PHYSIK
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Mit über Heribert Stroppe u. a. 90be0 n und Aufga Lösungen PHYSIK Beispiele und Aufgaben STROPPE u. a. PHYSIK • Beispiele und Aufgaben Prof. Dr. sc. nat. Dr.-Ing. Heribert Stroppe Dr. rer. nat. habil. Peter Streitenberger Dr. rer. nat. Eckard Specht Dr. rer. nat. Jürgen Zeitler Dr. rer. nat. Heinz Langer Heribert Stroppe u. a. PHYSIK Beispiele und Aufgaben Mechanik – Wärmelehre – Elektrizität und Magnetismus – Schwingungen und Wellen – Atom- und Kernphysik Mit 526 durchgerechneten Beispielen, 434 Zusatzaufgaben und 304 Bildern Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. ISBN 978-3-446-44979-4 E-Book-ISBN 978-3-446-44980-0 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder von Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag c 2017 Carl Hanser Verlag München www.hanser-fachbuch.de Lektorat: Philipp Thorwirth Herstellung: Katrin Wulst Satz: Dr. Eckard Specht, Magdeburg, Dr. Michael Specht, Berlin Grafik: Holger Gräfe, Dr. Eckard Specht, Magdeburg Druck und Bindung: Hubert & Co, Göttingen Printed in Germany Vorwort Das vorliegende Buch ist ein Arbeits- und Übungsbuch für die physikalische Grundlagenausbildung von Studierenden natur- und ingenieurwissenschaftlicher Studiengänge an Hoch- und Fachhochschulen. Das bisher in zweibändiger Form erschienene Buch liegt nun zusammengefasst in einem Band vor. Es schließt in Inhalt, Darstellung und Niveau eng an das im gleichen Verlag erschienene Lehrbuch S TROPPE PHYSIK für Studierende der Natur- und Ingenieurwis” senschaften“ an, ist aber unabhängig von diesem und in Verbindung auch mit jedem anderen Physiklehrbuch verwendbar. Das Buch unterscheidet sich in mancherlei Hinsicht von anderen Aufgabensammlungen zur Physik: Gegliedert und didaktisch aufbereitet nach Art eines Lehrbuches wird hier der in einer Anfängervorlesung üblicherweise behandelte Stoff aus dem Gesamtgebiet der Physik anhand von gezielt ausgewählten Beispielen (als Aufgaben formuliert) wiederholt, gefestigt und vertieft, wobei jeweils der gesamte Lösungsweg und vollständige Rechengang – vom Ansatz bis zum allgemeinen und zahlenmäßigen Ergebnis – sowie die einschlägigen physikalischen Gesetze ausführlich dargestellt und erläutert werden. Dabei war es nicht unser Bestreben, möglichst viele (und spektakuläre) Beispiele anzubieten, sondern es wurde vielmehr versucht, in der gebotenen Kürze die jeweils zu einem Abschnitt bzw. Kapitel gehörigen wesentlichen Inhalte möglichst abzudecken und dabei das Grundsätzliche zu betonen. Aus diesem Grunde erscheinen nicht vordergründig nur unmittelbar praxisbezogene Aufgaben und aktuelle Beispiele, sondern auch solche mit im Laufe der Zeit klassisch“ ” gewordener, aber das formale Denken fördernder Fragestellung. Zur Selbstkontrolle werden in jedem Abschnitt Zusatzaufgaben gestellt, für die entweder nur das Endergebnis oder – bei etwas schwierigeren Aufgaben – zusätzlich der Lösungsweg angegeben ist. Der Schwierigkeitsgrad ist bewusst unterschiedlich gewählt; neben sehr einfachen Aufgaben finden sich mitunter recht anspruchsvolle. Erfahrungsgemäß sind die Schwierigkeiten, mit denen der Student (und somit indirekt auch der Dozent) anfänglich zu kämpfen hat, neben physikalischer vor allem mathematischer Natur. Dies betrifft hauptsächlich die für viele Aufgaben unerlässliche Differenzial- und Integralrechnung, die Vektorrechnung und das Rechnen mit komplexen Zahlen. Zwar hat hier die Schule eine gewisse Vorarbeit geleistet, aber häufig reichen die Kenntnisse und die Übung in der praktischen Handhabung des mathematischen Rüstzeuges nicht aus. Dies war für uns ein wesentlicher Grund, weshalb der Rechengang ausführlich dargestellt wurde. Vor allem aber wird dadurch ein besseres Verständnis und ein tieferer Einblick in den theoretischen Gehalt der physikalischen Gesetzmäßigkeiten erreicht. Der Studierende soll sich aber keinesfalls entmutigen lassen, wenn er eine Aufgabe nicht oder nur unter Zuhilfenahme der kompletten Lösung meistern kann; auch diese muss erst einmal verarbeitet“ werden, und wenn ihm das gelingt, ist eigentlich das Anliegen schon erreicht. ” Ein Buch mit so viel Formeln und Zahlen ist a priori nie frei von Fehlern. Für Hinweise auf solche – zahlenmäßiger wie grundsätzlicher Art – sowie für Anregungen zur Verbesserung des Werkes sind die Verfasser stets dankbar. 6 Vorwort Für die Anfertigung der Bilder danken wir Herrn H. G R ÄFE sowie Dr. M. S PECHT für die Mithilfe beim Satz. Dem Fachbuchverlag Leipzig sowie dem Carl Hanser Verlag München danken wir an dieser Stelle für über drei Jahrzehnte gedeihlicher Zusammenarbeit. Magdeburg, Dezember 2016 Die Autoren Hinweise In diesem Buch werden ausschließlich die gesetzlich vorgeschriebenen SI-Einheiten sowie gültige SI-fremde Einheiten verwendet (vgl. die Tabellen auf der hinteren Einband-Innenseite). Die Verwendung von SI-Einheiten bietet den Vorteil, dass alle Größengleichungen auch als Zahlenwertgleichungen benutzt werden können, sofern alle Größen in kohärenten SI-Einheiten (welche aus den Basiseinheiten des SI ohne Zahlenfaktoren gebildet sind) in die entsprechenden Beziehungen eingesetzt werden. Auch darf nicht vergessen werden, alle Vorsätze von Einheiten, wie z. B. beim km, mA oder GJ, in die entsprechenden dezimalen Vielfachen oder Teile zu übersetzen“, also in 103 m, 10−3 A und 109 J (außer beim kg als Basiseinheit). Ist also z. B. die ” Geschwindigkeit v = 90 km/h gegeben, so ist dafür der Wert (90/3,6) m/s = 25 m/s einzusetzen, oder anstelle von ̺ = 7,8 g/cm3 für die Dichte von Eisen der Wert 7,8 · 103 kg/m3 , anstelle von p0 = 1,013 25 bar für den Normluftdruck 1,013 25 · 105 Pa (Pascal) usw. Wird dies alles beachtet, erhält man auch die Ergebnisgröße automatisch in der ihr zukommenden kohärenten SI-Einheit. Für die Zahlenrechnungen genügt ein einfacher Taschenrechner mit den wichtigsten mathematischen Funktionen. Sind im Lösungstext gerundete numerische Zwischenergebnisse angegeben, werden zur weiteren Rechnung dennoch die exakten Zahlenwerte im Rahmen der Taschenrechner-Genauigkeit verwendet. Die Aufgabenstellungen sind so abgefasst, dass sie keine überflüssigen Angaben enthalten. Manchmal sind bestimmte Konstanten wie Gravitationskonstante, Gaskonstante usw. mit angegeben, in der Regel zu Beginn des Abschnittes, in dem sie erstmals auftreten. Fehlen solche Angaben, so bedeutet das nicht, dass diese für die Lösung nicht benötigt werden. Auf der vorderen Einband-Innenseite sind alle vorkommenden Konstanten nochmals zusammengestellt. Inhaltsverzeichnis KINEMATIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–17 Geradlinige Bewegung. Geschwindigkeit und Beschleunigung 18–26 Fall- und Steigbewegung. Senkrechter Wurf . . . . . . . . . 27–39 Überlagerung von Bewegungen. Schiefer Wurf . . . . . . . . 40–56 Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DYNAMIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57–74 N EWTONsche Bewegungsgesetze . . . . 75–85 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 86–97 Trägheitskräfte . . . . . . . . . . . . . . 98–113 Inertialsysteme. Relativistische Mechanik 114–134 Arbeit, Energie, Leistung . . . . . . . . . 135–147 Gravitationsgesetz. K EPLERsche Gesetze 148–164 Impuls und Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 11 12 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . 16 19 20 22 24 27 28 . . . . . . . . . 31 . . . . . . . . . . 31 33 35 36 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Spannung, Dehnung, Scherung. H OOKEsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . Dehnungsarbeit. Volumenelastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . STATIK UND DYNAMIK DES STARREN KÖRPERS . . . . . . . . . . . 165–176 Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften. Kräftegleichgewicht 177–189 Drehmoment. Statisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . 190–198 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt). Gleichgewichtsarten . . . . . . 199–213 Massenträgheitsmoment. Rotationsbewegung . . . . . . . . . . . 214–223 Arbeit, Energie und Leistung bei Rotation . . . . . . . . . . . . . ELASTIZITÄT FESTER KÖRPER 224–237 238–242 MECHANIK DER FLÜSSIGKEITEN UND GASE . . . . . . . 243–258 Druck in Flüssigkeiten und Gasen . . . . . . . . . . . 259–271 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272–281 Oberflächenspannung, Oberflächenenergie, Kapillarität 282–296 Strömung idealer Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . 297–310 Strömung realer Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMPERATUR UND WÄRME 311–315 316–325 326–338 339–350 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . 