Das Hubbardmodell - Institut für Theoretische Physik

Prof. Dr. Andreas Mielke
Institut für Theoretische Physik
Universität Heidelberg
Philosophenweg 19
69120 Heidelberg
Germany
http://www.tphys.uni-heidelberg.de/~mielke/
e-mail: [email protected]
Advanced Condensed Matter Theory
Andreas Mielke
Sommersemester 2009/2010
Time: Tuesday, 9-11
Philosophenweg 19, Seminarraum
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Abstract
Starke Korrelationen sind die Ursache für eine Vielzahl von Phänomenen in der modernen Festkörperphysik,
z.B. Hochtemperatursupraleitung (Nobelpreis 1987 http://www.nobel.se/physics/laureates/1987/index.
html) und gebrochenzahlig quantisierter Halleffekt (Nobelpreis 1998 http://www.nobel.se/physics/laureates/
1998/index.html). In der Theorie benötigt man neue Konzepte und Methoden zur Behandlung dieser Phänomene. Ziel der Vorlesung ist es, in diese neuen Methoden einzuführen und zu einem theoretischen Verständnis der Phänomene zu gelangen, die durch starke Korrelationen entstehen. Das Hubbardmodell spielt für die
moderne Vielteilchenphysik eine ähnliche Rolle wie das Isingmodell für die statistische Physik: Es dient als
Standardmodell für fast alle Phänomene wechselwirkender Fermionen. Das Hubbardmodell wurde zuerst für
die Beschreibung von Übergangsmetallen vorgeschlagen, es dient zur Beschreibung von magnetischen (Ferromagnetismus, Antiferromagnetismus, Ferrimagnetismus) und elektrischen Phänomenen (Metall-Isolator Übergang, Supraleitung), und es ist in einer Dimension eine Luttinger-Flüssigkeit. Gerade im Zusammenhang mit
Hochtemperatursupraleitern ist es in der letzten Zeit intensiv untersucht worden. Obwohl das Modell sehr einfach ist, zeigt es je nach Dimension und Gitter sehr unterschiedliches Verhalten. In der Vorlesung werden diese
verschiedenen Aspekte und Phänomene diskutiert, es werden exakte Resultate hergeleitet und unterschiedliche Näherungsverfahren behandelt. Das Ziel ist es, einen Überblick über die vielfältigen Anwendungen des
Hubbardmodells zu geben.
Voraussetzung für die Vorlesung sind gute Kenntnisse in Quantenmechanik und statistischer Physik, Grundkenntnisse in Festkörperphysik. Theoretische Festkörperphysik wird nicht vorausgesetzt, kann aber nützlich
sein.
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Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
2
Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
2.1 Quantensysteme mit vielen Teilchen . . . . . . . . . . .
2.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen
2.3 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Bosonen .
2.4 Einteilchenoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Kohärente Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Kohärente Zustände für Bosonen . . . . . . . . .
2.6.2 Grassmannalgebra . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Kohärente Zustände für Fermionen . . . . . . .
2.7 Gaußintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Funktional-Integral Darstellung . . . . . . . . . . . . .
2.9 Das freie System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Frequenz und Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . .
2.12 Berechnung von Greenschen Funktionen . . . . . . . . .
3
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Fermiflüssigkeiten
3.1 Das Quasiteilchenkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Gleichgewichtseigenschaften der normalen Fermiflüssigkeit . . . . .
3.3 Mikroskopische Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Effektive Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Renormierungsgleichung für Geff . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Das Hubbardmodell I, Renormierung . . . . . . . . . . . . .
3.5 Ergänzung: Das Hubbardmodell II, Allgemeine Resultate . . . . . . .
3.5.1 Symmetrien des Hubbardmodells . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Das Hubbardmodell bei halber Füllung: Antiferromagnetismus
3.5.3 Ferromagnetismus im Hubbardmodell . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
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Kapitel 1
Einführung
7
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Kapitel 1. Einführung
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Kapitel 2
Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
2.1
Quantensysteme mit vielen Teilchen
In der Realität hat man häufig mit Quantensystemen zu tun, die aus vielen Teilchen bestehen. Jedes einzelne
Teilchen kann durch eine Wellenfunktion beschrieben werden, die Element eines Hilbertraums ist. Der Hilbertraum für zwei verschiedene Teilchen ist einfach das Produkt der Hilberträume der beiden Teilchen. Für
identische Teilchen gilt das nicht. Abhängig davon, ob es sich um Bosonen oder Fermionen handelt, müssen
die gemeinsamen Wellenfunktionen symmetrisch oder antisymmetrisch sein. Entsprechendes gilt, wenn man
Systeme mit vielen Teilchen betrachtet. Wir werden im folgenden eine kompakte Notation für die Beschreibung solcher Zustände entsprechender Operatoren einführen. Dies geschieht zunächst getrennt für Fermionen
und Bosonen.
2.2
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen
Sei {φi (~r, σ )} eine Orthonormalbasis von Einteilchenzuständen. Im folgenden sei q = (~r, σ ). Eine Basis von
N-Teilchen Zuständen erhält man, wenn man im Fall von Fermionen aus den Einteichenzuständen Slaterdeterminanten bildet:
φi1 (q1 ) φi1 (q2 ) ... φi1 (qN ) 1 φi2 (q1 ) φi2 (q2 ) ... φi2 (qN ) |i1 , i2 , ..., iN i = √ ..
..
..
N! .
.
.
φi (q1 ) φi (q2 ) ... φi (qN ) N
N
N
Entwickelt man die Slaterdeterminante, so erhält man
1
|i1 , i2 , ..., iN i = √ ∑(−1)P ∏ φi j (qiP( j) )
N! P
j
Wegen der Konstruktion als Slaterdeterminante sind diese Zustände antisymmetrisch bei Vertauschung zweier
Indizes
|i1 , ..., iα , ..., iβ , ..., iN i = −|i1 , ..., iβ , ..., iα , ..., iN i
Normierung:
hi1 , i2 , ..., iN |i1 , i2 , ..., iN i = 1
Orthogonalität:
h j1 , j2 , ..., jN |i1 , i2 , ..., iM i =
∑P (−1)P ∏k δ jk ,iP(k) falls N = M
0 falls N 6= M.
Ich definiere einen Erzeugungsoperator für ein Teilchen im Zustand i durch
c†i |i1 , i2 , ..., iN i = |i, i1 , i2 , ..., iN i
9
10
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
c†i bildet also Zustände mit N Teilchen auf solche mit N + 1 Teilchen ab. Die rechte Seite kann aber auch
verschwinden, und zwar für Fermionen genau dann, wenn einer der Indizes ik = i ist. Es gilt
c†i c†j |i1 , i2 , ..., iN i = |i, j, i1 , i2 , ..., iN i
= −| j, i, i1 , i2 , ..., iN i
= −c†j c†i |i1 , i2 , ..., iN i
Da diese Beziehung für alle Zustände gilt, gilt allgemein
c†i c†j = −c†j c†i
Damit gilt auch c†i c†i = 0 für Fermionen. Zudem gilt
|i1 , i2 , ..., iN i = c†i1 c†i2 ...c†iN |vak.i
Man kann den zu c†i hermitesch adjungierten Operator ci einführen:
h j1 , ..., jM |ci |i1 , ..., iN i = hi1 , ..., iN |c†i | j1 , ..., jM i∗
= hi1 , ..., iN |i, j1 , ..., jM i∗
δi1 ,i δi2 , j1 ... − δi1 , j1 δi2 ,i ± ... insgesamt N! Permutationen, fallsN = M + 1
=
0
fallsN 6= M + 1.
∗
∗
= δi1 ,i hi2 , ..., iN | j1 , ..., jM i − δi2 ,i hi1 , i3 , ..., iN | j1 , ..., jM i + ... (N Terme).
Damit gilt
ci |i1 , ..., iN i = δi1 ,i |i2 , ..., iN i − δi2 ,i |i1 , i3 , ..., iN i + ... (N Terme).
und
ci |vak.i = 0
Die Vertauschungsrelation der Erzeugungsoperatoren c†i überträgt sich auf die Vernichtungsoperatoren ci :
ci c j = −c j ci
Man führt den Antikommutator [A, B]+ = AB + BA ein und schreibt
[c†i , c†, ]+ = 0,
[ci , c j ]+ = 0
Wegen
c†i c j |i1 , ..., iN i = δi1 , j |i, i2 , ..., iN i − δi2 , j |i, i1 , i3 , ..., iN i + ...
c j c†i |i1 , ..., iN i = δi, j |i1 , ..., iN i − δi1 , j |i, i2 , ..., iN i + δi2 , j |i, i1 , i3 , ..., iN i + ...
gilt
(c j c†i + c†i c j )|i1 , ..., iN i = δi, j |i1 , ..., iN i
und, da dies wieder für alle Zustände gilt
[c†i , c j ]+ = δi, j
2.3
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Bosonen
Bosonische Vielteichen-Wellenfunktionen sind symmetrisch. Man kann analog zu den Fermionen den Ansatz
1
|i1 , i2 , ..., iN i = √ ∑ ∏ φi j (qiP( j) )
N! P j
machen. Allerdings stimmt die Normierung noch nicht. Da diese Wellenfunktion symmetrisch gegenüber dem
Vertauschen zweier Indizes i j ist, verschwindet sie nicht, wenn zwei Indizes gleich sind. Sei ni die Anzahl der
Teilchen im Zustand i. Dann gilt
hi1 , i2 , ..., iN |i1 , i2 , ..., iN i =
∏
ni !
i∈{i1 ,...,iN }
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2.3. Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Bosonen
11
Mit der richtigen Normierung gilt also
1
|i1 , i2 , ..., iN i = p
∏ φi j (qiP( j) )
N! ∏i∈{i1 ,...,iN } ni ! ∑
P j
und damit
h j1 , j2 , ..., jN |i1 , i2 , ..., iM i =
(
1
ni ! ∑P ∏k δ jk ,iP(k)
∏
i∈{i1 ,...,iM }
0
falls N = M
falls N 6= M.
(2.1)
Für Bosonen werden Erzeugungsoperatoren gemäß
c†i |i1 , i2 , ..., iN i =
p
ni + 1|i, i1 , i2 , ..., iN i
eingeführt. Dabei ist ni die Anzahl der Teilchen im Einteilchenzustand i in |i1 , i2 , ..., iN i. Das ist ganz analog zu
den Aufsteigeoperatoren im harmonischen Oszillator. Man kann den zu c†i hermitesch adjungierten Operator ci
einführen:
h j1 , ..., jM |ci |i1 , ..., iN i = hi1 , ..., iN |c†i | j1 , ..., jM i∗
p
ni + 1hi1 , ..., iN |i, j1 , ..., jM i∗
=
√
ni + 1
δi1 ,i δi2 , j1 ... + δi1 , j1 δi2 ,i + ... insgesamt N! Permutationen, falls N = M + 1
=
falls N =
6 M + 1.
∏i0 ∈{i1 ,...,iN } ni0 ! 0
1
(δi1 ,i hi2 , ..., iN | j1 , ..., jM i∗ + δi2 ,i hi1 , i3 , ..., iN | j1 , ..., jM i∗ + ... (N Terme)) .
= √
ni + 1
Hierbei ist ni die Anzahl der Teilchen im Einteilchenzustand i in | j1 , ..., jM i. Damit gilt
1
ci |i1 , ..., iN i = √ (δi1 ,i |i2 , ..., iN i + δi2 ,i |i1 , i3 , ..., iN i + ... (N Terme))
ni
wobei jetzt ni die Anzahl der Teilchen im Einteilchenzustand i in |i1 , ..., iN i ist (das ist ein Teilchen mehr als in
| j1 , ..., jM i). Analog zum fermionischen Fall berechnet man
[c†i , c†j ]− = 0
[ci , c j ]− = 0
[ci , c†j ]− = δi, j
wobei jetzt [., .]− der Kommutator ist. Die Erzeugungsoperatoren können genutzt werden, um alle Vielteilchenzustände zu erzeugen:
1
c† c† ...c† |vak.i
(2.2)
|i1 , i2 , ..., iN i = p
∏i∈{i1 ,...,iN } ni ! i1 i2 iN
Zusammenfassung: Erzeuger und Vernichter
Führt man eine Variable ζ ein, die für Fermionen −1, für Bosonen +1 ist, dann lassen sich die Formeln für
Fermionen und Bosonen in der kompakten Form
|i1 , i2 , ..., iN i = p
1
ζ P φi j (qiP( j) )
N! ∏i∈{i1 ,...,iN } ni ! ∑ P ∏
j
h j1 , j2 , ..., jN |i1 , i2 , ..., iM i =
(
1
P
ni ! ∑ ζP ∏k δ jk ,iP(k)
∏
i∈{i1 ,...,iM }
0
falls N = M
falls N 6= M.
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(2.3)
(2.4)
12
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
c†i |i1 , i2 , ..., iN i =
2.4
p
ni + 1|i, i1 , i2 , ..., iN i
(2.5)
1
ci |i1 , ..., iN i = √ (δi1 ,i |i2 , ..., iN i + ζ δi2 ,i |i1 , i3 , ..., iN i + ... (N Terme))
ni
(2.6)
[c†i , c†j ]−ζ = 0
(2.7)
[ci , c j ]−ζ = 0
(2.8)
[ci , c†j ]−ζ = δi, j
(2.9)
1
c† c† ...c† |vak.i
|i1 , i2 , ..., iN i = p
∏i∈{i1 ,...,iN } ni ! i1 i2 iN
(2.10)
Einteilchenoperatoren
Betrachte den Operator
N̂ = ∑ c†i ci
i
Es gilt
c†i ci |i1 , ..., iN i = (δi1 ,i + δi2 ,i + ... + δiN ,i )|i1 , ..., iN i
also
N̂|i1 , ..., iN i = N|i1 , ..., iN i
N̂ ist der Teilchenzahloperator. Er ist ein Einteilchenoperator, denn er kann auf Zustände mit einem Teilchen
angewandt werden. Ein allgemeiner Einteilchenoperator T (zum Beispiel der Operator der kinetischen Energie
oder ein Potential) kann natürlich auch in der bisher verwandten Einteilchenbasis verwendet werden. Es gilt
T |i1 i = ∑ ti,i1 |ii
i
Wir betrachten zunächst Operatoren, die in der gewählten Basis diagonal sind, d.h.
T |ii = ti |ii
Für N-Teilchen Zustände gilt dann analog
T |i1 , ..., iN i = ∑ ti j |i1 , ..., iN i
j
Der Operator wirkt auf alle Teilchen separat. Ich behaupte
T = ∑ ti c†i ci
i
Mit diesem T gilt
1
1
1
c†i1 |i2 , ..., iN i = p
[T, c†i1 ]|i2 , ..., iN i + p
c† T |i2 , ..., iN i
T |i1 , i2 , ..., iN i = T p
n i1 + 1
n i1 + 1
ni1 + 1 i1
und ferner mit
[T, c†i1 ] = ∑ ti [c†i ci , c†i1 ] = ti1 c†i1
i
T |i1 , i2 , ..., iN i = ti1 |i1 , i2 , ..., iN i + c†i1 T |i2 , ..., iN i
=
∑ ti |i1 , ..., iN i
j
j
Dieser Ausdruck stimmt mit dem von oben für T überein.
Allgemeiner werden wir auch Einteilchenoperatoren betrachten, die nicht diagonal sind. Da sich jeder hermitesche Operator mit Hilfe einer unitären Transformation diagonalisieren läßt, müssen wir überlegen, wie eine
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2.5. Wechselwirkungen
13
solche unitäre Transformation der Basis auf die Einteilchenoperatoren wirkt. Führen wir also eine neue Basis
|αi = ∑i uαi |ii ein, wobei U = (uαi ) eine unitäre Matrix ist. Die neuen Erzeugungsoperatoren bezeichnen wir
mit c†α . Es gilt
c†α |vak.i = |αi
∑ uαi |ii
=
i
†
∑ uαi ci |vak.i
=
i
†
∑ hα|ii ci |vak.i
=
i
Wir setzen also
c†α = ∑ hα|ii c†i
i
c†i = ∑ hi|αi c†α
i
cα = ∑ hi|αi ci
i
ci = ∑ hα|ii cα
i
Es gilt dann
T
=
=
†
∑ ti ci ci
∑ ti hα|ii hi|β i cα cβ
†
i,α,β
=
†
∑ tα,β cα cβ
α,β
Das ist die allgemeine Form für Einteilchenoperatoren.
Beipiele:
• Potential: V (~r)
Z
d 3 r φi∗ (~r)V (~r)φ j (~r)
ti, j =
• Kinetische Energie:
Z
ti, j =
In der Orthonormalbasis φ~k,σ =
√1
V
d
3
rφi∗ (~r)
exp(i~k ·~r)χσ findet man
T =∑
~k,σ
2.5
h̄2
−
φ j (~r)
2m
h̄2~k2 †
c c~
2m ~k,σ k,σ
Wechselwirkungen
In dieser Vorlesung werden wir hauptsächlich wechselwirkende Systeme betrachten. Die meisten Wechselwirkungen sind Paar-Wechselwirkungen. Es sind also zwei Teilchen beteiligt. Solche Wechselwirkungen lassen
sich durch Zweiteilchenoperatoren beschreiben. Im allgemeinen kann man nicht erwarten, daß Wechselwirkungen in einer Basis diagonal sind, die aus Einteilchenzuständen konstruiert ist. Der Einfachheit halber wollen wir
aber zunächst von einem solchen Fall ausgehen. Bezeichnet man V den Operator der Wechselwirkung, dann
gilt in dieser Basis
V |i, ji = Vi j |i, ji.
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14
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
|i, ji ist ein Zwei-Teilchen-Zustand. Für Matrixelemente mit N-Teilchen-Zuständen erhält man
h j1 . . . jN |V |i1 . . . iN i =
1
∑ ζ P 2 ∑ h jP , jP
=
k0
k
P
k6=k0
1
Vik ,ik0
2 k6∑
=k0
|V |ik , ik0 i
∏ h jP |il i
l
l6=k,k0
!
h j1 . . . jN |i1 . . . iN i
Die Summe 12 ∑k6=k0 ist eine Summe über alle Paare von Teilchen im Zustand |i1 . . . iN i. Ist i 6= i0 , so ist die
Anzahl von Paaren von Teilchen in den Zuständen i und i0 durch ni ni0 gegeben. Ist i = i0 , so ist die Zahl der
Paare ni (ni − 1). Die Anzahl der Paare ist also
ni n j − δi, j ni = c†i ci c†j c j − δi, j c†i ci
= ζ c†i c†j ci c j
= c†i c†j c j ci
Daher gilt
V=
1
1
Vi, j c†i c†j c j ci = ∑hi, j|V |i, jic†i c†j c j ci
2∑
2 i, j
i, j
Transformiert man auf eine beliebige Basis, so erhält man
V=
1
hi, j|V |k, lic†i c†j cl ck
2 i,∑
j,k,l
Dies ist schon die allgemeine Form eines Zweiteilchenoperators. Jede Zwei-Teilchen-Wechselwirkung wird in
dieser Form geschrieben.
Die Darstellung eines Operators, zum Beispiel des Hamiltonoperators eines gegebenen Modells, mit Hilfe
von Erzeugungsoperatoren und Vernichtungsoperatoren ist letztlich eine sehr praktische Kurzschreibweise für
die Matrixelemente dieses Operators in einer gegebenen Basis. Der entscheidende Vorteil dieser Schreibweise ist es, daß die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sehr einfache, algebraische Beziehungen erfüllen.
Dadurch lassen sich viele Rechnungen sehr viel einfacher durchführen.
2.6
Kohärente Zustände
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind Operatoren, die Zustände von einem auf einen anderen Hilbertraum abbilden: Aus einem Zustand mit N Teilchen wird einer mit N ± 1 Teilchen. Durch sukzessives Anwenden von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren kommt man so in Hilberträume mit beliebiger Teilchenzahl.
Die direkte Summe aller Hilberträume (mit N Teilchen, N = 0, . . . , ∞) nennt man Fockraum. Mit Hilfe der
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wird der gesammte Fockraum aufgespannt. Für quantenmechanische
Vielteilchensysteme ist es sinnvoll, im Fockraum zu arbeiten. Zum einen gibt es Systeme, bei denen die Teilchenzahl ohnehin keine gute Quantenzahl ist, zum anderen ist es vielfach bequem, mit einem großkanonischen
Ensemble zu rechnen.
Bisher haben wir als Basis im Fockraum die aus den Einteilchenzuständen gebildeten N-Teilchenzustände
gewählt. Es gibt aber eine andere Basis, die sich als nützlich erwiesen hat, die sogenannten kohärenten Zustände. Dies sind die Eigenzustände der Vernichtungsoperatoren.
Man kann sich zunächst klarmachen, daß ein Erzeugungsoperator keinen Eigenzustand haben kann. Nehmen wir an, es gäbe einen solchen Zustand. Dann wäre er eine Summe aus Zuständen mit unterschiedlichen
Teilchenzahlen. In dieser Summe gäbe es einen Beitrag mit minimaler Teilchenzahl. Wendet man einen Erzeuger an, wird aber die Teilchenzahl erhöht. Es kann also keinen Beitrag mit kleinster Teilchenzahl, also auch
keinen Eigenzustand geben.
Ein entsprechendes Argument kann man für einen Vernichtungsoperator nicht anführen, da es im Fockraum
keinen Zustand mit maximaler Teilchenzahl gibt. Wir nehmen also an, wir hätten zu einem Vernichtungsoperator einen Eigenzustand gefunden, i.e.
ci |φ i = φi |φ i.
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2.6. Kohärente Zustände
15
Da für Bosonen die verschiedenen Vernichtungsoperatoren vertauschen, gilt dies auch für die Eigenwerte. Für
Bosonen können die Eigenwerte also normale, komlexe Zahlen sein. Für Fermionen erhält man beim Vertauschen zweier Vernichtungsoperatoren ein Vorzeichen. Für Fermionen können die φi also keine komplexen
Zahlen sein. Wir diskutieren daher zunächst kohärente Zustände für Bosonen und werden danach ein mathematisches Werkzeug einführen, mit Hilfe dessen sich auch kohärente Zustände für Fermionen erzeugen lassen.
2.6.1
Kohärente Zustände für Bosonen
Ein Zustand mit ni Bosononen im Einteilchenzustand |ii, i = 1, . . . , N kann mit Hilfe von Erzeugern und Vernichtern in der Form
1
† ni
|n1 , n2 , . . . , nN i = ∏ √ (ci ) |vak.i
ni !
i
geschrieben werden. Es gilt
√
ni |n1 , n2 , . . . , ni − 1, . . . , nN i
ci |n1 , n2 , . . . , nN i =
Für den kohärenten Zustand |φ i setzen wir
|φ i =
φn1 ,n2 ,...,nN |n1 , n2 , . . . , nN i
∑
n1 ,n2 ,...,nN
Die Bedingung ci |φ i = φi |φ i lautet dann
φi φn1 ,...,ni ,...,nN =
Damit erhält man
p
ni + 1φn1 ,...,ni +1,...,nN
φ ni
φn1 ,n2 ,...,nN = ∏ √i
ni !
i
und somit
|φ i =
∑ ∏
n1 ,n2 ,...,nN i
φini † ni
(c ) |vak.i
ni ! i
= exp(∑ φi c†i )|vak.i
i
Wendet man einen Erzeugungsoperator auf einen kohärenten Zustand an, so erhält man
c†i |φ i = c†i exp(∑ φi c†i )|vak.i
i
=
∂
|φ i
