2.3 Semantik von AL

2.3 Semantik von AL
Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s1 und s2
unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
Beispiel:
s1 :
s2 :
Es regnet.
Es regnet nicht.
0
1
1
0
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
1
Es gibt Sätze, die in Bezug auf unterschiedliche Situationen immer wahr bzw.
immer falsch sind.
Beispiele:
s1 :
s2 :
Es regnet
und
es regnet nicht.
0
1
0
0
1
0
Es ist nicht der Fall, dass
s1 :
s2 :
1
1
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
es regnet
und
nicht regnet.
0
1
0
0
1
0
2
Die Wahrheitswerte der zusammengesetzten Sätze hängen auf eine bestimmte
Weise von den Wahrheitswerten ihrer Teilsätze ab.
Gesucht wird ein Algorithmus, d.h. eine genau definierte Handlungs-vorschrift,
mit der sich für eine beliebige Situation errechnen lässt, welchen Wahrheitswert
logisch komplexe Sätze ausgehend von den Wahrheitswerten der in ihnen
vorkommenden atomaren Sätze in Bezug auf diese Situation haben.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
3
Wahrheitsbedingungen von AL-Formeln
Die Wahrheitsbedingungen einer Formel von AL werden durch die Angabe aller
möglichen AL-Bewertungen dieser Formel bestimmt.
Eine AL-Bewertung ist eine Funktion, die auf der Menge der Formeln definiert ist
und jedem Element dieser Menge genau einen Wahrheitswert zuordnet.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
4
Eine Funktion ist eine Zuordnung von Elementen einer Menge B
(Funktionswerte) zu den Elementen einer Menge A (Argumente), so dass jedem
Element von A genau ein Element von B zugeordnet wird.
Es handelt sich damit um eine eindeutige Abbildung von A nach B .
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
5
Beispiel: eine Menge A von Personen
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
6
Beispiele für Funktionen von A (eine Menge von Personen) nach B (eine Menge
von Namen):
Lisa
Bart
Maggie
A
B
Lisa
Bart
Maggie
A
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
B
7
Beispiele für Abbildungen, die keine Funktionen sind:
Lisa
Bart
Maggie
A
B
Lisa
Bart
Maggie
A
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
B
8
AL-Bewertung V :
A = {φ1, φ2, φ3,...}
φ1
φ2
φ3
...
(Argumente)
⇒
⇒
⇒
B = {0,1}
1
0
0
...
(Funktionswerte)
Notation:
V (φ) = 1 steht für „Der Wahrheitswert von φ bei V ist gleich 1.“
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
9
D2.2 AL-Bewertung
Eine AL-Bewertung V ist eine Funktion von der Menge der AL-Formeln
nach {0,1} , so dass gilt:
(1) Für jede atomare Formel φ gilt entweder V (φ) = 1 oder V (φ) = 0 .
(2)V (¬φ) = 1 gdw V (φ) = 0 .
(3) (a) V (φ ∧ ψ) = 1 gdw V (φ) = 1 und V (ψ) = 1 .
(b) V (φ ∨ ψ) = 1 gdw V (φ) = 1 oder V (ψ) = 1 .
(c) V (φ → ψ) = 1 gdw V (φ) = 0 oder V (ψ) = 1 .
(d) V (φ ↔ ψ) = 1 gdw V (φ) = V (ψ).
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
10
Beispiele:
V1 :
V2 :
V3 :
V4 :
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
¬ (¬p ∧ ¬q )
1
1
0
0
1
0
1
0
Bei n atomaren Formeln ergeben sich 2n mögliche Bewertungen.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
11
?
Gib die Wahrheitswerte der komplexen Formeln in ¬ (¬p ∧ ¬q ) bei den
Bewertungen V1 −V4 an.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
12
D2.3 AL-Tautologie
Eine Formel φ ist eine AL-Tautologie (ist AL-wahr, AL-gültig) gdw für jede ALBewertung V gilt: V (φ) = 1 .
Notation: ⊨AL φ
Tautologien sind immer wahr.
Beispiele:
¬ (p ∧ ¬ p ) ,
p ∨ ¬p
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
13
Einige AL- Gesetze
⊨ φ ∨ ¬φ
Gesetz vom ausgeschlossenen
Dritten
⊨ ¬ (φ ∧ ¬φ)
Gesetz vom ausgeschlossenen
Widerspruch
⊨ ¬¬φ ↔ φ
Gesetz der doppelten Negation
⊨φ∧ψ →φ
Konjunktionsabschwächung
⊨φ∧ψ ↔ ψ∧φ
Kommutativität der
Konjunktion
⊨ φ ∧ (ψ ∧ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∧ χ
Assoziativität derKonjunktion
⊨ φ ∧ (ψ ∨ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)
Distributivität der Konjunktion über
die Disjunktion
⊨ (φ → ψ) ↔ (¬ψ → ¬φ)
Kontraposition der materialen
Implikation
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
14
⊨ ¬ (φ ∧ ψ) ↔ ¬φ ∨ ¬ψ
⊨ ¬ (φ ∨ ψ) ↔ ¬φ ∧ ¬ψ
} de Morgansche Gesetze
⊨ (φ → ψ) ∧ (φ → χ) → (φ → ψ ∧ χ) Konklusionskonjunktion
⊨ (φ → ψ) ∧ (ψ → χ) → (φ → χ)
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
Transitivität der materialen
Implikation
15
Jede Formel, die unter ein logisches Gesetz ‚fällt’, ist eine Tautologie.