42 44 45 46 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Temperatur, Thermometrie . . . . . . . . . . . . . Thermische Ausdehnung fester und flüssiger Körper Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases . Wärme. Spezifische Wärmekapazität. Kalorimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 51 52 54 HAUPTSÄTZE DER THERMODYNAMIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 351–366 367–381 382–398 56 59 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Hauptsatz. Zustandsänderungen der Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisprozesse, Energieumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Hauptsatz. Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . REALE GASE. PHASENUMWANDLUNGEN 399–409 410–422 423–429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 VAN - DER -WAALSsche Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phasenumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 66 68 8 Inhaltsverzeichnis GASKINETIK. AUSGLEICHSVORGÄNGE 430–449 450–462 463–470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 72 74 ELEKTRISCHES FELD 471–490 491–497 498–506 507–525 Kraftwirkungen des elektrischen Feldes. Feldstärke, Potenzial, Spannung Elektrischer Fluss, Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrisches Feld in Stoffen. Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapazität, Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GLEICHSTROMKREIS 526–537 538–563 564–575 576–590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 . . . . 76 78 79 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Einfacher Stromkreis. O HMsches Gesetz . . . . . Widerstände und Netzwerke . . . . . . . . . . . Energie, Wärme und Leistung von Gleichströmen Elektrische Leitungsvorgänge. Elektrolyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 84 88 89 MAGNETISCHES FELD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 591–607 608–625 626–642 91 94 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetfeld von Dipolen und Gleichströmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kraftwirkungen des Magnetfeldes auf Stromleiter und bewegte Ladungsträger . . . Magnetisches Feld in Stoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ELEKTROMAGNETISCHE INDUKTION. WECHSELSTROMKREIS . . . . . . . . . . 99 643–664 Induktionsgesetz. Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 665–679 Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 SCHWINGUNGEN UND WELLEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 680–724 725–738 739–769 770–795 796–809 Mechanische Schwingungen Elektrische Schwingungen . Allgemeine Wellenlehre . . Schallwellen. Akustik . . . Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 111 113 117 119 OPTIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 810–845 846–870 871–880 881–888 Strahlenoptik (Geometrische Optik) Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . Temperaturstrahlung . . . . . . . . Photometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 126 129 130 ATOME UND ATOMKERNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 889–909 910–925 926–940 941–960 Welle-Teilchen-Dualismus Atomhülle . . . . . . . . Quantenmechanik . . . . Atomkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 135 137 140 Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 KINEMATIK Geradlinige Bewegung. Geschwindigkeit und Beschleunigung 1 Mittlere Geschwindigkeit Ein Fahrzeug legt die erste Hälfte a) seiner Fahrzeit, b) seines Weges mit der Geschwindigkeit 40 km/h zurück, die zweite Hälfte mit 60 km/h. Wie groß ist im Fall a) und im Fall b) die mittlere Geschwindigkeit? 2 Anfangs- und Endgeschwindigkeit Auf einem Streckenabschnitt von 300 m verdoppelt ein Fahrzeug bei gleichmäßiger Beschleunigung innerhalb von 20 Sekunden seine Geschwindigkeit. Wie groß sind Anfangs- und Endgeschwindigkeit? 3 Gleichmäßig verzögerte Bewegung Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit fährt ein Kraftfahrer, der vom Zeitpunkt des Erkennens eines Hindernisses und anschließender Notbremsung noch insgesamt 35 m zurücklegt, wenn die Reaktionszeit 0,8 s und die Bremsverzögerung −6,5 m/s2 beträgt? Wie lange dauert der Anhaltevorgang? 4 Kürzeste Fahrzeit Ein Personenkraftwagen soll aus dem Stand einen 518 m entfernten Zielpunkt in kürzester Zeit erreichen und dort wieder zum Stillstand kommen. Die maximale Startbeschleunigung beträgt a1 = 2,4 m/s2 , die maximale Bremsverzögerung a2 = −5,0 m/s2. a) Welche Höchstgeschwindigkeit v1 erreicht das Fahrzeug? b) Wie groß sind Beschleunigungsstrecke und Bremsweg? c) Welche Zeit wird für die gesamte Strecke mindestens benötigt? d) Was erhält man, wenn der PKW nur 130 km/h schafft? 5 Beschleunigungsstrecken Wie groß sind Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers, der in der sechsten Sekunde 6 m und in der elften Sekunde 8 m zurücklegt? 6 Einholvorgang Ein Fahrzeug A startet mit der Anfangsgeschwindigkeit v0A = 2 m/s und einer konstanten Beschleunigung a. 10 Sekunden danach startet vom gleichen Punkt aus ein zweites Fahrzeug B mit der Anfangsgeschwindigkeit v0B = 12 m/s und der gleichen Beschleunigung. a) Wie weit ist bei einer Beschleunigung von a = 0,5 m/s2 A von B schon entfernt, wenn B startet? b) Welche Zeit t1 benötigt B bei der gleichen Beschleunigung, um A einzuholen? c) Welche Strecke haben die beiden Fahrzeuge bis dahin zurückgelegt? d) Wie groß darf die Beschleunigung a der beiden Fahrzeuge maximal sein, damit A von B überhaupt eingeholt werden kann? 7 Weg-Zeit-Gesetz Die Abhängigkeit des von einem Körper durchlaufenen Weges s von der Zeit t ist durch s = A + Bt + Ct 2 gegeben, wobei B = 2 m/s und C = 1 m/s2 ist. Gesucht sind a) die mittlere Geschwindigkeit und b) die mittlere Beschleunigung des Körpers für die erste, zweite und dritte Sekunde seiner Bewegung. 10 KINEMATIK 8 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung (1) Ein Wagen fährt auf einen mit Pufferfedern versehenen Prellbock auf. Die momentane Bremsverzögerung a ist der momentanen Stauchung x der Pufferfedern proportional: a = −βx mit β = 2 · 103 s−2 . a) Um welchen maximalen Betrag x1 werden die Federn zusammengedrückt, wenn der Wagen mit der Geschwindigkeit v0 = 16,2 km/h auf den Prellbock auffährt? b) Wie groß ist die Bremsverzögerung am Ende der Stauchung? 9 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung (2) Ein Flugzeug wird nach dem Aufsetzen auf der Landebahn durch Bremsfallschirme abgebremst. Die durch den Luftwiderstand hervorgerufene Bremsverzögerung sei dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional: a = −kv 2 mit k = 0,04 m−1 . a) In welcher Zeit t1 verringert sich die Geschwindigkeit des Flugzeuges von anfänglich v0 = 50 m/s auf v1 = 1 m/s (Schritttempo), wenn der Bremsvorgang ausschließlich durch den Luftwiderstand bewirkt wird? b) Welche Strecke s1 legt es in dieser Zeit zurück? ZUSATZAUFGABEN 10 Eine Minute nach Abfahrt eines Fahrzeuges A mit der konstanten Geschwindigkeit v1 = 54 km/h startet am gleichen Ort ein zweites Fahrzeug B, welches mit der konstanten Geschwindigkeit v2 = 72 km/h dem Fahrzeug A hinterherfährt. a) Nach welcher Zeit und b) in welcher Entfernung vom Ausgangsort wird A von B eingeholt? 11 Ein Projektil wird mit einer Mündungsgeschwindigkeit von 600 m/s abgefeuert. Man bestimme die Durchschnittsbeschleunigung im Geschützrohr, wenn dieses eine Länge von 150 cm hat! 12 Die Entfernung zwischen zwei U-Bahn-Stationen beträgt 1,5 km. In der ersten Hälfte dieses Weges fährt der Zug gleichmäßig beschleunigt, in der zweiten Hälfte gleichmäßig verzögert, wobei die Verzögerung betragsmäßig gleich der Größe der Beschleunigung ist. Die Maximalgeschwindigkeit des Zuges beträgt 50 km/h. Gesucht sind a) die Größe der Beschleunigung bzw. Verzögerung, b) die Dauer der Fahrt zwischen den Stationen. 13 Ein Fahrzeug habe die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 36 km/h und legt innerhalb der nächsten 5 Sekunden die Strecke 67,5 m zurück. a) Wie groß ist die Beschleunigung? b) Welche Geschwindigkeit hat das Fahrzeug dann? 14 Ein Personenkraftwagen, der mit 72 km/h fährt, bremst vor einer Gefahrenstelle und verringert innerhalb von 5 Sekunden seine Geschwindigkeit gleichmäßig auf 18 km/h. Man bestimme a) die Verzögerung, b) die Strecke, die das Fahrzeug während der fünften Sekunde zurücklegt! 15 Bevor es den Erdboden verlässt, legt ein Flugzeug auf der Startbahn nach dem Start in 12 s einen Weg von 720 m mit konstanter Beschleunigung zurück. Gesucht sind a) die Beschleunigung, b) die Geschwindigkeit, mit der es den Erdboden verlässt, c) der in der ersten und in der zwölften Sekunde zurückgelegte Weg. Das Weg-Zeit-Gesetz einer Bewegung ist durch die Gleichung s = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 gegeben, wobei C = 0,14 m/s2 und D = 0,01 m/s3 ist. a) Wie viel Sekunden nach Beginn der 16 Fall- und Steigbewegung. Senkrechter Wurf 11 Bewegung beträgt die Beschleunigung 1 m/s2? b) Wie groß ist die mittlere Beschleunigung bis zu diesem Zeitpunkt? 