Stochastik I

Stochastik I
Sommersemester 2017
Prof. Dr. U. Rösler
S. Hallmann
Blatt 6
Aufgabe 1
Jemand bietet Ihnen folgendes Spiel an: Geworfen wird eine “unfaire” Münze.
“Adler” fällt dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 . Bei „Adler” erhalten
Sie das Doppelte ihres Einsatzes zurück, ansonsten verlieren Sie das eingesetzte Geld. Sie starten mit einem Kapital von einem Euro. In jeder Spielrunde
setzen Sie die Hälfte Ihres verbliebenen Kapitals auf “Adler”.
Mit Xn sei das Kapital nach n Spielen bezeichnet. Zeigen Sie:
(a) lim E(Xn ) = ∞,
n→∞
P
(b) Xn −→ 0 für n → ∞.
Geben Sie ihr Modell an.
Hinweis:
3
5
log( 32 ) + 52 log( 21 ) < −0, 03 < 0.
Aufgabe 2
Seien X1 , ..., Xn stochastisch unabhängige, identisch verteilte, positive Zufallsgrößen. Zeigen Sie für alle 1 ≤ k ≤ n
!
Pk
X
k
i
=
E Pi=1
n
n
i=1 Xi
Hinweis: Für identisch verteilte Zufallsgrößen X, Y gilt
EX = EY .
Aufgabe 3
Ein Raum wird von einer einzelnen Glühbirne erleuchtet. Falls die Glühbirne
durchbrennt, wird diese sofort durch eine gleichartige Birne ersetzt.
Sei (Xn )n∈N eine Folge von iid Zufallsgrößen mit X1 > 0 und 0 < EX1 < ∞.
Xi beschreibePdie zufällige Lebensdauer der i-ten Glühbirne.
Setze Sn := nk=1 Xk für alle n ∈ N. Dann gibt Sn die vergangene Zeit bis
zum n-ten Ausfall einer Glühbirne an. Setze S0 := 0. Dann beschreibt
N (t) := max{n ∈ N : Sn ≤ t}
die zufällige Anzahl der kaputten Glühbirnen bis zum Zeitpunkt t ∈ [0, ∞).
Zeigen Sie, dass
N (t) f.s.
1
→
für t → ∞.
t
E(X1 )
Aufgabe 4 (Grundproblem der Statistik)
Eine Population von N Objekten kann, mit der Potenzmenge und dem LaplaceMaß, als Stichprobenraum betrachtet werden. Sei X eine Zufallsgröße auf
diesem Raum. Das Grundproblem besteht darin, aufgrund einer Stichprobe von n Objekten (n ist sehr viel kleiner als N ) und deren Eigenschaften
auf die Verteilung von X zu schließen. Wird die Stichprobe mit Zurücklegen
gezogen, ergibt sich ein Tupel (x1 , . . . , xn ). Sei
n
xn =
1X
xk
n k=1
das Stichprobenmittel und
n
zn2
1 X
=
(xk − xn )2
n − 1 k=1
die Stichprobenvarianz.
Wir interpretieren die Stichprobe (x1 , . . . , xn ) als Realisierung von unabhängigen Zufallsgrößen X1 , . . . , Xn mit derselben Verteilung wie X.
Angenommen, es ist EX = µ und VarX = σ 2 < ∞.
EX n = µ und EZn2 = σ2 ist.
Zeigen Sie, dass X n → µ und Zn2 → σ 2 P-f.s.
(i) Zeigen Sie, dass
(ii)
Präsenzaufgabe 1
An einer Vorlesung nehmen im Normalfall 100 Hörerinnen und Hörer teil.
Während der Kieler Woche verringert sich diese Zahl erheblich. Nehmen Sie
an, dass diese dann unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von
0,6 nicht erscheinen. Schätzen Sie jeweils mittels Tschebycheff-Ungleichung
und Hoeffding-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit ab, dass während der Kieler Woche mindestens 80 Hörerinnen und Hörer erscheinen.
Präsenzaufgabe 2
P
Seien a1 , ..., an , p1 , ..., pn positive reelle Zahlen mit ni=1 pi = 1.
Zeigen Sie mittels Jensenscher Ungleichung
ap11 · · · apnn ≤ p1 a1 + ... + pn an .
Anmerkung: Für p1 = ... = pn = 1/n ergibt sich die klassische Ungleichung
zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel.
Abgabe bitte bis spätestens Freitag, den 02. Juni, 10:00 Uhr im Schreinfach
(1. Stock Math. Sem.) bzw. Postfach (3. Stock Math. Sem.) Ihres Übungsgruppenleiters.