Folien

4 Mengentheorie
4.1 Mengen
Die Mengentheorie ist entwickelt worden, um eine elementare Basis für den
Aufbau der gesamten Mathematik zu haben. Ihr Begründer ist Georg Cantor
(1845-1918).
Die Standard-Semantik von PL1 wird unter Verwendung der Mengentheorie
formuliert. Umgekehrt kann die Mengentheorie in einer prädikatenlogischen
Sprache präzise dargestelllt werden.
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1
Der klassische Mengenbegriff
Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassung bestimmter wohlunter-schiedener
Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese
Objekte sind die Elemente der Menge.
•
„abstrakt“: Die Objekte werden nicht in einem physischen Sinne
zusammengefasst.
•
„Zusammenfassung“: Die Objekte werden nicht auf eine bestimmte Weise
angeordnet.
•
„wohlunterschieden“: Die Objekte müssen für sich genommen
identifizierbar sein.
•
„Anschauung“/„Denken“: Es kann sich um konkrete oder abstrakte
Objekte handeln.
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Mengen werden gewöhnlich mit A,B,C ,…,X ,Y ,Z ,…,
Elemente von Mengen, d.h. beliebige Objekte, mit a,b,c,…,x ,y,z ,… notiert.
Die Elementrelation zwischen Objekten und Mengen wird mit der 2-stelligen
Prädikatskonstanten ∈ notiert:
a ∈ A : „a ist Element von A “
Eine alternative Schreibweise, die der von uns benutzten PL1-Notation entspricht,
ist:
∈(a,A)
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D4.1 a ∉ A =def ¬(a ∈ A)
„a ist kein Element von A “
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D4.2 A = B =def ∀x [x ∈ A ↔ x ∈ B ]
„ A ist identisch mit B ”
(„ A und B sind gleich“ , „ A und B sind dieselbe Menge“)
A
B
D4.3 A ≠ B =def ¬(A = B )
(d.h. ∃x [x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∉ A ∧ x ∈ B ])
„ A ist verschieden von B “
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Eine endliche Menge ist eine Menge, die endlich viele Elemente enthält.
Beispiel:
die Menge der Monde des Saturn
Eine unendliche Menge ist eine Menge, die unendlich viele Elemente enthält.
Beispiel:
die Menge aller Primzahlen
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Eine Einermenge ist eine Menge, die genau ein Element enthält. Dabei muss klar
zwischen der Menge und ihrem einzigen Element unterschieden werden.
Beispiel:
die Menge, die nur Georg Cantor enthält
Die leere Menge ∅ ist diejenige Menge, die kein Element enthält, d.h. ¬∃x [x ∈ ∅]
bzw. ∀x [x ∉∅].
Beispiel:
die Menge, die nur runde Quadrate enthält
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Mengen können selbst Elemente von Mengen sein. Es wird zwischen Mengen
verschiedener Stufe unterschieden (Bertrand Russell, 1872-1970, Typen-theorie):
• Mengen, die Individuen als Elemente enthalten, sind Mengen der 1. Stufe.
• Mengen, die Mengen der n -ten Stufe ( n ≥1 ) als Elemente enthalten, sind
Mengen der n+1. Stufe.
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Spezifikation von Mengen
(A) Aufzählung (Listennotation):
{x 1, …, x n } :
„die Menge bestehend aus x 1, …, x n “
(„die Menge , die aus x 1, …, x n besteht“)
{x } :
„die Einermenge bestehend aus x “
Beispiele:
{
,
,
}:
„die Menge bestehend aus
,
und
“
{Karlo,Hans,Pluto} :
„die Menge bestehend aus Karlo, Hans und
Pluto“
{Karlo, Hans, Pluto } :
„die Menge bestehend aus den Namen Karlo,
Hans und Pluto“
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{∅} :
„die Menge bestehend aus der leeren
Menge“
{{a }} :
„die Menge bestehend aus der Einer-menge
{a } ”
{{a }, a, ∅} :
„die Menge bestehend aus {a } , a und ∅ ”
{{a,b,c},{{d },1},Hans} :
„die Menge bestehend aus den Mengen
{a,b,c} und {{d },1} und Hans”
?
