1 Grundlagen Kinematik

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 1
Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog für Mechanik 2 abgedruckt, aus dem jede Woche Aufgaben für die Große Übung, die Tutorien und das eigenständige Arbeiten ausgewählt werden. Lösungen
zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefähr eine Woche nach Bearbeitung veröffentlicht. Leider
schleichen sich manchmal in die veröffentlichten Lösungen Fehler ein. Wir bemühen uns, diese möglichst
zügig auszumerzen. Jeder Student ist aber in erster Linie selbst verantwortlich. Darum selbständig rechnen! Wer gerne noch mehr Aufgaben (mit Musterlösungen) rechnen möchte, sei auf die breite Auswahl an
Aufgabenbüchern verwiesen.
Die Aufgaben werden nicht notwendigerweise in der Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet.
1
Grundlagen Kinematik
1. Ein Radfahrer fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit
von 36 km/h. Zur Zeit t0 springt die noch 150 m entfernte
Ampel auf Rot. 20 s später schaltet sie wieder auf Grün.
Genau dann will der Radfahrer die Ampel passieren. Dazu
PSfrag replacements
bewegt er sich vom Moment t0 an bis zum Passieren der
Ampel mit der konstanten Beschleunigung a1 .
36 km/h
150 m
Wie groß ist a1 , und mit welcher Geschwindigkeit passiert
der Radfahrer die Ampel?
2. Auf einer Straße fährt ein Auto A mit der Geschwindigkeit vA . Hinter ihm kommt ein Wagen B mit der
Geschwindigkeit vB . Als der Fahrer von B merkt, daß er nicht überholen kann, ist zwischen der vorderen
Stoßstange von B und der hinteren Stoßstange von A der Zwischenraum l. Nach einer Schrecksekunde“
”
T fängt B an zu bremsen.
(a) Welche Bremsbeschleunigung a∗ ist mindestens nötig, damit ein Zusammenstoß vermieden wird?
Welcher Wert ergibt sich für a∗ , wenn der Wagen B zu Beginn mit einer Geschwindigkeit von
72 km h−1 fährt und erst bei einem Abstand von 20 m zum Vordermann feststellt, daß das
Überholen nicht möglich ist?
(b) Nach welcher Zeit und wo berühren sich für diesen Grenzfall die Stoßstangen der Fahrzeuge?
(c) Zeichnen Sie Diagramme für die Wege und Geschwindigkeiten der beiden Fahrzeuge. Nehmen Sie
an, daß B seine Bremsung bis zum Stillstand fortsetzt.
Geg.: l, v, vA = v, vB = 2v, T =
l
2v
3. In einer Ballmaschine werden TennisbällePSfrag
aus der
Ruhelage
replacements
beschleunigt. Die Beschleunigung eines Tennisballes entlang a0
des Abschussrohres nimmt mit dem zurückgelegten Weg linear von a0 am Anfang des Rohres auf a0 /2 am Ende ab a0
(siehe Diagramm). Die nutzbare Länge des Rohres heißt l. 2
Bestimme die Geschwindigkeit eines Tennisballes beim Verlassen des Rohres!
Geg.: a0 , l.
a(s)
l
s
l
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l
α
(a) Bestimme die Geschwindigkeit eines Tennisballes
PSfrag replacements
beim Verlassen des Rohres!
(b) Das Abschussrohr steht unter einem Winkel α zur
Erdoberfläche. Das Ende des Rohres befindet sich in
einer Höhe h über dem (ebenen) Erdboden. Wie weit
fliegen die Tennisbälle? Vernachlässige die Reibung!
g
h
4. In der Ballmaschine aus Aufgabe 3 wird der Abschussmechanismus ausgetauscht. Die Beschleunigung verläuft nun
linear über der Zeit gemäß nebenstehendem Diagramm. Zur
zunächst nicht bekannten Zeit tl verlässt der Ball das Abschussrohr.
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a(t)
a0
(c) Bestimme die maximale Flughöhe der Tennisbälle!
a0
2
Geg.: a0 , l, h, α, g.
tl
t
5. Fülle die leeren Felder für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung! Alle Größen, die nicht explizit
als Funktion der Zeit t angegeben sind, seien konstant.
Ort
Geschwindigkeit
Beschleunigung
ẍ(t) = a0
ṙ(t) = v0 + a1 t
Nebenbedingungen
x(0) = ẋ(0) = 0
r(0) = r0
ẏ(t) = u0 eωt
y(t0 ) =
s(t) = L sin Ωt
y(t) =
√ r0
t−t1
n
o
cos ω 2 (t2 − t20 )
ϕ̇(t) = ϕ(t)
ẍ(t) = −λ2 x(t) − v0 t
u0
ω
ϕ(0) = 1
x(0) = L, ẋ(0) = − λv02
6. Der nebenstehend skizzierte Industrieroboter kann sich um die senkrechte z-Achse drehen (Drehwinkel ϕ), seinen Arm um das Gelenk in
der Höhe l auf und ab bewegen (Winkel ψ) und zusätzlich die Länge
des Armes r verändern.
r
Berechne den Orts- und Geschwindigkeitsvektor (in kartesischen Koordinaten) des auf der Spitze des Armes sitzenden Greifers, wenn der
Roboter mit ϕ̇ = Ω = konst. um die z-Achse rotiert, der Arm sich mit
ψ̇ = Θ = konst. hebt und sich seine Länge gemäß r = l(2 + sin Ωt)
mit der Zeit t ändert. Am Anfang (t = 0) liegt der Greifer auf der
positiven x − Achse (ϕt=0 = 0, zt=0 = 0).
PSfrag replacements
ψ
ϕ
l
z
Geg.: l, Ω, Θ.
y
7. Der Punkt Paul bewegt sich auf der Innenfläche eines zylindrischen Rohres
mit dem Radius R. Seine Bahn wird beschrieben durch z(ϕ) = l0 ekϕ ,
ϕ(t) = ωt. Das Rohr erstreckt sich in Richtung der z-Achse bis zur Höhe
H. Gegeben sind die Konstanten ω, l0 , k, R und H.
PSfrag replacements
Bestimme den Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor des Punktes
beim Verlassen des Rohres in kartesischen Koordinaten!
Paul
H
x
z
R
ϕ
x
y
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8. Die beiden oberen starr miteineinder verbundenen Riemenscheiben mit
den Radien r und R drehen sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Das
Seil läuft auf allen drei Riemenscheiben ohne Schlupf, seine Abschnitte
zwischen den Riemenscheiben hängen genau senkrecht. Der Drehpunkt
S der unteren Scheibe ist vertikal geführt.
ω
r
R
Berechne die Geschwindigkeit des Punktes S!
Geg.: R, r, ω = konst.
PSfrag replacements
S
9. Ein Rad mit dem Radius R rollt auf einer Ebene. Zur Zeit t = 0 berührt der auf dem Umfang
des Rades befestigte Punkt Titus die Ebene
und zwar genau im Ursprung des ortsfesten
kartesischen Koordinatensystems.
PSfrag replacements
Bestimme Titus’ Orts-, Geschwindigkeitsund
Beschleunigungsvektor in Bezug auf das ortsfeste Koordinatensystem als Funktion der
Zeit t in kartesischen Koordinaten.
Geg.: R,
d
dt ϕ(t)
= ϕ̇ = konst..
Titus
R
y
ϕ
x
Tip: Bestimme zuerst die Koordinaten des Mittelpunktes des Rades zu einer beliebigen Zeit t und dann
PSfrag
replacements
den Abstand in x- und y-Richtung des Punktes
Titus
von diesem Mittelpunkt. Daraus kann dann der
Ortsvektor ermittelt werden.
y
10. Ein Flugzeug steuert mit Hilfe seiner Peilvorrichtung einen
Flughafen an, wird jedoch durch den Wind abgetrieben, der
P(x, y)
mit konstanter Geschwindigkeit vf in Richtung der y-Achse
weht. Das Flugzeug hat die Relativgeschwindigkeit vr . Gesucht
vr
vf
ist die wahre, ebene Bahn des Flugzeuges, wenn es vom Punkt
P0 (x0 , y0 ) ab Kurs auf die Peilanlage des Flughafens hält, die
θ
im Ursprung O liegen möge.
x
O
11. Eine mit der Zeit t veränderliche vektorielle Größe V an einem durch seine Koordinaten r, ϕ und
ψ bestimmten Punkt P wird durch den Vektor v(t) beschrieben. Dieser Vektor v(t) soll durch seine
Koordinaten vr (t), vϕ (t) und vψ (t) im raumfesten Kugelkoordinatensystem dargestellt werden.
Die Basis des Kugelkoordinatensystems sei gegeben durch die Einheitsvektoren






cos ϕ cos ψ
− sin ϕ
− cos ϕ sin ψ
er =  sin ϕ cos ψ 
, eϕ =  cos ϕ 
und eψ =  − sin ϕ sin ψ 
.
sin ψ
0
cos
ψ
<x,y,z>
<x,y,z>
<x,y,z>
(a) Der Punkt P verändert seine Lage im Raum nicht. Berechne für diesen Fall die Kugelkoordinaten
der ersten Ableitung nach der Zeit v̇(t) des Vektors v(t). Schreibe v̇(t) als Linearkombination der
Basisvektoren er , eϕ und eψ !
(b) Nun soll sich der Punkt P bewegen, seine Koordinaten sind also Funktionen der Zeit. Gib für
diesen Fall die erste und zweite Ableitung nach der Zeit v̇(t) und v̈(t) in Kugelkoordinaten an!
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12. Das skizzierte System wird von einer Zahnstange angetrieben,
die sich gemäß s(t) = v0 t geradlinig bewegt. Auf der senkrechten
mit α̇ = ω rotierenden Scheibe ist der Punkt PSfrag
P befestigt.
replacements
a
α
Berechnen Sie Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor des Punktes P als Linearkombination der mitgedrehten
Basisvektoren er , eϕ und ez bezüglich des ruhenden Bezugssystems mit Ursprung O.
Geg.: R, h , a, s(t), ω = konst., α(0) = 0, ϕ(0) = 0
P
ez
h
er
eϕ
ϕ
R
s(t)
O
13. Harry Coolman will mit seiner Turbo-Eagle“ eiPSfrag
replacements
”
ne Faßrolle fliegen. Das ist eigentlich nicht zulässig
und deshalb fragt er dich, was er und seine Mühle
dabei wohl für Belastungen (Beschleunigungen)
zu erwarten haben.
y
Die Flugbahn soll eine Schraubenlinie mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag v, Radius R und
Steigungswinkel (90◦ − α) beschreiben. Das Flug-k1
zeug liegt dabei immer so in der Luft, daß derk2
Kopf des Piloten zur Mittellinie der Schraubenlinie zeigt.
z
R
α
x
v
(a) Wir definieren ein erdfestes kartesisches Koordinatensystem, dessen x-Achse auf der Mittellinie der
Schraubenlinie liegt, z weist nach oben. Schreibe
den Ortsvektor
x(t) des Flugzeugs als Funktion
PSfrag
replacements
der Zeit t in diesen Koordinaten, wenn x(t = 0) = −R ey .
z
Hinweis: Auf die y-z-Ebene projiziert (wenn man die x-Komponente erst y
mal außer acht läßt) beschreibt die Bewegung eine Kreisbahn mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit ϕ · = k2 /R und dem Radius R. Die x-Komponente
der Bewegung stellt eine gleichmäßige Bewegung dar mit der konstanten
Geschwindigkeit k1 . Betrachtet man den Geschwindigkeitsvektor z.B. zur
Zeit t = 0 in der x-z-Ebene, so kann man seine Komponenten k1 und k2 aus
der Skizze links ablesen.
R
v
k2
α
k1
x
α
(b) Das flugzeugfeste Koordinatensystem ist mit ϕ(t) = v sin
R t gegeben durch






cos α
− sin α
0
e1 (t) =  sin α sin ϕ(t) 
, e2 (t) =  cos α sin ϕ(t) 
, e3 (t) =  − cos ϕ(t) 
.
sin α cos ϕ(t) <x,y,z>
cos α cos ϕ(t) <x,y,z>
sin ϕ(t)
<x,y,z>
(Aus der Sicht des Piloten zeigt e1 nach vorne, e2 nach rechts und e3 nach unten.)
Bestimme die Ableitungen dieser Basisvektoren nach der Zeit in flugzeugfesten Koordinaten (also
als Linearkombination der flugzeugfesten Basis).
(c) Berechne die flugzeugfesten Koordinaten des Ortsvektors aus Teilaufgabe (a).
Das Ergebnis sieht
etwa so aus: x = . . . e1 + . . . e2 + Re3 .
(d) Leite den Ortsvektor aus Teilaufgabe (c) zweimal nach der Zeit ab. Zeige dabei, daß die Geschwindigkeit im flugzeugfesten Koordinatensystem wie erwartet nur eine Komponente in e 1 -Richtung
hat.
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ϕM
14. In einem Turm ist in Punkt A eine Maus, im
Mittelpunkt O eine Katze. Die Maus rennt mit
der konstanten Geschwindigkeit vM entlang der
Turmmauer, um das rettende Loch L zu erreichen. Die Katze verfolgt die Maus mit der konstanten Geschwindigkeit vK und beschreibt dabei
eine Bahn, die durch die Archimedische Spirale
L
rK (ϕK ) = R
π ϕK beschrieben wird.
PSfrag replacements
√
R√
Geg.: R, vM ,
1 + x2 dx = 21 [x 1 + x2 +
arsinh x]
R
ϕK
rK
O
A
(a) Gib die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren von Katze und Maus als Linearkombination aus er , und eϕ an! Nimm
dabei die Winkelgeschwindigkeit der Katze
ϕK (t) als eine gegebene Funktion der Zeit
an.
(b) Wie groß muß die Bahngeschwindigkeit vK
der Katze sein, damit sie die Maus am Loch
erwischt?
ω
s(t)
(a) den Ortsvektor zum Punkt P (setzen Sie dabei
s(t) = v0 t und α(t) = Ωt ein), PSfrag replacements
(b) seinen Geschwindigkeitsvektor,
b
A
h
15. Berechnen Sie bezüglich des Koordinatenursprungs O
(c) seinen Beschleunigungsvektor und
(d) den Drehimpuls der Punktmasse m im Punkt P!
H
(e) Bestimmen Sie den Vektor der Reaktionskraft, die
auf die Punktmasse wirkt (Gravitation wird vernachlässigt)!