Beispiele:
⊨ p ∨ ¬p
⊨ ¬¬ (p ∨ ¬p) ↔ p ∨ ¬p
⊨ (p → q ) ∧ (q → r ∨ ¬s ) → (p → r ∨ ¬s )
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
16
D2.4 AL-Kontradiktion
Eine Formel φ ist eine AL-Kontradiktion (ist AL-falsch) gdw für jede ALBewertung V gilt: V (φ) = 0 .
Kontradiktionen sind immer falsch.
Beispiele:
φ ∧ ¬φ ,
(ψ → ψ) → ¬ (φ ∨ ¬φ)
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
17
D2.5 AL-Kontingenz
Eine Formel φ ist eine AL-Kontingenz (ist AL-kontingent) gdw für mindestens
eine AL-Bewertung V gilt: V (φ) = 0 und für mindestens eine AL-Bewertung V
gilt: V (φ) = 1 .
Kontingenzen können sowohl wahr als auch falsch sein.
Jede Formel ist entweder eine Kontingenz, eine Tautologie oder eine
Kontradiktion.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
18
D2.6 AL-Folgerung
Die Formel ψ ist eine AL-Folgerung (AL-Implikation) von φ1,..., φn (n ≥ 1) bzw.
aus φ1,..., φn folgt AL-logisch ψ gdw für jede AL-Bewertung V gilt: Wenn
V (φ1 ) = 1,...,V (φn ) = 1, dann V (ψ) = 1 .
Notation:
φ1,..., φn ⊨AL ψ
(oder φ1,..., φn ⇒AL ψ )
Spezialfall:
⊨AL ψ (AL-Tautologie)
(falls n = 0 )
Beispiele:
φ ∧ ψ ⊨AL φ
φ ∧ ¬φ ⊨AL χ
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
19
D2.7 AL-Äquivalenz
Die Formeln φ und ψ sind AL-äquivalent gdw für jede AL-Bewertung V gilt:
V (φ) = V (ψ).
Notation: φ ≈AL ψ
(oder φ ⇔AL ψ )
Beispiele:
φ ∧ ψ, ≈AL ψ ∧ φ
¬ (φ → ψ), ≈AL φ ∧ ¬ψ
φ → ψ, ≈AL ¬ψ → ¬φ
¬ (φ ∧ ψ), ≈AL ¬φ ∨ ¬ψ
φ → (ψ → χ), ≈AL φ ∧ ψ → χ
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
20
Metatheoreme über AL (=beweisbare Sätze über AL)
⊨AL φ gdw ¬φ eine AL-Kontradiktion ist.
φ ⊨AL ψ gdw ⊨AL φ → ψ
φ1,..., φn ⊨AL ψ gdw ⊨AL φ1 ∧ ... ∧ φn → ψ
φ ≈AL ψ gdw ⊨AL φ ↔ ψ
φ ≈AL ψ gdw ⊨AL φ → ψ und ⊨AL ψ → φ
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
21
D2.8 AL-Gültigkeit eines Schlussschemas
Ein Schlussschema φ1,..., φn / ψ ist AL-gültig (eine AL-Schlussregel) gdw
φ1,..., φn ⊨AL ψ .
Beispiele:
φ → ψ, φ / ψ Modus ponens (MP), Abtrennungsregel (AR)
φ → ψ, ¬ψ / ¬φ Modus tollens (MT)
φ ∧ ψ /φ ∨ ψ
φ → ψ, ψ → χ / φ → χ
(φ → ψ) ∨ (φ → χ)/ φ → ψ ∨ χ
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
22
2.4 Entscheidungsverfahren für AL
?
Gib die möglichen Wahrheitswerte der Formel ¬ (p → (q ∨ r )) an.
Wahrheitstafelmethode
Zwei Varainten:
• Variante 1: ausführliche Wahrheitstafel
• Variante 2: vereinfachte Wahrheitstafel
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
23
Variante 1:
1. Schritt
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r q ∨r
1
0
1
0
1
0
1
0
p → (q ∨ r )
¬ (p → (q ∨ r ))
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
24
Variante 1:
2. Schritt
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r q ∨r
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
p → (q ∨ r )
¬ (p → (q ∨ r ))
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
25
Variante 1:
3. Schritt
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r q ∨r
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
p → (q ∨ r )
¬ (p → (q ∨ r ))
1
1
1
0
1
1
1
1
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
26
Variante 1:
4. Schritt
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r q ∨r
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
p → (q ∨ r )
¬ (p → (q ∨ r ))
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
27
Variante 2:
1. Schritt
¬ (p →
1
1
1
1
0
0
0
0
1.