Von welcher Stufe sind die angegebenen Mengen?
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(B) Abstraktion (Prädikatsnotation):
{x | ...} :
„die Menge der x , für die gilt: ...“
{x | P (x )} :
„die Menge der x , für die gilt: P (x ) “
(„die Menge der P “)
Beispiele:
{x | MENSCH (x )} :
„die Menge der x , für die gilt: x ist ein Mensch“
(„die Menge der Menschen“)
alternativ:
{x | x ist ein Mensch}
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Weitere Beispiele:
{x | x ∈ N und x ≥ 2 und x ≤ 100}
{x | x ist deutsche Bundeskanzlerin }
{x | QUADRAT (x ) ∧ RUND(x )}
{x | x existiert oder x existiert nicht}
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?
Gib an, welche der folgenden Mengen identisch sind.
(1) {x |x ist Primzahl und x ≤10}
(2) ∅
(3) {x |x ist Primzahl, gerade und x > 2}
(4) {2,3,5,7}
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Prinzip der Mengenkonversion
Für ein beliebiges a gilt: a ∈ {x | P (x )} gdw P (a ) .
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Mächtigkeit von Mengen
Die Anzahl der Elemente einer Menge A ist deren Mächtigkeit (oder Kardinalität).
Sie wird mit |A|, #A oder card (A) angegeben.
Im Falle einer endlichen Menge ist deren Mächtigkeit eine natürliche Zahl.
Beispiele:
|{a,{c,2}}|= 2
|{x |x ist ein Vokal, der im Wort Paris vorkommt}|= 2
|∅ |= 0
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Teilmengenrelationen
Neben der Identitätsrelation können zwischen Mengen auch Teilmengenrelationen bestehen.
D4.4
A ⊆ B =def ∀x [x ∈ A → x ∈ B ]
„ A ist eine Teilmenge von B “
(„ B ist eine Obermenge von A “)
A
B
Beispiele:
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{2, 3,e} ⊆ {2, 3,e}
{a } ⊆ {{a }, a }
∅ ⊆ {x | x studiert Linguistik}
Die leere Menge ∅ ist Teilmenge einer beliebigen Menge, d.h. ∀X [∅ ⊆ X ].
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D4.5
A ⊈ B =def ¬(A ⊆ B )
(d.h. ∃x [x ∈ A ∧ x ∉ B ])
„ A ist keine Teilmenge von B “
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D4.6
A ⊂ B =def A ⊆ B ∧ A ≠ B
„ A ist eine echte Teilmenge von B “
(„ B ist eine echte Obermenge von A “)
A
B
+
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Beispiele:
{2,e} ⊂ {2, 3,e} ,
{a } ⊂ {{a }, a } ,
∅ ⊂ {x | x studiert Linguistik}
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D4.7
A ⊄ B =def ¬(A ⊂ B )
„ A ist keine echte Teilmenge von B “
Beispiele:
{a,b, c} ⊄ {a,b, c}
{a,b, c} ⊄ {a,b}
{a,b, c} ⊄ {2, 4, 9}
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?
Gib an, welche Teilmengenrelationen zwischen folgenden Mengen bestehen.
S,
∅,
{{S }},
{S }
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Mengentheoretische Gesetze
Die Identität ist
reflexiv:
symmetrisch:
transitiv:
A=A
(A = B ) → (B = A)
(A = B ) ∧ (B = C ) → (A = C )
Die Teilmengenrelation ist
A⊆A
reflexiv:
antisymmetrisch: (A ⊆ B ) ∧ (B ⊆ A) → (A = B )
transitiv:
(A ⊆ B ) ∧ (B ⊆ C ) → (A ⊆ C )
Die echte Teilmengenrelation ist
irreflexiv:
asymmetrisch:
transitiv:
A⊄A
(A ⊂ B ) → (B ⊄ A)
(A ⊂ B ) ∧ (B ⊂ C ) → (A ⊂ C )
Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie usw. sind Eigenschaften von Relationen.
