Folien

3.3 Quantoren
?
Sind folgende Sätze jeweils synonym?
(1) (a) Hans ist verheiratet oder nicht verheiratet.
(b) Hans ist verheiratet oder Hans ist nicht verheiratet.
(2) (a) Jeder ist verheiratet oder nicht verheiratet.
(b) Jeder ist verheiratet oder jeder ist nicht verheiratet.
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1
Symbol
Natürlichsprachlicher
Ausdruck
Allquantor
(Generalisator)
∀ (alternativ: ∧ )
jeder, alle
Existenzquantor
(Partikularisator)
∃ (alternativ: ∨ )
ein, einige,
manche
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2
Allquantifizierung (Generalisierung)
∀x P (x ) wird gelesen als „Für jedes x gilt: P (x ) .“
∀x : ein mit der Variablen x besetzter Allquantor
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3
Beispiele:
(3)
(4)
(5)
Jedes Ding ist vergänglich.
Alle Dinge sind vergänglich.
Alles ist vergänglich.
Logische Struktur von (3)-(5):
„Für jedes Ding gilt: es ist vergänglich.“
EF (Explizitform): „Für jedes x gilt: x ist vergänglich.“
LF (Logische Form): ∀xV (x )
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4
Existenzquantifizierung (Partikularisierung)
∃x P (x ) wird gelesen als „Für mindestens ein x gilt: P (x ) .“
(„Es gibt mindestens ein x , für das P (x ) gilt.“)
∃x : ein mit der Variablen x besetzter Existenzquantor
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5
Beispiele:
(6)
(7)
(8)
Ein Ding ist vergänglich.
Einige Dinge sind vergänglich.
Einiges ist vergänglich.
Logische Struktur von (6)-(8):
„Für mindestens ein Ding gilt: es ist vergänglich.“
EF: „Für mindestens ein x gilt: x ist vergänglich.“
LF: ∃xV (x )
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6
Wie wird der natürlichsprachliche Quantorausdruck kein symbolisiert?
Beispiele:
(9)
(10)
Kein Ding ist vergänglich.
Nichts ist vergänglich.
¬∃x P(x ) wird gelesen als „Für kein x gilt: P (x ) .“
(„Es nicht der Fall, dass für mindestens ein x gilt: P (x ) .“)
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7
Beispiele:
(9)
(10)
Kein Ding ist vergänglich.
Nichts ist vergänglich.
Logische Struktur von (9) und (10):
„Für kein Ding gilt: es ist vergänglich.“
EF: „Es ist nicht der Fall, dass für mindestens ein x gilt: x
ist vergänglich.“
LF: ¬∃xV (x )
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8
Wahrheitsbedingungen von quantifizierenden Aussagen
Die Quantifizierung einer Aussageform erfolgt immer bezüglich eines bestimmten
Bereichs der Individuenvariablen.
Das ist die Menge derjenigen Individuen, die Gegenstand von Aussagen im
jeweiligen Diskurs sind.
Die betreffende Menge von Individuen ist die Diskursdomäne
(der Diskursbereich, das Diskursuniversum) D .
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9
∀x P (x ) : „Für jedes x der Diskursdomäne D gilt: P (x ) .“
∃x P (x ): „Für mindestens ein x der Diskursdomäne D gilt: P (x ) .“
P
D
Falls keine explizite Angabe einer Diskursdomäne erfolgt, wird die Menge aller
Individuen (‚das Universum’) als D vorausgesetzt.
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10
∀x P (x ) ist wahr bezüglich D gdw
jedes Individuum d von D Element der Menge der Individuen ist, die die mit P
bezeichnete Eigenschaft haben.
∀x P (x ) = 1 bezüglich D gdw für jedes d ∈ D gilt: d ∈ P .
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11
∃x P (x ) ist wahr bezüglich D gdw
mindestens ein Individuum d von D Element der Menge der Individuen ist, die
die mit P bezeichnete Eigenschaft haben.
∃x P (x ) = 1 bezüglich D gdw für mindestens ein d ∈ D : d ∈ P .
