¨Ubungen zur Statistischen Mechanik (WS 2012/13) 2.¨Ubung

Prof. Michael Lässig
Donate Weghorn
Übungen zur Statistischen Mechanik
(WS 2012/13)
2. Übung
Aufgabe 1: Fundamentalrelation und Zustandsgleichungen
(10 Punkte)
(a) Bestimmen Sie die drei Zustandsgleichungen für ein System mit der Fundamentalrelation
Rθ
θ
2
s −
v2
u=
2
R
v0
(pro Mol), wobei R und θ Konstanten sind, und zeigen Sie, dass für dieses
System µ = −u/NA gilt. (4 Punkte)
(b) Drücken Sie µ als Funktion von T und P aus. (2 Punkte)
(c) Bestimmen Sie die drei Zustandsgleichungen für ein System mit der Fundamentalrelation
v0 θ s2 s/R
u=
e
R
v
(pro Mol). (4 Punkte)
Aufgabe 2: Adiabatische Atmosphäre (4 Punkte)
Die Temperatur der Atmosphäre nimmt mit der Höhe z ab. Da die Wärmeleitfähigkeit
von Luft sehr klein ist, nimmt man als Näherung an, dass die Atmosphäre im Gleichgewicht bezüglich adiabatischer (δQ = 0) Verschiebungen von kleinen Luftmengen
ist.
Zeigen Sie, dass unter dieser Voraussetzung der Temperaturgradient eines idealen
Gases wie folgt geschrieben werden kann:
∂T
mg
=−
(1 − γ −1 ).
∂z S
kB
1
Benutzen Sie hierzu die Zustandsgleichung des idealen Gases, das Stevinsche Gesetz:
∂P
N
= −mg ,
∂z
V
und dass für adiabatische Zustandsänderungen des idealen Gases gilt:
P T γ/(1−γ) = const.,
wobei γ der sog. Adiabatenexponent ist. Der Wert von (∂T /∂z)S beträgt ungefähr
−9.9 K/km.
Aufgabe 3: Van-der-Waals-Gas (7 Punkte)
Eine van-der-Waals-Gas ist durch die Zustandsgleichungen
a
RT
− 2,
v−b v
cR
=
,
u + a/v
P =
(1)
1
T
(2)
beschrieben, wobei v das Volumen pro Mol und u die innere Energie pro Mol sind.
a, b und c sind systemspezifische Konstanten. Im Spezialfall a = b = 0 erhält
man die Zustandsgleichungen des idealen Gases (mit c = 3/2 für einatomige Gase).
Das van-der-Waals-Modell ist etwas realistischer als das ideale Gas: erstens hat
jedes Teilchen ein Eigenvolumen, so dass das “effektive” Volumen pro Mol v − b
ist; zweitens gibt es eine attraktive Wechselwirkung zwischen Teilchen, die sie “nach
innen” zurückzieht und den Druck um einen Term a/v 2 reduziert. Gleichung (2)
ist dann die einfachste Gleichung, die garantiert, dass die gemischten Ableitungen
zweiter Ordnung der Entropie nach u und v gleich sind.
(a) Stellen Sie die Fundamentalgleichung in der Entropiedarstellung auf, d.h. S =
S(U, V, n), wobei n die Molzahl ist und wie beim idealen Gas eine Integrationskonstante s0 (pro Mol) eingeführt wird. (4 Punkte)
(b) Ein Mol eines idealen, einatomigen Gases, und ein Mol Cl2 sind in einem
Zylinder enthalten und durch einen beweglichen Kolben getrennt. Beide Gase
haben eine Temperatur von 300 K, und der Kolben steht genau in der Mitte
des Zylinders.
Wie hoch ist der Druck in jedem Gas? Cl2 wird als ein van-der-Waals-Gas
betrachtet, mit a = 0.659 Pa m6 /mol2 , b = 56.3 × 10−6 m3 /mol und c = 2.8.
Die universelle Gaskonstante R beträgt 8.31 J/(K mol). (3 Punkte)
Abgabetermin: 26.10., vor der Vorlesung
Informationen zur Vorlesung: www.thp.uni-koeln.de/~dweghorn/StatMechWS12
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