Klausur Analysis I für BSc. Mathe., BSc. WiMathe, BSc. Physik, LaG

A
Fachbereich Mathematik
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
SS 2008
31.07.08
Klausur Analysis I
für BSc. Mathe., BSc. WiMathe, BSc. Physik,
LaG Mathe (NPO)
Name:
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Vorname:
Matr.-Nr.:
Fachrichtung:
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
mögl. Punktzahl
5
7
7
8
8
9
Gesamt Note
44
err. Punktzahl
Aufgabe 1 (5 Punkte)
Zeige mit vollständiger Induktion, dass bn =
sind.
n
3
+
n2
2
+
n3
6
für alle n ∈ N natürliche Zahlen
Aufgabe 2 (7 Punkte)
Sei {an }n∈N eine Folge, die die Eigenschaften
p
1
0 < an < 1,
an (1 − an+1 ) > , n ∈ N
2
besitzt.
(a) Zeige, dass {an }n∈N eine monoton fallende Folge ist.
Hinweis: Verwende die Ungleichung
a + b
2
die für nichtnegatives a, b ∈ R gilt.
≥
√
ab,
(3P)
(b) Zeige, dass {an }n∈N einen Grenzwert q hat und bestimme q.
(4P)
Aufgabe 3 (7 Punkte)
Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
1.
∞
X
2n
√
n!
n=1
(2P)
2.
∞
X
n!
3n
n=1
(3P)
3.
∞ X
n n(n+1)
n+1
n=1
(2P)
Aufgabe 4 (8 Punkte)
(a) Kreuze die richtigen Aussagen an:
1. die Funktion f : R\{0, 1} → R,
f (x) =
ist stetig
nicht stetig.
x3 − x
,
|x|(x − 1)
(1P)
2. die Funktion g : R\{1} → R,
g(x) =
ist stetig
nicht stetig.


x3 −x
,
|x|(x−1)
0,
x 6= 0, 1
x = 0,
(1P)
Falls f oder g stetig sind, gebe man die maximale Menge an, auf die die Funktion
stetig fortgesetzt werden kann sowie die stetige Fortsetzung. (Beweise müssen in dieser
Teilaufgabe nicht angegeben werden.)
(1P)
(b) Ist g : R → R,
1
x4 + 1
gleichmäßig stetig? (Mit Beweis, z. B. Mittelwertsatz)
g(x) =
(5P)
Aufgabe 5 (Mittelwertsatz und Taylorformel) (8 Punkte)
Es sei f : [0, 1) → R eine stetige Funktion, die auf dem offenen Intervall (0, 1) n-mal stetig
differenzierbar ist. Für alle k = 1, 2, . . . , n existiere der Grenzwert
lim
x→0
x>0
dk
f (x) = ak .
dxk
(a) Zeige, dass f im Nullpunkt n-mal differenzierbar ist mit
dk
f (0) = ak ,
dxk
(4P)
k = 1, . . . , n.
(b) Zusätzlich gelte
(4P)
lim
x→0
x>0
f (x)
= b.
xn
Zeige, dass hieraus folgt
dk f
(0) = 0,
dxk
k = 1, . . . , n − 1,
dn f
(0) = n!b.
dxn
Aufgabe 6 (9 Punkte)
Sei f : R → R definiert durch
( 1
e− x2 ,
f (x) =
0,
x 6= 0
x = 0.
(a) Zeige, dass für alle n ∈ N Zahlen an1 , . . . , ann ∈ Z existieren, so dass für alle x 6= 0 gilt
a
an,2n−1 − 12
n1
(n)
e x .
+ ... +
f (x) =
xn+2
x3n
(Die Zahlen aij brauchen nicht bestimmt zu werden.) (Induktion)
(3P)
(b) Zeige, dass für alle m ∈ N0 gilt
1 − 12
2
e x = lim y m e−y = 0.
m
x→0 x
y→±∞
x6=0
lim
(4P)
(c) Mit den Ergebnissen aus 5(a), 6(a) und 6(b) gebe man die Taylorreihe von f im Punkt
0 an.
(2P)