α(t)
ez
m
P
L
Geg.: H, L, h, b, ω = konst., s(t) = v0 t, α(t) = Ωt, m
O
er
eϕ
16. Eine Scheibe dreht sich um die Kante B-C mit dem Drehwinkel ϕ(t) =
ωt. Der Punkt Petra bewegt sich auf der Scheibe von A nach B mit der
konstanten Geschwindigkeit v0 relativ zur Scheibe.
b
B
Berechne die Vektoren und Beträge der (Absolut-) Geschwindigkeit und
(Absolut-) Beschleunigung
PSfrag replacements
(b) mit einer körperfesten (mit
Zylinderkoordinaten-Basis.
der
Scheibe)
h
v0
(a) mit einer raumfesten, konstanten kartesischen Basis.
mitgedrehten
Petra
C
Geg.: b, h, ω, v0
ϕ
A
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17. Der Punkt Paul bewegt sich auf der Innenfläche
eines zylindrischen Rohres mit dem Radius R. Seine Bahn wird beschrieben durch z(ϕ) = l0 ekϕ ,
ϕ(t) = ωt. Gegeben sind die Konstanten ω, l0 ,
k und R.
PSfrag replacements
Bestimme zu jeder Zeit t den Orts-,
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor
des Punktes als Linearkombination aus er , eϕ
und ez ! Bestimme außerdem die kartesischen
Koordinaten des Beschleunigungsvektors!
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Paul
z
R
ϕ
y
x
18. Ein Punkt bewegt sich auf der ebenen Bahn
ϕ
)
r(ϕ) = a(1 +
2π
r
mit 0 < ϕ < 2π , ϕ = c t.
ϕ
a
a und c sind positive Konstanten, PSfrag
Zeit t replacements
> 0. Gib
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor in der Basis < er , eϕ > und in der Basis < ex , ey > an!
19. Eine starre Scheibe rotiert in der x-y- bzw.
r-ϕ-Ebene um den Ursprung. Die Winkelgeschwindigkeit ϕ̇(t) = ω(t) ist eine als bekannt vorausgesetzte Funktion der Zeit t.
y
r
Gib den Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines durch seine momentanen Koordinaten r und ϕ identifizierten Punktes auf der Scheibe sowohl mit einer
kartesischen Basis als auch mit er und eϕ an!
x
ϕ
PSfrag replacements
ω
y
20. Ein Schwimmkörper K soll von einem Ufer eines mit der Geschwindigkeit vS dahinfließenden
Stromes der Breite b zum anderen Ufer dadurch
befördert werden, daß er mittels eines im Punkt
O befestigten Taues herübergezogen wird. Man erPSfrag replacements
mittle unter der Voraussetzung einer konstanten
Verkürzungsgeschwindigkeit vT des Taues die Gleib
chung der Bahnkurve des Schwimmkörpers.
K
r
O
vS
ϕ
x
vT
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21. Für das skizzierte Planetengetriebe, das aus einem Sonnenrad (a1 , ω1 ),
einem Hohlrad (a2 , ω2 ) und Planetenrädern besteht, ermittle man
(a) die Bahngeschwindigkeit v für den Mittelpunkt des Planetenrades,
(b) die Winkelgeschwindigkeit ω des Plantenrades,
(c) die Winkelgeschwindigkeit ω ∗ des Plantenradträgers,
geg.: a1 , a2 , ω1 , ω2 .
22. Das Sonnenrad A bewege sich mit der Winkelgeschwindigkeit ωA und der
Verbindungshebel C mit ωC . Das Planetenrad bewegt sich rein rollend. Ermittle den Geschwindigkeitsvektor des Punktes P, der sich auf dem Planetenrad B befindet.
Geg.: r1 , r2 , a, ωA , ωC , ψ.
PSfrag replacements
y
23. Das dargestellte ebene Getriebe besteht aus den
Zahnrädern 1 und 2, dem Winkelrahmen 3 und der
Schubstange 4. Der Winkelrahmen 3 rotiert mit der
Winkelgeschwindigkeit ω3 um den Lagerpunkt A. Das
im Punkt C mit dem Rahmen verbundene Zahnrad
2 rollt infolgedessen im Punkt B auf dem blockierten
Zahnrad 1 ab. Die Schubstange 4 ist in E gelenkig mit
dem Winkelrahmen 3 sowie über die Schiebehülse D mit
Zahnrad 2 verbunden. Alle Teile verhalten sich starr.
E
4
3
4R
ω3
D
B
C
2R
R
A
R
x
1
2
(a) Zeigen Sie, dass die Winkelgeschwindigkeit des Zahnrades 2
ω2 = 32 ω beträgt.
PSfrag replacements
(b) Berechnen sie die Winkelgeschwindigkeit ω4 der Schubstange 4.
(rel)
(c) Berechnen Sie die Relativgeschwindigkeit vD
in der Schiebehülse D.
Geg.: R, ω3 = ω
24. Ein Hebelwerkzeug besteht aus drei masselosen
Starrkörpern: die Schubstange 1 gleitet auf dem
reibungsfreien und festen Untergrund mit der
x
Geschwindigkeit v1 und der Beschleunigung a1 ;
das zum Hubausleger 2 gehörende, in B drehbar gelagerte Rad rollt in A ohne Schlupf auf
der Stange 1 ab; der stützende Winkelrahmen
3 ist im Punkt C drehbar mit dem Hubausleger 2 verbunden und gleitet in D, über eine gelenkige Schiebehülse gekoppelt, reibungsfrei auf
der Schubstange 1. Die folgenden Aufgabenteile
beziehen sich auf die momentane Lage des Systems.
y
6r
6r
10r
3
C
2
3r
B
a1 , v1
D reibungsfrei
x
1
A
(a) Zeigen Sie, dass sich die Winkelgeschwindigkeiten der Elemente 2 und 3 zu ω2 = − 13 · vr bzw. zu
ω3 = − 81 · vr ergeben, und berechnen Sie die Relativgeschwindigkeit vD,rel zwischen der Schiebehülse in D und der Schubstange 1.
(b) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung ω̇2 des Hubauslegers.
(c) Konstruieren Sie den Momentanpol G3 des Rahmens 3.
Geg.: r, |v 1 | = v, |a1 | = a,
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Kinematik und Kinetik
2
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Grundlagen Kinetik
d
25. Ein mechanischer Basketballspieler wirft den Ball immer unter dem v0
Winkel α ab.
h
PSfrag
replacements
α
(a) Wie groß muß die Abwurfgeschwindigkeit sein,
damit
der Ball den Korb trifft?
(b) Ab welcher minimalen Entfernung d von der Wand hat er keine
Möglichkeit mehr zu treffen?
Geg.: α, h, d, Erdbeschleunigung g
g
26. Bestimmen Sie für das skizzierte System mit den
Newtonschen Gesetzen die Lage der Kugel zu einem beliebigen Zeitpunkt t.
Das Seil und die Umlenkrolle sollen als masselos und nicht dehnbar angenommen werden. Der
Strömungswiderstand der Kugel ist proportional zur
Geschwindigkeit mit dem Widerstandskoeffizienten k.
PSfrag replacements
Der Gleitreibbeiwert zwischen dem zweiten Körper
und seiner Unterlage ist µ. Der hydrostatische Auftrieb der Kugel soll vernachlässigt werden. Zur Zeit
t = 0 ruht das System bei x = 0. Danach sinkt die x
Kugel senkrecht nach unten.
Geg.: m1 , m2 , k, µ, α, g
g
m
1
α
m
2 µ
Tip: Kürzen Sie die Koeffizienten der Differentialgleichung ab, um sich Schreibarbeit zu sparen.
27. Auf einer als starr und masselos anzusehenden Stange kann die Masse m, die
mittels einer idealen Feder mit dem Drehpunkt verbunden ist, reibungsfrei gleic
ten. Es sei l0 die Federlänge im spannungslosen Zustand. Ein Antrieb im DrehPSfrag replacements µ = 0
punkt der Stange regt mit dem Moment M (t) = M0 sin Ωt das System zum
Schwingen an.
Stelle die Bewegungsdifferentialgleichung auf! Berücksichtige die Schwerkraft.
Geg.: m, l0 , M0 , Ω, g, c
M (t)
m
28. Zwei Massen M und m sind über ein
Seil miteinander verbunden. Zum ZeitM
punkt (t = 0) besitzt das System die
Anfangsgeschwindigkeit v = 0. Der
Klotz M gleitet von
A nach
B rei- PSfrag
replacements
bungsfrei. Von B nach C herrscht der A
B C
Reibungskoeffizient µ. Wie groß muß µ
=
0
µ
=
6
0
µ sein, damit der Klotz genau an der
Stelle C zum Halten kommt?
Geg.: l, M = 2m, m, µ, g
l
10l
g
m
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Kinematik und Kinetik
29. Drei gleiche Massen
m1 = m 2 = m 3 = m
sind mit Seilen über
masselose Rollen verPSfrag
replacements
bunden.
Man
bestimme die Bewegungsgleichungen für den
Fall, daß sich m3 nach
unten bewegt!
Geg: α, µ, g, m
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m2
m1
α
g
µ
µ
m3
m
30. In dem skizzierten System gleitet die Masse M die Rampe hinab. Auf M
bewegt sich reibungsfrei eine zweite Masse m.
PSfrag replacements
Gesucht ist die Beschleunigung von M .
g
Geg.: M , m, µG , α, g
µ=0
2α
M
µ = µG
α
v
31. Wie lautet die Gleichung der Bahnkurve einer Masse m, die im
Schwerefeld der Erde zum Zeitpunkt t = 0 mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel α bei x0 , y0 abgeworfen wird? y
Berücksichtige den Luftwiderstand nach dem Gesetz
PSfrag Freplacements
W = −kv
mit k ≥ 0!
FW
mg
v0
α
y0
x
x0
32. Auf der skizzierten Scheibe, die mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotiert, gleitet die Masse m in einer diametralen Führung. Zwischen der Masse m und ihrer Führung
herrscht der Reibkoeffizient µ. Die Scheibe liegt in einer horizontalen Ebene, d. h. die Gewichtskraft wirkt in Richtung
der Drehachse.
m
µ
Zum Zeitpunkt t = 0 hat die Masse m keine Relativgeschwindigkeit zur Scheibe und den Abstand r0 von
der replacements
Drehachse
PSfrag
der Scheibe. Stellen Sie für diese Annahmen die Bewegungsdifferentialgleichung für die Masse m auf!
ω
Geg.: m, r0 , ω, µ
33. Eine Punktmasse m gleitet reibungsfrei auf einer Ebene. Sie ist an
einem Seil befestigt, das mit der konstanten Geschwindigkeit v zum
Punkt P gezogen wird. Zur Zeit t = 0 beträgt die UmfangskompoPSfrag replacements
nente der Geschwindigkeit der Punktmasse ω0 l0 und ihr Abstand
zum Punkt P l0 .
l0
Bestimme die Seilkraft!
Geg.: m, v, l0 , ω0
m
ẋ
P
v
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34. Die Aufhängevorrichtung (Masse m1 ) eines ebenen Pendels mit der Länge l und der Pendelmasse m2 gleitet reiPSfrag replacements
bungsfrei auf einer horizontalen Schiene.
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g
m1
s
Ermitteln Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen für
die Massen m1 und m2 .
ϕ
Geg.: m1 , m2 , l, g
l
m2
35. Ein Körper (Masse m1 ) gleitet reibungsfrei in vertikaler Richtung und
ist über eine masselose Stange (Länge l) mit einer Punktmasse
m2 gePSfrag replacements
lenkig verbunden. Die Punktmasse ist über eine weitere Stange (Länge
l) gelenkig an die Umgebung gekoppelt.
y
g
m1
glatt
l
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für das System.
ϕ
m2
l
x
Geg.: l, g, m1 , m2
36. Auf einer schiefen Ebene bewegt sich reibungsfrei ein
Körper der Masse m, Bewegungskoordinate s, infolge
der Schwerkraft abwärts. In einer radialen Bohrung ist
ein Zylinder der Masse M , der Relativkoordinate x, elastisch angeordnet, der sich ebenfalls reibungsfrei bewegen kann. Für die entspannte Lage der Federn gilt s = 0
und x = 0. Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen für die generalisierten Koordinaten s und
x.
Geg.: m, M , c, α, g
37. Das untersuchte Gerät besteht aus einer Masse
m, drei Stäben und zwei Rollen. Die Massen der
Stäbe und der Rollen seien vernachlässigbar klein. Stabquerschnitt
b
Die Stäbe haben einen quadratischen Querschnitt
PSfragsich
replacements
(Kantenlänge b). Das Gerät bewegt
wie abgebildet auf einer Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω. Die Bewegung findet in einer
b
Ebene statt.
ω
r
m
30o
l
(a) Berechnen Sie die kleinste Winkelgeschwindigkeit ω, bei der es zum Knicken der Stäbe
kommt.
(b) Setzen Sie nun folgende Zahlenwerte ein m =
100 kg, l = 0,5 m, E = 200 GPa, b = 10 mm,
r = 0,3 m
Geg.: m, l, E, b, r
38. Zwei Autos stoßen unter einem Winkel α zusammen und rutschen ineinander verkeilt nach dem Zusammenstoß mit blockierten Rädern eine Strecke XR , bis sie zum Stillstand kommen.
Geg.: Massen und Geschwindigkeitsbeträge der Autos vor dem Zusammenstoß m1 , v1 , m2 und v2 ,
Reibbeiwert beim Rutschen µ, α
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(a) In welche Richtung rutschen die Autos nach dem Zusammenstoß?
XR
m1
(b) Wie lang ist die Rutschstrecke XR ?
β
replacements
(c) Ein Golf m1 = 1000kg und ein Mercedes m2PSfrag
= 2000kg
stoßen
◦
unter α = 45 zusammen. Der Golf hat seine Bewegungsrichtung
beim Zusammenprall um β = 30◦ geändert. Aus der Rutschstrecke konnte die Geschwindigkeit der ineinander verkeilten Autos unmittelbar nach dem Zusammenstoß bestimmt werden, sie
betrug 20 m
s .
α
m2
Wie schnell waren die Autos vor dem Zusammenstoß?