17 Ein elektrischer Triebwagen fährt mit gleichförmig zunehmender (zeitproportionaler) Beschleunigung an. Nach t1 = 100 s beträgt diese a1 = 0,6 m/s2 . Wie groß sind zu diesem Zeitpunkt die Geschwindigkeit des Triebwagens und der zurückgelegte Weg? Fall- und Steigbewegung. Senkrechter Wurf 18 Freier Fall (1) An einer senkrecht hängenden Schnur sind in bestimmten Abständen Kugeln befestigt, wobei sich die unterste Kugel in der Höhe h 1 über dem Boden befindet. Wie groß sind die Abstände benachbarter Kugeln, wenn die Kugeln in gleichen Zeitabständen 1t auf dem Boden auftreffen, nachdem die Schnur losgelassen wurde? 19 Freier Fall (2) Ein frei fallender Körper passiert zwei 10 m untereinander liegende Messstellen im zeitlichen Abstand von 0,7 s. Aus welcher Höhe über dem oberen Messpunkt wurde der Körper losgelassen, und welche Geschwindigkeit hat er in den beiden Messpunkten? Luftwiderstand wird vernachlässigt. 20 Senkrechter Wurf nach oben Eine ballistische Rakete wird mit einer Geschwindigkeit von 490 m/s senkrecht nach oben abgefeuert. Man berechne a) die Steigzeit der Rakete bis zur maximal erreichten Höhe, b) die maximale Höhe, c) die Momentangeschwindigkeit nach 40 s und nach 60 s, d) die Zeit, in der die Rakete eine Höhe von 7840 m erreicht! Die Rakete wird von Beginn ihrer Steigbewegung an als Wurfgeschoss betrachtet. Luftwiderstand wird vernachlässigt. 21 Steigbewegung auf der schiefen Ebene Ein Skispringer fährt nach dem Aufsetzen mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 72 km/h einen Hang hinauf, der eine Steigung von 30 ◦ hat. a) Welchen Weg legt er bis zum obersten erreichten Punkt auf der schiefen Ebene zurück? b) Welche Zeit benötigt er dazu? Reibung wird vernachlässigt. ZUSATZAUFGABEN 22 Ein Personenkraftwagen fährt mit 36 km/h gegen eine Mauer. Aus welcher Höhe müsste er fallen, damit der Aufprall genauso stark wird? 23 Zum Zeitpunkt null wird ein Körper 1 aus einer Höhe von 800 m fallengelassen. Zum gleichen Zeitpunkt wird ein zweiter Körper 2 vom Boden aus mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 200 m/s nach oben geschossen. Nach welcher Zeit und in welcher Höhe begegnen sich die Körper? Luftreibung wird vernachlässigt. 24 Aus einem Ballon, der sich in 300 m Höhe befindet, wird Ballast abgeworfen. Nach welcher Zeit erreicht dieser den Erdboden, wenn der Ballon mit der Geschwindigkeit 5 m/s a) sinkt, b) steigt? Luftwiderstand wird vernachlässigt. 12 KINEMATIK Ein Schlitten gleitet reibungsfrei einen Hang hinab, der ein Gefälle von 30 ◦ hat. a) Man berechne die Geschwindigkeit des Schlittens, nachdem dieser aus dem Stand eine Strecke von 20 m zurückgelegt hat! b) Wie lange dauert die Fahrt bis dorthin? 25 26 Ein von einem Turm mit v0 = 10 m/s senkrecht nach unten geworfener Gegenstand trifft nach 2 s auf dem Erdboden auf. Gesucht sind die Auftreffgeschwindigkeit v und die Höhe des Turmes h. Überlagerung von Bewegungen. Schiefer Wurf 27 Superpositionsprinzip (1) Ein Boot setzt mit der Geschwindigkeit 2 m/s senkrecht zum Ufer über einen Fluss von 210 m Breite. Die Strömung treibt es dabei 63 m ab. a) Gesucht ist die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses, die Geschwindigkeit des Bootes gegenüber dem Ufer nach Größe und Richtung sowie die Zeit zum Übersetzen. b) Unter welchem Winkel muss gegengesteuert werden, um auf kürzestem Wege das gegenüber liegende Ufer zu erreichen? Wie lange dauert die Überfahrt? c) Unter welchem Winkel muss man steuern, um in der kürzesten Zeit das andere Ufer zu erreichen? Wie lange dauert dann die Überfahrt? 28 Superpositionsprinzip (2) (Bild) Man berechne den Abtrieb s eines Bootes beim senkrechten Überqueren eines Flusses der Breite B = 210 m bei einer Geschwindigkeit des Bootes von vB = 2 m/s! Im Unterschied zu Aufgabe 27 ist jetzt die Strömungsgeschwindigkeit nicht über die gesamte Flussbreite konstant, sondern fällt x nach 4x 2 v m B vF (x) vF (x) = vm 1 − 2 B vom Maximalwert vm = 0,6 m/s in Flussmitte (x = 0) auf null am Ufer (x = ±B/2) ab. 29 Horizontaler Wurf Ein Wasserstrahl, der horizontal aus einer Rohrleitung ausströmt, trifft 2 m unterhalb und 4 m entfernt von der Austrittsöffnung gegen eine senkrechte Wand. a) Wie groß ist die Ausströmgeschwindigkeit aus der Rohröffnung? b) Mit welcher Geschwindigkeit und unter welchem Winkel trifft der Strahl auf die Wand? 30 Gleichung der Wurfparabel (Bild) Man leite die Gleichung der Bahnkurve z = z(x) für den schiefen Wurf eines Körpers mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 und dem Abwurfwinkel α0 her! Man stelle zunächst für jede der beiden Teilbewegungen in horizontaler Richtung (x) und vertikaler Richtung (z), welche z sich zur resultierenden Bewegung des Körpers überlagern, das zugehörige Weg-Zeit-Gesetz x = x(t) bzw. v0 z = z(t) auf und eliminiere daraus die Zeit t. Die v0 z Komponenten von v 0 , v0x und v0z , drücke man durch α0 v x v0 und α0 aus. 0x Überlagerung von Bewegungen. Schiefer Wurf 13 31 Schiefer Wurf (1) Eine ballistische Interkontinentalrakete mit einer Reichweite von 8000 km werde aus dieser Entfernung abgefeuert. Sie kann vom Zielpunkt aus erst registriert werden, nachdem sie die halbe Entfernung zurückgelegt hat. (Näherungsweise Behandlung als Wurfgeschoss; Erdkrümmung und Luftwiderstand werden vernachlässigt.) a) Mit welcher Geschwindigkeit fliegt die Rakete, nachdem sie registriert wurde? b) Wie groß ist die verbleibende Vorwarnzeit? c) Mit welcher Geschwindigkeit würde sie ihr Ziel erreichen? d) Wie groß ist die maximale Höhe? Gleichung der Bahnkurve s. Aufgabe 30 (Lösung). 32 Schiefer Wurf (2) a) Wie groß muss der Abschusswinkel α0 eines Wurfgeschosses bei vorgegebener (hinreichend großer) Anfangsgeschwindigkeit v0 sein, wenn ein bestimmter Zielpunkt mit der horizontalen Entfernung x1 und der Höhe z 1 erreicht werden soll? Gleichung der Flugbahn s. Aufgabe 30 (Lösung). – Anleitung: Leiten Sie einen allgemeinen Ausdruck für tan α0 her. Benutzen Sie dazu die Umformung 1/ cos2 α0 = 1 + tan2 α0 ! b) Stellen Sie fest, ob mit v0 = 110 m/s und einem geeigneten Abschusswinkel α0 ein Ziel mit den Koordinaten x1 = 995 m, z 1 = 450 m erreicht werden kann. Das Geschütz befindet sich im Koordinatenursprung. – Anleitung: Diskutieren Sie das unter a) erhaltene Ergebnis hinsichtlich reeller Lösungen für tan α0 ! c) Berechnen Sie die erforderliche Mindest-Anfangsgeschwindigkeit des Geschosses und den zugehörigen Abschusswinkel für die unter b) angegebenen Zielkoordinaten! Wird das Ziel bei dieser Geschossgeschwindigkeit vor oder nach Überschreiten des Gipfels der Flugbahn erreicht? Luftwiderstand wird vernachlässigt. 33 Schiefer Wurf (3) Welche Weite kann eine Kugel, die von einer Kugelstoßerin aus 1,70 m Höhe über dem Erdboden mit der Geschwindigkeit 13,5 m/s fortgeschleudert wird, maximal erreichen? Unter welchem Winkel gegenüber der Horizontalen muss die Kugel gestoßen werden? ZUSATZAUFGABEN 34 Ein Flugzeug legt eine Entfernung von 300 km in Richtung Osten zurück. Die Windgeschwindigkeit beträgt 20 m/s, die Geschwindigkeit des Flugzeuges relativ zur Luft 600 km/h. Wie lange dauert der Flug, wenn der Wind a) von Osten nach Westen, b) von Süden nach Norden, c) von Westen nach Osten weht? 35 In einem Gewässer nimmt die Strömungsgeschwindigkeit linear mit der Entfernung x vom Ufer zu. Bei x1 = 50 m beträgt sie v1 = 3,6 km/h. Ein Boot fährt senkrecht zum Ufer mit der Geschwindigkeit vB = 9,0 km/h. a) Wie groß ist die Abdrift des Bootes in 40 m und in 50 m Entfernung vom Ufer? b) Wie lange dauert jeweils die Fahrt vom Ufer bis dorthin? 36 Von einem Flugzeug wird ein Gegenstand abgeworfen, welcher nach 14,28 s in einer horizontalen Entfernung von 3,57 km vom Ort des Abwurfs die Erde erreicht. a) Welche Höhe, b) welche Geschwindigkeit hatte das Flugzeug zum Zeitpunkt des Abwurfs? c) Mit welcher Geschwindigkeit und d) unter welchem Winkel gegenüber der Horizontalen trifft der Gegenstand auf der Erde auf? e) Über welchem Punkt der Erde befindet sich dann das Flugzeug? Luftwiderstand wird vernachlässigt. 14 KINEMATIK Von einem 25 m hohen Turm wird ein Stein mit v0 = 15 m/s unter dem Winkel α0 = 30 ◦ gegenüber der Horizontalen geworfen. a) Nach welcher Zeit, b) in welcher Entfernung vom Turm, c) mit welcher Geschwindigkeit, d) unter welchem Winkel trifft er auf dem Erdboden auf? Luftwiderstand wird vernachlässigt. 