∂ φi
Als nächstes berechnen wir den Überlapp von zwei kohärenten Zuständen:
ψi∗mi φini
√
hm1 , . . . , mN |n1 , . . . , nN i
mi !ni !
ni hψ|φ i =
=
∑
∑ ∏
n1 ,...,nN m1 ...mN i
∗ni
ψi φi
∑ ∏
n1 ,...,nN i
= exp(∑
ni !
ψi∗ φi )
i
Man kann zeigen, daß die kohärenten Zustände übervollständig sind. Diese Eigenschaft wird im folgenden sehr
wichtig sein. Wir zeigen, daß die Beziehung
Z
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )|φ ihφ | = 1
i
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Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
gilt, wobei
D[φ ] = ∏
i
d(ℜφi )d(ℑφi )
π
gilt. Um dies zu zeigen, berechnen wir den Kommutator
[ci , |φ ihφ |] = (φi −
∂
)|φ ihφ |
∂ φi∗
Damit gilt dann
Z
[ci ,
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )|φ ihφ |] =
Z
i
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )(φi −
i
∂
)|φ ihφ |
∂ φi∗
Der Term mit der Ableitung kann partiell integriert werden,R man sieht dann, daß die rechte Seite verschwindet.
Also kommutieren alle Vernichter ci mit dem Ausdruck D[φ ] exp(− ∑i φi∗ φi )|φ ihφ |. Dieser Ausdruck muß
also eine Zahl sein. Bildet man den Erwartungswert dieses Ausdrucks im Vakuum, so findet man
Z
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )hvak.||φ ihφ |vak.i =
Z
i
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi ) = 1
i
Damit ist die Vollständigkeit gezeigt. Mit Hilfe der Vollständigkeit kann man leicht eine Formel für die Spur
eines Operators angeben:
Z
TrA = D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )hφ |A|φ i
i
Ebenso läßt sich ein beliebiger Zustand | f i nach den kohärenten Zuständen entwickeln:
|fi =
Z
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )hφ | f i|φ i
i
Den Ausdruck
f (φ ∗ ) := hφ | f i
bezeichnet man als die Darstellung von | f i in kohärenten Zuständen, so wie man f (x) = hx| f i als die Ortsdarstellung von | f i bezeichnet. Es ist nützlich zu wissen, wie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in
dieser Darstellung wirken. Dazu berechnen wir
∗
∂
∂ f (φ ∗ )
†
∗
hφ |ci | f i = h f |ci |φ i =
h f |φ i =
∂ φi
∂ φi∗
und ebenso
hφ |c†i | f i = h f |ci |φ i∗ = (φi h f |φ i)∗ = φi∗ f (φ ∗ )
Man kann also symbolisch
ci =
∂
,
∂ φi∗
c†i = φi∗
schreiben. Man erkennt sofort, daß die Vertauschungsrelationen damit erfüllt sind. Die Konsequenz ist, daß man
einen Hamiltonoperator, der in der Teilchenzahldarstellung ausgedrückt durch Erzeuger und Vernichter in der
Form H({c†i , ci }) geschrieben wird, in der Darstellung mit kohärenten Zuständen als H({φi∗ , ∂ ∂φ ∗ }) geschrieben
i
werden kann. Die Eigenwertgleichung lautet demnach
H({φi∗ ,
∂
}) f (φ ∗ ) = E f (φ ∗ )
∂ φi∗
Damit erhält man auch sofort eine Formel für Matrixelemente eines Operators A({c†i , ci }):
hφ |A({c†i , ci })|ψi = A({φi∗ , ψi }) exp(∑ φi∗ ψi )
i
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2.6. Kohärente Zustände
17
wobei man anehmen muß, daß alle Erzeuger links von den Vernichtern stehen. Diese Form der Ordnung heißt
Normalordnung. Schon aus der Definition der kohärenten Zustände ist klar, daß sie keine Zustände mit fester
Teilchenzahl sind. Der Erwartungswert von ni = c†i ci ist durch φi∗ φi gegeben, die Gesamtteilchenzahl ist also
N̄ = ∑i φi∗ φi . Für die quadratische Abweichung erhält man
hφ |(N̂ − N̄)2 |φ i
= ∑ φi∗ φi = N̄
hφ |φ i
i
Die relative Abweichung der Teilchenzahl von ihrem Mittelwert ist also ∝ N̄ −1/2 und verschwindet im thermodynamischen Limes.
2.6.2
Grassmannalgebra
Wir haben gesehen, daß man mit den kohärenten Zuständen für Bosonen gut rechnen kann und werden von diesen Zuständen in Zukunft sehr viel Gebrauch machen. Es wäre also nützlich, ein entsprechendes Konzept auch
für Fermionen zu haben. Wir haben schon gesehen, daß aufgrund der Vertauschungsrelationen für fermionische
Vernichter deren Eigenwerte beim Vertauschen ein Vorzeichen erzeugen. Sie können also keine gewöhnlichen
Zahlen sein. Man nennt solche Größen Grassmannvariable. Für sie lassen sich alle Rechenoperationen definieren, sie bilden eine Grassmannalgebra. Wir werden in diesem Unterabschnitt die wichtigsten Rechenregeln
für diese Größen kennenlernen. Die Grassmannalgebra wird von einer Menge {ξi , i = 1, . . . , N} von Erzeugern
aufgespannt. Die fundamentale Regel ist
ξi ξ j + ξ j ξi = 0
und damit
ξi2 = 0
Wir werden im folgenden eine erweiterte Grassmannalgebra benutzen, die von den Erzeugern {ξi , ξi∗ , i =
1, . . . , N} gebildet wird. Der ∗ ist dabei eine symbolische Operation, für die die Regeln
(ξi )∗ = ξi∗
(ξi∗ )∗ = ξi
(ξi ξ j )∗ = ξ j∗ ξi∗
gelten. Als nächstes betrachten wir Funktionen der ξi und ξi∗ . Dies sind einfach Polynome der ξi und ξi∗ , wobei
in jedem Monom ein Faktor ξi natürlich nur einmal vorkommen kann, da sein Quadrat verschwindet. Bekannte
analytische Funktionen definieren wir durch ihre Taylorentwicklung. So gilt zum Beispiel exp(ξi ) = 1 + ξi . Hat
man Funktionen definiert, so kann man als nächstes Ableitungen dieser Funktionen definieren. Es gilt
∂
ξi = 1
∂ ξi
Hat man ein Produkt von mehreren Grassmannvariablen, so muß der Faktor, nach dem abgeleitet wird, zunächst
bis zu der Ableitung nach vorne getauscht werden. Es gilt also zum Beispiel
∂ ∗
∂
ξ j ξk ξl ξi =
(−ξi ξ j∗ ξk ξl ) = −ξ j∗ ξk ξl
∂ ξi
∂ ξi
Wird ein Ausdruck abgelitten, in dem die Variable, nach der abgelitten wird, nicht vorkommt, dann verschwindet die Ableitung. Im übrigen gelten die gewohnten Produktregeln bis auf die Vorzeichen, die vom Vertauschen
der Variablen herrühren. Ableitungen untereinander antivertauschen ebenso wie die Variablen selbst:
∂ ∂
∂ ∂
=−
∂ ξi ∂ ξ j
∂ ξ j ∂ ξi
Als nächstes definieren wir Integrale über Grassmannfelder. Natürlich gibt es kein Integral, das einem Riemannintegral analog wäre. Das Integral über Grassmannfelder ist eine lineare Abbildung, die die gleichen
Eigenschaften wie ein gewöhnliches Integral über Funktionen hat, die im Unendlichen verschwinden, wobei
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Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
das Integral über ein totales Differential verschwindet. Das bedeutet, daß das Integral über 1 verschwindet, da
1 die Ableitung von ξ nach ξ ist. ξ selbst ist keine Ableitung. Das Integral über ξ kann frei definiert werden.
Die übliche Konvention ist
Z
dξ 1 = 0
Z
dξ ξ = 1
Das gleiche gilt für die Größen ξi∗ . Zu beachten ist, daß die Variable, über die integriert wird, immer vorne
stehen muß. Betrachten wir als Beispiel eine Funktion
f (ξ1 , ξ2 ) = a0 + a1 ξ1 + a2 ξ2 + a12 ξ1 ξ2
Es gilt
Z
und damit weiter
dξ2 f (ξ1 , ξ2 ) = a2 − a12 ξ1
Z
aber
dξ1 dξ2 f (ξ1 , ξ2 ) = −a12
Z
dξ2 dξ1 f (ξ1 , ξ2 ) = a12
Die Ausdrücke dξi antivertauschen also ebenso wie die Variablen ξi selbst. Mit diesen Definitionen kann man
alle Integrale sofort berechen. Es gilt zum Beispiel
Z
dξ dξ ∗ exp(−ξ ξ ∗ ) =
Z
dξ dξ ∗ (1 − ξ ξ ∗ ) = 1
Als letztes definieren wir ein Skalarprodukt für Funktionen von Grassmannvariablen. Seien f und g Funktionen
von ξ1 , . . . , ξN , dann sei
h f |gi =
Z
D[ξ ] exp(− ∑ ξi∗ ξi ) f ∗ (ξ1 , . . . , ξN )g(ξ1∗ , . . . , ξN∗ )
i
mit
D[ξ ] = ∏(dξi∗ dξi )
i
Mit Hilfe der Grassmannvariablen sind wir in der Lage, kohärente Zustände für Fermionen zu konstruieren.
2.6.3
Kohärente Zustände für Fermionen
Zunächst müssen wir erklären, wie die Grassmannvariablen mit den Erzeugern und Vernichtern für die Fermionen vertauschen. Es ist natürlich anzunehmen, daß
[ci , ξ j ]+ = [c†i , ξ j ]+ = [ci , ξ j∗ ]+ = [c†i , ξ j∗ ]+ = 0
für alle i, j. Als Ansatz für den kohärenten Zustand nehmen wir
|ξ i = exp(− ∑ ξi c†i )|vak.i = ∏(1 − ξi c†i )|vak.i
i
i
Der zweite Ausdruck ergibt sich aus dem ersten, wenn man beachtet, daß alle Ausdrücke derForm ξi c†i miteinander vertauschen, so daß man die Exponentialfunktion in ein Produkt einzelner Exponentialfunktionen
zerlegen kann. Auch jeder Vernichter c j vertauscht mit ξi c†i sofern i 6= j. Für i = j gilt
ci ξi c†i = −ξi ci c†i = −ξi (1 − c†i ci )
Damit erhält man
ci |ξ i = ξi |ξ i
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2.6. Kohärente Zustände
19
Wendet man einen Erzeuger auf einen kohärenten Zustand an, so ergibt sich
c†i |ξ i = c†i (1 − ξi c†i ) ∏(1 − ξ j c†j )|vak.i
j6=i
†
= ci ∏(1 − ξ j c†j )|vak.i
j6=i
= −
∂
(1 − ξi c†i ) ∏(1 − ξ j c†j )|vak.i
∂ ξi
j6=i
= −
∂
|ξ i
∂ ξi
Für das Skalarprodukt zweier kohärenter Zustände gilt
hξ |χi = hvak.| ∏(1 − ci ξi∗ )(1 − ξi c†i )|vak.i = ∏(1 + ξi∗ χi ) = exp(∑ ξi∗ χi )
i
i
i
Als nächstes wollen wir die Vollständigkeitsbeziehung
Z
D[ξ ] exp(− ∑ ξi∗ ξi )|ξ ihξ | = 1
i
zeigen. Wir definieren dazu
Z
E=
D[ξ ] exp(− ∑ ξi∗ ξi )|ξ ihξ |
i
und zeigen, daß
hi1 , . . . , in |E| j1 , . . . , jm i = hi1 , . . . , in | j1 , . . . , jm i
(2.11)
gilt. Zunächst hat man
hi1 , . . . , in |ξ i = hvak.|cin . . . ci1 |ξ i = ξin . . . ξi1
und damit
hi1 , . . . , in |E| j1 , . . . , jm i =
Z
D[ξ ] ∏(1 − ξi∗ ξi )ξin . . . ξi1 ξ j∗1 . . . ξ j∗m
i
Nun gilt
Z
dξi∗ dξi (1 − ξi∗ ξi )ξi ξi∗ = 1
Z
dξi∗ dξi (1 − ξi∗ ξi )ξi = 0
Z
dξi∗ dξi (1 − ξi∗ ξi )ξi∗ = 0
Z
dξi∗ dξi (1 − ξi∗ ξi ) = 1
Daher erhält man nur dann einen Beitrag, wenn n = m gilt und {i1 , . . . , in } = { j1 , . . . , jm }. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, muß man die ξik nur so permutieren, daß ihre Reihenfolge mit der der ξ j∗k übereinstimmt. Das
Ergebnis ist gerade ein Vorzeichen, daß man auch bei der Berechnung des Skalarpodukts in (2.11) erhält. Damit
ist die Vollständigkeit gezeigt. Aus der Vollständigkeit ergibt sich sofort
Z
TrA =
D[ξ ] exp(− ∑ ξi∗ ξi )h−ξ |A|ξ i
i
wobei das Vorzeichen in h−ξ | daher kommt, daß man beim Vertauschen von |ξ i mit hξ | für jede Grassmannvariable ein Vorzeichen bekommt. (Beispiele: Tr1 = 2N , Trc†i ci = 2N−1 für ein System mit N Einteilchenzuständen). Aus der Vollständigkeit ergibt sich weiter
|fi =
Z
D[ξ ] exp(− ∑ ξi∗ ξi )h−ξ | f i|ξ i
i
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20
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
und wir können den Ausdruck
f (ξ ∗ ) := h−ξ | f i
wie im bosonischen Fall als die kohärente Darstellung eines Zustands | f i definieren. Man erhält
h−ξ |ci | f i = (h f |c†i | − ξ i)∗
∂
h f | − ξ i∗
=
∂ ξi∗
∂
=
f (ξ ∗ )
∂ ξi∗
und analog
h−ξ |c†i | f i = ξi∗ f (ξ ∗ )
Die Erzeuger c†i und Vernichter ci für Fermionen lauten in der kohärenten Darstellung also ξi∗ und ∂∂ξ ∗ . Die
i
Vertauschungsrelationen sind erfüllt. Wie im bosonischen Fall sind die Matrixelemente eines normalgeordneten
Operators (Erzeuger stehen links von Vernichtern) A({c†i , ci }) durch
hξ |A({c†i , ci })|χi = A({ξi∗ , χi })hξ |χi
gegeben. Allerdings ist zu beachten, daß etwa der Erwartungswert der Teilchenzahl in einem kohärenten Zustand damit durch ∑i ξi∗ ξi gegeben ist und also keine reelle Zahl ist. Im Gegensatz zu den bosonischen kohärenten Zuständen, die Elemente des Fockraums sind, sind fermionische kohärente Zustände keine Elemente des
Fockraums. Während man also zum Beispiel den Grundzustand eines Systems von Bosonen durch kohärente
Zustände ausdrücken kann, ist dies für Fermionen nicht möglich. Trotzdem ist es nützlich, mit diesen Zuständen
zu arbeiten.
Zusammenfassung: Kohärente Zustände
|φ i bezeichnet im folgenden fermionische oder bosonische kohärente Zustände. Wie schon weiter oben gilt
ζ = 1 für Bosonen und ζ = −1 für Fermionen.
ci |φ i = φi |φ i.
c†i |φ i =
(2.12)
∂
|φ i
∂ φi
(2.13)
hψ|φ i = exp(∑ ψi∗ φi )
(2.14)
i
Z
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )|φ ihφ | = 1
(2.15)
i
Z
TrA =
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )hζ φ |A|φ i
(2.16)
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )hζ φ | f i|φ i
(2.17)
i
|fi =
Z
i
f (φ ∗ ) := hζ φ | f i
ci =
∂
,
∂ φi∗
(2.18)
c†i = φi∗
(2.19)
hφ |A({c†i , ci })|ψi = A({φi∗ , ψi }) exp(∑ φi∗ ψi )
i
Die letzte Formel gilt für normalgeordnete Operatoren.
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(2.20)
2.7. Gaußintegrale
2.7
21
Gaußintegrale
Wir werden im folgende immer wieder Gaußintegrale mit komplexen Variablen und auch mit Grassmannvariablen benötigen. Für kompexe Variable gilt
Z
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ hi j φ j + ∑ z∗i φi + ∑ zi φi∗ ) = [det H]−1 exp(∑ z∗i (H −1 )i j z j )
i, j
i
i
(2.21)
i, j
wobei H = (hi j ) eine Matrix mit einem positiven hermiteschen Anteil ist. Für Grassmannvariable gilt analog
Z
D[ξ ] exp(− ∑ ξi∗ hi j ξ j + ∑ χi∗ ξi + ∑ χi ξi∗ ) = [det H] exp(∑ χi∗ (H −1 )i j χ j )
(2.22)
i, j
i
i
i, j
Diese beiden Beziehungen wollen wir kurz herleiten.
Zunächst für komplexe Variable: Wenn H einen positiven hermiteschen Anteil hat, ist die Inverse H −1
definiert. Man kann neue Integationsvariable ψi = φi − ∑ j (H −1 )i j z j einführen. Das entspricht einer üblichen
quadratischen Ergänzung. Die linke Seite von (2.21) wird
Z
D[ψ] exp(− ∑ ψi∗ hi j ψ j + ∑ z∗i (H −1 )i j z j )
i, j
i, j
Als nächstes kann man H mit Hilfe einer unitären Transformation diagonalisieren. Sei U die unitäre Transformation, die das leistet. Dann sei ϕi = ∑ j (U −1 )i j ψ j . Damit gilt
∑ ψi∗ hi j ψ j = ∑ hi ϕi∗ ϕi
i, j
i
wobei hi die Eigenwerte von H sind. Nun gilt
Z
dℜφi dℑφi
1
exp(−hi φi∗ φi ) =
π
hi
Damit erhält man das gewünschte Resultat.
Für Grassmannvariable kann man ebenso vorgehen. Allerdings ist zu beachten, daß wir bisher noch nicht
wissen, wie man für Grassmannvariable eine Variablentransformation in einem Integral durchführt. Betrachten
wir also ein Integral der Form
Z
D[ξ ] f (ξ1 . . . ξN , ξ1∗ . . . ξN∗ )
und führen eine Transformation ξi = ∑ j ui j η j , ξi∗ = ∑ j u∗i j η ∗j durch. In dem Integral über ξ trägt nur der Term
von f bei, in dem jede Grassmannvariable genau einmal als Faktor vorkommt. Bezeichnen wir diesen Term mit
f0 ∏i ξi ξi∗ . f0 ist dann der Wert des Integrals. Als nächstes berechnen wir
Z
D[η] f (ξ1 (η)...ξN (η), ξ1∗ (η ∗ ) . . . ξN (η ∗ )) = f0
Z
D[η] ∏(∑ ui j η j ∑ u∗i j η ∗j )
i
j
j
Die rechte Seite kann ausmultipliziert werden. Das ergibt
Z
f0
D[η] ∑ ∏ uiPi ηPi u∗iPi ηP∗i
P,P0 i
Bringt man alle Faktoren in die richtige Reihenfolge, dann kann man das Integral ausrechnen und erhält
0
f0 ∑(−1)P ∏ uiPi ∑(−1)P
P
P0
i
∏ u∗iP = f0 detU detU
i
†
= f0
i
Man sieht also, daß man die Variablentransformation wie im Fall der komplexen Variablen durchführen kann.
Für das Gaußintegral erhält man am Ende
Z
dηi∗ dηi exp(−hi ηi∗ ηi ) = hi
Damit ist (2.22) gezeigt.
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2.8
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
Funktional-Integral Darstellung
Wir betrachten im folgenden ein System von Teilchen mit einer typischen Wechselwirkung. Der Hamiltonoperator hat die Form
Ĥ = ∑ εi c†i ci + ∑ Vi, j,k,l c†i c†j cl ck
i
i, j,k,l
Typischerweise wird der Einteilchenanteil die kinetische Energie und eventuell ein Potential enthalten. Wir
haben angenommen, daß er diagonalisiert werden kann und haben als Basis diejenige gewählt, in der der Einteilchenanteil diagonal ist. Wir nehmen an, daß wir es mit einem endlichen (aber großen) System zu tun haben,
so daß die Einteilchenenergien εi diskret sind. Typischerweise interessieren bei einem solchen System Erwartungswerte von Operatoren A = A({c†i , ci }). Sie werden bei endlichen Temperaturen durch
hA({c†i , ci })i = Z −1 Tr[A({c†i , ci }) exp(−β (Ĥ − µ N̂))]
berechnet, wobei β = 1/T die inverse Temperatur ist, µ das chemische Potential und
Z = Tr exp(−β (Ĥ − µ N̂))
die großkanonische Zustandssumme. Die Spuren werden über den gesamten Fockraum genommen. Wir werden solche Spuren jetzt mit Hilfe der kohärenten Zustände berechnen. Dabei berechnen wir zunächst nur die
Zustandssumme, aus der man weitere thermodynamische Größen über die thermodynamischen Beziehungen
erhält. Es gilt
Z
Z=
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )hζ φ | exp(−β (Ĥ − µ N̂))|φ i
i
Das Problem besteht nun darin, daß zwar Ĥ und N̂ normalgeordnet sind, nicht aber exp(−β (Ĥ − µ N̂)). Für ein
kleines ε gilt aber
exp(−ε(Ĥ − µ N̂)) =: exp(−ε(Ĥ − µ N̂)) : +O(ε 2 )
Dabei bedeutet : . :, daß dieser Ausdruck normalgeordnet ist. Um das zu sehen, entwickelt man die Exponentialfunktion auf beiden Seiten. Links tauchen in O(ε 2 ) Terme auf, die nicht normalgeordnet sind. Als nächstes
schreiben wir
M
β
exp(−β (Ĥ − µ N̂)) = exp(− (Ĥ − µ N̂))
M
Wir werden im folgenden M hinreichend groß wählen, so daß β /M klein wird. Dann ist der Term in der
Klammer bis auf einen kleinen Fehler normalgeordnet. Damit erhält man
Z
Z=
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )hζ φ | exp(−
i
β
β
(Ĥ − µ N̂)) . . . exp(− (Ĥ − µ N̂))|φ i
M
M
wobei in dem Erwartungswert jetzt M Faktoren auftreten. Wir können nun zwischen jede zwei Faktoren eine 1
schieben, die wir in der Form
Z
D[φ ] exp(− ∑ φi∗ φi )|φ ihφ | = 1
i
schreiben. Um das zu tun, müssen wir unsere Notation etwas ändern. Da es insgesamt M Faktoren gibt, benötigen wir M kohärente Zustände. Wir bezeichnen sie mit |φk i, k = 1, . . . , M. Die Variablen, von denen |φk i
abhängt, bezeichnen wir mit φi,k . Der vordere Index nummeriert die Einteilchenzustände, der hintere die kohä∗ . Außerdem führe ich φ = ζ φ
renten Zustände. D[φ ] bezeichnet das Integral über alle Variable φi,k und φi,k
0
M
ein. Damit erhält man
Z
Z=
M
∗
D[φ ] exp(− ∑ φi,k
φi,k ) ∏hφi−1 | exp(−
i,k
i=1
β
(Ĥ − µ N̂))|φi i
M
In diesem Ausdruck kann man jetzt bis auf einen Fehler der Ordnung O(M −2 ) die Formel (2.20) benutzen. Das
liefert
Z
Z = lim D[φ ] exp(−SM [φ ])
(2.23)
M→∞
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2.9. Das freie System
23
M
SM [φ ] = ε
"
∑ ∑
∗
φi,k
i
k=1
#
φi,k − φi,k−1
∗
− µφi,k + H({φi,k , φi,k−1 })
ε
(2.24)
mit ε = β /M. Häufig führt man im Limes M → ∞ eine Funktion φi (τ) ein, wobei φi,k = φi (εk) gilt. Damit
φi,k − φi,k−1 φi (εk) − φi (εk − ε)
∂ φi (τ)
=
→
ε
ε
∂τ
M
ε
∑→
Z β
k=1
und
Z β
S[φ ] =
0
dτ
0
!
∂
dτ ∑ φi∗ (τ)( − µ)φi (τ) + H({φi∗ (τ), φi (τ)})
∂τ
i
(2.25)
Z
Z=
D[φ ] exp(−S[φ ])
(2.26)
φi (β )=ζ φi (0)
Diese Ausdrücke sind sogenannte Funktionalintegrale. Man kann mit ihnen zum Teil recht bequem rechnen,
sollte sich aber darüber im klaren sein, daß mit (2.26), (2.25) immer die Limites der Ausdrücke in (2.23),
(2.24) gemeint sind. Das Problem besteht jetzt also darin, die entsprechenden Integrale zu lösen. Wir betrachten
zunächst ein einfaches Beispiel.
2.9
Das freie System
In einem System ohne Wechselwirkung ist
Ĥ = ∑ εi c†i ci
i
Damit gilt
M
S[φ ] = ε
∑ ∑ φi,k∗
k=1 i
φi,k − φi,k−1
+ (εi − µ)φi,k−1
ε
und das Integral in (2.23) ist ein Gaußintegral. Es lautet
!
φi,k − φi,k−1
+ (εi − µ)φi,k−1
Z = lim D[φ ] exp −ε ∑ ∑
M→∞
ε
k=1 i
!
Z
M
φ
−
φ
i,k
i,k−1
∗
+ (εi − µ)φi,k−1
= lim ∏ D[φi ] exp −ε ∑ φi,k
M→∞ i
ε
k=1
M
Z
=
wobei S(i) die Matrix
lim
∗
φi,k
∏[det S(i) ]−ζ
M→∞ i