39. In einem Duschkopf wird das Wasser rechtwinklig umgelenkt. Dadurch ändert sich der Impuls des Wassers sowohlPSfrag
in x- replacements
als auch in
y-Richtung. Berechne die Kraft (Betrag und Richtung), die das Wasser auf den Duschkopf ausübt, wenn pro Sekunde 0,2 l Wasser ausströmen (Volumenstrom V̇ = 0,2 · 10−3 m3 /s). Der Rohrquerschnitt
A beträgt 2 cm2 . Reibung und Gravitation sollen vernachlässigt werden.
A
v
y
x
aus dem Volumenstrom
Hinweis: Ein Liter Wasser habe die Masse 1 kg. Damit kann der Massenstrom dm
dt
bestimmt werden. Der Betrag der Geschwindigkeit v des Wassers ergibt sich aus der Beziehung für den Volumenstrom V̇ = Av. Der Betrag der Geschwindigkeit ändert sich durch die Umlenkung nicht. Betrachte eine
zusammenhängende Gruppe von Wasserteilchen mit der Masse m auf ihrem Weg durch die Krümmung. In
dieser Betrachtung
kann so getan werden, als ob die Umlenkung in einer scharfen Ecke erfolgt, ein Teilchen
PSfrag replacements
also entweder noch gar nicht oder schon vollständig umgelenkt ist.
y
x
m
t1
t2
t3
Schreibe den Impuls dieser Masse m zu einem beliebigen Zeitpunkt auf: vor (t 1 ), während (t2 ) und nach der
Umlenkung (t3 ). Über den Impulssatz kannst Du die Kraft bestimmen, die das Rohr auf dieses Wasserpaket
ausüben muß, um die Impulsänderung und damit die Umlenkung zu erzwingen.
Zu jedem Zeitpunkt kann man sich eine zusammenhängende Gruppe von Wasserteilchen denken, die gerade
umgelenkt wird. Deshalb kann man aus der Kraft zur Umlenkung eines Pakets auf die Kraft schließen, die der
Wasserstrahl als ganzes auf den Duschkopf ausübt.
40. Eine Kugel der Masse m fliegt mit einer Geschwindigkeit v0 . Sie explodiert in zwei Teile. Die Einzelteile haben die Massen m1 bzw. m2 .
Sie fliegen mit den Geschwindigkeiten v1 bzw. v2 unter den Winkeln
α1 bzw. α2 zur ursprünglichen Flugrichtung auseinander.
PSfrag replacements
Die Richtungen α1 und α2 sowie die Geschwindigkeit v1 des einen
Teils unmittelbar nach der Explosion werden gemessen. Bestimme
die Massen der Teile und die nicht gemessene Geschwindigkeit v2 !
Geg.: m, v0 , α1 =
π
,
2
v1
m1
m
v0
α1
α2
α 2 , v1
m2
v2
41. Ein Seil der Länge L mit der Masse M liegt auf dem Boden. Nun soll es an einem Ende hochgezogen werden. Welche Kraft H ist nötig, um dieses Ende mit der konstanten Beschleunigung a
nach oben zu heben? Es soll angenommen werden, daß das Seil bis zum Boden immer senkrecht
hängt.
Geg.: L, M , a
H
PSfrag replacements
42. Aus einem anfänglich ruhenden Boot werden zwei schwere Steine horizontal nach hinten geworfen. Das Boot
hat die Gesamtmasse m0 (einschließlich der Steine), die Steine haben die Massen m1 und m2 . Die Reibung des
Bootes soll vernachlässigt werden. Die Abwurfgeschwindigkeit (relativ zum Boot) sei w.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Bootes nach dem Abwerfen, wenn
(a) die beiden Steine gleichzeitig, bzw.
(b) zuerst die Masse m1 und dann die Masse m2
geworfen werden?
Geg.: m0 , m1 , m2 , w
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 12
Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
PSfrag replacements
43. Um die Bewegungsgleichungen für das skizzierte System zu bestimmen, soll angenommen werden, dass die Seile masselos und undehnbar
sind und dass abgesehen vom Gleiten der Masse m5 keine Reibungsverluste auftreten.
m1
r1
m
ϕ1
5
m3
M0
(a) Schneide die einzelnen Massen frei und trage alle äußeren Kräfte
und Momente an.
ϕ 2 m2
µ
r2
(b) Schreibe für jede Masse Impuls- und/oder Drallsatz auf, je nachdem, was für die Berechnung der Bewegung relevant sein kann.
(c) Gib die nötigen kinematischen Zusatzbedingungen an.
r3
m4
(d) Setze alle Massen und alle Radien gleich: mi = m, rj = r.
Reduziere das Gleichungssystem für diesen Spezialfall auf zwei
Gleichungen für ϕ1 und ϕ2 .
replacements
Geg.: mi (i = 1 . . . 5), rj (j = 1 . . . 3), µ, PSfrag
M0
44. Mit Hilfe der skizzierten Vorrichtung soll die Last mit der
Masse mL angehoben werden. Es wird vorausgesetzt, daß
die Walze auf der schiefen Ebene (ohne zu rutschen) rollt
und daß alle senkrecht skizzierten Seilabschnitte genau
senkrecht bleiben.
m1 , J 1
R1
man , Jan
m2 , J 2
r1
r2
ran
α
(a) Schneide die relevanten Teilkörper frei und gib die
dazugehörigen Bewegungsgleichungen an!
(b) Stelle alle auftauchenden kinematischen Größen in
Beziehung zur Beschleunigung der Last z̈L !
r3
Man
R3
g
(c) Zeige, daß gilt
Man =
m3 , J 3
m4 , J 4
5
mL r z̈L + g + mr
6
377
30
r4
z̈L + g ,
mL
wenn ran = 23 r, r1 = r3 = 2r, R1 = R3 = 3r, r2 =
r4 = r, m1 = m3 = m, m4 = 35 m, Jan = 98 mr2 ,
J1 = J3 = 92 mr2 , J2 = J4 = 21 mr2 , α = π6 !
Geg.: mL , z̈L , g, α, alle Massen
Trägheitsmomente Ji , alle Radien ri , Ri .
mi ,
alle
45. Die skizzierte Kollermühle wird vom Moment Man angetrieben. Die Breite der Räder soll vernachlässigt werden wie auch die Masse und das
Trägheitsmoment der senkrechten Antriebsstange.
Wie groß darf das Antriebsmoment höchstens sein, damit die Räder nicht
rutschen?
Geg.: µ0 , m1 , m2 , a, l, g
m1 , Θ S
1
46. Die beiden oberen Riemenscheiben mit den Radien r und R sind starr miteineinder verbunden. Das Seil läuft auf allen drei Riemenscheiben
ohne
Schlupf, g
PSfrag
replacements
seine Abschnitte zwischen den Riemenscheiben hängen genau senkrecht. Der
Drehpunkt S der unteren Scheibe ist vertikal geführt.
Berechne die Geschwindigkeit des Punktes S zu einem beliebigen Zeitpunkt t
mit dem Impuls- und Drehimpulssatz.
r
R
z
S
Geg.: R, r, m1 , ΘS
1 , m2 , Θ2 , g, z(0) = ż(0) = 0
x
m2 , Θ S
2
S
47. Auf einem keilförmigen starren Körper der MassePSfrag
M , der
sich rei- y
replacements
bungsfrei längs der x-Achse bewegen kann, rollt im Schwerefeld eine
homogene Walze der Masse m und des Radius b. Am Keil wirkt dabei
eine konstante Kraft F in dessen Bewegungsrichtung.
(a) Ermittle die beiden Bewegungsgleichungen von M und m in x
und ξ!
(b) Wie groß müßte die Kraft F sein, damit die Walze relativ zum
Keil in Ruhe bleibt?
Geg.: M , m, F , β, b, g.
x
g
b
m
F
M
β
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Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
x1
48. Durch die Wirkung der Schwerkraft setzt sich das dargestellte System in Bewegung. Bestimme mit Hilfe des Impuls- und
Drallsatzes die Beschleunigung ẍ1 der Masse m1 im Moment
des Losrollens unter der Annahme, dass m2 rollt und dass
PSfrag replacements
die Verbindungsstange m1 –m2 starr ist. Nehmen Sie außerdem
an, dass die Massen m3 und m4 in diesem Moment senkrecht
hängen.
g
m1
m2 , Θ S
2
µ
α
r2
Geg.: r1 = r, r2 = 2r, m1 = m2 = M , m3 = m4 = m, ΘS
2 , µ,
g, α
r1
m4
m3
PSfrag replacements
49. Auf den zwei drehbar
gelagerten
Rollen A und B liegt eine dünne
homogene Platte der Masse m1
(Dicke der Platte vernachlässigbar
klein). Die Rollen rotieren mit sehr
großer Winkelgeschwindigkeit im
skizzierten Richtungssinn. In der
skizzierten Ausgangslage (x1 =
x2 = 0) liegt die Platte genau mittig auf den Rollen und die Feder
ist entspannt.
x1
m2 , J S
x2
r
g
µ
S
reines Rollen
m1
c
µ
A
B
L
(a) Erstellen Sie je eine Freischnittskizze der beiden Massen m1 und m2 in einer ausgelenkten Lage!
(b) Bestimmen Sie die Normalkräfte zwischen der Platte und den Rollen in der ausgelenkten Lage als Funktion
von x1 ! (statisches Problem)
(c) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen des Systems in den Koordinaten x1 und x2 ! Sortieren
Sie die Gleichungen nach Ableitungen von x1 und x2 oder schreiben Sie das System in Matrizenschreibweise!
Geg.: m1 , m2 , JS , c, µ, g, L
PSfrag replacements
50. Eine dünne homogene Stange gleitet reibungsfrei mit ihren Endpunkten A, B auf
zwei zueinander senkrecht stehenden Wänden. Bei α0 = π2 war sie in Ruhe.
(a) Ermittle den Impuls P und den auf den Schwerpunkt bezogenen Drall L S
der Stange als Funktion von α.
(b) Wie groß ist der auf den Koordinatenursprung O bezogene Drall LO ?
Geg.: m, g, l
ey
A
ex
l
S
g
O
B
Um den Einfluß des im Lager A wirkenden Reibmomentes zu eliminieren, wird
der Versuch mit einem anderen Körper mit der Masse m2 wiederholt.
gleicher
PSfragBei
replacements
A
Absinkhöhe wird diesmal die Absinkdauer t2 gemessen.
m1 , m 2
Bestimme ΘA unter den Annahmen, daß das Reibmoment MR konstant ist und
daß die Masse des Fadens vernachlässigt werden kann.
h
r
51. Das Massenträgheitsmoment ΘA des abgebildeten Schwungrades soll bestimmt
werden. Dazu wird das Rad mit einem dünnen Faden umwickelt. Am Ende des
Fadens wird ein Körper mit der Masse m1 befestigt. Nun wird die Dauer t1 gemessen, in der der Körper aus der Ruhelage um die Höhe h absinkt.
α
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Seite 14
Kinematik und Kinetik
52. Ein starrer Körper führt Schwingungen in einer vertikalen Ebene unter dem Einfluß der Schwerkraft aus.
Der Zapfen (Radius R) rollt ohne zu gleiten auf der
starren Unterlage. Verluste durch Reibung seien vernachlässigbar. Der Massenmittelpunkt C hat den AbPSfrag
replacements
stand a vom Zapfenmittelpunkt M. Der
Körper
hat die
Masse m und das Massenträgheitsmoment J um den
Massenmittelpunkt.
Version 24. Juni 2004
x
M
g
y
ϕ
C
(a) Zeigen Sie, daß die Bewegung durch die Differentialgleichung
ϕ̈ J + m a2 + R2 − 2maR cos ϕ + mga sin ϕ + maRϕ̇2 sin ϕ = 0
beschrieben wird.
(b) Bestimmen Sie nun ausgehend von der hergeleiteten Bewegungsdifferentialgleichung die statische Ruhelage.
(c) Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung, wenn man kleine Schwingungen um die Ruhelage ϕ = 0
betrachtet?
(d) Mit welcher Kreisfrequenz ω schwingt das System bei kleinen Auslenkungen?
53. Ein Klotz (Gewichtskraft FG ) wird durch eine unter dem Winkel ϕ angreifende Kraft F gleichförmig
eine schiefe Ebene hinaufgezogen (Reibzahl µG ).
Am Klotz ist eine Walze der Gewichtskraft
FW
PSfrag replacements
über einen Stab der Länge l angeschlossen.
(a) Wie groß ist F für den Spezialfall ϕ = 40◦ ,
FG = 100N, FW = 180N, l = 0.1m, r =
0.035m, b = 0.035m, µG = 0.12 und α = 30◦
?
(b) Für welchen Winkel ϕ tritt für diesen Spezialfall (außer, dass ϕ nun nicht gegeben sein
soll) Selbsthemmung auf?
FG
FW
b/2
ϕ
r
F
µG
α
l
Hinweis: Es soll idealisierend angenommen werden,
dass keine Kippmomente wirken.
54. Für den um die z-Achse rotationssymmetrischen Körper mit der konstanten
2
Dichte ρ, dessen Kontur durch die Gleichung z = ra gegeben ist, berechne
man:
PSfrag replacements
(a) den Ortsvektor xC zum Massenmittelpunkt,
z
C
h
(b) das Massenträgheitsmoment um die z-Achse ΘC
zz bzgl. des Schwerpunktes.
Geg.: h, a, ρ
55. Das skizzierte physikalische Pendel besteht aus einem dünnen Stab der Länge l mit der
Masse m und einer punktförmigen Endmasse M .
A
(a) Bestimme das Massenträgheitsmoment bezüglich der Achse, die orthogonal zur Zeichenebene durch den Aufhängepunkt A geht.
m
l
(b) Bestimme die Koordinaten des Schwerpunktes.
r
PSfrag replacements
Geg.: l, m, M = 4m
M
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Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
System I
56. Betrachtet werden zwei Systeme I und II. System I ist eine homogene, dünne Scheibe der
Masse m. System II besteht aus vier PunktPSfrag replacements
massen, die durch starre, masselose Stäbe verbunden sind. Zeigen Sie, daß die Systeme
I und II die gleichen Trägheitseigenschaften b
besitzen. Anmerkung: Im Englischen spricht
man in diesem Zusammenhang von equimomental systems.
System II
1
m
12
3
m
4
1
b
3
1
m
12
1
m
12
a
1
a
3
57. Ein biegestarrer Rotor mit der Masse m und dem Trägheitstensor


Jξ
−Jξη −Jξζ
(P )
Jη
−Jηζ 
Θ
=  −Jξη
−Jξζ −Jηζ
Jζ
sitzt auf einer masselosen Welle. Das ξηζ-Koordinatensystem ist förperfest. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt auf der Drehachse im Punkt P. Die ζ-Achse weist in Richtung der Drehachse. Die Lage des
Rotorschwerpunktes S ist im körperfesten Koordinatensystem durch ξS 6= 0, ηS 6= 0 und ζS = 0 gegeben.