37 38 (Bild) Ein Punkt gleitet reibungsfrei auf einer schiefen Ebene variabler Höhe h, aber fester Breite d hinab. Mit zunehmender Höhe bzw. Neigung α der Ebene wird zwar die Beschleunigung größer, der zurückzulegende Weg s jedoch länger, mit abnehmender Höhe ist es genau umgekehrt. Bei welcher Höhe h benötigt die Punktmasse die kürzeste Zeit? s h α d 39 Ein Hochspringer, dessen Schwerpunkt 1,10 m über dem Boden liegt und der eine Absprunggeschwindigkeit von 4,3 m/s schafft, will mit einem Rollsprung 1,80 m überspringen. a) Wie weit vor der Latte und b) unter welchem Winkel gegenüber der Horizontalen muss er abspringen? Kreisbewegung 40 Grad- und Bogenmaß Der an einem Fadenpendel der Länge 1 m hängende kleine Pendelkörper beschreibt bei seinen Schwingungen einen 20 cm langen Bogen. Man gebe den vom Faden überstrichenen Winkel ϕ im Bogen- und im Gradmaß an! 41 Drehzahl und Winkelgeschwindigkeit Um die Geschwindigkeit v eines Geschosses zu bestimmen, wird dieses durch zwei Pappscheiben geschossen, die im Abstand von 50 cm auf gemeinsamer Welle mit 1600 Umdrehungen je Minute rotieren. Das Geschoss, das parallel zur Drehachse fliegt, durchschlägt beide Scheiben, wobei das Loch in der zweiten Scheibe um den Drehwinkel 15 ◦ gegenüber dem Loch in der ersten Scheibe versetzt ist. Wie groß ist v? 42 Umlaufzeit Nach jeweils welcher Zeit decken sich Minuten- und Stundenzeiger der Uhr? 43 Drehzahl und Umfangsgeschwindigkeit Zwei auf gemeinsamer Welle einer Transmission sitzende, fest miteinander verbundene Riemenscheiben unterscheiden sich in ihrem Durchmesser um 1D = 15 cm. Die Geschwindigkeit des Treibriemens auf der großen Scheibe beträgt v1 = 8 m/s, die Drehzahl ist n = 382 min−1 . Wie groß ist die Geschwindigkeit v2 des Riemens auf der kleineren Scheibe, und welche Durchmesser haben die Scheiben? 44 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor a) Für die gleichförmige Kreisbewegung berechne man in allgemeiner Form die x- und yKomponente des Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors in Abhängigkeit von der Zeit t sowie den Betrag beider Vektoren! b) Der Radius der Kreisbahn sei r = 1 m und die Winkelgeschwindigkeit ω = 1 rad/s. Geben Sie die Komponenten beider Vektoren für die Zeitpunkte t = 0 (entsprechend ϕ = 0), T /4, T /2 und 3T /4 (T Umlaufzeit) zahlenmäßig an, und treffen Sie eine allgemeine Aussage über die Richtung der Vektoren! Kreisbewegung 15 45 Radial- und Tangentialbeschleunigung Ein Fahrzeug fährt mit der Geschwindigkeit v0 = 30 km/h in eine 90-Grad-Kurve vom Radius R = 50 m ein und beschleunigt beim Durchfahren der Kurve gleichmäßig. Die größte Radialbeschleunigung ist ar = 3,86 m/s2. a) Mit welcher Geschwindigkeit v1 verlässt es die Kurve? b) Geben Sie Größe und Richtung der maximalen Beschleunigung a an! 46 Winkelbeschleunigung Ein mit der Drehzahl 3600 min−1 laufender Elektromotor kommt nach dem Abschalten innerhalb von 10 s zum Stillstand. a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung beim Auslaufen? b) Wie viel Umdrehungen führt der Motor nach dem Abschalten noch aus? 47 Winkel-, Radial- und Tangentialbeschleunigung Eine Zentrifuge soll aus dem Stillstand bei der Winkelbeschleunigung α = 31,6 rad/s2 eine solche Drehzahl erreichen, dass auf ein 10 cm von der Drehachse entferntes Teilchen eine Zentrifugalbeschleunigung vom 1000-fachen der Fallbeschleunigung g wirkt. a) Wie groß ist die erforderliche Drehzahl? b) Wie groß sind dann Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung des Teilchens? c) Wie lange dauert der Beschleunigungsvorgang? d) Wie viel Umdrehungen sind bis zum Erreichen der geforderten Drehzahl notwendig? 48 Drehwinkel-Zeit-Gesetz (1) Ein Teilchen rotiert auf einer Kreisbahn vom Radius r = 0,1 m. Die Abhängigkeit des Drehwinkels von der Zeit ist durch die Gleichung ϕ = A + Bt + Ct 3 gegeben, wobei B = 2 rad/s und C = 1 rad/s3 ist. Gesucht sind für den Zeitpunkt t = 2 s nach Beginn der Bewegung a) die Winkelgeschwindigkeit, b) die Bahngeschwindigkeit, c) die Winkelbeschleunigung, d) die Bahnbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung), e) die Radialbeschleunigung. 49 Drehwinkel-Zeit-Gesetz (2) Ein Punkt bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v = 0,2 m/s auf einer Kugel entlang eines Meridians vom Nordpol zum Südpol. Dabei wächst der Kugelradius gemäß r (t) = ut +r0 mit u = 1 m/s; zum Zeitpunkt t = 0, wenn der Punkt am Nordpol startet, beträgt er r0 = 1 m. a) Nach welcher Zeit t1 erreicht der Punkt den Südpol? b) Zur Zeit t = 0 startet auch am Südpol ein Punkt, der sich mit der gleichen Geschwindigkeit v auf demselben Meridian in Richtung Nordpol bewegt. Nach welcher Zeit t2 begegnen sich beide Punkte? ZUSATZAUFGABEN Welchen Wert haben die Winkel a) 1 rad und 1,571 rad im Gradmaß, b) 30 ◦, 45 ◦ und 60 ◦ im Bogenmaß (ausgedrückt in Teilen von π )? 50 51 Ein Rad mit dem Radius 0,5 m macht 300 Umdrehungen je Minute. Man bestimme a) die Winkelgeschwindigkeit, b) die Umfangsgeschwindigkeit! Die Pedalen eines Fahrrades werden mit einer Drehzahl von n = 120 min−1 getreten. a) Welche Winkelgeschwindigkeit ergibt sich für das Hinterrad, wenn das Kettenrad 44 und der Zahnkranz 20 Zähne hat? b) Wie viel Kilometer legt der Fahrer in einer Stunde zurück? Der Raddurchmesser beträgt 70 cm. 52 53 Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Flugzeug über dem Äquator von Ost nach West fliegen, wenn den Passagieren die Sonne am Himmel als feststehend erscheinen soll? Erdradius R = 6378 km. 16 DYNAMIK 54 Der Transmissionsriemen auf einem Rad vom Durchmesser 1,2 m hat 5 s nach dem Anlaufen eine Geschwindigkeit von 30 m/s. Wie viel Umdrehungen hat das Rad in dieser Zeit ausgeführt? 55 Innerhalb von 5 Sekunden, während 120 Umdrehungen stattfinden, wächst die Drehzahl eines Rotors gleichmäßig auf das Doppelte ihres anfänglichen Wertes. Wie groß ist die Drehzahl zu Beginn? 56 Ein Punkt läuft auf einer Kreisbahn vom Radius R = 50 cm mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = 2 rad/s um. Man berechne die x- und y-Komponente sowie den Betrag des Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors für einen Drehwinkel gegenüber der x-Achse von 60 ◦! DYNAMIK Newtonsche Bewegungsgesetze 57 1. newtonsches Axiom Wie groß ist die an einem Körper der Masse m angreifende resultierende Kraft, wenn sich dieser mit konstanter Geschwindigkeit v auf gerader Bahn bewegt? 58 2. und 3. newtonsches Axiom (Bild) Auf einer reibungsfreien Unterlage liegen dicht aneinander zwei Blöcke A und B mit den Massen m A und m B . Auf Block A wirkt eine Kraft F, die über ihn auf Block B übertragen wird. Nach dem 3. NEWTONschen Axiom übt Block B eine gleich große, aber entgegengerichtete Kraft −F auf Block A aus. Die Gesamtkraft auf A wäre also Fges = F + (−F) = 0, und nach dem 2. NEWTONschen Axiom wäre mB F mA demzufolge auch seine Beschleunigung a = Fges /m A = 0. Hieraus wäre zu schließen, dass Block A nicht beschleunigt werden kann, unabhängig davon, wie groß F auch sei. Worin liegt der Fehler? Wie groß ist die Beschleunigung wirklich, und wie groß ist die Gesamtkraft auf Block A und auf Block B, wenn F = 10 N, m A = 2 kg und m B = 3 kg? 59 Grundgesetz der Dynamik (2. newtonsches Axiom) (Bild) Die Lok eines aus insgesamt drei Wagen von je m = 15 t Masse bestehenden Güterzuges entwickelt gegenüber den Schienen eine Antriebskraft von F = 45 kN. Die Reibung wirkt auf jeden Wagen als Bremskraft von FR = 700 N. Wie groß ist a) die Beschleunigung des Zuges, b) die Zugkraft F1 zwischen den beiden ersten Wagen, c) die F2 F1 F Zugkraft F2 zwischen dem zweiten und dem dritten Wagen? 60 Beschleunigung gegen die Schwerkraft Welche Kraft muss auf eine Masse von 2 kg senkrecht nach oben ausgeübt werden, damit diese a) mit einer Beschleunigung von (nur) 3 m/s2 fällt, b) sich mit der Beschleunigung 3 m/s2 nach oben bewegt? Newtonsche Bewegungsgesetze 17 61 Bremskraft Ein Truck mit einer Masse von 20 t und einer Geschwindigkeit von 54 km/h wird mit 0,3 m/s2 Verzögerung gleichmäßig bis zum Stillstand abgebremst. a) Wie groß ist die Bremskraft zwischen Truck und Fahrbahn? b) Nach welcher Zeit bleibt der Truck stehen? c) Welchen Weg legt er bis zum Stillstand zurück? Reibungswiderstände werden vernachlässigt. 62 Druckkraft Ein aus einem Rohr horizontal austretender Wasserstrahl trifft auf eine unmittelbar hinter der Austrittsöffnung senkrecht zum Strahl aufgestellte ebene Druckplatte und übt auf diese eine Kraft von 30 N aus. Die sekundlich ausströmende Wassermenge wird zu 1,5 l ermittelt. Man bestimme die Ausströmgeschwindigkeit des Strahls! Dichte von Wasser ̺ = 103 kg/m3 . 63 Federkraft (Bild) Wird auf die leere Schale einer Tellerfederwaage (Masse der Waagschale m 0 = 200 g) ein Massenstück m 1 = 5 kg gelegt, so erfährt sie eine Auslenkung aus der m1 Ruhelage um x1 = 100 mm. Nach Herunternehmen von m 1 und Auflegen m0 einer zweiten Masse m 2 = 400 g beträgt die Auslenkung x2 . Um welche x1 Strecke 1x darf man die Schale dann noch niederdrücken, wenn m 2 nach dem Loslassen während der anschließenden Schwingung im oberen Umkehrpunkt gerade noch nicht von der Waagschale abheben soll? 64 Beschleunigung bei konstanter Kraft und veränderlicher Masse Ein Tankfahrzeug mit der Anfangsmasse m 0 = 10 t, welches (nach Abzug aller Reibungs- und Fahrwiderstände) durch eine konstante Kraft F0 = 500 N angetrieben wird und bei der Geschwindigkeit null startet, verliert stetig an Flüssigkeit (Loch im Boden des Tankwagens). Der zeitlich konstante und mit Beginn der Bewegung einsetzende Masseverlust beträgt µ = 15 kg/s. a) Welche Geschwindigkeit hat das Fahrzeug nach t1 = 5 min Fahrt? b) Welche Geschwindigkeit wäre ohne Masseverlust erreicht worden? 