Blatt 8

Prof. Dr. Matthias Birkner
Peter Nelson
8. Übung zur Vorlesung
„Einführung in die Stochastik“
im Wintersemester 2016/2017
Aufgabe 1:
(Macht entschlossener Minderheiten) (3 Punkte)
Bei einem Mitgliederentscheid für oder gegen die Verabschiedung eines „Leitantrages“ nehmen
470000 „Mitglieder der Basis“ teil. Eine Gegnerin des Antrages, Frau Angela Maß, konnte
500 Mitglieder so überzeugen, dass sie auf jeden Fall gegen den Antrag stimmen. Die übrigen
Mitglieder sind mehr oder weniger unentschlossen und treffen ihre Entscheidung unabhängig
voneinander durch Werfen einer fairen Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr
als die Hälfte der Mitglieder den Leitantrag ablehnt?
Aufgabe 2:
(Lokaler Zentraler Grenzwertsatz) (3 Punkte)
Approximieren Sie die Wahrscheinlichkeit, bei einem (2n)-fachen p-Münzwurf genau n-mal
Kopf zu werfen mit Hilfe des Satzes von de Moivre-Laplace, wobei p ∈ (0, 1) und n ∈ N
ausreichend groß gewählt sei.
Aufgabe 3:
(Schwaches Gesetz für Münzwurf - Runs) (3+2 Punkte)
(a) Sei (Xn )n∈N eine Folge von zentrierten Zufallsvariablen mit endlichen zweiten Momenten
und der Eigenschaft, dass
∞
1 X
n→∞
| Cov[Xn , Xm ]| −→ 0.
n
m=1
Zeigen Sie, dass (Xn )n∈N einem schwachen Gesetz der großen Zahl genügt, d.h. dass
Pn
i=1 Xi n→∞
n
−→ 0 stochastisch.
(b) Wir werfen eine p-Münze unendlich oft und betrachten die Anzahl Yn der Runs bis zum
n-ten Wurf, n ∈ N. Vergleiche Blatt 6, Aufgabe 3. Zeigen Sie:
Yn n→∞
−→ 2p(1 − p) stochastisch.
n
[Hinweis: Nutzen Sie (a) und Ihre Erkenntnisse aus Blatt 6]
Aufgabe 4:
(Erneuerungsprozess) (1+1+1+2 Punkte)
Eine Glühbirne habe eine zufällige Lebensdauer T1 . Fällt sie aus, wird sie durch eine neue
Glühbirne ersetzt, deren zufällige Lebensdauer T2 unabhängig von T1 und identisch verteilt
sei. Gleiches nehmen wir für den Fall an, dass die zweite Glühbirne ausfällt u.s.w. Wir erhalten
auf diese Weise
Pn eine Folge (Tn )n∈N unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen.
Mit Wn =
i=1 Ti bezeichnen wir den zufälligen Zeitpunkt, an dem genau n Glühbirnen
ausgefallen sind (wobei wir W0 = 0 setzen) und mit Nt = max{i : Wi ≤ t} die Anzahl der bis
zum Zeitpunkt t ausgefallenen Glühbirnen, t ≥ 0.
(a) Wir nehmen an, dass T1 den diskreten Wertebereich N besitzt und die Ausfallwahrscheinlichkeit zu jedem Zeitpunkt t ∈ N p beträgt, falls die Glühbirne zum Zeitpunkt
t − 1 noch intakt war, wobei p > 0. Geben Sie die Verteilungen von T1 , Wn und Nt an
(mit Begründung), n, t ∈ N.
(b) Zeigen Sie, dass in der Situation aus (a)
Nt
t
für t → ∞ fast sicher gegen p konvergiert.
(c) Sei T1 nun eine beliebige strikt positive reelle Zufallsvariable mit endlichem zweiten
Moment. Zeigen Sie, dass für a ∈ (0, ∞)
Wdate
t
Nt < at =
.
>
date
date
(d) Zeigen Sie mit Hilfe von (c), dass auch in der allgemeinen Situation
Nt t→∞ 1
−→
t
E[T1 ]
f.s.
[Hinweis: Wenden Sie das starke Gesetz der großen Zahl auf
Abgabe: Freitag, den 23.12.2016 bis 11:59.
Wdate
date
an.]