pränexe

5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz
Durch Einsetzung von PL1-Formeln für die Metavariablen in AL-Gesetzen erhält
man PL1-Instanzen von AL-Gesetzen.
Beispiele:
⊨AL φ ∨ ¬φ
PL1-Instanzen: ⊨ P (a ) ∨ ¬P (a )
⊨ ∀x P (x ) ∨ ¬∀x P (x )
⊨ ∀x [P (x ) → Q(x )] ∨ ¬∀x [P (x ) → Q(x )]
⊨AL φ → ψ ↔ ¬ψ → ¬φ
PL1-Instanzen: ⊨ P (a ) → R(a,b) ↔ ¬R(a,b) → ¬P (a )
⊨ ∀xP (x ) → ∃yQ(y ) ↔ ¬∃yQ(y ) → ¬∀xP (x )
Mit der Erweiterung von AL zu PL1 wird auch die Menge der logischen Gesetze
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durch spezielle PL1-Gesetze erweitert.
Die Semantik von PL1 liefert eine allgemeine Definition der logischen Gültigkeit,
logischen Folgerung und logischen Äquivalenz.
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D5.9 Logische Gültigkeit
Eine Formel φ ist logisch gültig (logisch wahr, eine Tautologie) gdw für
M
jedes M gilt: φ = 1.
(alternativ: gdw für jedes M gilt: M ⊨ φ )
Notation:
⊨φ
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Beispiele:
⊨ ∀x P (x ) → ∃x P (x )
⊨ ∀x P (x ) → P (a )
⊨ ∀x P (x ) ↔ ¬∃x ¬P (x )
⊨ ∃x [P(x ) ∨ Q(x )] ↔ ∃x P(x ) ∨ ∃x Q(x )
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Logische Gesetze
(1)
⊨ ∀x φ → φ[τ / x ]
Gesetz der universellen Instanziierung
(2)
⊨ φ[τ / x ] → ∃x φ
Gesetz der existenziellen Generalisierung
(3)
⊨ ∀x φ → ∃ x φ
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Gesetze der Quantorenalternation:
(4) ⊨ ∀x φ ↔ ¬∃x ¬φ
(5) ⊨ ∃x φ ↔ ¬∀x ¬φ
(6) ⊨ ¬∀x φ ↔ ∃x ¬φ
(7) ⊨ ¬∃x φ ↔ ∀x ¬φ
?
Gib natürlichsprachliche Beispiele für die Gesetze (4) − (7) an.
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6
Gesetze der Quantorendistribution:
(8)
⊨ ∀x [φ ∧ ψ ] ↔ ∀x φ ∧ ∀x ψ
Beispiel: Dass alle Leute sowohl klug als auch fleißig sind, ist genau dann der Fall,
wenn alle Leute klug sind und alle Leute fleißig sind.
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(9)
⊨ ∃x [φ ∨ ψ ] ↔ ∃x φ ∨ ∃x ψ
(10) ⊨ ∀x φ ∨ ∀x ψ → ∀x [φ ∨ ψ ]
(11) ⊨ ∃x [φ ∧ ψ ] → ∃x φ ∧ ∃x ψ
Beispiel: Wenn es jemanden gibt, der betrunken und übermütig ist, dann gibt es
jemanden der betrunken ist und jemanden, der übermütig ist.
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(12) ⊨ ∀x [φ → ψ ] → (∀x φ → ∀x ψ)
Beispiel: Wenn alle Optimisten fröhlich sind, dann sind, wenn alle Optimisten sind,
auch alle fröhlich.
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(13) ⊨ (∃x φ → ∃x ψ ) → ∃x [φ → ψ ]
(14) ⊨ ∀x [φ → ψ ] → (∃x φ → ∃x φ)
?
Gib ein natürlichsprachliches Beispiel für Gesetz (14) an.
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Gesetze der Quantoren(un)abhängigkeit:
(15) ⊨ ∀x ∀y φ ↔ ∀y ∀x φ
Abkürzung für ∀x ∀y φ : ∀xy φ
(16) ⊨ ∃x ∃y φ ↔ ∃y ∃x φ
Abkürzung für ∃x ∃y φ : ∃xy φ
(17) ⊨ ∃x ∀y φ → ∀y ∃x φ
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Gesetze der Quantorenbewegung:
(18) ⊨ φ → ∀x ψ ↔ ∀x [φ → ψ ],
vorausgesetzt, dass x nicht frei in φ vorkommt.
