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Theoretische Informatik 1
Logische Grundlagen der Informatik
24. Oktober 2002
Termin der Mittsemesterklausur:
Samstag, der 14.12.2002
im Audimax
von 9:00 bis 12:00 Uhr
Einlass ab 8:30
1. Mengenlehre
1.1 Der Begriff der Menge
Definition
1.2 Mengenalgebra
Rechnen mit Mengen
1.3 Korrespondenzen, Relationen, Abbildungen
Begriffe für Beziehungen
1.4 Zahlen
Beispiele für Begriffsbildung
1.5 Wörter
1
1.6 Sprachen
Stufenaufbau
2
Mengenalgebra
1. konkrete Relationen/Operationen auf Mengen
Inklusion
Durchschnitt, Vereinigung,
echte Inklusion
Komplement
Ausgangspunkt: ein unendlicher Vorrat E an Objekten
Jedes Objekt hat “Stufe 0” und ist noch keine Menge
Schreibweise: a,b,c,d,.....
2. Eigenschaften von Relationen und Operationen
Mengen 1. Stufe enthalten nur Objekte 0. Stufe als Elemente
Schreibweise: M,N,K,L, ....
Mengen 2. Stufe enthalten nur Mengen 1. Stufe als Elemente
Schreibweise:
Mengen (n+1)-ter Strufe enthalten nur Mengen n-ter Stufe
als Elemente
Schreibweise: M(n), N(n), ...,
reflexiv,irreflexiv,transitiv,
symmetrisch,asymmetrisch
antisymmetrisch
kommutativ,assoziativ,
absorbierend, distributiv
3. abstrakte algebraische Strukturen
reflexive Halbordnung
irreflexive Halbordnung
Äquivalenz
Verband, distributiver Verband
3
4
Verbände
Beziehung Verband-Halbordnung
Für Mengen gilt: M
M
Ein Paar , von Operationen auf einer Menge M heißt
Verband, wenn beide Operationen kommutativ, assoziativ
und gegenseitig absorbierend sind, also für alle x,y und z gilt:
1a) x
1b) x
2a) x
2b) x
3a) x
3b) x
y=y x
y=y x
(y z) = (x
(y z) = (x
(x y) = x
(x y) = x
y) y) N genau dann, wenn M
N genau dann, wenn M
N=M
N=N
Diese Beziehung kann auf beliebige Verbände
verallgemeinert werden.
z
z
Beispiele: ,
min,max
ggT,kgV
kein Verband: +,•
min, +
+,+
Wenn außerdem beide Operationen gegenseitig distributiv ist,
5
sprechen wir von einem distributiven Verband
Seien , Operationen, die einen Verband bilden.
Wir definieren zu diesen Operationen eine Relation wie folgt:
x y (genau dann) wenn x y = x
Beispiele:
min,max
Behauptung:
ggT,kgV
ist reflexive Halbordnung
Teilbarkeit
6
1
Beweis
Die andere Richtung
1. reflexiv: (zu zeigen: für alle a ist a a)
a = a (a b)
(Absorption)
also: a a = a (a (a b) ) (Schnitt mit a)
also: a a = a (a c)
(mit c = a b)
also: a a = a
(Absorption)
also: a a
w.z.b.w.
(Def. )
2. transitiv (zu zeigen: für alle a,b,c: wenn a b und b c, so a c)
a c = (a b) c
(1. Voraussetzung c )
also: a c = a (b c)
(Assoziativität)
also: a c = a b
(2. Voraussetzung)
also: a c = a
(1. Voraussetzung)
3. antisymm. (zu zeigen: für alle a,b: wenn a b und b a, so a=b)
a=a b
(1. Voraussetzung)
also: a = b a
(Kommutativität)
7
also a = b
(2. Voraussetzung)
Sei
haben: zu jedem Verband kann eine Halbordnung
konstruiert werden
Frage: kann zu einer Halbordnung ein Verband
konstruiert werden?
Antwort: nicht immer – eine Halbordnung, die
aus einem Verband konstruiert wird, hat eine
zusätzliche Eigenschaft – die Existenz größter unterer
Schranken sowie kleinster oberer Schranken.
8
Schranken
Halbordnung Verband
eine reflexive Halbordnung. Seien x,y Elemente.
Sei eine reflexive Halbordnung mit der Eigenschaft,
daß je zwei Elemente immer eine kleinste obere und eine
größte untere Schranke besitzen.
s heißt obere Schranke von x und y falls x s und y s
s heißt untere Schranke von x und y falls s x und s y
!
