Ubungen zur Theoretischen Physik Ib

Universität Regensburg
Institut I - Theoretische Physik
Wintersemester 2015/2016
Übungen zur Theoretischen Physik Ib – Elektrodynamik
Prof. Ferdinand Evers, Dr. Richard Korytár, Dr. Jeongsu Lee,
Michael Kammermeier, Lars Milz, Christian Seiler, Felix Weiner
Blatt 11 (Diskussion: 12. und 13. Januar 2015)
Aufgabe 11.1
10 Punkte
Lebensdauer von Myonen
Myonen (m = 105.7 MeV/c2 , q = −1.602 · 10−19 C, Spin 1/2) werden in einer Höhe von
etwa h ≈ 30 km durch kosmische Strahlung erzeugt. (Ein Pion zerfällt in ein Myon and ein
µ-Neutrino, die Reaktion ist π − → µ− + ν̄µ .) Die Lebensdauer der Myonen ist τ ≈ 2 · 10−6 s.
a) Welche Distanz legen die Myonen zurück, wenn relativistische Effekt nicht berücksichtigt
werden? (Es sei v ≈ c.)
b) Betrachten Sie nun die Konsequenzen der Relativitätstheorie: Was ist die minimale
Geschwindigkeit vMIN der Myonen, sodass sie auf der Erdoberfläche beobachtet werden
können?
c) Wie groß ist die Strecke bis zur Erdoberfläche vom Ruhesystem des Myons aus gesehen?
Aufgabe 11.2∗
15 Bonuspunkte
Geladenes Teilchen in konstantem Feld
Im Laborsystem wird ein konstantes homogenes elektrisches Feld E = E0 ex gemessen. Darin
bewegt sich ein Teilchen mit der Ladung q.
a) Leiten Sie die folgenden Gleichungen aus den relativistischen Bewegungsgleichungen für
ein geladenes Teilchen (siehe Vorlesung) her:
d(vx γ)
= a,
dt
wobei a :=
q
m E0
d(vy γ)
= 0,
dt
d(vz γ)
=0
dt
und
1
γ=q
.
2
1 − |v(t)|
2
c
b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung mit der Anfangsbedingung r(0) = 0 und v(0) = v0 ex .
Hinweis: Verwenden Sie zunächst die Anfangsbedingung um eine einfache Lösung für vy
und vz zu erhalten.
c) Diskutieren Sie die Lösung und vergleichen Sie mit dem klassischen Fall.
d) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen mit der Anfangsbedingung r(0) = 0 and v(0) = v0 ey .
Hinweis: Nun besitzt nur die z-Komponente eine triviale Lösung,
e) Bestimmen Sie die Bahnkurve und diskutieren Sie die Lösung.
Aufgabe 11.3
20 Punkte
Streuung einer ebenen Welle an einem Elektron
Es wird eine ebene, linear polarisierte elektromagnetischen Welle
h
E(r, t) = Re E0 e
i(k·r−ωt)
i
E0
, B(r, t) = Re
c
k
i(k·r−ωt)
× e
k
mit ⊥ k, k k z-Achse betrachtet. Diese streut an einem nicht-relativistischen Elektron.
a) Finden Sie die Lösung der Bewegungsgleichung
mr̈ = F
mit r(0) = 0, v(0) = 0. Vernachlässigen Sie dabei den magnetischen Anteil der Kraft
(kleine Amplituden, vc 1).
b) Bestimmen Sie mit dieser Lösung das oszillierende elektrische Dipolmoment und daraus
den Energiestrom Sr r2 dΩ (Sr : Radialkomponente des Poyntingvektors), der im Fernfeld
in das Raumwinkelelement dΩ = sin θ dθdφ in Richtung (θ, φ) abgestrahlt wird (siehe
Vorlesung). Bestimmen Sie hieraus den differentiellen Wirkungsquerschnitt
dσ
Sr r2
=
dΩ
Sein
Sein bezeichnet die Energiestromdichte der einfallenden Welle. Sein und Sr sind dabei als
zeitgemittelte Größen zu verstehen.
c) Welches Resultat ergibt sich für eine unpolarisierte Welle, d.h. wenn über alle Polarisationsrichtungen gemittelt wird? Parametrisieren Sie dazu den Vektor = (cos ψ, sin ψ, 0)
und berechnen Sie den Mittelwert über ψ. Berechnen Sie dann den totalen Wirkungsquerschnitt einer unpolarisierten Welle
ˆ
dσ
σtot (ω) = dΩ
dΩ
Wie hängt σtot mit dem klassischen Elektronenradius zusammen?
2