∈I πi = Ω.
(a) Zeige, dass für die von π erzeugte σ-Algebra gilt:
n[ o
σ(π) =
πi J ⊆ I mit J abzählbar oder I \ J abzählbar .
(1)
i∈J
(b) Bestimme das von π erzeugte Dynkin-System.
(c) Bestimme die von π erzeugte Topologie.
S
Lösung: (a) Sei A die rechte Seite von (1) und A ∈ A, also A = i∈J πi . Ist J abzählbar,
S so ist
wegen der σ-vereinigunsstabilität A ∈ σ(π). Ist I \ J abzählbar, so ist ∁A = Ω \ j∈J πj =
S
S
S
S
S
j∈J (πi ∩ πj ) =
i∈I\J πi ∈ σ(π) und somit auch A ∈ σ(π).
i∈I πi \ j∈J πj =
i∈I\J πi \
Also gilt A ⊆ σ(π).
Umgekehrt zeigen wir, dass
ist klar
S
S Ω ∈ A und Komplement-stabilität
S A eine σ-Algebra ist.
nach S
Definition. Sei A = n∈N An mit An = j∈Jn πj ∈ A. Setze J := n∈N Jn . Dann ist
A = j∈J πj und J ist abzählbar, falls alle Jn abzählbar sind. Ist (mindestens) ein Jn nicht
abählbar, so ist I \ Jn abzählbar und somit auch I \ J. Daher ist A ∈ A und A eine σ-Algebra.
Wegen π ⊆ A gilt somit auch σ(π) ⊆ A.
(b) π ∩ { ∅ } ist ∩-stabil, also stimmen erzeugtes Dynkin-System und erzeugte σ-Algebra überein.
S
=: E. ,,⊇” gilt wegen der Vereinigungs(c) Die erzeugte Topololgie ist τ (π) =
j∈J πj J ⊆ I
stabilität von Topologien bezüglich beliebiger
Vereinigungen.
S
S,,⊆” gilt, da
S E eine Topologie
ist: offensichtlich sind ∅, Ω ∈ E, für Al = j∈Jl πj ∈ E gilt l∈L Al = j∈S Jl ∈ E und
l∈L
S
S
S
A1 ∩ A2 = j∈J1 πj ∩ j∈J2 πj = j∈J1 ∩J2 πj ∈ E.
Bitte wenden!
Aufgabe 1.3 (Beispiele).
(4 Punkte)
(a) Gib zwei σ-Algebren auf derselben Menge Ω an, deren Vereinigung keine σ-Algebra ist.
(b) Sei A := { A ⊆ N | A endlich oder ∁A endlich }. Zeige, daß A eine Algebra, jedoch keine
σ-Algebra auf N ist.
(c) Finde ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist.
Lösung: (a) Ω = { 1, 2, 3 }, A1 = σ {1} , A2 = σ {2} . Dann { 2, 3 } ∈ A1 , { 1, 3 } ∈ A2 , aber
{ 2, 3 } ∩ { 1, 3 } = {3} ∈
/ A1 ∪ A2 .
(b) ∅ ∈ A: klar. A ∈ A ⇒ ∁A ∈ A: klar. Sei A, B ∈ A. Falls A, B endlich, so auch A ∪ B, also
A ∪ B ∈ A. Ist ∁ASoder ∁B endlich, so auch ∁(A ∪ B), also A ∪ B ∈ A. Sei An = {2n}. Dann
ist An ∈ A, aber n∈N An ∈
/ A. Also ist A Algebra aber keine σ-Algebra.
(c) Sei A, B ⊆ Ω mit A ∩ B, A ∩ ∁B, ∁A ∩ B, ∁A ∩ ∁B 6= ∅. Dann ist D := ∅, Ω, A, B, ∁A, ∁B
ein Dynkin-System, aber A ∩ B ∈
/ D, also ist D keine σ-Algebra.
Aufgabe 1.4 (Folgen von Mengen).
(4 Punkte)
Es sei (An )n∈N eine Folge von Mengen An ⊆ Ω. Das Komplement einer Menge B sei ∁B := Ω \ B.
Der untere bzw. obere Mengenlimes der Folge (An )n∈N ist definiert als die Menge
[ \
\ [
A∗ := lim inf An :=
An
bzw.
A∗ := lim sup An :=
An .
n→∞
n→∞
m n≥m
m n≥m
(a) Beschreibe (verbal), welche Elemente in A∗ bzw. A∗ liegen.
(b) Zeige: A∗ ⊂ A∗ .
(c) Zeige: ∁A∗ = lim supn→∞ (∁An ), und ∁A∗ = lim inf n→∞ (∁An ).
(d) Zeige, dass für ω ∈ Ω gilt:
1A∗ (ω) = lim inf 1An (ω)
n→∞
und
1A∗ (ω) = lim sup 1An (ω).
n→∞
Hierbei bezeichnet lim sup“ bzw. lim inf“ die aus der Analysis für Zahlenfolgen bekannten
”
”
Begriffe und 1B die Indikatorfunktion der Menge B, definiert als:
1, wenn ω ∈ B
1B (ω) :=
.
0, wenn ω 6∈ B
Lösung: (a) Die ω ∈ Ω mit ,,ω liegt in schließlich allen An ,” bzw. ,,in unendlich vielen An .”
(b) Klar mit (d).
TS
T
T
∁An = lim supn→∞ (∁An ). ∁A∗ analog.
(c) ∁A∗ = m ∁ n≥m An =
(d) lim inf n→∞
T 1An (ω) = 1 ⇔ ∃m : 1An (ω) = 1 ∀n > m ⇔ ∃m : ω ∈ An ∀n > m ⇔
∃m : ω ∈ n≥m An ⇔ ω ∈ A∗ ⇔ 1A∗ (ω) = 1. A∗ analog.