(19) ⊨ φ → ∃x ψ ↔ ∃x [φ → ψ ],
vorausgesetzt, dass x nicht frei in φ vorkommt.
(20) ⊨ ∀x φ → ψ ↔ ∃x [φ → ψ ],
vorausgesetzt, dass x nicht frei in ψ vorkommt.
(21) ⊨ ∃x φ → ψ ↔ ∀x [φ → ψ ],
vorausgesetzt, dass x nicht frei in ψ vorkommt.
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Berechnung der logischen Gültigkeit von Formeln
Beispiele:
⊨ ∀x φ → ∃ x φ
(Methode: direkter Beweis)
Annahme: Gegeben sei ein beliebiges Modell M , so dass
M
∀x φ = 1 .
⇒ für jedes g gilt: ∀x φ
⇒ für jedes d ∈ D : φ
M ,g
=1
M ,g [ x →d ]
=1
⇒ für mindestens ein d ∈ D : φ
⇒ für jedes g gilt: ∃x φ
⇒ für M gilt: ∃x φ
M
M ,g
M ,g [ x →d ]
=1
=1
=1
Also: ⊨ ∀x φ → ∃x φ
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⊨ ∃x [φ ∨ ψ ]→∃x φ ∨∃x ψ
(Methode: indirekter Beweis)
Annahme: Sei M ein Modell, so dass ∃x [φ ∨ ψ ] M = 1 und
∃x φ ∨∃x ψ ]
M
= 0.
⇒ für jedes g gilt:
∃x [φ ∨ ψ ]
M ,g
= 1 und ∃x φ ∨∃x ψ ]
M ,g
=0
⇒ für jedes g gilt:
∃xφ
M ,g
= 0 und ∃xψ
M ,g
=0
⇒ für jedes d ∈ D gilt:
φ
M ,g [ x →d ]
= 0 und ψ
M ,g [ x →d ]
⇒ für jedes d ∈ D gilt: φ ∨ ψ
=0
M ,g [ x →d ]
=0
M ,g
⇒ weil aber für jedes g gilt: ∃x [φ ∨ ψ ] = 1 , gibt
es mindestens ein d ∈ D , für das gilt:
M ,g [ x →d ]
φ∨ψ
=1
⇒ Widerspruch:
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1. für jedes d ∈ D gilt: φ ∨ ψ
M ,g [ x →d ]
=0,
damit gibt es kein d ∈ D , für das gilt:
M ,g [ x →d ]
φ∨ψ
=1
2. es gibt mindestens ein d ∈ D , für das gilt:
M ,g [ x →d ]
φ∨ψ
=1
⇒ Es gibt kein Modell M mit
∃x [φ ∨ ψ ]
M
= 1 und ∃x φ ∨∃x ψ ]
M
= 0.
Also: ⊨ ∃x [φ ∨ ψ ]→∃x φ ∨∃x ψ
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?
Zeige, dass ⊨ ∃x [φ ∧ ψ ] → ∃x φ ∧ ∃x ψ .
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Umgekehrt lässt sich auch nachweisen, dass bestimmte Formeln nicht gültig sind.
Beispiel:
⊭ ∃x φ ∧ ∃x ψ → ∃x [φ ∧ ψ ]
Verfahren: Angabe eines Modells M , so dass
M
M
∃x φ ∧ ∃x ψ = 1 und ∃x [φ ∧ ψ ] = 0
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Annahme: Seien M und g derart, dass ∃x φ ∧ ∃x ψ
⇒ ∃x φ
M ,g
= 1 und ∃x ψ
M ,g
M ,g
= 1.
=1
⇒ für mindestens ein d ' ∈ D : φ
M ,g [ x →d ']
=1
und für mindestens ein d '' ∈ D :
M ,g [ x →d '']
ψ
=1
Es ist nicht zwingend, dass d ' = d '' .