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Die Identität ist eine Äquivalenzrelation.
Die Teilmengenrelation ist eine schwache Ordnungsrelation.
Die echte Teilmengenrelation ist eine strenge Ordnungsrelation.
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Weitere Relationen zwischen Mengen sind z.B. die Überlappung ( o ) und die
Disjunktheit ( ∫ ) von Mengen.
?
Gib die Definitionen dieser Mengenrelationen an.
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4.2 Operationen mit Mengen
Mit Hilfe von mengentheoretischen Operationen lassen sich neue Mengen bilden.
Potenzmenge (‚power set’)
D4.8
P(A) =def {X | X ⊆ A}
(auch: pow(A) , ℘(A) )
„ P von A “
Die Potenzmenge von A ist die Menge aller Teilmengen von A .
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Wenn A eine Menge der n -ten Stufe ist, dann ist P(A) eine Menge der
n +1. Stufe.
Mächtigkeit von Potenzmengen:
Wenn | A | = n , dann | P(A) | = 2n , d.h. 2 ∗2 ∗…∗2 (n -mal).
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Beispiele:
P({Hans,Maria})= {∅,{Hans},{Maria},{Hans,Maria}}
P({1,2,3}) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
P({S })= {∅,{S }}
P(∅)= {∅}
P({S ,{S }})= {∅,{S },{{S }},{S ,{S }}}
?
Gib für {{a,b},c} die Potenzmenge an.
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Mengenvereinigung (‚union’)
D4.9.1 A ∪ B =def {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
„ A vereinigt mit B “
Die Vereinigung von A und B ist die Menge, die alle Elemente, die in A oder in
B vorkommen, und nur diese enthält.
A
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B
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Beispiele:
{a,b,c}∪{1,2} = {a,b,c,1,2}
{S }∪{S ,{S }} = {S ,{S }}
{e,t }∪∅= {e,t }
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30
Verallgemeinerung:
D4.9.2
∪U =
def
{x | ∃X [X ∈ U ∧ x ∈ X ]}
„die Vereinigungsmenge von U “
(alternativ: {x | ∃X : X ∈ U [x ∈ X ]} ,
oder einfacher: {x | ∃X ∈ U [x ∈ X ]} )
Beispiel:
∪ {{a,b},{47},{c,d, f }} = {a,b, 47,c,d, f }
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Mengendurchschnitt (‚intersection’)
D4.10.1
A ∩ B =def {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
„ A geschnitten mit B “
Die Durchschnitt von A und B ist die Menge, die alle Elemente, die sowohl in A
als auch in B vorkommen, und nur diese enthält.
A
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B
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Beispiele:
{2,3,7,11}∩{1,2,3,4} = {2,3}
{a,{a }}∩{a,{a },{a,{a }}} = {a,{a }}
{a,b}∩{1,2} =∅
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Verallgemeinerung:
D4.10.2
∩U =
def
{x | ∀X [X ∈ U → x ∈ X ]}
„die Schnittmenge von U ”
(alternativ: {x | ∀X : X ∈ U [x ∈ X ]} ,
oder einfacher: {x | ∀X ∈ U [x ∈ X ]} )
Beispiel:
∩ {{0,1},{0,1,2, 3},{1}} = {1}
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Mengendifferenz (‚subtraction’)
D4.11
A \ B =def {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
„ A ohne B “
Die Differenz von A und B ist die Menge, die genau die Elemente aus A enthält,
die nicht in B vorkommen.
