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3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) − Teil I
3.1 Die Grenzen von AL
Schluss
AL-Schema
(1) Alle Logiker sind Pedanten.
Max ist Linguist oder Logiker.
Max ist nicht Linguist.
Max ist Pedant.
φ
ψ1 ∨ ψ2
¬ψ1
χ
(2) Einige Studenten sind Millionäre.
Jeder Millionär ist faul.
Einige Studenten sind faul.
φ
ψ
χ
Die Gültigkeit solcher Schlüsse ist nicht in AL, sondern erst in PL1 nachweisbar.
(1) Alle Logiker sind Pedanten.
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Max ist Linguist oder Logiker.
Max ist nicht Linguist.
Max ist Pedant.
Prädikatenlogische Struktur
∀x [LOGIKER(x ) → PEDANT (x )]
LINGUIST (max) ∨ LOGIKER(max)
¬LINGUIST (max)
PEDANT (max)
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
(2) Einige Studenten sind Millionäre.
Jeder Millionär ist faul.
Einige Studenten sind faul.
Prädikatenlogische Struktur
∃x [STUDENT (x ) ∧ MILLIONÄR(x )]
∀x [MILLIONÄR(x ) → FAUL(x )]
∃x [STUDENT (x ) ∧ FAUL(x )]
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PL1 ist eine Erweiterung von AL in zwei Richtungen:
In PL1 wird die logische Struktur einfacher Sätze, d.h.
die Prädikat-Individuenterm-Struktur analysiert.
Max ist Linguist:
LINGUIST (
max
)
Prädikat Individuenterm
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
In PL1 wird die logische Struktur von Sätzen mit Quantorenausdrücken, d.h. die
Quantor-Skopus-Struktur analysiert.
Alle Logiker sind Pedanten:
∀x [LOGIKER(x ) → PEDANT (x )]
Quantor
Skopus
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AL-Gültigkeit ist ein Spezialfall von PL1-Gültigkeit:
Jede AL-gültige (AL-wahre) Aussage ist auch PL1-gültig (PL1-wahr).
Jeder AL-gültige Schluss ist auch PL1-gültig.
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
3.2 Prädikate und Individuenterme
Ein Individuenterm (Individuenausdruck) ist ein Ausdruck, der das bezeichnet,
worüber in Aussagen etwas ausgesagt wird,
d.h. ein Ausdruck für ein Individuum (einen Gegenstand) im weitesten Sinne
Ein Prädikat (Merkmalsausdruck) ist ein Ausdruck, der das bezeichnet, was in
Aussagen über etwas ausgesagt wird,
d.h. ein Ausdruck für ein Merkmal im weitesten Sinne
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Einfache Sätze und ihre logische Struktur
Beispiele:
(1) Hans schnarcht.
(2) Berlin ist schmutzig.
(3) Edmund ist Bayer.
(4) Die Sonne scheint.
(5) Die Schweiz ist schön.
(6) Der Rhein ist ein Fluss.
↑
1-stelliges Prädikat
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(7) Anna liebt Hans.
(8) Maria ist eine Schwester von Fritz.
(9) Die Sonne ist größer als der Mond.
↑
2-stelliges Prädikat
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(10) Berlin liegt zwischen Warschau und Paris.
(11) Hans vergleicht Maria mit Miss Sachsen.
↑
3-stelliges Prädikat
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(12) Hans ist Anna ähnlicher als Fritz Maria.
↑
4-stelliges Prädikat
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?
Welche Unterschiede gibt es zwischen der logischen und grammatischen
Analyse der Sätze?
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Faustregel der logischen Analyse:
Wenn in einem einfachen Satz ein oder mehrere Individuenterme gestrichen
werden, dann ist der verbleibende Ausdruck ein Prädikat.
Beispiel:
Analysemöglichkeiten für Satz (7):
Anna liebt Hans.
... liebt ...
... liebt Hans
Anna liebt ...
(2-stelliges Prädikat)
(1-stelliges Prädikat)
(1-stelliges Prädikat)
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1-stellige Prädikate sind Eigenschaftsausdrücke,
mehrstellige Prädikate sind Relationsausdrücke.
