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2 Aussagenlogik (AL)
2.1 Wahrheitsfunktionale Konnektoren
Nur Aussagesätze, d.h. Deklarativ-, nicht aber Frage- oder Aufforderungs-sätze
bringen das Zutreffen einer Aussage (oder Proposition) zum Ausdruck.
Im Weiteren werden deshalb unter Sätzen immer Aussagesätze verstanden.
Aussagen und (damit indirekt auch Aussagesätze) können wahr oder falsch sein.
Wahr und falsch sind Wahrheitswerte von Aussagen.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
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Die Aussagenlogik befasst sich mit Aussagen, die aus anderen Aussagen mit Hilfe
von Konnektoren aufgebaut sind.
• 1-stelliger Konnektor
(aussagenbildender Funktor der Kategorie S / S ):
Bezeichnung
Natürlichsprachlicher
Ausdruck
Symbol
Negation
nicht
¬ (∼ )
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• 2-stellige Konnektoren
(aussagenbildende Funktoren der Kategorie S / SS bzw. (S / S )/ S ):
Bezeichnung
Natürlichsprachlicher
Ausdruck
Symbol
Konjunktion
und
∧ (& )
Disjunktion
(Alternative)
oder
∨
Materiale Implikation
(Konditional)
wenn ..., dann
→ (⊃ )
Materiale Äquivalenz
(Bikonditional)
genau dann, wenn
↔ (≡ )
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Die Konnektoren von AL sind wahrheitsfunktional definiert:
Der Wahrheitswert von Aussagen, die mit Hilfe von wahrheitsfunktionalen
Konnektoren gebildet werden, ist nur abhängig von den Wahrheitswerten ihrer
Teilaussagen.
Die Aussagenlogik untersucht die Wahrheitsbedingungen von Aussagen mit
wahrheitsfunktionalen Konnektoren und damit die Eigenschaften von solchen
Konnektoren.
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Für die klassische Ausssagenlogik gilt das Bivalenzprinzip (oder Polaritätsprinzip):
Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch, d.h.
• keine Aussage kann zugleich wahr und falsch sein (Prinzip vom
ausgeschlossenen Widerspruch) und
• keine Aussage kann etwas anderes als wahr oder falsch sein (Prinzip vom
ausgeschlossenen Dritten, lat. tertium non datur).
Die klassische Logik ist eine zweiwertige Logik.
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Eigenschaften von wahrheitsfunktionalen Konnektoren
Konjunktion („und“)
Eine Konjunktion φ ∧ ψ ist wahr gdw die Konjunkte φ und ψ wahr sind.
Wahrheitstafel:
Beispiele:
φ ψ φ∧ψ
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
0
Hans ist fleißig und Maria ist klug.
Hans ist fleißig und klug.
Hans und Maria sind klug.
Hans ist fleißig, aber Maria ist klug.
Hans ist fleißig, obwohl er klug ist.
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?
Welche Differenzen gibt es zwischen der logischen Konjunktion und dem
natürlichsprachlichen Ausdruck und ?
Beispiele:
Hans ist fleißig und 2 + 2 = 4 .
Hans steigt auf sein Fahrrad und fährt los.
Hans fährt los und steigt auf sein Fahrrad.
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Disjunktion (einschließendes „oder“)
Eine Disjunktion φ ∨ ψ ist wahr gdw mindestens eines der beiden Disjunkte φ
oder ψ wahr ist.
Wahrheitstafel:
φ ψ φ∨ψ
1 1
1
1 0
1
0 1
1
0 0
0
Beispiele: Hans ist klug oder Maria ist klug.
Hans ist klug oder fleißig.
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Kontravalenz (ausschließendes „oder“, d.h. „entweder-oder“)
Eine Kontravalenz φ : ψ ist wahr gdw φ oder ψ wahr ist, aber nicht beide.
Wahrheitstafel:
φ ψ φ:ψ
1 1
0
1 0
1
0 1
1
0 0
0
Beispiele: Hans ist klug oder Hans ist dumm.
Hans ist klug oder dumm.
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Materiale Implikation („wenn-dann“)
Eine materiale Implikation φ → ψ ist wahr gdw das Antezedens φ falsch oder das
Konsequens ψ wahr ist.
Wahrheitstafel:
Beispiel:
φ ψ φ→ψ
1 1
1
1 0
0
0 1
1
0 0
1
Wenn Hans Maria küsst, dann ist Susi eifersüchtig.
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?
Ist diese Definition der materialen Implikation als Entsprechung von wenn dann gerechtfertigt?
φ
1
1
0
0
ψ φ→ψ
1
1
?
0
0
ok
1
1
?
0
1
?
Von den 16 logisch möglichen wahrheitsfunktionalen Konnektoren ist diese
Definition diejenige, die dem intuitiven Verständnis des natürlichsprachlichen wenn
- dann am nächsten kommt.
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? Welche Differenzen gibt es zwischen der materialen Implikation und
natürlichsprachlichen Ausdruck wenn - dann?
dem
Eine zulässige materiale Implikation ist z.B. 2 + 2 = 5 → Der Mond ist ein
Käse. Diese Aussage ist sogar wahr.
Dagegen ist Wenn 2 + 2 = 5 , dann ist der Mond ein Käse kein wahrer
natürlichsprachlicher Satz. Im Unterschied zur materialen Implikation drückt
wenn ..., dann einen inhaltlichen Zusammenhang aus.
Es gilt: Wenn der natürlichsprachliche Satz Wenn φ , dann ψ wahr ist, dann
ist auch die materiale Implikation φ → ψ wahr, aber nicht umgekehrt.
