Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
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Dr. F. Stoll
7. Übungsblatt zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Winter 2007/08
Aufgabe P 20.
Im R3 seien die Vektoren a = (1, −3, 2) und b = (2, −1, 1) gegeben. Bestimmen Sie alle k ∈ R,
für die (1, k, 5) ∈ ha, bi ist.
Aufgabe P 21.
Sei M die Teilmenge der Polynome p von R[x], für die gilt:
(a) p hat Grad 3,
(b) 2p(0) = p(1),
(c) p(x) ≥ 0 ∀x ∈ [0, 1],
(d) p(x) = p(1 − x) ∀x ∈ R.
In welchen Fällen ist M ein R-Unterraum von R[x]?
Aufgabe P 22.
Sei K = R und V = R+ = {α ∈ R | α > 0}. Wir definieren eine Addition auf V und eine
skalare Multiplikation durch:
u v = uv
und λ
u = uλ
für positive reelle Zahlen u, v und beliebige reelle Zahlen λ. Ist V mit diesen Operationen ein
R-Vektorraum?
Aufgabe P 23.
Erinnerung: Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N → R (siehe Bemerkung 1.3-17). Ist
f (i) = ai , so schreibt man auch f = (ai )i∈N oder kurz (ai ). Wie in P 17 wird die Menge
aller reellen Folgen V zum reellen Vektorraum durch komponentenweise Addition und skalare
Multiplikation.
Eine Folge (ai ) heißt endlich, falls höchstens endlich viele Folgenglieder ungleich 0 sind (also
{i ∈ N | ai 6= 0} endlich ist). Sei W die Menge aller endlichen reellen Folgen. Überlegen Sie
sich, warum W ein Unterraum von V sein muss. Hat W ein endliches Erzeugendensystem?
Oder ein abzählbar unendliches? Wie sieht dieses aus? Kann ein solches Erzeugendensystem
auch ein Erzeugendensystem für die Menge aller reellen Folgen sein?
7. Übungsblatt
Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 15.
2 Punkte
(a) Untersuchen Sie, ob die Vektoren
1
−1
0
−1
1 , 1 , 2 , 0 ,
1
5
3
2
ein Erzeugendensystem des R3 bilden.
(b) Zeigen Sie: Ist {u, v} ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V , dann auch {u, v −u}.
Aufgabe H 16. 2 Punkte
Sei K ein Körper. Geben Sie ein abzählbar unendliches Erzeugendensystem für K[x] an und
begründen Sie, dass dieses ein Erzeugendensystem ist. Gibt es ein endliches Erzeugendensystem
für K[x]? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe H 17. 2 Punkte
Seien u = (1, 1), v = (1, −1), w = (0, 1) ∈ R2 Vektoren. Wir wollen folgendermassen eine
Abbildung f : R2 → R definieren:
Jedes Element x ∈ R2 lässt sich schreiben als x = λu + µv + νw mit λ, µ, ν ∈ R. Dann sei
f (x) = λ + µ + ν. Begründen Sie, warum diese Abbildung nicht wohldefiniert ist, d. h. f ist
gar keine Abbildung.
Bitte nicht vergessen (betrifft Bachelor-Studenten): Die Anmeldung zur Modulprüfung in
Linearer Algebra und Analytischer Geometrie I (Bachelor Physik) findet vom 3. bis 7. Dezember
2007 statt! Die Vorlesung heißt auf den Anmeldeformularen Algebra 1 (Prüfungsnummer 10090)