Die Welle ist über ein Loslager in A und ein Festlager in B drehbar gelagert und wird durch ein konstantes
Drehmoment M0 angetrieben.
PSfrag replacements
ξ
A
B
P
M0
ζ
a
b
(a) Zeigen Sie, daß der Schwerpunktsatz die Form
−mω̇ηS − mω 2 ξS
=
=
Aη + Bη
0
=
Bζ
2
mω̇ξS − mω ηS
Aξ + Bξ
und der Drallsatz die Form
ω 2 Jηζ − ω̇Jξζ
2
−ω Jξζ − ω̇Jηζ
ω̇Jζ
=
=
=
Aη a − B η b
−Aξ a + Bξ b
M0
PSfrag replacements
annehmen. Alle Lagerkräfte sind positiv in positive Koordinatenrichtung angenommen.
ξ
ζ
(b) Bestimmen Sie nun die Lagerkräfte.
P ist?
(c) Wie groß sind die Lagerkräfte, wenn der Rotor statisch und dynamisch ausgewuchtet
A
58. Eine dünne, homogene Dreiecksscheibe der Masse m ist in A und B drehbar gelagert. B
a
Sie wird durch ein Moment M0 angetrieben.
bB
Wie groß sind die Lagerreaktionen in A und B und wie groß ist die Winkelbeschleuni-M0
gung?
Geg.: b, c, m, M0
b
A
M0
c
ξ
ζ
Kinematik und Kinetik
P
A
B
59. Eine dünne, homogene Rechteckscheibe der Masse m ist in A und B dreh- a
bar gelagert; A ist ein Loslager, B ein Festlager. Die Scheibe wird durch b
ein Moment M0 angetrieben. Zudem sind in der gleichen Ebene zwei mas-M0
selose Stangen an der Scheibe befestigt.
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Seite 16
Version 24. Juni 2004
M0
B
c
(a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung der Rechteckscheibe?
b
(b) Wie groß sind die Lagerreaktionen in A und B?
PSfrag replacements
(c) Ist es möglich,
den Rotor durch Anbringen von Punktmassen auf
den masselosen Stangen auszuwuchten?
Wenn ja, in welchem Abξ
stand von der Drehachse müssen
welche Punktmassen angebracht
ζ
werden?
P
A
B
60. Ein homogener Körper der Mas- a
se m ist auf einer masselosen b
Welle befestigt und in A und BM0
gelagert. Er wird durch ein Antriebsmoment MAN im Schwerefeld der Erde aus der Ruhe heraus beschleunigt.
A
Geg.: b, c, m, M0
4a
4a
A
2a
g
Schnitt A-A
MAN , ω, ω̇
S
a
ξ S
ζ
ζ
a
ξ
B
A
4a
a
a
2a
A
PSfrag replacements
η
η
ξ
(a) Zeigen Sie, dass sich für den aufζ den Schwerpunkt S bezogenen Massenträgheitstensor des Körpers im
angegebenen ξ − η − ζ−Koordinatensystems
P


A
25 0 0
2
ma
B Θ(s) =
 0 6 6 
12
a
0 6 21
b
M0
ergibt.
(b) Bestimmen Sie die Lagerkräfte in A und B während des Beschleunigungsvorganges in Abhängigkeit von
ω und ω̇.
(c) Wie groß ist ω̇?
Geg.: g, m, a, MAN
61. Der skizzierte Rotor, der sich im
Schwerefeld der Erde befindet, be1
steht aus den masselosen Stangen ,
2 und 3 sowie der massenbehafte,
ten, homogenen, rechteckigen Schei4 (Masse m). Er ist in B gebe genüber der Umgebung gelagert und
dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um die masselose
Achse AB. Das eingezeichnete ξ − η −
ζ−Koordinatensystem ist körperfest,
d.h. es dreht sich mit dem Rotor.
Die Punktmassen m1 und m2 sind
zunächst nicht montiert und müssen
nur in Aufgabenteil b) berücksichtigt
werden.
Seitenansicht:
Draufsicht:
4 (m)
g
4
ζ
η
m2
3
A
l
2l
2
2l
l
α
α
α
ω
m1
1
m1
3
ξ
2l
ω
2
ξ2
ξ1
ξ
m2
B
(a) Bestimmen Sie sämtliche Auflagerreaktionen in B!
Hinweis: B ist ein fünfwertiges Lager!
2 montiert
(b) Wie groß müssen m1 und m2 sein, und an welcher Stelle ξ2 muß die Masse m2 auf der Stange werden, damit der Rotor bezüglich der ζ−Achse statisch und dynamisch ausgewuchtet ist?
Hinweis: Die Stelle ξ1 , an der die Masse m1 beim Auswuchten montiert werden muß, ist gegeben!
p
Geg.: l, m, g, α = 45o , ω = gl , ξ1 = l.
ξ
ζ
Kinematik und Kinetik
P
A
B
dyn-ie
a
b
62. Zwei Personen mit den Massen m1 und m2 laufen auf einer Scheibe mit Mas-M0
senträgheitsmoment ΘS längs zweier konzentrischer
Kreise
mit den BahngePSfrag
replacements
schwindigkeiten v1 und v2 . Die Scheibe ist dabei in Ruhe.
ξ
ζ
Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotiert die reibungsfrei und zentrisch
gelaP
gerte Scheibe, wenn beide Personen plötzlich stehenbleiben?
A
Geg.: m1 , m2 , ΘS , r1 , r2 , v1 , v2
B
a
b
M0
63. Eine Kugel fliegt mit einer Geschwindigkeit v0 . Zum Zeitpunkt t = t0
v3
zerplatzt sie in drei Teile. Alle Geschwindigkeitsvektoren liegen in
einer Ebene, deren Draufsicht anbei skizziert ist.
m3
√
√
√
π
4
8
π
Geg.: m0 , α = 6 , β = 2 , v0 , v1 = 2 3v0 , v2 = 3 3v0 , v3 = 3 3v0
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(a) Bestimmen Sie die Massen der drei Teile.
β
(b) Wieviel mechanische Energie hat das gesamte System beim
Zerplatzen insgesamt aufgenommen, wenn m0 = 6 g (sechs
Gramm) und v0 = 10 ms ?
α
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Version 24. Juni 2004
m2
v2
r2
S
v1
ΘS
m1
r1
y
m0
x
v0
α
v2
m2
m1
v1
PSfrag
replacements
64. Eine Kugel (m2 ) stößt mit der Geschwindigkeit v0 gegen
einen
frei beweglichen ruhenden Klotz (m1 , JS ). Nach dem Stoß ist die Geschwin- ξ
digkeit der Kugel null.
ζ
P
(a) Wie groß sind die Winkelgeschwindigkeit ω des Klotzes und die Aa
Geschwindigkeit seines Schwerpunkts vs,1 nach dem Stoß? (Der B
PSfrag replacements
Stoß kann nicht als ideal elastisch angenommen werden.)
a
ξ
(b) Berechnen Sie nun für den Fall eines ideal elastischen Stoßes und b
ζ
2
1
M
0
JS = 2 m1 a zusätzlich das Verhältnis der Massen m1 /m2 !
P
A
Geg.: m1 , m2 , JS , a, v0
B
a
b
M0
65. Eine Masse m1 trifft mit einem elastischen Stoß auf ein Pendel (m2 , ΘA
2 , Schwerpunkt S).
(a) Bestimme die Winkelgeschwindigkeit des Pendels nach dem Stoß. (zusätzlich
PSfrag replacements
gegeben: a)
ξ
(b) Bestimme die Länge a so, daß im Lager A keine Kräfte infolge des Stoßes
ζ
auftreten.
P
A
Geg.: m1 , v1 , m2 , ΘA
2 , s
B
66. Eine sich mit v1 bewegende Kugel trifft auf eine sich mit v2 bewegende Un- a
terlage.
b
Ermittle die Winkelgeschwindigkeit Ω1 der Kugel nach dem elastischen Stoß.M0
v0
m2
m1 , J S
A
m2 , Θ A
2
S
m1
s
a
v1
r
m1
v1
Geg.: m1 , m2 , v1 = −v1 en , v2 = v2 et
en
m2
et
v2
ζ
P
A
Kinematik und Kinetik
B
a
b
67. Eine Kugel der Masse m und des Radius r trifft mit der GeschwindigkeitM0 m
v unter einem Winkel α auf eine starre Platte.
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Bestimme die Geschwindigkeiten v̂ und ω sowie den Winkel β nach dem
Stoß unter den folgenden vereinfachenden Annahmen:
(a) Der Stoß sei ideal elastisch (ohne Energieverlust).
(b) Die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Wand sei nach
dem Stoß umgekehrt gleich der vor dem Stoß (elastischer Stoß
in Normalenrichtung). Der Berührpunkt auf der Kugel habe nach
dem Stoß eine Geschwindigkeitskomponente tangential zur Wand,
die genau gleich der der Wand, also Null ist (plastischer Stoß in
tangentialer Richtung).
Seite 18
Version 24. Juni 2004
ω
r
v
v̂
α
β
(c) Die Kugel gleitet an der Wand ohne Reibung.
Geg.: m, r, v, α
68. Eine Kugel der Masse m2 stößt mittig gegen einen ruhenden homogenen Würfel mit der Dichte ρ, der an einem
PSfrag replacements
als masselos anzusehenden Stab befestigt ist.
ξ
(a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit des Würfels unmitζ
telbar nach dem Aufprall. Der Stoß sei ideal elastisch, JS und
P
m1 als bekannt anzunehmen.
A
Geg.: l, v0 , JS , m1 , m2
B
(b) Leiten Sie das Massenträgheitsmoment JS des Würfels um a
seinen Schwerpunkt aus der allgemeinen Formel für das Mas- b
M0replacements
senträgheitsmoment eines beliebig geformten starren Körpers
PSfrag
ab.
ξ
ζ
Geg.: ρ, l
P
69. Zwei Kugeln treffen wie skizziert aufeinander. Der Stoß sei ideal elastisch, die
A r2
Oberflächen der Kugeln haften dabei ( rauhe“ Kugeln). Vor dem Stoß ist die
α
”
B m2
Masse m1 in Ruhe und m2 bewegt sich mit der Geschwindigkeit v2 , beide Kugeln
a
drehen sich nicht.
v2
b
Berechnen Sie Geschwindigkeiten und Drehgeschwindigkeiten der Kugeln nachM0
dem Stoß.
Geg.: m1 , m2 , v2 , α =
π
,
6
r1 , r2
PSfrag replacements
ξ
ζ
P
70. Eine Masse m, die von einem Faden gehalten A
wird, bewegt sich mit der Winkelgeschwindig- B
keit ω0 auf einer glatten Ebene mit dem Ab- a
stand r0 von einem Loch A. Die Masse hängt b
an einem Faden, der durch das Loch geführt istM0
r1
m1
r0
m
r0
und mit der Kraft S0 gehalten wird.
A
ω0
S0
(a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω1 , wenn der Faden so weit angezogen wird, dass sich die Masse
anschließend im Abstand r1 bewegt?
PSfrag replacements
ξ
ζ
71. Eine homogene gleichseitige Dreiecksscheibe der Dicke t stößt
P mit der Spitze gegen eine ruhende Kugel.
A
B
√
aHinweis: yo (x) = 3 x
PSfrag replacements
3
b
ξ
y
M
0
ζ
yo (x)
P
√
3
A
x
l
2
B
a
b
l
2
M0
(b) Wie ändert sich hierbei die Fadenkraft?
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 19
Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
PSfrag replacements
(a) Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment
der Scheibe um ihr Lager A!
ξ
(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar
nach dem Stoß!
ζ
Geg.: l, t, ρ, m, ω0 , v0 = 0
P
A
72. Eine Kugel der Masse m1 rollt aus der Höhe H herab gegen
einen Kasten (Leermasse m2 ) und bleibt darin
B
stecken. Durch den Aufprall rutscht der Kasten eine schiefe
Ebene
hinauf. Zu Beginn waren Kugel und Kasten
a
in Ruhe.
b
r
m1 , J S
(a) Berechnen Sie mit dem Energieerhaltungssatz dieM0
Geschwindigkeit der Kugel beim Auftreffen auf
g
reines Rollen
den Kasten!
(b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Kastens
mit der darin steckenden Kugel unmittelbar nach
dem Aufprall (Vernachlässigen Sie das von der
Kugel auf den Kasten übertragene Moment)!
m2
H
α
L
(c) Berechnen Sie mit dem Arbeitssatz welche Strecke
L der Kasten bis zum Stillstand zurücklegt!
PSfrag replacementsµ
ξ
ζ
Geg.: m1 , JS = 25 m1 r2 , r, m2 , H, α, µ, g,
P
73. Eine dünne homogene Scheibe (Radius r, Masse m) ist im Punkt P frei drehbar A
durch ein Kugelgelenk gelagert. Im Punkt Q stößt etwas senkrecht zur Scheibe (in B
y-Richtung) dagegen. Um welche Achse dreht sich die Scheibe unmittelbar nach a
dem Aufprall? Bearbeite dazu zunächst die folgenden Teilaufgaben!
b
M0
(a) Berechne den Drehimpuls(-vektor) bezüglich P einer Punktmasse, die senkrecht zur Scheibenebene im Punkt Q gegen die Scheibe stößt vor und nach
dem Aufprall (Masse und Geschwindigkeiten seien gegeben).
Q
r
m
z
(b) Berechne den Massenträgheitsmomententensor der Scheibe bezüglich P.
(c) Die Drehung der Scheibe um eine beliebige durch P gehende Achse wird
durch den Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω charakterisiert. Berechne den
Drehimpuls(-vektor) der Scheibe bezüglich P bei vorgegebenem ω.
P
x
y
Geg.: r, m
74. Ein System, bestehend aus einem Balken und zwei Rollen
an den Balkenenden, führt eine ebene Bewegung aus. Bekannt ist die waagerechte Geschwindigkeitskomponente vsx
des Balkenmittelpunktes und der Stellungswinkel β.
Bestimme die kinetische und potentielle Energie des Systems!