65 Bewegung bei konstanter Antriebskraft und geschwindigkeitsproportionaler Bremskraft Man stelle die Bewegungsgleichung für ein Sandkorn auf, welches in Wasser unter dem Einfluss der Schwerkraft, der Auftriebskraft und einer zur Geschwindigkeit v proportionalen Reibungskraft FR = 6π η Rv zu Boden sinkt! Dabei ist η = 0,001 N s/m2 die dynamische Viskosität des Wassers. Der Radius der kugelförmig angenommenen Sandkörner sei R = 100 mm, ihre Dichte ̺ = 2,65 · 103 kg/m3; Dichte von Wasser ̺W = 103 kg/m3 . a) Wie groß ist die sich einstellende konstante (maximale) Sinkgeschwindigkeit vS ? b) Welche Abhängigkeit besteht zwischen der momentanen Sinkgeschwindigkeit v und der Zeit t? Nach welcher Zeit wird vS praktisch erreicht? c) Wie groß ist die anfängliche Sinkbeschleunigung? 66 Harmonische Schwingung Wie viel Schwingungen je Sekunde führt die leere Tellerfederwaage von Aufgabe 63 aus, wenn sie niedergedrückt und dann wieder losgelassen wird? ZUSATZAUFGABEN 67 Ein D-Zug (Masse 400 t) fährt mit einer Geschwindigkeit von 108 km/h. Er wird auf einer Strecke von 360 m mit konstanter Verzögerung zum Stehen gebracht. Welche Bremskraft zwischen Zug und Schiene tritt auf? 18 DYNAMIK 68 (Bild) Drei dicht aneinanderliegende gleiche Blöcke A, B und C (Masse m) werden längs einer reibungsfreien Unterlage durch eine Kraft F, die am Block A angreift, fortgeschoben. a) Welche Gesamtkraft wirkt auf Block A in vertikaler Richtung? b) Welche Gesamtkraft wirkt auf Block A längs der Unterlage? c) Wie groß ist die Beschleunigung F A B C von Block C? d) Wie groß ist die Kraft von Block A auf Block B? 69 Welche Zeitspanne muss ein Wagen von 12 t Masse aus dem Stand auf horizontaler Strecke angeschoben werden, damit er bei einer Schubkraft von 1,5 kN eine Geschwindigkeit von 7,2 km/h erreicht, a) ohne Berücksichtigung von Reibung, b) bei einer Fahrwiderstandszahl µF = 0,01 (= Reibungskraft/Normalkraft auf die Schiene)? 70 (Bild) Auf die drei Massen, von denen m 3 auf einer waagrechten Ebene reibungsfrei gleiten kann, wirken zum einen die Gewichtskräfte von m 1 und m 2 , zum anderen (in entgegengesetzter Richtung) die Seilkräfte F1 und F2 . Es sei m 2 6 = m 1 . a) m3 Wie groß sind die an m 1 und an m 2 angreifenden Kräfte? b) Wie F1 F2 groß ist die auf m 3 wirkende Kraft, wenn diese mit der Hand festgehalten wird? Wie groß ist in diesem Falle F1 ? c) Wie groß ist F1 , m1 m2 wenn m 1 festgehalten wird? d) Was ergibt sich für F1 und F2 , wenn m 1 = m 2 = m? Wie groß ist dann die Kraft auf m 3 ? e) Es sei m 1 = 3 kg, m 2 = 5 kg und m 3 = 2 kg. Wie groß ist die Beschleunigung der Massen, wenn sie sich frei bewegen können? 71 (Bild) Bei der Anordnung zweier über Seil und Rolle miteinander verbundener Massen m 1 = 2 kg und m 2 = 3 kg wird eine Abwärtsbewegung von m 1 beobachtet. Der Neigungswinkel der schiefen Ebene beträgt α = 30 ◦. a) Mit welcher Beschleunigung m2 bewegen sich die Massen? Wie müssen b) m 1 verkleinert, c) α vergrößert m 1 werden, damit sich das System mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, α nachdem es einmal in Bewegung gekommen ist? Massen von Rolle und Seil sowie Reibung werden vernachlässigt. 72 Wasserkraftwerke nutzen die potenzielle Energie des Wassers zum Antrieb ihrer Turbinen. Man berechne die auf die Schaufeln des Turbinenlaufrades ausgeübte Kraft, wenn durch das Fallrohr mit einem Höhenunterschied von 18 m je Sekunde 50 m3 Wasser zur Turbine gelangen! Umlenkverluste werden vernachlässigt. Dichte von Wasser: ̺ = 103 kg/m3. 73 Bei dem historischen Versuch OTTO VON G UERICKES (1659) mit den Magdeburger ” Halbkugeln“ zum Nachweis des atmosphärischen Luftdruckes wurden zwei Halbkugelschalen luftdicht aneinander gelegt und nahezu luftleer gepumpt, wodurch diese mit einer Kraft von 12 kN aneinander gepresst wurden. Durch die Zugkraft von zwei Gruppen von Pferden, je eine Gruppe an jeder Halbkugel, sollten sie voneinander getrennt werden. Wie viel Pferde in jeder Gruppe werden dazu benötigt, wenn jedes Pferd eine durchschnittliche Zugkraft von 1,5 kN entwickelt und alle Pferde gleichzeitig anziehen? 74 Ein zylindrischer Körper (Masse m = 200 g, Durchmesser d = 10 cm) schwimmt auf einer Flüssigkeit. Taucht man ihn tiefer in die Flüssigkeit ein und lässt ihn dann wieder los, führt er je Sekunde 3 Schwingungen um seine Schwimmgleichgewichtslage aus. Wie groß ist die Dichte ̺ der Flüssigkeit? Reibung 19 Reibung 75 Gleitreibung und Haftreibung Weshalb ist der Bremsweg eines Fahrzeuges mit blockierten Rädern länger als mit rollenden Rädern? 76 Gleitreibungszahl und Haftreibungszahl (1) (Bild) An einem 25 kg schweren Block, der auf einer horizontalen Unterlage ruht, greift unter dem Winkel von α = 30 ◦ für die Dauer von 2,5 s die Schubkraft F = 200 N an. Der Block erhält dadurch eine Geschwindigkeit von 7,4 m/s. a) Wie groß ist die Gleitreibungszahl µ? b) Wie groß wäre die Haftreibungszahl µ0 , wenn unter den angegebenen BedinF α gungen der Block gerade noch nicht gleiten würde (v = 0 bzw. a = 0)? c) Wie groß darf α höchstens sein, um bei µ0 = 0,4 die Haftreibung zu überwinden? 77 Gleitreibungszahl und Haftreibungszahl (2) Ein Körper erhält beim Herabgleiten auf einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel von 20 ◦ eine Beschleunigung von 1,5 m/s2 . Wie groß ist die Gleitreibungszahl µ und für den Grenzfall die Haftreibungszahl µ0 ? 78 Haftreibung und Fahrwiderstand Welche Anhängelast G kann die 785 kN schwere Lokomotive eines Eisenbahnzuges mit konstanter Geschwindigkeit a) auf waagrechter Strecke, b) bei 2,1% Steigung ziehen, ohne zu rutschen? c) Welche Beschleunigung wird mit der unter b) berechneten Last G auf waagrechter Strecke erreicht? Die Haftreibungszahl ist µ0 = 0,15 und die Fahrwiderstandszahl, welche bei rollenden Rädern die Gleitreibung in den Achslagern sowie die Rollreibung am Boden erfasst, µF = 0,002. 79 Reibung bei beschleunigter Relativbewegung Auf einer waagrechten Platte liegt eine Münze. Durch Freigeben einer mit der Platte verbundenen und gespannten Feder zum Zeitpunkt t = 0 wird die Platte in horizontaler Richtung ruckartig beschleunigt, wobei die Beschleunigung von ihrem Maximalwert a0 = 8 m/s2 bei t = 0 gemäß der Beziehung a(t) = a0 cos(t/τ ) auf null abfällt (τ = 0,3 s). Wie lange und um welche Strecke rutscht die Münze auf ihrer Unterlage, während sich die Feder entspannt? Die Haftreibungszahl ist µ0 = 0,6, die Gleitreibungszahl µ = 0,5. 80 Seilreibung An den Enden eines Seiles, das mehrmals um ein waagrecht gehaltertes Rohr gewickelt ist, hängen Gewichte von G 1 = 15 N und G 2 = 5 kN. Wie viel Windungen sind mindestens nötig, damit das Seil unter der beiderseits ungleichen Last nicht rutscht? Haftreibungszahl µ0 = 0,4. ZUSATZAUFGABEN 81 Auf einen 50 kg schweren Betonblock, der auf einer horizontalen Unterlage ruht, wirkt 5 s lang eine horizontale Kraft von 250 N. Die Gleitreibungszahl zwischen Block und Unterlage beträgt 0,4. a) Welche Geschwindigkeit hat der Block am Ende der Krafteinwirkung? b) Wie groß ist die Haftreibungszahl µ0 , wenn der Block bei dieser Kraft gerade noch nicht rutscht? 20 DYNAMIK 82 Ein Radfahrer lässt sich bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h auf einer horizontalen Straße ausrollen und legt dabei noch einen Weg von 220 m zurück. Wie groß ist die mittlere Fahrwiderstandszahl µF ? Luftwiderstand bleibt unberücksichtigt. 83 Mit welcher Beschleunigung bewegen sich die Massen im Bild zu Aufgabe 71 m 1 = 2 kg und m 2 = 3 kg für den Fall, dass die Masse m 2 auf der schiefen Ebene (Neigungswinkel α = 30 ◦) eine Gleitreibung mit µ = 0,04 erfährt? Massen von Rolle und Seil werden vernachlässigt. 84 Ein Fahrzeug fährt durch eine Kurve vom Krümmungsradius r = 60 m. Die Haftreibungszahl zwischen Reifen und Straße beträgt µ0 = 0,55. Mit welcher Geschwindigkeit darf das Fahrzeug maximal fahren, damit es in der Kurve nicht wegrutscht? 85 Ein Glas vom Durchmesser D = 10 cm wird von einer Karte bedeckt, auf der in der Mitte eine kleine Münze (Durchmesser d = 19 mm) liegt. Mit welcher Beschleunigung muss die Karte unter der Münze weggezogen werden, damit bei einer Gleitreibungszahl µ = 0,2 die Münze ohne anzustoßen ins Glas fällt? Trägheitskräfte 86 Massenträgheit, Trägheitskraft (Bild) Zwei Massen m 1 = 4 kg und m 2 = 1 kg, die an Fäden übereinander aufgehängt sind, erhalten durch ruckartiges Ziehen am oberen Faden eine AufwärtsF2 beschleunigung. Beide Fäden haben eine Reißfestigkeit von F0 = 59 N. a) Für m2 welchen der beiden Fäden wird bei wachsender Beschleunigung die Reißfestigkeit F1 zuerst erreicht? Bei welcher Beschleunigung ist dies der Fall? b) Welche Festigkeit ′ m1 F0 müsste der höher belastete Faden haben, wenn beide Fäden gleichzeitig reißen sollen? 87 Beschleunigtes System dreier Massen Das Bild in Aufgabe 70 zeigt drei über Rollen miteinander verbundene Massen m 1 = 3 kg, m 2 = 5 kg und m 3 = 2 kg. a) Wie groß sind dort die Seilkräfte F1 und F2 links- und rechtsseitig von m 3 , wenn sich alle Massen frei bewegen können? b) Welche Kraft wirkt auf m 3 ? c) Wie groß sind die Seilkräfte für den Fall, dass m 1 und m 2 gleich groß sind? Wie groß ist in diesem Fall die Kraft auf m 3 ? Massen der Seile und Rollen sowie Reibung werden vernachlässigt. 