(q ∨ r ))
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1.
1.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
28
Variante 2:
2. Schritt
¬ (p →
1
1
1
1
0
0
0
0
1.
(q
1
1
0
0
1
1
0
0
1.
∨
1
1
1
0
1
1
1
0
2.
r ))
1
0
1
0
1
0
1
0
1.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
29
Variante 2:
3. Schritt
¬ (p →
1 1
1 1
1 1
1 0
0 1
0 1
0 1
0 1
1. 3.
(q
1
1
0
0
1
1
0
0
1.
∨
1
1
1
0
1
1
1
0
2.
r ))
1
0
1
0
1
0
1
0
1.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
30
Variante 2:
4. Schritt
¬
0
0
0
1
0
0
0
0
4.
(p
1
1
1
1
0
0
0
0
1.
→
1
1
1
0
1
1
1
1
3.
(q
1
1
0
0
1
1
0
0
1.
∨
1
1
1
0
1
1
1
0
2.
r ))
1
0
1
0
1
0
1
0
1.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
31
?
Konstruiere für ¬ p ∧ (q ↔ r ) eine Wahrheitstafel nach Variante 2.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
32
Reduktionsmethode
Bedingung für die Anwendung der Methode ist, dass die Formel die Form φ → ψ
hat oder sich in eine solche Form überführen lässt.
Variante 1:
Indirekter Beweis
Annahme:
φ → ψ ist keine Tautologie.
Also:
Also:
Es gibt mindestens eine Bewertung V , so dass V (φ → ψ) = 0 .
V (φ) = 1 und V (ψ) = 0 usw.
Wenn die Annahme zu einem Widerspruch führt, so ist sie falsch.
Also ist φ → ψ eine Tautologie.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
33
Beispiel:
q ) → (¬ q → ¬ p)
Annahme:
0
Also:
1
0
0
Also:
1
Also:
0
1
Also:
1
0
Also:
0
Widerspruch
(p
→
Also: ⊨ (p → q ) → (¬q → ¬ p)
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
34
?
Zeige, dass (p → q ),(q → r )/(p → r ) ein gültiger Schluss ist.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
35
Variante 2:
Direkter Beweis
Annahme:
V (φ) = 1
Behauptung: V (ψ) = 0 ist ausgeschlossen, d.h. es ist immer V (ψ) = 1 .
Also ist φ → ψ eine Tautologie.
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
36
Beispiel:
(p ∧ q ) → ¬ (¬ q ∨ ¬
Annahme:
1
Also:
1
1
1
Also:
Also:
0
0
Also:
0
Also:
1
p)
1
Wenn also V (p ∧ q ) = 1 , so auch V (¬(¬q ∨ ¬p)) = 1 .
Also: ⊨ (p ∧ q ) → ¬(¬q ∨ ¬p)
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
37
2.5 Definierbarkeit von Konnektoren
Generell können Begriffe mit Hilfe von anderen, grundlegenderen Begriffen nach
folgendem Definitionsschema definiert werden:
Definiendum =def Definiens
A =def B
(„ A ist definitionsgleich mit B ”)
A wird durch Definition als mit B bedeutungsgleich eingeführt und kann im
Weiteren an Stelle von B verwendet werden.
Dabei stellt A eine Abkürzung von B dar.
Eine wesentliche Voraussetzung für die Korrektheit einer Definition ist, dass B
nicht bereits A enthält oder durch ein C definiert wird, das seinerseits A enthält
(Ausschluss einer ‚Zirkeldefinition’).
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
38
Konnektoren lassen sich mit Hilfe von anderen Konnektoren definieren.
Grundlage für die Adäquatheit der Definitionen sind entsprechende logische
Äquivalenzen zwischen Formeln, in denen die betreffenden Konnektoren
vorkommen.
Beispiele:
φ ↔ ψ, =def (φ → ψ) ∧ (ψ → φ)
φ → ψ, =def ¬φ ∨ ψ
φ ∧ ψ, =def ¬(¬φ ∨ ¬ψ)
φ : ψ, =def (φ ∧ ¬ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ)
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
39
?
Aus welchem Grund sind die angegebenen Definitionen korrekt? Was ist
jeweils Grundlage dafür, dass die Definitionen adäquat sind?
?
Definiere ↔ und : unter ausschließlicher Verwendung von ¬ und ∨ .
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
40
Eine Menge von AL-Konnektoren, mit der sich alle anderen AL-Konnektoren
definieren lassen, nennt man definitorisch vollständig.
Beispiele:
{¬, ∧},
{¬, ∨},
{¬, →},
{¬, ↔}
 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13
41