PSfrag replacements
2
2
r
,
m
,
J
=
ml2 , m3 , J3 = ξ
Geg.: l, r1 , r3 , m1 , J1 = m
2
2
2 1
3
m 2
ζ
r , vsx , β
2 3
P
A
B
a
b
M0
75. Berechnen Sie an der Atwoodschen Fallmaschine vermittels des Energiesatzes die Geschwindigkeit der zwei Massen in Abhängigkeit der Auslenkung.
PSfrag replacements
ξ
Das Seil sei hierbei als masselos und dehnstarr anzusehen, die Scheibe als trägheitslos.
ζ
Gegeben: g, M, m.
P
A
B
a
b
M0
M
76. Ein Körper der Masse m wird normal zum Schwerefeld der Erde um die Strecke dx bewegt.
Zeigen Sie, daß ausgehend vom Newtonschen Gesetz F = ma für die kinetische Energie
T =
1
mv 2
2
M +m
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
A
B
a
Kinematik
und Kinetik
b
M0
Seite 20
Version 24. Juni 2004
folgt, wenn für die Arbeit dW = F dx gilt.
77. Eine Punktmasse m wird am Punkt A durch
eine um ∆s gespannte Feder abgeschossen.
Die Punktmasse läuft reibungsfrei von A
über B nach C. Ab dem Punkt C herrscht
Gleitreibung.
(a) Wie groß ist die Geschwindigkeit der
Punktmasse im Punkt B und C?
c
H
(b) Wie lang ist der Bremsweg L?
Geg.: a, β = 30◦ , c, g, H, m, µg = 0.6, ∆s.
PSfrag replacements
4s
ξ
m
ζ
A
P
A
µ=0
B
a
b
M0
78. Zwei Massen sind über eine Rolle miteinander verbunden.
(a) Wie groß darf der Haftreibbeiwert µ0 höchstens sein, damit sich die
Masse m2 nach unten in Bewegung setzt?
(b) Berechne unter Verwendung des Arbeitssatzes die Beschleunigung ẍ2
der Masse m2 .
(c) Nachdem die Masse m2 am Boden auftrifft, bewegt sich die Masse m1
weiter und kommt an ihrem höchsten Punkt zum Stillstand. Welchen
Weg L legt sie dabei zurück? Hinweis: Lösung über Arbeitssatz
L
g
µg
D
C
β
a
B
r2
Θ
r1
m1
m2
µ,
µ
0
α h
g
Geg.: m1 , m2 , Θ, r1 , r2 , µ0 , Gleitreibbeiwert µ, g, h, α
79. Im nebenstehend skizzierten System tritt kein Schlupf auf, die
Reibung wird vernachlässigt.
(a) Das Antriebsmoment sei M1 := −Ma . Bestimme mit dem
Arbeitssatz die Geschwindigkeit ż(z) der Masse m an jeder beliebigen Stelle z!
PSfrag
replacements
(b) Bestimme das Antriebsmoment Mb = −M
1 , bei dem die
ξ
Masse m maximal die Höhe zb erreicht!
ζ
Geg.: J S , m, r, c, Ma , zb , g, z(0) = ż(0) = ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = P
A
ϕ3 (0) = 0
PSfragBreplacements
a
ξ
b
ζ
M0
P
PSfrag replacements
A
80. Jemand möchte mit seinem Skateboard durch ein Looping fahren.
B ξ
Man bestimme die Mindesthöhe h, bei der der Skateboarder aus der Ruhe a ζ
starten kann, damit er das Looping vollständig durchläuft.
b P
Der Skateboarder wird als Punktmasse der Masse m angenommen. Dissipa-M0 hA
B
tion (Energieverlust) tritt nicht auf.
a
Geg.: g, m, R.
b
M0
81. Auf einer rauhen schiefen Ebene mit dem Winkel α befindet sich eine Punktmasse
m im Erdschwerefeld. An ihr wirkt wie dargestellt eine Kraft F0 , und zusätzlich
wird sie von einem Wind mit v0 = konst. angeblasen.
(a) Stelle mit Hilfe des Arbeitssatzes die Bewegungsgleichung auf.
(b) Berechne die Kraft F0 die nötig ist, damit sich die Masse m mit der konstanten Geschwindigkeit ẋ = v0 bewegt.
Geg.: α, µ, m, g, k, v0
g
R
v0
g
F0
y
x
α
µ
b
M0
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 21
Kinematik und Kinetik
82. Eine zylinderförmige Walze (m2 ) schiebt einen Klotz (m1 , Gleitreibkoeff. µ) auf einer schiefen Ebene vor sich her. Die Walze und der
Klotz treffen auf eine Feder und drücken diese bis zum Maximalbetrag f zusammen. Die schiefe Ebene besteht aus zwei unterschiedlichen Materialien mit den Gleitreibkoeffizienten µ1 und µ2 . Auf dem
ersten Material rollt die Walze, auf dem zweiten Material gleitet sie.
Wie groß muß v0 sein, damit die Feder um die Länge f zusammengedrückt wird?
Geg.: l1 , l2 , f , α, µ1 , µ2 , r, m1 , m2 , c, g
Version 24. Juni 2004
r
v0
m
l1
g
2
m α µ1 l2
1
f
A µ 2
B c
83. Im skizzierten ebenen System soll die Reibung vernachlässigt werden. Das antreibende Moment M0 sei konstant,
die Drehfeder bei ϕ(t=0) = 0 entspannt.
(a) Stellen Sie den Arbeitssatz für das System auf
zwischen dem Anfangszustand mit ϕ(t=0) =
PSfrag replacements
ϕ̇(t = 0) = 0 und einem beliebigen
späteren
Zustand, der durch den Winkel ϕ(t) charak- ξ
terisiert wird. Diese Gleichung soll außer ϕ(t) ζ
und ϕ̇(t) keine Unbekannten enthalten.
P
(b) Bestimmen Sie daraus die Winkelgeschwindig- A
keit ϕ̇(t1 ) in dem Moment t1 , in dem das B
Stabende E gerade durch den Koordinatenur- a
b
sprung geht!
M
0
(c) Wie groß muß das Moment M0 mindestensPSfrag replacements
ξ
sein, damit das Stabende E den Koordinaζ
tenursprung überhaupt erreicht.
P
A
Geg.: l, c, g, M0 , m, JS
B
84. Ein Massepunkt der Masse m bewegt sich reibungsfrei auf der skizzier- a
ten Unterlage. Auf dem ebenen Teil der Bahn ist seine Geschwindigkeit b m
v0 .
M0
v0
ϕ
(a) Bei welchem Winkel ϕ1 hebt die Masse von der Unterlage ab?
(b) Wie hoch müßte die Geschwindigkeit v0 mindestens sein, damit
der Massepunkt bereits bei ϕ2 = 0 abhebt?
g
r
Gegeben: g, m, r, v0 .
85. Die Stange m1 gleitet ohne Reibung an der linken Wand ab. Zwischen
der Stange und dem Rad m2 wirkt
dasreplacements
konstante Reibmoment MR .
PSfrag
ξ
Bestimme mit Hilfe des Arbeitssatzes die Geschwindigkeit
des Punktes
ζ
A zu dem Zeitpunkt, an dem die Stange genau waagerecht ist. Dabei
soll angenommen werden, daß A mit der Wand in P
Kontakt bleibt.
A 2
S
2
S
1
1
Geg.: r, L, g, m1 , J1 = 12 m1 L , m2 , J2 = 3 m
B 2 r , MR = konst.,
Anfangsbedingungen: ϕ(0) = π6 , ϕ̇(0) = 0
a PSfrag replacements
b
ξ
M0
ζ
P
A
B
a
b
M0
v0
86. Ein Klotz mit der Masse m gleitet auf der dar m g
gestellten Bahn von 0 über A und B nach C und
k
zurück bis nach D. Im Punkt 0 habe er die Ge0 l
schwindigkeit v0 . Der Gleitreibungskoeffizient zwih0
schen A und B sei µ, überall sonst gleich Null. Der
h 1 D b Luftwiderstand soll vernachlässigt werden. Bei C
ist eine Feder (Federsteifigkeit k) befestigt. l ist der N.N.
α β
C
Abstand bis zum Anschlag bei entspannter Feder.
µ
A
B
Verwenden Sie den Arbeits- und/oder Energiesatz.
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 22
Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
(a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten des Klotzes, wenn er die Punkte A und B das erste Mal passiert.
(b) Bestimmen Sie die maximale Auslenkung der
Federreplacements
∆s.
PSfrag
ξ
(c) Bis zu welcher Höhe h1 gleitet der Klotz zurück?
ζ
Geg.: α, β, m, v0 , h0 , l, b, k, µ, g
P
A
87. Dargestellt ist eine einfache Sortiermaschine, die Güter mit Hilfe
B
einer reibungsbehafteten schiefen Ebene in erste und zweite Wahl
a
aufteilt. Ein Arbeiter legt die Waren je nach Qualität oberhalb bzw.
b
unterhalb einer Markierung auf die Rampe. In welchem Abstand aM
0
zum Ende der Rampe muß die Markierung angebracht werden?
PSfrag replacements
Geg.: b, h, α, g, µ, m
ξ
α
ζ
P
A
B
88. Ein Pendel der Länge l und Masse m wird aus der Winkellage ϕ0 gegenüber der a
Vertikalen losgelassen (1). Bei ϕ = 0 wird das Pendel im Punkt P umgelenkt.
b
M0
Bestimme den maximalen Winkel ϕ bis zu dem das Pendel emporsteigt (3), wenn
l
OP = l/2 gilt!
a
g
µ
b
h
0
Geg.: g, l, m, OP = l/2, ϕ0 = 45◦ .
ϕ0
PSfrag replacements
ξ
ζ
89. Ein Segelflugschüler möchte seinen Fluglehrer beeindrucken und mit P
der höchstzulässigen Geschwindigkeit vne knapp über den Boden glei- A
ten. In welcher Flughöhe H muß er mit dem Manöver beginnen, wenn B
a
er vorher mit der Mindestgeschwindigkeit vmin fliegt?
b
M
0
(a) Vernachlässige den Luftwiderstand.
(b) Berücksichtige (als Abschätzung) eine konstante Widerstandskraft FW auf einem geradlinigen Flugweg unter einem Winkel
α zur Horizontalen.
PSfrag replacements
g
P
1
3
FW
2
H
α
ξ
m = 270kg, vmin = 60km/h, vne = 190km/h, FW = 400N, α = 45◦ ζ
90. Ein Motorsegler (Abflugmasse m) habe bei eingeklapptem Trieb- P Gleitflug ohne Motor
werk ein Gleitverhältnis von = 1:35, das heißt auf einer Gleit- A
PSfrag replacements
B
strecke von 35 m verliert er bei konstanter Bahngeschwindigkeit
a
arctan(E)
ξ
1 m an Höhe.
b
ζ
Welche effektive Leistung Peff muß das Triebwerk erbringen, umM0
FlugPmit Motor
den Motorsegler bei einer konstanten Geschwindigkeit v im HoriA
zontalflug zu halten?
B
a
Geg.: m = 400kg, = 1:35, v = 108km/h
b
91. Berechne unter Verwendung des Arbeitssatzes die Beschleunigung ẍ2 derM0
Masse m2 .
m1
Geg.: m1 , m2 , ΘC
2 , d, D, µ
µ
e3
e1
m2 , Θ C
2
α
d
D
92. Ein Turmspringer, idealisiert als Massenpunkt der Masse m, springt unter einem Winkel α mit der Geschwindigkeit v0 von einem Sprungbrett ab, das sich in der Höhe H über der Wasseroberfläche des Sprungbeckens
befindet. Während des Fluges wird dem Springer vom Gegenwind eine Kraft W = konst. aufgeprägt.
PSfrag replacements
ξ
ζ
Kinematik und Kinetik
P
A
B
Stelle mit Hilfe des Energiesatzes die Bewegungsgleichung für den
a
Massenpunkt auf!
PSfrag replacements b
ξ M0
Bestimme die Bahnkurve in der Form x = x(t) und y = y(t)!
ζ
Berechne die Flugzeit te bis zum Erreichen der Wasseroberfläche!
P
An welcher Stelle xe = x(te ) taucht die Masse ins Wasser ein, wenn
A
◦
α = 0 war?
B
Wie groß darf die Windkraft W höchstens sein, damit der Springer
a
das Becken gerade noch trifft?
b
M0
H, α, m, v0 , W , Erdbeschleunigung g
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(b)
(c)
(d)
(e)
Geg.:
v0
(a)
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Version 24. Juni 2004
g
m1
α
H
y
W
x
h
v0
l1
93. Ein Wagen (m2 ) schleppt einen Klotz (m1 , Gleitreibkoeff. µ) auf eim
ner schiefen Ebene. Der Wagen selbst bewegt sich reibungsfrei, seine 1m
PSfrag replacements
2l2 Anfangsgeschwindigkeit bei A ist v0 . Bei B blockieren die Räder des ξ
f
Wagens, der Gleitreibkoeffizient ist dann ebenfalls µ.
ζ
α Wie groß muß v0 sein, damit die Feder um die Länge f zusammengeµ A
P
drückt wird?
A
B
B
Geg.: l1 , l2 , µ, α, f , m1 , m2 , c, Erdbeschleunigung g
a
c
b
vA
94. Ein Wagen mit der Masse m hat im Punkt A die GeschwindigkeitM0
vA und rollt dann verlustfrei durch PSfrag
eine Senke.
An der Stelle C replacements
c
steht ein Rammbock mit der Federkonstanten c.
ξ
ζ
A (a) Welche Geschwindigkeit hat der Wagen im Punkt B?
P
(b) Wie weit hat sich die Feder des Rammbocks imAPunkt C
B
C
zusammengedrückt, wenn der Wagen bei C zum B
Stillstand
kommt?
a
b
Geg.: m, vA , c, h, Erdbeschleunigung g
M0
v0
95. Ein Güterwagen der Masse m rollt auf einen elastic
schen Prellbock (Federkonstante c) mit der Geschwinm
digkeit v0 zu. Bei 1 werden die Räder durch Bremsen blockiert (Gleiten!), bei 2 trifft der Wagen auf den
Prellbock, dessen entspannte Feder die Länge a hat.
2
3
µ, µ0 1
x
x0
Um welche Strecke ∆x = a − x0 wird der Puffer bis
zum Stillstand des Wagens bei 3 zusammengedrückt?
a
Gegeben: a, c, m, µ, µ0 , v0 .