⇒ Es ist nicht zwingend, dass für mindestens ein
M ,g [ x →d ]
d ∈ D: φ ∧ ψ
= 1.
⇒ Es ist nicht zwingend, dass
M ,g
∃x [φ ∧ ψ ]
= 1.
Also: Es gilt nicht, dass ⊨ ∃x φ ∧ ∃x ψ → ∃x [φ ∧ ψ ] .
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Venn-Diagramme für Formeln von PL1
Die Gültigkeit von Formeln, in denen nur 1-stellige PK vorkommen, lässt sich
geometrisch wie folgt überprüfen:
(1)
⊨ ∀x [P (x ) ∨ Q(x )] ↔ ¬∃x [¬P (x ) ∧ ¬Q(x )]
(2)
⊭ ∀x [P (x ) ∨ Q(x )] → ∀x P (x ) ∧ ∀x Q(x )
P
Q
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(3)
⊨ ∀x [P (x ) → Q(x )] ↔ ∀x ¬[P (x ) ∧ ¬Q(x )]
P
Q
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(4)
⊨ ∀x [P (x ) ↔ Q(x )] ↔ ∀x [P (x ) → Q(x )] ∧ ∀x [Q(x ) → P (x )]
(5)
⊭ ∀x [P (x ) ↔ Q(x )] → ∀x [P (x ) ∨ Q(x )]
P
?
Q
Gilt dagegen eine der folgenden Behauptungen?
⊨ ∀x [P (x ) ↔ Q(x )] → ∀x [P (x ) ∧ Q(x )]
⊨ ∀x [P (x ) ↔ Q(x )] → ∃x [P (x ) ∧ Q(x )]
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(6)
⊨ ∀x [P (x ) ∧ Q(x )] ↔ ∀x P (x ) ∧ ∀x Q(x )
P
Q
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(7)
⊨ ∀x P (x ) ∧ ∀x [P (x ) → Q(x )] → ∀x Q(x )
(8)
⊨ ∀x [P (x ) → Q(x )] → [ ∀x P (x ) → ∀x Q(x )]
P
Q
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D5.10 Kontradiktion
Eine Formel φ ist kontradiktorisch (logisch falsch) gdw für jedes M gilt:
M
φ = 0.
(alternativ: gdw für kein M gilt: M ⊨ φ )
Beispiel: ∃x [P (x ) ∧ ¬P (x )]
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D5.11 Logische Folgerung (logische Implikation)
Aus
φ1,..., φn
M
folgt
logisch
M
ψ
gdw
für
jedes
M
gilt:
M
Wenn φ1 = 1,..., φn = 1 , dann ψ = 1 .
(alternativ: gdw für jedes M gilt: Wenn M ⊨ φ1,..., M ⊨ φn , dann
M ⊨ ψ)
Notation:
φ1,..., φn ⊨ ψ
(falls n = 1 : φ ⊨ ψ )
Spezialfall:
⊨ ψ , d.h. logische Gültigkeit von ψ
(Bedingung: {φ1,..., φn } = ∅ )
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(alternativ: φ1,..., φn ⇒ ψ )
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Beispiele:
(1) ∀x φ ⊨ φ[τ / x ]
(2) φ[τ / x ] ⊨ ∃x φ
(3) ∀x φ ⊨ ∃x φ
(4) ∀x [φ → ψ ] ⊨ ∀x φ → ∀x ψ
(5) ∀x [φ → ψ ], ∀x φ ⊨ ∀x ψ
(6) ∀x [φ → ψ ], φ[τ / x ] ⊨ ψ[τ / x ]
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Metatheoreme über die Beziehung zwischen logischer Folgerung und logischer
Gültigkeit:
φ ⊨ ψ gdw ⊨ φ → ψ
φ1,..., φn ⊨ ψ gdw φ1 ∧ ... ∧ φn ⊨ ψ
gdw ⊨ φ1 ∧ ... ∧ φn → ψ
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D5.12 Logische Äquivalenz
φ und ψ sind logisch äquivalent gdw für jedes M gilt: φ
M
= 1 gdw
M
ψ = 1.