1
0
· · · 0 −ζ a
 −a 1
0
0


..
.
..
 0 −a 1
.

(i)
S =
.

0 −a . . 0

 ..
..
 .
. 1
0
0
0
· · · −a
1
mit
a = 1−
β
(εi − µ)
M
c
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










24
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
Der Eintrag −ζ a in der rechten oberen Ecke rührt von der Bedingung φi,0 = ζ φi,M her. Entwickelt man die
Determinante von S(i) nach der ersten Zeile, so erhält man
lim det S(i) =
lim [1 + (−1)M ζ (−a)M ]
"
#
β (εi − µ) M
= lim 1 − ζ 1 −
M→∞
M
M→∞
M→∞
= 1 − ζ exp(−β (εi − µ))
Für die Zustandssumme erhält man damit
Z = ∏ (1 − ζ exp(−β (εi − µ)))−ζ
i
Das ist das bekannte Resultat für freie Fermionen oder Bosonen. Hieraus kann man sofort die Formeln für die
entsprechenden Besetzungszahlen
hc†i ci i = ni = −
1
1 ∂ ln Z
=
β ∂ εi
exp(β (εi − µ)) − ζ
und alle weiteren bekannten Resultate für das freie System herleiten (siehe z.B. L.D. Landau, E.M. Lifschitz,
Lehrbuch der Theoretischen Physik V, Statistische Physik, Kapitel V).
Für spätere Rechnungen ist es nützlich, das letzte Resultat noch einmal genauer anzusehen. Die Identität
hc†i ci i = −
1 ∂ ln Z
β ∂ εi
erhält man durch das Ableiten der Zustandssumme Tr exp(−β (Ĥ − µ N̂)), wobei die Operatoren durch Erzeuger
und Vernichter dargestellt werde. Man kann natürlich diese Ableitung auch in der Darstellung
!
Z
M
φi,k − φi,k−1
∗
Z = lim D[φ ] exp −ε ∑ ∑ φi,k
+ (εi − µ)φi,k−1
M→∞
ε
k=1 i
vornehmen. Das ergibt
∂Z
= lim
∂ εi M→∞
Z
"
D[φ ] −ε
#
M
∑ φi,k∗ φi,k−1
M
exp −ε
∑ ∑ φi,k∗
k=1 i
k=1
1 ∂ ln Z
1
−
=
β ∂ εi
β
Z β
0
φi,k − φi,k−1
+ (εi − µ)φi,k−1
ε
!
dτhφi∗ (τ)φi (τ − 0+ )i
−0+
Dabei deutet
im Argument von φ an, daß das Argument von φ infinitesimal kleiner ist als das Argument
von φ ∗ . Das wird später wichtig sein, da wir sehen werden, daß der Erwartungswert hφi∗ (τ)φi (τ 0 )i bei τ = τ 0
eine Sprungstelle hat.
Wir sehen an dieser Stelle das folgende: Während der Erwartungswert der Teilchenzahl für Fermionen in
einem kohärenten Zustand durch φi∗ φi gegeben war und damit keine reelle Größe darstellt, können wir hier über
die Darstellung der Zustandssumme durch kohärente Zustände sehr wohl Erwartungswerte berechnen.
Generell werden wir später auch Erwartunsgwerte von dem Typ
hφi∗ (τ)φ j (τ 0 )i
oder auch Ausdrücke mit mehr Feldern benötigen. Solche Größen können wir ausrechnen, indem wir eine
erzeugende Funktion benutzen. Wir definieren
!
M
Z
M
φi,k − φi,k−1
∗
∗
∗
∗
ZM (J , J) = D[φ ] exp −ε ∑ ∑ φi,k
+ (εi − µ)φi,k−1 + ∑ ∑(Ji,k φi,k + Ji,k φi,k )
ε
k=1 i
k=1 i
c
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2.9. Das freie System
25
Damit gilt dann
2 Z (J ∗ , J) ζ
∂
k,l
M
∗
hφi,k
φ j,l i =
ZM ∂ J ∗j,l ∂ Ji,k (2.27)
J=J ∗ =0
und im Limes M → ∞
0 ) δ 2 Z(J ∗ , J) ζ
(τ
−
τ
hφi∗ (τ)φ j (τ 0 )i =
∗
0
Z
δ J j (τ)δ Ji (τ ) J=J ∗ =0
ζ (τ − τ 0 )δ 2 ln Z(J ∗ , J) =
δ J ∗j (τ)δ Ji (τ 0 )
∗
J=J ∗ =0
∗
Z(J , J) = lim ZM (J , J)
M→∞
∗ auch
An dieser Stelle sind einige Bemerkungen nötig. Zunächst ist klar, daß für Fermionen die Ji,k und Ji,k
wieder Grassmannvariable sind. Zudem ist wichtig, in welcher Reihenfolge beim Ableiten die Variablen stehen.
Der Ausdruck exp(−ε ∑M
k=1 . . .) ist eigentlich ein Produkt, in dem die Faktoren mit kleinem k vorne stehen. Ist
∗ nach dem Faktor φ auf. Die beiden Faktoren müssen
in (2.27) l < k, dann tritt beim Ableiten der Faktor φi,k
j,l
vertauscht werden. Für Fermionen tritt dabei ein Vorzeichen auf. Ist dagegen l > k tritt dieser Faktor nicht auf.
ζk,l ist ζ für k > l und 1 sonst. Entsprechend gilt ζ (τ − τ 0 ) = ζ für τ > τ 0 und ζ (τ − τ 0 ) = 1 sonst. Natürlich
lassen sich auch Erwartungswerte mit mehr als zwei Feldern auf diese Weise berechnen. Für das freie System
kann man ZM (J ∗ , J) einfach berechnen, es handelt sich um ein Gaußintegral. Zunächst gilt
Z(J ∗ , J) = ∏ Z (i) (Ji∗ , Ji )
i
mit
Z
(i)
(Ji∗ , Ji )
Z
= lim
M→∞
M
D[φ ] exp −ε
∑
∗
φi,k
k=1
!
M
φi,k − φi,k−1
∗
∗
+ (εi − µ)φi,k−1 + ∑ (Ji,k φi,k + Ji,k φi,k )
ε
k=1
Dieses Integral hat die Form
Z
M
D[φ ] exp −
∑
!
M
(i)
∗
∗
∗
φi,k
Sk,l φi,l + ∑ (Ji,k
φi,k + Ji,k φi,k
)
k,l=1
k=1
Es ergibt
[det S(i) ]−ζ exp(
M
∗
Ji,k
(S(i)−1 )k,l Ji,l )
∑
k,l=1
Man erhält also
ZM (J ∗ , J) = ZM ∏ exp(
i
M
∑
∗
Ji,k
(S(i)−1 )k,l Ji,l )
k,l=1
und damit
∗
hφi,k
φ j,l i =
ζk,l ∂ 2 ZM (J ∗ , J) ZM ∂ J ∗j,l ∂ Ji,k J=J ∗ =0
= ζl,k δi, j (S
(i)−1
)l,k
∗ abgelitten wird, die beiden
In der zweiten Zeile steht ζl,k . Der Grund dafür ist, daß erst nach Ji,k , dann nach Ji,l
Faktoren aber in der umgekehrten Reihenfolge in dem Produkt stehen. Daher tritt zusätzlich zu ζk,l noch ein
Faktor ζ auf und es gilt ζk,l ζ = ζl,k . Die inverse Matrix ist


1
ζ aM−1 ζ aM−2
···
ζa
 a
1
ζ aM−1
ζ a2 


 a2
a
1
ζ a3 


 .