Definiere
a b = größte untere Schranke von a und b
a b = kleinste obere Schranke von a und b
"
s heißt kleinste obere Schranke von x und y falls für jede
Schranke s’ von x und y gilt: s
s’
s heißt größte untere Schranke von x und y falls für jede
Schranke s’ von x und y gilt: s’
s
Für Mengen M und N ist, bzgl. Inklusion, M N die kleinste
obere Schranke und M N die größte untere Schranke.
In beliebigen Verbänden ist a b die kleinste obere und
a b die größte untere Schranke bzgl.
! "
Behauptung: , bilden einen Verband
(Englisch: Verband = lattice; Operationen glb,lub)
{a,b,c}
{a,b}
9
Null- und Einselement
{a,c}
{a}
10
Null und Eins sind eindeutig
Im Mengenverband gilt für alle Mengen M:
1a) Ø
2a) Ø
$
#
M =Ø
M =M
1b) E
2b) E
#
$
Satz: In jedem Verband gibt es höchstens ein Null- und
höchstens ein Einselement
M =M
M =E
Ein beliebiger Verband heißt Verband mit Null und Eins, falls
es ein Element n und ein Element e so gibt, daß für alle x:
1. n x = n,
2. e x = x
3. n x = x und
4. e x = e
Beweis: Angenommen, n und n’ sind Nullelemente.
Dann
n = n n’
(Def. Nullelement für n)
also n = n’ n
(Kommutativität)
also n = n’
w.z.b.w
(Def. Nullelement für n’)
n wird Nullelement, e wird Einselement genannt
Der Beweis für Einselemente wird analog geführt
!
"
"
!
11
!
!
12
2
komplementäre Verbände
%
Die Verbandsbegriffe
&
Im Mengenverband gilt für alle Mengen M:
1. M M = Ø
und
2. M M = E
Verband
Verband mit Null und Eins
'
(
Ein Verband, in dem eine Operation
definiert ist
und für alle x gilt: x x = n und x x = e,
heißt komplementärer Verband
distributiver Verband
komplementärer Verband
Ein distributiver komplementärer Verband mit Null und
Eins heißt Boolesche Algebra
Beispiel 1: Mengenverband
Beispiel 2: {wahr, falsch} mit und, oder und nicht
Boolesche Algebra
13
14
Zurück zu Mengen
Mengenbeweise
1. Variante (immer einfach): Rückgang auf Definitionen
%
&
Für alle Mengen M, N und L gilt:
M M=M
M M=M
(idempotent)
M N M
M M N
M N und M L genau dann, wenn M N L
M L und N L genau dann, wenn M N L
Wenn M N,so M L N L und M L N L (monoton)
M=M
M N =M N
(de Morgansche Formeln)
M N =M N
M N genau dann, wenn M N = Ø
M N genau dann, wenn M N = E
)
% )
)
)
)
%
)
%
)
)
) %
& )
& ) &
% ) %
&
&
) &
%
Beweisverpflichtungen
M N
Annahmen
x∈M
Beweisverpflichtungen
Annahmen
Beweisverpflichtungen
M=N
Annahmen
Beweisverpflichtungen
&
(alle Eigenschaften gelten in beliebigen Booleschen Algebren)
Mengenbeweise
+
+ N , L)
,
, , ,
, , ,
, ,
Beispiel: (M N und M L genau dann, wenn M
+
,
,
1. Sei M N und M L, also M N = M und M L = M
Wegen früherer Aussage ist M = M M = (M N ) (M L).
Mit Assoz. und Kommut. ist M = (M M) (N L).
Daraus folgt nach früherer Aussage: M = M (N L).
Also ist M N L.
2. Sei M N L, also M = M (N L).
Mit Assoz. ist M = (M N) L
und nach früherer Aussage: (M N) L (M N)
Wenn aber M (M N) und (M N)
M (selbe frühere Aussage), dann ist wegen Antisymm.
M = (M N), also M N. Analog zeigt man M L.
17
w.z.b.w.
+ ,
+ ,
,
+
,
+
, ,
,
,
, , +
, +
*
N ,
N
*
M
16
Differenzen
2. Variante (oft trickreich): Herleitung aus bekannten
Beziehungen (z.B. Verbandseigenschaften)
+
x∈N
M
15
+
*
Annahmen
Seien M und N Mengen.