5a
PSfrag replacements
96. Beim Windenstart wird ein Segelflugzeug von ei- ξ
ner Seilwinde an einem langen Stahlseil in die ζ
Luft gezogen. Das Flugzeug wird in einer Höhe P
A
h mit einer Geschwindigkeit v ausgeklinkt.
B
Berechne unter Vernachlässigung des Luftwider- a
stands die Energie, die nötig ist, um ein Flugzeug b
replacements
der Masse m bei Windstille zu starten.
MPSfrag
0
ξ
Geg.: H = 300m, m = 350kg, v = 108km/h
ζ
∆s
97. Ein Auto fährt auf einer Straße in eine Kurve mit dem Radius R. P
v0
Die Räder sollen mit der Straße den Haftreibkoeffizienten µ0 haben. A
Die Masse des Autos sei m, die Erdbeschleunigung g.
B
Hindernis
a
R
(a) Wie schnell kann das Auto in der Kurve fahren, ohne seitlich b
M0
zu rutschen?
Geg.:R = 50m, µ0 =0,5 und g=9,81 sm2 .
(b) Das Auto fährt in der Kurve mit der Geschwindigkeit v0 .
Plötzlich taucht ein Hindernis auf, das Auto bremst so, daß
es gerade nicht rutscht. Stelle die Bewegungsdifferentialgleichung mit den zugehörigen Randbedingungen auf!
Geg.: µ0 , R, m, g, v0
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Seite 24
Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
98. Der Hokkaido-Express fährt mit v = 400km/h nach Norden. Der Zug
befindet sich auf ψ = 45◦ nördlicher Breite. Ein einzelner Wagen wiegt Nordpol
PSfrag replacements
6 Tonnen.
ξ
Welche seitliche Kraft übt dieser Wagen auf die Schienen aus? In welcher ζ
Richtung wirkt das Kippmoment?
P
A
Zusätzlich geg.: Erdradius R = 6, 4 · 106 m.
B
a
b
M0
PSfrag replacements
ξ
99. Am Äquator steigt warme Luft auf und an den Polen sinkt sie wieder ab. In ζ
der Höhe strömt deshalb immer Luft vom Äquator zu den Polen. Dort entsteht P
durch die Corioliskraft der sog. Jetstream, ein starker permanent vorhandener A
Höhenwind. In welche Richtung bläst der Jetstream auf der Nordhalbkugel und B
in welche Richtung auf der Südhalbkugel?
a
b
M0
PSfrag replacements
ξ
ζ
P
100. Ein LKW hat am hinteren Ende seiner Ladefläche eine Kiste ge- A
laden. An einer Kreuzung muß er eine Vollbremsung machen, alle B
vier Räder rutschen. Auch die Kiste beginnt dabei, auf der La- a
defläche nach vorn zu rutschen und stößt irgendwann vorne an. b
Die Masse der Kiste soll sehr klein sein gegenüber der Masse desM0
LKW
ω
v
ψ
N
Erdrotation
Äquator
S
(a) Welche Angaben brauchst Du, um die Beschleunigung des LKW bei der Vollbremsung zu bestimmen?
(b) Wie groß ist die Beschleunigung des LKW?
(c) Wie groß ist die durch diese Beschleunigung hervorgerufene Trägheitskraft auf die Kiste im mit dem LKW
PSfrag replacements
mitbewegten Bezugssystem?
ξ
(d) Welche Angaben brauchst Du, um die Bewegung der Kiste auf der Ladefläche zu beschreiben?
ζ
(e) Wann schlägt die Kiste vorne an?
P
101. Eine ringförmige Raumstation dreht sich um sich selbst, um PSfrag
im Ringreplacements
eine künstliche Schwer- A
kraft zu erzeugen. Wie lange braucht die Station für eine volle Drehung, wennξim Ring die B
a
normale“ Schwerkraft g=9,81 sm2 wirken soll? Der Durchmesser des Rings betrage
ζ D = 1km.
”
b
P in welcheM0
Wie schnell muß man sich in dem Ring bewegen, um schwerelos zu werden und
A
Richtung?
a
B
102. Ein Stein klemmt im Profil eines Autoreifens. Um ihn herauszulösen, wäre die
a
Kraft FR erforderlich. Das Auto beschleunigt mit der konstanten Beschleunib
gung a. Der Raddurchmesser sei D, die Masse des Steins m. Zu Beginn stehtM
0
das Rad auf dem Stein. Wann wird der Stein aus dem Rad herausgeschleudert?
Stein
ϕ
Geg.: FR , D, a, m, ϕ(0) = 0
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 25
Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
103. Ein Passagierflugzeug fliegt eine Linkskurve. Der Betrag der
Geschwindigkeit des Flugzeugs beträgt v = konst., der Kurvenradius beträgt R. Betrachtet werden soll eine Tasche in
der Kabine des Flugzeugs mit der Masse m.
PSfrag replacements
(a) Wie groß ist die scheinbare Gewichtskraft“, also die ξ
”
Kraft, die man benötigt, um die Tasche an ihrem Ort ζ
P
im Flugzeug festzuhalten?
A
(b) In welche Richtung lenkt die Corioliskraft die Tasche
B
ab, wenn sie losgelassen wird und nach unten“ fällt?
”
a
(c) Das Flugzeug fliegt mit 1000 km/h. Bestimme den b
Querneigungswinkel des Flugzeugs und die scheinbareM0
”
Gewichtskraft“ einer 10 kg schweren Tasche bei einem
Kurvenradius von 10 km und bei einem Kurvenradius
PSfrag replacements
von 3 km.
ξ
104. Ein Fahrrad lehnt in der U-Bahn an der Fahrerhausrückwand unter einem
ζ
Winkel α zu dieser Wand. Wenn die U-Bahn losfährt, wirkt neben der
Erdbeschleunigung g auch noch die Anfahrbeschleunigung a der U-Bahn P
als sogenannte Führungskraft. Das Fahrrad hat die Masse m und die Höhe A
h. Der Schwerpunkt soll in der Mitte des Fahrrades angenommen werden. B
Die Breite des Lenkers beträgt b. Ein Wagen der U-Bahn habe die Masse a
b
M.
M0
Geg.: m, M , h, b, α, g (Hinweis: Nicht alle Angaben werden zur Lösung
der Aufgabe benötigt.)
Tasche (m)
a
α
h
(a) Wie groß ist die Führungskraft in Fahrtrichtung, wenn die Beschleunigung der U-Bahn a = g/10 beträgt?
(b) Wie groß muß der Neigungswinkel α des Fahrrades mindestens sein,
PSfrag replacements
damit es bei dieser Beschleunigung nicht umkippt?
ξ
105. Eine Masse m gleitet reibungsfrei in einem liegenden Rohr. Das ζ
Rohr dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um P
eine senkrecht stehende Achse. An einem als masselos anzusehen-A
PSfrag
den Seil wird mit einer
Kraftreplacements
S an der Masse gezogen und zwar in B
Richtung auf die Drehachse des Rohres. ξ
a
ζ
b
Geg.: m, ω
P
M0
A
(a) Berechne die Seilkraft S, die erforderlich
ist, um die Masse
B
in einem bestimmten Abstand r von
a der Rotationsachse zu
halten. (Zusätzl. geg.: r)
b
M0für r(t), wenn die Seilkraft
(b) Bestimme die Bewegungsgleichung
konstant gehalten wird (S = S0 ). (Zusätzl. geg.: S0 , r(0) = r0 ,
ṙ(0) = 0)
m
ω
r
S
106. Eine Punktmasse m wird von A aus durch eine mit ∆l vorgespannte Feder in die dargestellte Bahn A-E gestoßen.
Zunächst durchläuft die Masse das gerade, reibungsfreie Stück A-B. Dann durchquert sie die reibungsfreie
Spiralwindung B-C (Radius r, Höhe h). Es folgt eine weitere gerade und reibungsfreie Strecke C-D, bis schließlich
der reibungsbehaftete Abschnitt D-E (Reibkoeffizient µ, keine Überhöhung, sondern reibungsfreie seitliche
Führung) erreicht wird. Dabei handelt
es sich um einen Halbkreis mit dem Radius r.
F (t)
z
(a) Wie groß ist die Federsteifigkeit
c der Feder in A zu wählen, da-2R
g
c
m
mit die Punktmasse in√B die GeB
schwindigkeit vB = 3πga erA
s
h
reicht?
C
D
µ
(b) Wie groß ist dann die Geschwinp
p
r
digkeit vE der Punktmasse in E?
y
(c) Berechnen Sie den von der
r
Koordinate
ϕ
abhängigen
E
m
Schnitt durch die Bahn
Überhöhungswinkel α(ϕ) der
α(ϕ)
Bahn in der Spirale, so dass die
x
Punktmasse nicht aus der Bahn
getragen wird. Die Koordinate ϕ
sei 0 im Punkt B.
p
Geg.: a, g, h = 3πa, m, r = 2a, ∆l = π3 a, µ = 14 .
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
a
b
M0
Seite 26
Kinematik und Kinetik
107. Eine Punktmasse m bewegt sich von
A aus durch einen Halbkreis A-B mit
dem Radius 2R und anschließend durch
einen Dreiviertelkreis-Looping B-E mit
dem Radius R. Am Ende eines geraden
Übergangstückes E-H gleitet die Punktmasse schließlich auf einen größeren Klotz der
Masse M . Im Viertelkreis D-E wirkt der
Punktmasse die Widerstandskraft FW (s)
entgegen, der Rest der Bahn ist reibungsfrei.
Zwischen der Punktmasse und dem Klotz
herrscht Gleitreibung (µ), auf den Klotz
wirkt zudem die Kraft F (t).
Version 24. Juni 2004
C
g
vA
R
D
B
FW
µ
m
A
2R
H
E
F (t)
M
√
(a) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit vA = 3gR betragen muß, damit die Punktmasse im höchsten Punkt
C des Loopings gerade noch nicht herunterfällt.
(b) Wie groß ist die Konstante k im Ausdruck für die Widerstandskraft
FW (s) zu wählen, damit die Punkt√
masse im Punkt H gerade die Geschwindigkeit vH = gR besitzt? Anmerkung: Die Koordinate s beginnt
bei D.
PSfrag replacements
(c) Berechnen Sie mit vH aus (b) ξdie Geschwindigkeit vM des Klotzes, wenn die Punktmasse auf dem Klotz
zur Ruhe gekommen ist. Die Zeitzählung
beginnt, wenn die Punktmasse in H auf den Klotz gleitet.
ζ
qP
3
1
Geg.: g, m, M = 12 m, F (t) = 18 m AgR t, R, FW (s) = 4πkm
2 s, µ = 4 .
B
µ
m Punktmasse
108. Das dargestellte System besteht a
g
aus einer Punktmasse m, die auf b
reibungsfrei
einem Klotz 1 der Masse M1M0
M
1
liegt. Zwischen der Punktmasse
und Klotz 1 wirkt der Gleitreibungskoeffizient µ, die Unterlage sei reibungsfrei. Klotz 1 ist
über ein undehnbares massloses
Seil und eine masselose Rolle mit
einem weiteren Klotz 2 der Masse
M2 verbunden. Das System wird
zum Zeitpunkt t = 0 aus der Ruhe
heraus losgelassen und setzt sich
in Bewegung. Nach der Zeit t∗
schlägt der Klotz 2 auf den Boden
auf.
M2
Klotz 1
Klotz 2
h
∗
∗
des Klotzes 1
(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Impulssatzes die Geschwindigkeit vm
der Punktmasse und vM
∗
zum Zeitpunkt t , an dem Klotz 2 auf den Boden aufprallt.
(b) Bestimmen Sie die gemeinsame Endgeschwindigkeit vEnd von Klotz 1 und Punktmasse, nachdem die
Punktmasse relativ zu Klotz 1 wieder zum Stehen gekommen ist.
√
√
∗
∗
(Rechnen Sie mit vm
= 25 2gh und vM
= 12 2gh).
(c) Zeichnen Sie den Verlauf der Impulse von Punktmasse und Klotz 1 in ein Diagramm ein.
q
Geg.: g, m, M1 = M2 = 25 m, µ = 51 , t∗ = 2 2 hg
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 27
Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
PSfrag replacements
ξ
ζ
3 Schwingungen
P
A
109. Ein homogener Stab der Masse m ist wie skizziert gelagert. Die B
Masse des Verbindungselementes zwischen den Drehfedern sei a
vernachlässigbar klein.
b
M0
(a) Stelle die Bewegungsdifferentialgleichung des Systems auf! c2d
cd
2
l
a
m
(b) Berechne die Eigenkreisfrequenz ω für kleine Auslenkungen!
(c) Gib die Lösung der DGL (bei kleinen Auslenkungen) für
die Anfangsbedingungen ϕ(t = 0) = 0 und ϕ̇(t = 0) = Ω0PSfrag replacements
PSfrag replacements
PSfrag replacements
an!
ξ
PSfrag replacements
PSfrag replacements
ξ
ξ
ζ
ζ
ζ
Geg.: cξd , cf , m, a, l, Ω0ξ
P
ζ
ζ
P
P
A
110. Berechne die Eigenkreisfrequenzen der folgenden Systeme!
P
P
A
A
B
A
A
B
B
a
(d)
(a)
(b)
(e)
(c)
B
B
a
a
b
m, JSPSfrag replacements
c
a
a
b
b
M0
c1
ξ
c 1 M0
c2
M0 c 1
b
b
ζ
M0 m
M0
a
P
c2
c3
A
c2
α
m
m
B
a
c1
111. Die dargestellte homogene Kreisscheibe rollt ohne Schlupf. Be- b
rechne die Eigenkreisfrequenz des Systems für kleine Auslenkun-M0
gen.
cf
r
$# ,
8 98
#
+ %!" ,+ %& '( )* 9.
87.
9.
987632
63.
21.
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C=.
< ?.
> =< ?>
l
EI
m
c2
c4
m
Geg.: c1 = c2 = c, c3 = 2c , c4 = 3c, m, a, ΘS = 21 ma2 ,
a
VY.
W.
WVYX
XWV.
UT.
[Z.WVUT[Z
a`.
a`_^
_^.
a`.
a`_^]\
^].
_.
\.
cb cb
P.PQ SR.KJNO LM HI SR
g
l
PSfrag replacements
ξ
ζ
112. Der dargestellte Stab pendelt unter dem Einfluß der Schwerkraft.
P
A
(a) Stelle die Bewegungsdifferentialgleichung auf!