A
B
Beispiele:
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{Hans,Maria}\{Maria} = {Hans} ,
{S }\{S } =∅ ,
{0,1}\∅= {0,1}
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Komplement einer Menge
Ein Spezialfall der Differenz ist das Komplement einer Menge A bezüglich einer
vorausgesetzten Grundmenge G , wobei A ⊆ G .
Dabei ist G entweder explizit angegeben oder aus dem Kontext entnehmbar.
D4.12
A ' =def G \ A
(alternativ: {x ∈ G | x ∉ A} )
Das Komplement von A ist die Menge, die genau die Elemente der Grundmenge
G enthält, die nicht in A vorkommen.
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A
G
Beispiele:
= {a,b,c,d } .
Sei G
{a }' = {b,c,d }
{d,b}' = {a,c}
{a,b,c,d }' =∅
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Mengentheoretische Gesetze
Idempotenz:
A∪A = A
A∩A = A
Kommutativität:
A∪B = B ∪A
A∩B = B ∩A
Assoziativität:
A∪(B ∪C ) = (A∪B )∪C
A∩(B ∩C ) = (A∩B )∩C
Distributivität:
A∪(B ∩C ) = (A∪B )∩(A∪C )
A∩(B ∪C ) = (A∩B )∪(A∩C )
Identität:
A∪∅= A
A∪ G = G
A∩∅=∅
A∩ G = A
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Komplement:
A∪A' = G
(A')' = A
A∩A' =∅
A\B = A ∩B '
De Morgansche Gesetze:
(A∪B )' = A'∩B '
(A∩B )' = A'∪B '
Konsistenz:
A ⊆B ↔ A∪B = B
A ⊆ B ↔ A∩B = A
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Identische Umformungen
Die Gesetze für die mengentheoretischen Operationen erlauben es,
Mengenausdrücke durch identische Umformungen ineinander zu überführen und
dabei insbesondere auch zu vereinfachen.
Beispiele:
(A∪B )∪(B ∩C )' = (A∪B )∪(B '∪C ')
de Morgan
= A∪(B ∪(B '∪C '))
Assoziativität
= A∪((B ∪B ')∪C ')
Assoziativität
= A∪(G ∪C ')
Komplement
= A∪(C '∪ G)
Kommutativität
= A∪ G
Identität
=G
Identität
(B ∪A)∩A' = A'∩(B ∪A)
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Kommutativität
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= (A'∩B )∪(A'∩A)
Distributivität
= (A'∩B )∪∅
Komplement
= A'∩B
Identität
= B ∩ A'
Kommutativität
= B \A
Komplement
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Algebraische Strukturen
Eine Algebraische Struktur (oder Algebra) A = A, f1, …, fn ist eine Menge A , auf
der Operationen f1, …, fn definiert sind.
Seien ∧ und ∨ 2-stellige Operatoren, * ein 1-stelliger Operator und 1 und 0
ausgezeichnete Elemente einer Menge B .
Eine Boolesche Algebra BA = B,∧,∨,*,1,0
 ist eine algebraische Struktur, die die
Gesetze der Assoziativität, Kommutativität, Distributivität, Identität und des
Komplements erfüllt (George Boole, 1815-1864).
Potenzmengen von beliebigen nichtleeren Mengen X haben die Struktur einer
Booleschen Algebra P (X ),∩,∪,',X ,∅ .
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Beispiel:
Sei X 
= {a,b,c} .
Dann ist P ({a,b,c}),∩,∪,',{a,b,c,},∅ eine Boolesche Algebra.
Die Aussagenlogik AL ist ebenfalls eine Boolesche Algebra B,∧,∨,¬,⊤
,⊥ , wobei
B die Menge der Formeln von AL ist und ⊤ und ⊥ entsprechend die
tautologischen bzw. die kontradiktorischen Formeln repräsentieren.
Die AL-Konnektoren ∧ , ∨ und ¬ werden deshalb auch Boolesche Operatoren
genannt.
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