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12
In der folgenden geometrischen Darstellung der Wahrheitsbedingungen ist durch
Schraffur kenntlich gemacht, dass kein Individuum von D Element der
betreffenden Menge ist. Durch + ist dargestellt, dass die betreffende Menge
mindestens ein Element enthält.
Wahr
Falsch
+
∀x P (x )
∃x P (x )
P
P
P
P
+
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13
?
Gib die Bedingungen an, unter denen Aussagen der Form ∀x P (x ) und
∃x P (x ) falsch sind.
Wahr
Falsch
+
∀x P (x )
∃x P (x )
P
P
P
P
+
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14
3.4 Syntax von PL1
Vokabular von PL1
Individuenvariablen (IV):
x , y, z ,...
Individuenkonstanten (IK):
a,b, c,...
Prädikatskonstanten (PK):
P n ,Q n , Rn ,... (n ≥ 1)
Konnektoren:
¬, ∧, ∨, →, ↔
Quantoren:
∀, ∃
Technische Hilfszeichen:
(,),[, ]
IV, IK und PK sind nicht-logische, Konnektoren und Quantoren sind logische
Grundausdrücke von PL1.
Beliebige endliche Folgen von Grundausdrücken sind Ausdrücke von PL1.
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15
Wohlgeformte Ausdrücke von PL1 sind Formeln von PL1.
Syntaktische Regeln von PL1
D3.1 Formeln von PL1
(1) Wenn πn eine n -stellige PK ist und τ1,..., τn IT sind, dann ist π n (τ1,..., τn )
eine Formel.
(2) Wenn φ eine Formel ist, dann ist ¬φ eine Formel.
(3) Wenn φ und ψ Formeln sind, dann sind (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ) und
(φ ↔ ψ) Formeln.
(4) Wenn φ eine Formel und γ eine IV ist, dann sind ∀γ [φ ] und ∃γ [φ ]
Formeln.
Formeln nach (1) sind atomare (elementare) Formeln von PL1.
Formeln nach (2)-(4) sind komplexe Formeln von PL1.
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16
Konventionen zur Klammereinsparung
(1) Außenklammern können weggelassen werden.
(2) Die Bindungsstärke der Konnektoren nimmt in folgender Reihenfolge ab:
¬, ∧, ∨, →, ↔ .
(3)
∀γ und ∃γ haben dieselbe Bindungsstärke wie ¬ .
(4) Formeln ∀γ [¬φ ] oder ∃γ [¬φ ] werden ersetzt durch ∀γ¬ [φ ] bzw. ∃γ¬ [φ ].
(5) Formeln ∀γ [φ ] oder ∃γ [φ ], wobei φ jeweils eine Formel nach (1) oder nach
(4) ist, werden ersetzt durch ∀γφ bzw. ∃γφ .
(6) Formeln ∀γ¬ [φ ] oder ∃γ¬ [φ ], wobei φ jeweils eine Formel nach (1) oder
nach (4) ist, werden ersetzt durch ∀γ¬φ bzw. ∃γ¬φ .
Beispiele:
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17
Q 2 (a, b )
∀x P 1(x )
¬∃yQ 2 (a, y )
∀x [P 1(x ) → R1(x )]
∃z ¬[R 2 (z , b ) ∨ Q 1(c )]
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18
?
Sind folgende Ausdrücke Formeln von PL1?
∀xQ 2(a,b)
∃x P 1(x ) ∧ R 2(x )
∀¬x [P 2(x ∧ y )]
R 2(a, x ) ∧ ∃x ∀y [R 2(x, y ) → ∃z P 1(z )]
?
Ergänze eingesparte Klammern.
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19
D3.2
Der Skopus eines Vorkommens von ∀γ oder ∃γ in einer Formel φ ist die
unmittelbar auf dieses Vorkommen folgende Formel ψ .
