Ubungen Analysis III Blatt Nr. 6 - Mathematisches Institut der

Prof. Dr. Matthias Lesch
Dr. Boris Vertman
Wintersemester 2012/2013
Mathematisches Institut Bonn
Übungen Analysis III
Blatt Nr. 6
15. November 2012
Abgabe am Donnerstag, den 22. November nach der Vorlesung.
Aufgabe 26. Es seien −∞ < aR< b < ∞ und f : [a, b] −→ R eine Lebesgue-messbare
x
Funktion. Man zeige, dass, wenn a f (t)dλ1 (t) = 0 für all x ∈ [a, b] gilt, schon f (x) = 0 für
λ1 -fast alle x ∈ [a, b].
Aufgabe 27. Es seien (X, A, µ) ein Maßraum, (Y, B) ein messbarer Raum, und T : X −→ Y
(A, B)-messbar. Dann heißt
T∗ µ = µ ◦ T −1 : B −→ [0, ∞]
das Bildmaß. Man zeige:
(i) T∗ µ ist ein Maß auf B.
(ii) Wenn f : Y −→ R T∗ µ-integrierbar ist, dann ist f ◦ T : X −→ R µ-integrierbar und
Z
Z
f d(T∗ µ) =
f ◦ T dµ.
X
Y
Aufgabe 28 (Cantor-Funktion). Man definiere eine Folge von Funktionen fk : [0, 1] −→ R,
k ∈ N, wie folgt: Für k = 0 setze man fk (x) = x für alle x ∈ [0, 1] und für k ≥ 0, wenn fk
gefunden ist, definiere man

1

falls 0 ≤ x < 13
 2 fk (3x)
fk+1 (x) = 12
falls 13 ≤ x ≤ 23

1 1
2
2 + 2 fk (3x − 2) falls 3 < x ≤ 1.
Man zeige:
(i) (fk )k∈N konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f , welche stetig und monoton
wachsend ist.
(ii) Für die Cantormenge C gilt f (C) = [0, 1].
(iii) Definiert man g : [0, 1] −→ [0, 2], x 7→ f (x)+x, x ∈ [0, 1], so ist g ein Homöomorphismus,
d.h. g und g −1 sind stetig und bijektiv.
(iv) λ1 (g(C)) = 1.
1
(v) Es existiert eine Teilmenge D ⊂ C, welche Lebesgue-, aber nicht Borel-messbar ist.
(Man finde ein geeignetes Urbild von g.)
Aufgabe 29. R (i) Es sei f : [a, b] −→ [0, ∞) stetig. Man zeige, dass F : [a, b] −→ [0, ∞),
x
F (x) := a f (t)dλ1 (t) stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b) ist mit F 0 = f .
(ii) Es sei F : [a, b] −→ [0, ∞) λ1R-fast überall differenzierbar mit Lebesgue-integrierbarer
x
Ableitung f := F 0 . Gilt dann a f (t)dλ1 (t) = F (x) − F (a)?
Aufgabe 30. Eine Funktion f : [a, b] −→ R heißt absolut stetig, falls für alle ε > 0 ein δ > 0
existiert mit
n
X
|f (bi ) − f (ai )| < ε
i=1
für alle n ∈ N und alle Folgen a ≤ a1 < b1 ≤ a2 < b2 . . . ≤ an < bn ≤ b mit
Man zeige:
Pn
i=1 (bi − ai )
< δ.
(i) Für eine µ-integrierbare Funktion f : X −→ R auf einem Maßraum (X, A, µ) gilt: Für
alle ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass
Z
f dµ < ε
A
für alle A ∈ A mit µ(A) < δ. Insbesondere ist
R x für eine Borel-messbare integrierbare
Funktion f : [a, b] −→ R die Funktion F (x) = a f (t)dλ1 (t) absolut stetig.
(ii) Ist f : [a, b] −→ R eine absolut stetige Funktion, so ist f gleichmäßig stetig.
Je Aufgabe sind jeweils bis zu 4 Punkte zu erreichen.
Hinweis der Fachschaft Mathematik: Die Fachschaft Mathematik feiert am 20.11.
ihre Matheparty im goldenen Engel. Der VVK findet am Do. 15.11., Mo. 19.11. und Di.
20.11. in der Mensa Poppelsdorf statt.
2