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Funktor-Argument-Struktur
(Gottlob Frege: Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen
Denkens, 1879)
• Prädikate sind ungesättigte Ausdrücke und damit ergänzungsbedürftig.
• Prädikate sind spezielle Funktoren, die eine bestimmte Anzahl von
Argumentstellen haben. Das sind Stellen, die durch passende Argumente
besetzt werden können.
• Ein n-stelliges Prädikat ( n ≥ 1 ) ist ein aussagenbildender Funktor von n
Argumenten.
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Kategorialgrammatik
(Kazimierz Ajdukiewicz: Syntaktische Konnexität, 1935)
• Basiskategorien:
S (Aussage, Satz)
N (Individuenterm, Name)
• Funktionale Kategorien:
1-stelliges Prädikat: S / N
2-stelliges Prädikat: S / NN oder (S / N )/ N
3-stelliges Prädikat: S / NNN oder ((S / N )/ N )/ N
...
n -stelliges Prädikat: S / N 1...N n oder (⋯(S / N 1 )/...)/ N n
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
Symbolisierung von einfachen Sätzen in PL1
Individuenterme werden mit
Individuenkonstanten a,b, c,... oder mit
Individuenvariablen x , y, z ,... notiert.
Prädikate werden mit
Prädikatskonstanten P n ,Q n , Rn ,... notiert.
Dabei gibt der Index n ( n ≥ 1) die Stelligkeit der jeweiligen Prädikats-konstanen
an.
Weil die Stelligkeit normalerweise eindeutig aus dem Kontext entnommen werden
kann, wird der Index gewöhnlich weggelassen.
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Prädikat-Individuenterm-Strukturen:
P 1(a ):
„a hat das Merkmal P 1 “
„ P 1 trifft auf a zu“
„ P 1 wird von a prädiziert“
„ P 1 von a “ (funktionale Sprechweise)
Eigennamen werden als spezifizierte Individuenterme analysiert und deshalb mit
Individuenkonstanten symbolisiert.
Individuenkonstanten sind in ihrem Bezug festgelegt.
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Prädikat-Individuenterm-Strukturen der einfachen Sätze (1)-(12):
(1)
(7)
(10)
(12)
Hans schnarcht.
Anna liebt Hans.
Berlin liegt zwischen Warschau und Paris.
Hans ist Anna ähnlicher als Fritz Maria.
(1)-(6)
(7)-(9)
(10),(11)
(12)
P 1(a )
Q 2 (a,b)
R 3 (a,b, c)
R 4 (a,b, c, d )
alternativ:
P 1a
Q 2ab (oder: aQ 2b )
R 3abc
R 4abcd
Die dargestellten Strukturen sind einfache Aussagen.
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Personalpronomina und (echte) Reflexivpronomina werden als unspezi-fizierte
Individuenterme analysiert und deshalb mit Individuenvariablen symbolisiert
werden.
Individuenvariablen sind in ihrem Bezug nicht festgelegt.
Sie sind Leerstellen für Individuenkonstanten, d.h. für sie können
Individuenkonstanten eingesetzt (substituiert) werden
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Prädikat-Individuenterm-Strukturen von einfachen Sätzen mit Personal-pronomina
und (echten) Reflexivpronomina:
Sie ist klug.
Er liebt sie.
Er stellt sich Hans vor.
alternativ:
P (x )
P 1x
Q 2 (x , y )
R 2xy (oder: xQ 2y )
R 3 (x , a, x ) R 3xax
1
Die dargestellten Strukturen sind einfache Aussageformen.
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?
Symbolisiere die folgenden einfachen Sätze in PL1.
(1) Hans ist Berliner.
(2) Er zeigte Maria den Leipziger Platz.
(3) Sie kennt ihn besser als das Brandenburger Tor.
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
Die Anwendung eines n -stelligen Prädikatskonstante (n ≥ 1 ) auf n
Individuenterme ergibt eine einfache Aussage oder eine einfache Aussageform.
Im Unterschied zu Aussagen sind Aussageformen weder wahr noch falsch.
