4.3 Relationen

4.3 Relationen
Relationen können als spezielle Mengen verstanden werden.
Hierfür muss zunächst der Begriff eines weiteren mengentheoretischen Objektes –
der des geordneten n-Tupels – eingeführt werden.
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1
Geordnete n-Tupel
Bei Mengen ist die Reihenfolge ihrer Elemente irrelevant, d.h. es gilt z.B.:
{x , y } = {y, x } .
Für bestimmte Zwecke werden geordnete Zusammenstellungen von Objekten
benötigt.
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2
Der einfachste Fall einer solchen Zusammenstellung ist ein
• geordnetes Paar x , y , wobei x das erste Element und y das zweite
Element des Paares ist.
Im Allgemeinen gilt:
x , y ≠ y, x .
Geordnete Paare lassen sich als spezielle Mengen definieren.
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3
Auf der Basis von geordneten Paaren lassen sich
• geordnete Tripel x , y, z ,
• geordnete Quadrupel x , y, z , z ' ,
• geordnete Quintupel x , y, z , z ', z '' etc.,
allgemein
• geordnete n-Tupel x 1, …, x n , wobei n ∈ N ,
definieren.
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4
Kartesisches Produkt (nach René Descartes, 1596-1650)
Aus zwei gegebenen Mengen lässt sich eine Menge von geordneten Paaren bilden.
D4.13
A × B =def { x , y | x ∈ A ∧ y ∈ B }
„ A kreuz B “
Das Kartesische Produkt (bzw. die Kreuzmenge) von A und B ist die Menge aller
geordneten Paare derart, dass das erste Element aus A und das zweite Element aus
B stammt.
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5
Beispiel:
Sei A = {a,b, c } und B = {1,2} .
A × B = { a,1 , a,2 , b,1 , b,2 , c,1 , c,2 }
?
Bestimme B × A .
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6
Verallgemeinerung:
D4.14
A1 × ... × An =def { x 1,..., x n | x 1 ∈ A1 ∧ ... ∧ x n ∈ An }
„ A1 kreuz ... kreuz An “
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7
Beispiel:
Sei A = {a,b, c } und B = {1,2} .



a,1,1 , a,1, 2 , a, 2,1 , a, 2, 2 ,







A × B × B =  b,1,1 , b,1, 2 , b, 2,1 , b, 2, 2 , 







c
,1,1
,
c
,1,
2
,
c
,
2,1
,
c
,
2,
2






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8
D4.15
A2 =def A × A
„die 2. Kartesische Potenz von A “
Die 2. Kartesische Potenz von A ist das Kartesische Produkt (bzw. die
Kreuzmenge) von A mit sich selbst.
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9
?
Bestimme A2 für A = {a,b, c } .
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10
Verallgemeinerung:
D4.16
An =def A ×…× A
n-mal A
„die n. Kartesische Potenz von A “
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11
Relationen als Mengen von n-Tupeln
Eine 2-stellige (oder binäre) Relation R zwischen Elementen x und y lässt sich
mit { x , y | R(x , y )} , d.h. der Menge der geordneten Paare x , y identifizieren,
für die R(x , y ) gilt.
D4.17
R ist eine 2-stellige (oder binäre) Relation zwischen Elementen x
von A und y von B gdw R ⊆ A × B .
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12
Dass zwei Elemente x und y in einer Relation R zueinander stehen, kann damit
nicht nur mit R(x , y ) oder xRy , sondern auch mit x , y ∈ R angezeigt werden.
Beispiel:
„… füttert ...“
F : Relation des Fütterns
F (x ,y ), xFy, x , y ∈ F
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13
Beispiel:
Angenommen, für A = {Lisa,Bart,Maggie} und
B = {Karlo,Pluto} gelte, dass Bart den Kater Karlo und
Maggie sowohl Karlo als auch den Hund Pluto füttert.
Die Relation des Fütterns F zwischen Elementen von A und
B ist dann wie folgt bestimmt:
F = { Bart,Karlo , Maggie,Karlo , Maggie,Pluto },
wobei F ⊆ {Lisa,Bart,Maggie} × {Karlo,Pluto},
d.h.
 Lisa,Karlo , Lisa,Pluto ,