..
..
2


a
a
.
1


S(i)−1 =


..
..
2

1 − ζ aM 
.
.
a


 M−3

..
..
M−2 
 a
.
.
ζ
a
 M−2

 a
aM−3
1 ζ aM−1 
aM−1 aM−2
aM−3
···
a
1
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26
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
β
mit a = 1 − M
(εi − µ). Damit erhält man
∗
hφi,k
φ j,l i = δi, j
ζ al−k
1 − ζ aM
∗
hφi,k
φ j,l i = δi, j
aM+l−k
1 − ζ aM
für l ≥ k und
für l < k. Bildet man den Limes M → ∞, so ergibt sich
hφi∗ (τ)φ j (τ 0 )i = δi, j ζ exp(−(εi − µ)(τ − τ 0 ))(θ (τ 0 − τ) + ζ ni )
Oben hatten wir gesehen, daß
1 β
ni =
dτhφi∗ (τ)φi (τ − 0+ )i
β 0
Das läßt sich sofort verifizieren, wenn man den Erwartungswert einsetzt.
Z
gi (τ − τ 0 ) = ζ exp(−(εi − µ)(τ − τ 0 ))(θ (τ 0 − τ) + ζ ni )
wird Einteilchenpropagator genannt.
Erwartungswerte mit mehr als zwei Feldern lassen sich ebenso berechnen. Solche Erwartungswerte benötigen wir im nächsten Abschnitt. Um einen Ausdruck der Form
0
hφi∗1 (τ1 )φi∗2 (τ2 ) . . . φi∗n (τn )φ jn (τn0 )φ jn−1 (τn−1
) . . . φ j1 (τ10 )i
zu berechnen, muß man die Ableitung
δ 2n ln Z(J ∗ , J)
∗
∗
0
0
δ Ji1 (τ1 ) . . . δ Jin (τn )δ J jn (τn ) . . . δ J j1 (τ1 ) J=J ∗ =0
berechnen. Wie oben berechnen wir die Ableitungen für endliches M und bilden hinterher den Limes M → ∞.
Leitet man zuerst nach den J j,l (τ 0 ) ab, so bekommt man für jede dieser Ableitungen einen Faktor ∑k J ∗j,k (S( j)−1 )k,l .
∗ müssen auf diese Faktoren wirken, da alle anderen Beiträge verschwinden, wenn man
Die Ableitungen nach Ji,k
∗
∗ zusammenam Ende J = J = 0 setzt. Das bedeutet, daß man in diesen Ausdrücken immer ein J j,l und ein Ji,k
fassen kann und dafür einen entsprechenden Beitrag δi, j (S(i)−1 )k,l erhält. Das gilt natürlich entsprechend auch
∗ und φ . Man findet also
für die φi,k
j,l
0
hφi∗1 (τ1 )φi∗2 (τ2 ) . . . φi∗n (τn )φ jn (τn0 )φ jn−1 (τn−1
) . . . φ j1 (τ10 )i
0
= ∑ ζ P ∏hφi∗k (τk )φ jP(k) (τP(k)
)
P
k
Dieser Zusammenhang wird häufig als Wicksches Theorem bezeichnet, er ergibt sich hier sofort aus der Form
des Gaussintegrals für Z(J ∗ , J).
2.10
Störungstheorie
Die Resultate für das nicht-wechselwirkende System lassen sich nun benützen, um recht übersichtliche Ausdrücke für die störungstheoretische Behandlung des wechselwirkenden Systems zu bekommen. Wir betrachten
zunächst die Störungsentwicklung für die Zustandssumme. Störungsentwicklungen für Korrelationsfunktionen
können mit Hilfe des Formalismus später leicht berechnet werden. Die Zustandsumme des wechselwirkenden
Systems kann in der Form
!
Z
M
M
φi,k − φi,k−1
∗
∗
+ (εi − µ)φi,k−1 − ε ∑ V ({φi,k , φi,k })
Z = lim D[φ ] exp −ε ∑ φi,k
M→∞
ε
k=1
k=1
*
!+
M
=
lim Z0,M exp −ε
M→∞
= Z0
∑ V ({φi,k∗ , φi,k })
k=1
Z
exp −
0
β
0,M
dτV ({φi∗ (τ), φi (τ)})
0
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2.10. Störungstheorie
27
geschrieben werden, wobei sich der Index 0 bei Z0 und dem Erwartungswert auf das nicht-wechselwirkende
System bezieht. V ({φi∗ (τ), φi (τ)}) ist eine allgemeine Wechselwirkung. Physikalisch sinnvolle Ansätze wären zum Beispiel eine Coulombwechselwirkung oder ähnliche zwei-Teilchen Wechselwirkungen. Eine Störungsentwicklung erhält man, indem man die Exponentialfunktion im Erwartungswert in einer Potenzreihe
entwickelt.
Zβ
Z
Z β
∞
(−1)n β
∗
exp −
dτV ({φi (τ), φi (τ)})
= ∑
dτ1 . . .
dτn
0
0
0
0
n=0 n!
hV ({φi∗ (τ1 ), φi (τ1 )}) . . .V ({φi∗ (τn ), φi (τn )})i0
Für eine konkrete Form der Wechselwirkung hat man auf der rechten Seite Erwartungswerte von Produkten
von Operatoren stehen, die man berechnen mit Hilfe des Wickschen Theorems berechnen kann.
Obwohl man die Störungsentwicklung im Prinzip mit beliebigen Wechselwirkungen durchführen kann,
beschränken wir uns im folgenden auf den wichtigsten Fall einer Zweitteilchenwechselwirkung
V ({φi∗ (τ), φi (τ)}) =
1
Vi, j,k,l φi∗ (τ)φ j∗ (τ)φl (τ)φk (τ)
2 i,∑
j,k,l
Ich nehme im folgenden an, daß Vi, j,k,l in den forderen beiden und in den hinteren beiden Indizes entweder
symmetrisch oder antisymmetrisch ist, je nachdem ob die Teilchen Bosonen oder Fermionen sind. Der n-te
Term in der Entwicklung von der Form
(−1)n
. . . ∑ ∏ Vim jm km lm
2n n! i1 j∑
in jn kn ln m
1 k1 l1
Z β
0
Z β
dτ1 . . .
0
dτn φi∗1 (τ1 )φ j∗1 (τ1 )φl1 (τ1 )φk1 (τ1 ) . . .
φi∗n (τn )φ j∗n (τn )φln (τn )φkn (τn )
Der Erwartungswert in der Summe zerfällt wieder in eine Summe von Produkten der Form hφ ∗ φ i. Man faßt
dabei in dem Erwartungswert jeweils ein φ ∗ und ein φ zu einem Paar zusammen. Dies wird eine Kontraktion
genannt. Dann wird über alle vollständigen Sätze von Kontraktionen summiert. Jede Kontraktion hφi∗ (τ)φ j (τ 0 )i
liefert einen Faktor δi, j gi (τ − τ 0 ). Die gesammte Summe kann übersichtlicher in graphischer Form dargestellt
werden. Diese Darstellung geht auf Feynman zurück, man bezeichnet solche Diagramme als Feynmandiagramme. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, Feynmandiagramme einzuführen. Ich beschränke mich auf eine
Variante, weitere findet man in den angegebenen Lehrbüchern.
Ein Matrixelement Vi, j,k,l wird als ein Punkt dargestellt, von dem vier Linien ausgehen. Jede Linie erhält
einen Index i, j, k, oder l. Die Linien mit den Indizes i und j, die den Erzeugungsoperatoren entsprechen,
werden mit einem Pfeil gekennzeichnet, der von dem Punkt weg zeigt (auslaufende Linie). Die anderen beiden
Linien erhalten einen Pfeil, der zu dem Punkt hin zeigt (einlaufende Linie). Ein Term n-ter Ordnung besteht
aus n solchen Punkten. Die Linien werden nun verbunden, und zwar so, daß eine Linie immer von einem
Punkt zu einem anderen läuft. Jeder Vertex erhält einen Index τ. Jede Linie erhält einen Index i. Sie entspricht
einem Faktor hφi∗ (τ)φi (τ 0 )i = gi (τ − τ 0 ), wobei τ und τ 0 die Indizes an den beiden Vertices sind. Jetzt ist noch
zu beachten, daß unterschiedliche vollständige Sätze von Kontraktionen zu dem gleichen Diagramm führen.
Sie unterscheiden sich die Reihenfolge der τ Indizes an den Vertices. Da über alle τ integriert wird, ist die
Reihenfolge aber unerheblich. Alle diese vollständigen Sätze von Kontraktionen liefern den gleichen Beitrag.
Ihre Anzahl bezeichnet man als Symmtriefaktor des Diagramms. Damit erhält man die folgenden Regeln für
das Zeichnen der Diagramme und das Berechnen der Beiträge:
1. Zeichne alle verschiedenen Diagramme aus n Vertices und Linien zwischen diesen Vertices, wobei die
Linien mit einem Pfeil versehen werden, der von einem Vertex zum anderen zeigt. An jedem Vertex kommen zwei Linien an, von jedem Vertex gehen zwei Linien aus. Zwei Diagramme sind verschieden, wenn
es keine Permutation der Vertices gibt, die das eine Diagramm in das andere überführt. (Die Diagramme
sind mathematisch gesprochen verschiedene gerichtete Graphen, wobei zu beachten ist, das eine Linie
auch einen Vertex mit sich selbst verbinden darf.)
2. Berechne den Symmetriefaktor S des Diagramms. Dazu erhält jeder Vertex einen Index τ. S ist die Anzahl
der Permutationen der Indizes τ, die das Diagramm in sich selbst überführt.
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28
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
3. Jede Linie erhält erhält einen Index i. Für jede Linie wird ein Faktor gi (τ − τ 0 ) hingeschrieben, wobei τ
der Index des Vertex ist, zu dem die Linie läuft, und τ 0 der, von dem sie ausgeht.
4. Für jeden Vertex erhält man einen Faktor Vi, j,k,l , wobei i und j die Indizes der einlaufenden, k und l die
Indizes der auslaufenden Linien sind.
5. Summiere über alle Indizes der Linien, integriere über alle Indizes τ der Vertices von 0 bis β .
6. Multipliziere das Resultat mit einem Faktor
(−1)n ζ nL
2ne S
Dabei ist S der Symmetriefaktor. ne ist die Anzahl von Paaren equivalenter Linien. Zwei Linien sind
equivalent, wenn die vom gleichen Vertex ausgehen und zum gleichen Vertex hinlaufen. nL ist die Anzahl
der Schleifen in dem Diagramm.
7. Addition aller dieser Beiträge liefert den Beitrag n-ter Ordnung zu Z/Z0 .
Es ist instruktiv, sich diese Regeln an einer Reihe von Beispielen zu verdeutlichen. Bei der Durchführung
fällt auf, daß sich die Rechnung vereinfachen läßt, wenn man ln(Z/Z0 ) berechnet. Hierbei treten dann nur
noch zusammenhängende Diagramme auf. Dieses Faktum wird meist als Linked Cluster Theorem bezeichnet.
Es kann auf unterschiedliche Weisen hergeleitet werden. Die direkte Herleitung besteht darin, den Ausdruck
exp(Summe aller zusammenhängenden Diagramme) zu entwickeln und zu zeigen, daß dies gerade die Summe
aller Diagramme liefert, also Z/Z0 .
2.11
Frequenz und Impulsdarstellung
In den meisten Fällen ist es möglich, die oben angegebenen Summen und Integrale im Impulsraum und im
Frequenzraum durchzuführen. Dies funktioniert immer dann, wenn das System translationsinvariant ist. Für
ein translationsinvariantes System sind ebene Wellen V −1/2 exp(ikx) eine geeignete Einteilchenbasis. Dabei
ist V das Volumen des Systems. Der Einfachheit halber sind periodische Randbedingungen angenommen. Die
Einteilchenenergien sind εk . Für ein System, bei dem der Einteilchenanteil nur die kinetische Energie enthält,
ist εk = k2 /(2m). Für einen Festkörper kann man zum Beispiel ein Gittermodell zugrunde legen, dann ist εk
durch die Dispersionsrelation des Gitters gegeben. Wegen der Impulserhaltung gilt
Vk1 k2 k3 k4 ∝ V −1 δk1 +k2 ,k3 +k4
In der Variablen τ sind die Funktionen φ und φ ∗ entweder periodisch (Bosonen) oder antiperiodisch (Fermionen). Daher gilt
1
gk (τ − τ 0 ) = ∑ exp(−iωn (τ − τ 0 ))g̃k (ωn )
β ωn
mit
Z β
g̃k (ωn ) =
=
0
dτ exp(i(ωn − (εk − µ))τ)[θ (τ)(1 + ζ nk ) + ζ θ (−τ)nk ]
1
(εk − µ) − iωn
(2n+1)π
Für Bosonen gilt ωn = 2πn
. Es gilt exp(iβ ωn ) = ζ . Analog zur Impulserhaltung
β , für Fermionen ωn =
β
hat man an jedem Vertex einen Faktor δωn1 +ωn2 ,ωn3 +ωn4 , wobei ωn1 und ωn2 zu den φ ∗ gehören, ωn3 und ωn4 zu
den φ . Die Regeln für die Diagramme lauten in dieser Darstellung wie folgt:
1. wie oben.
2. wie oben.
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2.12. Berechnung von Greenschen Funktionen
29
3. Jeder Linie wird ein Index k zugeordnet. Dabei ist die Impulserhaltung zu berücksichtigen. In einem Diagramm mit m Vertices kann man m + 1 Werte k für die Linien unabhängig wählen, die anderen sind über
die Impulserhaltung fixiert. Ebenso wird jeder Linie ein Frequenzindex zugeordnet. Auch hier können für
Diagramme mit m Vertices m + 1 Werte für ω frei gewählt werden, die anderen sind wegen der Faktoren
δωn1 +ωn2 ,ωn3 +ωn4 an den Vertices fixiert. Für jede Linie erhält man einen Faktor g̃k (ωn ). Für Linien, die an
dem gleichen Vertex beginnen und enden, wird ein zusätzlicher Faktor exp(iωn η) hinzugefügt.
4. Für jeden Vertex wird ein Faktor Vk1 k2 k3 k4 hinzugefügt. Da die Impulserhaltung schon berücksichtigt ist,
kann der Faktor δk1 +k2 ,k3 +k4 weggelassen werden.
5. Summiere über alle k (oder V (2π)−d d d k) und summiere über alle ωn .
R
6. Multipliziere zusätzlich mit einem Faktor β −m , wobei m die Zahl der Vertices ist.
Da jeder Vertex einen Faktor 1/V und jede k-Summe einen Faktor V , enthält ein Diagramm einen Faktor V nc ,
wobei nc die Anzahl der verbundenen Komponenten des Diagramms ist. Wegen des Linked Cluster Theorems
ist also ln(Z/Z0 ) als Summe aller verbundenen Diagramme ∝ V . Da der Logarithmus der großkanonische Zustandssumme (bis auf einen Faktor −1/β ) das großkanonische Potential liefert, muß diese Größe auch extensiv
sein.
2.12
Berechnung von Greenschen Funktionen
Generell kann man Greensche Funktionen mit Hilfe einer Erzeugenden berechnen. Wir hatten dies schon ausführlich am Beispiel des nicht-wechselwirkenden Systems gesehen. Für das wechselwirkende System kann die
Erzeugende ganz genauso definiert werden
#!
"
Z
Z β
1
∂
G(J ∗ , J) =
D[φ ] exp −
dτ ∑ φi∗ (τ)( − µ)φi (τ) + H({φi∗ (τ), φi (τ)})
Z
∂τ
0
i
!
Z
β
× exp −
0
*
=
exp −
dτ ∑[Ji∗ (τ)φi (τ) + φi∗ (τ)Ji (τ)]
i
!+
Z β
0
[Ji∗ (τ)φi (τ) + φi∗ (τ)Ji (τ)]
dτ ∑
i
Hierbei ist hAi der Erwartungswert von A im wechselwirkenden System. Die Greenschen Funktionen können
nun durch Ableitungen von G(J ∗ , J) berechnet werden. Dies gilt natürlich noch ganz allgemein. Wir wollen
im folgenden die Rechnung wie im Fall der Zustandsumme störungstheoretisch durchführen. Wir beginnen mit
dem einfachsten Fall:
Einteilchen-Propagatoren
Wir wollen jetzt störungstheortisch für das wechselwirkende System die Größen
hφi∗ (τ)φ j (τ 0 )i
berechnen. Da bei der Berechnung des Erwartungswertes durch Z dividiert wird, treten in einer diagrammatischen Darstellung nur verbundene Diagramme auf. Analog zu oben erhält man die folgenden Regeln:
1. Zeichne alle verschiedenen, verbundenen Diagramme mit 2 äußeren Linien und m Vertices. Eine der
äußeren Linien entspricht φ ∗ , sie endet an einem Vertex, die andere entspricht φ , sie beginnt an einem
Vertex. Zwei Diagramme sind verschieden, wenn sie nicht durch eine Permutation von inneren Linien
und Vertices ineinander deformiert werden können. Für jedes dieser Diagramme wird der Beitrag wie
folgt berechnet:
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30
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
2. Jeder Vertex erhält einen inneren Index τi . Jede innere Linie erhält einen Index l. Analog zu oben schreibt
man für jede innere Linie einen Faktor gl (τi − τi0 ), wenn sie von dem Vertex mit Index τi zu dem Vertex
mit Index τi0 läuft. Für die einlaufende Linie hat man einen Faktor gi (τ − τi ), für die auslaufende einen
Faktor g j (τi − τ 0 ), wobei τi jeweils der Index des Vertex ist, an dem diese Linie hängt. Für m = 0 hat man
nur einen Faktor g j (τ − τ 0 ).
3. Für jeden Vertex schreibt man einen Faktor Vl1 l2 l3 l4 , wobei l1 und l2 die Indizes der einlaufenden Linien,
l3 und l4 die Indizes der auslaufenden Linien sind.
4. Summiere über alle inneren Indizes l, integriere über alle inneren Indizes τi .
5. Multipliziere das Resultat mit einem Faktor (−1)m ζ nL wobei nL die Zahl der Schleifen ist.
Im Gegensatz zu vorher tritt kein Symmetriefaktor S auf. Das liegt daran, daß die äußeren Linien fest sind.
Erzeugende Funktion für verbundene Greensche Funktionen
Im nächsten Schritt werden wir Regeln zur Berechnung von höheren Greenschen Funktionen aufstellen. Betrachten wir zunächst als Beispiel einen Term der Form
hφi∗1 (τ1 )φi∗2 (τ2 )φ j2 (τ20 )φ j1 (τ10 )i
In 0-ter Ordnung erhält man
hφi∗1 (τ1 )φi∗2 (τ2 )φ j2 (τ20 )φ j1 (τ10 )i0 = hφi∗1 (τ1 )φ j1 (τ10 )i0 hφi∗2 (τ2 )φ j2 (τ20 )i0
− hφi∗1 (τ1 )φ j2 (τ20 )i0 hφi∗2 (τ2 )φ j1 (τ10 )i0
Entwickelt man den ursprünglichen Ausdruck störungstheoretisch, so gibt es in dieser Entwicklung Terme, in
denen die Beiträge von der Wechselwirkung ausschließlich in einem der Faktoren hφ ∗ φ i auftreten. Es treten
aber auch Terme auf, in denen Beiträge der Wechselwirkung in beiden Faktoren vorkommen. Die unterschiedlichen Beiträge lassen sich leicht auseinanderhalten, wenn man sie sich mit Hilfe der Feynmandiagramme aufmalt. Die ersten Beiträge entsprechen Feynmandiagrammen, die in zwei Komponenten zerfallen, die zweiten
Beiträge entsprechen verbundenen Diagrammen. Es gilt
hφi∗1 (τ1 )φi∗2 (τ2 )φ j2 (τ20 )φ j1 (τ10 )i = hφi∗1 (τ1 )φ j1 (τ10 )ihφi∗2 (τ2 )φ j2 (τ20 )i
− hφi∗1 (τ1 )φ j2 (τ20 )ihφi∗2 (τ2 )φ j1 (τ10 )i
+ hφi∗1 (τ1 )φi∗2 (τ2 )φ j2 (τ20 )φ j1 (τ10 )ic
Der Anteil hφi∗1 (τ1 )φi∗2 (τ2 )φ j2 (τ20 )φ j1 (τ10 )ic ist störungstheoretisch als Summe von allen verbundenen Diagrammen gegeben, die anderen beiden Teile haben wir schon berechnet.
Genauso lassen sich Greensche Funktionen mit mehr als 4 Feldern berechnen. Man erhält jeweils den