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Andere Entsprechungen zu φ → ψ sind
• ψ dann, wenn φ
• ψ , falls φ
• ψ vorausgesetzt, dass φ
• φ nur dann, wenn ψ
• ψ ist eine notwendige Bedingung für φ
• φ ist eine hinreichende Bedingung für ψ
Beispiele:
Wenn Hans die Prüfungen besteht, dann war er fleißig.
Hans war dann fleißig, wenn er die Prüfungen besteht.
Hans war fleißig, falls er die Prüfungen besteht.
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Beispiel:
Hans besteht die Prüfungen nur dann, wenn er fleißig war.
‚Dass Hans fleißig war, ist eine notwendige Bedingung dafür, dass
Hans die Prüfungen besteht.’
‚Dass Hans die Prüfungen besteht, ist eine hinreichende
Bedingung dafür, dass Hans fleißig war.’
‚Es ist ausgeschlossen, dass Hans die Prüfungen besteht, ohne
dass er fleißig war.’
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Materiale Äquivalenz („genau dann, wenn“)
Eine materiale Äquivalenz φ ↔ ψ ist wahr gdw φ und ψ denselben
Wahrheitswert haben.
Wahrheitstafel:
φ ψ φ↔ψ
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
Beispiele: Hans besteht die Prüfungen genau dann, wenn er fleißig war.
Hans besteht die Prüfungen dann und nur dann, wenn er fleißig war.
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?
Warum hat (φ → ψ) ∧ (ψ → φ) immer denselben Wahrheitswert wie
φ ↔ ψ?
φ ψ φ→ψ
1 1
1
1 0
0
0 1
1
0 0
1
φ ψ ψ→φ
1 1
1
1 0
1
0 1
0
0 0
1
φ ψ φ↔ψ
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
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Negation („nicht“, „es ist nicht der Fall, dass“)
Eine Negation ¬φ ist wahr gdw φ falsch ist.
Wahrheitstafel:
Beispiele:
φ ¬φ
1 0
0 1
Hans liebt Maria nicht.
Es ist nicht der Fall, dass Hans Maria liebt.
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2.2 Syntax von AL
Vokabular von AL
Aussagenvariablen (AV):
p,q,r, p1, q1, r1,...
(Leerstellen für einfache Aussagen)
Konnektoren:
¬, ∧, ∨, →, ↔
Technische Hilfszeichen:
(,)
AV sind nicht-logische, Konnektoren sind logische Grundausdrücke von AL.
Beliebige endliche Folgen von Grundausdrücken (z.B. p, q ∧ r, p¬ ↔ rq ) sind
Ausdrücke von AL.
Wohlgeformte Ausdrücke von AL sind Formeln von AL.
Syntaktische Regeln von AL
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D2.1 Formeln von AL
(1) AV sind Formeln.
(2) Wenn φ eine Formel ist, dann ist ¬φ eine Formel.
(3) Wenn φ und ψ Formeln sind, dann sind (φ ∧ ψ),(φ ∨ ψ), (φ → ψ) und
(φ ↔ ψ) Formeln.
Formeln nach (1) sind atomare Formeln, Formeln nach (2) und (3) sind komplexe
Formeln von AL.
Beispiele: q ,
(p1 ↔ r ) ,
(p ∨ ¬p) ,
¬ ((p → q ) ∨ (q → p))
?
Sind die folgenden Ausdrücke Formeln von AL?
((p ∧ ¬p) → q ) ,
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(p ¬ ∨ q ) ,
¬¬p ,
p →q
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?
Übersetze folgende Sätze in Formeln von AL.
(1) Es regnet.
(2) Wenn es regnet, dann schneit es nicht.
(3) Hans und Maria sind glücklich.
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Bei der Benutzung von formalen Sprachen wird eine strikte Unterscheidung von
Objekt- und Metasprache vorgenommen.
Die Sprache, mit der man über die Sprache redet, heißt Metasprache; die Sprache,
über die man redet, heißt Objektsprache.
Objektsprache
Metasprache
Verwendung:
Erwähnung:
Paris
„Paris“
p, q, r ,...
„ p “, „q “, „r ”,...
((p ∧ q ) → r ),... „((p ∧ q ) → r ) “,...
Metavariablen für Formeln: φ, ψ, χ,...
Beispiel:
Instanzen von ((φ ∧ ψ) → φ) sind
((p ∧ q ) → p) , ((p ∧ (p → q )) → p) und
(((p ∧ r ) ∧ (p → q )) → (p ∧ r )) .
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Um Formeln zu vereinfachen, werden die folgenden Konventionen zur
Klammereinsparung angewandt:
(1)
(2)
Außenklammern können weggelassen werden.
Die Bindungsstärke der Konnektoren nimmt in folgender Reihenfolge
ab: ¬, ∧, ∨, →, ↔ .
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?
Welche Klammern können in folgenden Formeln eingespart werden?
¬ (p ∧ q ) ,
((p ∧ q ) ∨ r ) ,
(p ∧ (q ∨ r )) ,
(((p ∧ ¬p) → q ) ∨ r )
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?
Welche Klammern können in folgenden Formeln gesetzt werden?
¬p ∧q ,
p →q ∨ p,
p ∧q ↔ p ∨q ,
¬p1 ∧ q ∨ p2 → r ↔ p1
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Eine Alternative zur Standardnotation von Formeln ist die klammerfreie
Polnische Notation (Jan Ł ukasiewicz, 1878-1956).
?
Standardnotation
Polnische Notation
¬p
Np
p ∧q
Kpq
p ∨q
Apq
p →q
Cpq
p ↔q
Epq
Übertrage ¬ (q → (p ∧ q )) in Polnische Notation.
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