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Aus einer Aussageform φ erhält man eine Aussage φ ' , wenn für jede
Individuenvariable in φ eine Individuenkonstante eingesetzt wird.
Die Aussage φ ' ist eine Spezialisierung (oder Substitutionsinstanz) der
Aussageform φ .
Dabei muss für jedes Vorkommen einer Individuenvariablen in einer Aussageform
dieselbe Individuenkonstante eingesetzt werden.
Für Vorkommen verschiedener Individuenvariablen darf dieselbe Individuenkonstante eingesetzt werden.
Beispiele:
φ
P 1(x )
Q 2 (y, z )
R 3 (x , y, x )
Q 3 (z, y, y )
φ'
P 1(b)
Q 2 (c, a )
R 3 (b, c,b)
Q 3 (a, a, a )
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
Mit Hilfe von AL-Konnektoren können komplexe Aussagen und komplexe
Aussageformen gebildet werden.
Beispiel:
P 1(x ) ∧ P 2 (a, y ) → ¬P 3 (x , y,b)
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Logische Form in PL1
Das Ergebnis der Symbolisierung eines Satzes in PL1 ist dessen logische Form
(LF).
Beispiel:
Jumbo ist größer als Max oder Max ist größer als Jumbo.
LF:
G ( j, m ) ∨ G (m, j )
Schlüssel:
G (x , y ) : x ist größer als y
j : Jumbo
m : Max
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Weitere Beispiele:
Jumbo ist größer oder kleiner als Max.
G ( j, m ) ∨ K ( j, m )
Fritz ist nicht reich.
¬R(f )
Hans und Peter sind Studenten.
S (h ) ∧ S (p)
Hans und Peter sind Freunde.
F (h, p) ∧ F (p, h )
Felix ist ein gelber Papagei.
G(f ) ∧ P(f )
Wenn Hans Maria sieht, dann freut er sich. S (h, m ) → F (h )
Wenn Maria Hans trifft, dann küsst sie ihn. T (m, h ) → K (m, h )
Anna und Fritz bewundern einander.
B(a, f ) ∧ B( f , a )
Anna bewundert sich nicht selbst.
¬B(a, a )
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?
Symbolisiere die folgenden komplexen Sätze in PL1.
(1) Hans besuchte nicht Peter, sondern Maria.
(2) Maria interessiert sich für Logik, aber nicht für Linguistik.
(3) Hans empfahl Maria Aspects of the Theory of Syntax und Knowledge of
Language.
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
Wahrheitsbedingungen von einfachen Aussagen
Eine einfache Aussage mit einer 1-stelligen Prädikatskonstanten P ist unter der
folgenden Bedingung wahr:
P (a ) ist wahr gdw das mit a bezeichnete Individuum die mit P bezeichnete
Eigenschaft hat.
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PL1 ist eine extensionale Logik.
Deshalb wird in PL1 die mit einer 1-stelligen Prädikatskonstanten bezeichnete
Eigenschaft mit der Menge jener Individuen identifiziert, die diese Eigenschaft
haben.
Es gilt also:
P (a ) ist wahr gdw das von a bezeichnete Individuum ein Element der Menge der
Individuen ist, die die mit P bezeichnete Eigenschaft haben.
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
Allgemein können Ausdrücke eine Denotation und damit einen bestimmten
semantischen Wert haben.
Notation: α : die Denotation von α
In PL1 werden die Denotationen von Ausdrücken mit jenen Werten identifiziert,
die diese mit Bezug auf eine bestimmte Situation haben.
Speziell
• für Aussagen sind das die Wahrheitswerte 1 und 0 ,
• für 1-stellige Prädikatskonstanten Mengen von Individuen mit der jeweiligen
Eigenschaft und
• für Individuenkonstanten die jeweils bezeichneten Individuen.
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Damit gilt:
P (a ) = 1 gdw a ∈ P ,
d.h. die Denotation von P (a ) ist gleich 1
gdw die Denotation von a ein Element der Denotation von P ist.
P
+
a
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
P (a ) = 0 gdw a ∉ P ,
d.h. die Denotation von P (a ) ist gleich 0
gdw die Denotation von a kein Element der Denotation von P ist.
P
+
a
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