zusammenhängenden Anteil und Anteile, die sich als Produkte von Greenschen Funktionen mit weniger Feldern schreiben lassen. Um die zusammenhängenden Greenschen Funktionen zu berechnen, ist es sinnvoll, eine
erzeugende Funktion für diese Funktionen direkt herzuleiten. Ähnlich wie im Fall der Zustandsumme die Entwicklung von ln(Z/Z0 ) nur verbundene Diagramme enthält, kann man zeigen, daß
W (J ∗ , J) = ln G(J ∗ , J)
nur verbundene Diagramme liefert. Die Herleitung kann man wieder direkt durchführen, indem man wie im Fall
der Zustandsumme zeigt, daß exp(Summe aller zusammenhängenden Diagramme) die Summe aller Diagramme liefert. Einfacher ist die Verwendung des Replikatricks. Hier wird zunächst überlegt, welche Diagramme
die Funktion G(J ∗ , J)n für natürliche Zahlen n liefert. Dazu führt man einfach von jedem Feld φ und φ ∗ gerade n Kopien φα und φα∗ ein. Da in einer zusammenhängenden Komponente immer Felder mit dem gleichen
Index α vorkommen können, da es ja keine Wechselwirkungen zwischen Feldern mit unterschiedlichen α gibt,
wird jedes Diagramm mit einem Faktor nnC multipliziert, wobei nc die Anzahl der Komponenten ist. In dieser
Entwicklung kann man von natürlichen n auf reelle n fortsetzen und
∂
G(J ∗ , J)n
n→0 ∂ n
W (J ∗ , J) = lim
c
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2.12. Berechnung von Greenschen Funktionen
31
berechnen. Durch den Limes n → 0 fallen alle Terme weg, in denen n in einer Potenz größer als 1 vorkommt,
also alle Terme mit nC > 1. Daher liefert W (J ∗ , J) gerade die Diagramme mit nC = 1, das sind die verbundenen
Diagramme.
Effektives Potential, effektive Wirkung, ...
Es gibt außer W (J ∗ , J) eine ganze Reihe von weiteren erzeugenden Funktionen, die in etlichen Fällen nützlich
sind. Sie alle hier zu erwähnen wäre an dieser Stelle wenig hilfreich. Ich erwähne hier kurz zwei weitere
Funktionen, die in der Literatur häufig verwendet werden, und versuche zu erläutern, wofür diese wichtig sind.
Zum Teil werden wir später in konkreten Anwendungen den Nutzen dieser Funktionen kennenlernen.
W (J ∗ , J) spielt die Rolle eines thermodynamischen Potentials in Gegenwart von äußeren Quellen J ∗ und J.
Eine solche Größe ist vergleichbar mit der freien Energie eines Spinsystems in Gegenwart von einem äußeren
magnetischen Feld. Für ein Spinsystem definiert man
1
F(H) = − Tr exp(−β H({Si }) − H · ∑ Si )
β
i
Die Magnetisierung ist durch
∂ F(H)
∂H
gegeben. In der klassischen statistischen Physik betrachtet man häufig statt der freien Energie F(H) dessen
Legendretransformierte
G(M) = inf(F(H) + MH)
M=−
H
Häufig berechnet man G, indem man aus M(H) durch Inversion H(M) berechnet und dann G(M) = F(H(M))+
MH(M) erhält. Aus G(M) läßt sich F(H) wieder zurückerhalten, indem man die Legendretransformation von
M nach H ausführt. Der Vorteil von G(M) gegenüber F(H) ist das bessere analytische Verhalten. M(H) hat
im Fall eines ferromagnetischen Phasenübergangs beispielsweise einen Sprung als Funktion von H bei H = 0.
F(H) hat also einen Knick bei H = 0. Dagegen ist G(M) eine glatte Funktion von M, für den Ferromagneten
einfach ein Doppelmuldenpotential.
Ganz analog kann man auch für W (J ∗ , J) eine Legendretransformierte einführen. Für endliche Felder J, J ∗
sind die Erwartungswerte
ϕ j (τ) = hφ j (τ)iJ,J ∗ , ϕ ∗j (τ) = hφ j∗ (τ)iJ,J ∗
endlich. Man kann damit eine Legendretransformierte
∗
∗
Γ(ϕ , ϕ) = −W (J , J) − ∑
Z
dτ[ϕ ∗j (τ)J j (τ) + J ∗j (τ)ϕ j (τ)]
j
die häufig als effektives Potential bezeichnet wird. Auf der rechten Seite sind dabei J und J ∗ als Funktionen
von ϕ und ϕ ∗ einzusetzen.
Eine zweite Funktion ist die effektive Wirkung, die durch
Geff (ψ ∗ , ψ) = ln hexp(−V (φ ∗ + ψ ∗ , φ + ψ))i0
definiert ist. Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Renormierung von Fermisystemen, wir werden sie in diesem
Zusammenhang näher untersuchen.
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32
Kapitel 2. Wechselwirkende Fermionen und Bosonen
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Kapitel 3
Fermiflüssigkeiten
Die Theorie der Fermiflüssigkeiten geht auf Landau zurück. Diese Theorie basiert zunächst nicht auf den feldtheoretischen Methoden, die wir bisher kennengelernt haben, sondern auf einem Konzept, das Quasiteilchen
benutzt und sich in der Theorie von Vielteilchensystemen als nützlich erwiesen hat. In diesem Kapitel wird zuerst dieses Konzept kurz vorgestellt und einige physikalische Eigenschaften von Fermiflüssigkeiten hergeleitet.
Anschließend werden wir sehen, wie man die im vorangegangenen Kapitel kennengelernten Methoden nutzen
kann, um die Fermiflüssigkeitstheorie auf eine mikroskopische Grundlage zu stellen. Wir werden weiter sehen,
welche Instabilitäten zum Zusammenbruch der Fermiflüssigkeit führen können.
3.1
Das Quasiteilchenkonzept
Als Ausgangspunkt wählen wir ein nichtwechselwirkendes Gas von Spin- 12 Fermionen mit N Teilchen in einem
~2
k
Volumen V . Die kinetische Energie der Teilchen ist 2m
. Da immer nur zwei Fermionen in einem Zustand zu
gleichem ~k Platz finden, werden wir für den Grundzustand beginnend mit ~k = 0 die Zustände der Reihe nach
auffüllen. Da das System isotrop ist, werden alle Zustände mit |~k| < kF aufgefüllt, wobei der Fermiimpuls kF
durch
N= ∑ 2
|~k|<kF
gegeben ist. Die Energie ist
E=∑
~k,σ
~k2
n(~k, σ )
2m
mit
n(~k, σ ) = θ (kF − |~k|)
Wir nehmen nun an, daß dasSystem durch eine sehr schwach äußere Störung etwas gestört wird. Wenn die
Störung hinreichend klein ist, führt sie einfach zu einer kleinen Änderung δ n(~k) der Besetzungszahlen und
damit zu einer kleinen Änderung
~k2
δE = ∑
δ n(~k, σ )
2m
~
k,σ
der Energie. Da es umso mehr Energie kostet, die Besetzungszahlen zu ändern, je weiter |~k| von kF entfernt ist,
kann man erwarten, daß δ n(~k) nahe kF groß ist und sonst verschwindet.
Jetzt soll die Wechselwirkung der Fermionen adiabatisch eingeschaltet werden. Eine normale Fermiflüssigkeit ist als ein wechselwirkendes Fermisystem definiert, bei dem sich die niedrig liegenden Anregungen
des Systems adiabatisch aus den Anregungen des nichtwechselwirkenden Systems entwickeln. Das ist natürlich eine Annahme. Es besteht die Möglichkeit, daß schon eine beliebig kleine Wechselwirkung ausreicht, um
das System vollständig zu ändern und vollständig andere Eigenschaften zu liefern. Beispielsweise ist de BCSGrundzustand eines Supraleiters ein Zustand, der mit dem nichtwechselwirkenden System nichts zu tun hat.
Wir werden später sehen, daß solche Probleme tatsächlich in wechselwirkenden Fermisystemen auftreten. Im
folgenden soll die obige Annahme aber gelten.
33
34
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
Typische Anregungen in einem nicht-wechselwirkenden Fermisystem sind Teilchen- oder Lochanregungen
sowie Teilchen-Loch-Anregungen. Für die ersten beiden wird zu dem System ein Teilchen hinzugefügt oder es
wird eines entfernt, für die dritte wird ein Teilchen aus einem Zustand entfernt und in einen anderen gesetzt.
Generell können Anregungen durch δ n(~k, σ ) beschrieben werden. Dies soll für das wechselwirkende System
nach Annahme auch gelten. Aus den Teilchen werden somit Quasiteilchen. Nun ist aber klar, daß die Wechselwirkung selber dazu führen wird, daß Teilchen aneinander gestreut werden. Die Quasiteilchen werden also
durch die Wechselwirkung eine endliche Lebensdauer haben. Je höher ihre Anregungsenergie ist, je weiter weg
sich ~k von dem Fermiimpuls befindet, desto kleiner wird die Lebensdauer sein. Die obige Annahme wird also
nur für niedrig liegende Anregungen gelten können.
Die grundlegende Annahme von Landau besteht darin, daß sich eine kleine Störung des Systems wie im Fall
von nicht-wechselwirkenden Fermionen als eine kleine Änderung δ n(~k, σ ) der Besetzungszahlen beschreiben
läßt. Wir machen also den Ansatz
δ E = ∑ ε~k0 δ n(~k, σ ) +
~k,σ
1
2V ~ ~ ∑
0
f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )δ n(~k, σ )δ n(~k0 , σ 0 )
k,k ,σ ,σ 0
Wir nehmen an, daß kein äußeres Magnetfeld anliegt, so daß die Energien ε~0 nicht vom Spin abhängen. Die
k
Wechselwirkung soll ebenso symmetrisch sein, sie kann damit nur von σ ·σ 0 abhängen. Betrachten wir zunächst
die Einteilchenanregungen, die nicht von σ abhängen. Die Energie einer Einteilchenanregung ist
δE
1
ε(~k) =
= ε~k0 + ∑ f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )δ n(~k0 )
V ~0 0
δ n(~k)
k ,σ
∑σ 0 f (~k, σ ,~k0 , σ 0 ) hängt nicht von σ ab. Da die Quasiteilchen adiabatisch aus den Teilchen entstehen, wenn die
Wechselwirkung eingeschaltet wird, hat ihre Verteilung wie die Fermiverteilung eines Sprung bei |~k| = kF . Für
endliche Temperaturen gilt
1
n(~k) =
exp(β (ε(~k) − µ)) + 1
Diese Gleichung ist jetzt aber eine Selbstkonsistenzgleichung für die Besetzungszahlen n(~k), da ε(~k) von n(~k)
abhängt.
Da die Wechselwirkung nur von σ · σ 0 abhängt, kann sie in der Form
f (~k, σ ,~k0 , σ 0 ) = f (~k,~k0 ) + 4σ σ 0 φ (~k,~k0 )
oder
f (~k, σ ,~k0 , σ 0 ) = fo (~k,~k0 ) + δσ ,σ 0 fe (~k,~k0 )
geschrieben werden, wobei
fo = f − φ
fe = 2φ
gilt. σ und σ 0 nehmen die Werte
an. Weiter genügt es, die Wechselwirkung für Werte von ~k und ~k0 zu
kennen, die in der Nähe der Fermifläche liegen. Im isotropen Fall hängt die Wechselwirkung dann nur noch
von dem Winkel θ zwischen ~k und ~k0 ab. Es gilt dann
f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )
= f (θ , σ , σ 0 )
0
± 21
|~k|=|~k |=kF
=
f (θ ) + 4σ σ 0 φ (θ )
∞
=
∑ ( fL + 4σ σ 0 φL )PL (cos θ )
L=0
Aus der Orthogonalität der Legendrepolynome
2L + 1
2
Z 1
−1
PL (cos θ )PL0 (cos θ )d(cos θ ) = δL,L0
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3.2. Gleichgewichtseigenschaften der normalen Fermiflüssigkeit
35
folgt
fL
φL
2L + 1
=
4π
(
Z
dΩPL (cos θ )
f (~k,~k0 )
φ (~k,~k0 )
)
~
|k|=|~k0 |=kF
In vielen Anwendungen genügt es, die ersten paar Koeffizienten fL und φL zu kennen. In diesen Fällen kann
die Theorie auf wenige Parameter zurückgeführt werden und ist sehr gut zu verwenden. In Metallen hat man
dagegen in der Regel keine Rotationssymmetrie und damit einen sehr großen Satz von Parametern. Man muß
dann f (~k,~k0 ) und φ (~k,~k0 ) an der Fermifläche kennen. Die Theorie wird damit deutlich weniger gut handhabbar.
3.2
Gleichgewichtseigenschaften der normalen Fermiflüssigkeit
Ein fundamentaler Parameter der Theorie ist die effektive Masse. Sie ist wie üblich über
kF
0
≡
∇
ε
~
~
k k |~k|=k = vF
m∗
F
definiert. In der Nähe der Fermifläche gilt also
εk0 = µ + (k − kF )
kF
m∗
wobei Isotropie angenommen wurde. Die effektive Masse kann experimentell über die Messung der spezifischen Wärme bei tiefen Temperaturen bestimmt werden.
Spezifische Wärme
Es gilt
1 ∂ E cV =
V ∂ T V
Eine Änderung der Temperatur führt zu einer Änderung der Besetzungszahlen, so daß
cV
=
1
δ E δ n(~k, σ )
∑
V ~ δ n(~k, σ ) δ T
k,σ
=
1
δ n(~k, σ )
ε~k
∑
V~
δT
k,σ
ε~k − µ ∂ (ε~k − µ)
1
∂ n(~k, σ )
=
ε~
−
+
V ~∑ k ∂ ε~k
T
∂T
k,σ
Der Term ∑~k0 f (~k,~k0 )δ n(~k) in ε~k ist O(T 2 ) und kann hier für tiefe Temperaturen vernachlässigt werden. Wir
können also ε~k = ε~0 setzen. Man erhält dann wie auch im Fall von nicht-wechselwirkenden Fermisystemen
k
1
cV = m∗ kF kB2 T
3
Typischerweise ist m∗ größer als m. Für flüssiges 3 He bei Normaldruck ist m∗ = 3m. Es gibt aber sogenannte
Schwere Fermionen, das sind Elektronen in Systemen wie CeCu2 Si2 , UPt3 , CeAl3 , hier wird m∗ /m von der
Größenordnung 102 bis 103 .
Effektive Masse und Wechselwirkung
Daß die effektive Masse nicht gleich m ist, liegt natürlich daran, daß wir es mit wechselwirkenden Fermionen
zu tun haben. m∗ muß also mit der Wechselwirkung zu tun haben. Dieser Zusammenhang kann auf unterschiedliche Weise hergeleitet werden. Ich benutze hier eine Herleitung, die die Gallilei-Invarianz benutzt. Wir
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36
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
betrachten das System in einem Bezugssystem, daß sich mit der (kleinen) Geschwindigkeit δ~v = δ~k/m relativ zum ursprünglichen System bewegt. Der Schwerpunkt bewegt sich also mit δ~v. Die Energie ist also um
δ E = (Nm)~v2 /2 erhöht. Diese Energieänderung kann man auch berechnen, indem man die Ausgangsformel
1
δ E = ∑ ε~k0 δ n(~k, σ ) +
2V ~ ~ ∑
0
~
k,σ
k,k
f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )δ n(~k, σ )δ n(~k0 , σ 0 )
,σ ,σ 0
benutzt und δ n(~k, σ ) = n(~k + δ~k, σ ) − n(~k, σ ) setzt. Der erste Term ist dann
∑ ε~k0 δ n(~k, σ )
=
∑ ε~k0 (n(~k + δ~k, σ ) − n(~k, σ ))
~k,σ
~k,σ
=
0
0
~
∑(ε~k+δ
~k − ε~k )n(k, σ )
~k,σ
=
δ~k2
n(~k, σ )
2m∗ ~∑
= Ne
k,σ
δ k2
2m∗
Für den zweiten Term erhält man
1
2V ~ ~ ∑
0
f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )δ n(~k, σ )δ n(~k0 , σ 0 )
k,k ,σ ,σ 0
=
1
2V ~ ~ ∑
0
f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )(n(~k + δ~k, σ ) − n(~k, σ ))(n(~k0 + δ~k, σ 0 ) − n(~k, σ ))
1
2V ~ ~ ∑
0
f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )(δ~k · k̂)(δ~k0 · k̂0 )δ (k − kF )δ (k0 − kF )
k,k ,σ ,σ 0
=
k,k ,σ ,σ 0
V
4 k2 dkdΩ d 3 k02 dk0 f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )(δ~k · k̂)(δ~k0 · k̂0 )δ (k − kF )δ (k0 − kF )
2(2π)6
Z
Z 1
V δ k2 4 1
=
k
d(cos θ )
d(cos θ 0 ) f (θ − θ 0 ) cos θ cos θ 0
8π 4 F −1
−1
V kF4 2 4
δ k f1
=
8π 4
9
Z
Z
=
Benutzt man, daß ρ = kF3 /(3π 2 ), dann erhält man für den zweiten Term
kF
δ k2
N
e
3π 2
2
Setzt man die Ausdrücke, die man für δ E erhält, gleich, so ergibt sich
1
1
kF
= ∗ + 2 f1
m m
3π
Häufig führt man normierte Entwicklungskoeffizienten
FL = ρF fL
ZL = ρF φL
ein, wobei ρF die Zustandsdichte an der Fermikante ist. Es gilt
ρF
=
1
δ (ε 0 − µ)
V ~∑ ~k
k,σ
=
=
2
4π
(2π)3
m∗ kF
π2
Z
k2 dk δ (ε~k0 − µ)
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3.2. Gleichgewichtseigenschaften der normalen Fermiflüssigkeit
Damit erhält man jetzt
37
m∗
F1
= 1+
m
3
Kompressibilität
Die Kompressibilität einer Flüssigkeit gibt die Änderung des Druckes mit dem Volumen an. Für feste Teilchenzahl gilt
1
∂P
∂P
= −V
=ρ
χ
∂V
∂ρ
Die Kompressibilität ist mit der Schallgeschwindigkeit über die Beziehung
c2 =
1
mρ χ
verknüpft. Anschaulich ist klar, daß die Kompressibilität in einer homogenen Fermiflüssigkeit nur von kugelsymmetrischen Mittelwert von f (~kσ ,~k0 σ 0 ) abhängen kann, also nur von F0 .
Da die freie Energie extensiv ist, gilt
F(T,V, N) = V f (T, ρ)
und damit
P=−
∂F
∂f
= f −ρ
∂V
∂ρ
1
∂2
= ρ 2 2 f (T, ρ)
χ
∂ρ
Mit
µ=
∂F
∂ f (T, ρ)
=
∂N
∂ρ
erhält man
1
∂µ
= ρ2
χ
∂ρ
Die linke Seite läßt sich berechnen, indem man die Beziehung
δE
1
ε(~k) =
= ε~k0 + ∑ f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )δ n(~k0 )
V ~0 0
δ n(~k)
k ,σ
benutzt für k = kF , da µ = ε(kF ). Für die Kompressibilität genügt es, isotrope δ n(~k) = δ n(k) zu betrachten.
Z
0
∂ ε 0 ∂ kF
d 3 k0
∂µ
~k0 ) δ n(k ) ∂ kF
= kF
+∑
f
(k
,
F
∂ρ
∂ kF ∂ ρ
(2π)3
δ kF ∂ ρ
σ0
Es gilt ρ = kF3 /(3π 2 ) und damit ρ ∂∂kρF =
ρ
Man erhält also schließlich
kF
3 ,
weiter
k2
k 2 kF
∂µ
= F∗ + F 3
∂ρ
3m
(2π) 3
∂ εk0
F
∂ kF
Z
∑
=
kF ∂ n(k0 )
m∗ , ∂ kF
= δ (k0 − kF ) und damit
dΩ f (θ , σ σ 0 ) =
σ0
kF2
(1 + F0 )
3m∗
1
ρk2
ρk2 1 + F0
= F∗ (1 + F0 ) = F
χ
3m
m 3 + F1
χ hängt also von F0 ab wie erwartet und außerdem über die effektive Masse auch von F1 . Die Kompressibilität
wird unendlich, wenn F0 = −1 wird. Das System ist dann instabil. Es muß also F0 > −1 gelten. Das ist ein
Spezialfall des Stabilitätskriteriums FL > −(2L + 1), ZL > −(2L + 1), das sich generell zeigen läßt.
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38
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
Magnetische Suszeptibilität
Bisher haben wir nur spinunabhängige Störungen betrachtet. Diese lassen sich mit den Parametern FL in Verbindung bringen. Als nächstes wollen wir eine spinabhängige Störung betrachten. Das einfachste ist ein kleines