B
(b) Für kleine Auslenkungen kann das Problem linearisiert werden. Gib die enta
ϕ
sprechende Differentialgleichung an!
b
(c) Löse diese Differentialgleichung mit den Anfangsbedingungen
M0
ϕ(t = 0) = ϕ0 und ϕ̇(t = 0) = 0 !
PSfrag replacements
(d) Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz des Systems? ξ
m, JS
ζ
1
Geg.: g, m, l, JS = 12
ml2
P
l
l
A
113. Ermittle für das skizzierte System bei kleinen Ausc3
B
schlägen
a
b
(a) die Bewegungsdifferentialgleichung,
a O
S
M0
(b) die Eigenfrequenz des schwach gedämpften und
des ungedämpften Systems.
m, JS
Geg.: a, l, c1 , c2 , c3 , r, m, JS
c3
a
r
c1
f.hi fg de jk
c2
ζ
P
Kinematik und Kinetik
A
B
a
114. Das skizzierte System wird durch das Moment M (t) zum b
Schwingen angeregt. Der Strömungswiderstand der Kugel istM0
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
proportional zur Geschwindigkeit mit dem Widerstandskoeffizienten k. Alle anderen Widerstände, die Masse der Umlenkrolle sowie der hydrostatische Auftrieb der Kugel sollen vernachlässigt werden. Die nicht dehnbaren Seile bleiben immer
gespannt. Die Feder ist bei x̃ = 0 entspannt.
Seite 28
Version 24. Juni 2004
m1 , J1S
c
M (t)
S
r
g
x̃
k
R
(a) Berechnen Sie die statische Ruhelage xstat für den Fall
M (t) = 0!
PSfrag replacements
reines Rollen
m2
(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung ξum
y
die statische Ruhelage (in der Variable x = x̃ − xstatζ).
P
(c) Bestimmen sie die Amplitude und den Phasenwinkel der
A
stationären Schwingung!
B
a
Geg.: m1 , m2 , J1S , M (t) = M0 cos Ωt, M0 , Ω, g, c, k
b
glatt, starr
115. Ein masseloser Balken (Länge l, Biegesteifigkeit EI) istM0
bei A gelenkig gelagert und bei B in eine Hülse gesteckt,
l
die dem Balken dort eine horizontale Tangente aufzwingt.
Die Hülse (Masse m) kann auf einer starren Stange in verB
x
A
tikaler Richtung reibungsfrei gleiten. Der Balken schwingt
ausschließlich in Querrichtung.
PSfrag replacements
ξw
(a) Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung für
EI
ζ
die vertikale Bewegung der Masse m?
m
P
(b) Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz ω?
A
B
Geg.: EI, l, m
a
116. Ein eingespannter, masseloser Stab mit kreisförmigem Quer- b
ϑ
schnitt trägt an seinem Ende eine Einzelmasse. GeeigneteM0
Anfangsbedingungen lassen den Stab um seine Längsachse
PSfrag replacements
r
schwingen.
ξ
x
ζ
(a) Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für die
y
G, Ip , A
P
Drehbewegung der Endmasse auf.
z
A
(b) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz ω.
B
m
l
a
Geg.: l, m, G, Ip , A
b
117. Ein gefederter und gedämpfter einachsiger Anhänger rollt mit konstan-M0 z
v
m
ter Geschwindigkeit v durch sinusförmige Bodenwellen mit der Wellenlänge l und der Amplitude z0 . Untersuche für den stationären Zustand den Einfluß der Parameter z0 , v, m, c und r auf die Amplitude
c
c
r
2
2
A und die Phasenverschiebung α der Schwingung und die Achskraft
W!
Geg.: l, z0 , v, m, c, r
z0
PSfrag replacements
ξ
118. Ein schwach gedämpftes schwingungsfähiges System wird durch M (t) = ζ
M0 sin λt angeregt. In der skizzierten Stellung ist die Feder gerade spanP m1 , J S
nungsfrei.
A
B
(a) Bestimme die Bewegungsdifferentialgleichung für kleine Auslena
kungen ϕ!
b
(b) Gib die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an und passeM0
diese folgenden Anfangsbedingungen an:
ϕ(t = 0) =
m2 g
ca
und
l/4
b
ϕ
M (t)
a
ϕ̇(t = 0) = 0
(c) Wie groß sind Amplitude und Phasenwinkel im eingeschwungenen
Zustand?
Geg.: a, b, c, r, M0 , λ, m1 , JS , m2
x
! ! " %$ () "# %$ &'
c
r
m2
119. Die partikuläre Lösung einer Schwingungsdifferentialgleichung stellt den eingeschwungenen, stationären Zustand des zwangserregten Systems dar. Berechne die stationären Lösungen der folgenden Schwingungsdifferen-
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 29
Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
tialgleichungen und stelle sie in der Form Â cos(ωt + ϕ) dar, wobei Â die (reelle) Schwingungsamplitude und ϕ
PSfrag replacements
die Phasenverschiebung darstellt.
ξ
(a) ÿ + γ ẏ + ω02 y = F cos Ωt
ζ
P
(b) ÿ + γ ẏ + ω02 y = F sin Ωt
A
(c) ÿ + γ ẏ + ω02 y = F1 cos Ω1 t + F2 sin Ω2 t
B
x
120. An einer homogenen Kreisscheibe greift wie skizziert eine harmo- a
S(t)
b
nische Erregerkraft S(t) an.
M0
m
x(t) beschreibt die Auslenkung aus der statischen Ruhelage. Berechne den stationären (eingeschwungenen) Zustand des Systems
k
(Amplitude und Phasenlage) bei kleinen Auslenkungen.
Geg.: S(t) = S0 cos Ωt, m, c, k, a
a
PSfrag replacements
ξ
ζ
P
121. Bei fremderregten Schwingern hängt die zu erwartende Amplitude A
der Systemantwort bei gegebenen Parametern des Schwingers von B
der Erregerfrequenz ab. Diese Abhängigkeit wird häufig über eine a
sogenannte Vergrößerungsfunktion V ausgedrückt, die im folgende- b
nen für den abgebildten Einmassenschwinger hergeleitet werden soll.M0
Die Dämpfung sei so gering, daß es tatsächlich zu Schwingungen
kommt.
c
α
reines Rollen
x
k
F̂ cos Ωt
m
d
(a) Zeigen Sie, daß die Schwingungen des abgebildeten Einmassenschwingers durch die Differentialgleichung
mẍ + dẋ + kx = F̂ cos Ωt
(1)
PSfrag replacements
beschrieben werden.
ξ
(b) Leiten Sie die dimensionslose Form
ζ
ξ 00 + 2Dξ 0 + ξ = cos
(2)
P ητ
A
der Differentialgleichung (1) her. Welche Beziehungen gelten zwischen x und ξ sowie zwischen t und τ ?
B
(c) Bestimmen Sie mittels (2) die Vergrößerungsfunktion V , die als Quotient aus Amplitude im eingeschwuna
genen Zustand und statischer Absenkung unter der Wirkung der Kraft F̂ definiert sein soll.
b
M
0
m, JS
122. Das skizzierte System wird durch das Moment M (t) zum
c
Schwingen angeregt. Die nicht dehnbaren Seile bleiben immer
M (t)
gespannt.
c
(a) Schneiden Sie die Masse m frei! (Skizze)
(c) Bestimmen sie die Amplitude und den Phasenwinkel der
stationären Schwingung!
Geg.: m, JS , M (t) = M0 cos Ωt, M0 , Ω, g, c, k
123. Das skizzierte System wird von einem im Massenmittelpunkt
S anPSfrag replacements
greifenden Moment angetrieben. Nach einer Einschwingphase stellt
ξ
sich ein stationärer Zustand mit kleinen Ausschlägen ein. (Gravitatiζ
on spielt keine Rolle.)
P
A
(a) Bestimmen Sie die lineare Bewegungsdifferentialgleichung!
B
(b) Wie groß ist die Kreisfrequenz der freien gedämpften Schwin- a
gung?
b
(c) Bestimmen Sie die Amplitude und den Phasenwinkel der sta-M0
tionären Schwingung!
Geg.: a, r, c, m, JS = 2ma2 , M (t) = M0 cos Ωt
S
r
x
R
(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung in der
Schwerpunktskoordinate x!
k
reines Rollen
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 30
PSfrag
Kinematik
undreplacements
Kinetik
ξ
ζ
124. Eine Maschine der Gesamtmasse M sei wie skizziert gegen das P
Fundament gelagert. Im Innern rotiert eine Punktmasse m an ei- A
nem Hebel der Länge a mit Ω = const.. Die Feder sei für x = 0 B
a
spannungsfrei, die Führung reibungsfrei.
b
Bestimme die Bewegungsgleichung, Amplitude und Phasenlage derM0
Schwingung und den Verlauf x(t)!
Geg.: M , m, c, d, a, Ω, x(0) = 0, ẋ(0) = 0
Version 24. Juni 2004
x
c
d
125. Das Ventil eines 4-Takt-Motors wird durch den mit
PSfrag replacements
Ω = ϕ̇N rotierenden Nocken in eine harmonische
Beweξ
gung u(t) versetzt und dabei durch die massebehaftete
ζ
Ventilfeder (Konstante cF ) gegen den Nocken gedrückt.
P
Für eine näherungsweise Berechnung der Schwingungen
A PSfrag replacements
der Ventilfeder wird ein Ersatzsystem aus zwei idealen
ξ
B
Federn c∗ und einer Masse m∗ = 13 mF gebildet.
ζ
a
b
P
(a) Bestimme u(t) und ein geeignetes c∗ !
M0
A
(b) Berechne die Bewegung x(t) der Ersatzmasse m∗
B
für den stationären (eingeschwungenen) Fall.
Ersatzsystem a
für cF , mF : b
Geg.: a, cF , mF , ϕN , m∗ = 13 mF
M0
m
a
Ωt
M
u(t)
c
∗
c∗
m∗
x(t)
126. Das skizzierte System besteht aus zwei Zahnscheiben,
zwei Federn und einem Dämpfer und wird von der oszillierenden Kraft F (t) angetrieben. Die Federn sind in
PSfrag replacements
der skizzierten Lage entspannt.
ξ
ζ
(a) Bestimme die lineare BewegungsdifferentialgleiP
chung!
A
(b) Bestimme die Kreisfrequenz der freien gedämpften
B
Schwingung!
a
(c) Bestimme die Amplitude und den Phasenwinkel b
der stationären Schwingung!
M0
Geg.: a, b, r, c, m, JS , F (t) = F0 cos Ωt, F0 , Ω
PSfrag
127. Das skizzierte System (homogene Kreisscheibe
Mreplacements
, Js , masselose Umlenkrolle, ideales Seil, Masse m, lineare Feder c, ξ
linearer Dämpfer k) erfährt eine Fußpunkterregung u(t) = ζ g
û cos Ωt.
P
A
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
B
(b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Bewegung a
m
b
des Scheibenschwerpunktes auf.
M0
(c) Berechnen Sie die Lösung im eingeschwungenen Zustand.
(d) Wie kann man die Seilkraft berechnen?
Geg.: M , m, Js = 12 M r2 , c, k, r, û, Ω, g
u( t )
M, Js
c
r
k
reines Rollen
b
M0
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 31
Kinematik und Kinetik
128. Die Vertikalschwingungen eines Automobils können durch das gezeichnete Ersatzmodell beschrieben werden. Durch die Koordinaten y10 , y20 ist die Ruhelage des Systems gekennzeichnet.
(a) Bestimme die Bewegungsdifferentialgleichung(en) des Systems!
Version 24. Juni 2004
y
y1
Fahrzeugaufbau
m1
y10
c1
Dämpfung,
Federung
k
(b) Wie lautet die charakteristische Gleichung?
PSfrag replacementsy
2
(c) Welche Eigenwerte (Eigenkreisfrequenzen) hat das System
ξ
ohne Dämpfung (k=0)?
y20 ζ
P
A
B
a
129. Ein starrer Stab ist auf zwei Federn und einem Dämpferelement gela- b
gert. Es sollen kleine Auschläge ausschließlich in senkrechter RichtungM0
und schwache Dämpfung angenommen werden. Die Gravitation wird
vernachlässigt.
Geg.: m1 = 600kg, m2 = 40kg, c1 = 150N/cm, c2 = 1600N/cm
Reifenfederung
c2
x1
x2
m, JS
S
"
! "! '#$ *
) %& '( -*) +, -. /0 12
Berechne die Eigenfrequenzen und Eigenformen des Systems!
Geg.: l, c, k, m, JS = ml
Achsen,
Räder
m2
c
2
k
l
PSfrag replacements
(a) Für das skizzierte System stelle man das
ξ
Bewegungsdifferentialgleichungssystem auf und
ζ
schreibe es auf Matrizenform um. Es sollen
von vornherein kleine Auslenkungen angenom- P
A
men werden.
B
(b) Man berechne die Eigenkreisfrequenzen und die a
PSfrag replacements
dazugehörigen Eigenformen des Systems.
b
ξ
M0
ζ
1
2
Geg.: c1 = 4 c , c2 = c3 = c , m1 = 3 m , m2 =
P
m, ΘS = 12 m1 r2 , r
A
131. Das skizzierte System schwingt mit kleinen Auslenkun- B
gen. Die Feder und der Pendelstab sind masselos. Die a
Länge der entspannten Feder ist l0 .
b
M0
(a) Stelle die Schwingungsdifferentialgleichung (in Matrixschreibweise, ohne die Spezialisierung in Teil b)
auf!
c
l
130.
(b) Bestimme die Eigenkreisfrequenzen als Funktion
m
von c und m für folgenden Spezialfall: m1 = 33
,
mg
2
2
1
1
m2 = m, Θ1 = 66 mr , Θ2 = 2 mr , l = 2r, c = 33r
5 ;
7 ?@ =56 9: <8;7 =>
x
ϕ
l
c
l
r
4
344
344
344
344
344
344
34434
3434343434343434
3 3 3 3 3 3 3 3
m2 , Θ 2
Ψ
Geg.:m1 , m2 , Θ1 , Θ2 , l, r, c, g, l0
l0
m1 , Θ 1
PSfrag replacements
132. Eine starre Rechteckplatte ist federnd in ihren Ecken gelagert. Berechne
ξ
die Eigenkreisfrequenzen und -formen.