F ⊆
 Bart,Karlo , Bart,Pluto ,



Maggie,Karlo , Maggie,Pluto



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












14
Ein Spezialfall ist eine 2-stellige (oder binäre) Relation R in einer Menge A , d.h.
zwischen Elementen ein und derselben Menge.
D4.18
R ist eine 2-stellige (oder binäre) Relation in A gdw R ⊆ A2 .
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15
?
Angenommen, für A = {Lisa,Bart,Maggie} gelte, dass zum einen Lisa und
Maggie Bart und zum anderen Bart und Maggie Lisa mögen und außerdem
Bart sich selbst mag.
Bestimme die Relation des Mögens M in A als eine Teilmenge von
A × A.
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16



Lisa,Lisa ,
Lisa,Bart ,
Lisa,Maggie , 







A × A =  Bart,Lisa ,
Bart,Bart ,
Bart,Maggie , 







Maggie,Lisa
,
Maggie,Bart
,
Maggie,Maggie






Voraussetzungen:
Lisa und Maggie mögen Bart
Bart und Maggie mögen Lisa
Bart mag sich selbst
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17



Lisa,Lisa ,
Lisa,Bart ,
Lisa,Maggie , 







A × A =  Bart,Lisa ,
Bart,Bart ,
Bart,Maggie , 







Maggie,Lisa
,
Maggie,Bart
,
Maggie,Maggie








Lisa,Bart ,



M =
Bart,Bart ,
 Bart,Lisa ,



Maggie,Lisa , Maggie,Bart



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












18
Verallgemeinerung:
Eine n-stellige Relation R zwischen Elementen x 1,..., x n lässt sich entsprechend
mit { x 1, …, x n | R(x 1, …, x n )} , d.h. mit der Menge der geordneten n-Tupel
x 1, …, x n identifizieren, für die R(x 1, …, x n ) gilt.
D4.19
R ist eine n-stellige Relation zwischen Elementen x 1 von A1 , x 2 von A2 ,
... und x n von An gdw R ⊆ A1 × ... × An .
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19
Eine 2-stellige (oder binäre) Relation kann auch als eine Abbildung aus einer
Menge nach einer Menge aufgefasst werden.
D4.20
R ist eine (binäre) Abbildung aus A nach B gdw R ⊆ A × B .
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20
Beispiel:
Die binäre Relation oder Abbildung F lässt sich wie folgt
darstellen:
Lisa
Karlo
Bart
Maggie
A
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Pluto
B
21
Jedes Element von B , das mit einem bestimmten Element x von A gepaart
auftritt, nennt man ein Bild von x bei R .
Umgekehrt heißt jedes Element von A , das mit einem bestimmten Element y von
B gepaart ist, ein Urbild von y bei R .
Die Menge der Urbilder bei R bilden den Vorbereich Vb und die Menge der
Bilder den Nachbereich Nb von R .
D4.21 (1)
Vb(R) =def {x ∈ A | ∃y ∈ B [ x , y ∈ R ]}
(2)
Nb(R) =def {y ∈ B | ∃x ∈ A[ x , y ∈ R ]}
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22
?
Gib für die Relationen F und M jeweils deren Vor- und Nachbereich an.
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23
Das Komplement R ' einer Relation R ⊆ A × B enthält alle geordneten Paare aus
A × B , die nicht Elemente von R sind.
D4.22
R ' =def { x , y | x , y ∉ R}
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24
Dagegen enthält die Inverse R −1 einer Relation R ⊆ A × B alle geordneten Paare
aus B×A , die aus den Paaren von R dadurch hervorgehen, dass die Reihenfolge
von deren Elementen umgekehrt wird.
D4.23
R−1 =def { y,x | x ,y ∈ R}
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25
Beispiel:
Wenn F = { Bart,Karlo , Maggie,Karlo , Maggie,Pluto },
dann sind:
F ' = { Bart,Pluto , Lisa,Karlo , Lisa,Pluto }
F −1 = { Karlo,Bart , Karlo,Maggie , Pluto,Maggie }
Dabei gilt:


Lisa,Karlo , Lisa,Pluto ,



F '⊆
 Bart,Karlo , Bart,Pluto ,



Maggie,Karlo , Maggie,Pluto



F −1






 = A×B








Karlo,Lisa , Pluto,Lisa ,



⊆
 Karlo,Bart , Pluto,Bart ,



Karlo,Maggie , Pluto,Maggie



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





 = B ×A






26
Wie lässt sich das Komplement F ' von F und die Inverse F −1 von
F
angesichts dessen charakterisieren, dass F die Relation des Fütterns („...
füttert ...“) ist?
?
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27
?
Bestimme die Relationen M ' und M −1 als Teilmengen von A × A .


Lisa,Lisa , Lisa,Bart , Lisa,Maggie ,



A×A = 
 Bart,Lisa , Bart,Bart , Bart,Maggie ,



Maggie,Lisa , Maggie,Bart , Maggie,Maggie



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












28



Lisa,Lisa ,
Lisa,Bart ,
Lisa,Maggie , 







A × A =  Bart,Lisa ,
Bart,Bart ,
Bart,Maggie , 







Maggie,Lisa
,
Maggie,Bart
,
Maggie,Maggie








Lisa,Bart ,



M =
Bart,Bart ,
 Bart,Lisa ,



Maggie,Lisa , Maggie,Bart





Lisa,Lisa ,



M'=







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













Lisa,Maggie , 



Bart,Maggie , 



Maggie,Maggie 



29
 Lisa,Lisa ,


Lisa,Bart ,
Lisa,Maggie , 







A × A =  Bart,Lisa ,
Bart,Bart ,
Bart,Maggie , 







Maggie,Lisa
,
Maggie,Bart
,
Maggie,Maggie








Lisa,Bart ,



M =
Bart,Bart ,
 Bart,Lisa ,



Maggie,Lisa , Maggie,Bart


















Bart,Lisa ,



=
Bart,Bart ,
 Lisa,Bart ,



Lisa,Maggie , Bart,Maggie
















M −1
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30
Eigenschaften von binären Relationen
D4.24
(1) R in A ist reflexiv gdw ∀x ∈ A[ x , x ∈ R ].
(2)
R in A ist irreflexiv gdw ∀x ∈ A[ x , x ∉ R ] .
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31
Beispiele:
(a)
Sei A = {1,2,3} .
R1 = { 1,1 , 2,2 , 3,3 }
reflexiv:
irreflexiv:
R2 = { 1,3 , 2,3 }
(b) Sei A die Menge der Menschen.
reflexiv:
irreflexiv:
“…ist ebenso alt wie…”
“…ist älter als…”
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32
D4.25 (1) R in A ist symmetrisch gdw ∀x ,y ∈ A[ x ,y ∈ R → y,x ∈ R ].
(2) R in A ist asymmetrisch gdw ∀x ,y ∈ A[ x ,y ∈ R → y,x ∉ R ].
(3) R in A ist antisymmetrisch gdw ∀x ,y ∈ A[ x ,y ∈ R ∧ y,x ∈ R → x = y ].
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33
Beispiele:
(a)
symmetrisch:
R3 = { 1,2 , 2,1 , 2,2 }
asymmetrisch:
R4 = { 1,2 , 3,1 }
antisymmetrisch:
R5 = { 1,1 , 2,3 }
(b) symmetrisch:
“…ist Geschwister von…”
asymmetrisch:
“…ist Mutter von…”
antisymmetrisch:
„…ist nicht älter als…“
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34
D4.26
(1) R in A ist transitiv gdw
∀x ,y,z ∈ A[ x ,y ∈ R ∧ y,z ∈ R → x ,z ∈ R ].
(2)
R in A ist intransitiv gdw
∀x ,y,z ∈ A[ x ,y ∈ R ∧ y,z ∈ R → x ,z ∉ R ].
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35
Beispiele:
(a)
transitiv:
R6 = { 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,3 }
intransitiv:
R7 = { 1,2 , 2,3 }
(b) transitiv:
intransitiv:
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“…ist Vorfahre von…”
„…ist Großtante von…“
36
D4.27
R in A ist konnex (oder linear) gdw
∀x ,y ∈ A[x ≠ y → x ,y ∈ R ∨ y,x ∈ R ].
Beispiele:
(a)
R8 = { 1,3 , 2,1 , 3,2 }
(b) „…ist älter als…oder ebenso alt”
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37
?
Welche der vorangehend definierten Eigenschaften hat die Relation M ?