88 Fliehkraft (1) (Bild) Ein Wagen gleitet aus einer Höhe h reibungsfrei auf einer schiefen Ebene herab und vollführt danach auf der Innenseite einer kreisförmigen Schleifenbahn vom Radius R einen Looping. Welche Kraft wirkt auf die Insassen des Wagens senkrecht zur Bahn (in Vielfachen ihres Eigengewichts G) a) beim Durchfah2 ren des untersten Punktes 1 und b) im höchsten Punkt 2 der Schleife, h 2R wenn der Wagen in einer Höhe von h = 3 R startet? c) Welche Aus1 gangshöhe muss gewählt werden, damit der Wagen die Fahrt durch die Schleife gerade schafft, ohne den Kontakt mit der Fahrbahn zu verlieren? Wie groß ist dann die Kraft im untersten Punkt 1? Trägheitskräfte 21 89 Fliehkraft (2) Eine Flüssigkeit, die sich in einem zylindrischen Gefäß befindet, wird in Rotation um die Zylinderachse versetzt. Die Flüssigkeitsoberfläche nimmt dadurch eine nach innen gewölbte rotationssymmetrische Form an. Durch welche mathematische Funktion wird das Oberflächenprofil in der Schnittfläche durch die Zylinderachse beschrieben? – Anleitung: Man betrachte die Kräfte, die an einem im Abstand x von der Drehachse (y-Achse) rotierenden Flüssigkeitsteilchen der Oberfläche angreifen. Ihre Resultierende steht im betreffenden Punkt senkrecht zur Oberfläche, wodurch die Tangentenrichtung tan ϕ = dy/dx an das Oberflächenprofil in diesem Punkt festgelegt ist. Innere Reibung wird vernachlässigt. 90 Corioliskraft (Bild) Die rotierende Erde verbinden wir mit einem mitbewegten Koordinatensystem S ′ (x ′ , y ′ , z ′) mit i ′ , j ′ , k′ als Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen, wobei die z ′-Richtung mit der Richtung der Drehachse zusammenfällt. In einem Punkt P z´ ω auf dem Äquator bewegen sich drei Körper (Masse m) mit den Geschwindigkeiten a) v ′1 = v ′ i ′ , b) v ′2 = v ′ j ′ , c) v ′3 = v ′ k′ . d) Ein vierter Körper bewegt sich auf der nördlichen Halbkugel entlang des durch P gehenden Meridians in Richtung Nordpol, e) ein fünfP y´ ter Körper auf der südlichen Halbkugel in Richtung Südpol. Man x´ gebe die entsprechenden C ORIOLIS-Kräfte an! v´1 91 Bahnabweichung durch Corioliskraft (1) Ein Geschoss fliegt über ein Gebiet 45 ◦ nördlicher Breite mit der konstanten Relativgeschwindigkeit gegenüber der Erde v ′ = 500 m/s in nördliche Richtung. Man bestimme die seitliche Abweichung des Geschosses von der Meridianrichtung infolge des Wirkens der C ORIOLISKraft für eine Flugstrecke von s = 30 km! Voraussetzungen: Schuss näherungsweise parallel zur Erdoberfläche, Vernachlässigung von Erdanziehung und Luftreibung. 92 Bahnabweichung durch Corioliskraft (2) Ein an einem Ort 53 ◦ nördlicher Breite aufgestelltes Geschütz feuert ein Geschoss senkrecht nach oben ab. Nach T = 130 s trifft es – infolge des Wirkens der C ORIOLIS-Kraft – mit einer seitlichen Abweichung x vom Geschütz wieder am Erdboden auf. Wie groß ist diese? Luftwiderstand wird vernachlässigt. ZUSATZAUFGABEN 93 (Bild) Zwei Massen m 1 = 1 kg und m 2 = 3 kg sind durch ein über eine reibungsfreie Rolle führendes Seil miteinander verbunden. Die Massen von Rolle und Seil werden vernachlässigt. a) Welche Kraft wird benötigt, um m 1 auf der Unterlage zu halten? b) Wie groß ist die Zugkraft im Seil, wenn m 1 auf der Unterlage festgehalten wird? c) Wie groß ist die Seilkraft, wenn m 1 losgelassen wird? 94 m2 m1 Bei der in Aufgabe 71 (Bild) gezeigten Anordnung zweier über Seil und Rolle miteinander verbundener Massen m 1 = 2 kg und m 2 = 3 kg (Neigung der schiefen Ebene 30 ◦) wird eine Abwärtsbewegung von m 1 beobachtet. Wie groß ist die Seilkraft, wenn m 2 auf der schiefen Ebene eine Gleitreibung mit µ = 0,04 erfährt? 22 DYNAMIK 95 (Bild) Vom höchsten Punkt einer Halbkugel beginnt eine Punktmasse aus der Ruhelage reibungsfrei hinabzugleiten. Mit fortschreitender Bewegung wächst die Fliehkraft stetig an, während die Normalkomponente der Gewichtskraft abnimmt. Bei welchem Winkel ϕ löst sich die Punktmasse von der Oberϕ fläche der Halbkugel? 96 Eine an einer dünnen Schnur der Länge l = 0,5 m hängende Kugel bewegt sich mit gleich bleibender Geschwindigkeit auf einer horizontalen Kreisbahn, wobei die Schnur mit der Lotrechten den Winkel ϕ = 30 ◦ einschließt (konisches Pendel). Welche Geschwindigkeit hat die Kugel? Wie groß ist ihre Umlaufdauer? Über einem Ort 50 ◦ nördlicher Breite sinkt ein Fallschirmspringer die letzten 1500 m vor der Landung mit der konstanten Geschwindigkeit v ′ = 5 m/s zur Erde. Welche Abweichung von der Vertikalen ergibt sich bei dieser Fallhöhe für den Auftreffpunkt auf der Erde nach Größe und Richtung infolge des Wirkens der C ORIOLIS-Kraft? Winde und andere Luftströmungen werden ausgeschlossen. 97 Inertialsysteme. Relativistische Mechanik 98 Galilei-Transformation In einem mit der konstanten Geschwindigkeit v fahrenden Eisenbahnwagen fällt ein Körper zu Boden. Welche Bahn beschreibt der Körper a) von einem Mitfahrenden aus gesehen, b) von einem Beobachter auf dem Bahnsteig aus gesehen? 99 Lorentz-Transformation Eine im Ursprung des Inertialsystems 6 mit den Orts- und Zeitkoordinaten x, y, z, t befindliche punktförmige Lichtquelle sendet zum Zeitpunkt t = 0 einen Lichtblitz aus. Die von ihr ausgehende Wellenfront ist die Kugelfläche x 2 + y 2 +z 2 = c2 t 2 , deren Radius ct sich mit der Lichtgeschwindigkeit c ausdehnt. Beschreiben Sie diesen Vorgang in Bezug auf ein zu 6 achsenparalleles Inertialsystem 6 ′ (x ′ , y ′, z ′ , t ′), welches sich gegenüber 6 mit der Relativgeschwindigkeit v in x- bzw. x ′ -Richtung bewegt, durch Ausführung der L ORENTZ-Transformation, und interpretieren Sie das Ergebnis! 100 Relativistische Längenkontraktion Ein Raumfahrer fliegt mit 60% der Lichtgeschwindigkeit an einem Beobachter vorbei. Dieser registriert als Länge des Cockpitfensters in Flugrichtung 80 cm. Ebenso misst der Raumfahrer für das Fenster des Beobachters eine Länge von 80 cm. Welche Länge haben die Fenster von Raumfahrer und Beobachter in ihren eigenen Bezugssystemen? 101 Relativistische Zeitdilatation In einem Synchrozyklotron hochbeschleunigte Protonen treffen auf ein im Innern befindliches Target und erzeugen dadurch einen Strahl von π -Mesonen, die eine Geschwindigkeit von 80% der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c haben. Die mittlere Lebensdauer dieser instabilen Teilchen beträgt 2,60 · 10−8 s. Welche Strecke legen sie in dieser Zeit zurück? Inertialsysteme. Relativistische Mechanik 23 102 Zeitdilatation und Längenkontraktion Mit einem Raumschiff, das annähernd Lichtgeschwindigkeit erreicht, soll von der Erde aus eine Mission zum nächsten Fixstern, dem 4,3 Lichtjahre entfernten α Centauri, unternommen werden. a) Wie groß ist die (konstant angenommene) Geschwindigkeit des Raumschiffes, wenn die Flugdauer – gemessen mit den Borduhren der Raumfahrer – 1,25 Jahre beträgt? b) Wie lange dauert der Flug im Zeitmaß der Erdenbewohner? – Anmerkung: 1 Lichtjahr (1 ly) ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr (1 a) zurücklegt, mit c als Lichtgeschwindigkeit also 1 ly = (1 a)c = 9,46 · 1015 m. 103 Zeitdauer zwischen zwei Ereignissen Eine Aussage der speziellen Relativitätstheorie besteht darin, dass sich der zeitliche Abstand zweier aufeinander folgender Ereignisse in einem Inertialsystem 6 für einen relativ dazu bewegten Beobachter (Inertialsystem 6 ′ ) ändert. In 6 finde am Ort x1 zum Zeitpunkt t1 ein Ereignis statt, welches ein zweites Ereignis an einem weiter entfernt gelegenen Ort x2 > x1 zu einem späteren Zeitpunkt t2 zur Folge hat. (Man denke z. B. an das Anbrennen einer Zündschnur und die hierdurch ausgelöste Explosion einer Sprengladung.) Man untersuche, ob in einem anderen Inertialsystem 6 ′ eine Umkehrung der zeitlichen Reihenfolge beider Ereignisse beobachtet werden kann. Anleitung: Finden Sie mithilfe der L ORENTZ-Transformation (s. Aufgabe 99, Lösung) einen Ausdruck für die Zeitdifferenz t2′ − t1′ und beachten Sie, dass (x2 − x1 )/(t2 − t1 ) = vS die Signalgeschwindigkeit“ ist, mit der im genannten Beispiel die Zündflamme fortschreiten kann. ” Wie groß müsste vS für den zu untersuchenden Fall t2′ < t1′ sein? 104 Relativistische Addition von Geschwindigkeiten Ein freies Neutron ist ein instabiles Teilchen, das in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino zerfällt. Das Neutron habe im Laborsystem im Moment seines Zerfalls eine Geschwindigkeit von 0,9c (c Lichtgeschwindigkeit), das entstehende Elektron gegenüber dem zerfallenden Neutron die Geschwindigkeit 0,8c, und es bewege sich in der gleichen Richtung wie das Neutron. Welche Geschwindigkeit misst der Experimentator für das Elektron? Welche Geschwindigkeit würde eine nichtrelativistische Rechnung ergeben? 105 Impulsmasse, relativistischer Impuls In einem Teilchenbeschleuniger werden Protonen auf die Geschwindigkeit 0,8c gebracht (c Lichtgeschwindigkeit). a) Um wie viel Prozent vergrößert sich ihre Masse? b) Welchen Impuls haben die Protonen dann (in Vielfachen des nichtrelativistischen Impulses)? 