Die Differenz M \ N von M und N ist die Menge
M \ N = { x | x ∈M und x ∉ N }.
Die symmetrische Differenz M ∆ N von M und N ist die Menge
M ∆ N = { x | entweder x ∈M oder x ∈N}
,
+
M\N
M∆N
18
3
Eigenschaften
M\N=M
-
M ∆ N = (M
= (M
N
M = E \ M, M \ Ø = M
.
M N genau dann,
wenn M \ N = Ø
-
Gruppen
- N) / ( M - N)
/ N) \ ( M - N)
Eine Menge mit einer zweistelligen assoziativen Operation o
heißt Halbgruppe.
=N∆M
(kommutativ)
(M ∆ N) ∆ K = M ∆ (N ∆ K) (assoziativ)
MƯ=M
(Ø ist Nullelement)
Wenn M N = Ø, dann
M ∆ N = Ø genau dann, wenn M = N
M \ N = M und N \ M = N
M
-
(N ∆ K) = (M
-
-
N) ∆ (M K)
(distributiv)
19
Beispiele für Halbgruppen und Gruppen
-
Wenn eine Halbgruppe ein neutrales Element n
(n o x = x o n = x für alle x) und jedes x ein
inverses Element x-1 besitzt (d.h. x o x-1 = x o x-1 = n),
so nennen wir sie Gruppe.
Ist die Gruppenoperation kommutativ, sprechen wir von einer
kommutativen Gruppe oder einer Abelschen Gruppe.
20
Allgemeine Algebren, abstrakte Algebren
Allgemeine Algebren bestehen aus:
/
Halbgruppen: 1. Mengen mit
(neutral: E)
2. Mengen mit
(neutral: Ø)
3. nat. Zahlen mit + (neutral: 0)
Gruppen:
Eine Menge mit einer zeistelligen assoziativen und
kommutativen Operation o heißt kommutative Halbgruppe.
1. Mengen mit ∆ (neutral: Ø , M-1 = M)
2. ganze Zahlen mit + (neutral: 0, x-1 = - x)
3. reelle Zahlen ohne 0 mit • (neutral: 1, x-1 = 1/x)
(Datentyp)
1. Einer oder mehreren Mengen
2. Auf diesen Mengen definierten Operationen (0 bis m)
3. Auf diesen Mengen definierten Relationen (0 bis n)
Beispiele: [N ; + , • ; <]
[ ; , ; ]
0 1 23
Abstrakte Algebren bestehen aus
(abstrakter Datentyp)
Einem oder mehreren Symbolen für Mengen
Symbolen für Operationen
Signatur
Symbolen für Relationen
Aussage(formen) über den Symbolen
Axiome
(Eigenschaften und Beziehungen)
Beispiele: Refl. Halbordnung, Gruppe, Verband
1.
2.
3.
4.
21
22
allgemeine(r) Durchschnitt/Vereinigung
Sei
4
Seien
ein Mengensystem.
4 14
4
Die allgemeine Vereinigung von 4 ( 2 4 ) ist definiert durch
2 4 = { x | es gibt ein M: M ∈4 und x ∈ M}
14
Der allgemeine Durchschnitt von
(
) ist definiert durch
= { x | für alle M gilt: wenn M ∈ , so x ∈ M}
Wenn
4
Stufe n+1 hat, so haben
14
und
24
Stufe n !
23
4
und
5
Eigenschaften
Mengensysteme.
2. 2 Ø
1 Ø =E
3. ( 2 4 ) 1 N = 2 {M 1 N | M ∈ 4 }
4. ( 1 4 ) 1 ( 1 5 ) = 1 (4 2 5 )
5. ( 2 4 ) 2 ( 2 5 ) = 2 (4 2 5 )
6. ( 1 4 ) = 2 {M | M ∈ 4 }
1.
(2)
(2) = Ø(1)
24
4
Potenzmenge
Eigenschaften
6
Sei M eine Menge. Die Potenzmenge (M) ist
das System aller Teilmengen von M, also
(M) = { N | N M}
6
7
Hat M die Stufe n, so hat
6
6
(Ø(1)) = {Ø(1)}
1.
6
2.
(E) =
3. M
(M) die Stufe n+1
!
4.
5.
6.
25
6
7
8
N genau dann, wenn
: ; (M) < ;
; (M = N) = ; (M) = ;
P(M) > {Ø} < ; (M)
(M
9
N)
6
(M)
7 6
(N)
(N)
(N)
26
5