M = { Lisa,Bart , Bart,Lisa , Bart,Bart , Maggie,Lisa , Maggie,Bart
Ist M reflexiv oder irreflexiv?
Ist M symmetrisch, asymmetrisch oder antisymmetrisch?
Ist M transitiv oder intransitiv?
Ist M konnex?
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38
}
D4.28
(1) R aus A nach B ist linkstotal gdw
∀x ∈ A∃y ∈ B [ x , y ∈ R ]
(2)
R aus A nach B ist rechtstotal (oder surjektiv) gdw
∀y ∈ B ∃ x ∈ A [ x , y ∈ R ] .
Damit gibt es
• bei linkstotalem R zu jedem Element von A mindestens ein Bild
Vb(R)= A ),
(d.h.
• bei rechtstotalem R zu jedem Element von B mindestens ein Urbild (d.h.
Nb(R) = B ).
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39
?
Ist die Relation F linkstotal oder rechtstotal oder beides?
F = { Bart,Karlo , Maggie,Karlo , Maggie,Pluto }
Lisa
Karlo
Bart
Maggie
A
?
Pluto
B
Was folgt hieraus für die inverse Relation F −1 ?
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40
?
Ist die Relation M linkstotal oder rechtstotal oder beides?
M = { Lisa,Bart , Bart,Lisa , Bart,Bart , Maggie,Lisa , Maggie,Bart
?
Was folgt hieraus für die inverse Relation M −1 ?
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41
}
D4.29
(1)
R aus A nach B ist linkseindeutig (oder injektiv) gdw
∀x , x ' ∈ A∀y ∈ B [ x , y ∈ R ∧ x ', y ∈ R → x = x '].
(2)
R aus A nach B ist rechtseindeutig gdw
∀x ∈ A∀y, y ' ∈ B [ x , y ∈ R ∧ x , y ' ∈ R → y = y '].
Damit gibt es
• bei linkseindeutigem R zu jedem Element von B höchstens ein Urbild,
• bei rechtseindeutigem R zu jedem Element von A höchstens ein Bild.
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42
?
Ist die Relation F linkseindeutig oder rechtseindeutig oder beides?
F = { Bart,Karlo , Maggie,Karlo , Maggie,Pluto }
Lisa
Karlo
Bart
Maggie
A
?
Pluto
B
Was folgt hieraus für die inverse Relation F −1 ?
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43
?
Ist die Relation M linkseindeutig oder rechtseindeutig oder beides?
M = { Lisa,Bart , Bart,Lisa , Bart,Bart , Maggie,Lisa , Maggie,Bart
?
Was folgt hieraus für die inverse Relation M −1 ?
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44
}
Spezielle Arten von binären Relationen
Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, ist eine
Äquivalenzrelation.
Beispiele:
(a)
R9 = { 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 }
(b) “…ist ebenso alt wie…”
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45
Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, ist eine schwache
Ordnungsrelation (oder reflexive Halbordnung).
Beispiele:
(a)
R10 = { 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,2 , 3,3 }
(b) „…ist nicht älter als…“
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46
Eine Relation, die irreflexiv, asymmetrisch und transitiv ist, ist eine strenge
Ordnungsrelation (oder irreflexive Halbordnung).
Beispiele:
(a)
R11 = { 1,2 , 1,3 , 2,3 }
(b) “…ist älter als…”
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47
Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und konnex ist, ist eine totale
Ordnungsrelation (oder Totalordnung).
Beispiel:
(a)
R12 = { 1,1 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 3,3 }
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48
?
Warum gehört die Relation M zu keiner dieser speziellen Arten?
M = { Lisa,Bart , Bart,Lisa , Bart,Bart , Maggie,Lisa , Maggie,Bart
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49
}