(alternativ: gdw für jedes M gilt: M ⊨ φ gdw M ⊨ ψ )
Notation: φ ≈ ψ
(alternativ: φ ⇔ ψ )
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Beispiele:
(1) ∀x ¬φ ≈ ¬∃x φ
(2) ∀x φ ≈ ¬∃x ¬φ
(3) ¬∀x φ ≈ ∃x ¬φ
(4) ¬∀x ¬φ ≈ ∃x φ
(5) ∀x [φ ∧ ψ ] ≈ ∀x φ ∧ ∀x ψ
(6) ∃x [φ ∨ ψ ] ≈ ∃x φ ∨ ∃x ψ
(7) ∀x ∀y φ ≈ ∀y ∀x φ
(8) ∃x ∃y φ ≈ ∃y ∃x φ
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Berechnung der logischen Äquivalenz von Formeln
Beispiel: ∀x ¬φ ≈ ¬∃x φ
Annahme: ∀x ¬φ
M ,g
=1
⇔ für jedes d ∈ D : ¬φ
⇔ für jedes d ∈ D : φ
⇔ für kein d ∈ D : φ
⇔ es gilt nicht: ∃x φ
⇔ ∃x φ
M ,g
⇔ ¬∃x φ
Also:
M ,g [ x →d ]
M ,g [ x →d ]
M ,g [ x →d ]
M ,g
=1
=0
=1
=1
=0
M ,g
=1
∀x ¬φ ≈ ¬∃x φ
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Metatheoreme über die Beziehung zwischen logischer Äquivalenz und logischer
Gültigkeit bzw. zwischen logischer Äquivalenz und logischer Folgerung:
φ ≈ ψ gdw ⊨ φ ↔ ψ
φ ≈ ψ gdw φ ⊨ ψ und ψ ⊨ φ
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Logisch äquivalente Umformungen
Für eine Formel χ[ψ / φ ] , die man aus χ durch Substitution von ψ für φ erhält,
gilt: Wenn φ ≈ ψ , dann χ ≈ χ[ψ / φ ] (Substitutionsprinzip).
Logisch äquivalente Formeln können in einer beliebigen Formel gegeneinander
ersetzt werden, ohne dass sich der Wahrheitswert der betreffenden Formel ändert.
Beispiel:
∀x ¬P (x ) ≈¬∃x P (x ) , also
∀x ¬P (x ) →∃yQ(y ) ≈¬∃x P (x ) →∃yQ(y )
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Pränexe Normalformen
Durch die Ersetzung von logisch äquivalenten Teilformeln können insbesondere
PL1-Formeln in ihre pränexe Normalform überführt werden.
D5.13 Eine Formel φ hat pränexe Normalform (PNF) gdw φ die Gestalt
Q1 γ1...Qn γn φ ' hat, wobei Q1 γ1...Qn γn mit Variablen besetzte
Quantoren ∀ und ∃ sind und φ ' eine Formel ist, die keine Quantoren
enthält.
Dabei wird Q1 γ1...Qn γn das Präfix und φ ' die Matrix von φ genannt.
Die Überführung einer Formel in ihre PNF kann zu einer wesentlichen
Vereinfachung führen.
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Beispiel: ¬∀xP (x ) → ∀xQ(x )
1. Schritt Gebundene Umbenennung von x in y in der
Teilformel ∀xQ(x ) , so dass x nicht mehr im
Skopus verschiedener Quantoren vorkommt:
¬∀xP (x )→ ∀yQ(y )
2. Schritt Der Negationsoperator wird mit Hilfe des
Gesetzes (6) der Quantorenalternation so nach
innen gezogen, dass er nur noch vor einer
atomaren Formel steht:
∃x ¬P (x ) → ∀yQ(y )
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3. Schritt Der ∀ -Quantor wird mit Hilfe des Gesetzes (18)
der Quantorenbewegung nach außen gezogen:
∀y[∃x ¬P (x ) →Q(y )]
4. Schritt Der ∃ -Quantor wird mit Hilfe der Gesetzes (21)
der Quantorenbewegung nach außen gezogen und
dabei in einen ∀ -Quantor überführt:
∀y ∀x [¬P (x ) →Q(y )]
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