ζ
Berücksichtige dabei nur kleine Ausschläge senkrecht zur Plattenebene! P
PSfrag replacements
A
Geg.: a, b, c, m
ξ
B
ζ
a
P
b
A M0
B
133. Im skizzierten System soll die Reibung vernachlässigt werden.
a
b
c1
(a) Stelle die Bewegungsdifferentialgleichungen auf!
M0
(b) Bestimme die Eigenfrequenzen und Eigenformen der Schwingung und gib die allgemeine Lösung der Schwingungsdifferentialgleichung an!
Geg.: c1 = 2c, c2 = c, m1 = 2m, m2 = m
g
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
AA B
AA B
AA B
AA B
AA B
AA B
AA B
AA B
AA BAA BAA
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
AA B
AA B
AA B
AA B
AA B
AA B
AA B
AA BAA BAA
BA
AA B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A BA BA
B
B
AAAAAAAAAAA
c2
m1
m2
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 32
PSfrag replacements
Kinematik
und Kinetik
ξ
ζ
P
134. Im skizzierten schwingungsfähigen System soll die Reibung
A
vernachlässigt werden.
B
a
(a) Schneiden Sie die einzelnen Massen frei und stellen
b
Sie das Bewegungsdifferentialgleichungssystem auf! M
0
(b) Stellen Sie die charakteristische Gleichung auf!
Version 24. Juni 2004
1
c
2
c
c
m
1
c
2
(c) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen und dazugehörigen Eigenformen des Systems!
Geg.: m, c
135. Untersucht werden soll das skizzierte System bei kleinen Ausschlägen.
(a) Stellen Sie das lineare Bewegungsdifferentialgleichungssystem
PSfrag replacements
auf!
ξ
(b) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen und die zugehörigen Ei- ζ
m, J S
genschwingungsmoden!
P
A
1
ml2 , k, g
Geg.: m, L, J S = 12
B
a
b
M0
m
g
l
ϕ
k
m, J S
l
PSfrag replacements
ξ
ζ
136. Zwei masselose Stangen der Länge l und zwei identische Punktmassen m bilden wie abgebildet ein Doppelpendel. Untersucht werden P
Schwingungen mit kleinen Auslenkungen um die stabile Ruhelage. A
Ausschläge größer als 2◦ führen zu einem Versagen des Systems. Auf B
die obere Stange wirkt ein periodisch veränderliches Moment M (t). a
b
M0
(a) Kommt es zum Versagen des mechanischen Systems? Begründen Sie Ihre Entscheidung mit geeigneten Berechnungen.
M (t) = M̂ sin(Ωt)
l
m
(b) Als konstruktive Änderung wird vorgeschlagen, einen viskoser Drehdämpfer in das mechanische System einzubauen. Wo
ist dieser Dämpfer zu plazieren? Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Geg.: l, m, g, M (t) = M̂ sin(Ωt), Ω =
q
(2+
√
2)g
,
l
ψ
g
l
m
M̂
137. Bestimmen Sie für das dargestellte System
(a) die Bewegungsdifferentialgleichungen,
c1
(b) die Eigenkreisfrequenzen,
(c) die Bewegungen der beiden Massen für den eingeschwungenen Zustand,
PSfrag replacements
(d) diejenige Erregerfrequenz, bei der die Masse m in Ruhe bleibt,
ξ
(e) die kritischen Erregerfrequenzen und
ζ
P
(f) die Vergrößerungsfunktionen!
A
B
Gegeben: m, M , c1 , c2 , r, P (t) = P20 cos Ωt
a
b
M0
P (t)
P (t)
m
x
c2
ϕ
M
r
P
A
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
B
Kinematik und Kinetik
a
b
M0
138. Zwei masselose elastische Balken (Biegesteifigkeit EI) sind zu einem
rechtwinkligen Träger zusammengeschweißt. Der Träger ist an einem Ende fest eingespannt und trägt am anderen Ende eine Punktmasse m.
Untersucht werden Schwingungen mit kleinen Auslenkungen u und v.
Am Punkt B wirkt auf den Träger ein periodisch veränderliches Moment
M (t).
Seite 33
Version 24. Juni 2004
M (t)
l
C
m
g
u
B
v
2l
(a) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen, die kleine
Schwingungen des Systems
beschreiben.
PSfrag
replacements
x
(b) Wie lauten die Eigenfrequenzen des Systems?
ξ
ζ
(c) Berechnen Sie die Lösung im eingeschwungenen
Zustand für den
Fall, daß die Erregerfrequenz Ω nicht eine Pder Eigenfrequenzen ist.
A
B
Geg.: l, m, g, M (t) = M̂ sin(Ωt), M̂
a
x
139. Im Betrieb liegengebliebene U-Bahnzüge wer- b
den in der Regel mit betrieblichen Mitteln, d. h.
M0
durch den nächstfolgenden Zug von der Strecke
1
Fe (t)
geschoben. Wenn beim Abschieben plötzlich die
Notbremse ausgelöst wird, kann es zu hohen dynamischen Kräften in den Kupplungen und sogar zum Abriss der Kupplungen kommen.
y
A
2
U-Bahn
U-Bahn
Für ein erstes Studium der Längsdynamik soll ein sehr stark vereinfachtes Modell zweier U-Bahnen betrachtet
werden. Die U-Bahnen seien in sich starr (Zugmasse m) und durch eine lineare Kupplung (Federsteifigkeit k)
verbunden. Auf den linken Wagen 1 wirkt die Antriebs- bzw. Bremskraft Fe , auf den defekten rechten Wagen
2 wirkt nur die Kupplungskraft Fk . Der Zugverband fährt nach rechts (positive x-Richtung).
Die maximale Kupplungskraft soll für den Fall berechnet werden, daß die äußere Kraft sich sprungartig von
F̂e > 0 (Beschleunigen) zu −F̂e < 0 (Bremsen) ändert.
(a) Zeigen Sie, daß zur Bestimmung der maximalen Kupplungskraft die Betrachtung eines Einmassenschwingers genügt.
(b) Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für den Einmassenschwinger auf. Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz?
PSfrag replacements
ξ
(c) Lösen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung für die angegebene
Anregung und bestimmen Sie die maxiζ
male Kupplungskraft.
P
140. Ein federnd gelagerter Rotor mit der Masse m1 trägt am RadiusA
g
r eine Unwucht der Masse m0 . Durch ein zweites Federpaar istB
x
eine weitere Masse m2 mit dem Rotor verbunden.
2
m
2
a
b
c2
(a) Die Bewegung soll um die statische Ruhelage beschrieben
Ωt c22
M0
2
werden. Die Koordinaten x1 und x2 sollen die Lage der
Massen in Bezug auf die (bzw. abgemessen von der) statim0
sche(n) Ruhelage angeben. Wie groß sind die Federkräfte
x1
r
in der statischen Ruhelage?
m1
(b) Stelle für Ω = konst. die Bewegungsgleichungen des Systems auf!
(c) Berechne die Eigenkreisfrequenzen des Systems!
(d) Bei welcher Winkelgeschwindigkeit bleibt der Rotor m1
in Ruhe (x1 (t) ≡ 0)?
Geg.: m0 , m1 , m2 , c1 , c2 , r, Ω, g
c1
2
c1
2
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 34
Kinematik und Kinetik
PSfrag replacements
ξ
4 Haften
ζ
P
141. Man berechne für die eingezeichnete Anordnung dieA
Grenzen des Winkels α, bei denen das System geradeB
g
noch nicht rutscht. Die Haftreibkoeffizienten seien zwi- a
schen der schiefen Ebene und dem Körper 2 µ2 = 0, 2 b
M0
bzw. zwischen den Körpern 2 und 3 µ1 = 0, 3.
PSfrag replacementsG1
Geg.: G1 = G, G2 = G, G3 = 2G, µ1 = 0, 3, µ2 = 0, 2
ξ
ζ
P
A
B
ag
142. Der gelenkig gelagerte homogene Quader (Masse m, Kanb
tenlänge L) drückt einen homogenen Kreiszylinder (Masse
m, Radius r) gegen eine vertikale Wand. Wie groß muß h M0
Version 24. Juni 2004
G3
G2
α
h
S1
sein, damit der Kreiszylinder nicht nach unten rutscht?
L
Geg.: µ1 = 0, 4, µ2 = 0, 2, m, g, L, r
µ1
L
µ2
PSfrag replacements
143. Das abgebildete System besteht aus zwei identischen Balken, ξdie in C gelenkig miteinander verbunden sind.
Balken AC ist in A gelagert; Balken CE stützt sich an einem ζEnde auf einer rauhen Unterlage (Haftreibwert
µ) ab. Vom Punkt D aus ist ein Seil über Rollen in B und C gespannt,
das durch die Gewichtskraft G belastet
P
wird. Die Rollen seien reibungsfrei und von vernachlässigbar kleinem
Durchmesser.
Die Balken seien masselos.
A
B
a
(a) Bestimmen Sie die Größe der in E wirkenden Haftb
kraft H in Abhängigkeit des Winkels α. Skizzieren
g
M0
C
l
Sie den Verlauf für das Intervall 0◦ ≤ α ≤ 90◦ unter Angabe charakteristischer Werte.
(b) Für welche Winkel αk ist das System auch ohne
Haftung im Gleichgewicht?
l
B
(c) Welchen Wert µerf muß der Haftreibwert
überschreiten, damit das System für alle Winkel
30◦ ≤ α ≤ 60◦ nicht zu rutschen beginnt?
PSfrag replacementsα
ξ
A
Geg.: G, l
ζ
144. Zwei Klötze (Gewichtskräfte G1 und G2 ) sind durch eine starre Stange S P
miteinander verbunden und werden wie dargestellt auf eine schiefe und A
B
eine flache Ebene gelegt (Reibwert µH ).
a
◦
PSfrag
replacements
(a) Wie groß darf (für α ≤ 45 ) das Verhältnis G1 /G2 werden, so dass b
ξ M0
die Klötze noch haften?
ζ
◦
(b) Wie groß darf G1 /G2 für den Spezialfall α = 45 und µH = 0, 5
P
werden?
A
B
a
b
145. Ein Stab wird durch eine reibungsfreie Führung gesteckt und an einer
M0
Wand so abgestützt, dass in ihn eine Kraft F eingeleitet werden kann.
A
(a) In welchem Abstand d von der Wand muss F angreifen, wenn
B
für die Haftreibung zwischen Wand und Stab µH = 0, 2 gilt?
A
◦
Bestimme d für den Spezialfall l = 1m und α = 30 !
(b) Wie groß wäre d für eine glatte Wand? Berechne d auch hier für
den Spezialfall!
µ
D
G
µ
E
G1
G2
S
µH
α
µH
d
α
l
F
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Seite 35
Kinematik
und Kinetik
PSfrag replacements
ξ
ζ
P
A
B
5 Weitere Aufgaben
a
b
146. Zwei Massen M und m, mit den ReibungskoeffizientenM
0
µ1 bzw. µ2 gegenüber der rauen Unterlage, sind durch
einen masselosen starren Stab verbunden und gleiten eine schiefe Ebene hinab. An der Masse m greift zusätzlich
noch eine Kraft P an.
Version 24. Juni 2004
M
S
g
m
y
P
Geg.: M , m, P , g, µ1 , µ2 , α
x
α
(a) Bestimmen Sie die Stabkraft S !
PSfrag replacements
ξ
ζ
(c) Wie groß ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom zurückgelegten
Weg, wenn die Kraft P = 0, die
Reibungskoeffizienten µ1 = µ2 = µ sind und die Massen mit der Anfangsgeschwindigkeit
v0 hinabgestoßen
P
wurden?
A
B Umständen ist dies möglich?
(d) Nach welcher Strecke kommen die Massen zur Ruhe? Unter welchen
a
147. Eine Masse m soll mit einem Stabzweischlag wie abgebildet gelagert wer- b
A
e
M0 x
den. Beide Stäbe bestehen aus dem gleichen Werkstoff (E-Modul E) und
haben die gleiche konstante Querschnittsfläche A. Die Masse der Stäbe
sei gegenüber der Masse m vernachlässigbar.
α
ey
1
Für die folgenden Untersuchungen seien kleine Auslenkungen der Masse
vorausgesetzt.
(b) Wie groß ist die Beschleunigung des Systems?
F
(a) Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen für die Bewegung
der Masse m auf. Schreiben Sie die Gleichungen auch in Matrixform.
B
2
m
(b) Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen des Systems.
C
a
Geg.: F , a, E, A
148. Eine Holzkugel der Masse m wird aus der Höhe h0 über einer festen Unterlage aus dem gleichen Holz losgelassen.
Die Kugel erreicht beim Rückprall die geringere Höhe h1 .
Die Aufgabe ist in folgenden Schritten zu bearbeiten.
(a) Leiten Sie zunächst die Formel
v̄1 − v̄2
e=−
− v2
PSfragv1replacements
für den zentrischen, teilelastischen Stoß zweier Körper her. Erklären Sie alle Formelzeichen.
ξ
(b) Nun soll das eingangs beschriebene Problem bearbeitet werden. Die
ζ Höhen h0 und h1 wurden gemessen.
Berechnen Sie daraus die Stoßzahl e.
P
A der Rückprallhöhe hi nach dem iten
(c) Geben Sie eine rekursive und eine explizite Formel zur Berechnung
B
Stoß an.
a
ω1
149. Eine dünne Scheibe (Masse m, Radius R) rotiert mit konstanter Win- b
kelgeschwindigkeit ω2 um die horizontale Achse AB. Zudem rotiert das
M0
System um die vertikale Achse OA mit ebenfalls konstanter WinkelgeD
g
schwindigkeit ω1 .
Bestimmen Sie die Kraft S im Seil CD unter der Annahme, daß die
Masse der Scheibe deutlich größer ist als die Massen der anderen Teile.
45o
Geg.: m = 35 kg, R = 0,5 m, ω2 = 15 s−1 , ω1 = 8 s−1 , a = 1 m,
b = 0,75 m
A
C
R
B
b
O
a
ω2
Mechanik 2 Prof. Popov SS 04
Seite 36
Kinematik und Kinetik
Version 24. Juni 2004
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen Kinematik
1
2 Grundlagen Kinetik
8
3 Schwingungen
27
4 Haften
34
5 Weitere Aufgaben
35

Zugehörige Unterlagen

Tutoriumsaufgaben 1. Das Sonnenrad 1 bewege sich mit der

Beispielklausur Technische Mechanik I und II

2.KA_7C_16.12.2010_L_

1 Grundlagen Kinematik

Zugehörige Unterlagen

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1 Grundlagen Kinematik

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