magnetisches Feld δ H, das zu einer Magnetisierung δ M führt. Die magnetische Suszeptibilität ist χM = ∂∂ M
H.
Die Magnetisieung ist durch
1
1
δ M = ρ(+ ) − ρ(− ) = 2 ∑ σ ρ(σ )
2
2
σ
gegeben. Wir können sie berechnen, indem wir benutzen, daß das chemische Potential nicht von σ anhängen
darf. Bezeichnet man trotzdem mit µ(σ ) das chemische Potential für Fermionen mit Spin σ , dann gilt in erster
Ordnung
∂ µ(σ ) 0
µ(σ ) = µ0 − σ δ H + 2 ∑
σ δM
0
∂
σ 0 ρ(σ )
und damit wegen µ(+) = µ(−)
δH = 2
∂µ
∑ ∂ ρ(σ 0 ) σ σ 0 δ M
σ ,σ 0
1
∂µ
=2 ∑
σσ0
0
χM
σ ,σ 0 ∂ ρ(σ )
Das Vorgehen ist ähnlich wie im Fall der Suszeptibilität. Ausgangspunkt ist die Formel für die Energien
1
0
ε(~k, σ ) = ε~k,σ
− σ δ h + ∑ f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )δ n(~k0 , σ 0 )
V ~0 0
k ,σ
Für k = kF muß die linke Seite gleich µ sein. Man erhält also
"
#
Z
0
~k0 , σ 0 )
∂ εkσ
∂
n(
∂µ
∂ kF
d 3 k0
0
0
f (kF , σ ,~k , σ )
=
δσ ,σ 0 +
∂ ρ(σ 0 )
∂ ρ(σ 0 ) ∂ kF
(2π)3
∂ kF
kF
2π 2 kF
δσ ,σ 0 + ∗ (F0 + 4σ σ 0 Z0 )
=
2
∗
2m
kF m
4π 2
4π 2
1
=
+
Z0
χM
kF m∗ kF m∗
χM =
kF m∗
4π 2 (1 + Z0 )
Auch hier erkennt man wieder die Stabilitätsbedingung Z0 > −1. Für flüssiges 3 He liegen tyopische Werte von
Z0 zwischen -0.67 bei Normaldruck und -0.76 bei 27 atm. Das System ist also nahe an einer ferromagnetischen
Instabilität.
Stabilität
Wir haben schon erwähnt, daß die Fermiflüssigkeit stabil ist, falls FL , ZL > −2L − 1 gilt. Das soll jetzt noch
gezeigt werden. Die Fermiflüssigkeit ist stabil, falls E − µN ein Minimum annimmt. Wir berechnen also
1
δ (E − µN) = ∑(ε~k0 − µ)δ n(~k, σ ) +
2V ~
~
k,σ
∑
f (~k, σ ,~k0 , σ 0 )δ n(~k, σ )δ n(~k0 , σ 0 )
k,σ ,~k0 ,σ 0
für allgemeine δ n(~k, σ ). Wir betrachten speziell ein isotropes System bei tiefen Temperaturen, lassen also nur
Fluktuationen an der Fermikante zu. Solche Fluktuationen können in der Form
1 ∂ δ (kF − k)
δ n(~k, σ ) = δ (kF − k)δ kF (θ , σ ) −
δ kF (θ , σ )2
2
∂k
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3.3. Mikroskopische Herleitung
39
parametrisiert werden. In erster Ordnung in δ kF (θ , σ ) verschwindet δ (E − µN). In zweiter Ordnung erhält
man
" Z
V
2
δ (E − µN) =
ρF vF ∑ d cos θ δ kF (θ , σ )2
8
σ
#
Z
Z
1
+ ∑ d cos θ d cos θ 0 ( f (θ − θ 0 ) + 4σ σ 0 φ (θ − θ 0 ))δ kF (θ , σ )δ kF (θ 0 , σ 0 )
2 σ ,σ 0
Entwickelt man
δ kF (θ , σ ) = ∑ δ kL (σ )PL (cos θ )
L
so ergibt sich
V
1
1
FL
ρF v2F ∑ (δ kL (+ ) + δ kL (− ))2 (1 +
)
8
2
2
2L
+1
L
1
ZL
1
)
(δ kL (+ ) − δ kL (− ))2 (1 +
2
2
2L + 1
δ (E − µN) =
Die rechte Seite muß positiv definit sein, daraus folgt FL , ZL > −2L − 1.
3.3
Mikroskopische Herleitung
konventionelle Störungsrechnung
Betrachten wie zunächst ein konventionelles, generisches Modell für wechselwirkende Fermionen
H = ∑ ε~k c~† c~k,σ +
k,σ
~k,σ
1
V~k1 ,~k2 ,~k3 ,~k4 c~† c~† c~k4 ,σ4 c~k3 ,σ3
k1 σ1 k2 ,σ2
2 k1 ...k4∑
,σ1 ...σ4
Berechnet man in konventioneller Störungsrechnung die Energie bis in zweite Ordnung, so erhält man
E =
1
∑ ε~k n(~k, σ ) + 2 ∑
~k1 σ1 ,~k2 σ2
~k,σ
V~k1 ,~k2 ,~k1 ,~k2 n(~k1 , σ1 )n(~k2 , σ2 )
1
+
δ~k1 +~k2 ,~k3 +~k4
4 k1 ...k4∑
,σ1 ...σ4
|V~k1 ,~k2 ,~k3 ,~k4 |2
1
2
2
2
2
2m (k1 + k2 − k3 − k4 )
n(~k1 , σ1 )n(~k2 , σ2 )(1 − n(~k3 , σ3 ))(1 − n(~k4 , σ4 ))
+O(V 3 )
Führt man in diesem Ausdruck kleine Variationen der n(~k, σ ) durch, so erhält man
0
ε~k,σ
= ε~k +
∑ V~k,~k ,~k,~k n(~k1 , σ1 )
~k1 ,σ1
1
1
+
1
δ~k+~k1 ,~k2 +~k3
2 k1 ...k3∑
,σ1 ...σ3
−
1
2
|V~k,~k1 ,~k2 ,~k3 |2
~
~
~
n(k1 , σ1 )(1 − n(k2 , σ2 ))(1 − n(k3 , σ3 ))
1
2
2
2
2
2m (k + k1 − k2 − k3 )
|V~k1 ,~k2 ,~k,~k3 |2
δ~k1 +~k2 ,~k+~k3 1 2
n(~k1 , σ1 )n(~k2 , σ2 )(1 − n(~k3 , σ3 ))
2 − k2 − k2 )
(k
+
k
k1 ...k3 ,σ1 ...σ3
2
3
2m 1
3
∑
+O(V )
1 ~
f (k1 , σ1 ,~k2 , σ2 ) = V~k1 ,~k2 ,~k1 ,~k2
V
1
+
2~ ∑
~
k3 ,σ3 ,k4 ,σ4
δ~k1 +~k2 ,~k3 +~k4
|V~k1 ,~k2 ,~k3 ,~k4 |2
1
2
2
2
2
2m (k1 + k2 − k3 − k4 )
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(1 − n(~k3 , σ3 ))(1 − n(~k4 , σ4 ))
40
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
+
1
2~
∑
k3 ,σ3 ,~k4 ,σ4
−
∑
~k3 ,σ3 ,~k4 ,σ4
3
δ~k1 +~k2 ,~k3 +~k4
δ~k1 +~k3 ,~k2 +~k4
|V~k3 ,~k4 ,~k1 ,~k2 |2
1
2
2
2
2
2m (k1 + k2 − k3 − k4 )
|V~k1 ,~k3 ,~k2 ,~k4 |2
1
2
2
2
2
2m (k1 + k3 − k2 − k4 )
n(~k3 , σ3 )n(~k4 , σ4 )
n(~k3 , σ3 )(1 − n(~k4 , σ4 ))
+O(V )
Obwohl diese Rechnung im Prinzip durchführbar ist, erkennt man das typische Problem der Störungsrechnung:
Es treten kleine Energienenner auf. Speziell in höheren Ordnungen treten dadurch Divergenzen auf. Im Prinzip
müssten in so einer Störungsrechnung unendlich viele Terme aufsummiert werden. Das wird in praktischen
Rechnungen auch gemacht, aber typischerweise, indem man für die aufsummierten Größen Integralgleichungen aufstellt und dann diese Integralgleichungen löst. Diese Rechnungen werden natürlich auf der Basis einer
feldtheoretischen Störungsrechnung durchgeführt, wie wir sie im vorangegangenen Kapitel kennengelernt haben. Wie diese Rechnung im Prinzip funktioniert, werden wir uns jetzt ansehen.
Selbstenergie
Analog zu dem nichtwechselwirkenden Propagator setzt man im translationsinvarianten wechselwirkenden System
E 1
D
∗
(τ)φ~k,σ (τ 0 ) = ∑ exp(−iωn (τ − τ 0 ))G~k,σ (ωn )
φ~k,σ
β ωn
Für G~k,σ (ωn ) kann man eine graphische Entwicklung machen. G~k,σ (ωn ) ist durch die Summe aller zusammenhängenden Diagramme mit zwei äußeren Linien gegeben. Formal kann man
G~k,σ (ωn ) =
1
ε~k − µ − iωn + Σ(~k, iωn )
geschrieben werden. Σ(~k, ωn ) wird als Selbstenergie bezeichnet. Entwickelt man G~k,σ (ωn ), so ergibt sich
∞
G~k,σ (ωn ) =
ir−1
h
r
~
(−1)
g̃
(ω
)
Σ(
k,
iω
)
g̃
(ω
)
n
n ~k
n
~k
∑
r=0
Daraus erkennt man, daß Σ(~k, ωn ) diagrammatisch als Summe aller amputierten, ein-Teilchen irreduziblen Diagramme mit zwei äußeren Linien geschrieben werden kann. Dabei bedeutet amputiert, da für die äußeren Linien
kein Faktor g̃~k (ωn ) mitgenommen wird, und ein-Teilchen irreduzibel, daß das Diagramm nicht in zwei Teile
zerfällt, wenn eine Linie durchschnitten wird.
Aus dem Einteilchenpropagator oder auch aus der Selbstenergie lassen sich die Einteilchenenergien bestimmen. Dazu setzt man zunächst den Einteilchenpropagator in die komplexe Ebene fort und führt für reelle
ω die beiden Größen:
1
R/A
G~ (ω) = −
k,σ
ε~k − µ − ω + Σ(~k, ω) ∓ iη
ein. Im allgemeinen wird diese Fortsetzung durchgeführt, indem man
G~k,σ =
Z ∞
dω 0 ρ(~k, ω 0 )
−∞
2π ω 0 − iωn
schreibt und iωn durch ω ersetzt. Zunächst ist zu bemerken, da diese Fortsetzung nicht eindeutig ist. Da
exp(iωn β ) = ζ ist, kann man G natürlich mit einem Faktor ζ exp(iωn β ) multiplizieren, ohne daß der Ausdruck
sich ändert. Damit hätte man in GR/A einen Faktor ζ exp(ωβ ). GR/A sind aber die retardierten und avancierten
Greenschen Funktionen, von denen das asymptotische Verhalten für große ω aus ihrer direkten Berechnung
bekannt ist, sie sind ∝ |ω|−1 . Fordert man dies zusätzlich, dann ist die analytische Fortsetzung eindeutig. Die
Pole von GR/A ergeben die Einteilchenenergien.
ω = ε~k + Σ(~k, ω)
c
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3.3. Mikroskopische Herleitung
41
Daraus ergibt sich
dω
k ∂ Σ ∂ Σ dω
= +
+
dk
m ∂ k ∂ ω dk
Mit
dω
dk
=
k
m∗
erhält man für die effektive Masse
m ∂ Σ −1
∂Σ
m = m 1+
1−
k ∂k
∂ω
∗
auszuwerten bei k = kF .
Es bleibt also, Σ zu berechnen. In erster Ordnung erhält man den Beitrag
1
V~ ~ ~ ~ g̃~ (ω1 ) = ∑ V~k,~k1 ,~k,~k1 n~k1
Σ01 (~k) =
βV ~∑ k,k1 ,k,k1 k1
k1 ω 1
Dieser Beitrag hängt nicht von ω ab. Es ergibt sich also nur eine Verschiebung der Energieskala und damit
eine Verschiebung des chemischen Potentials. Setzt man hier n~k1 = n(~k1 ) = θ (εF − ε~k1 ) mit den ursprünglichen
Einteilchenenergien ε~k1 ein, dann erhält man das störungstheoretische Resultate erster Ordnung. Dieses Resultat
läßt sich verbessern, indem man statt Σ01 die Größe
Σ1 (~k) =
1
V~ ~ ~ ~ G~ (ω1 ) = ∑ V~k,~k1 ,~k,~k1 n~k1
βV ~∑ k,k1 ,k,k1 k1
k1 ω1
berechnet. Hier ist n~k1 die Besetzungszahl des wechselwirkenden Systems, die selbstkonsistent bestimmt wird.
Dieser Beitrag entspricht einer Hartree-Fock Näherung.
In zweiter Ordnung ergibt sich der Beitrag
Σ02 (~k, ωn ) =
+
1
β 2V 2
1
β 2V 2
∑
~k1 ,ωn ,~k2 ,ωn
1
2
∑
~k1 ,ωn ,~k2 ,ωn
1
2
V~k,~k1 ,~k,~k1 V~k1 ,~k2 ,~k1 ,~k2 g̃~k2 (ωn2 )g̃~2k (ωn1 )
1
V~k,~k1 +~k2 −~k,~k1 ,~k2 V~k1 ,~k2 ,~k,~k1 +~k2 −~k g̃~k1 (ωn1 )g̃~k2 (ωn2 )g̃~k1 +~k2 −~k (ωn1 + ωn2 − ωn )
Während der erste Term wie schon der Beitrag erster Ordnung nicht von ωn abhängt, gilt dies für den Beitrag zweiter Ordnung nicht mehr. Auch hier kann man natürlich wieder statt der Propagatoren des nichtwechselwirkenden Systems die des wechselwirkenden Systems einsetzten und eine entsprechende Größe Σ2
berechnen. Macht man dies generell, erhält man für Σ eine Summe von zwei-Teilchen irreduziblen Diagrammen.
Quasiteilchenenergie
Als nächstes suchen wir die Lösungen der Gleichung ω = ε~k + Σ(~k, ω), die die Pole der Greenschen Funktion
liefert. In der ersten Ordnung Σ1 (~k) gibt es wie für das freie System nur eine Lösung für ω. Wir nehmen die
zweite Ordnung mit. In dieser Ordnung treten in Σ2 (~k, ω) Pole auf. Der Einfachheit halber betrachten wir ein
artifizielles Modell, bei dem in Σ2 (~k, ω) nur zwei Pole auftreten, also
Σ2 (ω) =
A1
A2
+
ω − ε1 ω − ε2
Die Greensche Funktion hat bis zu dieser Ordnung die Struktur
G2 (ω) =
=
1
ω − ε0 − Σ2 (ω)
(ω − ε1 )(ω − ε2 )
(ω − ε0 )(ω − ε1 )(ω − ε2 ) − A1 (ω − ε2 ) − A2 (ω − ε1 )
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42
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
Für kleine A1 , A2 , das entspricht dem Fall schwacher Wechselwirkung, gibt es drei Pole, die in der Nähe von ε0 ,
ε1 und ε2 liegen. Die Summe der Residuen ist 1, das Residuum von dem Pol nahe ε0 ist nahe bei 1, die anderen
beiden Residua sind klein. In führender Ordung in Ai sind die Residua
2
Ai
2
i=1 (ε0 − εi )
1− ∑
Ai
,
(ε0 − εi )2
i = 1, 2
Für das allgemeine System ist die Situation ganz analog. Die Greensche Funktion hat einen Pol in der Nähe
von ε~k mit einem reduzierten Residuum. Der Pol in der Nähe von ε~k wird als Quasiteilchen bezeichnet. Seine
Energie ist gerade die Quasiteilchenenergie in der Fermiflüssigkeitstheorie.
Wechselwirkung der Quasiteilchen
Die Wechselwirkung der Quasiteilchen in der Fermiflüssigkeit ist eine effektive Wechselwirkung, also eine
Zweiteilchen-Eigenschaft des Systems. Um sie zu berechnen, benötigen wir die Zweiteilchen-Greensfunktion
E
D
φ~k∗ σ (τ)φ~k∗ σ (τ)φ~k3 σ3 (τ)φ~k4 σ4 (τ)
1 1
2 2
Wir haben schon gesehen, daß man sie in der Form
D
E
D
ED
E
φ~k∗ σ (τ)φ~k∗ σ (τ)φ~k3 σ3 (τ)φ~k4 σ4 (τ)
=
φ~k∗ σ (τ)φ~k4 σ4 (τ) φ~k∗ σ (τ)φ~k3 σ3 (τ)
1 1
2 2
E
ED 2 2
D 1 1
−
φ~k∗ σ (τ)φ~k3 σ3 (τ) φ~k∗ σ (τ)φ~k4 σ4 (τ)
2 2
E
D 1 1
+
φ~k∗ σ (τ)φ~k∗ σ (τ)φ~k3 σ3 (τ)φ~k4 σ4 (τ)
1 1
2 2
c
schreiben kann, wobei der letzte Term den zusammenhängenden Anteil beschreibt. Die ersten beiden Beiträge
beschreiben zwei Quasiteilchen, die nicht miteinander wechselwirken. Die Eigenschaften der Quasiteilchen
selbst sind natürlich durch die Wechselwirkung der Teilchen bestimmt. Der dritte Term enthält die effektive
Wechselwirkung. Er kann in der Form
Z
Z
Z
Z
D
E
D
E
∗
∗
0
0
0
φ~k σ (τ1 )φ~k σ (τ2 )φ~k3 σ3 (τ3 )φ~k4 σ4 (τ4 )
=
∑ ∑ dτ1 dτ2 dτ3 dτ40 φ~k∗ σ (τ1 )φ~k0 σ 0 (τ10 )
1 1
2 2
c
1 1
σ10 σ20 σ30 σ40 ~k0~k0~k0~k0
1 1
1 2 3 4
ED
ED
E
D
φ~k∗ σ (τ2 )φ~k0 σ 0 (τ20 ) φ~k∗0 σ 0 (τ3 )φ~k3 σ3 (τ30 ) φ~k∗0 σ 0 (τ4 )φ~k4 σ4 (τ40 )
2 2
2 2
3 3
4 4
(2)
Γ~ 0 0 ~ 0 0 ~ 0 0 ~ 0 0 (τ10 , τ20 , τ30 , τ40 )
k1 σ1 ,k2 σ2 ,k3 σ3 ,k4 σ4
Γ(2) kann als Wechselwirkung der Quasiteilchen interpretiert werden. In einer störungstheoretischen Entwicklung ist Γ(2) in erster Ordnung gerade die ursprüngliche Wechselwirkung. Generell ist Γ(2) die Summe aller
amputierten, ein-Teilchen irreduziblen Diagramme mit vier äußeren Linien. In dieser Hinsicht ist Γ(2) analog
zur Selbstenergie. Der obige Ausdruck ist in dieser Form allgemein. Nimmt man Translationsinvarianz an,
dann liefern die Summen nur Beiträge für ~ki0 =~ki , σi0 = σi . Führt man weiter die Frequenzen ωn ein, dann können die Integrale berechnet werden und es verbleiben Summen über ωni . Wegen der Energieerhaltung in den
Einteilchenpropagatoren sind auch diese Summen trivial auszuführen. Damit erhält man schließlich die Größe
(2)
(ωn1 , ωn2 , ωn3 , ωn4 )
k1 σ1 ,~k2 σ2 ,~k3 σ3 ,~k4 σ4
Γ~
= δK1 +K2 ,K3 +K4 Γσ1 σ2 σ3 σ4 (K1 , K2 ; K1 − K3 )
wobei diese Gleichung gleichzeitig die Definition von Γ ist. Ferner ist Ki = (ωni ,~ki ). K1 − K3 ist der Impulsübertrag bei der Wechselwirkung. Ähnlich wie die Selbstenergie hängt Γ in erster Ordnung nicht von den
Frequenzen ωn ab, wohl aber in allen höheren Ordnungen. Diese Abhängigkeit drückt die Retardierung der
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3.4. Renormierung
43
Wechselwirkung aus. Die Spinabhängigkeit kann noch vereinfacht werden, wenn man die SU(2) Spinsymmetrie berücksichtigt. Man kann dann Γ in der Form
Γσ1 σ2 σ3 σ4 (K1 , K2 ; K) =
+
1
(δσ σ δσ σ − δσ1 σ4 δσ2 σ3 )Γs (K1 , K2 ; K)
2 1 3 2 4
1
(δσ σ δσ σ + δσ1 σ4 δσ2 σ3 )Γt (K1 , K2 ; K)
2 1 3 2 4
schreiben, wobei Γs den Singulett-Anteil und Γt den Triplett-Anteil von Γ bezeichnet.
In der Fermiflüssigkeitstheorie wird eine effektive Wechselwirkung betrachtet, die nur von den Änderungen
δ n(~k, σ ) abhängt. Das bedeutet, daß der Impulsübertrag verschwindet. Für die Berechnung der effektiven Quasiteilchenwechselwirkung wird man also in K = (ωn ,~k) den Impulsübertrag = 0 setzen. Zudem wird der Limes
tiefer Temperaturen betrachtet, wir werden also den Limes ωn → 0 betrachten. Schließlich werden wir Γ nur für
~ki in der Nähe der Fermikante, also ki ≈ kF berechnen. In diesem Limes liefert Γ die effektive Wechselwirkung
der Fermiflüssigkeitstheorie.
Betrachtet man eine Störungsentwicklung von Γ, so erhält man in erster Ordnung die ursprüngliche Wechselwirkung. Für Impulsübertrag = 0 liefert dies die erste Ordnung von der Quasiteilchenwechselwirkung,
in Übereinstimmung mit der Störungstheorie. Ebenso stimmt auch die zweite Ordnung überein. Man kann
diese Entwicklung wie bei der Selbstenergie dadurch verbessern, daß man statt der Propagatoren des nichtwechselwirkenden Systems eine diagrammatische Entwicklung mit den Propagatoren des wechselwirkenden
Systems macht. Γ ist dann eine Summe über alle zwei-Teilchen irreduziblen Diagramme (statt vorher eine
Summe über alle ein-Teilchen irreduziblen Diagramme, ganz analog zur Selbstenergie). In der Regeln wird
auch Γ als eine Summe unendlich vieler Diagramme berechnet, indem man eine entsprechende Integralgleichung löst. Das Problem ist aber, daß in all diesen störungstheoretischen Entwicklungen Divergenzen auftreten
können, so daß diese Entwicklungen oft nicht durchführbar sind.
3.4
3.4.1
Renormierung
Grundidee
Ein Verfahren, das es erlaubt, mit den in der Störungsrechnung auftretenden Divergenzen umzugehen, ist die
Renormierung. Renormierung ist ein allgemeines Verfahren, daß auf ganz unterschiedliche Modelle in ganz
unterschiedlicher Weise angewandt wird. Wichtig ist, sich möglichst an einem Beispiel die Grundidee klar zu
machen. Wir betrachten an dieser Stelle als Beispiel ein wechselwirkendes, translationsinvariantes Fermionensystem
Z
Z=
D[φ ] exp (S[φ ∗ , φ ])
S[φ ∗ , φ ] = ∑(iωn − ε~k + µ)φK∗ φK −V [φ ∗ , φ ]
K
wobei K = (ωn ,~k, σ ) ein Multiindex ist, der die Matsubarafrequenzen, die Impulsvektoren und den Spin enthält.
Die Wechselwirkung ist hier eine ganz allgemeine Wechselwirkung V [φ ∗ , φ ]. Wir haben im ersten Kapitel der
Vorlesung gesehen, daß man alle zusammenhängenden Propagatoren aus einer erzeugenden Funktion
*
+
W [J ∗ , J] = ln exp(−V [φ ∗ , φ ] + ∑(JK∗ φK + φK∗ JK ))
