Klausur zur Vorlesung Mathematik für Physiker 1

Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Fachbereich 08, Institut für Mathematik
S. Fröhlich, H. Hollborn
2. August 2012
Klausur zur Vorlesung
Mathematik für Physiker 1
Name, Vorname
Studiengang
Matr.-Nr.
Semester
3. Versuch
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
max. Punkte
4
4
2
7
4
7
4
7
7
3
Aufgabe
11
12
13
14
15
16
∑
max. Punkte
4
6
5
4
6
6
80
err. Punkte
Note
err. Punkte
Vor dem Einreichen hier falten!
Bearbeitungszeit: 180 min
Wichtige Hinweise – Nichtbeachtung kann zu Punktabzug führen:
• Versehen Sie dieses Blatt sowie jedes weitere Blatt Ihrer Ausarbeitung gut lesbar mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer.
• Verschiedene Aufgaben dürfen nicht auf demselben Blatt bearbeitet werden.
• Die Farbe rot darf nicht verwendet werden.
• Schreiben Sie durchgängig klar strukturiert und gut lesbar.
• Alle Zwischenschritte sind zu begründen. Die Angabe eines Ergebnisses allein genügt nicht.
• Falten Sie nach Ende der Klausur dieses Blatt in der Mitte, und legen Sie alle Blätter mit Ihrer Ausarbeitung ein.
1. De Morgansche Regeln der Aussagenlogik
Beweisen Sie die folgende de Morgansche Regel der Aussagenlogik
(4 Punkte)
¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b
unter Verwendung einer Wahrheitstabelle der Form
a
w
···
¬a
···
···
b
w
···
¬b
···
a∧b
¬(a ∧ b)
¬a ∨ ¬b
2. Vollständige Induktion
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Aussage
n
S1 (n) =
∑k=
k=1
n(n + 1)
2
(4 Punkte)
für alle n = 1, 2, . . .
3. Komplexe Zahlen
Vereinfachen Sie den Ausdruck
(2 Punkte)
z = i(2 − 3i)2(1 + i).
Hinweis: Gesucht sind Zahlen a, b ∈ N mit z = a + ib.
(1 + 2 + 1 + 3 = 7 Punkte)
4. Linearkombinationen und lineare Hülle: Theorie und Praxis
(i) Wann heißt ein Vektor u ∈ Rn Linearkombination der m Vektoren v1 , . . . , vm ∈ Rn ?
(ii) Schreiben Sie u = (1, −2) als Linearkombination der zwei Vektoren
v1 = (1, 0),
v2 = (1, 1).
(iii) Was versteht man unter der linearen Hülle der m Vektoren v1 , . . . , vm ∈ Rn ?
(iv) Untersuchen Sie, ob der Vektor u = (3, 5, 2) der linearen Hülle folgender Vektoren angehört
v1 = (4, 0, 1),
v2 = (2, 2, 1).
(1 + 2 + 1 = 4 Punkte)
5. Erzeugendensystem und Basis: Theorie
Definieren Sie die Begriffe
(i) Erzeugendensystem eines Vektorraums V ⊂ Rn ,
(ii) Basis eines Vektorraums V ⊂ Rn .
(iii) Wann sind m Vektoren v1 , . . . , vm linear unabhängig?
(4 + 3 = 7 Punkte)
6. Erzeugendensystem und Basis: Praxis
Gegeben seien die Vektoren
u1 = (0, 1, 1),
u2 = (1, 0, 1),
u3 = (1, 1, 0),
u4 = (1, 1, 1).
(i) Zeigen Sie, dass diese vier Vektoren ein Erzeugendensystem des R3 bilden.
(ii) Stellen Sie u4 als Linearkombination von u1 , u2 und u3 dar.
2
7. Bild und Kern linearer Abbildungen: Theorie
(1 + 1 + 1 + 1 = 4 Punkte)
Seien V und W zwei Vektorräume über R, und V besitze die Dimension n. Definieren Sie die Begriffe
(i) Lineare Abbildung L : V → W
(ii) Bild einer solchen linearen Abbildung L : V → W
(iii) Kern einer solchen linearen Abbildung L : V → W
Desweiteren:
(iv) Wie lautet die Dimensionsformel (Kern-Bild-Satz)?
(2 + 3 + 2 = 7 Punkte)
8. Bild und Kern linearer Abbildungen: Praxis
Gegeben seien die Matrix
1 −1 −2
M=
2 0
3
und die lineare Abbildung L : R3 → R2 vermöge L(v) = M ◦ v, v ∈ R3 .