Beispiele:
∀x P (x )
∃x P (x ) ∧ Q(y )
∃x ¬[Q(x ) → P (x )]
∀x ∃y R(x , y )
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20
D3.3
Ein Vorkommen einer Variablen γ in einer Formel φ ist gebunden gdw γ in φ
Teil eines Quantors ∀γ oder ∃γ ist oder in φ im Skopus eines Quantors ∀γ oder
∃γ steht.
Ansonsten ist das Vorkommen von γ frei.
Beispiele:
∀ x P( x )
geb.
geb.
∃ x [P ( x ) ∧ Q( y )]
geb.
geb.
frei
∃ x ¬[Q( x ) → P ( x )]]
geb.
geb.
geb.
∀ x ∃ y R( x , y )
geb.
geb.
geb. geb.
D3.4
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21
Eine Formel φ ist geschlossen (eine Aussage) gdw φ kein freies Vorkommen einer
Variablen enthält.
Ansonsten ist die Formel φ offen (eine Aussageform).
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22
?
?
Welche der folgenden Formeln ist offen, welche geschlossen?
(i)
∃x ¬∃y [P (y ) ∨ ¬P (x )]
(ii)
∀z [∃yQ(y, z ) ∧ R(y, z )]
(iii)
∃x P (a, x )
(iv)
Q(a ) → ¬∀x [R(a, x ) ∧ ∃y R(y, x )]
Überführe offene in geschlossene Formeln durch minimale Veränderungen.
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D3.5
Eine Variable γ ist in einer Formel φ frei für die Variable δ gdw kein freies
Vorkommen von γ in φ im Skopus eines Quantors ∀δ oder ∃δ steht.
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Beispiele:
∀x P (x ) ∧ Q(y )
x ist frei für y
y ist frei für x
x und y sind frei für z
∀x [P (x ) ∧ Q(y )]
x ist frei für y
y ist nicht frei für x
x und y sind frei für z
∃z [P (x ) ∧ Q(y )]
x ist frei für y
y ist frei für x
x und y sind nicht frei für z
P (x ) ∧ Q(y )
x und y sind frei für beliebige Variablen
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25
D3.6
Eine Formel φ ' geht aus einer Formel φ durch Substitution eines Terms τ für die
Variable γ hervor gdw φ ' aus φ dadurch entsteht, dass alle freien Vorkommen
von γ in φ durch τ ersetzt werden.
Für den Fall, dass τ eine Variable δ ist, sei dabei γ in φ frei für δ .
Notationen:
φ[ γ ]:
eine Formel, in der die Variable γ frei vorkommen kann
φ[τ / γ ] :
eine Formel, die aus φ durch Substitution von τ für γ
hervorgegangen ist (d.h. φ ' = φ[τ / γ ] )
Enthält φ[ γ ] die Variable γ nicht frei, so gilt: φ[τ / γ ] = φ[ γ ].
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Beispiele:
φ[τ / γ ]
φ[ γ ]
P (x )
P (x )
∃x P (x )
τ
a
y
y
P (a )
P (y )
∃x P (x )
∀x P (x ) ∧ Q(x )
y
∀x P (x ) ∧ Q(y )
∀x [P (x ) ∧ Q(y )]
a
∀x P (x ) ∧ Q(a )
∀x [P (x ) ∧ Q(y )]
x
nicht erlaubt, weil y nicht frei
für x ist
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27
D3.7
Eine Formel Q δ φ '[δ ] geht aus einer Formel Q γ φ[ γ ] durch gebundene
Umbenennung der Variablen γ in die Variable δ hervor gdw γ in φ frei für δ ist,
δ in φ nicht frei vorkommt und φ '[δ ] die Formel φ '[δ / γ ] ist.
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Beispiele:
Q γ φ[ γ ]
δ
Q δ φ '[δ ]
∀x P (x )
y
z
y
∀y P (y )
∃x ∀y R(x , y )
∃x ∀y R(x , y )
∃x R(x , y )
∃x R(x , y )
z
y
∃z ∀y R(z , y )
nicht erlaubt, weil x in ∀y R(x , y ) nicht
frei für y ist
∃z R(z, y )
nicht erlaubt, weil y frei in R(x , y )
vorkommt
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