K
0
durch Ableiten nach den Feldern JK und JK∗ berechnen kann. Dabei ist
R
∗
hA[φ , φ ]i0 =
D[φ ]A[φ ∗ , φ ] exp(∑K (iωn − ε~k + µ)φK∗ φK )
R
D[φ ] exp(∑K (iωn − ε~k + µ)φK∗ φK )
der Erwartungswert im nicht-wechselwirkenden System. Der Einteilchenpropagator im nichtwechselwirkenden
System ist
1
C(K) =
iωn − ε~k + µ
c
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44
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
und hat eine Divergenz für ωn = 0 und ε~k = µ, also gerade für den Fall, der in der Fermiflüssigkeitstheorie
interessiert: Quasiteilchen nahe der Fermikante bei tiefen Temperaturen. Die Idee der Renormierung ist nun
eigentlich relativ einfach: Man führt einen Cutoff Λ ein und integriert in den Integralen zur Berechnung von W
zunächst nur über die Felder φK und φK∗ , für die |iωn − ε~k + µ| > Λ gilt. Die übrig gebliebenen Integrale können
wieder in der Form
*
+
W [J ∗ , J] = ln exp(−VΛ [φ ∗ , φ , J ∗ , J] +
∑
(JK∗ φK + φK∗ JK ))
K: |iωn −ε~k +µ|<Λ
Λ,0
geschrieben werden. Dabei hängt der nichtwechelwirkende Anteil jetzt von Λ ab, dadurch hängt der Mittelwert
von Λ ab, und die neue Wechselwirkung VΛ [φ ∗ , φ , J ∗ , J] hängt explizit von Λ und von den Feldern JK und
JK∗ mit |iωn − ε~k + µ| > Λ ab. In dem neuen Integral sind insbesondere die Divergenzen verschoben, da die ε~k
und eventuell auch µ verschoben sind. Interessiert man sich nur für Propagatoren in der Nähe der Fermikante,
benötigt man zudem die Felder JK und JK∗ in VΛ [φ ∗ , φ , J ∗ , J] nicht und kann diese explizit 0 setzten. Als nächstes
wird ein neuer Cutoff Λ1 eingeführt und es werden alle φK und φK∗ integriert, mit |iωn −ε~k + µ| > Λ1 . Man erhält
wiederum ein neues VΛ1 und verschobene Einteilchenenergien. Iteriert man dieses Verfahren, so erhält man
schließlich eine effektive Theorie, die nur noch Felder mit kleinen |iωn − ε~k + µ| enthält. Das ist die gesuchte
effektive Theorie. A priori ist natürlich nicht klar, daß dieses Verfahren konvergiert. Im allgemeinen wird man
keine Konvergenz erwarten können, lediglich in bestimmten Fällen und für schwache Wechselwirkung läßt sich
die Konvergenz unter Umständen beweisen. Zudem wird das Verfahren technisch oft in unterschiedlicher Weise
durchgeführt: An Stelle von diskreten Schritten kann man den Cutoff kontinuierlich variieren. An Stelle eines
’harten’ Cutoffs kann man einen ’weichen’ verwenden (diese Begriffe werden später genau erklärt). An Stelle
von W kann man mit einer anderen Erzeugenden Funktion rechnen.
3.4.2
Effektive Wirkung
Für Fermisysteme scheint es günstig, statt mit W mit einer anderen Funktion zu rechnen, nämlich mit
Geff [ψ ∗ , ψ] = ln hexp(−V [φ ∗ + ψ ∗ , φ + ψ])i0
Wir hatten diese Größe schon im ersten Kapitel erwähnt und wollen Sie jetzt genauer betrachten. Zunächst gilt
Z0 hexp(−V [φ ∗ + ψ ∗ , φ + ψ])i0 =
Z
D[φ ] exp(∑(iωn − ε~k + µ)φK∗ φK −V [φ ∗ + ψ ∗ , φ + ψ])
K
Z
=
D[φ ] exp(∑(iωn − ε~k + µ)(φK∗ − ψK∗ )(φK − ψK ) −V [φ ∗ , φ ])
K
= exp(∑(iωn − ε~k + µ)ψK∗ ψK )
K
×
Z
D[φ ] exp(∑(iωn − ε~k + µ)φK∗ φK −V [φ ∗ , φ ]
K
− ∑(iωn − ε~k + µ)(φK∗ ψK + ψK∗ φK ))
K
= Z0 exp(∑(iωn − ε~k + µ)ψK∗ ψK +W [C(K)−1 ψK∗ ,C(K)−1 ψK ])
K
und damit
Geff [ψ ∗ , ψ] = ∑ ψK∗ C(K)−1 ψK +W [C(K)−1 ψK∗ ,C(K)−1 ψK ]
K
Da W die Erzeugende für zusammenhängende Propagatoren ist, kann man leicht ausrechnen, daß Geff die
erzeugende für zusammenhängende, amputierte Propagatoren ist. Durch die Faktoren C(K)−1 im Argument
von W wird beim Ableiten das Resultat für jede äußere Linie mit einem Faktor C(K)−1 = (iωn − ε~k + µ)
multipliziert.
−Geff wird auch als effektive Wechselwirkung bezeichnet.
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3.4. Renormierung
3.4.3
45
Renormierungsgleichung für Geff
In diesem Abschnitt werden wir eine Renormierungsgleichung für die effektive Wirkung herleiten. Im Gegensatz zu dem oben beschriebenen Vorgehen werden wir eine kontinuierliche Renormierung vornehmen. Wir
führen dazu einen modifizierten Propagator
CΛ (K) =
ΘΛ (K)
iωn − (ε~k − µ)
ein. Dabei ist ΘΛ (K) eine Abschneidefunktion (cut-off Funktion), unter der man sich am einfachsten einen
’harten’ cut-off
ΘΛ (K) = θ (|ε~k − µ − iωn | − Λ)
vorstellen kann. Da es für analytische Rechnungen unter Umständen günstiger ist, mit einer differenzierbaren
Abschneidefunktion zu rechnen. Für |ε~k − µ −iωn | Λ ist ΘΛ (K) = 1 und CΛ (K) = C(K). Für |ε~k − µ −iωn | Λ ist ΘΛ (K) = 0 und damit CΛ (K) = 0. Ich definiere
∗
GΛ
eff [ψ , ψ]
R
= ln
D[φ ] exp(∑K φK∗ (CΛ (K))−1 φK −V [φ ∗ + ψ ∗ , φ + ψ])
R
D[φ ] exp(∑K φK∗ (CΛ (K))−1 φK )
Für K-Werte mit ΘΛ (K) = 0 tragen in diesem Integral nur φK = 0 bei. GΛ
eff ist dann durch −V gegeben. Für KΛ
Λ
Werte mit ΘΛ (K) = 1 ist Geff durch Geff gegeben. Geff interpoliert zwischen −V und Geff . Das Ziel besteht jetzt
darin, eine Differentialgleichung für GΛ
eff herzuleiten, mit die man mit der Anfangsbedingung −V die effektive
Wirkung berechnen kann. Dazu benutzen wir die Beziehungen
∂
∂
∗
∗ exp(
(η
ψ
+
η
ψ
))
,
F[ψ ∗ , ψ] = F
K
K
∑
K
K
∂ η ∂ η∗
K
∗
η=η =0
Z
D[φ ] exp(∑ φK∗ (CΛ (K))−1 φK + ∑(ηK∗ φK + ηK φK∗ )) = exp(∑ ηK∗ CΛ (K)ηK )
K
K
K
Die zweite Gleichung läßt sich in der Form
+
*
(ηK∗ φK
exp(∑
K
+ ηK φK∗ ))
=
Λ,0
R
Z
D[φ ] exp(∑ φK∗ (CΛ (K))−1 φK )
K
D[φ ] exp(∑K φK∗ (CΛ (K))−1 φK + ∑K (ηK∗ φK + ηK φK∗ ))
R
D[φ ] exp(∑K φK∗ (CΛ (K))−1 φK )
= exp(∑ ηK∗ CΛ (K)ηK )
K
schreiben. Damit gilt
∗
∗
∗
exp(GΛ
eff [ψ , ψ]) = hexp(−V [φ + ψ , φ + ψ])iΛ,0
+
*
∂
∂
∗
∗
∗
= exp −V
,
exp(
(η
(φ
+
ψ
)
+
η
(φ
+
ψ
)))
∑ K K K K K K ∂ η ∂ η∗
K
η=η ∗ =0
∂
∂
∗ Λ
∗
∗ = exp −V
,
exp(
η
C
(K)η
+
(η
ψ
+
η
ψ
))
K
∑ K
∑ K K K K ∂ η ∂ η∗
K
K
η=η ∗ =0
!
∂
∂
∂
∂
Λ
∗
∗ = exp −V
,
exp
C
(K)
exp(
(η
ψ
+
η
ψ
))
K
K
∑
∑
K
K
∂ η ∂ η∗
∂ ψK∗
K
K ∂ ψK
η=η ∗ =0
!
∂
∂
∂
∂
= exp ∑
CΛ (K) ∗ exp −V
exp(∑(ηK∗ ψK + ηK ψK∗ ))
,
∗
∂
ψ
∂
ψ
∂
η
∂
η
K
K
K
K
η=η ∗ =0
!
∂
∂
= exp ∑
CΛ (K) ∗ exp (−V [ψK∗ , ψK ])
∂ ψK
K ∂ ψK
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46
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
Damit erhält man
∂
∂ ∂CΛ (K) ∂
∗
Λ
∗
exp(GΛ
[ψ
,
ψ])
=
∑
eff
∗ exp(Geff [ψ , ψ])
∂Λ
∂
ψ
∂
Λ
∂
ψ
K
K
K
und somit
∂ Λ ∗
G [ψ , ψ] =
∂ Λ eff
∂ ∂CΛ (K) ∂
∑ ∂ ψK ∂ Λ ∂ ψ ∗ GΛeff [ψ ∗ , ψ]
K
K
+∑
K
∗
∗
Λ
Λ
∂ GΛ
eff [ψ , ψ] ∂C (K) ∂ Geff [ψ , ψ]
∗
∂ ψK
∂Λ
∂ ψK
Dies ist die gesuchte Differentialgleichung für GΛ
eff . Es handelt sich hier um eine exakte Renormierungsgleichung. Allerdings ist sofort zu bemerken, daß sich diese Gleichung in der Regel nicht exakt lösen läßt und
daß man auf typischerweise störungstheoretische Näherungen angewiesen ist. Um diese Gleichung weitervzu
∗
behandeln, kann man GΛ
eff in Monome von Faktoren ψK und ψK entwickeln und Differentialgleichungen für die
Entwicklungskoeffizienten herleiten. In dem vorliegenden Fall ist es günstiger, eine Entwicklung der Form
∗
GΛ
eff [ψ , ψ] =
∞
1
∑ 0 ∑ 0 GΛm (K10 , . . . , Km0 ; K1 , . . . , Km )
2
(m!)
K1 ,...,Km K1 ,...,Km
m=0
!
m
∂ ∂ DΛ (K) ∂
ψK∗ ψK
exp ∑
∏
∗
∂
ψ
∂
Λ
∂
ψ
K
K
K
j=1
∑
mit
DΛ (K) = C(K) −CΛ (K) =
1 − ΘΛ (K)
iωn − ε~k + µ
Die Ableitung von GΛ
eff nach Λ liefert zwei Beiträge, einen von der Ableitung der Koeffizienten und einen von
Λ
der Ableitung von D (K). Wegen
∂CΛ (K)
∂ DΛ (K)
=−
∂Λ
∂Λ
liefert der zweite Term einen Beitrag von der Form des ersten in der Renormierungsgleichung von GΛ
eff . Dieser
Term liefert damit keinen Beitrag zur Ableitung der Koeffizienten, lediglich der zweite Term trägt zur Ableitung der Koeffizienten bei. Die Differentialgleichung für die Koeffizienten kann wieder in einer graphischen
Form aufgeschrieben werden. Diese Form ist besonders für Störungsentwicklungen nützlich. In der Störungsentwicklung treten nur ein-Teilchen irreduzible Diagramme auf.
Wir wollen die Gleichungen für die Koeffizienten jetzt in niedrigster Ordnung störungstheoretisch auswer2
ten. Die niedrigste Ordnung, die einen Beitrag zur Ableitung von GΛ
m liefert, ist O(V ). Beachtet man zudem,
daß wir mit einer Zweiteilchenweechselwirkung starten, so sind alle Koeffizienten GΛ
m mit m > 2 zu Beginn
0. Diese Koeffizienten liefern nur höhere Ordnung als O(V 2 ). In O(V 2 ) hat man also nur eine Gleichung für
die Koeffizienten GΛ
2 zu betrachten, wobei auf der rechten Seite auch wieder nur Terme auftreten, die zwei
Λ
Faktoren G2 enthalten. Diese Gleichung lautet
∂ (DΛ (K)DΛ (K 0 )) 1 Λ 0 0
∂ Λ 0 0
0
G (K , K ; K1 , K2 ) = − ∑
G2 (K1 , K2 ; K, K 0 )GΛ
2 (K, K ; K1 , K2 )
∂Λ 2 1 2
∂
Λ
2
0
K,K
i
0
0
Λ
0
0
Λ
0
0
Λ
0
0
− GΛ
(K
,
K;
K
,
K
)G
(K
,
K
;
K,
K
)
+
G
(K
,
K;
K
,
K
)G
(K
,
K
;
K,
K
)
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1 (2)
Da GΛ
kann diese Gleichung direkt in eine Renormierungsgleichung für Γ(2) umgeschrieben wer2 = − βV Γ
den.
∂ (2) 0 0
∂ (DΛ (K)DΛ (K 0 )) 1 (2) 0 0
1
(2)
Γ (K1 , K2 ; K1 , K2 ) =
Γ (K1 , K2 ; K, K 0 )ΓΛ (K, K 0 ; K1 , K2 )
∑0
∂Λ Λ
βV K,K
∂Λ
2 Λ
i
(2)
(2)
(2)
(2)
− ΓΛ (K10 , K; K1 , K 0 )ΓΛ (K 0 , K20 ; K, K2 ) + ΓΛ (K20 , K; K1 , K 0 )ΓΛ (K 0 , K10 ; K, K2 )
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3.4. Renormierung
47
Sie läßt sich noch weiter vereinfachen, wenn man die Translationsinvarianz und die Spinsymmetrie berücksichtigt. Wir hatten oben die Größen
(2)
(ωn1 , ωn2 , ωn3 , ωn4 )
k1 σ1 ,~k2 σ2 ,~k3 σ3 ,~k4 σ4
Γ~
Γσ1 σ2 σ3 σ4 (K1 , K2 ; K) =
+
= δK1 +K2 ,K3 +K4 Γσ1 σ2 σ3 σ4 (K1 , K2 ; K1 − K3 )
1
(δσ σ δσ σ − δσ1 σ4 δσ2 σ3 )Γs (K1 , K2 ; K)
2 1 3 2 4
1
(δσ σ δσ σ + δσ1 σ4 δσ2 σ3 )Γt (K1 , K2 ; K)
2 1 3 2 4
eingeführt, wobei hier der Index K nur noch ~k und ωn enthält. Damit kann man entsprechende Gleichungen für
Γs und Γt einführen, sie lauten
3
∂
r
r
Γα (K1 , K2 ; K) = ∑ ∑ Cα,α
0 ,α 00 βα 0 ,α 00 (K1 , K2 ; K)
∂Λ
r=1 α 0 ,α 00 =s,t
βα1 0 ,α 00 (K1 , K2 ; K) =
1
2βV
∑
K0
∂ (DΛ (K1 − K 0 )DΛ (K2 + K 0 ))
Γα 0 (K1 , K2 ; K 0 )Γα 00 (K1 − K 0 , K2 + K 0 ; K − K 0 )
∂Λ
βα2 0 ,α 00 (K1 , K2 ; K) = −
βα3 0 ,α 00 (K1 , K2 ; K) =
1
βV
1
βV
∑
K0
∂ (DΛ (K 0 )DΛ (K 0 + K))
Γα 0 (K1 , K 0 ; K)Γα 00 (K 0 + K, K2 ; K)
∂Λ
∂ (DΛ (K 0 )DΛ (K2 − K1 + K 0 + K))
Γα 0 (K2 , K 0 ; K2 + K − K1 )
∑0
∂
Λ
K
×Γα 00 (K2 − K1 + K + K 0 , K1 ; K2 + K − K1 )
1
1
Csss
= Cttt
= 1,
1
Cα,α
0 ,α 00 = 0 sonst
1
3
2
3
2
3
Csss
= −Csss
= − , Csαα
sonst
0 = −Csαα 0 =
4
4
1
5
2
3
2
3
sonst
Cttt
= Cttt
= , Ctαα
0 = Ctαα 0 =
4
4
Im allgemeinen kann man diese Gleichungen nicht analytisch lösen. Zum zweiten ist keinesfalls garantiert,
daß diese Gleichungen zu nicht-divergenten Resultaten führen. Es ist bekannt, daß bei hinreichend tiefen Temperaturen eine Divergenz auftritt, die zu einer supraleitenden Instabilität gehört. Das System ist dann keine
Fermiflüssigkeit mehr, sondern ein Supraleiter. Dieser Effekt heißt Kohn-Luttinger Effekt. Er wurde von Kohn
und Luttinger in einer Störungsrechnung zweiter Ordnung 1965 gefunden (Phys. Rev. Lett. 15, 524 (1965))
und läßt sich mathematisch exakt untersuchen (siehe hierzu eine Reihe von Arbeiten von Knörrer, Trubowitz,
Feldman, Sinclair, Salmhofer). Es gibt aber Hinweise darauf, daß für schwache Wechselwirkung und nicht zu
niedrige Temperaturen die Renormierungsgleichungen endliche Resultate liefern. In diesen Fällen verhält sich
das System dann tatsächlich wie eine Fermiflüssigkeit.
3.4.4
Das Hubbardmodell I, Renormierung
Das Hubbardmodell ist ein Modell für Elektronen auf einem Gitter. Es wird meist in der Form
H=
†
∑ tx,y cx,σ cy,σ +U ∑ nx,↑ nx,↓
x,y,σ
x
geschrieben. Für ein translationsinvariantes Gitter mit einem Band kann man Fourier-transformieren und erhält
H = ∑ ε~k c~† c~k,σ +
~k,σ
k,σ
U
c~† c~† 0 c~k0 −~q,↓ c~k+~q,↑
k,↑ k ,↓
Ns ~ ∑
~0
k,k ,~q
wobei Ns die Anzahl der Gitterplätze ist. Wir kommen auf allgemeine Resultate für dieses Modell im nächsten
Abschnitt zurück, in diesem Unterabschnitt wollen wir Resultate von Renormierungsrechnungen für dieses
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48
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
Abbildung 3.1: Linien konstanter Energie ε~k in der Brillouin-Zone für t 0 = 0 (a) und t 0 = −0.16 (b).
π
ky
0
−π
−π
(a)
π
0
kx
π
0
kx
π
ky
0
−π
−π
(b)
Modell kennenlernen. Viele dieser Resultate sind generisch, das Hubbardmodell beschreibt damit eine typische
Fermiflüssigkeit. Die in diesem Abschnitt vorgestellten Resultate sowie die Abbildungen entstammen der Arbeit: Renormalization group analysis of the 2D Hubbard model von Christoph J. Halboth und Walter Metzner,
preprint cond-mat/9908471.
Ausgangspunkt für die Renormierungsrechnung ist das Hubbardmodell auf einem Quadratgitter. Es gilt
also
ε~k = −2t(cos kx + cos ky ) − 4t 0 (cos kx cos ky )
wobei −t das Hüpfmatrixelement tx,y für benachbarte Gitterplätze x und y ist, −t 0 das Matrixelement für übernächste Nachbarn. In allen anderen Fällen gilt tx,y = 0. Die ε~k kann man bildlich durch Linien konstanter Energie
in der (kx , ky )-Ebene darstellen, siehe Abbildung 3.1.
Die Wechselwirkung ist
U
∗
V [φ ∗ , φ ] =
φK∗ 0 ,↓ φK 0 −Q,↓ φK,↑
∑0 φK,↑
Ns K,K
,Q
Die Matrixelemente der Wechselwirkung sind also unabhängig von K, K 0 , und Q. Im folgenden geht es darum,
die Renormierungsgleichungen in der angegebenen Näherung numerisch zu lösen. Dazu sind verschiedene
zusätzliche Näherungen und Annahmen nötig (die in der Vorlesung deutlich ausführlicher diskutiert werden,
als hier. Details findet man in der zitierten Arbeit von Halboth und Metzner.):
1. Zuerst benötigt man eine geeignete Diskretisierung im ~k-Raum. Hat man N Punkte im ~k-Raum für die
Diskretisierung ausgewählt, so gibt es O(N 3 ) Kopplungen. N kann also nicht zu groß gemacht werden.
Ein typischer Wert ist N = 16.
2. Die Abhängigkeit von Γ von den ωn wird vernachlässigt.
3. Da N so klein ist, man aber genaue Ergebnisse auf der Fermifläche haben will, legt man die Punkte
der Diskretisierung auf die Fermikante. Bei der Rechnung treten auch Γ auf mit Indices, die nicht auf
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3.4. Renormierung
49
Abbildung 3.2: Die Diskretisierung der Fermikante. Die späteren Resultate beziehen sich auf die hier angegebene Nummerierung der Winkel.
π
ky
5
6
4
7
3
8
2
9
0
1
10
16
11
15
12
14
13
−π
−π
0
kx
π
der Fermikante liegen. Die Werte für die Wechselwirkung werden durch die Werte angenähert, die man
erhält, wenn man die ~k auf die Fermifläche projiziert. Für große Λ ist das exakt, da Γ dann konstant ist.
Für kleine Λ treten überhaupt nur noch Γ auf mit Indices nahe der Fermikante, auch hier ist die Näherung
gut.
4. In der Nähe der Ecken der Fermifläche sollte die Diskretisierung enger gewählt werden als auf den
geraderen Stücken.
Die Näherung durch die Projektion ergibt
Λ~
~ ~ ~0 ~0
~ ~0 ~
~
~0
ΓΛ
α (k1 , k2 ; k1 , k2 ) ≈ Γα (kF1 , kF2 ; kF1 , kF1 + kF2 − kF1 )
Anstelle der ~kF kann man den Winkel angeben, der die Richtung von ~kF bestimmt. Man erhält dann
Λ
0
~ ~ ~0 ~
~
~0
ΓΛ
α (kF1 , kF2 ; kF1 , kF1 + kF2 − kF1 ) = Γα (φ1 , φ2 ; φ1 )
Die Diskretisierung, die für die Numerik verwendet wurde, ist in Abbildung 3.2 angegeben.
Neben den effektiven Wechselwirkungen werden im folgenden immer Resultate für eine Reihe von Suszeptibilitäten angegeben. Eine divergierende effektive Wechselwirkung deutet auf eine Instabilität des Systems
hin. Divergiert eine Suszeptibilität gleichzeitig, erkennt man daran, welche Art von physikalischer Instabilität
vorliegt. Folgende Suszeptibilitäten werden berechnet:
1. kommensurable antiferromagnetische Spinsuszeptibilität χS (π, π),
2. incommensurable antiferromagnetische Spinsuszeptibilitäten χS (~q) mit ~q = (π − δ , π) oder ~q = (1 −
δ )(π, π). Dabei ist δ = 1 − Ne /Ns die Dotierung, also die Abweichung von halber Füllung.
3. kommensurable Ladungssuszeptibilität χC (π, π) ,