(i) Berechnen Sie die Bilder L(1, 2, 3) und L(−3, −7, 2).
(ii) Bestimmen Sie Kern L.
Hinweis: L(v) = 0 über das lineare Gleichungssystem M ◦ v = 0 bestimmen
(iii) Was ist also dim Kern L? Bestimmen Sie aus der Dimensionsformel dim Bild L.
(2 + 1 + 2 + 2 = 7 Punkte)
9. Aufgabe zum Basiswechsel
Das Standardkoordinatensystem im R2
mit e1 = (1, 0)T , e2 = (0, 1)T ,
A = {e1 , e2 }
werde um den Winkel ϕ =
π
3
in mathematisch positivem Sinn gedreht vermittels der Drehmatrix
cos ϕ
D =
sin ϕ
π
3
− sin ϕ
cos ϕ
√ 1 1 − 3
√
.
=
3
1
2
ϕ = π3
(i) Bestimmen Sie die Bilder
b 1 = D π ◦ e1 ,
3
b 2 = D π ◦ e2 .
3
Wir erhalten auf diese Weise eine neue Basis B = {b1 , b2 } des
R2 .
(ii) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix MB
A (ϕ ).
−1
(iii) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix S = MA
B (id) und deren Inverse S .
(iv) Seien die Vektoren x ∈ R2 und y ∈ R2 gegeben mit den Koordinatendarstellungen
xA =
√ !T
1
3
,
,
2 2
yB = (0, 1)T .
Bestimmen Sie xB und yA .
(1 + 2 = 3 Punkte)
10. Berechnung von Determinanten
Berechnen Sie die folgenden Determinanten.
1
◦ 2
3 1
◦ 4 1
−1 1
3
5
2
3
5
11. Eigenwerte und Eigenräume
Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der folgenden Matrix
2 −1
A=
∈ R2×2 .
1 4
3
(4 Punkte)
(4 + 2 = 6 Punkte)
12. Grenzwerte von Zahlenfolgen
(i) Berechnen Sie den Grenzwert der reellen
Zahlenfolge {x(n) }
x(n) =
n=1,2,...
mit
n
n+1
durch Anwenden des ε -Kriteriums.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis lim
n→∞
1
= 0 verwenden.
n
(ii) Berechnen Sie den Grenzwert der reellen Zahlenfolge {x(n) }n=1,2,... mit
x(n) =
2
3
n
1
+ 2 + 2 + ...+ 2
2
n
n
n
n
ohne das ε -Kriterium, sondern durch Anwenden bekannter Rechenregeln.
Hinweis: Benutze Aufgabe 2.
(2 + 3 = 5 Punkte)
13. Stetigkeit von Funktionen: Theorie und Praxis
(i) Definieren Sie den Begriff einer
◦ in einem Punkt x0 ∈ R stetigen Funktion f : R → R
über das ε -δ -Kriterium.
(ii) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f : [−1, 1] → R mit der Eigenschaft
◦ f ist in keinem Punkt x ∈ [−1, 1] stetig.
Geben Sie eine kurze Begründung.
14. Nicht lösbare Funktionalgleichungen
Zeigen Sie, dass es keine Funktionen f , g : R → R gibt, die folgende Bedingung erfüllen
(4 Punkte)
f (x) + g(y) = x · y für alle x, y ∈ R.
Hinweis: Probieren Sie geeignete Werte für x und y.
(2 + 1 + 3 = 6 Punkte)
15. Taylorentwicklung: Theorie und Praxis
Betrachten Sie die Funktion
1
sinh x := (ex − e−x ) ,
2
x ∈ R.
(i) Geben Sie ohne Beweis eine Formel für die ersten k Ableitungen
dk
sinh x.
dxk
(ii) Wie lautet allgemein die unendliche Taylorreihe ohne Restglied einer Funktion f : R → R mit dem
Entwicklungspunkt x0 ?
(iii) Zeigen Sie durch eine solche Taylorentwicklung die Gültigkeit von
sinh x = x +
x3 x5 x7
+ + + ...
3! 5! 7!
Hinweis: Keine Restgliedabschätzung!
(4 + 2 = 6 Punkte)
16. Integralrechnung
Bestimmen Sie die Werte folgender Integrale.
(i) Bestimmen Sie die Werte folgender Integrale auf elementargeometrische Art und Weise.
◦
Z1
3
x dx
−1
◦
Z1
−1
|x| dx
(ii) Berechnen Sie folgendes unbestimmte Integral mittel partieller Integration
Z
4
ln x dx.