106 Relativistische Bewegungsgleichung Auf ein Teilchen der Ruhmasse m 0 wirkt vom Zeitpunkt t = 0 an in x-Richtung eine konstante Kraft F = m 0 a. Welche Geschwindigkeit v hat das Teilchen zu einem beliebig späteren Zeitpunkt t a) bei klassischer (nichtrelativistischer) Betrachtung, b) nach relativistischer Rechnung? c) Nach welcher Zeit t = t1 würde das Teilchen bei nichtrelativistischer Betrachtung die Geschwindigkeit v1 = c (Lichtgeschwindigkeit) erreichen? Wie groß ist dann die wahre Geschwindigkeit? – Anleitung: Gehen Sie bei der Beantwortung von b) vom Grundgesetz der p Dynamik d p/dt = F aus, wobei p = mv mit m = m 0 / 1 − (v 2 /c2 ) der relativistische Impuls ist! 107 Zwillingsparadoxon Von den Zwillingsbrüdern A und B unternimmt B mit einem Raumschiff, das mit einer Dauerbeschleunigung von a = 10 m/s2 ≈ g fliegt, eine nach seiner Uhr zwölfjährige Reise ins 24 DYNAMIK All. Die Gesamtstrecke für Hin- und Rückreise besteht aus zwei Beschleunigungs- und zwei ebenso langen Bremsabschnitten von je dreijähriger Dauer. a) Welche Geschwindigkeit erreicht das Raumschiff bis zum Ende der Beschleunigungsphase? b) Welcher Altersunterschied besteht zwischen dem daheimgebliebenen Zwilling A und seinem Bruder B nach dessen Rückkehr zur Erde? c) Wie weit hatte sich B von der Erde entfernt? ZUSATZAUFGABEN 108 Ein an einer Schraubenfeder hängender kleiner Massekörper führt in lotrechter Richtung Schwingungen aus, die dem Weg-Zeit-Gesetz z = z 0 sin ωt gehorchen (ω Konstante). Ein Beobachter bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v in horizontaler Richtung (xRichtung) an dem schwingenden Körper vorbei. Welche Bahnkurve des schwingenden Körpers nimmt er wahr? 109 Ein Elektron durchläuft mit der Geschwindigkeit 0,866c (c Lichtgeschwindigkeit) eine 10 m lange Messstrecke. a) Wie lang ist diese Strecke im Bezugssystem des Elektrons? b) Welche Eigenzeit benötigt es dazu? 110 Ein Stab der Länge l = 1,00 m bewege sich parallel zu seiner Längsrichtung. Ein Beob- achter misst eine Länge von 0,60 m. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Stabes relativ zum Beobachter? 111 In Aufgabe 104 bewegt sich das beim Zerfall des Neutrons entstehende Elektron in der gleichen Richtung wie das Neutron. Welche Geschwindigkeit misst der Experimentator für das Elektron, wenn es sich in entgegengesetzter Richtung wie das Neutron bewegt? 112 Zwei Teilchen bewegen sich gegenüber einem festen Bezugspunkt in entgegengesetzter Richtung, das eine mit der Geschwindigkeit 0,6c (c Lichtgeschwindigkeit) nach links, das andere mit 0,8c nach rechts. Wie groß ist, von einem der Teilchen aus gesehen, ihre Relativgeschwindigkeit? 113 Bei welcher Geschwindigkeit wächst die Masse eines Teilchens auf das Zehnfache der Ruhmasse an? Arbeit, Energie, Leistung 114 Arbeit als Skalarprodukt a) Man gebe das Differenzial der Arbeit dW für den Kraftvektor F mit den Komponenten Fx , Fy , Fz und den infinitesimalen Verschiebungsvektor dr mit den Komponenten dx, dy, dz an! b) Wie berechnet sich der Winkel, den F und dr miteinander einschließen, direkt aus den Komponenten beider Vektoren? 115 Hub- und Reibungsarbeit (1) Eine Betonplatte (Dichte ̺ = 2,2 · 103 kg/m3) mit den Abmessungen 2,0 × 1,0 × 0,2 m3 wird über eine um 30 ◦ geneigte Ebene aus einer 5 m tiefen Baugrube gezogen. Die Gleitreibungszahl beträgt µ = 0,25. Man berechne die aufzuwendende Arbeit! Arbeit, Energie, Leistung 25 116 Hub- und Reibungsarbeit (2) Ein 2 m langer und 6,5 kg schwerer Teppich, der zu einem Teil seiner Länge auf einer Tischplatte liegt und dessen restliche Länge über die Tischkante frei nach unten hängt, wird an seinem oberen Ende ganz auf die Platte gezogen. Dabei wird die Arbeit 30,3 J verrichtet. Die Gleitreibungszahl ist µ = 0,3. Welches Teilstück der Teppichlänge befand sich zuvor bereits auf der Tischplatte? 117 Ausdehnungsarbeit Der Überdruck in einer Seifenblase (Innendruck gegenüber Außendruck) berechnet sich nach p = 4σ/R mit R als Radius der Blase und σ als Oberflächenspannung der Flüssigkeit. Beim Aufblasen (Vergrößerung des Blasenvolumens um dV ) ist die Arbeit dW = p dV zu verrichten. a) Man berechne die für die Bildung von 100 Seifenblasen mit dem Durchmesser 10 cm notwendige Arbeit (σ = 0,064 N/m)! b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der verrichteten Arbeit und der neugebildeten Oberfläche? 118 Dehnungsarbeit Eine anfänglich durch die Kraft F1 = 1 N gedehnte Schraubenfeder wird um weitere 10 cm gedehnt. Dazu ist die Arbeit W = 0,55 J aufzuwenden. a) Welche Auslenkung x1 wies die Feder anfänglich auf? b) Wie groß sind Federkonstante k und Endkraft F2 ? 119 Beschleunigungsarbeit Ein Aufzug mit der Masse 2,0 t soll aus dem Stillstand so nach oben bewegt werden, dass er nach 50 m eine Geschwindigkeit von 10 m/s hat. Reibung wird vernachlässigt. Man berechne die aufzuwendende Arbeit! 120 Potenzielle und kinetische Energie Beim Rangieren wird ein Güterwagen abgestoßen und rollt danach einen Abrollberg der Länge s1 = 30 m mit einem Neigungswinkel von α = 3 ◦ hinab. Auf der anschließenden horizontalen Strecke bleibt er nach s2 = 80 m stehen. Man berechne die Anfangsgeschwindigkeit v0 des Wagens zu Beginn des Abrollvorgangs! Die Fahrwiderstandszahl (Rollreibung) beträgt µF = 0,02. 121 Energieerhaltungssatz (1) Ein Fadenpendel der Länge l = 1 m mit einem Pendelkörper der Masse m = 100 g führt Schwingungen aus. Der Auslenkwinkel ϕ, den der (gewichtslose) Aufhängefaden mit der Lotrechten einschließt, beträgt maximal 60 ◦. Geben Sie die potenzielle und die kinetische Energie des Pendelkörpers sowie seine Geschwindigkeit für die Auslenkungen ϕ = 0 ◦, 30 ◦ und 60 ◦ an! Als Nullpunkt der potenziellen Energie wird die Gleichgewichtslage gewählt. 122 Energieerhaltungssatz (2) Ein Körper von 0,5 kg Masse fällt aus 4 m Höhe auf das Ende einer senkrecht stehenden Schraubenfeder, die den Fall bremst (Federkonstante k = 1 kN/m). a) Um welchen Betrag wird die Feder maximal zusammengedrückt? b) Welche Geschwindigkeit hat der Körper, wenn die Feder bis zur Hälfte ihrer maximalen Stauchung zusammengedrückt ist? c) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit des Körpers? Die Masse der Feder wird vernachlässigt. 123 Momentane und durchschnittliche Leistung (1) a) Man vergleiche die Momentanleistung P mit der Durchschnittsleistung P eines Motors, dessen Antriebskraft F ein Fahrzeug aus dem Stand gleichmäßig auf die Geschwindigkeit v beschleunigt! b) Wie verhält sich die Antriebskraft zur Geschwindigkeit des Fahrzeuges, wenn 26 DYNAMIK das Anfahren bei konstanter Motorleistung erfolgt? c) Wie groß ist P, wenn das Fahrzeug (m = 1300 kg) in 7,6 s von null auf 100 km/h beschleunigt? 124 Momentane und durchschnittliche Leistung (2) Der Luftwiderstand eines Kraftwagens wächst mit dem Quadrat seiner Geschwindigkeit: F = βv 2 . Die Konstante habe den Wert β = 0,6 N/(m/s)2 . Man berechne a) die zur Überwindung des Luftwiderstandes erforderliche momentane Antriebsleistung bei v = 100 km/h, b) die dafür notwendige durchschnittliche Antriebsleistung bei der Beschleunigung des Kraftwagens von null auf 100 km/h! ZUSATZAUFGABEN 125 Eine Kraft F = (2i − j − 3k) N greift an einer Punktmasse an und ruft die Verschiebung s = (3i + 2 j − 5k) m hervor. a) Man berechne die verrichtete Arbeit W direkt aus den Komponenten beider Vektoren! b) Wie groß sind die Beträge von F und s, und welchen Winkel α schließen F und s miteinander ein? 126 Wie groß ist die Hubarbeit, die ein Bergsteiger mit der Masse 90 kg (Eigenmasse plus Gepäck) aufbringen muss, wenn er von einem in 300 m Höhe liegenden Ort aus auf einen Gipfel von 1600 m steigt und dabei insgesamt eine Wegstrecke von 3,5 km zurücklegt? 127 Ein Aggregat pumpt je Minute 0,4 m3 Wasser in einen 10 m über dem Ansaugrohr gelegenen Tank. a) Welche Hubarbeit wird dabei vom Aggregat in einer Stunde verrichtet? b) Wie groß ist dessen Leistung? 128 Eine Stahlkette von 10 m Länge und 6 kg Masse je Meter hängt senkrecht nach unten. Man berechne die zum Aufwinden der Kette benötigte Arbeit! 129 Eine senkrecht hängende Schraubenfeder wird durch Anhängen einer Masse von 1 kg um 2 cm gedehnt. a) Welche Arbeit muss aufgewendet werden, um die so vorbelastete Feder um weitere 3 cm zu dehnen? b) Welche Masse muss dafür zusätzlich angehängt werden? 130 Ein Geschoss wird senkrecht nach oben abgefeuert. In der Höhe h = 2000 m sind dessen potenzielle und kinetische Energie gleich groß (E p = 0 bei h = 0). Wie groß ist die Geschwindigkeit v in der Höhe h und welche Anfangsgeschwindigkeit v0 hatte es? 131 Welche maximale Beschleunigung kann ein Kraftwagen der Masse 1400 kg bei der Geschwindigkeit 72 km/h und voller Leistung von 50 kW entwickeln, wenn der Fahrwiderstand 600 N beträgt? 132 Ein Motor von 5 kW Leistung und 90% Wirkungsgrad treibt einen Kran an, der einen Wirkungsgrad von 40% hat. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit hebt der Kran einen 400kg-Ballen? 133 Ein 50 t schwerer Güterwagen wird mit der Geschwindigkeit 18 km/h eine 1,2% geneigte Ebene hochgezogen. a) Man bestimme die dafür erforderliche Leistung! b) Wie groß ist die Gesamtleistung, falls der Fahrwiderstand des Zuges 40 N je Tonne beträgt? Gravitationsgesetz. Keplersche Gesetze 27 134 Angenommen, die Kraft auf ein Teilchen nehme mit dem Quadrat des Abstandes zum Ursprung zu: F = βx 2 . Wie groß ist die Zunahme an potenzieller Energie 1E p bei einer Verschiebung des Teilchens von x = 0 bis x = x1 ? Gravitationsgesetz. Keplersche Gesetze 135 Fallbeschleunigung Der Durchmesser des Mondes beträgt 0,273 Erddurchmesser, seine Masse das 0,0123-fache der Masse der Erde. Welchen Wert hat die Fallbeschleunigung auf der Mondoberfläche? 136 1. und 2. keplersches Gesetz Beim Periheldurchgang des Kometen Halley im Februar 1986 wurden seine Bahnelemente genau bestimmt: Perihelabstand rP = 8,784 · 1010 m, numerische Exzentrizität ε = 0,9673, Umlaufzeit T = 76,0289 a. Berechnen Sie daraus den Aphelabstand rA , die Halbachsen a und b der Bahnellipse sowie die Geschwindigkeiten im Perihel und Aphel vP und vA ! 137 3. keplersches Gesetz Der Planet Mars (Masse M = 6,44 · 1023 kg) hat zwei Monde, Phobos und Deimos. Der erste befindet sich in der Entfernung r1 = 9370 km vom Mittelpunkt des Mars, der zweite in der Entfernung r2 = 23 520 km. Gesucht sind die Umlaufzeiten der beiden Trabanten. Gravitationskonstante γ = 6,674 · 10−11 N m2 /kg2 . 138 Energie- und Drehimpulserhaltung im Gravitationsfeld (Bild) Von der Erde (E) wird in Richtung ihrer Bahnbewegung um die Sonne eine Sonde (S) zum Mars (M) gestartet. Die Umlaufbahnen der beiden Planeten werden wegen ihrer geringen Exzentrizität näherungsweise als Kreisbahnen angenommen. Die Sonde Sonne bewegt sich entlang der gestrichelt gezeichneten Ellipse, deren große Achse gleich der Summe der Entfernungen Erde–Sonne (Perihelabstand der Sonde rP = 1,5 · 1011 m) und Sonne–Mars (Aphelabstand M E der Sonde rA = 2,28 · 1011 m) ist. a) Man berechne die Flugdauer der Sonde! b) Wie groß muss die Einschussgeschwindigkeit der Sonde in S die Umlaufbahn sein, und wie groß ist die Geschwindigkeit, mit der die Sonde den Mars erreicht? Die Anziehungskraft des Mars soll bis dahin unberücksichtigt bleiben. Sonnenmasse M = 1,99 · 1030 kg. 139 1. kosmische Geschwindigkeit Leiten Sie eine allgemeine Beziehung a) für die Umlaufdauer T , b) für die Bahngeschwindigkeit eines Erdsatelliten auf einer Kreisbahn in Abhängigkeit von der Höhe h her, in der außer h die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche g und der Erdradius R vorkommen! c) Berechnen Sie daraus die 1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit) v1 sowie die Umlaufdauer T1 unmittelbar an der Erdoberfläche! d) Welche Werte erhält man für den Mond mit h = 384 400 km − R? e) Lässt sich von der Umlaufdauer T1 auf die mittlere Dichte der Erde schließen? Erdradius R = 6378 km. 140 2. und 3. kosmische Geschwindigkeit Welche Geschwindigkeit muss ein Raumflugkörper, der auf der Erde gestartet wird, mindestens haben, um a) sich aus dem Anziehungsbereich der Erde befreien zu können und als 28 DYNAMIK selbstständiger Himmelskörper auf der gleichen Umlaufbahn wie die Erde die Sonne zu umkreisen (2. kosmische Geschwindigkeit v2 ), b) von der Erde aus das Sonnensystem ganz zu verlassen (3. kosmische Geschwindigkeit v3 )? Erdradius RE = 6,378 · 106 m, Erdbahnradius um die Sonne rE = 1,5 · 1011 m, Umlaufzeit der Erde um die Sonne TE = 365,24 d, Sonnenmasse MS = 1,99 · 1030 kg. ZUSATZAUFGABEN 141 Bei welcher (kürzeren) Tagesdauer würden lose Gegenstände am Erdäquator beginnen abzuheben? Mittlere Dichte der Erde ̺ = 5500 kg/m3 . 142 Die mittlere Entfernung Erde–Sonne beträgt r = 149,6 · 109 m. Man berechne daraus sowie aus der Erdumlaufzeit die Masse der Sonne! 143 An einem bestimmten Punkt zwischen Erde und Mond ist die resultierende Gravitationskraft auf ein Raumschiff gleich null. a) In welcher Entfernung x vom Erdmittelpunkt liegt dieser Punkt? b) Mit wie viel Prozent der 2. kosmischen Geschwindigkeit muss ein Körper starten, um diesen Punkt gerade zu erreichen? Massenverhältnis Erde/Mond µ = 81,3; mittlere Entfernung Erde–Mond r = 384 400 km; Erdradius R = 6378 km. 144 Ein Apollo-Raumschiff umkreist den Mond kurz vor der Landung in einer Höhe von h = 20 km. Wie groß ist a) die Dauer eines Umlaufs, b) die Bahngeschwindigkeit des Raumschiffs? Masse des Mondes MM = 7,35 · 1022 kg, Mondradius RM = 1738 km. 145 Der Planet Merkur hat auf seiner elliptischen Umlaufbahn um die Sonne den Perihelabstand rP = 46,0 · 109 m und den Aphelabstand rA = 69,8 · 109 m. Wie lange dauert ein Jahr auf dem Merkur? Mittlerer Erdbahnradius (große Halbachse) aE = 1,5 · 1011 m. 146 Berechnen Sie die Höhe eines Erd-Synchronsatelliten, der über einem bestimmten Ort am Äquator scheinbar stillsteht, aus der Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche g, dem Erdradius R und der Umdrehungsdauer T0 der Erde um ihre Achse! Welche Bahngeschwindigkeit hat der Satellit? 147 a) Man berechne die Geschwindigkeit, mit der zwei Kugeln (Durchmesser 10 cm, Masse 10 kg) im Weltall – fernab von anderen Massen – infolge ihrer gegenseitigen Gravitationskräfte aufeinander prallen! b) Welche Zeit benötigen sie dazu? Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0: Mittelpunktsabstand 2r0 = 1 m; v0 = 0. Impuls und Stoß 148 Impuls, Impulsänderung Ein Molekül mit der Masse m = 4,65 · 10−26 kg (Stickstoff), das mit der Geschwindigkeit v = 600 m/s fliegt, stößt unter einem Winkel von α = 60 ◦ gegenüber der Normalen auf eine Gefäßwand und wird von ihr ohne Geschwindigkeitsverlust unter dem gleichen Winkel elastisch reflektiert. Gesucht ist der Impuls nach Größe und Richtung, der auf die Wand übertragen wird. Impuls und Stoß 29 149 Impulserhaltungssatz. Rückstoß Von einem auf Schienen reibungsfrei fahrbaren Geschütz (Masse einschließlich der fahrbaren Lafette m 1 = 2 t) wird ein Geschoss der Masse m 2 = 5 kg in Richtung der Schienen abgefeuert. Die Geschossgeschwindigkeit relativ zum Geschütz beträgt v0 = 500 m/s. Welche Geschwindigkeit v1′ erhält das Geschütz unmittelbar nach dem Schuss, wenn es sich a) ursprünglich in Ruhe befindet, b) mit der Geschwindigkeit v1 = 14,5 km/h in diejenige Richtung bewegt, in die auch das Geschoss abgefeuert wird, c) mit der Geschwindigkeit v1 in die der Schussrichtung entgegengesetzte Richtung bewegt? d) Um welche Strecke rollt das ursprünglich in Ruhe befindliche Geschütz beim Schuss zurück, wenn die Fahrwiderstandszahl µF = 0,002 beträgt? 150 Elastischer Stoß Drei elastische Kugeln, deren Massen m 1 , m 2 und m 3 sich wie 4 : 2 : 1 verhalten, sind an parallelen Fäden nebeneinander so aufgehängt, dass sie sich genau seitlich berühren. Die erste Kugel wird so ausgelenkt, dass ihr Schwerpunkt um h 1 = 5 cm angehoben ist. Nach dem Freilassen stößt sie mit der Geschwindigkeit v1 auf die zweite Kugel usw. Um welche Höhe h 3 wird die dritte Kugel emporgeschleudert? 151 Energieübertragung beim elastischen Stoß Ein Teilchen der Masse m 1 , welches sich mit der Geschwindigkeit v1 bewegt, stößt auf ein ruhendes Teilchen der Masse m 2 . Der Stoß ist elastisch und zentral. a) Gesucht ist, welchen Teil seiner ursprünglichen Energie das erste Teilchen beim Stoß auf das zweite Teilchen überträgt, wenn m 1 = 9m 2 . b) Für welches Massenverhältnis m 1 /m 2 ist die übertragene Energie maximal, und wie groß ist diese dann? 152 Impuls- und Energieerhaltung beim elastischen Stoß Ein Güterwagen der Masse m 1 = 20 t fährt mit der Geschwindigkeit v1 = 2,0 m/s auf einen anderen mit der Masse m 2 = 16 t auf, der eine Geschwindigkeit v2 = 1,1 m/s in gleicher Richtung hat. a) Welche gemeinsame Geschwindigkeit v haben die Wagen beim Aufprall im Moment ihrer größten Annäherung? b) Mit welcher Geschwindigkeit fahren die Wagen nach dem Stoß weiter? c) Wie groß ist die maximale Stauchung x der Pufferfedern beim Aufprall? Federkonstante k = 200 kN/m. 153 Unelastischer Stoß Zwei Fahrzeuge von gleicher Masse m prallen frontal aufeinander, wobei a) beide Fahrzeuge mit gleicher Geschwindigkeit v einander entgegenfahren, b) das eine Fahrzeug mit der Geschwindigkeit 2v gegen das andere, in Ruhe befindliche Fahrzeug auffährt. Wie groß ist in den beiden Fällen der in Zerstörungsarbeit bzw. Wärme umgewandelte Anteil der ursprünglich vorhandenen kinetischen Energie der Fahrzeuge? 154 Ballistisches Pendel (Bild) Eine mit Sand gefüllte Holzkiste der Masse M = 20 kg ist an Schnüren der Länge l = 1,2 m aufgehängt. In die anfangs ruhende Kiste wird ein Projektil der Masse m = 10 g geschossen, wobei es in l der Kiste stecken bleibt. a) Welche Geschwindigkeit v hatte das Projektil, wenn die Kiste dadurch um maximal x = 4,9 cm horizontal ausgelenkt wird? b) Wie groß M ist der in Wärme und Verformungsarbeit umgewandelte m v 0 x Anteil der ursprünglich vorhandenen Energie?