4. Verschiedene Singlet-Paar√Suszeptibilitäten für s-Wellen (Formfaktor d(~k) = 1), modifizierte s-Wellen
√
(d(~k) = (cos kx + cos ky )/ 2), d-Wellen mit Symmetrie dx2 −y2 (Formfaktor d(~k) = (cos kx − cos ky )/ 2)
und mit Symmetrie dxy (d(~k) = sin kx sin ky ).
Die Resultate, die im folgenden gezeigt werden, sind Resultate für U = t. Die Resultate für die Suszeptibilitäten
sind in Einheiten der Suszeptibilität für U = 0 angegeben. Alle Resultate sind nahe halber Füllung und für
kleine t 0 . Wir werden im folgenden Abschnitt sehen, daß das Hubbardmodell bei halber Füllung, d.h. einem
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50
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
~
Abbildung 3.3: Fluß der Singlet-Funktionen ΓΛ
s für verschiedene k-Werte. Die Werte entsprechen den Punkten
in Abbildung 3.2. Gezeigt sind diejenigen Kopplungen, die sich am stärksten verändern. Die untere Abbildung
zeigt die Suszeptibilitäten. Es ist t 0 = 0 und µ = −0.005, das entspricht einer Dichte knapp unterhalb von halber
Füllung. Man erkennt, daß das System eine Instabilität zu einem antiferromagnetischen Verhalten zeigt.
50
Γs(1,1;5)
Γs(1,5;1)
Γs(1,1;9)
Γs(1,9;1)
Γs(1,9;5)
Γs(3,3;11)
Γs(3,11;3)
Γs(2,10;2)
Γs(2,10;4)
Γs(i1,i2;i3)/t
40
30
20
10
0
0.01
0.1
(a)
Λ/t
1
100
χ/χ
0
10
sdw (π,π)
sdw (π−δ,π−δ)
sdw (π,π−δ)
cdw (π,π)
sc dx2-y2
sc dxy
sc s, sc xs
1
0.1
0.01
(b)
0.1
Λ/t
1
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3.4. Renormierung
51
Abbildung 3.4: Wie Abbildung 3.3, aber mit µ = −0.02.
50
Γs(1,1;5)
Γs(1,5;1)
Γs(1,1;9)
Γs(1,9;1)
Γs(1,9;5)
Γs(3,3;11)
Γs(3,11;3)
Γs(2,10;2)
Γs(2,10;4)
40
Γs(i1,i2;i3)/t
30
20
10
0
-10
-20
0.01
(a)
100
0.1
Λ/t
1
sdw (π,π)
sdw (π−δ,π−δ)
sdw (π,π−δ)
cdw (π,π)
sc dx2-y2
sc dxy
sc s, sc xs
χ/χ
0
10
1
0.1
0.01
(b)
0.1
Λ/t
1
Elektron pro Gitterplatz, einen Antiferromagneten beschreibt. Dieser antiferromagnetische Zustand sollte auch
für Dichten in der Nähe von halber Füllung noch stabil sein. Das zeigen die Resultate in Abbildung 3.3. Bewegt
man sich von halber Füllung weiter weg, sollte der Antiferromagnet nicht mehr stabil sein. In diesem Fall sollte
man erwarten, daß aufgrund der Kohn-Luttinger Instabilität das System supraleitend wird. Das wird tatsächlich
beobachtet, siehe Abbildung 3.4. Man erkennt deutlich, daß die Spinsuszeptibilitäten zunächst ansteigen, dann
aber am einem bestimmten Λ nicht weiter oder kaum noch anwachsen. Dann zeigt sich plötzlich die d-Wellen
Supraleitung, die das Verhalten dominiert. Führt man entsprechende Rechnungen für viele Parameter durch,
kann man ein Phasendiagramm des Hubbardmodells für kleine U und nahe halber Füllung ableiten, siehe
Abbildung 3.5. Abbildung 3.6 zeigt schließlich das kritische Λc , bei dem die Divergenz auftritt. Für kleine
t 0 6= 0 können entsprechende Rechnungen durchgeführt werden. Man erkennt, daß der Bereich, in dem das
Modell antiferromagnetisch wird, deutlich kleiner wird.
Als ersten Eindruck aus diesen Ergebnissen bleibt, daß das Hubbardmodell keine Fermiflüssigkeit beschreibt. Daß ist sicher nicht richtig. Die präsentierten Ergebnisse sind alle für sehr tiefe Temperaturen. Erhöht
man die Temperatur, so sollte der Supraleiter instabil werden und das System wird zu einer Fermiflüssigkeit.
Lediglich bei halber Füllung ist bis zu höheren Temperaturen mit einem Antiferromagneten zu rechnen. Allerdings sollte man bemerken, daß diese Rechnungen ein systematisches Problem haben: Ausgangspunkt war
eine Entwicklung der Renormierungsgleichungen bis in zweite Ordnung. Eine solche Entwicklung ist nur gut,
solange die effektive Wechselwirkung klein ist. Da aber Wechselwirkungen divergieren, sollte man erwarten,
daß der Gültigkeitsbereich dieser Näherung verlassen wird, bevor das System die Divergenz erreicht hat. Der
Status der Resultate ist damit nicht ganz klar. Das ist ein grundsätzliches Problem beim Hubbardmodell: Es
gibt kein wirklich befriedigendes Näherungsverfahren, das zuverlässige Resultate liefert. Man ist in der Regel
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52
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
Abbildung 3.5: Ein Phasendiagramm des Hubbardmodells für kleine U und nahe halber Füllung, t 0 = 0, das
sich aus den Renormierungsrechnungen ergibt.
2
U/t
sdw
sc d
1
sdw (π,π)
sdw (π,π−δ)
sc dx2-y2
0
0
0.02
0.04 0.06
-µ/t
0.08
0.1
Abbildung 3.6: Das kritische Λc , bei dem die Rechnungen divergieren.
0.025
Λc/t
0.02
0.015
sdw (π,π)
sdw (π,π−δ)
sc dx2-y2
Λc = 2|µ|
Λc = |µ|
0.01
0.005
0
0
0.01
0.02 0.03
-µ/t
0.04
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0.05
3.5. Ergänzung: Das Hubbardmodell II, Allgemeine Resultate
53
auf verschiedene Verfahren angewiesen, die sich gegenseitig ergänzen. Dazu gehören auch numerische Simulationen. Es gibt wenige exakte Resultate zum Hubbardmodell, die als feste Stützen in dem Verständnis dieses
Modells dienen.
3.5
Ergänzung: Das Hubbardmodell II, Allgemeine Resultate
Der Hamiltonoperator des Hubbardmodells ist
H = Hkin + HWW =
†
†
†
∑ tx,y cx,σ cy,σ +U ∑ cx↑ cx↓ cx↓ cx↑
x
x,y,σ
Dieses Modell wurde unabhängig voneinander von J. Hubbard (Proc. Roy. Soc. A276, 238 (1963)), von J.
Kanamori (Prog. Theor. Phys. 30, 275 (1963)) und von M.C. Gutzwiller (Phys. Rev. Lett. 10, 159 (1963))
vorgeschlagen. Es wird zur Beschreibung von Systemen mit einem Metall-Isolator Übergang, zur Beschreibung
von Ferro-, Antiferro- und Ferrimagnetismus benutzt. Unter dem Namen Pariser-Paar-Pople Modell dient es in
der Chemie zur Beschreibung von π-Elektronensystemen. In jüngster Zeit dient es als Modell zur Beschreinung
von Hochtemperatursupraleitern, zumindest im normalleitenden Zustand.
Generell beschreibt man mit diesem Modell stark wechselwirkende, also korrelierte Elektronen. Die Wechselwirkung U ist dann ebenso groß oder größer als typische Werte von txy . Deshalb fällt es eigentlich aus dem
Rahmen dieses Kapitels. Lediglich für schwache Wechselwirkung (und evt. wegen der Kohn-Luttinger Instabilität für nicht zu tiefe Temperaturen) ist der Grundzustand eine Fermiflüssigkeit. Der Vollständigkeit halber
sollen hier aber trotzdem einige wichtige Fakten des Modells zur Sprache kommen.
3.5.1
Symmetrien des Hubbardmodells
Eichsymmetrie:
c†xσ → exp(iα)c†xσ ,
cxσ → exp(−iα)cxσ
Der Hamiltonoperator ist unter dieser Transformation invariant. Als Konsequenz ist die Teilchenzahl Ne =
†
∑~nσ c~nσ c~nσ eine Erhaltungsgröße.
Spinsymmetrie: Mit Hilfe der Paulimatrizen
0 1
0 −i
σx =
, σy =
,
1 0
i 0
σz =
1 0
0 −1
kann man lokale Spinoperatoren
Sα,x =
h̄
c†xσ (σα )σ ,σ 0 cxσ 0 ,
2 σ∑
,σ 0
α = x, y, z
und globale Spinoperatoren
Sα = ∑ Sα,x
x
einführen. Häufig arbeitet man auch mit Auf- und Absteigeoperatoren
S± = Sx ± iSy ,
S+ =
h̄
c†x↑ cx↓ ,
2∑
~n
†
S− = S+
Die Operatoren erfüllen eine SU(2)-Symmetrie. Es gelten die Vertauschungsrelationen
[Sx , Sy ] = ih̄Sz
und zyklisch. Außerdem vertauschen diese Operatoren mit H, so daß H, S2 und Sz (oder eine andere Komponente) gleichzeitig diagonalisiert werden können.
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54
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
Teilchen-Loch Transformation. Unter der Transformation
c†xσ → cxσ ,
cxσ → c†xσ
transformiert sich der Hamiltonoperator
H → H0 =
†
†
†
∑ tx,y cxσ cyσ +U ∑ cx↑ cx↓ cx↓ cx↑
x
x,y,σ
= −
†
∑ tx,y cyσ cxσ +U ∑(1 − cx↑ cx↑ )(1 − cx↓ cx↓ )
x
x,y,σ
= −
†
†
∑
~n,~n0 ,σ
tx,y c†xσ cyσ +U ∑ c†x↑ c†x↓ cx↓ cx↑ +U(N − Ne )
x
Die Teilchen-Loch Transformation ist also im Allgemeinen keine Symmetrie-Transformation des Hubbardmodells. Sie ist aber nützlich, da sie erlaubt, Eigenzustände des Hubbardmodells in andere zu transformieren.
Oft hat man ein Gitter, das in zwei Untergitter A und B zerfällt, so daß tx,y = 0 gilt, wenn x und y auf dem
gleichen Untergitter liegen. Beispiel: Quadratgitter oder kubisches Gitter mit nichtverschwindenden Matrixelementen tx,y nur für benachbarte Gitter. Solche Gitter heißen paare Gitter. Auf diesen Gittern kann man die
Transformation
c†xσ → c†xσ fallsx ∈ A, c†xσ → −c†xσ fallsx ∈ B
Diese Transformation verändert das Vorzeichen der kinetischen Energie. Führt man diese Transformation zusammen mit der Teilchen-Loch Transformation durch, so geht der Hamiltonoperator bei halber Bandfüllung
(d.h. Ne = N) in sich über. Damit hat man also eine weitere Symmetrie.
Weitere Symmetrien. Das Hubbardmodell hat in speziellen Fällen weitere Symmetrien. Auf einem paaren
Gitter bei halber Füllung gilt es statt der SU(2) eine SU(2) × SU(2) = SO(4) Symmetrie. Es wird sogar eine
approximative SO(5)-Symmetrie für das Hubbardmodell diskutiert, besonders im Hinblick auf die Hochtemperatursupraleiter. In einer Dimension gibt es viele zusätzliche Symmetrien. In diesem Fall kann man das
Hubbardmodell sogar exakt lösen, und zwar mittels des Bethe-Ansatz. Das ist ein spezieller Ansatz für Eigenzustände von eindimensionalen Modellen. Für das Hubardmodell stammt diese Lösung von E. Lieb und F. Wu
(Phys. Rev. Lett. 20, 1445 (1968)).
3.5.2
Das Hubbardmodell bei halber Füllung: Antiferromagnetismus
Der Hamiltonoperator des Hubbardmodells
H=
†
x
kann in der Form
H=
†
†
∑ tx,y cx,σ cy,σ +U ∑ cx,↑ cx,↓ cx,↓ cx,↑
x,y,σ
2U
1
∑ tx,y cx,σ cy,σ − 3h̄2 ∑~Sx2 + 2 UNe
†
x,y,σ
x
geschrieben werden. In der zweiten Form erkennt man deutlich, daß die Wechselwirkung versucht, den Spin
pro Gitterplatz zu maximieren. Ist U sehr groß und ist Ne = N (halbe Füllung), dann hat man ein Elektron
pro Gitterplatz. In welcher Richtung ist der Spin der Elektronen ausgerichtet. Man kann in einem Zustand, bei
dem jeder Gitterplatz einfach besetzt ist, virtuelle Hüpfprozesse zulassen. Dabei hüpft ein Elektron von einem
Gitterplatz auf einen anderen und sofort wieder zurück. Der Zwischenzustand ist wegen der Wechselwirkung
um die Energie U höher als der Grundzustand. Jedes Hüpfen hat ein Matrixelement t, so daß der Energiegewinn
für diesen Prozeß von der Größenordnung t 2 /U sein wird. Allerdings ist dieser Prozeß nur möglich, wenn das
Elektron, das auf einen besetzten Gitterplatz hüpft, einen anderen Spin hat als das Elektron, das sich dort
befindet. Das bedeutet, daß man die Energieabsenkung durch virtuelle Hüpfprozesse nur bekommen kann,
wenn Elektronen auf benachbarten Giterplätzen einen umgekehrten Spin haben. Diese Situation liegt in einem
Antiferromagneten oder allgemeiner in einem Ferromagneten vor.
Diese Überlegung kann man noch formalisieren. Dazu führen wir eine unitäre Transformation
H → exp(S)H exp(−S)
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3.5. Ergänzung: Das Hubbardmodell II, Allgemeine Resultate
55
durch mit dem Ziel, die kinetische Energie im Hamiltonoperator, die ja doppelt besetzte Plätze erzeugt, zu
eliminieren. Dazu machen wir für S den Ansatz
†
S=
∑ sx,y,σ cx,σ cy,σ
x,y,σ
und werten die Transformation störungstheoretisch aus. Dann gilt
1
H → HWW + Hkin + [S, HWW ] + [S, Hkin ] + [S, [S, HWW ]] + · · ·
2
Es ist wichtig zu beachten, daß man Hkin in der Form
Hkin = Hkin,0 + Hkin,1
zerlegen kann. Hkin,0 ist der Anteil, der die Anzahl doppelt besetzter Plätze nicht verändert, Hkin,1 verändert
sie um ±1. Es gilt
Hkin,1 = ∑ tx,y (nx,−σ − ny,−σ )2 c†x,σ cy,σ
x,y,σ
Ich wähle S so, daß
Hkin,1 + [S, HWW ] = 0
gilt. Damit hat man
1
H → Heff = HWW + Hkin,0 − [S, [S, HWW ]] + · · ·
2
Es gilt
[S, HWW ] = −U
†
∑ sx,y,σ (nx,−σ − n~ny,−σ )cx,σ cy,σ
x,y,σ
und damit
tx,y
(nx,−σ − ny,−σ )
U
Sei P0 der Projektor auf Zustände, bei denen jeder Gitterplatz einfach besetzt ist. Beschränkt man sich in Heff
von vornherein auf diese Zustände, so gilt
sx,y,σ =
Heff = P0 SHWW SP0
= UP0 S2 P0
tx0 ,y0
tx,y
= UP0 ∑
(nx,−σ − ny,−σ )c†x,σ cy,σ ∑
(nx0 ,−σ 0 − ny0 ,−σ 0 )c†x,σ 0 cy0 ,σ 0 P0
U
U
x,y,σ
x0 ,y0 ,σ 0
1
2 †
cx,σ cy,σ c†y,σ 0 cx,σ 0 P0
= − P0 ∑ tx,y
U x,y,σ ,σ 0
=
1
1
2 †
2
P0 ∑ tx,y
cx,σ cy,σ 0 c†y,σ 0 cx,σ P0 − ∑ tx,y
U x,y,σ ,σ 0
U ~n,~n0
=
∑
x,y
2
2tx,y
~Sx · ~Sy P0
U
1
1
2 †
+ P0 ∑ tx,y
cx,σ cx,σ c†y,σ 0 cy,σ 0 P0 −
U x,y,σ ,σ 0
U
=
∑
x,y
2
∑ tx,y
x,y
2
2tx,y
~Sx · ~Sy P0
U
In diesem Modell sieht man deutlich die antiferromagnetische Kopplung. Benachbarte Spins werden sich antiparallel ausrichten. Dieser effektive Hamiltonoperator ist das antiferromagnetische Heisenbergmodell. Auf
dem kubischen Gitter in drei Dimensionen hat dieses Modell eine kritische Temperatur, unterhalb derrer eine
langreichweitige Ordnung der Spins auftritt. In zwei Dimensionen gibt es eine langreichweitige Ordnung nur
bei T = 0 (Mermin-Wagner Theorem).
Eine Rechnung, wie wir sie hier durchgeführt haben, kann man in systematischer Weise auch mit kontinuierlichen unitären Transformationen durchführen. Das erlaubt einem die systematische Entwicklung eines
effektiven Hamiltonoperators auch abseits von halber Füllung und in beliebig hohen Ordnungen.
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56
3.5.3
Kapitel 3. Fermiflüssigkeiten
Ferromagnetismus im Hubbardmodell
Ausgangspunkt:
H=
2U
1
∑ tx,y cx,σ cy,σ − 3h̄2 ∑~Sx2 + 2 UNe
†
x,y,σ
x
Mean-field Rechnung:
~Sx2 = (~Sx − h~Sx i)2 + 2~Sx · h~Sx i − h~Sx i2 ≈ 2~Sx · h~Sx i − h~Sx i2
Translationsinvarianz, Isotropie:
h~Sx i = ~Sm.f. = S~ez
~Sx · h~Sx i = S h̄ (c† cx,↑ − c† cx,↓ )
x,↓
2 x,↑
Hm.f. =
=
†
∑ tx,y cx,σ cy,σ −
x,y,σ
∑(ε~k −
~k,σ
1
2US
2UN 2
(c†x,↑ cx,↑ − c†x,↓ cx,↓ ) + UNe +
S
∑
3h̄ x
2
3h̄2
2USσ †
1
2UN 2
)c~ c~k,σ + UNe +
S
k,σ
3h̄
2
3h̄2
S ist hier ein Variationsparameter, der bestimmt wird, indem die Energie minimiert wird. Die Grundzustandsenergie ist
E0 =
2USσ
2UN 2
2USσ
1
UNe +
) f (ε~k −
)
S + ∑(ε~k −
2
2
3h̄
3h̄
3h̄
~
k,σ
2USσ
1
2UN 2
=
UNe +
S + N ∑ dερ(ε +
)ε f (ε)
2
2
3h̄
3h̄
σ
Z
2UN 2
1
UNe +
S + 2N dερ(ε)ε f (ε)
=
2
3h̄2
Z
2NU 2 S2
+
dερ 00 (ε)ε f (ε)
9h̄2
Z
24 NU 4 S4
+ 4 4
dερ 0000 (ε)ε f (ε) + · · ·
3 4!h̄
1
1
= N(e0 + aS2 + bS4 + · · ·)
2
4
Z
typischerweise gilt b > 0, andernfalls muß man höhere Terme berücksichtigen. Für a > 0 hat man ein Minimum
bei S = 0, d.h. kein Ferromagnetismus. Für a < 0 hat man ein Minimum bei S 6= 0, d.h. Ferromagnetismus.
4U 4NU 2 S2
+
dερ(ε)00 ε f (ε)
3h̄2
9h̄2 Z
1
4U
(1 − U dερ 0 (ε)( f (ε) + ε f 0 (ε)))
2
3
3h̄
2NU
1
(1 − U(ρ(εF ) − εF ρ 0 (εF ))
2
3
3h̄
Z
a =
=
≈
Die letzte Beziehung gilt für tiefe Temperaturen. Der letzte Term ist klein, da die Ableitung der Zustandsdichte
an der Fermikante klien ist. Wir vernachlässigen diesen Term. Man findet also a < 0 und damit S 6= 0 falls
Uρ(εF ) > 3.
Die mean-field Rechnung hat ein Problem. Sie ist eigentlich eine Entwicklung in SU. Ferromagnetismus
tritt für große U auf, also in einem Bereich, indem die Methode ihre Gültigkeit verliert. Tatsächlich überschätzt die mean-field Rechnung das Auftreten von Ferromagnetismus. Zudem steht der Ferromagnetismus in
Konkurenz zum Antiferromagnetismus. Trotzdem kann man Ferromagnetismus für große U oder große ρ(εF )
erwarten. Zudem gibt es ein exaktes Resultat, das Theorem von Nagaoka, das besagt, daß das Hubbardmodell
einen ferromagnetischen Grundzustand (genauer: S = Ne /2) im Limes U → ∞ besitzt, falls Ne = N − 1. Dieses
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3.5. Ergänzung: Das Hubbardmodell II, Allgemeine Resultate
57
Resultat gilt präzis auf einer großen Klasse von Gittern, das Quadratgitter und das kubische Gitter eingeschlossen.
Daneben gibt es spezielle Gitter, die in bestimmten Bereichen eine sehr hohe Zustandsdichte haben. Dazu gehören das Kagomegitter in zwei Dimensionen und das octahedrische Untergitter eines Spinells in drei
Dimensionen. Für diese Gitter kann man exakt zeigen, daß es in einem weiten Dichtebereich und für viele U
Ferromagnetismus gibt.
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